- 2007 - Londrina
CENTRO DE TECNOLOGIA E URBANISMO
Prof. Roberto Buchaim
CONSTRUÇÕES EM CONCRETO ESTRUTURAL I
Notas de Aula
Notas de aula, da disciplina Construções em Concreto Estrutural, 6TRU017, ministrada pelo prof. Roberto Buchaim, digitalizada por Hellen Cristina Marcon.
Revisão 1 em 02 de outubro de 2008
Revisão em 05 de Agosto de 2010
Revisão 3 em 14 de julho de 2014
Revisão 4 em 15 de agosto de 2014
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Sumário:
1. MATERIAIS .......................................................................................................................................1
1.1. Concreto ........................................................................................................................................1
1.1.1. Componentes .........................................................................................................................1
a. Aglomerante ................................................................................................................................1
b. Material Inerte: agregados ...........................................................................................................1
1.1.2. Características Mecânicas do Concreto: ................................................................................2
a. Concreto em Compressão Uniaxial .............................................................................................2
b. Efeito da Velocidade de Carregamento do Concreto em Compressão Uniaxial (Efeito Rüsch) .7
b.1. Fluência do Concreto ................................................................................................................9
b.2. Relaxação do Concreto .............................................................................................................9
c. Resistência Característica ..........................................................................................................10
d. Modulo de Elasticidade do Concreto para Projeto (conforme NBR 6118) ...............................10
e. Resistência à Tração Axial do Concreto ....................................................................................11
f. Resistência à Tração na Flexão do Concreto em Lajes e Vigas (em peças fletidas) ..................11
Exemplo 01 ....................................................................................................................................12
g. Peso especifico ..........................................................................................................................12
1.2. Aço ..............................................................................................................................................13
1.2.1. Barras e fios de aço destinados a armaduras para CA .........................................................13
1.2.2. Propriedades do aço .............................................................................................................13
Exemplo 02 ....................................................................................................................................13
1.2.3. Diagrama Tensão-Deformação )( SS εσ .............................................................................14
a. Laminado a quente:....................................................................................................................14
b. Encruado a frio ..........................................................................................................................14
c. Diagramas idealizados na NBR 6118 ........................................................................................14
1.2.4. Classificação dos Aços ........................................................................................................15
2. RETRAÇÃO E FLUÊNCIA DO CONCRETO ............................................................................16
2.1. Retração do Concreto ..................................................................................................................17
2.1.1. Fatores que influem na retração...........................................................................................17
a. Gráfico da deformação no concreto por retração ao longo do tempo ........................................17
2.2. Fluência do Concreto ..................................................................................................................17
2.2.1. Fluência pura .......................................................................................................................17
a. Deformação total do concreto na data t ....................................................................................18
b. Deformação total do concreto na data ∞t .................................................................................18
c. Espessura equivalente ................................................................................................................19
Exemplo 01 ....................................................................................................................................20
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Exemplo 02 ....................................................................................................................................20
3. COMPORTAMENTO CONJUNTO DOS MATERIAIS AÇO E CONCRETO .......................22
3.1. Introdução ...................................................................................................................................22
3.2. Ação da Força Normal ................................................................................................................22
3.3. Peça usada como tirante ..............................................................................................................26
4. INTRODUÇÃO DA SEGURANÇA ...............................................................................................29
4.1. Nos Materiais ..............................................................................................................................29
4.2. Nas Cargas ..................................................................................................................................30
5. ESTÁDIOS I, II E III NA FLEXÃO SIMPLES ............................................................................30
Exemplo 01 ....................................................................................................................................31
Exemplo 02 ....................................................................................................................................35
5.1.1. Rigidez à flexão no Estádio II .............................................................................................35
a. Cálculo da flecha diferida no tempo para vigas de concreto armado ........................................37
5.1.2. Rigidez equivalente segundo a NBR 6118 ..........................................................................36
5.1.3. Momento Resistente de Cálculo (no Projeto) ......................................................................41
5.1.4. Resumo ................................................................................................................................41
5.1.5. Resistência à tração na flexão para o projeto.......................................................................43
5.1.6. Armadura mínima de flexão ................................................................................................43
5.1.7. Exercício ..............................................................................................................................45
6. ESTADOS LIMITES .......................................................................................................................50
6.1. Estados Limites Últimos (ELU) ..................................................................................................50
6.2. Estados Limites de Serviço (ELS) ..............................................................................................52
6.3. Tabelas ........................................................................................................................................53
6.4. ELU: Flexão simples e/ou composta ..........................................................................................56
6.5. ELU: flexão simples (vigas e lajes) ............................................................................................57
6.6. ELU: Solicitações Normais (Flexão Simples) ............................................................................58
a. Hipóteses: ..................................................................................................................................58
b. Domínios de deformação: ..........................................................................................................58
6.7. Exemplo 01 .................................................................................................................................59
6.8. Exemplo 02 .................................................................................................................................60
7. SEÇÃO T ..........................................................................................................................................62
7.1. Exemplo 01 .................................................................................................................................62
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NOTAS DE AULA
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1. MATERIAIS
1.1. CONCRETO
1.1.1. COMPONENTES Componentes � Aglomerantes + Material Inerte + Água A água deve ser inerte e sem impurezas! Cimento + água � pasta Pasta + agregado miúdo � argamassa Argamassa + agregado graúdo � concreto simples Concreto simples + armadura passiva � concreto armado (CA) Concreto (simples ou armado) + armadura ativa � concreto protendido (CP) Concreto normal: fck ≈ 20 a 50 MPa (200 a 500 Kgf/cm²) Concreto de alto desempenho (CAD): fck ≈ 55 a 100 MPa; aos componentes anteriores adiciona-
se micro sílica ou fumo de sílica. Obs.: fck = resistência característica do concreto à compressão (f de failure = ruptura).
