ÍNDICECAPÍTULO 01 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
1.1- INTRODUÇÃO 03
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ÁLGEBRA LINEAR
PROF. CESÁRIO JOSÉ FERREIRA
Jan/2006
1.2 - SISTEMA ESCALONADO 031.3 - RESOLVENDO UM SISTEMA ESCALONADO NO EXCEL OU STARCALC 031.4 - SISTEMAS EQUIVALENTES 041.5 - ESCALONANDO UM SISTEMA NO EXCEL OU STARCALC 05EXERCÍCIOS 061.6 - SISTEMAS POSSÍVEIS E IMPOSSÍVEIS 061.7 - GRAU DE LIBERDADE 07EXERCÍCIOS 07
CAPÍTULO 02 – MATRIZES2.1 - INTRODUÇÃO 082.2 – LEI DE FORMAÇÃO 08EXERCÍCIOS 092.2 - ALGUNS TIPOS DE MATRIZES 09EXERCÍCIOS 092.3 - IGUALDADE DE MATRIZES 102.4 - OPERAÇÕES COM MATRIZES 102.5 - MULTIPLICANDO MATRIZES NO STARCALC E NO EXCEL 12EXERCÍCIOS 13
CAPÍTULO 03 – DETERMINANTES3.1 – PERMUTAÇÕES PARES E PERMUTAÇÕES ÍMPARES 153.2 – DETERMINANTE DE UMA MATRIZ 15EXERCÍCIOS 173.3 - MATRIZ COMPLEMENTAR E CO-FATOR 17EXERCÍCIOS 183.4 – ESCALONANDO UMA MATRIZ 19
CAPÍTULO 04 - INVERSÃO DE MATRIZES4.1 – DEFINIÇÃO 204.2 – INVERSA DE UMA MATRIZ DE ORDEM 2 X 2 20EXERCÍCIOS 204.3 - MATRIZ INVERSA NO STARCALC 204.4 - MATRIZ INVERSA NO EXCEL 214.5 – MATRIZ ADJUNTA 224.6 – ADJUNTA E INVERSA 234.7 – ALGUMAS PROPRIEDADES ENVOLVENDO A MATRIZ INVERSA 244.8 - RESOLVENDO EQUAÇÕES MATRICIAIS 244.9 – OUTRA FORMA DE DETERMINAR A INVERSA 25EXERCÍCIOS 264.10 - GRAFOS - UMA APLICAÇÃO DA ÁLGEBRA DAS MATRIZES 27
CAPÍTULO 05 – ESPAÇOS VETORIAIS5.1 – OPERAÇÕES E PROPRIEDADES 305.2 – DEFINIÇÃO DE ESPAÇO VETORIAL 30EXERCÍCIOS:- 305.3 - SUBESPAÇO VETORIAL 31EXERCÍCIOS: 325.4 – GERADORES DE UM ESPAÇO VETORIAL 32EXERCÍCIOS 335.5 – GERADORES DE Rn 33EXERCÍCIOS 345.6 – DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 345.7 – BASE E DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL 345.8 -PROPRIEDADES E CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO 345.9 – BASE CANÔNICA 35EXERCÍCIOS: 355.10 – MUDANÇA DE BASES 36EXERCÍCIOS:- 38
CAPÍTULO 06 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES6.1 – INTRODUÇÃO 39EXERCÍCIO: 396.2 – TRANSFORMAÇÃO LINEAR 39EXERCÍCIOS: 39 EXERCÍCIOS 406.3 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES 406.4 –TRANSFORMAÇÕES LINEARES NO PLANO E SUAS REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS 406.5 – OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES 42EXERCÍCIOS 44
CAPÍTULO 07 – OPERADORES LINEARES7.1 – INTRODUÇÃO 457.2 – NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 45EXERCÍCIOS: 467.3 - OPERADORES INVERSÍVEIS 46EXERCÍCIOS 467.4 - OPERADORES ORTOGONAIS 477.5 - OPERADORES SIMÉTRICOS 47EXERCÍCIOS: 47
CAPÍTULO 01 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
1.1 - INTRODUÇÃO 2
Uma equação da forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + .... + anxn = b1 onde cada ai é um número real e cada xi é uma variável é dita equação linear de primeiro grau, com n variáveis. Note que todas as variáveis apresentam expoente igual a 1 e não aparece produto de variáveis, por este motivo a equação é do primeiro grau.O número real b1 é chamado de termo independente.Um conjunto com n equações na forma anterior constitui um sistema de equações lineares.O conjunto abaixo a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a44x4 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = b3constitui um sistema formado por 3 equações lineares e 4 variáveis.Nesse sistema, cada aij é um coeficiente (número real), x1, x2, x3, x4 são as variáveis e b1, b2, b3 e b4 são os termos independentes. Um conjunto de números reais que satisfaça a todas as equações é uma solução do sistema. Assim, para, o sistema de variáveis x e y, x + y = 7 x - y = 1, (4, 3) é uma solução (no caso, solução única).Portanto, resolver um sistema, é encontrar um conjunto (x1, x2, ...xn), chamado n-upla ordenadas, que verifique as equações.Exercícios:1. Para cada um dos conjuntos (3, 2, -1), (-2, 1, 2) e (1, 1, -1), escritos na forma (x, y, z) verificar se são ou não soluções do sistema:2x + y + z = - 2; 3x - 4y + z = - 2; 6x + 3y - 2z = 11.2. Se (1, 2, -3) é solução do sistema:x - 2ay + 3z = 19; bx - 2y + 4z = 11; 2x + 4y - 3cz = 21, calcule os valores de a, b e c.
1.2 - SISTEMA ESCALONADO
Observe o sistema abaixo: 3x + 2y + 3z - w = 12 y + z + w = 9 2z - w = 2 2w = 8
Neste sistema, em cada equação o coeficiente da primeira variável da equação anterior é nulo. Isto é: a primeira variável da primeira equação é x. Seu coeficiente na segunda equação é nulo. Nesta, a primeira variável é y. Na terceira equação, o coeficiente de y é nulo. Isto se repete até a última equação. Um sistema como o acima tem forma denominada triangular ou escalonada. O sistema escalonado com n equações e n variáveis tem solução bastante simples. Tomando a última equação, obtém-se w = 4. Substituindo esse valor na equação anterior, 2z – 4 = 2 Þ z = 3. Substituindo os valores de w e z na segunda equação, y + 3 + 4 = 9 Þ y = 2 e finalmente, na primeira equação:3x + 2.2 + 3.3 – 4 = 12 Þ x = 1. Portanto, a solução do sistema é a quádrupla ordenada (1, 2, 3, 4).
1.3 - RESOLVENDO UM SISTEMA ESCALONADO NO EXCEL OU STARCALC
O processo de resolução de um sistema escalonado é um processo que permite uma seqüência lógica. Desta forma é possível criar um algoritmo para a resolução de tais sistemas. Você pode usar qualquer linguagem de computação e criar esse algoritmo. Iremos criar um algoritmo que pode ser usado no EXCEL ou no STARCALC, para um sistema de 10 equações e 10 variáveis. O algoritmo pode ser estendido para um maior número de equações bem como pode ser usado para um número menor de equações.Para ampliar o algoritmo basta acrescentar novas linhas acima da primeira linha acrescentando os coeficientes, o termo independente e a fórmula iterativa para calcular os valores das outras variáveis. Para usar o algoritmo com um número menor de equações, substitui-se as últimas linhas pelos coeficientes e termos independentes. Nas equações excedentes, preenche os coeficientes com 0 (zero) .A tabela abaixo mostra a montagem para resolver o sistema de 10 equações e 10 variáveis.
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Veja as fórmulas utilizadas nas células:
O14: =M14/K14 O13: =(M13-O14*K13)/J13 O12: =(M12-O14*K12-O13*J12)/I12 O11: =(M11-O14*K11-O13*J11-O12*I11)/H11 O10: =(M10-O14*K10-O13*J10-O12*I10-O11*H10)/G10 O9: =(M9-O14*K9-O13*J9-O12*I9-O11*H9-O10*G9)/F9 O8: =(M8-O14*K8-O13*J8-O12*I8-O11*H8-O10*G8-O9*F8)/E8 O7: =(M7-O14*K7-O13*J7-O12*I7-O11*H7-O10*G7-O9*F7 - O8*E7)/D7 O6: =(M6-O14*K6-O13*J6-O12*I6-O11*H6-O10*G6-O9*F6 - O8*E6 – O7*D6)/C6 O5: =(M5-O14*K5-O13*J5-O12*I5-O11*H5-O10*G5-O9*F5 - O8*E5 - O7*D5 – O6*C5)/B5
Ao utilizar o dispositivo para resolver um sistema diferente, basta substituir os valores dos coeficientes e dos termos independentes, que a solução do sistema será automática.Você pode criar um dispositivo semelhante ou baixar o arquivo trian.exe (veja no índice ao lado item 2a), descompactá-lo e abrir no Excel ou StarCalc. Se você tem instalado em seu computador o
EXERCÍCIOS:Resolva os sistemas:1. x - 3y = 2 e 2y = 6 2. x + y + z = 8 e 2y + z = 5 e 3z = 9 3. 3x + 2y + 4z - 5w + 2r - 3t = 21; y - z + 2w - r + 4t = 100; - 5z + 2w - 3r + t = 19; 7w - 2r - 3t = 91; r - t = 2; 5t = 10.
1.4 - SISTEMAS EQUIVALENTES
Dois sistemas são ditos equivalentes se admitirem as mesmas soluções. Por exemplo: os sistemas x + y = 7 2x + 2y = 14 x - y = 1 3x - 3y = 3 são equivalentes pois a solução de ambos é (4, 3).
Dado um sistema, para transformá-lo em outro equivalente, podemos: i) trocar a posição das equações ii) multiplicar uma equação por um número real diferente de zero iii) multiplicar uma equação por um número real, diferente de zero, e somá-la a outra equação que também pode estar ou não multiplicada por um número real. As transformações acima são chamadas de transformações lineares. Aplicando-as convenientemente é possível transformar um sistema para a forma escalonada.
Vejamos um exemplo aplicando as transformações a um sistema de modo a transformá-lo em escalonado.Seja o sistema: x + 2y - z = 11 2x - 3y + 2z = 9 x - y + z = 5 Eliminando o x da 2ª e 3ª equações - Multiplica-se a primeira equação por (-2) e soma-se à 2ª e por
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B19 = B9B20 = SE($B$10=0;B10;B10-B9*($B$10/$B$9))B21 = SE($B$11=0;B11;B11-B9*($B$11/$B$9))B22 = SE($B$12=0;B12;B12-B9*($B$12/$B$9))B23 = SE($B$13=0;B13;B13-B9*($B$13/$B$9))B24 = SE($B$14=0;B14;B14-B9*($B$14/$B$9))B25 = SE($B$15=0;B15;B15-B9*($B$15/$B$9))B26 = SE($B$16=0;B16;B16-B9*($B$16/$B$9))B29 = B19B30 = B20
B31 = SE($C$21=0;B21;B21-B20*($C$21/$C$20))B32 = SE($C$22=0;B22;B22-B20*($C$22/$C$20))B33 = SE($C$23=0;B23;B23-B20*($C$23/$C$20))B34 = SE($C$24=0;B24;B24-B20*($C$24/$C$20))B35 = SE($C$25=0;B25;B25-B20*($C$25/$C$20))B36 = SE($C$26=0;B26;B26-B20*($C$26/$C$20))B39 = B29B40 = B30B41 = B31
(-1) e soma-se à 3ª. x + 2y - z = 11 (observe que a primeira foi multiplicada apenas para somar às demais) - 7y + 4z = - 13 - 3y + 2z = - 6 Multiplicando a segunda por (-3) e somando à terceira multiplicada por 7, x + 2y - z = 11 - 7y + 4z = - 13 2z = -3. Desta forma foi obtida a forma escalonada para o sistema. A solução do mesmo é: z = -3/2; y = 1 e x = 15/2.
1.5 - ESCALONANDO UM SISTEMA NO EXCEL OU STARCALC
Utilizando os programas acima, pode-se criar um aplicativo para escalonar um sistemas. Damos abaixo uma seqüência de passos para inserir as fórmulas nas células para um sistema com 8 equações e 8 variáveis.Para utilizar a seqüência de passos, deve-se preencher o conjunto de células B9 a I16 com os coeficientes das variáveis (uma equação por linha) e as células K9 a k16 com os termos independentes. É importante que se observe a ordem das variáveis.A seqüência abaixo mostra como inserir as fórmulas na coluna B.
Após a inserção das fórmulas na coluna B, selecione as células dessa coluna e arraste para copiá-las para as colunas C, D, E, ... I, J, k.A seguir preencha as células M80 a M87 com as fórmulas M80 = (K80-M87*I80-M86*H80-M85*G80-M84*F80-M83*E80-M82*D80-M81*C80)/B80M81 = SE(C81=0;0;(K81-M87*I81-M86*H81-M85*G81-M84*F81-M83*E81-M82*D81)/C81)M82 = SE(D82=0;0;(K82-M87*I82-M86*H82-M85*G82-M84*F82-M83*E82)/D82)M83 = SE(E83=0;0;(K83-M87*I83-M86*H83-M85*G83-M84*F83)/E83)M84 = SE(F84=0;0;(K84-M87*I84-M86*H84-M85*G84)/F84)M85 = SE(G85=0;0;(K85-M87*I85-M86*H85)/G85)M86 = SE(H86=0;0;(K86-M87*I86)/H86)M87 = SE(I87=0;0;K87/I87)
EXERCÍCIOS1. Resolva os sistemas abaixo por escalonamento.a. x + y = 4 e x - y = 2 b. x + 2y + z = 3 e 3x - y - 3z = -1 e 2x + 3y + z = 4 c. x + 2y - 2z = 1 e 2x + 5y - z = 9 e x + 3y + 4z = 9. d. 3x + y - z + 2t + 4r + 3s = 16 x + 2y + 3z - t + 2r - 2s = -13 4x + 2y + z - t + 2r - s = - 4
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B42 = SE($D$32=0;B32;B32-B31*($D$32/$D$31))B43 = SE($D$33=0;B33;B33-B31*($D$33/$D$31))B44 = SE($D$34=0;B34;B34-B31*($D$34/$D$31))B45 = SE($D$35=0;B35;B35-B31*($D$35/$D$31))B46 = SE($D$36=0;B36;B36-B31*($D$36/$D$31))B50 = B39B51 = B40B52 = B41B53 = B42
B54 = SE($E$43=0;B43;B43-B42*($E$43/$E$42))B55 = SE($E$44=0;B44;B44-B42*($E$44/$E$42))B56 = SE($E$45=0;B45;B45-B42*($E$45/$E$42))B57 = SE($E$46=0;B46;B46-B42*($E$46/$E$42))B60 = B60B61 = B61B62 = B62B63 = B63B64 = B64
B65 = SE($F$55=0;B55;B55 - B54*($F$55/$F$54))B66 = SE($F$56=0;B56;B56 - B54*($F$56/$F$54))B67 = SE($F$57=0;B57;B57 - B54*($F$57/$F$54))B70 = B70B71 = B71B72 = B72B73 = B73B74 = B74B75 = B75
B76 = SE($G$66=0;B66;B66-B65*($G$66/$G$65))B77 = SE($G$67=0;B67;B67-B66*($G$67/$G$66))B80 = B70B81 = B71B82 = B72B83 = B73B84 = B74B85 = B75B86 = B76 B87 = SE($H$77=0;B77;B77-B76*($H$77/$H$76))
1 2
34
5 6
x + 2y - z + 2t - 2r + 4s = 32 5x + y + 9z + 10t - 3r + 7s = 62 6x + 6y - 5z + t + 3r + 5s = 402 - A figura mostra uma pesquisa de tráfego em cruzamentos de uma cidade. As setas indicam os sentidos dos fluxos e os números representam a quantidade de carros que passam pela rua. Determine a quantidade de carros nos trechos representados pelas letras x, y, z e w.
