Física Quântica
Aula 03
A Física Quântica dos Átomos:
Ideias Precursoras à FundamentaçãoTeórica da Mecânica Quântica
Alex Gomes Dias
5 de outubro de 2015
Física Quântica
• A análise da luz emitida e absorvida pelos átomos fornece uma prova determi-
nante para o entendimento de que a dinâmica dos sistemas atômicos não pode
ser descrita pela física clássica. Os espectros atômicos mostram a existência de
níveis de energia quantizados para átomos.
Observa-se para o hidrogênio o seguinte espectro de emissão na região do visível
Essas linhas correspondem a série de Balmer, onde as transições são de
ni = 3, 4, 5, 6 para nf = 2, como veremos.
A absorção no espectro ocorre somente nos comprimentos de onda em que
também há emissão.
Física Quântica 1
Isso evidencia o fato de que os estados de energia do hidrogênio são discretos.
A explicação das linhas espectrais do hidrogênio foi um passo decisivo na funda-
mentação da física quântica, e teve forte impacto em diversas áreas da ciência e
tecnologia.
• Cada elemento tem seu espectro característico.
Física Quântica 2
Física Quântica 3
• No caso do hidrogênio a expressão empírica que dá as linhas espectrais no
visível foi encontrada por J. Balmer (1885).
1
λn,2= RH
[1
22−
1
n2
], n = 3, 4, 5, ...
onde
RH = 1, 096776× 107m−1
é a constante de Rydberg para o hidrogênio.
• Outras séries foram descobertas em seguida para o hidrogênio.
No ultravioleta, descoberta por T. Lyman (1906),
1
λn,1= RH
[1−
1
n2
], n = 2, 3, 4, ...
No infravermelho, descoberta por F. Pashen (1908),
1
λn,3= RH
[1
32−
1
n2
], n = 4, 5, 6, ...
Outras séries nomeadas para o hidrogênio são a de Brackett λm,4 e de Pfund λm,5
Física Quântica 4
• A expressão geral englobando todas essas séries é (J. R. Rydberg e W. Ritz)
1
λn,m= RH
[1
m2−
1
n2
], m < n.
Nessa notação tem-se 1/λn,2 para a série de Balmer, 1/λn,1 para a série de
Lymam, e 1/λn,3 para a série de Pashen, por exemplo.
• Essas fórmulas empíricas fornecem aproximadamente as linhas espectrais do H.
• O fato dos átomos a emitirem e absorverem radiação em comprimentos de
onda especícos só é explicado pela física quântica. De acordo com a física
clássica a emissão e absorção de radiação pelos átomos deveria ocorrer de forma
contínua.
• A observação das linhas no espectro do hidrogênio indica que a absorção e
emissão de luz decorre da transição entre estados de energia do átomo
Assim, a transição atômica de um estado de maior energia, En, para o estado
de menor energia, Em, resulta na emissão de um fóton com energia
Física Quântica 5
hνnm = En − Em
=hc
λn,m= hcRH
[1
m2−
1
n2
]Os En são os estados quânticos de energia do sistema atômico. De forma mais
precisa, na emissão há de se considerar a energia cinética, K, de recuo do átomo
de modo que
En = Em + Efoton +K
⇒ Efoton = En − Em −K
≈ En − Em paraK En − Em
• A massa do átomo esta associada ao seu núcleo, que contém carga positiva (o
elétron tem massa muito menor do que a dos núcleos).
me matomo, me ≈ 9.11× 10−31
kg, mp ≈ 1, 67× 10−27
kg
• A dimensão dos átomos está na escala de 10−10m. Como estimativa tome-
mos, por exemplo, o cloreto de sódio supondo que que o tamanho da moléculas
e dos átomos são da mesma ordem
MNaCl = 58, 44 g/mol
ρNaCl = 2, 16 g/cm3
VNaCl ≈MNaCl
ρNaCl= 27 cm
3/mol
Vatomo ≈ Vmolecula ≈VNaCl
NA
≈ 0, 45× 10−22
cm3
E a estimativa para o tamanho do átomo é
Física Quântica 6
R ≈ (Vatomo)1/3 ≈ 0, 3× 10
−7cm = 3
o
A
• A estrutura atômica foi investigada por meio do espalhamento de partículas α
pelos átomos. A partícula α é o núcleo do hélio ( 2 prótons e 2 nêutrons). O
experimento realizado foi o bombardeio de partículas α, provenientes de uma
fonte radiativa (tipo urânio ou polônio), em uma na folha de ouro.
