1 Cálculo II -
Capítulo 3 - Geometria Analítica
1. Gráficos de Equações
Exemplo
O gráfico da equação é:
Um ponto no espaço
euclidiano
unidimensional
Uma reta no espaço
euclidiano
bidimensional
Um plano no espaço
euclidiano tridimensional
Generalizando:
Na geometria analítica unidimensional ( ), o gráfico de uma equação
envolvendo representa um ponto na reta .
Na geometria analítica bidimensional ( ), o gráfico de uma equação
envolvendo e representa uma curva no plano .
Na geometria analítica tridimensional ( ), o gráfico de uma equação
envolvendo , e representa uma superfície no espaço .
Conceito:O gráfico de uma equação é o conjunto de todos os pontos e somente estes pontos, cujas coordenadas satisfazem a equação.
Assim, o gráfico de uma equação depende do espaço euclidiano
que ela esteja definida ou
2 Cálculo II -
Exemplos:
1) Que superfícies em são representadas pelas equações:
Plano paralelo a Plano paralelo a { ( | { ( |
2) Desenhe o gráfico de em e explicite a interseção destes
planos:
3) Escreva um par de equações simultâneas cujo gráfico é uma reta
perpendicular ao plano e que contém o ponto (
x=-3
z
(
y=2
-3 Reta paralela a z passando pelo ponto (-3,2,1)
{ (
1
y
2
x
y
x
1
y=1
z=0
Reta paralela a passando pelo ponto (0,1,0)
{ (
(
z
3 Cálculo II -
2. Geometria Bidimensional
As seções cônicas, ou simplesmente cônicas, são assim chamadas, pois são
curvas obtidas por cortes de cones circulares por planos.
Círculo Elipse
Parábola Hipérbole
-4-2
0 2
4
x
-4-2
0 2
4y
-4-2 0 2 4
z
-4-2
0 2
4x
-4-2
0 2
4y
-4-2 0 2 4
z
-4-2
0 2
4x
-4-2
0 2
4y
-4-2 0 2 4
z
-4-2
0 2
4x
-4-2
0 2
4y
-4-2 0 2 4
z
{
{
Gráficos de uma Equação no Plano
4 Cálculo II -
Equação Geral de 2º grau em duas variáveis
Se há rotação de eixos. Se e/ou há translação de eixos.
3. Reta
A Inclinação de uma reta ( é o ângulo formado entre o eixo das
abscissas ( e a reta, considerado positivo se medido no sentido anti-
horário.
O Coeficiente Angular ou declividade de uma reta não perpendicular ao eixo das abscissas é o valor real ( obtido no cálculo da tangente
trigonométrica do ângulo .
(
Na trigonometria, define-se tangente de um ângulo ( ( como sendo o
quociente entre o cateto oposto a e o cateto adjacente a .
Como ( tem-se:
Se então
Se então
Se ou então
Se então
𝜃
𝑥
𝑦
𝑟
5 Cálculo II -
Equação da Reta na forma reduzida:
A equação da reta na forma reduzida é uma equação linear do tipo:
Onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear.
A equação de uma reta pode ser estabelecida se forem conhecidos:
Um ponto sobre a reta e o valor de seu coeficiente angular
Dois pontos sobre a reta
a) Equação da reta dados um ponto sobre ela e o seu coeficiente angular
Considere conhecidas as coordenadas de um ponto ( sobre uma
reta. Imagine outro ponto qualquer ( , também sobre a reta, de forma
que a coordenada de difere da coordenada de por uma quantidade
e que a coordenada de difere da coordenada de por uma
quantidade . Então a coordenada de é e a coordenada de é
.
Considere conhecida a inclinação da reta ou o seu coeficiente angular
( . Então,
( (
𝑃 (𝑥 𝑦
𝑃(𝑥 𝑦 𝑃(𝑥 𝑥 𝑦 𝑦
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦
𝑃
𝑃
𝜃 𝑥
𝑦
𝜃
𝑥
𝑦
𝑥 𝑥 𝑥
𝑦
𝑦 𝑦
6 Cálculo II -
b) Equação da reta dados dois pontos sobre ela
Se as coordenadas de dois pontos ( e ( sobre uma reta são
conhecidas, podemos facilmente encontrar o seu coeficiente angular ( . Uma vez conhecido o coeficiente angular e a coordenada de um ponto sobre a reta, podemos determinar a equação da reta utilizando o procedimento
descrito anteriormente. Assim,
( (
Equação da Reta na forma Pontos Interceptos:
Se uma reta não for vertical nem horizontal, ela deve interceptar o eixo dos em algum ponto ( e deve interceptar o eixo dos em algum ponto
( .