3 - Determine os valores das correntes i1, i2 e i3 indicadas no circuito ao abaixo. 4 - A tabela mostra as compras realizadas por 4 pessoas em um mercadinho.
Na tabela não está anotada a compra feita por Pedro Álvares Cabral. Sabe-se, entretanto, que o mesmo comprou 5 mamões, 12 maçãs, 10 peras e 5 abacaxis. Calcule então, quanto Pedro Álvares Cabral gastou em suas compras.
1.6 - SISTEMAS POSSÍVEIS E IMPOSSÍVEIS
Vamos analisar os três sistemas abaixo: S1. x + y = 10 S2. x + y = 10 S3. x + y = 10 x - y = 2 2x + 2y = 20 2x + 2y = 15
No sistema S1 a única solução é o par (6, 4). Esta solução também serve para o sistema S2. Porém, em S2, outras soluções são válidas, tais como (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4,5; 5,5). Na realidade, S2 admite infinitas soluções. Já, no sistema S3, qualquer solução para a primeira equação não será válida para a segunda pois 2x + 2y é exatamente o dobro de x + y. Como x + y = 10, 2x + 2y somente poderia ser igual a 20.
Definição: um sistema que admite solução é denominado sistema POSSÍVEL. Se a solução é única dizemos que o mesmo é um sistema POSSÍVEL DETERMINADO (S1). Quando o sistema admite infinitas soluções ele é dito POSSÍVEL INDETERMINADO (S2). No caso de não ser admitida nenhuma solução o sistema é denominado sistema IMPOSSÍVEL (S3). Escalonando os três sistemas, obtemos:
S1 (multiplicando a primeira equação por -1 e somando à segunda) x + y = 10 -2y = -8 S2 (multiplicando a primeira equação por -2 e somando à segunda) x + y = 10 0x + 0y = 0. Esta segunda equação não tem nenhuma validade para a resolução do sistema pois é verdadeira para qualquer valor de x e y . Portanto, ela pode ser eliminada do sistema. O sistema é então reduzido a uma única equação: x + y = 10. S3 (multiplicando a primeira equação por -2 e somando à segunda)
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Para item 3
Para item 2
x + y = 10 0x + 0y = -5. O que não é possível. A partir dos exemplos anteriores, podemos concluir que, escalonado um sistema: i) As equações transformadas do tipo 0x + 0y + 0z + ... = 0 podem ser eliminadas. ii) Se alguma equação transformada resultar em 0x + 0y + 0z + ... = b (b diferente de zero), o sistema será impossível. iii) Se não ocorrer o caso (ii) e eliminadas as equações do tipo descrito em (i), restarem n equações e n variáveis, o sistema terá solução única. iv) se restarem n equações com m variáveis, tais que n < m (nº de equações menor que o nº de variáveis), o sistema será possível indeterminado. Para um sistema indeterminado com n equações e m variáveis, toma-se m - n variáveis como secundárias e determina-se as demais variáveis (variáveis principais) em função das variáveis secundárias. Para isso deixam-se apenas as variáveis no primeiro membro das equações e resolve-se o sistema como se as demais fizessem parte do termo independente.
1.7 - GRAU DE LIBERDADE
Em um sistema indeterminado (m equações e n variáveis), para se obter uma solução particular pode-se atribuir valores arbitrários a (n - m) variáveis. Desta forma o sistema se reduzirá a m equações e m variáveis, cuja solução poderá ser determinada. À diferença n - m chamamos de grau de liberdade do sistema.Tomando, por exemplo, o sistema abaixo, que é indeterminado:x + 2y - z = 3x - y + 2z = 5, e resolvendo em função de z, teremos:x + 2y = 3 + zx - y = 5 - 2z. Somando as duas equações, tira-se y = 8 - z que substituído na segunda equação forneceráx - 8 + z = 5 - 2z Þ x = 13 - 3z.Para obter uma solução particular, escolhendo arbitrariamente z = 1, resulta: x = 13 - 3 = 10 e y = 8 - 1 = 7. Como este sistema tem três variáveis (x, y, z) e duas equações, o grau de liberdade é 3 -2 = 1 Þ pode-se escolher um valor arbitrário para uma das equações. EXERCÍCIOS1 - Escalone os sistemas. Informe se os sistemas são determinados, indeterminados ou impossíveis. Justifique suas respostas. Se determinado, resolva-os, se indeterminado escolha as variáveis principais e resolva-os em função das variáveis secundárias. ( a ) x - 2y = 3 e 2x - y = 9 ( b ) x - 3y = 5 e -4x + 6y = 8 ( c ) x + y = 2 e 2x + 3y = 5 e 3x - 2y = 1 ( d ) x + y = 2 e 2x + 3y = 5 e 3x - 2y = 3 ( e ) x + y + z + w = 0 e 2x + 3y - z - w = 2 e 3x + 2y + z + w = 5 e 3x + 6y - z - w = 4 ( f ) -x + 2y - z = 2 e -2x + 2y - z = 4 e 3x + 2y + 2z = 5 e -3x + 8y + 5x = 17
2 - Para que valores de "a" o sistema x + 2y = z = 1 e -x + 4y + 3z = 2 e 2x - 2y + az = 3 tem: ( a ) solução única ( b ) infinitas soluções
3 - Para que valores de "a" e "b" o sistema x + y + 3z = 2 e x + 2y + 4z = 3 e x + 3y + az = b , ( a ) tem uma infinidade de soluções? ( b ) é impossível? CAPÍTULO 02 – MATRIZES
2.1 - INTRODUÇÃO
Suponha que uma firma tenha produzido, durante os meses de janeiro, fevereiro e março as seguintes quantidades: arroz, 30 ton, 20 ton, 43 ton; feijão, 10 ton, 60 ton, 15 ton; soja, 10 ton, 15 ton, 12 ton e de café, 6 ton, 14 ton e 18 ton. Uma forma de apresentar estes dados é colocá-los distribuídos em linhas e colunas conforme indicado abaixo:
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Esta representação em forma de linhas e colunas é chamada de representação matricial, onde cada horizontal é uma linha e cada vertical uma coluna. Convenciona-se identificar cada linha e cada coluna por um número: assim, a primeira linha é 30, 20, 43, a segunda, 10, 60, 15, e assim sucessivamente. As colunas são numeradas a partir da esquerda. 30, 10, 10, 6 é a primeira coluna; 20, 60, 15, 14 a segunda e assim por diante.Com essa indicação, a matriz do exemplo é uma matriz com 4 linhas e 3 colunas, ou seja a matriz indicada tem forma 4 x 3, onde 4 x 3 identifica sua ordem.
Definição 1 - A ordem de uma matriz é indicada por m x n onde m é o número de linhas e n o número de colunas. Definição 2 - Indica-se A = [aij]mxn uma matriz A de ordem m x n cujos elementos são representados por aij onde i é o número da linha e j o número da coluna onde o mesmo está posicionado.
Tomando por exemplo os elementos 43 e 14 da matriz anterior, teremos as indicações a13 = 43 a a42 = 14.
2.2 – LEI DE FORMAÇÃO
Algumas matrizes podem ter seus elementos definidos em função da posição ocupada pelo mesmo na matriz. Esta formação da matriz, a partir da localização dos elementos, tem importância em programação.A lei de formação em geral é dada sob forma de uma função aij = f(i, j) onde i é o número da linha e j o número da coluna.Assim, por exemplo, para construir a matriz A = [aij]3x2, tal que aij = 3i – 2j teremos:a11 = 3.1 – 2.1 = 1; a12 = 3.1 – 2.2 = - 1;a21 = 3.2 – 2.1 = 4; a22 = 3.2 – 2.2 = 2;a31 = 3.3 – 2.1 = 7; a32 = 3.3 – 2.2 = 5
EXERCÍCIOS01 - Considerando a matriz do abaixo RESPONDA:
(a) Qual é a ordem da matriz A?(b) Quais são os elementos da terceira linha?(c) Quais são os elementos da quarta coluna?(d) Qual é o valor de 2a32 + 5a43 - 7a35?
02 - Escreva a matriz C = [cij]3x4, tal que cij = 7 + 2i - 3j , se i > j e cij = i + j se i < j.
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2.2 - ALGUNS TIPOS DE MATRIZES As matrizes apresentadas na figura apresentam algumas características especiais que serão descritas a seguir.
2.2.1 - Matriz quadrada As matrizes que apresentam o número de colunas igual ao número de linhas é chamada da matriz quadrada. Para uma matriz M quadrada com duas colunas e duas linhas, sua ordem pode ser indicada apenas pelo número de linhas ou de colunas. Isto é: tal matriz é uma matriz quadrada de ordem 2 que se escreve com M2.Nas matrizes quadradas os elementos aij tais que i = j (ou seja a11, a22, a33,...) constituem a diagonal principal. A outra diagonal é denominada diagonal secundária. Se n é a ordem de uma matriz quadrada, a diagonal secundária será formada pelo elementos aij tais que i + j = n + 1.Todas as matrizes A, B, C e D são matrizes quadradas.
2.2.2 - Matriz identidade São matrizes quadradas cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os demais elementos são nulos. Indicando por In a matriz identidade de ordem n, teremos aij = 1 para i = j e aij = 0 para i ¹ j. Na figura acima, a matriz B é uma matriz identidade de ordem 3.
2.2.3 - Matriz transposta Seja A = [aij]mxn uma matriz. Define-se a transposta da matriz A, que se indica AT, como sendo a matriz AT = [bij]nxm tal que bij = aji. Ou seja, a transposta de uma matriz é a matriz obtida quando cada uma das linhas k são transformadas em coluna k.Observe as matrizes A e D da figura. As linhas de A são iguais às colunas de D. Deste modo AT = D e DT = A
2.2.4 - Matriz simétrica Uma matriz A é dita simétrica se A = AT. Observe na figura acima a matriz C. Esta é uma matriz simétrica. De acordo com a definição, os elementos abaixo da diagonal principal são simétricos ao elementos acima da diagonal principal em relação à diagonal.
EXERCÍCIOS
01 - Escreva uma matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = 2i + j.02 - Escreva a matriz transposta da matriz obtida no exercício anterior.03 - Verifique se a matriz anterior é ou não simétrica.04 - Escreva as matrizes identidades de ordem 2 e ordem 4.
05 - Para que valores de x e y a matriz acima é simétrica?06 – Considere a matriz A acima. Calcule: Determine a) AT b) (AT)T . Do item (b), que conclusão se pode tirar?
2.3 - IGUALDADE DE MATRIZES
Sejam A = [aij]mxn e B = [bij]pxq duas matrizes. Define-se: A = B se, e somente se, mxn = pxq e aij = bij, para todo i, j.
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Isto é: duas matrizes são iguais quando têm a mesma ordem e quando os elementos de uma forem iguais aos elementos da outra, observadas suas posições.
Determinar os valores de x, y e z.De acordo com a definição da igualdade, teremos: (1) 2x = 3 Þ x = 2/3(2) x + y = 4 Þ 2/3 + y = 4 Þy = 10/3 e (3) z - 3 = 2 Þ z = 5. Portanto: x = 2/3, y = 10/3 e z = 5.
2.4 - OPERAÇÕES COM MATRIZES
Neste item iremos estudar três operações com matrizes: adição, multiplicação de matrizes por escalar e multiplicação de matriz por matriz.Sejam então as matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]pxq e r um escalar (nº real).
2.4.1 - Adição
Duas matrizes são conformes para a adição se e somente se apresentarem a mesma ordem. Nesta condição, define-se para A = [aij]mxn e B = [bij]mxn, A + B = C = [cij]mxn, tal que cij = aij + bij.
De acordo com a definição, ao somar duas matrizes de mesma ordem, cada elemento da matriz soma é igual à soma dos elementos de mesma posição das matrizes a serem somadas.Exemplo
A adição goza das propriedades: comutativa, associativa, elemento neutro e simétrico. Demonstrando a comutatividade temos:Sejam A = [aij] e B = [bij] duas matrizes de mesma ordem. Teremos: A + B = [aij + bij] = [bij + aij] (comutatividade de nº reais) = B + A. Deixamos a cargo do leitor a demonstração da associatividade.Como relação ao elemento neutro temos a matriz nula N = [nij], tal que nij = 0 para todo i, j.A matriz simétrica de A = [aij], simbolizada por -A = [a'ij] é tal que a'ij = -aij
2.4.2 - Multiplicação por um escalar
O produto r.A, sendo A = [aij]mxn é definido como sendo a matriz rA, tal que rA = [raij]mxn.
Isto é: o produto é uma matriz cujos elementos são multiplicados pelo escalar.