A. AGLOMERANTE Cimento Portland Comum: material aglomerante que se endurece exposto ao ar e água e após
reagir com a água, mantém-se endurecido de forma estável. Composição do cimento: CaO (óxido de cálcio – cal); SiO2 (óxido de silício); Al3O2 (óxido de alumínio); Fe2O3 (óxido de ferro).
B. MATERIAL INERTE: AGREGADOS
- naturais: areia – agregado miúdo (passa pela peneira # 4 ou 4,8 mm); pedregulho – agregado
graúdo (não passa pela peneira # 4). - artificiais: pedrisco; pedra britada ou brita.
Brita 0 1 2 3 4 5 Diâmetro (mm) 4,8 9,5 19,0 25 50 76 100
Como escolher o diâmetro do agregado: - øagregado ≤ ¼ da menor dimensão da peça; - øagregado depende também da taxa de armadura da peça; - øagregado ≤ c = cobrimento.
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1.1.2. CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DO CONCRETO:
A. CONCRETO EM COMPRESSÃO UNIAXIAL
Ensaio de Compressão
fc = resistência à compressão do concreto εc0 ≅ 1,8 ‰ a 2,2 ‰, valor médio (comumente adotado) = 2 ‰. A lei σ(εc) é, com boa aproximação, uma parábola do 2º Grau:
−=
2
00
2c
c
c
ccc f
ε
ε
εε
σ
máximodepontoparafc
ccc
c
c
cc
c
c
⇒=∂
∂⇒=
−=
∂
∂0
.212 02
00 εσ
εεεε
εε
σ
ic0c
c Ef2
tan ==ε
α
Eci = módulo de elasticidade tangente na origem da lei σ(εc) ou módulo inicial. Ecs = módulo de elasticidade secante do concreto em compressão. A NBR 6118: 2014, item 8.2.8, adota as seguintes características mecânicas e físicas do concreto:
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NBR 6118: 2014, Item 8.2.8 Módulo de elasticidade
O módulo de elasticidade (Eci) deve ser obtido segundo método de ensaio estabelecido na ABNT NBR 8522, sendo considerado nesta Norma o módulo de deformação tangente inicial, obtido aos 28 dias de idade. Quando não forem realizados ensaios, pode-se estimar o valor do módulo de elasticidade inicial usando as expressões a seguir:
Eci = αE. 5600 ckf , para fck de 20 MPa a 50 MPa;
Eci = 21,5.103 . αE .
3/1
ck 25,110
+
f, para fck de 55 MPa a 90MPa.
Sendo:
αE = 1,2 para basalto e diabásio
αE = 1,0 para granito e gnaisse
αE = 0,9 para calcário
αE = 0,7 para arenito
Onde:
Eci e fck são dados em megapascals (MPa).
O módulo de deformação secante pode ser obtido segundo método de ensaio estabelecido na ABNT NBR 8522, ou estimado pela expressão:
Ecs = αi . Eci
com αi = 0,8+0,2 .80
ckf ≤ 1,0
A Tabela 8.1 apresenta valores estimados arredondados que podem ser usados no projeto estrutural.
Tabela 8.1 - Valores estimados de módulo de elasticidade em função da resistência característica à compressão do concreto (considerando o uso de granito como agregado
graúdo, i.e., ααααE = 1,0)
Classe de resistência
C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C60 C70 C80 C90
Eci
(GPa) 25 28 31 33 35 38 40 42 43 45 47
Ecs
(GPa) 21 24 27 29 32 34 37 40 42 45 47
αi 0,85 0,86 0,88 0,89 0,90 0,91 0,93 0,95 0,98 1,00 1,00
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NOTAS
1) A deformação elástica do concreto depende da composição do traço do concreto, especialmente da natureza dos agregados.
2) Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal, pode ser adotado módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo de deformação secante Ecs.
3) Na avaliação do comportamento global da estrutura e para o cálculo das perdas de protensão, pode ser utilizado em projeto o módulo de elasticidade inicial Eci.
O módulo de elasticidade numa idade menor que 28 dias pode ser avaliado pelas expressões a seguir, substituindo fck por fcj:
ci
c
c
ci
E
f
tf
tE .
)(
)(
,50
= , para os concretos com fck de 20 MPa a 45 MPa;
ci
c
c
ci
E
f
tf
tE .
)(
)(
,30
= , para os concretos com fck de 50 MPa a 90MPa.
Onde:
Eci(t) é a estimativa do módulo de elasticidade do concreto em uma idade entre 7 dias e 28 dias;
fc(t) é a resistência à compressão do concreto na idade em que se pretende estimar o módulo de elasticidade, em megapascal (MPa).
8.2.9 Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal
Para tensões de compressão menores que 0,5 fc e tensões de tração menores que fct, o
coeficiente de Poisson ν pode ser tomado como igual a 0,2 e o módulo de elasticidade transversal Gc igual a Ecs./2,4 .
A resistência à tração do concreto está dada no item 8.2.5 da NBR 6118: 2014:
NBR 6118: 2014 Item 8.2.5 Resistência à tração
A resistência à tração indireta fct,sp e a resistência à tração na flexão fct,f devem ser obtidas em ensaios realizados segundo a ABNT NBR 7222 e a ABNT NBR 12142, respectivamente.
A resistência à tração direta fct pode ser considerada igual a 0,9 fct,sp ou 0,7 fct,f ou, na falta de ensaios para obtenção de fct,sp e fct,f, pode ser avaliado o seu valor médio ou característico por meio das equações seguintes:
fctk,inf = 0,7 fct,m
fctk,sup = 1,3 fct,m
para concretos de classes até C50:
fct,m = 0,3 fck2/3
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para concreto de classes de C50 até C90:
fct,m = 2,12 ln (1 + 0,11 fck)
onde:
fct,m e fck são expressos em megapascal.