• O experimento revelou que a carga positiva do átomo esta concentrada numa
região muito pequena em relação ao tamanho típico dos átomos.
Rnucleo ∼ 10−4
o
A 1o
A (dimensao atomica)
O núcleo deve ser, aproximadamente, 104 vezes menor do que o tamanho típico
de um átomo.
Física Quântica 7
• Modelo atômico: carga positiva concentrada em um núcleo, cujo tamanho é
bem menor do que o tamanho do átomo.
• No entanto, o modelo de Rutherford é previsto ser instável pela física clássica.
Clssicamente os elétrons em órbita têm movimento acelerado ⇒ emissão de
radiação contínua
Um sistema assim não é estável!
Fig. de Tipler.
De acordo com a eletrodinâmica clássica elétrons orbitando o núcleo atômico
devem emitir radiação eletromagnética, continuamente, até que o sistema
elétrons- núcleo colapse.
Porém, observamos átomos estáveis!
Física Quântica 8
• Observa-se que a radiação emitida e absorvida pelos elementos químicos ocorre
apenas em comprimentos de onda característicos.
• Trabalho de Neils Bohr: elaboração de um modelo atômico que explicasse as
linhas espectrais do átomo mais simples, o hidrogênio, considerando estrutura
nuclear proposta por Rutherford e que fosse estável.
O modelo de Bohr é uma construção que explica aproximadamente as linhas
espectrais do hidrogênio. Tal construção leva em conta a dinâmica clássica do
sistema elétron- núcleo, combinada com certos postulados para fundamentar a
existência do conjunto discreto de estados de energia do átomo de hidrogênio.
• A observação das linhas no espectro de emissão e absorção dos elementos deu
Física Quântica 9
luz a ideia de que os estados de energia do hidrogênio formam um conjunto
discreto
En ≡ E1, E2, E3, ...n ≡ número quântico associado ao estado de energia.
Absorção e emissão de luz→ transição entre os estados de energia do átomo
com a energia da fóton sendo, para o caso da emissão (n > m),
hνnm = En − Em
=hc
λnm= hcRH
[1
m2−
1
n2
]
Os En são as energias dos estados quânticos do sistema atômico.
• Um único fóton é envolvido na transição;
• νnm são as frequências associadas as transições (frequências de Bohr).
Física Quântica 10
• Postulados de Bohr.
- Primeiro postulado
Os elétrons permanecem em certas órbitas sem irradiar energia.
Tais órbitas estão associadas aos possíveis estados de energia do sistema, os
estados estacionários.
Estados estacionários são aqueles nos quais o sistema permanece sem emitir
radiação.
As energias dos estados formam um conjunto discreto En ≡E1, E2, E3, ....
- Segundo postulado
Os átomos irradiam quando um elétron sofre uma transição de um estado
estacionário para outro. Um fóton é emitido em cada transição. A energia do
fóton emitido se relaciona com a energia do estado estacionário inicial, En, e do
estado estacionário nal, Em, conforme
E(foton)nm = hνnm = En − Em
Física Quântica 11
Fig. de Tipler.
As transições sempre se dão de forma completa.
• Em certos limites, os resultados da teoria quântica devem corresponder aos que
se obtém com teoria clássica. Isso foi sintetizado por Bohr com um terceiro
postulado conhecido como princípio da correspondência. A ideia nesse
princípio é que:
Os resultados de processos envolvendo grandes números quânticos devem
recobrir aqueles que se obtém a partir da física clássica.