Deixaremos como exercício a demonstração das propriedades abaixo que são válidas para o produto de matrizes por escalar.(1) rA = Ar; (2) r(sA) = (rs)A (3) r(A + B) = rA + rB(4) A(r + s) = Ar + As (5) 1.A = A e -1.A = -A.
2.4.3 - Multiplicação de matrizes
Consideremos as matrizes abaixo, a primeira representando o "custo para produção de três produtos" e a segunda representando a "quantidade produzidas nos meses de janeiro a maio".
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Se desejarmos calcular os gastos com matéria prima no mês de janeiro teremos: 2,00x300 + 1,50x400 + 3,00x200 = 1800,00.Os gastos com manutenção no mês de março foram: 1,50 x200 + 2,00x800 + 1,50x350 = 2.350,00.De maneira semelhante poderíamos determinar o custo em cada mês com cada uma das despesas. Isto é sempre feito multiplicando os elementos de uma linha da primeira matriz pelos elementos de uma coluna da segunda matriz e somando os produtos.
Este procedimento corresponde à multiplicação da primeira pela segunda matriz. Completando a matriz produto, que corresponde ao "custo de produção por mês" teremos:
É importante observar que para ser possível o produto é condição necessária que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. Com base no exposta acima, definimos: Sejam A = [aij]mxn e B = [bij]pxq duas matrizes, tais que n = p. Define-se o produto A x B como sendo uma matriz C = [cij]mxq (nº de linhas da 1ª e nº de colunas da 2ª) onde cada cij é formado pela soma dos elementos da linha i da matriz A multiplicados pelos elementos da coluna j da matriz B, isto é,
2.5 - MULTIPLICANDO MATRIZES NO STARCALC E NO EXCEL
2.5.1 - STARCALC Para se multiplicar matrizes no STARCALC,(1) - Selecione uma célula qualquer de modo que o produto não sobreponha às matrizes a serem multiplicadas.(2) - Clique no botão - Função AutoPiloto. Ao abrir a janela Função AutoPiloto, no campo Categoria, use a seta para baixo e clique na opção Matriz.
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(3) - No campo funções, aplique um clique duplo na opção MATRIZ.MULT.
(4) - No campo direito, clique na seta à frente do campo Matriz 1. Ao minimizar a tela, selecione a primeira matriz e pressione a tecla ENTER.(5) - Ao exibir novamente a tela, clique na seta à frente do campo Matriz 2. (6) - Ao minimizar a tela, selecione a segunda matriz. Pressione a tecla ENTER duas vezes. A matriz produto será exibida a partir da célula selecionada no item (1).
2.5.2 - EXCEL No Excel, pode-se multiplicar elemento por elemento ou efetuar a multiplicação integral. Deve-se, inicialmente, observar que: multiplicar uma matriz A = [aij]mxn por outra B = [bij]nxp, teremos uma matriz C = [cij]mxp, onde cada cij é igual à soma dos produtos dos elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B.
Seja, por exemplo, efetuar a multiplicação A X B, tais que
sendo que A ocupa as células B3 a C5 e B ocupa as células F4 a G5.Como A tem ordem 3 x 2 e B tem ordem 2 x 2, o produto será uma matriz C de ordem 3 x 2.Selecionando a célula C7 (pode ser qualquer outra em o produto não irá sobrepor à células ocupadas por elementos de A ou de B), digitamos nessa célula =MATRIZ.MULT( . ( ponto não é para ser digitado)A seguir arrasta o mouse com o botão esquerdo pressionado sobre as células ocupadas pela linha 1 da matriz A.Na célula C7 será exibido =MATRIZ.MULT(B3:C3.Á frente da C3 digite ; e arraste o mouse, com o botão esquerdo pressionado, pelas células da coluna 1 de B.Será então exibido na célula C7 =MATRIZ.MULT(B3:C3;F4:F5. Feche o parênteses e pressione a tecla ENTER para obter a fórmula = MATRIZ.MULT(B3:C3;F4:F5) e em seguida o resultado que é igual a, no caso, 17.Repita o procedimento para cada um dos demais elementos do produto. O resultado final será então:
2.5.3 - MULTIPLICAÇÃO DIRETA NO EXCEL
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Para obter o produto direto, basta seguir os passos abaixo:1º. Seleciona-se a área do resultado observando a ordem da matriz produto.2º. Usando a barra de ferramentas, vamos na tecla ƒx.3º. Será exibido o quadro “Colar função”.4º. Em “Categoria da função” escolhe-se “Matemática e trigonométrica”;5º. Em “Nome da função” escolhe-se MATRIZ.MULT;6º. Clica-se no botão OK7º. Uma janela contendo os campos Matriz 1 e Matriz 2 conforme figura abaixo será aberta.
7º. Clica-se na seta em vermelho do campo Matriz 1 para minimizar a janela e seleciona-se a primeira matriz.8º. Na janela minimizada, clica-se na seta em vermelho para retornar à janela anterior.9º. Repete-se o processo para a Matriz 2.7º. Após a indicação das matrizes, seleciona-se OK.8º. Fechada a janela, Tecla-se F2;9º. A seguir, aperta-se simultaneamente Ctrl+Shift+Enter. (manter as três teclas pressionadas) O produto será exibido na área selecionada.Deve-se ter o cuidado de selecionar a área correta.
EXERCÍCIOS
01 - Complete a multiplicação das matrizes "custo para produção de três produtos" e "quantidade produzidas nos meses de janeiro a maio".
02 - Considere as matrizes
Determine: a) A + BT b) 3A c) (AT)T d) A x B e) (AxB)T f) BTxAT. g) Por que razão não é possível efetuar A + B e B x A? h) Que conclusão se pode tirar dos resultados obtidos nos itens e e f?
03 - Sabe-se que o produto Amxp . Bqxn é possível. Que relação existe em p e q? Qual será a ordem da matriz A. B?
04 - Existe ou não as operações A + B, A.B, B.A , B.AT e A.BT, onde A e B são as matrizes do item 2? Justifique suas respostas.
05 - Uma matriz A2x3 foi multiplicada por outra matriz Bmxn, resultando numa matriz Cpx5. Qual é a ordem da matriz B? Qual é o valor de p?
06 - Considere as matrizes
a) Determine os valores de x, y, w e t se 2A + 3B = Cb) Determine a matriz D tal que 2.(3A + D) = 3.(2B - A).c) Calcule 5.A.B.I onde I é a matriz identidade de ordem 2.d) Calcule a matriz M tal que M.A = I onde I é a matriz identidade de ordem 2.
07 – Seja A = [aij]5x7 tal que aij = 5 + 2i – 3j se i = j e aij = 2 – 3i + 4j se i ¹ j B = [bij]7x6 tal que aij = 3i – 2j se i > j e aij = 2i – 3j se i < j.
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a) Determine os elementos c42 da matriz C tal que C = A x B.b) Determine a soma dos elementos da terceira coluna da matriz C se C = A + B.c) Qual é a ordem da matriz C se C = A x B?d) É possível o produto B x A? Justifique.
Calcule: a) A2 b) A3 c) A4 d) B2 e) AB f) BA g) 2AB h) 2BA i) (A + B)2 j) A2 + 2AB + B2 k) A2 + AB + BA + B2 Observando os itens i, j e k, que conclusões você pode tirar?
10 – Usando as mesmas matrizes do exercício anterior verifique a validade ou não das igualdadesa) (AB)T = AT.BT b) (AB)T = BT.AT c) 2.(AB) = A.(2B)
11 – Usando as matrizes
Verifique as propriedades:a) (A + B) + C = A + (B + C)b) A + B = B + Ac) A . (B + C) = A . B + A . Cd) 2.(A + B) = 2.A + 2.Be) A . B ¹ B . Af) A . B = BT . AT
CAPÍTULO 03 – DETERMINANTES
3.1 – PERMUTAÇÕES PARES E PERMUTAÇÕES ÍMPARES
Consideremos o conjunto formado pelos elementos {A, B, C, D}. Define-se uma permutação desses elementos qualquer agrupamento formado por todos eles. Da análise combinatória, o número permutações de m elementos é determinado por Pm = m! = m.(m – 1).(m – 2).....3.2.1.Cada troca da posição de dois elementos em relação à ordem natural ABCD é chamada de inversão. Tomando por exemplo o agrupamento BACD terá uma inversão que é B com A. De acordo com a quantidade de inversões o agrupamento é denominada permutação par se ocorrer um número para de inversões e é denominada permutação ímpar se o número de inversões for ímpar.
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No agrupamento CDABE, temos 4 inversões: A com C, A com D, B com C e B com D. Assim, o agrupamento CDABE é uma permutação par, enquanto que, no agrupamento BEDCA temos 7 inversões: A com B, A com C, A com D, A com E, C com D, C com E e D com E. BEDCA é uma permutação ímpar.
Pode-se também contar o número de permutações pelo número de "pulos" que cada elemento deve dar para voltar ao seu lugar original. Por exemplo: para que as letras de CADB se posicionem na ordem natural ABCD,(1) a letra A deve dar um "pulo" sobre C e teremos ACDB.(2) a letra B para retornar ao seu lugar deve "pular" C e D, ou seja, dois pulos.São então, necessários, 1 + 2 = 3 "pulos", o que implica em ACDB ser uma permutação ímpar.
Se considerarmos todas as permutações possíveis, o número total de permutações pares é igual ao número total de permutações ímpares.
3.2 – DETERMINANTE DE UMA MATRIZ
A cada matriz A = [aij], quadrada de ordem n, pode-se associar um número simbolizado por det(A) tal que
i1i2i3...in são as permutações pares e j1j2j3...jn são as permutações ímpares de 1, 2, 3, ... , n.
3.2.1 - Determinante de Matriz 2 x 2
As permutações de 1 e 2 são 12 e 21. Em 12 não há nenhuma inversão ou tem 0 inversões. Portanto 12 é uma permutação par. Em 21 tem 1 inversão. É uma inversão ímpar. Assim, det(A) = a11.a22 - a12.a21. Observe os índices para as linhas permanecem na ordem 12 e os que indicam as colunas nos produtos são as permutações de 12.Em resumo, o determinante de uma matriz 2X2 é igual ao produto dos elementos da diagonal principal (a11.a22) menos o produto dos elementos da diagonal secundária (a12.a21).Desta forma: det(A) = a11.a22 - a12.a21
Temos: det(M) = 6.3 – (-4).5 = 18 + 20 = 28.
3.2.2 - Determinante de Matriz 3 x 3
As permutações de 123 são: 123, 132, 213, 231, 312 e 321. Em 123 temos 0 permutações; em 132, 1 permutação; em 213, 1 permutação, em 231, 2 permutações, 312, 2 permutações e 321 3 permutações. Desta forma, 123, 231 e 312 são permutações pares e 132, 213 e 321 são permutações ímpares. Aplicando a definição, temos: det(A) = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) - (a11a23a32 + a12a21a33 + a13a22a31).
Para calcular o determinante de uma matriz 3 x 3 pode-se usar um processo prático que consiste em repetir à direita da matriz os elementos da 1ª e 2ª coluna. A seguir efetua as operações indicadas na figura.
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Teremos então: det (A) = S1 – S2.Exemplo: para a matriz:
, teremos:
Aplicar a definição para matrizes de ordem superior a 3 é extremamente cansativo pois, o número de permutações de n elementos é igual a n!. Assim, para matrizes de ordem 4, teremos 4! = 24 produtos, de ordem 5 teremos 5! = 120 produtos. Entretanto, existem procedimentos mais simples e menos cansativos para se obter um determinante de ordem superior. Estes procedimentos serão estudados em itens posteriores.
EXERCÍCIOS 1. Calcule o determinante das seguintes matrizes
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3.2.3 - CALCULANDO DETERMINANTES NO EXCEL E NO STARCAL
O processo de calcular o determinante de uma matriz nos dois aplicativos é bastante simples.
No Excel: (1) Digita-se a matriz.(2) Clica-se em uma célula fora da matriz. e digita a fórmula =MATRIZ.DETERM((3) Seleciona-se então a matriz. Será exibido na célula algo como =MATRIZ.DETERM(D6:F8(4) Completa a fórmula fechando o parênteses o que irá resultar em =MATRIZ.DETERM(D6:F8)(5) Pressiona-se a tecla ENTER. O determinante será exibido na célula onde foi digitada a fórmula.
No StarCalc:(1) Digite a matriz. (2) Clique em uma célula fora do espaço ocupado pela matriz dada.(3) Clique no botão .Função AutoPiloto. Ao abrir a janela Função AutoPiloto, no campo Categoria, use a seta para baixo e clique na opção Matriz.(4) No campo funções, aplique um clique duplo na opção MATRIZ.DETERM.(5) - No campo direito, clique na seta à frente do campo Matriz . Ao minimizar a tela, selecione a matriz e pressione a tecla ENTER.(5) - Pressione a tecla ENTER duas vezes. O determinante será exibido na célula selecionada no item (1).
3.3 - MATRIZ COMPLEMENTAR E CO-FATOR
Seja A = [aij], uma matriz quadrada de ordem n. Define-se:
(1) - Matriz complementar de um elemento aij de A, é a matriz indicada Aij, obtida quando se elimina a linha i e a coluna j da matriz A.
(2) - Co-fator ou complemento algébrico do elemento aij, que se indica por aij, calculado por: ai
j = (-1)i+j.det(Aij)
Estes dois conceitos são de extrema importância quando se deseja calcular o determinante de uma matriz, principalmente se a mesma for de ordem superior a 3. Exemplos: Seja a matriz A, tal que A =
A matriz A23, que representa a matriz complementar do elemento a23 é A23 tal que:
Para o co-fator ou complemento algébrico do elemento a23, temos: a23 = (-1)2+3.det(A23) = (-1)(3.4 – 5.2) = (-1)(12 – 10) = -2
Exercício: Para a matriz A, acima, determine a21.a21 + a22a22 + a23.a23 .Calcule o determinante da matriz A e compare o resultado com o valor da expressão acima.
