Transcript
Page 1: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda

ordem com coeficientes constantes

Uma equação diferencial ordinaria de segunda ordem tem a forma geral

onde f é uma função dada.Esta equação é dita linear se f é linear em y e y':

caso contrário dizemos que é não linear. Uma equação linear de segunda ordem aparece como

Se G(t) = 0 para todo t, então esta equação é dita homogênea. caso contrário dizemos que é não homogênea.

),,( yytfy ′=′′

ytqytptgy )()()( −′−=′′

)()()()( tGytRytQytP =+′+′′

Page 2: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.1:

Equações Homogêneas, Valores IniciaisNas seções 3.6 e 3.7, nós veremos que uma vez que encontramos uma solução para a equação homogênea, isto possibilita resolver uma equação não homogênea associada ou correspondente à homogênea, ou no mínimo expressar a solução em termos de uma integral.O foco deste capítulo são as equações Homogêneas e em particular, as de coeficientes constantes:

O caso com coeficientes variáveis será vista mais adiante.Condição Inicial é dada da seguinte forma

Portanto a solução passa por (t0, y0), e a inclinação da solução em (t0, y0) é igual a y0'.

0=+′+′′ cyybya

( ) ( ) 0000 , ytyyty ′=′=

Page 3: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.1:Exemplo 1

Infinidades de SoluçõesConsidere a EDO 2a

As duas soluções desta equação são

Outras soluções são

Baseado nesta observação, nós vimos que existem uma infinidades de soluções e são da forma

Mostraremos na seção 3.2 que todas as soluções da equação diferencial acima podem ser expressada desta forma.

0=−′′ yy

tt etyety −== )(,)( 21

tttt eetyetyety −− +=== 53)(,5)(,3)( 543

tt ececty −+= 21)(

Page 4: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.1: Exemplo 1

Condições IniciaisAgora considere o seguinte Problema de Valor Inicial (PVI) para nossa equação:

Nos podemos encontrar uma solução geral da seguinte forma

Usando as condições iniciais,

temos

1)0(,3)0(,0 =′==−′′ yyyy

tt ececty −+= 21)(

1,21)0(3)0(

2121

21 ==⇒

=−=′=+=

ccccyccy

tt eety −+= 2)(

Page 5: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.1: Exemplo 1

Gráfico da SoluçãoO PVI e a solução são

O gráfico da solução é dado abaixo. O gráfico da direita sugere que ambas as condições são satisfeita.

tt eetyyyyy −+=⇒=′==−′′ 2)(1)0(,3)0(,0

Page 6: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.1:

Equação Característica

Para resolver uma equação de 2a ordem com coeficientes constantes,começamos assumindo uma solução da forma y = ert. Substituindo-a na equação diferencial, obtemos:

Simplificando,

e assim

Esta última equação é chamada equação característica da equação diferencial. Nos resolvemos esta equação em r por fatoração ou usando a formula quadrática.

,0=+′+′′ cyybya

02 =++ rtrtrt cebreear

0)( 2 =++ cbrarert

02 =++ cbrar

Page 7: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.1:

Solução GeralUsando a formula quadrática na equação característica

obtemos duas soluções, r1 e r2. Existem três possibilidades:

As Raízes r1, r2 são reais e r1 ≠ r2. As Raízes r1, r2 são reais e r1 = r2. As Raízes r1, r2 são complexas.

Por enquanto, vamos assumir que r1, r2 são reais e r1 ≠ r2. Neste caso, a solução geral é da forma

,02 =++ cbrar

trtr ececty 2121)( +=

aacbbr

242 −±−=

Page 8: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.1:

Condições Iniciais Para o PVI

usaremos a solução geral

usando as condições iniciais para encontrar c1 e c2. Isto é,

Desde que assumindo r1 ≠ r2, segue que uma solução da forma y = ert para o PVI acima sempre existirá, para qualquer conjunto de condições iniciais.

,)(,)(,0 0000 ytyytycyybya ′=′==+′+′′

0201

0201

0201

21

0102

21

2001

02211

021 , trtrtrtr

trtr

erryryce

rrryyc

yercerc

yecec −−

−′−=

−−′

=⇒

′=+

=+

trtr ececty 2121)( +=

Page 9: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.1:

Exemplo 2Considere o PVI

Tomando a solução exponencial e obtendo a E.C.:

Fatorando a E.C. obtemos duas soluções, r1 = -4 e r2 = 3A solução geral é

Usando as condições iniciais:

Temos

1)0(,0)0(,012 =′==−′+′′ yyyyy

( ) ( ) 034012)( 2 =−+⇔=−+⇒= rrrrety rt

tt ececty 32

41)( += −

71,

71

1340

2121

21 =−=⇒

=+−=+

cccccc

tt eety 34

71

71)( +−= −

Page 10: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.1:

Exemplo 3Considere o PVI

Então

Fatorando, obtemos duas soluções, r1 = 0 e r2 = -3/2A solução geral é

Usando as condições iniciais:

Temos

( ) ( ) 30,10,032 =′==′+′′ yyyy

( ) 032032)( 2 =+⇔=+⇒= rrrrety rt

2/321

2/32

01)( ttt eccececty −− +=+=

2,33

23

1212

21

−==⇒

=−

=+ccc

cc

2/323)( tety −−=

Page 11: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.1: Exemplo 4

PVIConsidere o PVI

Então

Fatorando, obtemos duas soluções, r1 = -2 e r2 = -3A solução geral é

Usando as condições iniciais:

Temos

( ) ( ) 30,20,065 =′==+′+′′ yyyyy

( )( ) 032065)( 2 =++⇔=++⇒= rrrrety rt

tt ececty 32

21)( −− +=

7,93322

2121

21 −==⇒

=−−=+

cccccc

tt eety 32 79)( −− −=

Page 12: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.1: Exemplo 4

Encontrando o Valor Máximo

Encontrar o valor máximo alcançado pela solução.