Dicas para reconhecer a equação de uma reta:
As duas variáveis caso existam estão em primeira potência.
é a abscissa do ponto de interseção da reta com o eixo .
é a ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo .
𝑏 𝑃 ( 𝑏
𝜃
𝑥 𝑂
𝑃 (𝑎
𝑦
𝑎
(
7 Cálculo II -
Exemplos
1. Dadas as coordenadas de dois pontos e , determine a equação da
reta que passa por eles. Encontre o coeficiente angular da reta e os
pontos que ela intercepta o eixo dos e dos .
a) ( (
(
(
( ( ( (
Reta horizontal, coeficiente angular zero.
Corta o eixo no ponto ( , não corta o eixo .
b) ( (
(
(
Reta vertical, coeficiente angular infinito
Corta o eixo em no ponto ( , não corta o eixo .
c) ( (
(
(
( (
(
Reta inclinada de coeficiente angular - 9/5.
Corta o eixo no ponto (
) Corta o eixo no ponto (
8 Cálculo II -
Retas Paralelas
Duas retas são paralelas se, e somente se, possuem a mesma
inclinação.
Retas Perpendiculares
Duas retas não-verticais são perpendiculares se, e somente se, o coeficiente angular de uma das retas é o simétrico do inverso do
coeficiente angular da outra.
(
)
( )
𝜃 𝑥
𝑦
𝑂
𝜃
𝑅
𝑅
𝜃 𝑥
𝑦
𝑂
𝜃
𝑅
𝑅
9 Cálculo II -
Exemplos:
1. Determine a equação geral da reta que é perpendicular à , no ponto (
( (
(
(
Equação Geral da reta
2. Determine a equação e os pontos interceptos da reta que contém o
ponto ( e é paralela à reta . A reta é uma reta que passa pelos pontos ( e ( .
Reta
(
( ( )
Reta
(
(
A reta intercepta no ponto ( e intercepta no ponto ( .
Retas Concorrentes
Se duas retas distintas no plano não são paralelas, então elas se
interceptam em um único ponto ( .
Como o ponto pertence às duas retas simultaneamente, suas
coordenadas e satisfazem as equações de e de .
𝑦
𝑂
𝑅 𝑅
𝑥
𝑃 (𝑥 𝑦
𝑥
𝑦
10 Cálculo II -
3. Determine a equação da reta de coeficiente angular 5 que passa pelo
ponto ( . Encontre os pontos interceptos dessa reta.
(
(
A reta intercepta no ponto (
)e intercepta no ponto ( .
4. Determine o ponto que as retas e
se interceptam.
Seja ( este ponto. Então estas coordenadas satisfazem ambas as
equações:
{
Resolvendo o Sistema:
Substituindo na primeira equação
(
Logo (
5. Determine as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico da
função ( no ponto de coordenadas ( . Reta tangente
Sabe-se que o coeficiente angular da reta tangente à curva de uma função num determinado ponto é igual ao valor da derivada da função
neste ponto. ( (
A reta tangente passa pelo ponto (
(
A reta tangente intercepta no ponto (
) e intercepta no ponto
( . Reta Normal
A reta normal é perpendicular à reta tangente.
A reta normal passa pelo ponto (1,1)
(
A reta normal intercepta no ponto ( e intercepta no ponto (
).
11 Cálculo II -
4. Círculo
Dicas para reconhecer a equação de um círculo no plano :
As duas variáveis ( e ) estão na segunda potência
Os coeficientes de e são números iguais e positivos
Definição
Um círculo é o conjunto de todos os pontos ( no plano tais que a
distância de até um ponto fixo ( , chamado centro, é
constante e igual ao raio .