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P1 - Seja A = [aij] uma matriz quadrada de ordem n. Tem-se:
Ou seja, o determinante de uma matriz é igual à soma dos elementos de uma fila (linha ou coluna) multiplicados pelos respectivos co-fatores. (Esta propriedade é conhecida como Teorema de Laplace).P2 - A soma dos elementos de uma fila multiplicados pelos co-fatores dos elementos de outra fila paralela é nula. P3 - É nulo o determinante de uma matriz. i) que apresente uma fila onde todos os elementos são nulos; ii) que tenha duas filas paralelas iguais ou proporcionais; iii) onde uma fila é igual à combinação linear de outras filas paralelas.P4 - Multiplicando uma fila de uma matriz por um fator "k", o determinante dessa matriz também ficará multiplicado por esse fator "k".Conseqüência: ao multiplicar uma matriz de ordem n por um fator "k", o determinante ficará multiplicado por kn.P5 - O determinante de uma matriz não modifica se substituirmos uma fila pela combinação linear dessa fila com outras filas paralelas. Esta propriedade é útil para transformar elementos de uma fila em zero e assim reduzir o cálculo do determinante aplicando a propriedade P1.P6 - Permutando duas filas vizinhas paralelas, o determinante fica multiplicado por (-1)P7 - Det(A.B) = det(A) . det(B)P8 - Det(At) = Det(A), onde At é a transposta de A.
EXERCÍCIOS1 - Usando a propriedade P1,calcule os determinantes das matrizes:
2- Aplicando as propriedades dos determinantes, calcule os determinantes das matrizes:
3 - Crie duas matrizes quadradas de ordem 2x2 e verifique se as igualdades a seguir são falsas ou verdadeiras. a) det(A + B) = det(A) + det(B) b) det(AB) = det(BA) c) det(A) = det(AT)
4 - Mostre que o determinante de uma matriz A = [aij] é igual a a11a22a33...ann se aij = 0 quando i > j.
5 – Calcule o determinante da matriz
7 - Qual é o valor do determinante da matriz identidade?
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3.4 – ESCALONANDO UMA MATRIZ
Quando uma matriz quadrada A = [aij] é tal que aij = 0 para todo ij<0 (ou para todo ij>0) o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Tal matriz é chamada de matriz triangular.Por exemplo:
Aplicando Laplace na 1ª coluna, teremos
3.(-1)1 + 1.det + 0.a12 + 0.a13 = 3.(7.1 - 3.0) = 3.7.1 = 21.
Para matrizes de ordem superior a três é aconselhável transformá-la em uma matriz triangular e então calcular o determinante pelo produto dos elementos da diagonal principal. Para tornar uma matriz triangular podemos usar o processo de Gauss que consiste em zerar os elementos abaixo da diagonal principal. Usaremos os símbolo A(n) e aij(n) para indicar a matriz A e o elemento aij após aplicada a n-ésima transformação. A matriz original e o elemento original serão indicados, respectivamente, por A(0) e aij(0).Para zerar os elementos ai1, i> ,1 da primeira coluna, subtraímos os elementos da linha i pelos elementos da linha 1 multiplicados por mi1, tal que mi1 = ai1(0)/a11(0). Se algum ai1 = 0 sua linha é mantida.Para zerar os elementos ai2(1), i > 2 da segunda coluna, subtraímos os elementos da linha i dos elementos da linha i2(1) (i > 2) multiplicados por m12 = ai2(1)/a22(1). Se algum ai2 = 0 sua linha é mantida.O processo é continuado até atingir a linha n.No Excel ou no StarCalc pode ser criado um algoritmo que permite automatizar o processo.O procedimento para criar o algoritmo é semelhante ao procedimento para escalonar um No site meumundo.web.pt e no CDRoom, disponibilizamos, nas versões xls e htm, o aplicativo já construído.
Exercício: Calcular o determinante das matrizes abaixo
CAPÍTULO 04 - INVERSÃO DE MATRIZES
4.1 – DEFINIÇÃO
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Defini-se a inversa da matriz A, que se indica por A-1, à matriz de ordem n, tal que A-1 . A = A . A-1 = In, onde In é a matriz identidade de ordem n.
4.2 – INVERSA DE UMA MATRIZ DE ORDEM 2 X 2
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Resolvendo os sistemas serão obtidos os valores de x, y, z e w, e em conseqüência a matriz inversa.Para resolver o sistema 1, multipliquemos a 1ª equação por d e somemos à 2ª multiplicada por - c. Isto elimina a variável y.Obtemos então (ad – bc)x = d è x = d/(ad – bc) .Para eliminar a variável x, multiplicamos a 1ª equação por – b e a segunda por a. Somando as equações, teremos: (ad – bc)y = -b è y = -b/(ad – bc).Por procedimento semelhante, obtém-se: z = -c/(ad – bc) e w = a/(ad – bc).
Observe que (ad – bc) é o determinante da matriz A. Note ainda que na formação da inversa, os elementos da diagonal principal foram trocados de posição e na diagonal secundária trocou-se o sinal dos elementos.
EXERCÍCIOS1 - Calcule as inversas das matrizes abaixo:
3 - Calcule a inversa da matriz 2A - 3B + 4C, sendo A, B e C as matrizes do exercício 1.
4 - Considerando as matrizes A, B e C do exercício 1, determine: (a) (A.B)-1 (b) A-1.B-1 c) B-1.A-1 d) (B.A)-1. e) ((AB)T)-1 (f) ((AB)-1)T (g) (AT)-1.(BT)-1 (h) (B-1)T.(A-1)T (i) (A-1)T.(B-1)T
Que conclusões você tira, a partir dos resultados?
4.3 - MATRIZ INVERSA NO STARCALC
O cálculo da matriz inversa no StarCalc é um processo direto. Os passos necessários são:(1) Digite a matriz cuja inversa se quer obter. Lembre que somente matrizes quadradas cujo determinante é diferente de zero têm determinantes. A matriz inversa tem a mesma ordem da matriz dada. (2) Clique em uma célula de modo que o espaço que será ocupado pela matriz inversa não sobreponha ao espaço ocupado pela matriz dada.(3) Clique no botão .Função AutoPiloto. Ao abrir a janela Função AutoPiloto, no campo Categoria, use a seta para baixo e clique na opção Matriz.(4) No campo funções, aplique um clique duplo na opção MATRIZ.INVERSA.(5) - No campo direito, clique na seta à frente do campo Matriz . Ao minimizar a tela, selecione a matriz e pressione a tecla ENTER.(5) - Pressione a tecla ENTER duas vezes. A matriz inversa será exibida a partir da célula selecionada
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no item (1). Os elementos da matriz inversa em geral serão exibidos na forma decimal. Devido a aproximação do sistema é aconselhável configurar tais elementos para a forma fracionánia.Para isso:(1) Selecione a matriz inversa.(2) No menu FORMATAR, selecione a opção Células.(3) Ao ser exibida a janela Atributos de Célula clique na aba Número.
(4) No campo Categoria, use a barra de rolagem até ser exibida a opção Fracção. Clique nessa opção.(5) No campo Código do formato substitua a expressão # ?/? por ???/??? e a seguir clique em OK. Com esse procedimento os elementos da matriz serão exibidos na forma de fração.
4.4 - MATRIZ INVERSA NO EXCEL
(1) Digite a matriz cuja inversa se quer obter.(2) Clique em uma célula de modo que o espaço que será ocupado pela matriz inversa não sobreponha ao espaço ocupado pela matriz dada.(3) Digite na célula escolhida a fórmula =MATRIZ.INVERSO((4) Selecione então a matriz dada arrastando o mouse sobre ela. À frente da fórmula digitada será exibido o conjunto de células selecionada).(5) Complete a fórmula fechado o parênteses. Será exibido algo como =MATRIZ.INVERSO(C3:E5).(6) Pressione a tecla ENTER.(7) Selecione as células onde serão exibidos os elementos da matriz inversa.(8) Pressione a tecla F2.(9) Pressione então CRTL+SHIFT+ENTER. Na região selecionada será exibida a matriz inversa.
Da mesma forma que no StarCalc os elementos das matriz serão exibidos no formato decimal. Converta-os para a forma de fração, aplicando:(1) Selecione a matriz.(2) No menu Formatar, selecione a opção Células. Será então exibida a janela Formatar Célula.
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(3) Clique na aba Número.(4) No campo Categoria, clique em Personalizado.(5) No campo Tipo, substitua o termo exibido (default = Geral) por ???/???.(6) Clique no botão OK. Isto fará com que os elementos da matriz inversa sejam exibidos na forma de fração.
4.5 –MATRIZ ADJUNTA
Seja A = [aij]n uma matriz quadrada. Define-se a adjunta da matriz A, que denotaremos por ou A(AD) como sendo a matriz de ordem n, e cujos elementos aij são os complementos dos
elementos aij da matriz A.
Lembre-se que aij = (-1)i + j .det(matriz que sobra ao cortar a linha i a coluna j da matriz
A).
calculando os complementos algébricos temos:
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PROPRIEDADES:- Como a matriz adjunta é formada pelos complementos algébricos, pode-se concluir:
1 – a soma dos produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos elementos de igual fila da matriz A é igual ao determinante da matriz (teorema de Laplace)2 – a soma dos produtos dos elementos de uma fila da matriz A por elementos de qualquer fila paralela de A é igual a zero.
EXERCÍCIO:- Verifique as propriedades acima usando as matrizes A e A do exemplo anterior.
4.6 – ADJUNTA E INVERSA
Teorema: A inversa de uma matriz quadrada, com determinante diferente de zero, é (1/det(A)).(A)T. Demonstração:
uma matriz quadrada e a transposta de sua adjunta.Seja ainda cij os elementos do produto A . (A)T. Temos então:
De acordo com o teorema de Laplace: (1)
De acordo com a propriedade 2 do item 3.3:
(2)
Assim, o produto A.(A)T é uma matriz C = [cij]n cujos elementos cij = det(A), para i = j e cij = 0 para i ¹ j.Desta forma C = det(A).In onde I é a matriz identidade.Portanto, (1/det(A)).C = I. Ou seja: (1/det(A))A.(A)T = I ==> (1/det(A))(A)T é a inversa de A.
Conseqüência: somente matrizes cujo determinante é diferente de zero têm matrizes inversas.Justificativa: Como A-1 = (1/det(A))(A)T é não é possível a divisão por zero.
Exemplo:- Considerando a matriz do exemplo resolvido no item 4.3O determinante da matriz A pode ser obtido somando os produtos dos elementos de uma fila de A pelos elementos de fila de mesma ordem de A.Usando as primeiras filas de A e , temos det(A) = 1.(-46) + 3.3 + 2.38 = -46 + 9 + 76 = 39.
4.7 – ALGUMAS PROPRIEDADES ENVOLVENDO A MATRIZ INVERSA
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P1. Se A e B são inversíveis então (AB)-1 = B-1.A-1
Demonstração:- Provemos que AB é a inversa de B-1.A-1.Temos: (B-1.A-1). AB = B-1(A-1.A)B = B-1.I.B = B-1.B = I è AB é a inversa de B-1.A-1 . Como (AB)-1 é a inversa de AB, e a inversa é única, resulta que (AB)-1 = B-1.A-1.
P2. (AB)T = BT.AT
Demonstração:- Sejam A = [aij]mxn, B = [bij]nxp, C = AB = [cij]mxp. Os elementos de suas transpostas serão indicados por aijT, bijT, cijT, respectivamente.Assim, aijT = aji, bijT = bji e cijT = cji
resulta: (AB)T = BT.AT
P3 – (AT)-1 = (A-1)T
Demonstração:-Provemos que AT é a inversa de (A-1)T.Temos: (A-1)T.A = (A.A-1)T = IT = I è AT é a inversa de (A-1)T. Como (AT)-1 é a inversa de AT, e a inversa é única, resulta (A-1)T = (AT)-1.
4.8 - RESOLVENDO EQUAÇÕES MATRICIAIS
Dada uma matriz quadrada A podemos, como já foi visto, definir as matrizes -A e A-1, tais que A + (-A) = 0 (matriz nula) e A.A-1 = I (matriz identidade). A matriz identidade goza da propriedade A.I = I.A = A.A partir destas observações podemos resolver qualquer equação matricial do tipo A + B.X = C.Teremos A + B.X = C Û B.X = C + (-A) Û B-1.B.X = B-1.(C - A) Û X = B-1.(C - A).Para equação do tipo A + X.B = C, devemos fazer X.B.B-1 = (C - A).B-1 pois a multiplicação de matrizes não é comutativa.
Exemplo: Determinar a matriz X, tal que: A + B.X = C, sendo
4.9 – OUTRA FORMA DE DETERMINAR A INVERSA
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Algumas transformações em matrizes podem ser obtidas a partir de multiplicações por matrizes derivadas da matriz identidade. Estas matrizes, derivadas da identidade são chamadas de matrizes elementares.Vejamos algumas dessas matrizes:
M1 = matriz que troca uma linha com outra paralela. Essa matriz é obtida trocando as linhas correspondentes na matriz identidade.
M2 - Substituir a 2ª linha pela 2ª linha somada à 1ª linha multiplicada por 3. A matriz que produz essa modificação é
Assim, ao multiplicar uma matriz elementar por uma matriz A, será produzida na matriz A igual transformação. Essa propriedade permite obter um processo para obter a inversa de uma matriz quadrada de qualquer ordem.
Temos: Se A.B = I, então A é a inversa de B, ou seja B = A-1. Multiplicando sucessivamente A por matrizes elementares, podemos transformar a matriz A na matriz identidade. As mesmas multiplicações aplicadas em I, irão transformá-la na inversa de A. Veja A.B = I ==> M1.M2.M3...A . B = M1.M2.M3…I ==> (M1.M2.M3…A) . B = M1.M2.M3… I ==> I.B = M1.M2.M3…I ==> M1.M2.M3…I = B = A-1.
A expressão L2.(-2) + L1 à L1 indica que a linha 1 é substituída pela linha 3 multiplicada por -2 e somada com a linha 1.
Para evitar o uso de frações, o caminho mais fácil é igualar os termos da terceira coluna da primeira matriz. Isto se obtém através das operações: L1.x11x4; L2x3x4; L3x3x11.
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Trocando a ordem das linhas 1 e 3, resulta e a seguir dividindo a linha 1 por 33, a linha 2 por 132 e a linha 3 por –44, teremos
Simplificando, temos, finalmente
Concluindo, a matriz dada foi transformada na matriz identidade e a matriz identidade foi transformada na inversa da matriz dada.
EXERCÍCIOS
02 - Multiplique a matriz A dada acima pela sua inversa e verifique se o resultado foi ou não o esperado.03 - Escreva a matriz que transforma
04 – Qual é a condição necessária e suficiente para que uma matriz quadrada tenha uma inversa?
