Aplicações de Derivadas
Cálculo 1 ECT1113
Aplicações de Derivadas
Prof. Ronaldo Carlotto Batista
25 de outubro de 2013
Aplicações de Derivadas
AVISO IMPORTANTE
Estes slides foram criados comomaterial de apoio às aulas e nãodevem ser utilizados como únicomaterial didático. O conteúdo
apresentado aqui está no capítulo 5do livro Cálculo A, Flemming &Gonçalves, 6ª Ed (livro texto); ouainda, alternativamente, no capítulo
4 do livro Cálculo, George B.Thomas, Vol. 1 , 11º Ed.
Aplicações de Derivadas
Funções Crescentes e Decrescentes
De�nition
Função Crescente
Uma função f é dita crescente num intervalo I ⊆ Df se paraquaisquer x1, x2 ∈ I tais que x2 > x1 temos
f (x2) ≥ f (x1)
De�nition
Função Decrescente
Uma função f é dita crescente num intervalo I ⊆ Df se paraquaisquer x1, x2 ∈ I tais que x2 > x1 temos
f (x2) ≤ f (x1)
Aplicações de Derivadas
Funções Crescentes e Decrescentes
De�nition
Função Crescente
Uma função f é dita crescente num intervalo I ⊆ Df se paraquaisquer x1, x2 ∈ I tais que x2 > x1 temos
f (x2) ≥ f (x1)
De�nition
Função Decrescente
Uma função f é dita crescente num intervalo I ⊆ Df se paraquaisquer x1, x2 ∈ I tais que x2 > x1 temos
f (x2) ≤ f (x1)
Aplicações de Derivadas
Funções Crescentes e Decrescentes
Seja uma função f contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Se
f ′ (x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é crescente em[a, b]
f ′ (x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f é decrescente em[a, b]
Aplicações de Derivadas
Funções Crescentes e Decrescentes Exemplos
Determinar os intervalos onde as funções abaixo sãocrescentes ou descrescentes
Exemplo 1:
f (x) = x2 − x + 5
Exemplo 2:
f (x) = x3 − 12x − 5
Exemplo 3:
f (x) =
{2x2 − 4 se x ≤ 1−x − 1 se x > 1
Aplicações de Derivadas
Funções Crescentes e Decrescentes Exemplos
Determinar os intervalos onde as funções abaixo sãocrescentes ou descrescentes
Exemplo 1:
f (x) = x2 − x + 5
Exemplo 2:
f (x) = x3 − 12x − 5
Exemplo 3:
f (x) =
{2x2 − 4 se x ≤ 1−x − 1 se x > 1
Aplicações de Derivadas
Funções Crescentes e Decrescentes Exemplos
Determinar os intervalos onde as funções abaixo sãocrescentes ou descrescentes
Exemplo 1:
f (x) = x2 − x + 5
Exemplo 2:
f (x) = x3 − 12x − 5
Exemplo 3:
f (x) =
{2x2 − 4 se x ≤ 1−x − 1 se x > 1
Aplicações de Derivadas
Funções Crescentes e Decrescentes Exemplo
Determinar os intervalos onde as funções abaixo sãocrescentes ou descrescentes
Exemplo 4:
f (x) = x3 − 3x + 1
Aplicações de Derivadas
Máximos e Mínimos
De�nition
Máximo relativo
Uma função f tem um máximo relativo no ponto c se existirum aberto I ⊆ Df , contendo c tal que para todo x ∈ I
f (c) ≥ f (x)
De�nition
Mínimo relativo
Uma função f tem um mínimo relativo no ponto c se existirum aberto I ⊆ Df , contendo c tal que para todo x ∈ I
f (c) ≤ f (x)
Aplicações de Derivadas
Máximos e Mínimos
De�nition
Máximo absoluto
Uma função f tem um máximo absoluto no ponto c se paraqualquer x ∈ Df
f (c) ≥ f (x)
De�nition
Mínimo absoluto
Uma função f tem um mínimo absoluto no ponto c se paraqualquer x ∈ Df
f (c) ≤ f (x)
Seja uma função f , cujo domínio Df = [a, b], então f assumemáximo e mínimo absoluto em [a, b].
Aplicações de Derivadas
Máximos e Mínimos
De�nition
Máximo absoluto
Uma função f tem um máximo absoluto no ponto c se paraqualquer x ∈ Df
f (c) ≥ f (x)
De�nition
Mínimo absoluto
Uma função f tem um mínimo absoluto no ponto c se paraqualquer x ∈ Df
f (c) ≤ f (x)
Seja uma função f , cujo domínio Df = [a, b], então f assumemáximo e mínimo absoluto em [a, b].
Aplicações de Derivadas
Máximos e Mínimos
Se f (c) é um extremo relativo (máximo ou mínimo relativo) ef ′ (c) ∃ então
f ′ (c) = 0 .
Note que f ′ (c) = 0 uma condição necessária, mas nãosu�ciente, para que f (c) seja um extremo relativo.
De�nition
Ponto Crítico
Todos os pontos x em que f ′ (x) = 0 ou f ′ (x) @ sãochamados pontos críticos.
Aplicações de Derivadas
Máximos e Mínimos
Se f (c) é um extremo relativo (máximo ou mínimo relativo) ef ′ (c) ∃ então
f ′ (c) = 0 .
