Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz
José Eustáquio Rangel de QueirozMarcelo Alves de Barros
Resolução Numérica deSistemas Lineares – Parte I
Resolução Numérica deSistemas Lineares – Parte I
Cálculo NuméricoCálculo NuméricoMódulo VMódulo V
2
Sistemas Lineares
Forma Geral
onde:
aaijij coeficientes
xxii incógnitas
bbii termos independentes
nnnn22n11n
2nn2222121
1nn1212111
bxa...xaxa
bxa...xaxa
bxa...xaxa
nnnn22n11n
2nn2222121
1nn1212111
bxa...xaxa
bxa...xaxa
bxa...xaxa
3
Exemplo 01
2, 4, -5, 4, 1, -5, 2, 4 e 5 coeficientes
x1, x2 e x3 incógnitas
5, 2 e -1 termos independentes
Sistemas Lineares
1x5x4x2
2x5x1x4
5x5x4x2
321
321
321
1x5x4x2
2x5x1x4
5x5x4x2
321
321
321
4
Sistemas Lineares
Forma Matricial
na qual:
4
Ax = Ax = bb
Ax = Ax = bb
nn3n2n1n
n22221
n112
aaaa
aaa
aaa
A
11
nn3n2n1n
n22221
n112
aaaa
aaa
aaa
A
11
n
2
1
b
bb
b
n
2
1
b
bb
b
n
2
1
x
xx
x
n
2
1
x
xx
x
5
Sistemas Lineares
1x5x4x2
2x5x1x4
5x5x4x2
321
321
321
1x5x4x2
2x5x1x4
5x5x4x2
321
321
321
5
Exemplo 02
Forma Geral
Forma Matricial
125
xxx
.542514542
3
2
1
6
Sistemas Lineares
Classificação I
ImpossívelImpossível NãoNão possui solução
Exemplo 03
6
9x2x23xx
21
21
9x2x23xx
21
21
7
Sistemas Lineares
Classificação II
PossívelPossível Possui 1 ou mais soluções
DeterminadoDeterminado Solução únicaúnica
Exemplo 04
8xx4xx
21
21
8xx4xx
21
21
8
Classificação III
PossívelPossível Possui 1 ou mais soluções
IndeterminadoIndeterminado Mais de Mais de umauma solução
Exemplo 05
Sistemas Lineares
8x2x24xx
21
21
8x2x24xx
21
21
9
Sistemas Lineares
Classificação IV
PossívelPossível Possui 1 ou mais soluções
HomogêneoHomogêneo Vetor b=0b=0 (x=0 sempre existe solução)
Exemplo 06
0x3x20xx
21
21
0x3x20xx
21
21
10
Sistemas Lineares
nn3n2n1n
333231
2221
11
aaaa
0aaa00aa000a
A
nn3n2n1n
333231
2221
11
aaaa
0aaa00aa000a
A
Sistemas Triangulares:
Possibilidade de resolução de forma DiretaDireta
InferiorInferior
11
Sistemas Lineares
nn
n333
n22322
n1131211
a000
aa00aaa0aaaa
A
nn
n333
n22322
n1131211
a000
aa00aaa0aaaa
A
Sistemas Triangulares:
Possibilidade de resolução de forma RetroativaRetroativa
SuperiorSuperior
12
Solução Retroativa
Exemplo 7:
Dado o sistema:
Primeiro passo para sua resolução:
2x23x5x41x2xx10xx5x4x3
4
43
432
4321
2x23x5x41x2xx10xx5x4x3
4
43
432
4321
122
x4 122
x4
13
Solução Retroativa
Exemplo 7:
Segundo passo:
Terceiro passo:
2x315x43x5x4
3
3
43
2x315x43x5x4
3
3
43
1x1122x1x2xx
2
2
432
1x1122x1x2xx
2
2
432
14
Solução Retroativa
Exemplo 7:
Último passo:
1x10125)1(4x3
10xx5x4x3
1
1
4321
1x10125)1(4x3
10xx5x4x3
1
1
4321
15
Métodos Numéricos
DiretosDiretos
Solução pode ser encontrada a partir de um número finito de passos
Método de GaussMétodo de Gauss
Método da Eliminação de JordanMétodo da Eliminação de Jordan
Fatoração LUFatoração LU
16
Métodos Numéricos
IterativosIterativos
Solução a partir de uma seqüência de seqüência de aproximações aproximações para o valor do vetor solução xx , até que seja obtido um valor que satisfaça à precisão pré-estabelecida
Método de JacobiMétodo de Jacobi
Método de Gauss – SeidelMétodo de Gauss – Seidel
17
Método de Gauss
Propósito
Transformação do sistema linear a ser resolvido em um sistema linear sistema linear triangulartriangular;
Resolução do sistema linear triangular de forma retroativaretroativa.