Assim, no limite de transições quânticas entre grandes órbitas os resultados
coincidem com os obtidos a partir da física clássica.
n −→ m levam aos mesmos resultados
da fısica classica quando n e m sao grandes
Quando n e m são muito grandes | En−EmEn| 1.
Física Quântica 12
• Construção do modelo de Bohr.
Seja Z o número de unidades de cargas positivas do núcleo, a energia potencial
de interação elétron-núcleo é (carga do núcleo é Z e, a carga do elétron é −e)
V = −1
4πε0
Ze2
r
Mas seria somente o potencial de Coulomb acima o único envolvido na interação
elétron-núcleo? A resposta é não. Porém, o potencial de Coulomb é o
dominante.
Sistema elétron-núcleo
−→rN é o vetor de posição do núcleo,
−→re é o vetor de posição do elétron.
O vetor−→R que que dá a posição do centro de massa é
−→R =
mN−→rN +me
−→remN +me
,
onde mN é a massa do núcleo e me a massa do elétron.
Física Quântica 13
Fixando um referencial no centro de massa temos
mN−→rN +me
−→re = 0 ,
o que resulta em−→pN +−→pe = 0 .
A energia total é a soma da cinética mais a potencial
E = T + V
=| −→pN |2
2mN
+| −→pe |2
2me
−1
4πε0
Ze2
r
=1
2
(1
mN
+1
me
)| −→pe |2 −
1
4πε0
Ze2
r
=| −→pe |2
2µ−
1
4πε0
Ze2
r,
onde µ é a massa reduzida do sistema núclo elétron denida como
1
µ=
1
mN
+1
me
µ =memN
me +mN
= me
(1
1 + memN
).
Física Quântica 14
Com a denotação rN =| −→rN | e re =| −→re | temos que, com o a origem do
sistema de referência no CM,
r = rN + re.
A condição−→R = mN
−→rN +me−→re = 0 conduz a
⇒ rN =me
mN
re
⇒ r =
(1 +
me
mN
)re =
me
µre
Para o momento angular total do sistema, com o CM na origem, é
−→L = −→pN ×−→rN +−→pe ×−→re
=(| −→pN | rN+ | −→pe | re
)z = (rN + re) | −→pe | z
= | −→pe | r z
Do equilíbrio da força elétrica com a força centrípeta
mev2e
re=
1
4πε0
Ze2
r2
| −→pe |2
mere=
1
4πε0
Ze2
r2
⇒| −→pe |2
2me
=1
8πε0
Ze2re
r2=
1
8πε0
Ze2 µme
r
⇒| −→pe |2
2µ=
1
8πε0
Ze2
r
Física Quântica 15
Com isso, a energia é escrita como
E =| −→pe |2
2µ−
1
4πε0
Ze2
r= −
1
8πε0
Ze2
r
• Considerando as órbitas dos estados estacionários,
En = −1
8πε0
Ze2
rn.
Através da comparação direta com as fórmulas empíricas pode-se supor que
En ∝1
n2
e
rn ∝ n2
O momento angular total do sistema, com o CM na origem, é
−→L = −→pn ×−→rn +−→pe ×−→re
=(| −→pn | rn+ | −→pe | re
)z
= | −→pe | r z
• A quantização das órbitas no modelo de Bohr resulta da suposição elementar
de que o momento angular é quantizado. A hipótese (regra) de quantização
do momento angular é realizada com a admição de que somente valores
discretizados para o momento angular são permitidos
|−→L | = L =| −→pe | r
L → Ln =nh
2π= n~ ,
Física Quântica 16
onde os valores possíveis para n são números inteiros, isto é, n = 1, 2, 3, ....