05 – Encontre, se houver, a inversa de cada uma das matrizes abaixo:
Determine a matriz X para cada uma das equações matriciais abaixo:a) AX + B = C b) XA + 2B = C c) AX + B = CX d) XA + C = X
07 – Usando as matrizes dos itens “e” e “f” do exercício nº 7, chame-as de A e B, respectivamente.a) Determine uma matriz X tal que AX + B = 0b) Determine uma matriz X tal que XA – B = 0c) Calcule (A-1)t e (At)-1.d) Calcule (AB)t e Bt.At.
4.10 - GRAFOS - UMA APLICAÇÃO DA ÁLGEBRA DAS MATRIZES
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A teoria dos grafos é uma área da Matemática Aplicada que envolve matrizes, principalmente na representação de circuitos e redes de comunicação.Um grafo é um conjunto de pontos que são chamados de vértices ligados por segmentos ou curvas chamados arestas.Seja, por exemplo, uma figura como:
Na figura os pontos A, B, ...E, F são os vértices do grafo. Cada segmento como AB, AF, FB, etc., são as arestas.
Definição 1 - Um vértice é chamado de vértice par se e somente se um número par de arestas partem desse vértice. Para um número ímpar de arestas partindo do vértice, o mesmo é chamado de vértice ímpar.
Com relação aos vértices e arestas de um grafo temos as propriedades:
P1 - A quantidade de vértices ímpares é sempre par.
P2 - Só é possível sair de um vértice e retornar ao mesmo percorrendo todas as arestas se todos os vértices forem pares.
Definição 2 - Considerando cada aresta como um caminho a percorrer, define-se o comprimento de um caminho como sendo o número de arestas a serem percorridas para se deslocar de um vértice a outro.Tomando por exemplo os vértices A e F, o caminho AF tem comprimento 1, o caminho ABCDF tem comprimento 4.
Definição 3 - Para um grafo de n vértices podemos associar uma matriz A de ordem n x n chamada matriz de adjacência, tal que A = [aij]n x n, de modo que aij = 1 se os vértices i e j são ligados por uma aresta e aij = 0 se os vértices i e j não são ligados por uma aresta i = j .
Para o grafo da figura 1 teremos a matriz de adjacência
P3 - Se A é a matriz de adjacência de um grafo e se aijn é um elemento da matriz An, então aijn é igual ao número de caminhos de comprimento "n" do vértice i para o vértice j.
Tomando os vértices na ordem A B C D e calculando A, A2 e A3, temos
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A quantidade de caminhos AC com comprimento 1 é o elemento a13 de A, com comprimento 2 é o elemento a13 de A2 e de comprimento 3 é o elemento a13 de A3.Assim temos 0 caminhos de comprimento 1, 2 caminhos (ABC e ADC) de comprimento 2 e 2 caminhos (ABDC e ADBC) de comprimento 3.
EXERCÍCIOS
a) Determine a matriz de adjacência do grafo.b) Calcule A2 e A3. Quantos caminhos de comprimento 2 ligam os vértices B e D? Quantos caminhos de comprimento 3 ligam os vértices A e D?
02 - Para a matriz
03 - A figura representa um rio que corta uma cidade. As regiões A e B são duas ilhas. Por meio de 7 pontes ligam-se as regiões C e D e as ilhas A e B. a) Pode-se ou não sair de uma região (ou ilha) e retornar à mesma região (ou ilha) passando por todas as pontes sem que uma mesma ponte seja repetida?b) Justifique sua resposta usando uma das propriedades dos grafos.
04 - Considere um pentágono e suas diagonais. É possível sair de um vértice, percorrer todos os lados e diagonais e retornar ao ponto de partida sem repetir caminho? Justifique.
05 - Considere um hexágono e suas diagonais. É possível sair de um vértice, percorrer todos os lados e diagonais e retornar ao ponto de partida sem repetir caminho? Justifique.
06 - A partir dos exercícios 04 e 05 pode você concluir em quais tipos de polígonos é possível percorrer todos os lados e diagonais e retornar ao ponto de partida sem repetir caminho? Explique.
07 - Apostila Pitágoras - A empresa Linhas Aéreas Airways e a única operadora de vôos no remoto pais de lslands, um pequeno arquipélago composto por ilhas. Na matriz A definida abaixo cada elemento aij é igual a 0, se não há vôo da ilha i para a ilha j e é igual a 1, se existe tal vôo.
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a) Por que os elementos da diagonal principal são iguais a zero?b) Existe vôo direto da ilha 5 para a ilha 2?c) E da ilha 2 para a ilha 5?d) Se um habitante de lslands tomasse um vôo da ilha 5 para a ilha 2, poderia ele retornar de avião para a ilha 5? Nesse ultimo caso considere que ele poderia retornar passando por outras ilhas.e) Existe algum trajeto aéreo da ilha 3 para a ilha 2? Em caso afirmativo, qual seria esse trajeto?
07 - Apostila Pitágoras - Uma rede de telefonia celular possui 5 estações transmissoras com potências diferentes. Considere a matriz abaixo:
Nela aij = 1 se a estação pode transmitir diretamente para a estação j caso contrario aij = 0. Observe que a diagonal principal é nula, porque uma estação não transmite diretamente para si mesma a) Calcule A2 e A3.b) Qual o significado da matriz A2? e da matriz A3?c) Um sistema real de telefonia celular possui grande quantidade de transmissores. Você é capaz de perceber uma aplicação realmente prática para a multiplicação de matrizes quadradas de ordem elevadas?
08 - Tente resolver os desafios: " Caso Van Diamont", "Promessa de Casamento", Rotas Possíveis" e "Menino Esperto" que estão no menu "Desafios" deste Site.
CAPÍTULO 05 – ESPAÇOS VETORIAIS
5.1 – OPERAÇÕES E PROPRIEDADES
Consideremos dois conjuntos, o primeiro que indicaremos por R cujos elementos serão representados por letras gregas {a, b, d ...} e o segundo, V cujos elementos serão representados por letras latinas minúsculas em negrito, isto é V = {a, b, c, ...}.
No conjunto R são definidas as operações adição e multiplicação que verificam as 29
propriedades:( i ) Se a e b são elementos de R, então a + b e a.b pertencem a R. (Fechamento em R)( ii ) " a, b, d Î R (a + b) + d = a + (b + d) e (a.b).d = a.(b.d) (Propriedade associativa)( iii ) " a, b Î R (a + b) = (b + a) e (a.b) = (b.a) (Propriedade comutativa)( iv ) " a Î R, a + 0 = 0 + a = a , com 0 Î R e " a Î R, a.1 = 1.a = a , com 1 Î R. (elemento neutro)( v ) " a Î R, $ (-a)Î R, tal que a + (-a) = (-a) + a = 0 (a e -a são denominados simétricos) " a Î R, a ¹ 0 , $ (a-1)Î R, tal que a.a-1 = a-1. a = 1 (a e a-1 são chamados de inversos)( vi ) " a, b, d Î R, a.(b + d) = a.b + a.d (propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição).
Usaremos a abreviatura FANIC para indicar as propriedades fechamento, associativa, neutro, simétrico (ou inverso) e comutativa. Usaremos o D para indicar a propriedade distributiva.Assim, o conjunto R é munido com duas operações, ambas com as propriedades FANIC e D da multiplicação em relação à adição.
No conjunto V é definida a operação adição com as propriedades FANIC.Todas as operações acima são definidas dentro de cada conjunto. Podemos, também, definir uma operação que permite utilizar elementos dos dois conjuntos resultando em um elemento de V. Esta operação é a multiplicação onde o resultado será um elemento de V. Uma operação deste tipo é chamada de operação externa.Isto é a.a Î V. 5.2 – DEFINIÇÃO DE ESPAÇO VETORIAL Um conjunto V é um espaço vetorial sobre R, se em V é munido da operação adição que apresente as propriedades FANIC e R apresenta duas operações, adição e multiplicação, com as propriedades FANIC e distributiva da multiplicação em relação à adição. Para tais conjuntos também deve ser definida uma operação externa, a multiplicação de um elemento de R por um de V cujo resultado é um elemento de V.
Além das exigências acima, devem também ser verificados os axiomas: A1 - a.(a + b) = aa + abA2 – (a + b).a = aa + baA3 – (ab).a = a(b.a)A4 – 1.a = a e (-1)a = -aA5 – 0.a = 0, sendo 0 um elemento de V.
Os elementos de V serão chamados de vetores e os de R denominados escalares.Convém observar que os vetores já estudados em Geometria Analítica, que se representam por setas, são apenas um caso particular. Conforme veremos no decorrer deste estudo, existem diversos tipos de conjuntos que constituem um espaço vetorial, como por exemplo: o espaço vetorial P(x) dos polinômios sobre o conjunto dos reais; o espaço vetorial M2, das matrizes quadradas de ordem 2 sobre os números reais ou sobre os números complexos; o espaço vetorial C[a, b] das funções definidas e contínuas no intervalo [a, b] sobre o conjunto dos reais, entre outros.
Também, poderemos encontrar situações em que as operações definidas nos conjuntos sejam diferentes da multiplicação e da adição, porém devendo as mesmas apresentar as propriedades descritas.
EXERCÍCIOS:- 01 - Verificar se o conjunto das matrizes 2x2, tais que a11 = x, com x Î R e a12=a21=a22 = 0 é ou não um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais. 02 – Considere os vetores x1 = (8, 6) e x2 = (4, -1) em R2.a) determine o módulo de cada umb) seja x3 = x1 + x2. Determine o comprimento (módulo) de x3. Qual é a relação entre seu comprimento e a soma dos comprimentos de x1 e x2? 03 – Seja C o conjunto dos complexos da forma x + yi onde i = Ö- 1. 04 - Considere definidas as operações adição (x1 + y1i) + (x2 + y2i) = (x1 + x2)i + (y1 + y2) e multiplicação a(x + yi) = ax + ayi para todo número real a. Mostre que C é um espaço vetorial sobre o conjunto dos reais.
05 – Mostre que o conjunto V = {(x, y) Î R2} é um espaço vetorial sobre R, considerando(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e a[(a, b)] = (aa, ab)
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06 – Seja S o conjunto de todos os pares ordenados de números reais (a, b). Define-se a(a, b) = (aa, ab) e (a, b) + (c, d) = (a + c, 0). Mostre que S não é um espaço vetorial.
07 - Seja R o conjunto de todos os números reais. Define-se a multiplicação aa = a.a (multiplicação por escalar) e “adição” a Å b por a Å b = max(a, b) (máximo dos dois números). R é um espaço vetorial em relação a estas operações? Justifique. 5.3 - SUBESPAÇO VETORIAL Partes de um espaço vetorial V pode também ser um espaço vetorial. Como o espaço vetorial apresenta adição e multiplicação de escalares, que resulta num vetor, se as operações com suas propriedades forem verificadas nesse subconjunto de V, tal subconjunto também será um espaço vetorial, que nesse caso chamaremos de subespaço vetorial. Definição:- Seja V' um subconjunto de um espaço vetorial V sobre o conjunto R. V' é um subespaço vetorial de V, se:
(1) 0 Î V', sendo 0 o vetor nulo. (2) au Î V', para todo escalar a de R e para todo vetor u de V'. (3) u + v Î V' , para todo u e v de V'.As demais operações e propriedades não são inclusas na definição pois elas são válidas para todos os elementos de V, uma vez que o mesmo é um espaço vetorial e, portanto, válidas para todo subconjunto de V.
Os conjuntos {0} e V são denominados subespaços vetoriais próprios de V. Exemplo: O conjunto das matrizes A = [aij]2x2, é um espaço vetorial sobre R. (Verifique). Se tomarmos o subconjunto A' = [aij]2x2, tais que aij = x Î R se i = j = 1 e aij = 0 para i ¹ 1 e j ¹ 1, este subconjunto será um subespaço vetorial de A. Vamos confirmar isso, verificando as três condições da definição de subespaço vetorial.
EXERCÍCIOS:
01 - Verifique se cada conjunto abaixo é ou não um subespaço de R2 sobre R.a) {(x1, x2) | x1 + x2 = 0} b) {(x1, x2) | x1x2 = 0}c) {(x1, x2) | x1 = 3x2} d) {(x1, x2) | x1 = 3x2 + 1}
02 - Determine se cada conjunto abaixo é ou não um subespaço de R3 sobre R. a) {(x1, x2, x3) | x1 + x3 = 1}. b) {(x1, x2, x3) | x1 = x2 = x3} . c) {(x1, x2, x3) | x3 = x1 + x2} . d) {(x1, x2, x3)) | x3 = x12 + x22} .
03 - Seja S o conjunto das matrizes 2x2 e A uma matriz particular de S. Determine se cada conjunto abaixo é ou não um subespaço vetorial das matrizes 2x2.a) V = {B Î S | AB = BA}
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b) V = {B Î S | AB ¹ BA}c) V = {B Î S | BA = 0} onde 0 é a matriz nula (aij = 0, quaisquer que sejam i e j)
5.4 – GERADORES DE UM ESPAÇO VETORIAL
Consideremos os vetores (x, y) de R2 e, em especial os vetores (2, 1) e (3, 2).Quaisquer que sejam x e y, de (x, y), existem os números reais a e b, tais que a(2, 1) + b(3, 2) = (x, y), pois o sistema 2a + 3b = x e 1a + 2b = y terá sempre solução única.
Tomando por exemplo o vetor (23, 14), teremos (23, 14) = 4.(2, 1) + 5.(3, 4).
Entretanto, o mesmo não acontece com os vetores (2, 1) e (4, 2), pois somente os vetores da forma (2x, x) poderão ser escritos com a(2, 1) + b(4, 2).Neste caso, (10, 5) pode ser escrito como 3.(2, 1) + 1.(4, 2) pois (10, 5) é da forma (2x, x). Já o vetor (23, 14) não poderia ser escrito como a(2, 1) + b(4, 2).Note que a igualdade (23, 14) = a(2, 1) + b(4, 2) levaria a 2a + 4b = 23 e a + 2b = 14. Multiplicando a segunda equação por (-2) e somando à primeira levaria à 0 + 0 = -5 o que é impossível. Como qualquer vetor (x, y) pode ser escritos como (2, 1) e (3, 2), dizemos que o conjunto {(2, 1), (3, 2)} gera o espaço vetorial R2. O mesmo não acontece com o conjunto {(2,1), (4, 2)}.