204.21542.0

)6/7ln(6/7

7602118)(

79)(

32

32

32

≈≈==

=

=+−=′

−=

−−

−−

−−

ytt

eee

eety

eety

t

tt

settt

tt

Page 13: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.2: Soluções Fundamentais de Equações

Lineares Homogêneas

Sejam p, q funções contínuas no intervalo I = (α, β), o qual poderá ser infinito. Para alguma função y que seja três vezes diferenciável em I, definisse o operador diferencial L por

Note que L[y] é uma função em I, com valor de saída

Por exemplo,

[ ] yqypyyL +′+′′=

[ ] )()()()()()( tytqtytptytyL +′+′′=

( )[ ] )sin(2)cos()sin()(

2,0),sin()(,)(,)(22

22

tettttyLIttyetqttp

t

t

++−=

==== π

Page 14: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.2:

Notação do Operador DiferencialNesta seção nos vamos discutir a equação homogênea linear de 2a ordem L[y](t) = 0, junto com condições iniciais como indicado abaixo:

Nós gostaríamos de saber se existe solução para este problema de valor inicial, e em caso afirmativo, se é única.Também, gostaríamos de saber sobre a forma e a estrutura das soluções, pois, podem ser úteis na hora de encontrar soluções para os problemas particulares. Estas perguntas são respondidas nos teoremas a seguir .

[ ]1000 )(,)(

0)()(ytyyty

ytqytpyyL=′=

=+′+′′=

Page 15: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.2:

Teorema 3.2.1Considere o PVI

onde p, q, e g são funções continuas no intervalo aberto I que contém t0. Então existe uma única solução y = φ(t) em I.

Note: Quando este teorema diz que existe uma solução ao problema do valor inicial acima, não é possível escrever a solução por uma expressão. Esta é a maior uma diferença principal das equações Lineares de 1a ordem com as de 2a ordem.

0000 )(,)()()()(

ytyytytgytqytpy

′=′==+′+′′

Page 16: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.2:

Exemplo 1

Considere a EDO 2a ordem linear com PVI

Na seção 3.1, nós mostramos que este PVI tem a seguinte solução:

Note que p(t) = 0, q(t) = -1, g(t) = 0 elas são contínuas em (-∞, ∞), e a solução y está bem definida e é duas vezes diferenciável em (-∞, ∞).

tt eety −+= 2)(

( ) ( ) 10,30,0 =′==−′′ yyyy

1000 )(,)()()()(

ytyytytgytqytpy

=′==+′+′′

Page 17: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.2:

Exemplo 2

Considere a EDO 2a ordem linear com PVI

onde p, q são funções continuas no intervalo aberto I que contém t0.

Na luz das circunstâncias iniciais, note que y = 0 é uma solução para este problema homogêneo de valor inicial.Desde que as hipóteses do Teorema 3.2.1 são satisfeitas, segue que y = 0 é a única solução deste problema.

( ) ( ) 00,00,0)()( =′==+′+′′ yyytqytpy

Page 18: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.2:

Exemplo 3Determinar o maior intervalo em que dado do valor inicial, solução do problema existe e é única e ainda é duas vezes diferenciável . Não tente encontrar a soluçao.

Primeiramente pôr a equação diferencial na formula padrão:

O maior intervalo que contem o ponto t = 0 em que os coeficiente da função são contínuos é (-1, ∞). Segue do Teorema 3.2.1 que o maior intervalo em que este problema de valor inicial terá uma solução duas vezes diferenciável é também (-1, ∞).

( ) ( ) ( ) 00,10,13)(cos1 =′==+′−′′+ yyyytyt

( ) ( ) 00,10,1

11

31

cos =′=+

=+

+′+

−′′ yyt

yt

yt

ty

Page 19: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.2:Teorema 3.2.2 (Princípio da Superposição)

Se y1e y2 são soluções da equação

então a combinação linear delas c1y1 + y2c2 é também uma solução, para todas as constantes c1 e c2 reais.

Para provar este Teorema, substitua c1y1 + y2c2 no lugar de y na equação abaixo, e use o fato de que y1 e y2 são soluções e L[y] é linear.

Assim para todas as duas soluções y1 e y2, nós podemos construir uma família de infinitas soluções , para cada y = c1y1 + c2 y2. Pode todas as soluções ser escrita desta maneira, ou têm alguma outra solução completamente diferente? Para responder a esta pergunta, nós usaremos o determinante Wronskiano.

0)()(][ =+′+′′= ytqytpyyL

0][][][0][0][ 2211221121 =+=+⇒== yLcyLcycycLyLeyL

Page 20: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.2:

O Determinante WronskianoSuponha que y1 e y2 são soluções para a equação

Pelo Teorema 3.2.2, nos sabemos que y = c1y1 + c2 y2 é uma solução desta equação. O próximo passo é encontrar os coeficientes c1 e c2 tais que y = c1y1 + c2 y2 satisfazem as condições iniciais

Para isso, nós necessitamos resolver as seguintes equações:

0)()(][ =+′+′′= ytqytpyyL

0000 )(,)( ytyyty ′=′=

0022011

0022011

)()()()(

ytyctycytyctyc

′=′+′=+

Page 21: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.2:

O Determinante WronskianoResolvendo as equações, nos obtemos

Em termos de determinantes:

0022011

0022011

)()()()(

ytyctycytyctyc

′=′+′=+

)()()()()()(

)()()()()()(

02010201

0100102

02010201

0200201

tytytytytyytyyc

tytytytytyytyyc

′−′′+′−=

′−′′−′

=

)()()()(

)()(

,

)()()()(

)()(

0201

0201

001

001

2

0201

0201

020

020

1

tytytyty

ytyyty

c

tytytyty

tyytyy

c

′′

′′=

′′

′′=

Page 22: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.2:

O Determinante WronskianoPara que estas fórmulas sejam válidas, o determinante W no denominador não pode se anular:

W é chamado de Determinante Wronskiano, ou simplesmente de, o Wronskiano das soluções y1e y2. Nós usaremos às vezes a notação

)()()()()()()()(

020102010201

0201 tytytytytytytyty

W ′−′=′′

=

Wytyyty

cW

tyytyy

c 001

001

2020

020

1

)()(

,)()(

′′=

′′=

( ) ( )021, tyyW

Page 23: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.2:

Teorema 3.2.3Suponha que y1 e y2 são soluções da equação

e que o Wronskiano

é não nulo no ponto t0 onde as condições iniciais

são definidas. Então existe uma escolha das constantes c1, c2 para que y = c1y1 + c2 y2 seja uma solução da equação diferencial (1) e das condições iniciais (2).