Sendo fckj ≥ 7 MPa, estas expressões podem também ser usadas para idades diferentes de 28
dias.
NBR 6118, item 8.2.6 Resistência no estado multiaxial de tensões
Estando o concreto submetido às tensões principais σ3 ≥ σ2 ≥ σ1, deve-se ter:
σ1 ≥ − fctk
σ3 ≤ fck + 4 σ1
sendo as tensões de compressão consideradas positivas e as de tração negativas, o estado multiaxial de tensões deve ser verificado conforme ilustrado na figura 8.1.
Outras leis usadas em projeto:
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Lei parábola-retângulo
�s valores a serem adotados para os parâmetros �c2 (deformação específica de encurtamento do concreto no início do patamar plástico) e �cu (deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura) são definidos a seguir:
para concretos de classes até C50:
�c2 = 2,00/00;�
��cu = 3,50/00
para concretos de classes de C50 até C90:
�c2 = 2,00/00 + 0,0850/00.(fck - 50)0,53;
��cu = 2,60/00 + 350/00.[(90 - fck)/100]4
Ver indicação sobre o valor de fcd em 12.3.3.
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Lei rígido-plástica para dimensionamento no Estado Limite Último (ELU) por solicitações normais, “bloco de tensões”.
B. EFEITO DA VELOCIDADE DE CARREGAMENTO DO CONCRETO EM COMPRESSÃO UNIAXIAL (EFEITO RÜSCH)
ηηηη0,85fcd
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Conclusão: quanto mais lentamente se carregar o concreto menor é sua resistência fc.
3
3
2
2
1
1
ttt ∆
∆>
∆
∆>
∆
∆ εεε
1º fator: com a velocidade de deformação decrescente, a resistência do concreto cai e sua deformabilidade aumenta. Este fenômeno é um dos componentes do chamado “Efeito Rüsch”.
2º fator: por outro lado, a resistência do concreto aumenta com o passar do tempo.
−=β=
21
1
28
281exp
tS
f
f
c
jc
Onde: t = idade do concreto em dias j = data em que se deseja calcular a resistência fcj do concreto (a compressão) fc28 = resistência à compressão do concreto medida na idade de 28 dias S = depende do tipo de concreto
−=
=
=
ARICPVcimentodeconcretopara
CPIIeCPIcimentodeconcretopara
CPIVeCPIIIcimentodeconcretopara
S
20,0
25,0
38,0
Exemplo: para S = 0,38/0,25/0,20
S t (dias) 3 7 15 28 60 365 3650 (10 anos)
0,38 28c
jc
ff
0,46 0,68 0,87 1,00 1,13 1,32 1,41
0,25 28c
jc
ff
0,60 0,78 0,91 1,00 1,08 1,20 1,26
0,20 28c
jc
ff
0,66 0,82 0,93 1,00 1,06 1,16 1,20
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=⇒=
=⇒=
=⇒=
==
20,120,0
26,125,0
41,138,0
365010
28
28
28
c
jc
c
jc
c
jc
f
f
f
f
f
f
Sediasanostpara
Um terceiro fator que influi na resistência do concreto refere-se à diferença entre fc (resistência) medida no cilindro e aquela do concreto da estrutura (laje, viga, pilar – forma prismática).
cilindrocprismac ff ,, 95,0=
Em resumo, os 3 fenômenos juntos levam a um fator multiplicativo da resistência do concreto igual a 95,02,175,032185,0 ××=××≅ fatorfatorfator . O fator 0,85 reduz a resistência do concreto no dimensionamento de peças no E.L.U. (Estado Limite Último). Não é considerado em ensaios rápidos, nem nos Estados Limites de Serviço.
B.1. FLUÊNCIA DO CONCRETO
Fluência é o aumento gradual na deformação ao longo do tempo, sob uma carga constante. Se a tensão também for constante tem-se a “fluência pura”. É inversamente proporcional ao módulo de elasticidade do concreto e diretamente proporcional à tensão normal aplicada. Nas estruturas de concreto armado e protendido, a fluência não é pura, i.e., mesmo que a carga seja permanente (constante), a simples presença do aço aderente leva à uma fluência sob tensão variável ao longo do tempo. A fluência do concreto é importante na compressão. Ao ser aplicada uma força de compressão no concreto, ocorre um encurtamento (deformação) imediato. Com o passar do tempo, para carga mantida constante a deformação do concreto aumenta, sem que haja aumento da carga. Os principais fatores que influem na fluência do concreto são os mesmo para a retração, a saber:
• Idade 0t do concreto ao ser carregado: quanto mais velho for o concreto ao ser carregado,
menor é a sua fluência. • Umidade relativa do meio ambiente • Espessura fictícia da peça
No caso de estruturas reais, a fluência começa a ocorrer assim que a carga é aplicada ao concreto. A retração ocorre tão logo se inicie a cura do concreto. Para efeito de análise estrutural mais simples, os dois fenômenos podem ser considerados como iniciando na mesma data.
B.2. RELAXAÇÃO DO CONCRETO
Para situações onde atuam ações de longa duração, além da fluência, deve-se considerar também o fenômeno da relaxação do concreto. A relaxação consiste na diminuição da tensão ao longo do tempo, estando o concreto submetido a um estado de deformações constante (relaxação pura). Por exemplo, a ação de um recalque da estrutura,
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mantido constante pelos seus vínculos, impõe um estado de deformação constante no concreto, com o que as tensões decorrentes desse recalque imposto diminuem com o tempo.
C. RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA Entende-se por resistência característica do concreto (fck) aquela correspondente aos 28 dias, por ser esta a idade convencional em que uma estrutura usual é colocada sob carregamento total (pelo menos no projeto). A esta resistência associa-se uma probabilidade de ocorrência de 95%. Quer dizer, a resistência característica de um lote de corpos de prova de concreto ensaiados corresponde um total de 5% dos resultados obtidos com valores iguais ou inferiores a fck.
D. MODULO DE ELASTICIDADE DO CONCRETO PARA PROJETO (CONFORME NBR 6118)
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E. RESISTÊNCIA À TRAÇÃO AXIAL (OU DIRETA) DO CONCRETO
O concreto simples rompe quando tcσ for igual à
resistência à tração do concreto fct. A dispersão da resistência fct é muito maior do que a dispersão da resistência à compressão fc. Os valores de fct são probabilísticos. Em MPa tem-se:
32
,,inf
,
,,sup
21,0
30,0
39,0
7,0
3,1
ck
mctctk
mct
mctctk
f
ff
f
ff
=
=
=
fck (MPa) 20 30 40 50
fct k,inf 1,47 1,93 2,34 2,71
m 2,21 2,90 3,51 4,07 k,sup 2,95 3,86 4,68 5,43
F. RESISTÊNCIA À TRAÇÃO NA FLEXÃO DO CONCRETO EM LAJES E VIGAS (EM PEÇAS FLETIDAS)
7,0
0
7,0
0,
5,1
5,11
+
=
h
h
h
h
ff tcfltc
Onde, h0 = 100 mm h = altura da peça em mm. fct = resistência à tração axial
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h (mm) tc
fltc
ff ,
laje
viga
100 1,67 200 1,41 300 1,31 400 1,25 500 1,22 750 1,16
1000 1,13
Para peças com h > 1000 mm (ou 1m) fct,fl ≈ fct, ou seja, as resistências à tração na flexão e axial são aproximadamente iguais.
EXEMPLO 01 Determinar a carga qcr tal que se q <= qcr há uma probabilidade de 95% de não haver fissuração. Dados: fck = 20 MPa.
Índice de Esbeltez: 10400
4000==
l
h
Momento máximo: !máximoémomentoovãodocentroNo8
lqM
2
cr →=
Para h = 400 mm tcfltc ff 25,1, =→
A menor carga qcr abaixo da qual a viga não vai fissurar com 95% de probabilidade corresponde a
MPaff kctflct 84,12020,025,125,1 32
inf,inf, =
××==
kNmkNmmmNmmfbh
WfMcr tflctflc 82,9][10²]/[84,1³][6
400200
66
2
inf,
2
inf, =×××
=== −
W = módulo elástico de resistência (Para fctk,sup resulta Mcr = 19,62 kNm)
mkNl
Mcrqcr /91,4
4
82,98822
=×
== (Para fctk,sup resulta qcr = 9,82 KN/m)
Se q < qcr,sup = 9,82 kN/m há 95% de probabilidade de não haver fissuração. Se q < qcr,inf = 4,91 kN/m há 95% de probabilidade de não haver fissuração.
G. PESO ESPECIFICO
Concreto simples: 3CONC m/kN24=γ
Concreto armado: 3/25 mkNCA =γ
Isto mostra que o aço contribui (em média) com 3m/kN1 (ou 3m/kgf100 ) no peso específico do CA.
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1.2. AÇO
Barras e fios de aço destinados a armaduras para CA
Fios
(mm) Barras (mm)
Área (mm²)
4,2 13,8
CA 60
4,6 16,6 5 20 6 28,3 7 38,5 8 50 9 63,6
10 78,5 ≈ 80 6,3 31,5
CA 50 ou 25
8 50 10 80 12,5 125 16 200 20 315 25 500 32 800
Notar que para barras a soma das áreas de duas bitolas sucessivas dá aproximadamente a área da bitola
seguinte. P.ex., para 8e3,6 ΦΦ , tem-se as áreas 2mm50e5,31 , respectivamente. A soma destas áreas
é igual a 2m5,81 , que é aprox. a área da barra de bitola 10Φ .
1.2.1. PROPRIEDADES DO AÇO
Nervuras: melhoram as condições de aderência entre aço e concreto - Barras lisas (CA-25) - Barras nervuradas (CA-50) de alta aderência - Fios (CA-60) – para lajes.
Peso específico do aço: ³/85,7³/5,78 mtfoumkNAÇO
=γ
Peso por metro linear de uma barra = γπφAÇO4
²
Módulo de elasticidade do aço: GPaouMPaEs 21000.210=
Coeficiente de dilatação térmica:
)º10,(º101 1515 −−−− =≅≅ CconcretodoaoigualCx CS αα
EXEMPLO 02
KgmmKgpesametrosdebarra
mKgmkNmkNmmlinearmetropeso
84,18][12]/[57,116,121
/57,1/0157,0]³/[5,7810]²[200/16 6
=×=φ∴
==××=φ −
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1.2.2. DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO )( SS εσ
Os diagramas )( SS εσ na tração e na
compressão são admitidos iguais.
A. LAMINADO A QUENTE: Com patamar de escoamento.
B. ENCRUADO A FRIO Sem patamar de escoamento definido
(exemplos: aço de protensão e aço CA-60).
C. DIAGRAMAS IDEALIZADOS NA NBR 6118: AÇO DE ARMADURA PASSIVA
fy = resistência ao escoamento da barra ensaiada.
S
ky
dy
ff
γ=
s
dy
yds
ky
yk E
f
E
f=ε=ε ;
k indica valor característico, probabilidade de 5% de ser ultrapassado para o lado desfavorável.