Nota:- Os vetores (2, 1), (4, 2) geram o subespaço vetorial formado pelos vetores da forma (2x, x).
DEFINIÇÃO 1:- Dizemos que um vetor v é uma combinação linear dos vetores v1, v2, v3, ... vn se existirem os escalares a1, a2, a3, ..., an, tais que v = a1v1 + a2v2 + a3v3 + ... + anvn .
Tomando por exemplo os vetores v1 = (2, 1) e v2 = (3, 2), o vetor (23, 14) é uma combinação linear de v1 e v2 pois existem os escalares 4 e 5, tais que (23, 14) = 4.v1 + 5v2.
Exemplo: Escrever o vetor (6, 1) como combinação linear de (2, -1) e (-3, 2).De acordo com a definição, o caminho é encontrar os escalares x e y tais que (6, 1) = x.(2, -1) + y(-3, 2).Temos então: 2x – 3y = 6 e –2x + 2y = 1.Resolvendo o sistema, encontramos x = 15 e y = 8. Assim, (6, 1) = 15.(2, -1) + 8.(-3, 2) é a maneira de se escrever (6, 1) como combinação linear de (2, -1) e (-3, 2).
DEFINIÇÃO 2:- Seja o conjunto G = {v1, v2, v3, ... , vn} onde cada vi é um vetor. O conjunto V de todos os vetores formados por combinações lineares de elementos de G, é denominado espaço vetorial gerado pelos vetores v1, v2, v3, ... , vn. Estes vetores são chamados de geradores do espaço vetorial V.
EXERCÍCIOS
01 – Escreva o vetor (3, 2, -5) como combinação linear dos vetores (2, 1, 0), (-1, 0, 3) e (0, 4, 1).
03 – Mostre que os vetores (2, 1) e (3, 2) são geradores do espaço vetorial R2.
04 – Mostre que os vetores (2, 1, 0), (-1, 0, 3) e (0, 4, 1) geram o espaço vetorial R3.
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05 – Verifique se os vetores x4, x3, x2, x1, x0 geram o espaço vetorial formado pelos polinômios de 4º grau.
06 – Mostre que as matrizes do exercício 2, geram o espaço vetorial formado pelas matrizes quadradas de ordem 2.
5.5 – GERADORES DE Rn
Analisemos inicialmente alguns exemplos
1º) Vejamos se o conjunto V = {(2, 1, 1), (-1, 0, 2), (1, 2, 1)} gera ou não o espaço R3. Se for provado que todo vetor (x, y, z) de R3 pode ser escrito na forma a.(2, 1, 1) + b(-1, 0, 2) + c(1, 2, 1), então V gera R3.
Temos: a.(2, 1, 1) + b(-1, 0, 0) + c(1, 2, 1) = (x, y, z), de onde se pode tirar o sistema:
Para que o sistema tenha solução única a primeira matriz deve ser inversível, isto é, seu determinante deverá ser diferente de zero.Calculando o valor do determinante teremos: (0 – 1 + 2) – (0 + 4 – 1) = 1 – 3 = -2. Como esse determinante é diferente de zero existem os valores de a, b e c que satisfazem a igualdade a.(2, 1, 1) + b.(-1, 0, 0) + c.(1, 2, 1) = (x, y, z), o que implica em “todos os vetores de R3 podem ser escritos como combinação linear dos vetores dados”. 2º) Analisando o conjunto {(2, 1, 3), (3, 1, 2), (5, 2, 5)} teremos: a.(2, 1, 3) + b(3, 1, 2) + c(5, 2, 5) = (x, y, z) de onde se obtém o sistema:
O determinante da primeira matriz é det(M) = (10 + 18 + 10) - (15 + 8 + 15) = 38 - 38 = 0. Sendo nulo o determinante, o conjunto não gera R3. Neste caso, o conjunto irá gerar um subconjunto de R3.
Para determinar tal subconjunto podemos usar o escalonamento das matrizes formadas pelas coordenadas dos vetores e a matriz formada por (x, y, z).
è o sistema só terá validade para vetores (x, y,z) que satisfaçam a relação (x – 5y + z) = 0, ou seja: o conjunto geral o subespaço vetorial de R3 cujos vetores (x, y, z) guardam a relação x - 5y + 5z = 0.
EXERCÍCIOS1. Verificar se os conjuntos abaixo geram ou não R3.a) {(1, 2, 3), (2, 2, -5), (3, 2, -1)} b) {(1, 2, -4), (3, 1, 2), (5, 5, -6)}.Em caso negativo, que subespaço de R3 é gerado?
5.6 – DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
Definição 1:- Seja B = {v1, v2, v3, ... vn} um conjunto de vetores. Os vetores de B são ditos linearmente dependentes de existirem os escalares a1, a2, a3 ... an, nem todos nulos, de modo que a1v1+ a2v2+ a3v3 + .... + anvn = 0.
Se todos os a1 forem nulos os vetores v1, v2, v3, ... vn são ditos linearmente dependentes.
Como conseqüência da definição, podemos fazer:
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v1 = (-a2/a1)v2+ (-a3 /a1)v3 + .... + (-an/a1)vn è è v1 = b1v2+ b2v3 + .... + bnvn
Definição 2:- Um conjunto de vetores é linearmente dependente se um deles for uma combinação linear dos demais.
Exemplo 1: verificar se o conjunto (2, 1, 1), (-1, 0, 2), (1, 2, 1) é linearmente dependente ou independente. Aplicando a definição 2, verifiquemos se existem x e y, tais que (2, 1, 1) = x(-1, 0, 2) + y(1, 2, 1).Da igualdade tiramos: -x + y = 2 (1) 0 + 2y = 1 (2) e 2x + y = 1 (3)
Da equação (2) tiramos y = ½. Das equações (1) e (3) tiramos x = -1/3 e y = 5/3.Como pode ser visto, o sistema é impossível (2 valores para y). Isto significa que não existem x e y e em conseqüência os vetores são linearmente independente.
Exemplo 2:- Para o conjunto (2, 1, 3), (3, 1, 2), (5, 2, 5), temos: 2x + 3y = 5 , x + y = 2 e 3x + 2y = 5. Os sistema tem solução única x = 1 e y = 1. Portanto, cada vetor é uma combinação linear dos outros dois. Assim, eles são linearmente dependentes.
5.7 – BASE E DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL
Definição 1:- Um conjunto de vetores B = {v1, v2, v3, ... vn} é uma base de um espaço vetorial V se, e somente se:
( 1 ) v1, v2, v3, ... vn são linearmente independentes( 2 ) v1, v2, v3, ... vn geram o espaço vetorial V.
Definição 2:- Se “n” é o número de vetores da base B de um espaço vetorial V, dizemos que o espaço vetorial V, tem dimensão “n”.
Vimos em exemplos anteriores que os vetores (2, 1, 1), (-1, 0, 2), (1, 2, 1) são linearmente independentes e que todos os vetores de R3 podem ser escritos como combinação linear destes três vetores. Assim, o conjunto {(2, 1, 1), (-1, 0, 2), (1, 2, 1)} é uma base de R3, cuja dimensão é 3 pois a base possui exatamente três vetores.
5.8 -PROPRIEDADES E CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
P1 – Se v1, v2, v3, ... vn é uma base de um espaço vetorial V, então qualquer conjunto com m elementos em > n é linearmente dependente.
P2 – Se um espaço vetorial V tem dimensão “n”,
( i ) qualquer conjunto de “n” vetores linearmente independentes é uma base de V ( ii ) qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes gera o espaço vetorial V ( iii ) qualquer conjunto de n vetores que geram V são linearmente independentes.
P3 – Se o conjunto {v1 = (x11, x12, ..., x1n), v2 = (x21, x22, ... , x2n), .....,vn = (xn1, xn2, ... , xnn)} é uma base de Rn, então todo vetor v = (x1, x2, ..., xn) de Rn pode ser escrito como combinação linear de v1, v2, ..., vn.
Como conseqüência temos v = a1v1+ a2v2+ a3v3 + .... + anvn è (x1, x2, ..., xn) = a1(x11, x12, ..., x1n) + a2 (x21, x22, ... , x2n), .....,+ an(xn1, xn2, ... , xnn). Esta igualdade pode ser representada na forma matricial
A igualdade terá solução para todo x1, x2, ..., xn se e somente se o determinante da primeira matriz for diferente de zero. Deste modo, escrevendo as coordenadas dos vetores sob forma matricial, o conjunto será uma base de Rn se e somente se o determinante desta matriz for diferente de zero.
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5.9 – BASE CANÔNICA
Para cada espaço vetorial existem bases que podem ser consideradas como formadas por vetores mais simples.
A base canônica do espaço vetorial R2 é formada pelos vetores (1, 0) e (0, 1).A base canônica do espaço vetorial R3 é formada pelos vetores (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1)
Representaremos por {e1, e2, e3, ... en} a base canônica de Rn.A base canônica do espaço vetorial constituído pelos polinômios de grau menor ou igual a “n”
é{1, x, x2, x3 ... xn}. Costuma-se indicar esse espaço vetorial por Pn+1 . O índice (n + 1) é usado pois esse espaço vetorial tem dimensão n + 1.A base canônica para o espaço vetorial das matrizes 2x2, indicado em geral por R2x2, é formado pelas matrizes {E11, E12, E21, E22}, tais que
EXERCÍCIOS:
01 – Determine se os vetores abaixo são linearmente dependentes ou independentes:· a) (2, 1) e (3, 2) b) (2, 3) e (4, 6) c) (-2, 1), (1, 3) e (2, 4)d) (-1, 2), (1, -2) e (2, -4) e) (1, 2) e (-1, 1) 02 – Dos conjuntos acima, qual ou quais formam uma base de R2? 03 – Verifique se os vetores abaixo são linearmente dependentes ou independentes:· a) (1, 0, 0), (0, 1, 1) e (1, 0, 1) b) (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1) e (1, 2, 3)c) (2, -1, 2), (3, 2, -2) e (2, 2, 0) d) (2, 1, -2), (-2, -1, 2) e (4, 2, -4)e) (1, 1, 3) e (0, 2, 1) f) (1, -2, 5) e (-2, 4, -10) 04 - Dos conjuntos acima, qual ou quais formam uma base de R3? 05 – Verifique se os conjuntos abaixo são linearmente dependentes ou independentes em R2x2.
06 - Dos conjuntos acima, qual ou quais formam uma base de R3? 07 – Verifique se os vetores dados são linearmente dependentes ou independentes em P2 = polinômios de grau menor ou igual a 2. a) 1, x2, x2 – 2 b) 2, x2, x, 2x + 3c) x + 2, x + 1, x2 – 1 d) x + 2, x2 – 1 08 – Informe se algum conjunto acima forma uma base de P2. 09 – Elimine algum ou alguns dos vetores (1, 2, 2), (2, 5, 4), (1, 3, 2), (2, 7, 4), (1, 1, 0) de modo a obter uma base para R3. 10 – Escreva as bases canônicas dos espaços vetoriais:· a) R4 b) R3x3 c) P6 11 – Escreva o vetor (2, 1) como combinação linear de (1, 0) e (0, 1). 12 – Escreva o vetor (3, 4) como combinação linear de (1, 1) e (2, -1). 13 – Escreva o vetor (2, 1, 2) como combinação linear de (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). 14 – Escreva o vetor (4, -5, 3) como combinação linear de (2, 1, 1), (-1, 0, 2), (1, 2, 1).
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17 – Observando os exercícios 11, 13 e 16, que conclusão você pode tirar?
5.10 – MUDANÇA DE BASES
Vimos anteriormente que qualquer conjunto de vetores linearmente independentes que geram todos os vetores de um espaço vetorial formam uma base para esse espaço.Sejam então A = {v1, v2, v3, ..., vn} e B = {w1, w2, w3, ..., wn} duas bases de um espaço vetorial V evA = (x1, x2, x3 , ..., xn)A um vetor qualquer de V expresso na base A. Temos então: v = a1v1 + a2v2 + a3v3 + ..... + anvn. ( 1 )Cada vetor de A, escrito na base B será: v1 = b11w1 + b12w2 + b13w3 + ... + b1nwn v2 = b21w1 + b22w2 + b23w3 + ... + b2nwn v3 = b31w1 + b32w2 + b33w3 + ... + b3nwn .......................................................... vn = bn1w1 + bn2w2 + bn3w3 + ... + b3nwnSubstituindo estes valores na expressão 1, resulta:v = x1(b11w1 + b12w2 + b13w3 + ... + b1nwn) + x2(b21w1 + b22w2 + b23w3 + ... + b2nwn) + x3(b31w1 + b32w2 + b33w3 + ... + b3nwn) + …+ an(bn1w1 + bn2w2 + bn3w3 + ... + b3nwn) == (x1b11 + x2b21 + x3b31 + ... + xnbn1)w1 + (x1b12 + x2b22+ x3b32 + ... + xnbn2)w2 + (x1b13 + x2b23+ x3b33 + ... + xnbn3)w3 + .... + (x1b1n + x2b2n+ x3b3n + ... + xnbnn)wn
Se o vetor v escrito na base B é vB = (y1, y2, y3, ..., yn), teríamos então: y1 = (x1b11 + x2b21 + x3b31 + ... + xnbn1) y2 = (x1b12 + x2b22 + x3b32 + ... + xnbn2) y3 = (x1b13 + x2b23 + x3b33 + ... + xnbn3) ........................................................ yn = (x1b1n + x2b2n + x3b3n + ... + xnbnn)As igualdades acima podem ser expressas pelo produto matricial
que é representada por MA,B ou [M]AB sendo formada pelas coordenadas dos vetores que constituem a base A escritos na base B , transforma qualquer vetor escrito na base A para um vetor escrito na base B.Da equação acima se pode concluir que a inversa da matriz MA,B é igual à matriz MB,A, ou seja a inversa da matriz que transforma a base A para a base B é a matriz que transforma a base B para a base A.
Exemplo 1 - Transformar o vetor v = (3, -2), base canônica, para a base B = {(2, 0), (1, 2)}.
