O CAMPO DOS NÚMEROS REAIS
Capítulos IV, V e VI do livroConceitos fundamentais da Matemática
Bento de Jesus Caraça
Aula passada...
● Números Naturais: 1, 2, 3, …
● Números Inteiros: 0, 1, 2, 3, …
● Relações Biunívocas
● Conjuntos
● Conjunto de pontos de uma reta é um conjunto infinito.
● Conjunto de pontos de uma reta tem a mesma quantidade que o conjunto dos números naturais?
● Quantidade de números pares =
Quantidade de números naturais
● Operações com números inteiros
● Números: medir e contar
● O problema da medida (unidade)
● Criação de um novo campo numérico
● Números: fracionários ou racionais
● Números inteiros são englobados neste novo campo numérico
● “Uma generalização passa sempre por um ponto fraco de uma construção.”
● Crítica do problema da medida
● Segmentos Incomensuráveis
● Conservar tudo e criar novos números, um novo campo numérico, mais geral que o campo dos racionais, que possa resolver a equação:
x2=2● Números racionais: necessidade prática.
● Números irracionais: compatibilidade lógica.
● Insuficiência do campo numérico racional para traduzir relações geométricas.
● Estudar as propriedades do campo racional e os da reta, comparando-as
● Campo numérico racional R
● Conjunto dos pontos de uma reta P
● Existe uma correspondência biunívoca entre eles?
● Entender qual é o fato que nega a biunivocidade
● Características do conjunto P, da reta
1) infinidade
2) ordenação
3) densidade (entre dois pontos de uma reta existem infinitos pontos na mesma reta).
4) continuidade
● Características do conjunto R, dos racionais
1) infinidade - ok
2) ordenação - ok
3) continuidade - ??
4) densidade – ok
● Observe que o conjunto dos números naturais ou inteiros não é denso.
● O problema da continuidade é o dos mais importantes da ciência e dos que mais têm sido estudados e debatidos em todos os tempos.
● Continuidade: variação que se faz por gradações insensíveis.
● Exemplo: movimento de um automóvel sobre uma estrada
● Linha reta: imagem ideal da continuidade
● 1872, Richard Dedekind, Continuidade e números irracionais.
● O conceito de corte na reta P.
● Axioma ou Postulado de Dedekind-Cantor:
“Todo corte da reta é produzido por um (e só um) ponto da reta”
● Um corte em R: A: todos os números racionais menores ou iguais a 5. No outro, B, todos os números racionais maiores ou iguais a 5.
1) 5 é um número racional que separa as duas classes;
2) qualquer número racional estará em alguma das partes;
3) todo número racional em A é menor que todo número racional em B
● Todo corte em R provém de um número racional?
● A = todo número racional x tal que x2<2● B = todo número racional x tal que x2≥2
● Há um corte, mas não há elemento de separação!
● R não é contínuo
● O conjunto R não satisfaz o axioma da continuidade de Dedekind-Cantor.
● Chamamos de número real ao elemento de separação de duas classes num corte qualquer na reta.
● Se existe um número racional a separar as duas classes, tal número real coincidirá com o racional. Se não existe tal número, o número real será chamado de irracional.
● Número racional: impossibilidade de divisão.
● Número irracional: segmentos incomensuráveis
● Número real: não-existência geral de um elemento de separação de duas classes
● Para se definir um número real, são necessárias duas infinidades de números: racionais e irracionais.
● Há mais racionais que naturais?
Não: a mesma quantidade.
● Números naturais: tipo do enumerável
● Números reais: tipo do contínuo.
● Números racionais: tipo do enumerável
● Números irracionais: tipo do contínuo
● Hipótese do Contínuo
● A hipótese do continuum é uma conjectura proposta por Georg Cantor. Esta conjectura consiste no seguinte:
“Não existe nenhum conjunto com mais elementos do que o conjunto dos números inteiros e menos elementos do que o conjunto dos números reais”
● Esta hipótese foi o número um dos 23 Problemas de Hilbert apresentados na conferência do Congresso Internacional de Matemática de 1900, o que levou a que fosse estudada profundamente durante o século XX.
● Nem verdadeira nem falsa! Cantor acreditava que a conjectura era verdadeira. No entanto:
Esse problema foi provado ser independente de ZFC (isto é, não pode ser provado nem refutado utilizando os axiomas
usuais de teoria dos conjuntos).