)1(0)()(][ =+′+′′= ytqytpyyL

2121 yyyyW ′−′=

)2()(,)( 0000 ytyyty ′=′=

Page 24: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.2:

Exemplo 4Observe o seguinte PVI e sua solução:

Note que as duas funções exponenciais são soluções da equação diferencial:

O Wronskiano de y1 e y2 é

Como W ≠ 0 para todo t, a combinação linear de y1 e y2 pode ser usada para construir a solução do PVI para qualquer condição inicial t0.

tt eyey −== 21 ,

22 02121

21

21 −=−=−−=′−′=′′

= −− eeeeeyyyyyyyy

W tttt

( ) ( ) tt eetyyyyy −+=⇒=′==−′′ 2)(10,30,0

2211 ycycy +=

Page 25: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.2:

Teorema 3.2.4 (Solução Fundamental )Suponha que y1 e y2 são soluções da equação

Se existe um ponto t0 tal que W(y1,y2)(t0) ≠ 0, então a família de soluções y = c1y1 + c2 y2 com coeficientes arbitrários c1, c2 incluem todas as soluções da equação diferencial.

A expressão y = c1y1 + c2 y2 é chamada de solução geral da equação diferencial acima, e neste caso y1 e y2 formam o chamado Conjunto Fundamental das Soluções para a equação diferencial.

.0)()(][ =+′+′′= ytqytpyyL

Page 26: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.2:

Exemplo 5Para a equação abaixo, temos duas soluções indicadas:

O Wronskiano de y1 e y2 é

Assim y1 e y2 formam o Conjunto Fundamental das Soluções da equação diferencial acima, e podemos usa-las para construir todas as suas soluções. A solução Geral é

tt eyeyyy −===−′′ 21 ,,0

. todopara 022 0

21

21 teeeeeyyyy

W tttt ≠−=−=−−=′′

= −−

tt ececy −+= 21

Page 27: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.2:

Exemplo 6Considere uma equação linear de 2a ordem, com duas soluções indicadas:

Suponha que as funções abaixo são soluções desta equação:

O Wronskiano de y1e y2 é

Assim y1e y2 formam o Conjunto Fundamental das Soluções da equação diferencial, e podemos ser usadas para construir todas as soluções.A solução Geral é

2121 ,, 21 rreyey trtr ≠==

( ) ( ) . todopara 021

21

21

122121

21 terrerer

eeyyyy

W trrtrtr

trtr

≠−==′′

= +

0)()( =+′+′′ ytqytpy

trtr ececy 2121 +=

Page 28: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.2:

Exemplo 7: SoluçõesConsidere a seguinte equação diferencial:

Mostre que as soluções abaixo são soluções fundamentais:

Para mostrar isso, primeiro substitua y1 na equação:

Assim y1 é uma solução da equação diferencial. Similarmente, y2 também é uma solução:

12

2/11 , −== tyty

0,032 2 >=−′+′′ tyytyt

0123

21

23

42 2/12/1

2/12/32 =

−+−=−

+

− −−

tttttt

( ) ( ) ( ) 0134322 11232 =−−=−−+ −−−− tttttt

Page 29: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.2:

Exemplo 7: Soluções FundamentaisLembrando que

Para mostrar que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções, vamos calcular o Wronskiana de y1 e y2:

Desde que W ≠ 0 para t > 0, y1, y2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial

3

2/32/32/322/1

12/1

21

21

23

23

21

21

tttttt

tt

yyyy

W −=−=−−=−=′′

= −−−−−

12

2/11 , −== tyty

0,032 2 >=−′+′′ tyytyt

Page 30: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.2: Teorema 3.2.5: Existencia do Conjunto

Fundamental de SoluçõesConsidere a equação diferencial abaixo, onde os coeficientes p e q são continuos em algum intervalo aberto I:

Seja t0 um ponto em I, y1 e y2 soluções da equação diferencial com y1 satisfazendo a condição inicial

e y2 satisfazendo a condição inicial

Então y1, y2 formam o conjunto fundamental das soluções para a dada equação diferencial.

0)()(][ =+′+′′= ytqytpyyL

0)(,1)( 0101 =′= tyty

1)(,0)( 0202 =′= tyty

Page 31: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.2:

Exemplo 7: Teorema 3.2.5 (1 of 3)

Encontrar o conjunto fundamental especificado pelo Teorema 3.2.5 para a equação diferencial e o ponto inicial

É fácil ver que

são soluções fundamentais, pois W(y1, y2)(t0) = -2 ≠ 0.Mas estas duas soluções não satisfazem às condições iniciais indicadas no Teorema 3.2.5, e assim não formam o conjunto fundamental das soluções mencionadas nesse teorema. Sejam y3 e y4 as soluções fundamentais do Teorema 3.2.5.

tt eyey −== 21 ,

0,0 0 ==−′′ tyy

1)0(,0)0(;0)0(,1)0( 4433 =′==′= yyyy

Page 32: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.2:

Exemplo 7: Solução GeralDesde que y1 e y2 formam o conjunto fundamental de soluções,

Resolvendo para cada equação, obtemos

O Wronskiano de y3 e y4 é

Assim y3, y4 formam o conjunto fundamental de soluções indicado no Teorema 3.2.5, com solução geral neste caso

1)0(,0)0(,

0)0(,1)0(,

44214

33213

=′=+=

=′=+=−

yyededyyyececy

tt

tt

)senh(21

21)(),cosh(

21

21)( 43 teetyteety tttt =−==+= −−

01senhcoshcoshsenhsenhcosh 22

21

21 ≠=−==′′

= tttttt

yyyy

W

)senh()cosh()( 21 tktkty +=

Page 33: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.2: Exemplo 7:

Varios Conjuntos Fundamentais de SoluçõesPortanto

ambos formam o conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial e o ponto inicial

Em geral, uma equação diferencial pode ter uma infinidade de diferentes conjuntos fundamentais de soluções. Geralmente, nós escolhemos aquele que é o mais conveniente ou útil.

{ } { }ttSeeS tt senh,cosh,, 21 == −

0,0 0 ==−′′ tyy

Page 34: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.2:

ResumoPara encontrar uma solução geral de uma equação diferencial

primeiramente encontramos duas soluções y1 e y2.Certificar-se então que há um ponto t0 em algum intervalo tal que W(y1, y2)(t0) ≠ 0.Segue que y1 e y2 formam o conjunto fundamental de soluções para a equação, com solução geral y = c1y1 + c2 y2.Se condições iniciais são dadas em um ponto t0 no intervalo onde W ≠ 0, então c1 e c2 podem ser escolhidas de modo que satisfaçam as condições iniciais.