18
Método de Gauss
Transformação do Sistema Linear
Troca da ordem das linhas;
Multiplicação de uma das equações por um número real não nulo;
Substituição de uma das equações por uma combinação linear dela mesma com outra equação.
19
Método de Gauss
Passos do Método de Gauss
Construção da matriz aumentada AbAb
19
nnn3n2n1n
2n22221
1n11211
baaaa
baaabaaa
Ab
nnn3n2n1n
2n22221
1n11211
baaaa
baaabaaa
Ab
20
Método de Gauss
Passos do Método de Gauss
Passo 1:
Eliminar os coeficientes de xEliminar os coeficientes de x11 presentes nas linhas 2,3,...,n - sendo a21 = a31, = ... = an1 = 0 - sendo aa1111 chamado de pivô da pivô da colunacoluna
Substituir a linha 2, LL22, pela combinação linear
11
21211212 a
am:qualna,LmL
21
Método de Gauss
11
313113133 a
am:qualna,LmLL
Passos do Método de Gauss
Substituir a linha 3, L3, pela combinação linear:
22
Método de Gauss
Passos do Método de Gauss
Continuar a substituição até a linha n;
Caso algum elemento app=0, achar outra linha k onde akp≠ 0 e trocar tais linhas. Caso a linha k não exista, o sistema linear não possui solução.
23
Método de Gauss
Passos do Método de Gauss
Eliminar os coeficientes de x2 nas linhas 3, 4, ..., n (fazer a32=a42=...=an2 = 0);
Eliminar os coeficientes de x3 nas linhas 4, 5, ..., n (fazer a43=a53=...=an3 = 0) e assim sucessivamente.
24
Método de Gauss
Exemplo 8:
Resolver o sistema:
Matriz aumentada Ab
1xx3x23x3x4x4
5xx3x2
321
321
321
1xx3x23x3x4x4
5xx3x2
321
321
321
1132
33445132
Ab
25
Método de Gauss
Exemplo 8:
Faz-se:
Assim:
2aa
m,LmLL11
212112122 2
aa
m,LmLL11
212112122
7120L
513223344L
2
2
26
Método de Gauss
Exemplo 8:
Faz-se:
Assim:
1aa
m,LmLL11
312313133 1
aa
m,LmLL11
312313133
6260L
513211132L
3
3
27
Método de Gauss
Exemplo 8:
Obtém-se a matriz:
62607120
5132Ab
62607120
5132Ab
28
Método de Gauss
Exemplo 8:
Substituindo a linha 3 por:
Têm-se:
3aa
m,LmLL22
323213233 3
aa
m,LmLL22
323213233
15500L
712036260L
3
3
29
Método de Gauss
Exemplo 8:
A matriz [Ab] fica assim com os seguintes valores:
155007120
5132Ab
155007120
5132Ab
30
Método de Gauss
Exemplo 8:
Usa-se a solução retroativa:
1x22x5362x
5xx32x
2x732x7x2x
3x155x
111
321
2232
33
31
Método de Gauss
Exemplo 9:
Resolver o sistema.
