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Aula De Equações Diferenciais Aula De Equações Diferenciais

Ordinárias (EDO)Ordinárias (EDO)

MATEMÁTICA APLICADAMATEMÁTICA APLICADA

LEI DO LEI DO RESFRIAMENTO DE RESFRIAMENTO DE

NEWTON NEWTON Determinação do instante da Determinação do instante da

mortemorte

Além das grandes Além das grandes

contribuições para a contribuições para a

Física, Newton também Física, Newton também

deixou algumas deixou algumas

contribuições para a contribuições para a

Matemática. Uma delas Matemática. Uma delas

refere-se às trocas de refere-se às trocas de

calor entre corpos. O mais calor entre corpos. O mais

interessante disto, para interessante disto, para

nós, é a modelagem do nós, é a modelagem do

problema, que recairá em problema, que recairá em

uma equação diferencial.uma equação diferencial.

A lei de Newton do A lei de Newton do resfriamentoresfriamento

Em 1701, com quase 60 anos, Newton Em 1701, com quase 60 anos, Newton

publicou anonimamente um artigo “Scala publicou anonimamente um artigo “Scala

Graduum Caloris”, onde descreve um Graduum Caloris”, onde descreve um

método para medir temperaturas de até método para medir temperaturas de até

1000 °C, algo impossível aos 1000 °C, algo impossível aos

termômetros da época (SOUZA, 2007).termômetros da época (SOUZA, 2007).

O método estava baseado no que hoje é O método estava baseado no que hoje é conhecido como a Lei do Resfriamento de conhecido como a Lei do Resfriamento de

Newton, ou seja:Newton, ou seja:

A taxa de A taxa de diminuição da diminuição da

temperatura de um temperatura de um corpo é corpo é

proporcional à proporcional à diferença de diferença de temperaturas temperaturas

entre o corpo e o entre o corpo e o ambiente.ambiente.

Em termos Em termos matemáticos:matemáticos:

dTdT = - k (T – T = - k (T – T mm )) dtdt

DIMINUINDO COM O PASSAR DO TEMPO, EM RELAÇÃO ÀDIMINUINDO COM O PASSAR DO TEMPO, EM RELAÇÃO À

Onde:Onde:

T =T = é a temperatura do corpo é a temperatura do corpot = t = é o tempoé o tempoTT m = m = é a temperatura do meio ambienteé a temperatura do meio ambientek = k = é uma constante que depende do materialé uma constante que depende do material

comcom que o corpo foi construído.que o corpo foi construído.

OBS.: O SINAL NEGATIVO INDICA QUE A TEMPERATURA DO CORPO ESTÁOBS.: O SINAL NEGATIVO INDICA QUE A TEMPERATURA DO CORPO ESTÁ

TEMPERATURA DO MEIO AMBIENTE.TEMPERATURA DO MEIO AMBIENTE.

VAMOS AO PROBLEMA...VAMOS AO PROBLEMA...

Sobre a condução do calor:Sobre a condução do calor: umum modelo real simples que trata modelo real simples que trata sobre a troca de calor de um corpo com o meio ambiente em que sobre a troca de calor de um corpo com o meio ambiente em que o mesmo está colocado. o mesmo está colocado. Aceita 3 hipóteses básicas:Aceita 3 hipóteses básicas:

1)1) A temperatura T = T (t) depende do tempo t e é A temperatura T = T (t) depende do tempo t e é a mesma em todos os pontos do corpo.a mesma em todos os pontos do corpo.

2)2) A temperatura TA temperatura T mm do meio ambiente permanece do meio ambiente permanece constante ao longo da experiência.constante ao longo da experiência.

3)3) A taxa de variação da temperatura com relação A taxa de variação da temperatura com relação ao tempo t é proporcional à diferença entre a ao tempo t é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente.ambiente.

MONTAGEM E RESOLUÇÃO DA MONTAGEM E RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL EQUAÇÃO DIFERENCIAL

ORDINÁRIA (EDO):ORDINÁRIA (EDO):

Assumiremos verdadeiras as hipóteses Assumiremos verdadeiras as hipóteses enumeradas, observando que:enumeradas, observando que:

dTdT = - k (T – T = - k (T – T mm )) dtdt

Esta é uma EDO separável, que pode ser Esta é uma EDO separável, que pode ser transformada em:transformada em:

____dT__dT__ = - k dt = - k dt (T – T(T – T mm ))

Integrando ambos os membros em relação à variável Integrando ambos os membros em relação à variável tempo:tempo:

Teremos,Teremos,

ln (T-Tln (T-T mm ) = - k t + k) = - k t + k 00

Aplicando a função exponencial a ambos os Aplicando a função exponencial a ambos os membros, teremos:membros, teremos:

e e L n (T - Tm )L n ( T - Tm ) = e = e k ( - t + 1 )k ( - t + 1 )

Logo:Logo:

T – TT – T m m = e= e - k t- k t . e . e 1 1 C C ,,

e tomando as constantes embutidas, obtém-se: e tomando as constantes embutidas, obtém-se:

T (t) – TT (t) – T mm = C . e = C . e - k t- k t

Então a solução da equação diferencial será:Então a solução da equação diferencial será:

T(t) = TT(t) = T mm + C . + C . ee - k t- k t

Determinação da constante C:Determinação da constante C:Mas como sabemos que a temperatura inicial do Mas como sabemos que a temperatura inicial do

corpo é T(0) = Tcorpo é T(0) = T00 , então substituindo t = 0 na solução da , então substituindo t = 0 na solução da equação, teremos:equação, teremos:

T(0) = T(0) = TT m m + C . e+ C . e o o TT 0 0 = T= T m m + C + C Logo, Logo,

C = C = TT 0 0 – T– T mm

Então substituindo C na equação, obtém-se a Então substituindo C na equação, obtém-se a solução final:solução final:

T(t) = TT(t) = T mm + (T + (T 0 0 – T– T mm ) . e) . e - k t- k t

DETERMINAÇÃO DO DETERMINAÇÃO DO INSTANTE DA MORTEINSTANTE DA MORTE

Na investigação de um homicídio, ou de uma morte Na investigação de um homicídio, ou de uma morte acidental, é muitas vezes importante estimar o instante acidental, é muitas vezes importante estimar o instante da morte.da morte.

Por exemplo:Por exemplo:1) Folheando um jornal , encontramos a seguinte notícia:1) Folheando um jornal , encontramos a seguinte notícia: CORPO ENCONTRADO MISTERIOSAMENTECORPO ENCONTRADO MISTERIOSAMENTE

Foi encontrado pelas 4h na esquina da rua I com a rua J o corpo Foi encontrado pelas 4h na esquina da rua I com a rua J o corpo de um homem aparentando 30 anos. Moradores do local de um homem aparentando 30 anos. Moradores do local disseram ter ouvido t iros por volta da meia-noite e também em disseram ter ouvido t iros por volta da meia-noite e também em torno das 3 da madrugada. A polícia já encontrou ambos os torno das 3 da madrugada. A polícia já encontrou ambos os autores dos disparos. Somente após o legista identif icar a hora autores dos disparos. Somente após o legista identif icar a hora da morte é que a polícia poderá prender um dos suspeitos.da morte é que a polícia poderá prender um dos suspeitos.Você deve estar se perguntando: Você deve estar se perguntando: Como podemos saber quando a vít ima morreu?Como podemos saber quando a vít ima morreu?

Para responder a esta pergunta precisamos saber Para responder a esta pergunta precisamos saber a temperatura do corpo no instante da descoberta e a a temperatura do corpo no instante da descoberta e a temperatura ambiente, e efetuarmos os seguintes temperatura ambiente, e efetuarmos os seguintes cálculos, usando a equação final da temperatura em cálculos, usando a equação final da temperatura em função do tempo.função do tempo.

Então vamos admitir que a Então vamos admitir que a temperatura do corpo seja 30°C temperatura do corpo seja 30°C no instante da descoberta e 23°C no instante da descoberta e 23°C duas horas depois, e a duas horas depois, e a temperatura ambiente é de 20°C.temperatura ambiente é de 20°C.

Primeiramente, Primeiramente, calcularemos a constante k, tendo calcularemos a constante k, tendo os dados:os dados:

T = 23°CT = 23°Ct = 2ht = 2hTTmm = 20°C = 20°C

TT00 = 30°C = 30°C

RESOLVENDO:RESOLVENDO: T(t) = TT(t) = Tmm + (T + (T0 0 – T– Tmm) . e) . e-kt-kt

23 = 20 + (30 – 20) . e23 = 20 + (30 – 20) . e -2k-2k

3 / 10 = e3 / 10 = e-2k -2k

ee-2k -2k = 0,3= 0,3

-2k = ln 0,3-2k = ln 0,3

k = -1,2 / -2k = -1,2 / -2

k = 0,6k = 0,6

Agora precisamos saber o instante da Agora precisamos saber o instante da morte, ou seja, a hora exata da morte.morte, ou seja, a hora exata da morte.

Então vamos admitir que a Então vamos admitir que a temperatura do corpo seja igual a temperatura do corpo seja igual a temperatura normal de 37°C no temperatura normal de 37°C no instante t = 0, a temperatura instante t = 0, a temperatura ambiente é de 20°C. ambiente é de 20°C. Calcularemos t (instante da Calcularemos t (instante da morte), tendo os dados:morte), tendo os dados:

TT00 = 37°C = 37°CTTmm = 20°C = 20°C

TT = 30°C= 30°C k = 0,6k = 0,6

RESOLVENDO:RESOLVENDO: T(t) = TT(t) = Tmm + (T + (T0 0 – T– Tmm) . e) . e-kt-kt

30 = 20 + (37 – 20) . e30 = 20 + (37 – 20) . e-0,6t-0,6t

10 / 17 = e10 / 17 = e-0,6t -0,6t

ee-0,6t -0,6t = 0,58823...= 0,58823...

-0,6t = ln 0,58823...-0,6t = ln 0,58823...

t = -0,53 / -0,6t = -0,53 / -0,6

t = 0,88333...h t = 0,88333...h

t 53 mint 53 min≅

RESPONDENDO A PERGUNTA RESPONDENDO A PERGUNTA INICIAL:INICIAL:

Como podemos saber quando a vítima morreu?Como podemos saber quando a vítima morreu?

Como acharam o corpo às 4h, e o Como acharam o corpo às 4h, e o

instante de sua morte foi 53 min instante de sua morte foi 53 min

antes, então a vít ima morreu antes, então a vít ima morreu

aproximadamente às 3h 07min.aproximadamente às 3h 07min.

23/06/201423/06/2014