SSS E ε=σ (Lei de Hooke)
‰48,215,1
‰86,2;‰86,21086,2
10210
60060060
‰07,215,1
‰38,2;‰38,21038,2
10210
50050050
33
33
====×=×
=⇒=−
====×=×
=⇒=−
εε
εε
−−
−−
s
dy
ydykky
s
dy
ydykky
E
fMPafCA
E
fMPafCA
diagrama simplificado do ELU
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CLASSIFICAÇÃO DOS AÇOS
Obs.: (C) alongamento em 10 φ ≈ εsuk
*Fonte: NBR 7480/96 - Barras e Fios de Aço para Armadura de Concreto
Observação: quanto maior a bitola da barra de aço melhor a aderência com o concreto.
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φ
φ−=
−=ε φ 10
102
1
1210
l
l
ll
Quanto maior a área sob a curva )( SS εσ até a ruptura, tanto mais dúctil é o aço e
tanto mais dúctil pode ser a peça de CA. Na descarga antes da ou na ruptura, a
parcela de deformação elástica é recuperada. Na descarga, igualmente, a parcela plástica
é permanente ou irrecuperável.
‰48,210210
522522
15,1
60060
‰07,210210
435435
15,1
50050
3
3
=×
=⇒==−−
=×
=⇒==−−
−
−
ε
ε
ydyd
ydyd
MPafCA
MPafCA
2. RETRAÇÃO E FLUÊNCIA DO CONCRETO
NBR 6118: 2014, Tabela 8.2 - Valores característicos superiores da deformação específica de retração
εεεεcs(t∞∞∞∞,t0) e do coeficiente de fluência ϕϕϕϕ(t∞∞∞∞,t0)
Umidade média
ambiente
%
40 55 75 90
Espessura fictícia 2Ac/u cm
20 60 20 60 20 60 20 60
ϕ(t∞,t
0)
Concreto das
classes C20 a C45
t0
dias
5 4,6 3,8 3,9 3,3 2,8 2,4 2,0 1,9
30 3,4 3,0 2,9 2,6 2,2 2,0 1,6 1,5
60 2,9 2,7 2,5 2,3 1,9 1,8 1,4 1,4
ϕ(t∞,t
0)
Concreto das
classes C50 a C90
5 2,7 2,4 2,4 2,1 1,9 1,8 1,6 1,5
30 2,0 1,8 1,7 1,6 1,4 1,3 1,1 1,1
60 1,7 1,6 1,5 1,4 1,2 1,2 1,0 1,0
εcs(t∞,t0) 0/00
5 − 0,53 − 0,47 − 0,48 − 0,43 − 0,36 − 0,32 − 0,18 − 0,15
30 − 0,44 − 0,45 − 0,41 − 0,41 − 0,33 − 0,31 − 0,17 − 0,15
60 − 0,39 − 0,43 − 0,36 − 0,40 − 0,30 − 0,31 − 0,17 − 0,15
εεεεelástica
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2.1. RETRAÇÃO DO CONCRETO Diminuição de volume da peca de concreto por perda de água não fixada quimicamente, ou seja,
perda da água que não reagiu com o concreto. Corresponde a uma deformação de encurtamento em todas as direções do corpo de concreto. Se impedida, seja pela armadura ou pelos vínculos da peça, causa tração no concreto e mesmo fissuração. Os valores da deformação podem ser estimados pela Tabela 8.1 da NBR 6118.
2.1.1. FATORES QUE INFLUEM
- tipo de cimento e agregado; - relação água-cimento; - clima (umidade ambiente, temperatura); - dimensões das peças. A retração não depende da carga!
A. GRÁFICO DA DEFORMAÇÃO NO CONCRETO POR RETRAÇÃO AO LONGO DO TEMPO
ε shc,= deformação no concreto por retração.
ε ∞,,shc= valor final da deformação de retração.
2.2. FLUÊNCIA DO CONCRETO
A fluência depende diretamente da intensidade da tensão permanente aplicada, e é inversamente proporcional ao módulo de elasticidade do concreto. Depende também dos fatores que influem na retração.
2.2.1. FLUÊNCIA PURA
Ec = módulo de elasticidade do concreto
0l∆ = encurtamento elástico instantâneo
lAEc
Gl
Ecll C
C .0
00 ===∆σ
ε
Cl∆ = encurtamento do concreto por fluência
Dividindo l∆ por l = deformação Cε
0Cε = Deformação elástica instantânea
=ε ϕc Deformação por fluência pura, isto é, sob
tensão constante.
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( )ϕεε
εεεεε ϕ
ϕ +=
+=+= 11)( 0
000 c
c
cCccc t
ϕ = coeficiente de fluência = 0
)(c
ctε
εϕ ϕ=
5,35,1 a≈ϕ (2 a 2,5 valores freqüentes)
( )ϕ+σ
=ε 1)( 0
Ect C
C : deformação total na data t>t0 para fluência pura.
Nas estruturas a carga permanente fica evidentemente constante, mas a tensão Cσ varia com o tempo (é
decrescente com o tempo) � a fluência não é pura. Basta a simples presença da armadura para que a fluência não seja pura, i.e., não ocorra sob tensão constante, mesmo que a carga permaneça constante. Ver os exemplos 1 e 2 a seguir: o primeiro refere-se apenas à retração, o segundo refere-se ao efeito da carga permanente, ambos para um pilar isostático de concreto armado.
A. DEFORMAÇÃO TOTAL DO CONCRETO NA DATA t (USUALMENTE ∞=t )
( ) ( ) ( ) ( )0,0
0 ,8,011, ttEE
tt shcc
C
c
CC ε+ϕ+
σ∆+ϕ+
σ=ε
Onde:
( )ϕ+σ
10
c
C
E = deformação total por fluência pura, isto é, se Cσ fosse
constante e igual a 0Cσ .
( )ϕ+σ∆
8,01c
C
E = acréscimo de deformação por fluência sob variação
de tensão Cσ∆ ao longo do tempo. Esta variação é decrescente com o tempo.
shc,ε = retração.