Representando o sistema pela matriz aumentada:
9,8x8,7x7,5x7,27,11x5,4x3,2x2,4
10x3,3x4,5x5,1
321
321
321
9,8x8,7x7,5x7,27,11x5,4x3,2x2,4
10x3,3x4,5x5,1
321
321
321
9,88,77,57,27,115,43,22,4
103,34,55,1]AB[
32
Método de Gauss
Exemplo 9:
Escolhendo a primeira linha como pivô, obtém-se:
9,11,864,020 L
103,35,41,5(2,7/1,5)8,97,85,72,7LmLL
16,34,7412,820 L
103,35,41,5(4,2/1,5)11,74,52,34,2LmLL
3
13133
2
12122
9,11,864,020 L
103,35,41,5(2,7/1,5)8,97,85,72,7LmLL
16,34,7412,820 L
103,35,41,5(4,2/1,5)11,74,52,34,2LmLL
3
13133
2
12122
33
Método de Gauss
Exemplo 9:
Representando o sistema pela matriz aumentada:
9,11,864,020
16,34,7412,820
103,35,41,5
[AB]
9,11,864,020
16,34,7412,820
103,35,41,5
[AB]
34
Exemplo 9:
Escolhendo agora a segunda linha como pivô, têm-se:
Método de Gauss
3,98883,346300L
16,34,7412,82012,824,02/9,11,864,020L
LmLL
3
3
13233
3,98883,346300L
16,34,7412,82012,824,02/9,11,864,020L
LmLL
3
3
13233
35
Exemplo 9:
Obtêm-se a seguinte matriz ampliada:
Método de Gauss
3,98883,346300
16,34,7412,820
103,35,41,5
[AB]
36
Método de Gauss
Exemplo 9:
O que termina com a triangulação:
3,9888x3,3463x0x0
16,3x4,74x12,82x0
10x3,3x5,41,5x
321
321
321
3,9888x3,3463x0x0
16,3x4,74x12,82x0
10x3,3x5,41,5x
321
321
321
37
Método de Gauss
Exemplo 9:
Com solução:
x3 = -3,9888/3,3463=-1,1918
x2 =[ -16,3 - (-4,74)(-1,1920)]/(-12,82) = 1,7121
x1 = [10 - 5,4(1,7122) - 3,3(-1,1920)]/1,5 = 3,1251
38
Método do Pivoteamento Parcial
Semelhante ao método de Gauss;
Minimiza a amplificação de erros de arredondamento durante as eliminações;
Consiste em escolher o elemento de maior módulo em cada coluna para ser o pivô.
39
Método do Pivoteamento Parcial
Exemplo 10:
Resolver o sistema com precisão de 4 casas decimais
9,8x8,7x7,5x7,27,11x5,4x3,2x2,4
10x3,3x4,5x5,1
321
321
321
9,8x8,7x7,5x7,27,11x5,4x3,2x2,4
10x3,3x4,5x5,1
321
321
321
40
Método do Pivoteamento Parcial
Exemplo 10:
Matriz aumentada original deve ser ajustada:
9,88,77,57,27,115,43,22,4
103,34,55,1
9,88,77,57,2103,34,55,1
7,115,43,22,4
41
Método do Pivoteamento Parcial
Exemplo 10:
Sistema inalterado, elemento pivô 4,24,2.
Encontrar as novas linhas:
]1,37864,90714,22140[L
]11,74,52,34,2[(2,7/4,2)]8,97,85,72,7[LmLL
]5,82141,69294,57860[L
]11,74,52,34,2[1,5/4,2)]103,35,41,5[LmLL
3
13133
2
12122
(
]1,37864,90714,22140[L
]11,74,52,34,2[(2,7/4,2)]8,97,85,72,7[LmLL
]5,82141,69294,57860[L
]11,74,52,34,2[1,5/4,2)]103,35,41,5[LmLL
3
13133
2
12122
(
42
Método do Pivoteamento Parcial
Exemplo 10:
A matriz ampliada fica da forma:
Como o elemento já é o pivô da 2ª coluna, tem-se:
1,37864,90714,22140
5,82141,69294,57860
11,74,52,34,2
1,37864,90714,22140
5,82141,69294,57860
11,74,52,34,2
]3,98863,346300[L
]5,82141,69294,57860[5786)(4,2214/4, ]1,37864,90714,22140[LmLL
3
23233
4,5786
43
Método do Pivoteamento Parcial
Exemplo 10:
A matriz ampliada fica na forma:
3,9886-3,346300
5,82141,69294,57860
11,74,52,34,2
3,9886-3,346300
5,82141,69294,57860
11,74,52,34,2
44
Método do Pivoteamento Parcial
Exemplo 10:
A solução do sistema triangular que resultou dessas operações é:
x3 = -3,9886/3,3463 = -1,1919
x2 = [5,8214-1,6929(-1,1919)]/(4,5786) = 1,7121
x1 = [11,7- 2,3(1,7121)- 4,5(-1,1919)]/4,2 = 3,1252
45
Método do Pivoteamento Parcial
Exemplo 9: Exemplo 10 (com pivoteamento):
x3 = -1,1918 x3 = -1,1919
x2 = 1,7121 x2 = 1,7121
x1 = 3,1252 x1 = 3,1251
Solução encontrada no Matlab:x1 = -1,19198135198135
x2 = 1,71216783216783
x3 = 3,12522144522145
46
Método de Jordan
Consiste em efetuar operações sobre as equações do sistema, com a finalidade de obter um sistema diagonal equivalente;
Um sistema diagonal é aquele em que os elementos aaijij da matriz coeficiente [A] são iguais a zero, para ii≠j≠j,
i, j = 1,2,...,n.