( (
Equação Canônica do Círculo com centro em ( e raio
Por translação de eixos:
| |
𝑃
𝑟
𝐶
𝑥
𝑦
𝑂 𝑥
𝑦
12 Cálculo II -
Exemplos:
1) Determine as coordenadas do centro e o raio do círculo cuja equação é:
( (
( ( ( (
( Círculo de centro ( e raio 5
( (
( (
)
) (
)
( (
)
) (
)
( (
Círculo de centro ( e raio 3
( (
[ (
)
] [ (
)
] (
)
(
)
( (
( (
( Círculo de centro ( e raio 5
2) Encontre a equação do círculo que satisfaz as
condições dadas
a) Raio= 3 e centro (
( ( ) (
( ( (forma canônica)
(forma geral)
5. Elipse
13 Cálculo II -
Definição
Uma elipse é o conjunto de todos os pontos ( no plano tais que
a soma das distâncias de a 2 pontos fixos e , chamados focos, é constante.
(
(
(
(
( ( ( (
Equação da Elipse com centro em (
Eixo Maior paralelo ao eixo dos Eixo Maior paralelo ao eixo dos
Por translação de eixos:
( (
( (
| | |
|
| |
| |
| |
14 Cálculo II -
Dicas para reconhecer a equação de uma elipse na forma canônica
As duas variáveis ( e ) estão na segunda potência
Os coeficientes de e são positivos
Se o denominador de for maior do que o denominador de então é
uma elipse de eixo maior paralelo ao eixo dos .
Se o denominador de for maior do que o denominador de então é
uma elipse de eixo maior paralelo ao eixo dos .
Exemplos
1) Encontre a equação geral da elipse que satisfaz as condições dadas
Elipse com centro em (-2, 5) semieixo maior paralelo a y (a=5) e
semieixo menor paralelo a x (b=2).
( ( )
(
(
(
Elipse com centro em (4, 0) semieixo maior paralelo a x (a=4) e
semieixo menor paralelo a 4 (b=1).
(
(
(
15 Cálculo II -
2) Identifique, descreva e esboce o gráfico das equações abaixo:
(
(
√ √
( ( ( (
( (
( (
)
) ( (
)
) (
)
(
)
( (
(
(
Elipse com eixo maior paralelo ao eixo
dos com centro (
Semieixo maior paralelo a y (a=2)
Semieixo menor paralelo a x (a=1)
(
(
Denominadores diferentes
Elipse com eixo maior paralelo ao eixo
Centro (0,0)
Semieixo maior paralelo a y = 9
Semieixo menor paralelo a x = 6
16 Cálculo II -
( (
( (
)
) ( (
)
) (
)
(
)
( (
( (
(
(
⁄
(
(
Elipse com eixo maior paralelo ao
eixo dos com centro (
Semieixo maior // a x = 7
Semieixo maior // a y = 3
17 Cálculo II -
6. Hipérbole
Dicas para reconhecer a equação de uma hipérbole na forma canônica
As duas variáveis ( e ) estão na segunda potência
Os coeficientes de e de têm sinais contrários.
O eixo real ou transverso da hipérbole, onde estão os focos, é
homônimo à variável de coeficiente positivo.
O fato de ter eixo real coinciente com o eixo dos ou dos independe
na magnitude de . Na hipérbole pode-se ter Por
exemplo:
Definição
Uma hipérbole é o conjunto de todos os pontos ( no plano tais
que o valor absoluto da diferença das distâncias de a dois pontos
fixos, chamados focos é constante e igual a
|| | |
||
| |
| |
| |
Eixo real ou transverso:
Eixo imaginário ou conjugado:
Distância focal:
Excentricidade:
Assíntotas:
2 c
18 Cálculo II -
Exemplos:
1) Encontre a equação geral da elipse que satisfaz as condições dadas
Hipérbole com centro em (-2, -4) eixo real paralelo a (a=2) e eixo
imaginário paralelo a x (b=4).
( ( )
(
( ( )
(
(
(
(
Hipérbole com centro em (0, 3) eixo real paralelo a (a=3) e eixo
imaginário paralelo a (b=1).
( ( )
(
( ( )
(
(
√
(
(
(
(
Equação da Hipérbole com vértice ( e eixos de simetria
paralelos aos eixos coordenados
Eixo real paralelo ao eixo dos x Eixo real paralelo ao eixo dos y
Por translação de eixos:
19 Cálculo II -
2) Dada a equação da hipérbole na forma canônica, determinar as
coordenadas do centro e dos vértices.