Deniu-se, por conveniência, a constante (h-cortado)
~ =h
2π
A regra conduz a raios quantizados | −→pe | rn = n~
rn =n~| −→pe |
r2n =
n2~2
| −→pe |2=
n2~2
µ4πε0
Ze2
rn
Portanto, os raios das órbitas quantizadas são
rn = n2~2 4πε0
µZe2≈ n2~2 4πε0
meZe2,
onde se usou a aproximação µ ≈ me.
No hidrogênio Z = 1, e o raio da primeira órbita é (n = 1)
r1 = ~2 4πε0
mee2≈ 0.529
o
A .
Esse é o raio de Bohr, que é denotado por a0 = 0.529o
A, isto é a0 ≡ r1.
As energias dos estados estacionários são
En = −1
8πε0
Ze2
rn≈ −
me
2
(Ze2
4πε0~
)21
n2, n = 1, 2, 3, ...
Física Quântica 17
A energia do fóton emitido na transição do elétron no estado En para o estado
de energia menor Em é, portanto,
hνnm = En − Em =me
2
(Ze2
4πε0~
)2 [1
m2−
1
n2
]
No caso particular do hidrogênio, Z = 1, esse resultado se aproxima bastante
do que se obtém a partir da observação das linhas espectrais (a dependência com
os números inteiros m e n).
En = −me
2
(e2
4πε0~
)21
n2≈ −
13, 6
n2eV
A teoria de Bohr dá, com certa precisão, o valor da constante RH na fórmula
empírica que fornece o comprimento de onda λnm da luz emitida pelo átomo de
hidrogênio, ao realizar uma transição do estado de energia n para o estado de
energia m. De fato, com o uso da fórmula empírica tem-se
Física Quântica 18
hνnm =hc
λnm= hcRH
[1
m2−
1
n2
]Por comparação desta última fórmula com a expressão anterior proveniente do
modelo de Bohr
hcRH =me
2
(e2
4πε0~
)2
ou seja
RH =me
2c h
(e2
4πε0~
)2
=me
4πc ~3
(e2
4πε0
)2
Com os valores das constantes físicas
me = 9, 109381880× 10−29kg
e = 1, 602176460× 10−19C
c = 299792458m/s
~ = 1, 053571475× 10−34J · s
ε0 = 8, 854187818× 10−12F/m
tem-se
RH = 1, 097373528× 107m−1
O valor medido para o hidrogênio é (Nussenzveig, Curso de Física Básica, v4)
(RH)exp = 1, 096776× 107m−1.
Física Quântica 19
A correção de massa reduzida faz RH se aproximar do valor medido.
• Estado fundamental do átomo de hidrogênio
E1 = −me
2
(e2
4πε0~
)2
≈ −13, 6 eV
= −2, 18× 10−18J
• Transições entre níveis de energia
(gura de http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html)
Física Quântica 20
(guras livro P. A. Tipler, R.A. Llewellyn, Física Moderna)
- Lyman
1
λn,1=En − E1
hc= RH
[1−
1
n2
], n > 1
- Balmer
1
λn,2=En − E2
hc= RH
[1
22−
1
n2
], n > 2
Física Quântica 21
- Paschen
1
λn,3=En − E3
hc= RH
[1
32−
1
n2
], n > 3
(mostre simulador)
• Massa reduzida
Ao se reintroduzir a massa reduzida no lugar da aproximação µ ≈ me, i. e.,
me → µ =me
1 + memn
,
na expressão de RH
RH →µ
4πc ~3
(e2
4πε0
)2
e, considerando o núcleo do hidrogênio, que tem a massa do núcleo como
sendo a massa do próton, i. e., mp = 1, 672621580 × 10−27kg, me =
9, 10938188× 10−31kg
µ =me
1 + memn
≈ 0, 99946me
⇒
RH → 0, 99946× 1, 097373528× 107m−1
≈ 1, 096781× 107m−1
Física Quântica 22
o valor de RH se aproxima do que é medido para o hidrogênio
(RH)exp = 1, 096776× 107m−1
Se constata, experimentalmente, que para os núcleos mais pesados que o valor
da constante se aproxima de
R∞ =me
4πc ~3
(e2
4πε0
)2
= 1, 097373528× 107m−1
Tal valor corresponde de fato ao limite mn →∞.