47
Método de Jordan
Sistema diagonal equivalente:
nn
33
22
11
a000
0a0000a0000a
]A[
nn
33
22
11
a000
0a0000a0000a
]A[
48
Método de Jordan
Exemplo 11:
A partir do sistema:
Com matriz aumentada:
4x2x3x22x3x2x5
1xx5x
321
321
321
4x2x3x22x3x2x5
1xx5x
321
321
321
4232
1151
2325
4232
2325
1151
Ab
49
Método de Jordan
Exemplo 11:
Substituindo a linha 2 por:
Substituindo a linha 3 por :
0,21/5
aa
m0,60,44,60L
,2325(1/5)1151LmLL
11
21212
12122
,
0,21/5
aa
m0,60,44,60L
,2325(1/5)1151LmLL
11
21212
12122
,
0,42/5
aa
m3,20,82,20L
2325(2/5)4232LmLL
11
31313
13133
,
0,42/5
aa
m3,20,82,20L
2325(2/5)4232LmLL
11
31313
13133
,
50
Método de Jordan
Exemplo 11:
A matriz ampliada resulta em:
Substituindo a linha 3 por:
3,20,82,200,60,44,602325
Ab
3,20,82,200,60,44,602325
Ab
8, 0,472,2/4,6
aa
m2,9130,60900L
0,60,44,60(2,2/4,6)3,20,82,20LmLL
22
32323
23233
51
Método de Jordan
Exemplo 11:
A matriz ampliada resulta em:
Substituindo a linha 2 por
913,2609,0006,04,06,40
1325Ab
913,2609,0006,04,06,40
1325Ab
1,31304,60L
2,9130,60900)(0,4/0,609
0,60,44,60LmLL
2
32322
52
Método de Jordan
Exemplo 11:
Matriz ampliada resulta em:
Substituindo a linha 1 por
913,2609,000313,106,401325
Ab
913,2609,000313,106,401325
Ab
2/4,6
aa
m,1,571305L
,1,31304,60(2/4,6)1325L
22
12121
1
53
Método de Jordan
Exemplo 11:
Substituindo a linha 1 por:
A matriz ampliada fica da seguinte forma:
3/0,609aa
m12,779005L
2,9130,60900(3/0.609)
1,571305L
33
13131
1
3/0,609aa
m12,779005L
2,9130,60900(3/0.609)
1,571305L
33
13131
1
2,9130.609001,31304,60
12,779005Ab
54
Método de Jordan
Exemplo 11:
E as soluções são:
xx11 =-2,556 , x =-2,556 , x22= -0,285, x= -0,285, x33=4,783=4,783
55
Decomposição em LU
O objetivo é fatorar a matriz dos coeficientes AA em um produto de duas matrizes LL e UU.
Seja:
nn
n333
n22322
n1131211
3n2n1n
3231
21
u000
uu00uuu0uuuu
1lll001ll001l0001
LU
nn
n333
n22322
n1131211
3n2n1n
3231
21
u000
uu00uuu0uuuu
1lll001ll001l0001
LU
56
Decomposição em LU
E a matriz coeficiente A:
Tem-se, então:
nn3n2n1n
n22221
n11211
aaaa
aaaaaa
A
nn3n2n1n
n22221
n11211
aaaa
aaaaaa
A
nn
n333
n22322
n1131211
3n2n1n
3231
21
nn3n2n1n
n22221
n11211
u000
uu00uuu0uuuu
1lll001ll001l0001
]LU[
aaaa
aaaaaa
A
57
Decomposição em LU
Para se obter os elementos da matriz LL e da matriz UU, deve-se calcular os elementos das linhas de UU e os elementos da colunas de LL como segue.