A consistência da hipótese do contínuo só foi mostrada em 1940 por Kurt Gödel, e a consistência da negação da
hipótese do contínuo foi provada em 1964 por Paul Cohen.
ZFC: E. Zermelo e A. Fraenkel foram os responsáveis pela formalização axiomática dos conjuntos, que, em sua
homenagem, ficou conhecida como sistema ZFC. A letra C vem do inglês choice, uma referência ao Axioma da Escolha.
Números relativos ou negativos
● As grandezas podem ser tomadas em dois sentidos.
● Calendário, escala do tempo: onde tudo começa?
● Nascimento de Cristo.
● Sócrates morreu em 399 a.C.
● Galileu nasceu em 1564 d.C.
● Um carro parte de Campinas com velocidade de 100km/h. Após 30 minutos, onde ele está?
● Depende do sentido! Orientação.
● Impõe-se a criação de um novo campo numérico!
● Reta orientada com origem.
● Valor absoluto de um número: sua distância à origem
● a<b: se a está a direita de b na reta real.
● Operações com números negativos.
● Soma;
● Subtração;
● Multiplicação;
● Divisão;
● Potenciação;
● Radiciação ?
● √2 não pertence aos racionais, mas pertence aos reais
● Solução da equação x2=2
● √-1 pertence a qual conjunto?
● Solução da equação x2=-1
● Criação de um novo campo numérico...
● Campo ou conjunto dos números complexos...
Um pouco de história...
● Teoria da Ciência.
● Não é qualquer local e sob quaisquer condições que pode esperar-se o aparecimento de esboços científicos.
● Luta diária pelo sustento, abrigo, proteção.
● S. Taylor:
“Civilização deve permitir a todos viver a alguns pensar”
● Condições: colônias gregas do litoral da Ásia Menor, VII a VI a.C.
● Comércio: florescimento econômico.
● As preocupações fundamentais:
Qual é a estrutura do universo?
Como ele foi criado?
Como se movem os astros e por quê?
● As respostas jônicas.
● Colônias jônicas da Ásia Menor – Mileto
● Thales de Mileto (624 a 548 a.C.)
● A água é a resposta para tudo.
● Tudo é água.
● Anaxímenes de Mileto
● O ar é a resposta para tudo.
● Cidade de Éfeso: 530 a.C.
● Heráclito: Existência de uma substância primordial de transformação: fogo.
● Quatro elementos: terra, água, ar, fogo
● A resposta Pitagórica
● Pitágoras de Samos: 580 a 504 a.C.
● Exerceu larga influência na Grécia através de uma seita com objetivos místicos e científicos.
● A Escola Pitagórica.
● Explicação para tudo: número.
“Todas as coisas têm um número; e nada se pode compreender sem o número.”
● A compreensão do universo consiste no estabelecimento de relações entre números e leis matemáticas.
● Ordenação matemática do Cosmo.
● Contribuições da Escola Pitagórica
● Teorema de Pitágoras: a mais brilhante aquisição da Escola Pitagórica.
● Relações entre a matemática e a música. Harmonia musical.
● O erro: tudo é número.
● Mônadas
● Segmentos Incomensuráveis: a morte da Escola Pitagórica.
● Tentativa de esconder o caso.
● O próprio Teorema de Pitágoras destruiu a Escola Pitagórica.
● Nova escola filosófica: escola de Elea
● Velia: cidade da costa ocidental. Sul da Itália. ● 6 a.C.
● Parmênides
● Separou-se da Escola Pitagórica.
● Razão e Experiência;
● Teoria e Prática;
● Idealismo e Materialismo.
● O que aconteceu depois?
● Século V a.C.
● Intensa atividade política e militar
● Atenas: grande metrópole da arte, filosofia, ciência.
● Imperialismo ateniense.
● Desejos de hegemonia sobre a península
● Preocupações com o homem, indivíduo.
● Razão do Estado.
● O clima de Atenas foi mortal para o desenvolvimento da ciência clássica.
● Degradação do número com relação à geometria.
● Exclusão do conceito quantitativo do infinito.
● Matemática grega torna-se cada vez mais finitista.
● Hibernação
● 20 séculos depois...
● Renascimento.