• Aplicação do princípio da correspondência.
As transicoes n −→ m levam aos mesmos resultados da
fısica classica quando n e m
sao grandes
A exemplicação desse princípio pode ser feita com o exame de transições
envolvendo grandes números quânticos n (i. e., grandes rn). Para uma transições
de ∆n = 1, i. e., n→ n− 1,
Física Quântica 23
νn,n−1 =En − En−1
h=
me
4π~3
(Ze2
4πε0
)2 [1
(n− 1)2−
1
n2
]
≈me
4π~3
(Ze2
4πε0
)22
n3=
me
2πL3n
(Ze2
4πε0
)2
=Ln
2πme
(meZe
2
4πε0L2n
)2
=Ln
2πmer2n
νn,n−1 ≈ve
2πrn
De fato, conforme a teoria clássica isso corresponde a frequência de revolução
do elétron é
ν =ve
2πr
Física Quântica 24
Adendo
• Na desintegração de núcleos atômicos pesados há a emissão de partículas
carregadas. Dois tipos comuns dessa radiação são a α e a β.
• Radiação β: elétron (β−), pósitron (β+).
• Partículas α com grande energia cinética (∼MeV ) são emitidas por materiais
radiativos. No caso do urânio
Diversos núcleos pesados emitem partículas α.
• A partícula α é cerca de 8000 vezes mais pesada que um elétron. Assim, a
trajetória das partículas quase não é afetada ao colidir com elétrons dos átomos.
Física Quântica 25
• As partículas α foram utilizadas na investigação da estrutura atômica num
experimento realizado por H. W. Geiger e E. Marsden (ambos estudantes de
Rutherford). Tal experimento tinha o propósito de vericar um modelo atômico
proposto por Rutherford.
• O experimento consistia no bombardeio de partículas α, provenientes de uma
fonte radiativa (tipo urânio ou polônio), em uma na folha de ouro.
23892 U −→
23490 U +
42He (4.2MeV )
21084 Po −→
20682 Pb+
42He (5.3MeV )
onde 1MeV = 106eV
• A observação de um número signicante de partículas α espalhadas a grandes
Física Quântica 26
ângulos não tem explicação no modelo de Thomson porque levaria ao resultado
de que o número de eventos observados a grandes ângulo (que se daria via
múltiplos espalhamento) seria extremamente pequeno. A partícula α poderia,
nesse modelo penetrar no interior do átomo sem que no geral tenha grande
impacto em sua trajetória. Uma estimativa para o que se pode esperar para
o espalhamento, conforme o modelo de Thomson pode ser visto em P. Tipler,
Modern Physics; e R. Eisberg, R. Resnick, Quantum Physics.
• A distribuição angular das partículas α é explicada se a carga positiva estiver
concentrada em uma região bem menor que o tamanho do átomo. Só assim se
pode ter espalhamento a grandes ângulos como observado.
Física Quântica 27
• Um limite superior para o raio do núcleo do ouro (Z = 79) se obtém consi-
derando o espalhamento para ângulo próximo de 180o. Nessa circunstância a
partícula α tem aproximação máxima
1
2mv
2=
1
4πε0
qαQAu
R=
1
4πε0
158e2
R
qα = 2 e, QAu = 79 e
1
4πε0
= 9× 109N ·m2
/C2, e = 1.6× 10
−19C
Assim, para a partícula α de 5.3MeV = 5.3× 106 × 1.6× 10−19J ,
R =1
4πε0
qαQAu
mv2
2
=
(9× 10
9N ·m2
C2
)158
(1.6× 10−19C
)2
5.3× 106 × 1.6× 10−19J
= 4.3× 10−14m = 4.3× 10
−4o
A
Ou seja o núcleo deve ser menor do que 10−4 vezes o tamanho típico de um
átomo.