(
(
(
(
( (
Completando os quadrados
( (
( (
)
) ( (
)
)
(
( (
(
(
(
(
(
Coeficiente de negativo e de positivo: Hipérbole com eixo
transverso paralelo ao eixo dos com centro (
√
(
( (
20 Cálculo II -
7. Parábola
Definição
Uma parábola é o conjunto de todos os pontos ( no plano tais
que a distância de a um ponto fixo , chamado foco, é igual à
distância de a uma reta fixa D, chamada diretriz.
( ( (
(
(
(
(
(
Equação Canônica da Parábola no plano com vértice (
Simetria Vertical
| | | |
| | | |
| |
| |
distância do vértice ao foco
p p
21 Cálculo II -
Dicas para reconhecer a equação de uma parábola no plano com simetria
horizontal ou vertical
Uma variável está em primeira potência e a outra na segunda
potência
O eixo de simetria da parábola é homônimo à variavél de primeiro
grau. Isto é: Se está em primeira potência o eixo da parábola é
paralelo ao eixo dos . Se y está em em primeira potência o eixo da parábola é paralelo ao
eixo dos y.
Se a parábola é voltada para o sentido positivo de seu eixo de
simetria.
Se a parábola é voltada para o sentido negativo de seu eixo de
simetria.
( ( (
(
(
(
(
(
Equação Canônica da Parábola no plano com vértice (
Simetria Horizontal
22 Cálculo II -
Exemplos:
1) Identifique e esboce o gráfico das equações abaixo:
positivo
(
(
negativo
(
( (
( (
Parábola com simetria vertical
voltada para o sentido positivo de
Parábola com simetria horizontal
voltada para o sentido negativo de
Parábola com simetria horizontal
voltada para o sentido negativo de
23 Cálculo II -
(
)
(
)
(
( ( (
(
2) Determine a equação da parábola que satisfaz as condições dadas:
parábola com simetria horizontal, vértice ( voltada para o sentido
positivo e distância focal .
( (
( ( ( ) ( (
parábola com simetria vertical, vértice ( voltada para o sentido
negativo e distância focal .
( ( ( ( ( )
Parábola com simetria vertical
voltada para o sentido positivo de
24 Cálculo II -
8. Geometria Tridimensional
8.1 Retas no Espaço Tridimensional
Equação da Reta que Liga os Pontos
( (
Forma Normal
Forma Paramétrica
8.2 Plano
Equação Geral do Plano
Equação do Plano em Relação a suas
Interseções
onde são as interseções nos eixos
, respectivamente
Equação do Plano que contém os pontos
( ( (
[
]
25 Cálculo II -
8.3 Superfície Cilíndrica ou Cilindro
Superfície obtida pela translação de
uma reta, chamada geratriz, ao longo de uma curva, chamada diretriz.
Exemplo:
Curva Geratriz Paralela ao Eixo e
Curva Diretriz no Plano
( ( (
8.4 Superfície de Revolução
Superfície obtida pela rotação de uma
curva plana (curva diretriz) em torno
de uma reta (eixo de revolução), que
pertence ao plano da curva.
Exemplo:
Curva Diretriz no Plano rotacionada
em torno do eixo
( (
( √ ) (
8.5 Esfera
Todos os traços são círculos
Curva
Geratriz
Curva
Diretriz
Eixo de
Revolução
Curva
Diretriz
26 Cálculo II -
8.6 Elipsóide
Todos os traços são elipses ou círculos
Se o elipsóide é uma esfera
8.7. Hiperbolóide de uma folha
Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são hipérboles e nos planos perpendiculares
ao outro eixo coordenado são elipses ou círculos
8.8. Hiperbolóide de duas folhas
.
Os traços nos planos perpendiculares a
dois dos eixos coordenados são hipérboles e nos planos perpendiculares
ao outro eixo coordenado são elipses ou círculos
27 Cálculo II -
8.9. Cone
Equação Tipo II
Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são
hipérboles e nos planos perpendiculares ao outro eixo coordenado são elipses ou círculos.
8.10. Parabolóide Elíptico
Equação Tipo III
Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são parábolas e nos planos perpendiculares
ao outro eixo coordenado são elipses ou círculos.