B. DEFORMAÇÃO TOTAL DO CONCRETO NA DATA ∞t
Ação isolada da retração:
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( ) ( ) ( ) ( )0,0
0 ,8,011, ttEE
tt shcc
C
c
CC ε+ϕ+
σ∆+ϕ+
σ=ε ∞
( )ϕ+σ
10
c
C
E = 0 (zero), pois não há carga aplicada (G = 0 neste exemplo)
No aço:
- Deformação: s
SS E
σ=ε
- Variação de deformação: s
SS E
σ∆=ε∆
As variações de encurtamentos do concreto e do aço são iguais, ( ) SCC tt ε∆=−ε=ε∆ ∞ 0, 0 :
),()8,01(),()8,01( 0,0, ttEttEE
E shcsCSshcsc
CsS ∞∞ ε+ϕ+σ∆α=ε+ϕ+
σ∆=σ∆
c
sS E
E=α = coeficiente de equivalência
Por outro lado, a soma da variação de forcas no concreto e no aço é igual a zero:
S
C
c
s
CS
SsCc
A
A
AA
NsNc
ρ
σ∆−=
σ∆−=σ∆
=σ∆+σ∆
=∆+∆
0
0
Ac
AsS =ρ = taxa geométrica de armadura
C. ESPESSURA EQUIVALENTE
Espessura equivalente = u
A02
Onde: u = perímetro em contato com a atmosfera. A0 = área da seção. - Espessura equivalente para toda peça em contato com o ambiente (seção retangular):
( ) hb
bh
hb
bh
u
A
+=
+=
2
22 0
Para b >> h (laje):
h
b
hh
u
A=
+=
1
2 0 , ou seja, a espessura equivalente de uma laje com as duas faces em
contato com o ambiente é sua própria espessura.
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EXEMPLO 01
Pilar curto sob retração (continuação do cálculo anterior): 350, 106,01060),( −−
∞ ×−=×−=ε ttshc ;
5,2),( 0 =ϕ ∞ tt .
Solução:
%273,202273,08800
2000
0,730
210
30000
210000
88002000300
2000500425422
2
ouAc
As
MPaE
MPaE
mmAbhA
mmA
S
Sc
s
sc
s
===ρ
==α→
=
=
=−=−=
=×=φ=
Sabendo que S
CS ρ
σ∆−=σ∆
Logo:
( ) ),(8,01 0, ttE shcsCSS
C∞ε+ϕ+σ∆α=
ρ
σ∆−
( )( )
( )( )
!!94,1
5,28,0102273,071
10601021002273,0
8,011
, 530,
fissurarPodeconcretonotraçãoMPa
ttE
C
SS
shcsSC
→+=∆
×+××+
×−×××−=
++−=∆
−∞
σ
ϕρα
ερσ
No aço:
( )2/85335,8502273,0
94,1cmKgfouMPa
S
CS −−=−=
ρ
σ∆−=σ∆ � compressão no aço!
Estes resultados mostram que sob a ação da retração, a peça encolhe, mas o concreto está tracionado. Quanto maior for a taxa geométrica da armadura, maior será a tração no concreto, o que pode levá-lo à fissuração, mesmo sem carga aplicada (exemplo: peças pré-moldadas com excesso de armadura). O impedimento à retração pode ocorrer pela ação dos vínculos da peça, ou por pela união de concretos de idade muito diferentes, p.ex, parede de concreto sobre uma sapata corrida. Se a parede for concretada muito tempo depois que a sapata, há uma retração diferencial dos dois elementos estruturais. Com isto a sapata impede a retração da parede e pode gerar fissuras verticais na parede.
EXEMPLO 02 Efeito da fluência do concreto (a retração agora é zero): G = -1530 kN (compressão); 5,2),( 0 =ϕ ∞ tt
Tensões iniciais logo após aplicação da carga permanente G:
( ) ( )( )[ ] 0
00
0000
1 CsS
CsSsCsSc
CsSCcSsCc
AbhG
AAbhAAG
AAAAG
σ−α+=
σα+−=σα+=
σα+σ=σ+σ=
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Área ideal: ( ) sSi AAA 10 −α+=
Área da peça: bhA =0
( )
MPa
MPa
N
Ai
G
CSS
C
C
105157
15
200017300
101530
00
0
2
3
0
−=×−=σα=σ
−=σ
×−+
×−==σ
� Tensões iniciais nos dois materiais, quando começa a fluência do concreto.
( )( )ϕ+αρ+
ϕσαρ−=σ∆ ∞
8,011
, 00
SS
CSSC
tt
Variação de tensão no concreto:
( )MPaC 039,4
5,28,0102273,071
5,21502273,07 =
×+××+
×−××−=σ∆
Tensão total no concreto: MPaMPaCCC 1196,10039,4150 −≈−=+−=σ∆+σ=σ � há perda da
compressão de -15 para -11 MPa, ou aproximadamente 40% de queda. Variação de tensão no aço:
)(7,17702273,0
039,4compressãodeaumentoMPa
S
CS −=−=
ρ
σ∆−=σ∆
Tensão total no aço: MPaSSS 2837,1771050 −≅−−=σ∆+σ=σ
Note-se que a compressão no aço quase triplica, neste exemplo, ao passo que o concreto tem um alívio de compressão da ordem 40%. Este resultado qualitativo pode ser transposto para as estruturas aporticadas. Assim, se no pórtico, após a aplicação de toda a carga (boa parte da qual é permanente) não houver ruptura pelo lado do concreto, então não mais haverá ruptura pelo concreto, a não ser que haja aumento posterior e imprevisto de carga.