• Rutherford propõe um modelo atômico onde a carga positiva esta concentrada
em um núcleo, cujo tamanho é bem menor do que o tamanho do átomo.
Física Quântica 28
• Com sua proposta teórica Rutherford mostrou que, num experimento de bom-
bardeamento de partículas α em átomos de elementos pesados, o espalhamento
se dá devido a força de repulsão entre o núcleo e a partícula α. Rutherford
determinou assim a fração de partículas α em função do ângulo de espalha-
mento. Detalhes desse cálculo podem ser encontrados em P. Tipler, Modern
Physics; e R. Eisberg, R. Resnick, Quantum Physics.
• A consideração é que o núcleo se mantém xo durante o processo, o que
é razoável de se supor numa colisão com núcleos pesados e presos na rede
cristalina de um sólido. O espalhamento se daria conforme a gura
Fig. de Tipler
A força que atua na partícula é
Física Quântica 29
F =1
4πε0
qαQAu
r2
• Uma quantidade resultante do cálculo desse processo de espalhamento é o
parâmetro de impacto, denotado por b
b =1
4πε0
qαQAu
mαv2cot
θ
2
Sendo qα a carga da partícula α, QAu = ZAu a carga do núcleo, r a
distância entre a partícula α e o núcleo, e θ o ângulo de espalhamento
Fig. de Tipler
Partículas com b menor se espalham a ângulos maiores do que θ.
• Se I0 é a intensidade do feixe de partículas α, i. e., número de partículas por
centímetro quadrado por segundo que atravessam a seção transversal do feixe,
I0 =num. partıculas
cm2 · seg
Física Quântica 30
o número de partículas espalhadas pelo núcleo por segundo a ângulos maiores do
que θ é
πb2I0
A quantidade
σ = πb2 ≡ secao de choque
com dimensão de área, é chamada seção de choque. Ao se multiplicar πb2I0 pelo
número de núcleos na folha de ouro atingida pelo feixe tem-se o número total de
partículas espalhadas por segundo.
Fig. de Tipler
Com a área denotada por A por onde passa o feixe o número de núcleos na
folha de espessura t é
NAu = nAt
onde n é a densidade de núcleos
n =ρAu
matomo
=ρAuNA
Mmolar
• Número total de espalhamentos por segundo a ângulos maiores do que θ
Física Quântica 31
πb2I0nAt
Dividindo por pelo número de partículas α que atravessam a área A por segundo,
i. e., I0A, tem-se a fração espalhada a ângulos maiores que θ
f = πb2nt
A fração espalhada entre o ângulo θ e θ + dθ é
df = 2πb db nt = n t dσ
Nessa relação db deve ser negativo pois a medida que o ângulo aumenta f diminui.
A seção de choque diferencial dσdΩ é denida como
I0
dσ
dΩdΩ = Numero de espalhamentos entre angulo solido
Ω e Ω + dΩ por unidade de tempo
dΩ = 2π sinθdθ
O número de partículas espalhadas deve ser tal que
I0
dσ
dΩdΩ = 2πI0b | db |
O módulo é tomado para que se integre do ângulo mínimo até o ângulo máximo.
Repare que ao se diminuir b o ângulo θ cresce.
Agora
db = −1
8πε0
qαQAu
mαv2
1
sin2θ2
dθ
Física Quântica 32
dσ = 2πb | db |
4π
(1
8πε0
qαQAu
mαv2
)2 cotθ2sin2θ
2
dθ
= 2π
(1
8πε0
qαQAu
mαv2
)2 1
sin4θ2
sinθdθ
=
(1
8πε0
qαQAu
mαv2
)2 1
sin4θ2
dΩ
=dσ
dΩdΩ
(cosθ2 = 1
2sinθ
sinθ2
)com dΩ = 2πsinθdθ. Disso temos
dσ
dΩ=
(1
8πε0
qαQAu
mαv2
)2 1
sin4θ2
Integrando essa seção de choque diferencial e multiplicando por I tem-se o número
de partículas α espalhadas por segundo, por núcleo, no ângulo sólido.