βα <<=+′+′′ tytqytpy ,0)()(

Page 35: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.3:

Independencia Linear e o Wronskiano

Duas funções f e g são Linearmente Dependente (LD) se existe constantes c1 e c2, não nulas simultaneamente, tal que

para todo t em I. Note que isto se reduz a determinar se f e g são multiplas uma da outra. Se a única solução a esta equação for c1 = c2 = 0, então f e g são Linearmente Independente(LI). Por exemplo, Sejam f(x) = sen2x e g(x) = senxcosx, e considerando a combinação linear

Esta equação é satisfeita se nós escolhermos c1 = 1, c2 = -2, e daqui f e g são Linearmente Dependente.(LD)

0)()( 21 =+ tgctfc

0cossin2sin 21 =+ xxcxc

Page 36: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.3:

Soluções para Equações de Sistemas 2 x 2Quando resolvemos

para c1 e c2, pode ser mostrado que

Note que se a = b = 0, então a única solução deste sistema de equações é c1 = c2 = 0, desde que D ≠ 0.

bycycaxcxc

=+=+

2211

2211

21

2111

2121

112

22

2121

221

o,

,

yyxx

DndeD

bxayxyyx

bxayc

Dbxay

xyyxbxayc

=+−=−

+−=

−=−−=

Page 37: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.3:

Exemplo 1: Independencia Linear Mostrar que as seguintes funções são linear independentes em todo o intervalo :

Sejam c1 e c2 escalares, e suponha

para todo t em um intervalo arbitrário (α, β ). Nós queremos mostrar c1 = c2 = 0. Desde que a equação verifica para todo t em (α, β ), escolha t0 e t1 em (α, β ), onde t0 ≠ t1. Então

tt etgetf −== )(,)(

0)()( 21 =+ tgctfc

0

011

00

21

21

=+

=+−

tt

tt

ecececec

Page 38: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.3:

Exemplo 1: Independencia Linear A solução do nosso sistema de equações

será c1 = c2 = 0, se provarmos que o determinante D é não nulo:

Então

Asim sendo t0 ≠ t1, significa que D ≠ 0, e portanto f e g são Linearmente Independente.(LI)

01101010

11

00tttttttt

tt

tt

eeeeeeeeeeD −−−−

−=−==

( )10

2

1

11 0

10

10

10

100110

tte

ee

eeeD

tt

tttt

tttttt

=⇔=⇔

=⇔=⇔=⇔=

−−

−−−

0

011

00

21

21

=+

=+−

tt

tt

ecececec

Page 39: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.3:

Teorema 3.3.1Se f e g são funções diferenciáveis em um intercalo aberto I e se W(f, g)(t0) ≠ 0 em algum ponto t0 em I, então f e g são linearmente independentes em I. Além disso, se f e g são linearmente dependentes em I, então W(f, g)(t) = 0 para todo t em I. Prova(esboço): Sejam c1 e c2 escalares, e suponha

Para todo t em I. Em particular, quando t = t0 nos temos

Sendo W(f, g)(t0) ≠ 0, segue que c1 = c2 = 0, e assim f e g são Linearmente Independentes(LI).

0)()( 21 =+ tgctfc

0)()(0)()(

0201

0201

=′+′=+

tgctfctgctfc

Page 40: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.3:

Teorema 3.3.2 (Teorema de Abel)Suponha que y1 e y2 são soluções da equação

onde p e q são funções contínuas em algum intervalo aberto I. Então W(y1,y2)(t) é dado por

onde c é uma constante que dependem de y1 e y2 mas não de t.

Note que W(y1,y2)(t) ou é zero para todo t em I (se c = 0) ou nunca se anula em I (if c ≠ 0).

0)()(][ =+′+′′= ytqytpyyL

∫=− dttp

cetyyW)(

21 ))(,(

Page 41: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.3:

Exemplo 2: Wronskiano e Teorema de AbelObserve a seguinte equação e suas duas soluções:

O Wronskiano de y1e y2 é

Assim y1 e y2 são Linearmente Independentes em qualquer intervalo I, pelo Teorema 3.3.1. Agora compare W com o Teorema de Abel:

Escolhendo c = -2, nós encontramos o mesmo valor de W acima.

tt eyeyyy −===−′′ 21 ,,0

. todopara 022 0

21

21 teeeeeyyyy

W tttt ≠−=−=−−=′′

= −−

ccecetyyWdtdttp

=∫=∫=−− 0)(

21 ))(,(

Page 42: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.3:

Teorema 3.3.3Seja y1 e y2 soluções para a equação abaixo, onde p e q são contínuas em um intervalo aberto I:

Então y1 e y2 são Linearmente Dependentes em I, se e somente se, W(y1, y2)(t) = 0 para todo t em I. De outro modo, y1 e y2 são Linearmente Independentes em I, se e somente se, W(y1, y2)(t) ≠ 0 para todo t em I.

0)()(][ =+′+′′= ytqytpyyL

Page 43: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.3:

ResumoSejam y1 e y2 soluções de

onde p e q são contínuas em um intervalo aberto I. Então as seguintes afirmações são equivalentes :

As funções y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções I.As funções y1 e y2 são Linearmente Independente em I.W(y1,y2)(t0) ≠ 0 para algum t0 em I.W(y1,y2)(t) ≠ 0 para todo t em I.

0)()( =+′+′′ ytqytpy

Page 44: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.3:

Notas de Algebra LinearSeja V o conjunto

Então V é um espaço vetorial de dimensão dois, com uma base formada pelo conjunto fundamental de y1 e y2. Por exemplo, o espaço solução V para a equação diferencial

tem como bases

com

{ } { }ttSeeS tt sinh,cosh,, 21 == −

( ){ }βα ,,0)()(: ∈=+′+′′= tytqytpyyV

0=−′′ yy

21 paçoEpaçoE SsSsV ==

Page 45: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.4:

Raizes Complexas da Equação CaracterísticaRetomando a discussão da equação

onde a, b e c são constantes reais. Assumindo soluções exponenciais dada da equação característica:

A fórmula quadrática(ou fatoração) fornece duas soluções, r1 e r2:

Se b2 – 4ac < 0, temos raizes complexas: r1 = λ + iµ, r2 = λ - iµAssim

0=+′+′′ cyybya

0)( 2 =++⇒= cbrarety rt

aacbbr

242 −±−=

( ) ( ) titi etyety µλµλ −+ == )(,)( 21

Page 46: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.4: Formula de Euler:

Soluções Avaliadas nos ComplexosSubstitutindo na serie de Taylor de et, no obtemos fórmula de Euler:

Generalizando a fórmula de Euler, obtemos

Então

Portanto

( ) ( ) titn

tin

tnite

n

nn

n

nn

n

nit sincos

!12)1(

!2)1(

!)(

1

121

0

2

0+=

−−+−== ∑∑∑

=

−−∞

=

=

tite ti µµµ sincos +=

( ) [ ] tietetiteeee ttttitti µµµµ λλλµλµλ sincossincos +=+==+

( )