1º processo:- Como o vetor (3, - 2) está expresso na base canônica, temos v = 3.(1, 0) + -2.(0, 1) 36
= (3, -2). Para escrevê-lo na base B, devemos encontrar x e y tais que (3, – 2) = x.(2, 0) + y.(1, 2).Temos 2x + y = 3 e 0x + 2y = -2 . A solução desse sistema fornece y = -1 e x = 2.Desta forma temos:- (3, -2) = (2, -1)B. IMPORTANTE:- Quando o vetor é indicado unicamente por (x, y) isto significa que o mesmo está expresso na base canônica. Caso contrário, é obrigatória a indicação da base, como acontece acima (2, -1)B.Este processo é vantajoso quando se quer transformar apenas um vetor. Para transformar vários vetores aconselhamos utilizar o procedimento descrito no segundo processo.
2º processo:- Consiste em determinar a matriz que converte uma base em outra. Devemos transformar a base canônica para a base B, escrevemos (1, 0) = b11(2, 0) + b21(1, 2) è 2b11 + 1.b21 = 1 e 0b11 + 2b21 = 0 è b21 = 0 e b11 = ½(0, 1) = b12(2, 0) + b22(1, 2) è 2.b12 + 1.b22 = 1 e 0.b12 + 2.b22 = 1 è b22 = ½ e b12 = -1/4. A matriz MC,B que transforma a base canônica para a base B é
Aplicando a matriz ao vetor (3, -2), resulta
Exemplo 2 – Obter a matriz que transforma a base A = {v1 = (2, -1, 0), v2 = (2, -1, 0), v3 = (-1, 1, 2)} na base canônica C = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}Devemos então escrever os vetores de A na base canônica. v1 = (1, 2, 1) = 1e1 + 2e2 + 1e3 = (1, 2, 1) v2 = (2, -1, 0) = 2e1 + (-1)e2 + 0e3 = (2, -1, 0) v3 = (-1, 1, 2) = (-1)e1 + 1e2 + 2e3 = (-1, 1, 2)Para obter a matriz, conforme já foi visto, basta escrever as coordenadas dos vetores em colunas. Portanto,
Note que para transformar de uma base qualquer para a base canônica, basta escrever os vetores daquela base dispostos em colunas.
NÃO ESQUEÇA:- A inversa da matriz MA,C, transforma a base canônica para a base C.
Conseqüência: Para transformar de uma base A para outra B, pode-se transformar a base A para a base canônica e a seguir transformar da base canônica para a base B. Isto implica em usar o produto MA,C x (MB,C)-1 que torna o processo mais prático pois pode-se usar o Excel ou o StarCalc, pois MA,C é formada pelos vetores da base A e MB,C formada pelos vetores da base B.
Exemplo: Escrever a matriz que transforma a base A = {(1, 2, 2), (3, - 1, 2), (-1, 2, 3)} para a base B = {(3, -1, 0), (5, -2, 4), (3, 2, -1)}.Escrevendo as matrizes MA,C e MB,C, (vetores em colunas) temos:
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EXERCÍCIOS:- Atenção:- você pode usar os programas anteriores relativos à resolução de sistema e inversão de matrizes citados em aulas anteriores.01 – Sejam A = {(2, 2), (-1, 3)}, B = {(1, -2), (-3, 2)} e C a base canônica:( a ) Transforme v = (4, -9)A para as bases B e C.( b ) Transforme v = (-12, 11)B para as base A e C( c ) Transforme v = (4, -2) para as bases A e B.( d ) Ache as matrizes que transformam as bases A para B, A para C, B para A, B para C, C para A e C para B.02 – Sejam as bases A = {(1, 1, -3), (2, 3, 5), (-3, 4, -1)}, B = {(-4, 1, 2), (2, -1, 5), (-1, 6, -1)} e C a base canônica.( a ) Transforme v = (4, -9, 8)A para as bases B e C. ( b ) Transforme v = (-12, 11, 7)B para as base A e C( c ) Transforme v = (4, -2, 0) para as bases A e B.( d ) Ache as matrizes que transformam as bases A para B, A para C, B para A, B para C, C para A e C para B.03 – Sejam A = {a1 = 2, a2 = x + 1, a3 = x2 + 2}, B = {b1 = 4, b2 =2x – 1, b3 = x2 – x + 1} e C = {c1 =1, c2 = x, c3 = x2}, base do espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a dois.a) Transforme P(x)C = 4x2 – 2x + 7 para as bases B e A.b) Transforme P(x)A = 5a32 + 3a2 + 2a1 para as bases B e C.c) Escreva as matrizes que transformam as bases A para B, A para C, B para A, B para C, C para A e C para B
é a matriz que transforma a base J para a base K de R3, determine a matriz que transforma a base K para a base J.
05 – Qual é a base canônica para o espaço vetorial das matrizes 4 X 4? Que matriz será obtida se somarmos todas as matrizes que constituem essa base?
CAPÍTULO 06 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES
6.1 – INTRODUÇÃO
Uma função é uma lei que associa à cada elemento de um conjunto chamado domínio, um único elemento de um segundo conjunto, chamado contradomínio. Em geral, o domínio e o contradomínio são subconjuntos de R. Neste capítulo iremos estudar um tipo especial de função onde o domínio e o contra-domínio são subespaços vetoriais de Rn. Tais funções são chamadas de transformações em espaços vetoriais.Lembre-se que os elementos de Rn são representados por (x1, x2, x3, ..., xn).
Conceituação:- Uma transformação T do subespaço vetorial V no espaço vetorial W é uma função indicada por T:V à W. A imagem do vetor v de V é um único vetor w de W pois T é uma função.Assim, escrevemos T(v) = w.Exemplos:- (1) Seja T:R2 à R2, tal que T(x, y) = (2x + y, y + x).
A imagem do vetor v = (1, 2) é T(1, 2) = (2.1 + 2, 1 + 2) = (4, 3) = w.
(2) T:R3 à R2, tal que T(x, y, z) = (2x + y – z, y + 2z)
EXERCÍCIO: Considere a transformação definida no exemplo 2. Calcule T(1, -2, 3).
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6.2 – TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Definição:- Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma aplicação T:V à W é dita linear se forem verificadas as relações (1) T(u + v) = T(u) + T(v) e (2) T(au) = aT(u), sendo a um número real e u, v elementos de V.Se V = W e T uma transformação linear, então T é chamado de operador linear sobre V.
Exemplo: a transformação T: R2 à R2, definida por T(x, y) (3x, x + y) é uma transformação linear pois: (1) T((a, b) + (c, d)) = T(a + c, b + d) = [3.(a + c), a + b + c + d] = = (3a, a + b) + (3c, c + d) = T(a, b) + T(c, d)(2) T(a(a, b)) = T(aa, ab) = (3aa, aa + ab) = a(a, a + b) = aT(a, b)
EXERCÍCIOS:(1) Mostre que T:R à R, tal que T(x) = 4x é linear.(2) Calcule T(2, 4, -1) se T(x, y, z) = T(x + y, 2z). Verifique se esta transformação de R3 em R2 é ou não linear.(3) Sendo T(x) = 2x + 1, calcule T(10). Verifique se esta transformação de R em R é ou não linear.(4) Das transformações acima, existe alguma que pode ser chamada de operador linear?
PROPRIEDADE:- É condição necessária, porém não suficiente, que em toda transformação linear, T(0) = 0, ou seja, a imagem do vetor nulo é o próprio vetor nulo. Através dessa propriedade é fácil verificar se uma transformação não é linear pois é condição necessária, mas não prova se a mesma é linear, pois a condição não é suficiente.Assim, T(x, y) = (2x, x + y – 3) não é linear pois T(0, 0) = (2.0, 0 + 0 – 3) = (0, -3) ¹(0, 0).
Para a transformação T(x, y) = (x, 2xy), teremos T(0, 0) = (0, 0). Faça os cálculos. Entretanto, esta transformação não é linear.Observe que 3T(1,2) = 3.(1, 4) = (3, 12) e T(3.(1,2)) = T(3, 6) = (3, 2.3.6) = (3, 36) ¹ 3T(1,2)
Nota: para provar que uma propriedade não é verdadeira basta um exemplo. Entretanto, o exemplo não serve para provar que a propriedade seja verdadeira.
EXERCÍCIOS
01. Considere a transformação linear T:R2 à R2 definida por T(x,y) = (3x - 2y, x + 4y).a) Utilize os vetores u = (1. 2) e v = (3, - 1) para mostrar que T(3u + 4v) =3T(u) + 4T(v).b) Considerando a transformação acima, construa um gráfico mostrando os vetores (x,y) e T(x, y)
02. Se T(x, y, z) = (2x + y - z, x - y + 2z), calcule:a) T(0, 0, 0), b) T(2a - b, a + b, b)
03. Sendo T(x, y, z) = (x + y, 2x -z, y - 3z), calcule o vetor (x, y, z), tal que T(x, y, z) = (1, 2, 3).
04. Verificar se as transformações abaixo são lineares ou não lineares:a) T(x, y) = (2x + y - 3, x - y +1)b) T(x, y) = (x2, y2)c) T(x, y, z) = (2x - y + z, x - y - z, x + y)d) T(x, y) = (x - 1, y - 1).
6.3 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
Seja T: Rn à Rn , uma transformação linear, tal que T(u) = v, sendo u, v Î Rn. É sempre possível, a partir do produto de uma matriz pelo vetor u, expresso como vetor coluna, obter o vetor v.Tomando, por exemplo, a transformação T(x, y) = (2x, x + y), a matriz M que transforma (x, y) em (2x, x + y)
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teremos: ax + by = 2x è a = 2 e b = 0 cx + dy = x + y è c = d = 1
Note que a e b são os coeficientes das variáveis x e y. A igualdade de polinômios implica na igualdade dos coeficientes.
6.4 –TRANSFORMAÇÕES LINEARES NO PLANO E SUAS REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS
Uma transformação linear no plano é aquela em que a imagem de um ponto do plano cartesiano é também um ponto do plano cartesiano. Na computação gráfica encontramos a principal aplicação das transformações lineares no plano.As principais transformações lineares no plano são: reflexão, translação, rotação e cisalhamento.
1. - Reflexão: As formas algébricas são: a) em relação à origem: T(x, y) = (-x, -y), b) em relação ao eixo dos y: T(x, y) = (-x, y) c) em relação ao eixo dos x: T(x, y) = (x, -y)A figura a seguir mostra as reflexões aplicadas a um retângulo localizado no primeiro quadrante.
O retângulo (1) é a figura original. O retângulo (2) é o mesmo refletido em relação à origem; o retângulo (3) é a reflexão em relação ao eixo dos y e o retângulo (4) é a reflexão em relação ao eixo dos x.Na reflexão as dimensões são conservadas.
Representando as reflexões RO em relação à origem, Ry em relação ao eixo dos y e Rx em relação ao eixo dos x, na forma matricial, temos:
2. Dilatação ou contração de um fator "k". Teremos uma dilatação de k > 1 ou uma contração quando 0 < k < 1. Formas algébricas: a) paralela ao eixo dos x, T(x, y) = (kx, y) b) paralela ao eixo dos y, T(x, y) = (x, ky)
A figura abaixo mostra as dilatação em paralela ao eixo do x (retângulo 2) e paralela ao eixo do y (retângulo 3) aplicadas ao quadrado (1), por uma fator k = 4.
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As formas matriciais da dilatação são Dx e Dy, indicadas a seguir:
3. Cisalhamento de um fator "k" Formas algébricas: a) paralela ao eixo dos x, T(x, y) = (x + ky, y) b) paralela ao eixo dos y, T(x, y) = (x, kx + y).A figura abaixo mostra um cisalhamento paralelo a x, com fator 2 (figura 2) e um cisalhamento paralelo a y, de fator 1,5 (figura 3) aplicados a um quadrado.
As formas matriciais correspondentes são:
4. Rotação de um ângulo a no sentido anti-horário Formas algébricas: a) sentido anti-horário: T(x, y) = (x.cos a + y.sen a, x.sen a - y.cos a). b) sentido horário: T(x, y) = (x.cos a - y.sen a, x.sen a + y.cos a).
Na figura a seguir, o retângulo (2) é uma rotação anti-horária do retângulo (1) enquanto que o retângulo (3) é uma rotação horária do retângulo (1).
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As formas matriciais são RH - rotação horária e RA - rotação anti-horária, apresentadas a seguir:
6.5 – OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Três são as operações definidas para as transformações lineares: adição, multiplicação por real e composição.
6.5.1 – ADIÇÃO
Sejam T1: V à V’ e T2: V à V’.
Define-se a soma de duas transformações lineares T1(v) + T2(v) como sendo a transformaçãoT1 + T2: V à V’ , tal que (T1 + T2)(v) = T1(v) + T2(v).
Exemplo: Considerando as transformações T1:R2 à R2 e T2: R2 à R2, definidas por T1(x, y) = (2x – y, x + 2y) e T2(x, y) = (3x, y). A transformação T1 + T2 é então determinada por (T1 + T2)(x, y) = T1(x, y) + T2(x, y) = (2x – y, x + 2y) + (3x, y) = (5x – y, x + 3y).Se M1 e M2 são as matrizes correspondentes às transformações T1 e T2, a matriz correspondente a T1 + T2 será a matriz M1 + M2. Para o exemplo acima, as matrizes das transformações T1 e T2 são
como pode ser observado, é a matriz de T1 + T2.
6.5.2 – MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR
Seja T:V à V’ uma transformação linear e x um número real. Define-se o produto da transformação T pelo real x, como sendo a transformação linear xT: V à V’ , tal que (xT)(v) = x.T(v).
Se M é a matriz correspondente à transformação T, x.M será a matriz correspondente à transformação xT.
Exemplo: Seja T:R2 à R2, tal que T(x, y) = (2x – 5y, x + y). A transformação 3T(x,y) será: (3T)(x, y) = (6x – 15y, 3x + 3y).
6.5.3 – COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES
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Considerando as transformações lineares T1: V à V’ e T2: V’ à V” , define-se a transformação composta de T2 e T1, ou a composta de T2 sobre T1, indicada por T2oT1, como sendo a transformação T2oT1: V à V”, tal que (T2oT1)(v) = T2. (T1 (v))Esquematizando podemos visualizar a composta das transformações T1 e T2.
Exemplo: Considerando as transformações T1:R2 à R2 e T2: R2 à R2, definidas por T1.(x, y) = (2x – y, x + 2y) e T2.(x, y) = (3x, y + x). A transformação T1 o T2 é então determinada por(T2 o T1)(x, y) = T2.(T1.(x, y)) = T2.( 2x – y, x + 2y) = [3.(2x – y), (x + 2y) + (2x – y)] = (6x – 3y, 3x + y).