58
Decomposição em LU
1ª linha de U: Faze-se o produtoproduto da 11ªª linha de LL por todas todas as colunas de U U e a iguala com todos os elementos da 11ªª linha de AA, assim:
.n,...,2,1j,au,auau1
,auau1,auau1
j1j1
n1n1n1n1
12121212
11111111
.n,...,2,1j,au,auau1
,auau1,auau1
j1j1
n1n1n1n1
12121212
11111111
59
Decomposição em LU
1ª coluna de L: Faz-se o produto de todas as linhas de L, (da 2 2ªª a até a n nªª),), pela 1ª coluna de U e a iguala com os elementos da 1ª coluna de A, (abaixo da abaixo da diagonal principaldiagonal principal), obtendo ,
.n,...,2,1l,ua
l
,ua
laul
,ua
laul
,ua
laul
11
1l1l
11
1l1l1l111l
11
3131311131
11
2121211121
.n,...,2,1l,ua
l
,ua
laul
,ua
laul
,ua
laul
11
1l1l
11
1l1l1l111l
11
3131311131
11
2121211121
60
Decomposição em LU
2ª linha de U: Faz-se o produto da 2ª linha de L por todas as colunas de U, (da 22ªª até a n nªª), e igualando com os elementos da 2ª linha de A, (da diagonal da diagonal principal em dianteprincipal em diante), obtêm-se ,
.n,...,3j,ulau
,ulauauul
,ulauauul
,ulauauul
j121j2j2
n121n2n2n2n2n121
1321232323231321
1221222222221221
.n,...,3j,ulau
,ulauauul
,ulauauul
,ulauauul
j121j2j2
n121n2n2n2n2n121
1321232323231321
1221222222221221
61
Decomposição em LU
2ª coluna de L: Faz-se o produto de todas as linhas de L (da 3 3ªª até a n nªª) pela 2ª coluna de U e a iguala com os elementos da 2ª coluna de A, (abaixo abaixo da diagonal principalda diagonal principal), obtendo ,
.n,...,3l,u
ulal
,u
ulalaulul
,u
ulalaulul
,u
ulalaulul
22
121l2l2l
22
121l2l2l2l222l121l
22
124142424222421241
22
123132323222321231
.n,...,3l,u
ulal
,u
ulalaulul
,u
ulalaulul
,u
ulalaulul
22
121l2l2l
22
121l2l2l2l222l121l
22
124142424222421241
22
123132323222321231
62
Decomposição em LU
Temos a seguinte fórmula geral:
.jl,u/)ula(l
,jl,ulau
jjkjlkljlj
1l
1k
kjlkljlj
.jl,u/)ula(l
,jl,ulau
jjkjlkljlj
1l
1k
kjlkljlj
63
Decomposição em LU
Resumo de Passos:
Seja um sistema Ax = bAx = b de ordem nn, onde A satisfaz as condições da fatoração LU.
Então, o sistema Ax = bAx = b pode ser escrito como:
LUx = bLUx = b
64
Decomposição em LU
Resumo dos Passos:
Fazendo Ux = yUx = y, a equação acima reduz-se a Ly = bLy = b.
Resolvendo o sistema triangular inferior Ly = bLy = b, obtém-se o vetor yy.
65
Decomposição em LU
Resumo dos Passos:
Substituição do valor de yy no sistema Ux = yUx = y Obtenção de um sistema triangular superior cuja solução é o vetor xx procurado;
Aplicação da fatoração LU na resolução de sistemas lineares Necessidade de solução de dois sistemas triangulares
66
Erros - Avaliação de Erros
No sistema AAx = bx = b , no qual:
o erro da soluçãoerro da solução é x – x’x – x’ .
n
2
1
n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
b
bb
b
x
xx
x
aaa
aaaaaa
]A[
n
2
1
n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
b
bb
b
x
xx
x
aaa
aaaaaa
]A[
67
Procedimento de Determinação do Erro
Determinar:
AAx’ = b’x’ = b’
Erros - Avaliação de Erros
68
Erros – Resíduo
Procedimento de Determinação do Erro
Fazer:
Resíduo Resíduo = b – b’
Resíduo =Resíduo = b – b’ = Ax - Ax’ = A(x – x’) = AAerroerro
69
Erros – Resíduo
Verifica-se que:
O resíduo nãonão é o erro, apenasapenas uma estimativa do mesmo;
Quanto menormenor for o resíduo, menormenor será o erro.