( ) tieteetytieteety

ttti

ttti

µµµµ

λλµλ

λλµλ

sincos)(

sincos)(

2

1

−==

+==−

+

Page 47: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.4:

Soluções Avaliadas nos ReaisNossas duas soluções são funções avaliadas nos complexo:

Nós preferiríamos ter soluções avaliadas nos reais, pois nossa equação diferencial tem coeficientes reais . Para conseguir isto, recordemos que as combinações lineares das soluções são tambéns soluções :

Ignorando as constantes, nós obtemos as duas soluções

tietetytietety

tt

tt

µµµµ

λλ

λλ

sincos)(

sincos)(

2

1

−=

+=

tietytytetyty

t

t

µµ

λ

λ

sin2)()(

cos2)()(

21

21

=−

=+

tetytety tt µµ λλ sin)(,cos)( 43 ==

Page 48: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.4:

Soluções Avaliadas nos Reais: O WronskianoAssim nós temos as seguintes funções avaliadas nos reais:

Verificando o Wronskiano, nós obtemos

Assim y3 e y4 formam o conjunto fundamental de soluções para nossa EDO, e a solução geral pode ser expressada como

tetytety tt µµ λλ sin)(,cos)( 43 ==

( ) ( )0

cossinsincossincos

2 ≠=

+−=

t

tt

tt

e

ttettetete

W

λ

λλ

λλ

µ

µµµλµµµλµµ

tectecty tt µµ λλ sincos)( 21 +=

Page 49: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.4:

Exemplo 1Considere a equação

Então

Portanto

e assim a solução geral é

( ) ( )2/3sin2/3cos)( 2/2

2/1 tectecty tt −− +=

0=+′+′′ yyy

iirrrety rt

23

21

231

241101)( 2 ±−=±−=−±−=⇔=++⇒=

2/3,2/1 =−= µλ

Page 50: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.4:

Exemplo 2Considere a equação

Então

Portanto

e assim a solução geral é

04 =+′′ yy

irrety rt 204)( 2 ±=⇔=+⇒=

2,0 == µλ

( ) ( )tctcty 2sin2cos)( 21 +=

Page 51: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.4:

Exemplo 3Considere a equação

Então

Portanto a solução geral é

023 =+′−′′ yyy

irrrety rt

32

31

612420123)( 2 ±=−±=⇔=+−⇒=

( ) ( )3/2sin3/2cos)( 3/2

3/1 tectecty tt +=

Page 52: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.4:

Exemplo 4: Part (a)Para o problema do valor inicial abaixo, encontrar (a) a solução u(t) e (b) o menor tempo T para que |u(t)| ≤ 0.1

Nos sabemos do Exemplo 1 que a solução geral é

Usando as condições iniciais, obtemos

Assim

( ) ( )2/3sin2/3cos)( 2/2

2/1 tectectu tt −− +=

1)0(,1)0(,0 =′==+′+′′ yyyyy

33

3,11

23

21

1

2121

1

===⇒

=+−

=cc

cc

c

( ) ( )2/3sin32/3cos)( 2/2/ tetetu tt −− +=

Page 53: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.4:

Exemplo 4: Part (b)Encontrar o menor tempo T para que |u(t)| ≤ 0.1 A solução é

Com a ajuda da representação gráfica e de uma calculadora ou computador, nós encontramos T ≅ 2.79. Veja gráfico abaixo.

( ) ( )2/3sin32/3cos)( 2/2/ tetetu tt −− +=

Page 54: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.5:

Raizes Repetidas; Redução de Ordem

Lembrando que uma EDO de 2nd order linear homogeneous

onde a, b e c são constantes reais. Usando as soluções exponenciais vinda da equação característica:

A fórmula quadrática nos dá duas soluções , r1 e r2:

Onde b2 – 4ac = 0, r1 = r2 = -b/2a, assim este método só fornece uma solução:

0=+′+′′ cyybya

0)( 2 =++⇒= cbrarety rt

aacbbr

242 −±−=

atbcety 2/1 )( −=

Page 55: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.5:

Segunda Solução: Fator de Multiplicação v(t)Nos sabemos que se

Só que y1 e y2 são linearmente dependente, vamos generalizar esta aproximação e multiplicar por uma função v, e determinar condições para que y2 seja uma solução:

Então

tambémsolução uma é )()( solução uma é )( 121 tcytyty =⇒

atbatb etvtyety 2/2

2/1 )()( faça solução uma é )( −− =⇒=

atbatbatbatb

atbatb

atb

etva

betva

betva

betvty

etva

betvty

etvty

2/2

22/2/2/

2

2/2/2

2/2

)(4

)(2

)(2

)()(

)(2

)()(

)()(

−−−−

−−

+′−′−′′=′′

−′=′

=

Page 56: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.5:

Encontrando o Fator de Multiplicação v(t)Substituindo as derivadas na EDO, chegamos na fórmula para v:

0=+′+′′ cyybya

43

2

222

22

22

2

22/

)(0)(

0)(4

4)(

0)(44

4)(0)(

44

42

4)(

0)(24

)(

0)()(2

)()(4

)()(

0)()(2

)()(4

)()(

ktktvtv

tva

acbtva

tvaac

abtvatv

aac

ab

abtva

tvca

ba

btva

tcvtva

btvbtva

btvbtva

tcvtva

btvbtva

btvabtvae atb

+=⇒=′′

=

−−′′

=

+−+′′⇔=

+−+′′

=

+−+′′

=+−′++′−′′

=

+

−′+

+′−′′−

Page 57: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.5:

Solução Geral

Para encontrar nossa solução geral, nós temos:

Assim a solução geral para raízes repetidas é

( )abtabt

abtabt

abtabt

tececektkek

etvkekty

2/2

2/1

2/43

2/1

2/2

2/1 )()(

−−

−−

−−

+=

++=

+=

abtabt tececty 2/2

2/1)( −− +=

Page 58: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.5:

Wronskiano

A solução Geral é

Assim cada solução é uma combinação linear de

O Wronskiano das duas soluções é

Assim y1 e y2 formam o conjunto fundamental das soluções.

abtabt tececty 2/2

2/1)( −− +=

abtabt tetyety 2/2

2/1 )(,)( −− ==

tea

btea

bte

ea

btea

btee

tyyW

abt

abtabt

abtabt

abtabt

todopara 022

1

21

2))(,(

/

//

2/2/

2/2/

21

≠=

+

−=

−−=

−−

−−

−−

Page 59: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.5: Exemplo 1

Considere o PVI

Usando as soluções exponenciais vinda da equação característica:

Portanto a solução geral é

Usando as condições iniciais:

Assim

( ) ( ) 10,10,02 =′==+′+′′ yyyyy

10)1(012)( 22 −=⇔=+⇔=++⇒= rrrrety rt

tt tececty −− += 21)(

2,111

2121

1 ==⇒

=+−=

cccc

c

tt teety −− += 2)(

Page 60: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.5: Exemplo 2

Considere o PVI

Usando as soluções exponenciais vinda da equação característica:

Portanto a solução geral é

Usando as condições iniciais:

Assim

( ) ( ) 2/10,20,025.0 =′==+′−′′ yyyyy

2/10)2/1(025.0)( 22 =⇔=−⇔=+−⇒= rrrrety rt

2/2

2/1)( tt tececty +=

21,2

21

21

221

21

1−==⇒

=+

=cccc

c

2/2/

212)( tt teety −=

Page 61: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.5: Exemplo 3

Considere o PVI

Usando as soluções exponenciais vinda da equação característica:

Portanto a solução geral é

Usando as condições iniciais:

Assim

( ) ( ) 2/30,20,025.0 =′==+′−′′ yyyyy

2/10)2/1(025.0)( 22 =⇔=−⇔=+−⇒= rrrrety rt

2/2

2/1)( tt tececty +=

21,2

23

21

221

21

1==⇒

=+

=cccc

c

2/2/

212)( tt teety +=

Page 62: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.5: Redução de Ordem

O método usado nesta seção também é utilizado para equações com coeficientes não constantes:

Isto é, dado uma solução y1, faça y2 = v(t)y1:

Substituindo isto na EDO e agrupando termos,

Como y1 é uma solução da EDO, esta última equação se reduz em uma equação de 1a ordem em v′ :

0)()( =+′+′′ ytqytpy

)()()()(2)()()()()()()()(

)()()(

1112

112

12

tytvtytvtytvtytytvtytvty

tytvty

′′+′′+′′=′′′+′=′

=

( ) ( ) 02 111111 =+′+′′+′+′+′′ vqyypyvpyyvy

( ) 02 111 =′+′+′′ vpyyvy

Page 63: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.5:

Exemplo 4: Redução de OrdemDado a equação de coeficiente variáveis e uma solução y1,

usando o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução:

Substituindo isto na EDO e agrupando termos,

,)(;0,03 11

2 −=>=+′+′′ ttytyytyt

3212

212

12

)(2 )(2 )()( )( )()(

)()(

−−−

−−

+′−′′=′′−′=′

=

ttvttvttvtyttvttvty

ttvty

( ) ( )

)()( o,00

033220322

111

1213212

tvtundeuutvvt

vtvtvvtvtvvtvttvtvttvtvt

′==+′⇔=′+′′⇔

=+−′++′−′′⇔=+−′++′−′′

−−−

−−−−−−

Page 64: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.5:

Exemplo 4: Encontrando v(t)Resolvendo

para u, nos podemos usar o método de separação de variáveis:

Assim

e portanto

.0 d,

lnln10

11 >=⇔=⇔

+−=⇔−=⇔=+

−−

∫∫tqueesdectuetu

Ctudttu

duudtdut

C

)()(,0 tvtuuut ′==+′

tcv =′

ktctv += ln)(

Page 65: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.5:

Exemplo 4: Solução GeralNos temos

Assim

Lembrando

e portanto nós podemos concluir o segundo termo y2

Daqui a solução geral da equação diferencial é

( ) 1112 lnln)( −−− +=+= tktcttktcty

ktctv += ln)(

.ln)( 12 ttty −=

11 )( −= tty

ttctcty ln)( 12

11

−− +=

Page 66: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.5:

Casos Especiais de Redução de OrdemEDO de 2a ordem onde falta a Variável Dependente.

A substituição é v=y’ e v’=y” na EDO de 2a ordem, leva a

uma EDO de 1a ordem nas variáveis v dependente e t independente.EDO de 2a ordem onde falta a Variável Independente.

A substituição na EDO de 2a ordem é v(y)=y’ e , leva a

uma EDO de 1a ordem nas variáveis v dependente e y independente.Exemplos:

),(' vtfv =

)',('' ytfy =

)',('' yyfy =''' y

dydvv

dtdvv ===

),( vyfdydvv =

yeyydyyyctyytbttyyta

−=+=+>=>=−+

2)'(")0)'(")0,)'(")0,01'2")

22

222

Page 67: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.6: Equações Não Homogêneas

Método dos Coeficientes Indeterminados

Uma equação não homogênea é dada por

onde p, q, g são funções contínuas em um intervalo aberto I.A equação homogênea associada é

Nesta seção nós aprenderemos o método dos coeficientes indeterminados para resolver a equação não homogênea, e para isso é necessário saber as soluções da equação homogênea.

)()()( tgytqytpy =+′+′′

0)()( =+′+′′ ytqytpy

Page 68: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.6:

Teorema 3.6.1

Se Y1, Y2 são as soluções da equação não homogênea

então Y1 - Y2 é uma solução da equação homogênea

Se y1, y2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea, então existem constante c1, c2 tal que

)()()()( 221121 tyctyctYtY +=−

)()()( tgytqytpy =+′+′′

0)()( =+′+′′ ytqytpy

Page 69: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.6:

Teorema 3.6.2 (Solução Geral)

A solução geral da equação não homogênea

pode ser escreita na forma

onde y1, y2 formam o conjunto fundamental de soluções da equação homogênea, c1, c2 são constantes arbitrarias e Y é uma solução particular da equação não homogênea.

)()()()( 2211 tYtyctycty ++=

)()()( tgytqytpy =+′+′′

0)()( 111 =+′+′′ ytqytpy

)()()( tgYtqYtpY =+′+′′

0)()( 222 =+′+′′ ytqytpy

Page 70: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.6:

Método dos Coeficientes Indeterminados

Lembrando uma equação não homogênea é dada por

com solução geral

Nesta seção usaremos o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular Y para a equação não homogênea, assumindo que podemos encontrar soluções y1, y2 para o caso homogênio. O método dos coeficientes indeterminados é usualmente limitado para quando p e q são constantes, e g(t) é uma função polinomial, exponencial, seno ou coseno.