Note que f ′ (c) = 0 uma condição necessária, mas nãosu�ciente, para que f (c) seja um extremo relativo.
De�nition
Ponto Crítico
Todos os pontos x em que f ′ (x) = 0 ou f ′ (x) @ sãochamados pontos críticos.
Aplicações de Derivadas
Máximos e Mínimos Exemplo
Para as funções f abaixo, faça seu grá�co, determine seuspontos críticos e seus extremos relativos e absolutos.
Exemplo 1:
f (x) =
{2x2 − 4 se − 1 ≤ x ≤ 1−x − 1 se 1 < x ≤ 2
Exemplo 2:
f (x) =
{2x2 − 4 se − 1 ≤ x ≤ 1−x − 1 se 1 < x ≤ 4
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Máximos e Mínimos Exemplo
Para as funções f abaixo, faça seu grá�co, determine seuspontos críticos e seus extremos relativos e absolutos.
Exemplo 1:
f (x) =
{2x2 − 4 se − 1 ≤ x ≤ 1−x − 1 se 1 < x ≤ 2
Exemplo 2:
f (x) =
{2x2 − 4 se − 1 ≤ x ≤ 1−x − 1 se 1 < x ≤ 4
Aplicações de Derivadas
Máximos e Mínimos
Theorem
Critério da primeira derivada:
Seja f uma função contínua num intervalo [a, b] e derivávelem (a, b), exceto possivelmente num ponto c ∈ (a, b). Então,
se f ′ (x) > 0 para todo x < c e f ′ (x) < 0 para todox > c , com x ∈ (a, b), então f tem máximo relativo emx = c ;
se f ′ (x) < 0 para todo x < c e f ′ (x) > 0 para todox > c , com x ∈ (a, b), então f tem mínimo relativo emx = c .
Aplicações de Derivadas
Máximos e Mínimos
Theorem
Critério da segunda derivada:
Sejam f uma função derivável num intervalo (a, b) ec ∈ (a, b) um ponto crítico. Se f ′′ existe em (a, b), então:
se f ′′ (c) < 0, f tem máximo relativo em x = c ;
se f ′′ (x) > 0, f tem mínimo relativo em x = c .
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Máximos e Mínimos Exemplo
Encontre os máximos e mínimos de f aplicando o critério daderivada segunda.
f (x) = 18x + 3x2 − 4x3
Aplicações de Derivadas
Concavidade e Pontos de In�exão
O lado direito do Congresso Nacional é Côncavo e o ladoesquerdo é convexo.
Alguns livros de matemática se referem a côncavo como�concavidade para cima� e convexo como �concavidade parabaixo�.
Aplicações de Derivadas
Concavidade e Pontos de In�exão
Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável atésegunda ordem no intervalo (a, b)
Se f ′′ (x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é côncava.
Se f ′′ (x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f é cônvexa.
De�nition
Ponto de In�exãoO ponto (c , f (c)) é dito Ponto In�exão da função f se suaconcavidade muda em x = c .
Aplicações de Derivadas
Concavidade e Pontos de In�exão
Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável atésegunda ordem no intervalo (a, b)
Se f ′′ (x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é côncava.
Se f ′′ (x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f é cônvexa.
De�nition
Ponto de In�exãoO ponto (c , f (c)) é dito Ponto In�exão da função f se suaconcavidade muda em x = c .
Aplicações de Derivadas
Concavidade e Pontos de In�exão Exemplo
Detemine os intervalos onde a função abaixo é côncava e ondeé convexa, seus pontos de in�exão, extremos relativos eabsolutos. Usando essas informações, faça um esboço de seugrá�co.
f (x) = x4 − 2x2 + 1
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Problemas de Maximização e Minimização
Uma vez que sabemos determinar os extremos de uma função,podemos expressar um problema de maximização ouminimização como um problema de encontrar o máximo oumínimo de uma função. Vejamos o exemplo abaixo:
Exemplo (exercício da lista)Uma rede de água ligará uma central de abastecimentosituada na margem de um rio de 500 metros de lagura aum conjunto habitacional situado na outra margem dorio, 2000 metros abaixo da central. O custo da obraatravés do rio é de R$ 640, 00 por metro, e por terra deR$ 312, 00. Qual a forma mais econômica de instalar arede de água?
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Regras de L'Hôpital
As regras de L'Hôpital são muito úteis para calcular limites dealgumas expressões indeterminadas. Sua forma mais simplesestabelece que: se
limx→c
f (x) = limx→c
g (x) = 0 ou ±∞
e
limx→c
f ′ (x)
g ′ (x)∃
então
limx→c
f (x)
g (x)= lim
x→c
f ′ (x)
g ′ (x)
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Regras de L'Hôpital Exemplos
Exemplo 1: �onde não aplicar�
limx→∞
x + sen (x)
x
Exemplo 2: �onde aplicar�
limx→∞
2x
ex − 1
Exemplo 3:
limx→2
x2 + x − 6
x2 − 3x + 2
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Regras de L'Hôpital Exemplos
Exemplo 1: �onde não aplicar�
limx→∞
x + sen (x)
x
Exemplo 2: �onde aplicar�
limx→∞
2x
ex − 1
Exemplo 3:
limx→2
x2 + x − 6
x2 − 3x + 2