70
Exemplo 12:
Refinar a solução do sistema:
Cuja solução encontrada através pelo método de Gauss, utilizando a solução retroativa é:
1,1918]´- 1,7121 [3,1252x (0) 1,1918]´- 1,7121 [3,1252x (0)
Erros – Resíduo
9,8x8,7x7,5x7,2
7,11x5,4x3,2x2,4
10x3,3x4,5x5,1
321
321
321
9,8x8,7x7,5x7,2
7,11x5,4x3,2x2,4
10x3,3x4,5x5,1
321
321
321
71
Exemplo 12:
O resíduo calculado é:
Vê-se pelo resíduo que a precisão alcançada não foi satisfatória.
O vetor xx(0)(0) é chamado de vetor vetor soluçãosolução.
0.0010
0.0006
0.0002
Axbr (0)(0)
0.0010
0.0006
0.0002
Axbr (0)(0)
Erros – Resíduo
72
Exemplo 12:
Com o intuito de melhorar a solução, considera-se um novo vetor xx(1)(1)
chamado de vetor solução vetor solução melhoradomelhorado.
Erros – Resíduo
73
Exemplo 12:
De forma que : xx(1) = (1) = xx(0) + (0) + δδ(0)(0), onde δδ(0)(0) é o vetor de correçãovetor de correção. Assim:
)0()0(
)0()0(
)0()0(
)0()0(
)1(
rAAxbA
bAAxb)x(A
bAx
)0()0(
)0()0(
)0()0(
)0()0(
)1(
rAAxbA
bAAxb)x(A
bAx
Erros – Resíduo
74
Exemplo 12:
Calcular o vetor de correção:
0,0010
0,0006
0,0002
δ
δ
δ
3
2
1
.9,88,77,57,27,115,43,22,4
103,34,55,1
0,0010
0,0006
0,0002
δ
δ
δ
3
2
1
.9,88,77,57,27,115,43,22,4
103,34,55,1
Erros – Resíduo
75
Exemplo 12:
A solução é:
0,0002
0,0001
0,0000(0)δ
0,0002
0,0001
0,0000(0)δ
Erros – Resíduo
76
Exemplo 12:
Desta forma, a solução melhorada será:
1920,17122,11252,3
δxx )0()0()1(
1920,17122,11252,3
δxx )0()0()1(
Erros – Resíduo
77
Exemplo 12:
Cujo novo resíduo é:
0,0000
0,0000
0,0000
Axbr (1)(1)
0,0000
0,0000
0,0000
Axbr (1)(1)
Erros – Resíduo
78
Exemplo 12:
Em exemplos onde o resíduo ainda não seja satisfeito pode-se utilizar o mesmo procedimento:
xx(2)(2)=x=x(1)(1)++δδ(1)(1)
Assim, o vetor correção δδ(1)(1), será calculado por A A δδ(1) (1) =r=r(1)(1).
Erros – Resíduo
79
Exemplo 12:
Acha-se assim, sempre uma solução melhorada e com resíduo tendendo a zero.
Erros – Resíduo
80
Sistemas Lineares - Bibliografia
Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computacionaiscomputacionais. MAKRON Books, 1996, 2. MAKRON Books, 1996, 2ªª ed. ed.
Asano, C. H. & Colli, E. Asano, C. H. & Colli, E. Cálculo Numérico: Cálculo Numérico: Fundamentos e AplicaçõesFundamentos e Aplicações. Departamento de . Departamento de
Matemática Aplicada – IME/USP, 2007.Matemática Aplicada – IME/USP, 2007.
Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Métodos Métodos NuméricosNuméricos. DI/UFPR, 2006.. DI/UFPR, 2006.
Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Propagação de Erros, Propagação de Erros, Notas de aulaNotas de aula, SE/ DM/ , SE/ DM/ IST IST [Online] [Online] http://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semeshttp://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semestre_1_2004-2005/PE_erros.pdftre_1_2004-2005/PE_erros.pdf [Último acesso [Último acesso 07 de Junho de 2007].07 de Junho de 2007].