)()()( tgytqytpy =+′+′′

)()()()( 2211 tYtyctycty ++=

Page 71: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.6:

Exemplo 1: g(t) , Exponencial Considere a equação não homogênea

Nós procuramos Y que satisfaça a esta equação. Sabendo que as exponenciais se repetem com a diferentiação, é um bom ponto de partida para Y supormos uma função exponencial:

Substituindo ela e suas derivadas na equação,

Assim uma solução particular para a EDO não homogênea é

teyyy 2343 =−′−′′

ttt AetYAetYAetY 222 4)(,2)()( =′′=′⇒=

2/1363464

22

2222

−=⇔=−⇔

=−−

AeAeeAeAeAe

tt

tttt

tetY 2

21)( −=

Page 72: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.6: Exemplo 2: g(t) , seno

Considere a equação não homogênea

Nós procuramos Y que satisfaça a esta equação. Sabendo que senos se repete ao longo das derivadas, é um bom ponto de partida para Y:

Substituindo ela e suas derivadas na equação,

Sabendo que sen(x) e cos(x) são LI (não são múltiplos um do outro), nos terioamos c1= c2 = 0, e assim 2 + 5A = 3A = 0, o que é impossível.

tyyy sen243 =−′−′′

tAtYtAtYtAtY sen)(,cos)(sen)( −=′′=′⇒=

( )0cossen

0cos3sen52sen2sen4cos3sen

21 =+⇔=++⇔

=−−−

tctctAtA

ttAtAtA

Page 73: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.6:

Exemplo 2: g(t) , senoNossa tentativa agora para Y é

Substituindo ela e suas derivadas na EDO, obtemos

Portanto a solução particular para a EDO não homogênea é

tBtAtYtBtAtYtBtAtY

cossen)(,sencos)(cossen)(

−−=′′−=′⇒+=

( ) ( ) ( )( ) ( )

17/3 ,17/5053,235

sen2cos53sen35sen2cossen4sencos3cossen

=−=⇔=−−=+−⇔

=−−++−⇔=+−−−−−

BABABA

ttBAtBAttBtAtBtAtBtA

tyyy sen243 =−′−′′

tttY cos173sen

175)( +−=

Page 74: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.6:

Exemplo 3: g(t) , Polinomial Considere a equação não homogênea

Procuramos Y que satisfaça a equação. Vamos começar com

Substituindo ela e suas derivadas na EDO, obtemos,

Portanto a solução particular para a EDO não homogênea é

1443 2 −=−′−′′ tyyy

AtYBAttYCBtAttY 2)(,2)()( 2 =′′+=′⇒++=

( ) ( )( ) ( )

8/11 ,2/3 ,11432,046,44

14432464144232

22

22

−==−=⇔−=−−=+=−⇔

−=−−++−−⇔−=++−+−

CBACBABAA

tCBAtBAAttCBtAtBAtA

811

23)( 2 −+−= tttY

Page 75: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.6:

Exemplo 4: g(t) , ProdutoConsidere a equação não homogênea

Procuramos Y que satisfaça a equação, como segue:

Substituindo na EDO e resolvendo para A e B:

teyyy t 2cos843 −=−′−′′

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) teBAteBA

teBAteBAteBAteBAtY

teBAteBAtBetBetAetAetY

tBetAetY

tt

t

ttt

tt

tttt

tt

2sen342cos432cos22

2sen22sen222cos2)(2sen22cos2

2cos22sen2sen22cos)(2sen2cos)(

−−++−=

+−+

+−++−+=′′+−++=

++−=′+=

tetetYBA tt 2sen1322cos

1310)(

132 ,

1310 +=⇒==

Page 76: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.6:

Discussão: g(t) , Soma

Considere agora a equação não homogênea

Suponha que g(t) é a soma de funções:

Se Y1, Y2 são soluções de

respectivamente, então Y1 + Y2 é uma solução da equação não homogênea acima.

)()()( tgytqytpy =+′+′′

)()()( 21 tgtgtg +=

)()()()()()(

2

1

tgytqytpytgytqytpy

=+′+′′=+′+′′

Page 77: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.6:

Exemplo 5: Soma g(t)Considere a equação

Nossas equações para resolver individualmente são

A solução particular é então

teteyyy tt 2cos8sin2343 2 −+=−′−′′

tetettetY ttt 2sin1322cos

1310sin

175cos

173

21)( 2 ++−+−=

teyyytyyy

eyyy

t

t

2cos843sin243

343 2

−=−′−′′=−′−′′=−′−′′

Page 78: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.6:

Exemplo 6:Considere a equação

Procuramos Y que satisfaça a equação. Começamos com

Substituindo na EDO :

Portanto não existe solução particular da forma

tyy 2cos34 =+′′

tBtAtYtBtAtYtBtAtY

2cos42sen4)(,2sen22cos2)(2cos2sen)(

−−=′′−=′⇒+=

( ) ( )( ) ( )

tttBBtAAttBtAtBtA

2cos302cos32cos442sen442cos32cos2sen42cos42sen4

==+−++−=++−−

tBtAtY 2cos2sen)( +=

Page 79: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.6: Exemplo 6: Solução Homogênea

Como não existe solução particular da forma

Para ajudar a compreender porque isso ocorreu, vamos recordar que a solução homogênea correspondente vista na seção 3.4:

Assim nossa suposta solução particular resolve a equação homogênea

em vez da equação não homogênea.

tBtAtY 2cos2sen)( +=

tctctyyy 2sin2cos)(04 21 +=⇒=+′′

tyy 2cos34 =+′′

04 =+′′ yy

Page 80: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.6:

Exemplo 6: Solução ParticularNossa próxima tentativa para encontrar um Y é:

Substituindo na EDO,

tBttAttBtAtBttBtBtAttAtAtY

tBttBtAttAtYtBttAttY

2cos42sen42sen42cos42cos42sen22sen22sen42cos22cos2)(

2sen22cos2cos22sen)(2cos2sen)(

−−−=−−−−+=′′

−++=′+=

tttY

BAttBtA

2sen43)(

0,4/32cos32sen42cos4

=⇒

==⇒=−

tyy 2cos34 =+′′

Page 81: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.6: Tabela: A solução Particular de

ay”+by’+cy=gi(t)

]sen)...(cos)...[(

cossen

)(

)...()()...(...)(

)()(

10

10

10

1010

tetBtBBtetAtAAt

tt

etP

etAtAAtetPtAtAAttataatP

tYtg

tnn

tnn

st

n

tnn

stn

nn

snnn

ii

ββ

ββ

α

αα

αα

++++++++

+++++++++=

__________________________________________________________________________________________________________________

Obs.: Aqui, s denota o menor inteiro não-negativo (s=0,1 ou 2) que garanta que nenhuma parcela de Yi(t) seja solução da equação homogênea correspondente.