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3. COMPORTAMENTO CONJUNTO DOS MATERIAIS AÇO E CONCRETO
3.1. INTRODUÇÃO Características básicas do concreto armado (CA) � aderência entre concreto e aço! Na compressão e na tração antes de fissurar as deformações no concreto e no aço vizinho são
iguais: SC ε=ε .
Após a fissuração o aço alonga-se mais que o concreto. Por conseqüência há deslizamento do aço em relação ao concreto vizinho. A quantidade de deslizamento é igual à abertura da fissura!
3.2. AÇÃO DA FORÇA NORMAL
Como construir a curva força aplicada-deslocamento axial, ?)( LF ∆ Ou seja, para cada L∆ crescente pergunta-se: qual é
a força F correspondente? O presente exemplo refere-se a um ensaio em laboratório. Dados: Aço CA-50: fyk = 500 MPa Es = 200000 MPa
‰ 2,5 10200
5003yk =
×==ε
s
ky
E
f
Área de aço: As = 4 φ 25 = 4x500 = 2000 mm² Concreto: coeficiente de variação: para vários corpos de prova %20=δ Resistência média: fcm = 30 MPa Resistência característica:
( ) ( ) MPaff cmck 2020,0645,1130645,11 =×−×=δ−=
(probabilidade de 5% de ocorrer fc ≤fck)
Área de peça: 220 90000300 mmbhA ===
Área do concreto: Ac = A0 – As = 90000 – 2000 = 88000 mm² Lei dos materiais
Aço
Concreto em compressão
2
00
2
ε
ε−
ε
ε=
σ
C
C
C
CC
fc
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(Neste exercício trabalha-se com valores absolutos)
L∆ (mm) L
LSC
∆=ε=ε
(‰)
concreto aço F = Fc+Fs
(kN) Cσ
(MPa) CCC AF σ=
(kN)
Sσ
(Mpa) SSS AF σ=
(kN) 0 0 0 0 0 0 0
0,5 0,5 13,125 1155 100 200 1355 1 1 22,5 1980 200 400 2380
1,5 1,5 28,125 2475 300 600 3075 2 2 30 2640 400 800 3440
2,5 2,5 28,125 2475 500 1000 3475 3 3 22,5 1980 500 1000 2980
3,5 3,5 13,125 1155 500 1000 2155 4 4 0 0 500 1000 1000
Gráfico F(∆L):
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
∆L (mm)
F (
kN)
F Fc Fs
1ª conclusão: embora a deformação correspondente a máxFc (ou seja, 2/1000) não coincida com
aquela correspondente a máxF (que vale 2,5/1000) pode-se, em face da pequena diferença entre 3475 e 3440, obter a resistência do pilar pela soma das resistências das partes, isto é,
kNfAfAFkyscc 364010)5002000308800( 3 =××+×=+= − � 5% maior que 3475 kN
=cc fA resistência da seção de concreto
=kys fA resistência da seção de aço
2ª conclusão: o comportamento da curva F(∆L) é aproximadamente linear em boa parte do trecho ascendente da parábola. Como em serviço cc f5,0≤σ , a reta é uma aproximação muito boa da parábola.
Logo, para o concreto em serviço vale a lei de Hooke: ccsc E ε=σ com Ecs = módulo de elasticidade
secante. 3ª conclusão: Para ?;124,0 =ε≅=σ ccc MPaf
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[ ]
MPaEEMPa
curvadaesquerdoladooknão
f
MPaf
fpondof
cscic
c
cc
c
c
c
cc
ccc
c
c
c
c
ccc
2550085,03000085,067,26666
1000
45,012
‰45,0‰2225,0
)!(225,0;)!(775,12
6,142
240,030
12
30;‰2
2;2
0
21
2
0
2
0
2
00
=×==≅≅=
=×=∴=
==→−±
=
−===
==
−=∴=
−=
εσ
ελεε
λλλ
λλσ
ε
λλσεε
λεε
εε
σ
Da NBR: )!(255002600030560085,0560085,0 okMPaMPafE ccs ≈=××=×= ; no ensaio
usa-se fc no lugar de fck (fck usa-se no projeto). Conclusão: os módulos de elasticidade tangente na origem (Eci) e secante (Ecs = 0,85Eci) correspondem respectivamente a:
MPaEE
e
MPaf
E
cics
c
cci
2550085,0
30000
1000
23022
0
==
=×
==ε
Estes valores no ensaio são aproximadamente os mesmos obtidos pela expressão da NBR 6118 se no lugar de fck for usado fc, mas no projeto usa-se os estabelecidos nessa norma.
Em serviço o concreto comprimido pode ser calculado elasticamente (isto é, vale a lei de Hooke).
ccsc E ε=σ
No pilar:
sscc AAF σ+σ=
Para a força F = 1385 kN, quais são σ e ε nos materiais? (isto é o Estádio I)
( ) sscs AAAF σ+σ−= 0
Como vale a lei de Hooke para os 2 materiais, vem:
sssccsc EeE ε=σε=σ
Mas por aderência os encurtamentos dos 2 materiais são iguais, isto é, sc ε=ε .
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( ) ( )
( )
( )[ ]( )
iCCS
SSi
SSCCS
CS
SS
sCS
SSCCS
cSsCCSSsssccsS
AEF
idealáreaAAA
AAEF
iaequivalêncdeecoeficientE
E
AE
EAAEF
EAEAAEAEAAF
ε
α
αε
α
ε
εεεε
=
=−+=
−+=
==
+−=
+−=+−=
1
1
0
0
0
00
No exemplo:
( )
‰52,0200000
105
3000085,0
4,13
1054,1384,7
4,133,103686
101385
27,1036862000184,7300
84,73085,0
200
3
22
==×
=ε=ε
=×=σ
σα=σ=σ⇒σ
=σ
=×
==σ
≈×−+=
=×
=α
sc
s
csccs
ss
cs
c
s
s
ic
i
s
MPa
E
E
EE
MPaA
F
mmA
Ver na Tabela anterior, para a deformação 0,5/1000, a carga vale 1355 kN. Estes valores são praticamente coincidentes com os calculados elasticamente (0,52/1000 e 1385 kN).