Fig. de Tipler
Física Quântica 33
• Em termos da fração
df
dΩdΩ = n t
dσ
dΩdΩ
=
(1
8πε0
qαQAu
mαv2
)2 nt
sin4θ2
dΩ
edf
dΩ= nt
dσ
dΩ=
(1
8πε0
qαQAu
mαv2
)2 nt
sin4θ2
• O número de partículas espalhadas entre θ e θ + dθ por segundo é
df
dΩI0A = I0Ant
dσ
dΩ= I0NAu
dσ
dΩ
=
(1
8πε0
qαQAu
mαv2
)2 I0NAu
sin4θ2
= N
Essas partículas atravessam a região anular maior na gura acima por unidade
de tempo. Se dividirmos pela área da região anular maior temos o número de
partículas espalhadas entre θ e θ + dθ por segundo por unidade de área.
NArea
=1
Area
(1
8πε0
qαQAu
mαv2
)2 I0NAu
sin4θ2
Isso é o que um detetor colocado em um ângulo θ pode medir. Para a folha
de um metal diferente, com Q = Z | e |, se sendo qα = 2 | e | tem-se
Física Quântica 34
NArea
=1
Area
(1
4πε0
Z e2
mαv2
)2I0NAu
sin4θ2
• Os resultados obtidos por Geiger e Marsden são mostrados no gráco abaixo e
concordam com a teoria proposta por Rutherford.
Fig. de Tipler
• Geiger e Marsden vericaram além da dependência com sin−4θ2, a dependência
com Z2, v2 e espessura da folha, conrmando o modelo de Rutherford.
• No entanto, o modelo de Rutherford é previsto ser instável pela física clássica.
A emissão de radiação contínua impede a estabilidade de um sistema clássico
assim.
Física Quântica 35
• Aplicação do uso dos espectros: cada elemento tem seu espectro característico.
Isso é utilizado para se saber a composição de substâncias por meio da
espectroscopia. Outra aplicação é a medida de afastamento ou aproximação
de estrelas através do deslocamento da linhas espectrais em razão do efeito
Doppler.
• Aproximação maior do núcleo atômico requer partículas α mais energéticas
Física Quântica 36
ou núcleos alvo com número atômico menor (o que faz diminuir a força de
Coulomb), como o alumínio por exemplo. Al tem Z = 13 e na situação em
que a partícula α tem energia suciente para penetrar no núcleo o tratamento
de Rutherford não é mais válido.
• Uma experiência tipo a de Rutherford realizada na década de 70 mostrou que
o próton não é elementar.
• Os experimentos de colisão como o de Rutherford continuam sendo reali-
zados até hoje na investigação de partículas subatômicas e suas interações
fundamentais.
Física Quântica 37
• 1232 magnetos dipolares de 16 metros cada um comB ≈ 8 Tesla (150000×BTerra).
• 1G = 10−4T , BTerra ∼ 0.5G = 0.5× 10−4T
O LHC realizará colisões próton-próton em até 13 TeV (13 trilhões de eletronvolts)
Estado inicial→Estados nais
Física Quântica 38
Adendo
A regra de quantização de Wilson-Sommerfeld considera que para duas variáveis
canonicamente conjugadas, q e p, (ex. x e px; ϕ e pϕ = L) tem-se que
˛p dq = nh
onde n é um número inteiro. Para a variável angular ϕ e seu momento canonica-
mente conjugado pϕ = L, quando o momento angular é constante
˛Ldϕ = L 2π = nh
No caso do oscilador harmônico unidimensional tem-se˛px dx = nh
Tal regra conduz a seguinte quantização para a energia para o oscilador de
frequência angular w
E = n~wusando que
x = Asinwt
onde A é a amplitude.
Essas regras foram superadas pela formulação da mecânica quântica que se
seguiu.
Física Quântica 39
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