Page 82: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.7: Variação dos Parâmetros

Uma equação não homogênea é dada por

onde p, q, g são funções contínuas em um intervalo aberto I.A equação homogênea associada é

Nesta seção nós aprenderemos o método de variação dos parâmetros para resolver a equação não homogênea. Como no método dos coeficientes indeterminados, este procedimento requer o conhecimento das soluções da equação homogênea.

Variação dos parâmetros é um método geral, e não requer nenhuma suposição detalhada sobre a forma da solução. Entretanto, determinadas integrais necessitam ser avaliadas, e estas pode apresentar dificuldades.

)()()( tgytqytpy =+′+′′

0)()( =+′+′′ ytqytpy

Page 83: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.7:

Exemplo: Variação dos ParâmetrosNós procuramos uma solução particular para equação abaixo.

Nós não podemos usar o método de coeficientes indeterminados uma vez que g(t) é um quociente de sen t ou cos t, em vez de uma soma ou de um produto. Lembrando que a solução da EDO homogênia associada é

Para encontrar uma solução particular para equação não homogênea, nós começamos com o formula

Então

ou

tyy csc34 =+′′

tctctyh 2sen2cos)( 21 +=

ttuttuty 2sen)(2cos)()( 21 +=

ttuttuttuttuty 2cos)(22sen)(2sen)(22cos)()( 2211 +′+−′=′

ttuttuttuttuty 2sen)(2cos)(2cos)(22sen)(2)( 2121 ′+′++−=′

Page 84: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.7:

Exemplo: Derivadas, 2a EquaçãoDe resultados anteriores,

Note que nós necessitamos de duas equações para encontrar u1 e u2. A primeira equação é a equação diferencial. Para uma segunda equação, tome

Então

Segue,

ttuttuttuttuty 2sen)(2cos)(2cos)(22sen)(2)( 2121 ′+′++−=′

02sen)(2cos)( 21 =′+′ ttuttu

ttuttuty 2cos)(22sen)(2)( 21 +−=′

ttuttuttuttuty 2sen)(42cos)(22cos)(42sen)(2)( 2211 −′+−′−=′′

Page 85: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.7:

Exemplo: Duas equaçõesLembrando que nossa equação diferencial é

Substituindo y'' e y na equação, obtemos

Esta equação simplificada fica

Assim, para resolver u1 e u2, nos temos duas equações:

( ) tttuttuttuttuttuttu

csc32sen)(2cos)(42sen)(42cos)(22cos)(42sen)(2

21

2211

=++−′+−′−

02sen)(2cos)(csc32cos)(22sen)(2

21

21

=′+′=′+′−

ttuttutttuttu

tttuttu csc32cos)(22sen)(2 21 =′+′−

tyy csc34 =+′′

Page 86: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.7: Exemplo: Resolvendo o u1'

Para encontrar u1 e u2 , necessitamos resolver as equações

Da segunda equação,

Substituindo este valor na primeira equação,tttutu

2sen2cos)()( 12 ′−=′

( ) ( )

( ) ( )[ ]ttu

ttttttu

ttttuttu

tttttuttu

cos3)(sen

cossen232cos2sen)(2

2sencsc32cos)(22sen)(2

csc32cos2sen2cos)(22sen)(2

1

221

21

21

11

−=′

=+′−

=′−′−

=

′−+′−

02sen)(2cos)(csc32cos)(22sen)(2

21

21

=′+′=′+′−

ttuttutttuttu

Page 87: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.7:

Exemplo : Resolvendo para u1 e u2

De resultados anteriores,

Então

Assim

tttt

t

tt

tttt

ttttu

sen3csc23

sen2sen2

sen213

sen2sen213

cossen2sen21cos3

2sen2coscos3)(

2

22

2

−=

−=

−=

−=

=′

222

111

cos3cotcscln23sen3csc

23)()(

sen3cos3)()(

ctttdtttdttutu

cttdtdttutu

++−=

−=′=

+−=−=′=

∫∫

∫∫

tttututtu

2sen2cos)()(,cos3)( 121 ′−=′−=′

Page 88: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.7:

Exemplo: Solução GeralLembrando nossa equação e a solução homogênea yC:

Usando as expressões para u1 e u2 vista anteriormente, a solução geral para a equação diferencial é

[ ]

( )[ ]tctctttt

tyttttttt

tyttttttt

tyttttttt

tyttuttuty

h

h

h

h

2sen2cos2sencotcscln23sen3

)(2sencotcscln231cos2sencossen23

)(2sencotcscln232cossen2sencos3

)(2sencos32sencotcscln232cossen3

)(2sen)(2cos)()(

21

22

21

++−+=

+−+−−=

+−+−=

++−+−=

++=

tsinctctytyy h 22cos)(,csc34 21 +==+′′

Page 89: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.7:

ResumoSuponha que y1, y2 são soluções fundamentais para a equação homogênea associada com a equação não homogênea acima, onde nota-se que o coeficiente em y'' é 1.Para encontrar u1 e u2, necessitamos resolver a equação

Fazendo assim, e usando o Wronskiano, nós obtemos

Assim

)()()()()(0)()()()(

2211

2211

tgtytutytutytutytu

=′′+′′=′+′

)()()()()()()()(

2211 tytutytutytgytqytpy

+==+′+′′

( ) ( ) )(,)()()(,

)(,)()()(

21

12

21

21 tyyW

tgtytutyyW

tgtytu =′−=′

( ) ( )∫∫ +=+−= 221

121

21

21 )(,

)()()(,)(,

)()()( cdttyyW

tgtytucdttyyW

tgtytu

Page 90: Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...§ões-Diferenciais... · onde f é uma função dada. ... O gráfico da solução é dado ... nos sabemos que y = c1y1

Capítulo 3.7:

Teorema 3.7.1Considere a equação

Se as funções p, q e g são contínuas no intervalo aberto I, e se y1 e y2 são soluções fundamentais para a Eq. (2), então uma solução particular da Eq. (1) é

e uma solução geral é

( ) ( )∫∫ +−= dttyyW

tgtytydttyyW

tgtytytY)(,

)()()()(,

)()()()(21

12

21

21

)()()()( 2211 tYtyctycty ++=

)2(0)()()1()()()(

=+′+′′=+′+′′

ytqytpytgytqytpy


Recommended