Considerando as matrizes M1 e M2, associadas às transformações T1 e T2, respectivamente, a matriz correspondente à transformação T1oT2 é M1.M2.
Para o exemplo anterior, temos:
O produto M2.M1 é a matriz da transformação T2oT1.
EXERCÍCIOS
01 – Sejam T1: R2 à R3 e T2: R2 à R3 transformações lineares tais que T1.(x,y) = (2x – y, x - 2y, 3x + y) e T2 (x, y) = (x – y, y + x, x + 2y). Determine:.a) T1 (5, 4) b) T2 (-3, 2) c) 2T1(4, 2) d) 3T1 (-1, 2) + 4T2 (-1,2)
02 – Considerando as transformações T1 e T2 dadas no exercício anterior, escreve as matrizes correspondentes a: a) T1 b) T2 c) 2T1 d) 5T2 e) 2T1 + 5T2
03 – Sejam T1: R2 à R2 e T2: R2 à R2 transformações lineares tais que T1.(x,y) = (2x – y, x - 2y) e T2 (x, y) = (x – y, y + x). Determine: a) 2T1 + 3T2 b) T1oT1 c) T2oT1 d) T1oT1 e) T2oT2.
04 – Escreva as matrizes correspondentes às transformações dadas no exercício 3.
05 – (a) Considere a transformação T: R2 à R2 tal que T(x, y) = (-x + 2y, 4x + 3y). Usando os vetores u = (2, 3) e v = (5 – 1), mostre que T(3u + 4v) = 3T(u) + 4T(v). (b) Seja A = {(1, 2), (2, 1)} uma base de R2. Seja B = {v Î B | v = 3T(u) + 4.T(u) e u Î A} . Mostre que B é uma base de R2.06 – Para cada uma das transformações T : R2 à R2, verificar se são ou não lineares. Para aquelas que forem lineares, escreva a matriz correspondente.a) T(x, y) = (x – 3y, 2x + 5y) b) T(x, y) = (y, x) c) T(x, y) = (x2, y2)d) T(x, y) = (x + 1, y) e) T(x, y) = (y – x, 0) f) T(x, y) = (|x|, y)g) T(x, y) = (senx, y) h) T(x, y) = (xy, x – y) i) T(x, y) = (3y, -2x)
07 – (a) Ache a transformação linear T:R2 à R3 tal que T(-1, 1) = (3, 2, 1) e T(0, 1) = (1, 1, 0). (b) Determinar v Î R2 tal que t(v) = (-2, 1, -3).08 – Determinar, para cada caso abaixo, a matriz transformação linear de R2 em R2 que representa a seqüência de transformações dadas: a) reflexão em torno do eixo dos y, seguida de um cisalhamento de fator 5 na direção horizontal.
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b) Rotação de 30º no sentido horário, seguida de uma duplicação do módulo e inversão do sentido. c) Reflexão em torno da reta y = -x, seguida de uma dilatação de fator 2 na direção Ox e finalmente, um cisalhamento de fator 3 na direção vertical. d) Reflexão em torno da reta y = x, seguida de um cisalhamento horizontal de fator 2, seguida de uma contração na direção Oy de fator 1/3.09 – Seja T:R2 à R2 a transformação linear tal que T(1, 2) = (-1, 0) e T(2, -1) = (-2, 3). Determine a matriz de T. Nota:- Esta matriz transforma a base {(1, 2), (2, -1)} na base {(-1, 0), (-2, 3)}.
10 – Seja T:R3 à R3 a transformação linear tal que T(1, 0, 0) = (0, 2, 0), T(0, 1, 0) = (0, 0, -2) e T(0, 0, 1) = (-1, 0, 3). Determine T( 2, 2, -4).
11 - Seja T:R3 à R3 a transformação linear tal que T(1, 1, 1) = (2, -2, 0), T(2, 0, 1) = (1, 3, -2) e T(1, 3, 2) = (-1, 1, 3). Determine a matriz associada à transformação T.12 – Represente graficamente a imagem do vetor (2, -1) quando se aplica a seqüência de transformações: a) rotação de 90º no sentido anti-horário,b) reflexão em relação ao eixo dos x;c) reflexão em relação à reta y = x,d) reflexão em relação à origem;e) rotação de 90º no sentido anti-horário;f) expansão de fator 3, no sentido do eixo dos x. 13 – Qual é a matriz correspondente ao conjunto de transformações do exercício 12?
14 – Qual será a imagem do vetor (2, -1) quando lhe for aplicada a seqüência de transformações do exercício 12, na ordem de f para a? O resultado é igual ou diferente ao obtido no exercício 12?
15 – Qual é o vetor (x, y) cuja imagem é (5, -4) quando se aplicam as transformações relacionadas no exercício 12? Qual é a matriz correspondente a este conjunto de transformações?
CAPÍTULO 07 – OPERADORES LINEARES
7.1 – INTRODUÇÃO
Estudamos no capítulo anterior as transformações lineares e as matrizes que as podem representar. No caso específico em que as transformações levam um espaço vetorial em si mesmo, estas transformações são denominadas OPERADORES LINEARES. Isto é: se T é linear e T:V à V então T é um operador linear. As matrizes correspondentes a tais transformações são matrizes quadradas. Iremos caracterizar neste capítulo tipos especiais de operadores que são operadores inversíveis, operadores ortogonais e operadores simétricos.
7.2 – NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Consideremos o esquema abaixo, representativo da transformação linear T: V à W
Como W é um espaço vetorial então o vetor nulo 0 pertence a W. Alguns vetores de V podem ter com imagem o vetor nulo de W.
Definição:- O conjunto de vetores de V cuja imagem é o vetor nulo de W, constitui um conjunto que chamamos de NÚCLEO DA TRANSFORMAÇÃO T, e o indicamos por N(T).
No diagrama acima, N(T) = {v4, v5} pois v4 e v5 são os vetores que têm por imagem o vetor nulo 0. Vejamos alguns exemplos:
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(1) Para a transformação T:R2 ® R2, T(x, y) = (x + y, x - y), N(T) = {(0, 0)} pois x + y = 0 e x - y = admite como única solução x = 0 e y = 0.(2) Para a transformação T:R2 ® R2, T(x, y) = (2x + 2y, x + y), N(T) = {v Î R2 | v = (x, -x)} Note que o sistema 2x + 2y = 0 e x + y = 0 admite infinitas soluções da forma y = -x.(3) Para a transformação T:R3 ® R3, T(x, y) = (x + y + z, 2x - y + 3z), teremos: x + y + 3z = 0 2x - y + 3z = 0Escalonando o sistema, que pode ser feito multiplicando a 1ª equação por -2 e somando à 2ª, teremos: x + y + 3z = 0 - 3y - 3z = 0.Temos um sistema escalonado com 3 variáveis e 2 equações. O sistema poderá então ser resolvido em função de uma das variáveis.
NOTA:- Chama-se "grau de liberdade" de um sistema escalonado à diferença entre o nº de variáveis e o número de equações. O grau de liberdade indica para quantas variáveis podemos escolher arbitrariamente valores para se obter uma solução particular do sistema.O grau de liberdade pode ser usado também para definir o número de variáveis que servirão como parâmetros para obtenção das demais variáveis. Isto é, obter as demais variáveis em função das variáveis escolhidas.
No sistema acima, tomando z, como parâmetro, teremos: 3y = -3z Þ y = - z. Levando esse valor para a primeira equação resulta: x - z + 3z = 0 Þ x = -2z.Desta forma: N(T) = { v Î R3 | v = (-2z, -z, z)}.
EXERCÍCIOS:
01 - Determine N(T) se a) T(x, y) = (-3x + 2y, 6x - 4y) b) T(x, y) = (x + y, x, 2y) c) T(x, y, z) = (x + 2y - z, 2x - y + z) d) T(x, y, z) = (x - 3y, x - z, z - x)
02 - Quais dos vetores (10, 5), (-2, - 3), (-2, 1), (2, 1) pertencem a N(T), se T(x, y) = (x - 2y, - 2x + 4y)?
7.3 - OPERADORES INVERSÍVEIS
Definição: Seja T1:V ® V, um operador linear, tal que T1 (u) = v, com u e v Î V. Dizemos que T1 é inversível se existir um operador T2: V ® V, tal que T2 (v) = u.
Neste caso indicamos T2 = T-1. Com relação a T e T-1 são válidas as propriedades:P1) ToT-1 = T-1oT = I, onde I é o transformador I(v) = (v), denominado operador identidade.P2) A matriz de T-1 é a matriz inversa de T.P3) Se T é inversível, N(T) = {0}.P4) Se T é inversível, T transforma uma base de V em outra base de V.P5) T é inversível, se e somente se o determinante da matriz de T for diferente de zero.
EXERCÍCIOS
01 - Seja T:R3 ® R3 é um operador linear definido por T(1, 1, 1) = (1, 0, 0); T(-2, 1, 0) = (0, -1, 0) e T(-1, -3, -2) = (0, 1, -1).a) mostre que T é inversívelb) determine T-1(x, y, z)c) qual é a matriz que transforma a base {(1, 1, 1), (-2, 1, 0), (-1, -3, -2)} para a base {(1, 0, 0), (0, -1, 0), (0, 1, -1)}.
02 - Para os operadores T lineares abaixo, verifique quais são inversíveis e em caso afirmativo, determine T-1. a) T(x, y) = (3x - 4y, -x + 2y) b) T(x, y) = (x - 2y, -2x + 3y)
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c) T(x, y) = (2x - x, -4x + 2y) d) T(x, y) = (-x, y) e) T(x, y, z) = (x + y - z, x + 2y, z) f) T(x, y, z) = (x - y + 2z, y - z, -2x + y - 3z)
03 - Considere os operadores T:R2 ® R2 que definem as transformações no plano a) reflexão em relação à origem b) reflexão em relação ao eixo dos x c) reflexão em relação ao eixo dos y d) cisalhamento de um fator k em relação ao eixo dos x e) expansão de um fator k paralelo ao eixo dos y f) rotação de 30º no sentido anti-horário Mostre que todos eles são operadores inversíveis e calcule os operadores inversos.
04 - Encontre a matriz e a forma algébrica do operador que transforma a base A = {(1, 1), (-1, 3)} na base B = {(3, 0), (2, 1)} .
05 - Encontre a matriz e a forma algébrica do operador que transforma a base B na base A dadas acima.
06 - Encontre a matriz e a forma algébrica do operador que deve ser usado para aplicar a sucessão de transformações abaixo: - rotação de 90º, no sentido horário, seguida de uma reflexão em relação à origem seguida de uma expansão de fator 3 paralelo ao eixo dos x e de uma expansão de fator 2 paralelo ao eixo dos y.
7.4 - OPERADORES ORTOGONAIS
Definição:- um operador linear T : Rn ® Rn é denominado ortogonal se para todo vetor v de Rn, |T(v)| = | v |.
De acordo com a definição, um operador linear é ortogonal quando os módulos do vetor v e de sua imagem T(v) são iguais.·
Considerando o operador linear T(x, y) = (-y, x) e calculando os módulo de v e de T(v) temos:
A igualdade dos módulos mostra que o operador T(x, y) = (-y, x) é ortogonal.
Para os operadores lineares ortogonais são verificadas as propriedades:P1 - Se T: Rn ® Rn é um operador ortogonal e M é a matriz de T então M-1 = Mt. A matriz de T é chamada de matriz ortogonal.P2 - Se T: Rn ® Rn é um operador ortogonal e M é a matriz de T então det(M) = + 1. A recíproca dessa afirmativa não é verdadeira. Isto é: se o determinante da matriz de uma transformação for igual a + 1, não implica em ser T ortogonal.P3 - Se T: Rn ® Rn é um operador ortogonal, para quaisquer vetores u e v de Rn, teremos u.v = T(u).T(v). Isto é: o produto escalar ou interno é preservado na transformação. Como conseqüência dessa propriedade, todo operador ortogonal preserva também o ângulo entre os vetores, ou seja o ângulo formado por u e v é igual ao ângulo formado por T(u) e T(v).Assim é que, o operador ortogonal transforma uma base ortonormal (eixos perpendiculares) em outra base ortonormal.P4 - A composta de duas transformações ortogonais é uma transformação ortogonal.
7.5 - OPERADORES SIMÉTRICOS
Definição:- Um operador linear T : V ® V é dito simétrico se a matriz M a ele associada for tal que M = MT, onde MT é a transposta de M.
Exemplo: Seja o operador T(x, y, z) = (3x + 2y + z, 2x + 4y + 5z, x + 5y + z).
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Conforme pode ser notado M = MT e, de acordo com a definição, T é um operador simétrico.
PROPRIEDADE;- Se T : Rn ® Rn é um operador simétrico então, para quaisquer u e v de Rn, tem-se T(u).v = u.T(v). LEMBRETE: Se u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) então u.v = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2 .
EXERCÍCIOS:
01 - Verifique a propriedade dos operadores simétricos u.T(v) = v.(T.u) para os vetores u = (1, 2, 3) e v = (-2, 4, 2) se T(x, y, z) = (3x + 2y + z, 2x + 4y + 5z, x + 5y + z).
02 - Dados os operadores abaixo, verificar quais são inversíveis, ortogonais e simétricos. a) T(x, y) = (3x/5 - 4y/5, 4x/5 + 3y/5) b) T(x, y, z) = (x + 2y + 3z, 2x + 3y + 4z, 3x + 5y + 7z) c) T(x, y, z) = (x/3 + 2y/3 + 2z/3, 2x/3 - 2y/3 + z/3, 2x/3 + y/3 - 2z/3) d) T(x, y, z) = (x + 3z, 4y + 2z, 3x + 2y) e) T(x, y, z) = (z, -x, -y) f) T(x, y, z) = (0, 0, z)
03 - Para que valor de k o operador T(x, y, z) = (ax + y + z, x - y - z, 2y - 2z) é inversível?
03 - Seja o operador linear T(x, y) = (2x - y, x + y). a) Determine T(u) e T(v) sendo u e v os vetores da A = {(1, 3), (-2, 1)}. b) O conjunto B = {T(u), T(v)} é uma base de R2? c) Qual é a matriz que transforma a base A na base B? d) Qual é a matriz que transforma a base B na base A?
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