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3.3. PEÇA USADA COMO TIRANTE
Antes da fissuração os dois materiais trabalham em conjunto ( SC ε=ε ).
Resistência do concreto na tração axial: fct = 3 MPa Para tensões baixas usa-se
MPaf
Ec
cci 30000
002,0
3022
0
=×==ε
Imediatamente antes da fissuração: Fcr = força de fissuração Área ideal, com:
22 1013402000)167,6(300
67,630
200
mmA
E
E
i
ci
sS
=×−+=
===α
mmlE
fl
confereOKkNF
kNAfAF
kNAfF
FFF
kNAfF
ci
ctcr
cr
sctSsSs
cctcrc
scrccr
ictcr
10,010001030
3
!,30440264
40102000367,6)(
26410)2000300(3
304101013403
3
3
32,
,
3
=××
==∆
=+=
=×××=⋅==
=×−×==
+=
=××==
−
−
−
ασ
Imediatamente após a fissuração só o aço resiste a F.
mml
l
l
E
MPaN
A
sejaoucolaboranãoconcretoo
AAaçonoTensão
kNFF
cr
cr
s
SS
S
SSScr
C
SSCCcr
cr
76,010001000
76,0
‰76,010200
152
1522000
10304
2000
0,,
304
3
3
=×=∆
∆==
×==
=×
=
⋅==
=
+=→
==
σε
σ
σσσ
σ
σσσ
Conclusão: na fissuração o alongamento do tirante salta de 0,10 mm para 0,76 mm.
Outro valor notável da força F: início do escoamento da armadura:
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mmlE
fll
kNF
fAFF
s
yk
syy
yksy
5,210001000
5,2
!1000max
105002000max 3
=×===∆
=∴
××=== −
ε
Gráfico )( lF ∆ na tração:
Rigidez do tirante:
- antes de fissurar:
mkNmmNl
AEAE sscic /1004,3/1004,31000
2000200000880030000 66 ×=×=×+×
=+
- após fissurar: a rigidez do tirante é a rigidez da seção metálica, pois Ac=0.
( )anteriordomkNl
AE ss %13/104,01000
2000200000 6×=×
=
Este é um aspecto muito negativo dos tirantes, a saber, a grande perda de rigidez axial na passagem do Estádio I (sem fissuras) para o Estádio II (com fissuras). Isto pode ocorrer em estacas de concreto armado tracionadas, e é um problema a ser evitado, a menos que as tensões de tração sejam baixas e eventualmente temporárias (ação do vento), cerca de 3 a 4,5% de fck. Outro aspecto relacionado com os tirantes, na mencionada passagem dos Estádios I para o II, refere-se à armadura mínima, examinada a seguir.
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)(
200
500
2000254
3
20
30
30
2
ensaiodomédiovalor
GPaE
MPaf
mmA
MPaf
MPaf
MPaf
GPaE
s
yk
s
tc
ck
c
ic
=
=
=φ=
=
=
=
=
Na compressão e na tração antes de fissurar os dois materiais têm a mesma deformação: SC ε=ε .
Antes de fissurar, e antes de haver escoamento tem-se o chamado Estádio I:
Na tração, imediatamente antes de fissurar:
ctsctccr fAfAFS
α+=
Imediatamente após a fissuração:
67,6==α
σ=
ic
sS
sscr
E
E
AF
( )[ ]
!1522000
10304
0304
30410367,6200038800
3
,
,
3
projetodecondiçãofMPa
AF
kNF
ykcrs
crsscr
cr
→<=×
=σ
σ+==
=×××+×=
+
−
Condição de projeto: deve-se impor uma armadura mínima tal
que não haja escoamento do aço na passagem do Estádio I para o Estádio II.
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( )
( )
%62,0%2,2
:existenteteefetivameneentrefazsecomparaçãoaou
mm2000Amm559300100
62,0AA
;Logo
%62,0167,63500
3
:exemplodonúmerososcom
1ff
f
A
Af
fissuraçãoaapósologaçonotensão11
f
:ApordivideeAsseisola
armaduradegeométricataxaA
Ae
E
Ecom
)f,(Af)AA(AF
min,ss
Smin,s
2exist,s
220min,smin,s
min,s
Sictyk
ct
0
min,smin,sykcr,s
SiS
ctcr,s
0
0
sS
ic
sSi
ctSscts0cr,sscr
=>>=
=<=×==
=−×−
=
−−==⇒<
→
−+=
−
===
+−==
ρρ
ρρ
ρ
ρ
αρσ
αρ
σ
ρα
ασ
4. INTRODUÇÃO DA SEGURANÇA
4.1. NOS MATERIAIS Há dois passos para impor a segurança: 1º passo: consiste em obter o valor característico da resistência. Conhecidos cmf = valor médio da resistência à compressão de uma série de ensaios.
δ = coeficiente de variação das amostras ensaiadas. Obtém-se ckf = valor característico da resistência à compressão do concreto ao qual corresponde à
probabilidade de 5% de ser ultrapassado para o lado desfavorável (isto é, para ↓ ). Se a distribuição for normal ( )δ−= 645,11cmck ff
( ) MPafck 202,0645,1130 =×−×=
2º passo: consiste em introduzir os coeficientes de segurança parciais:
ticascaracterísasresistênciasdividemCPouCAaçoopara
concretoopara
S
C
=→
=→
15,1)(
4,1
γ
γ
Para o concreto tem-se ainda o fator 0,85.
Resistências de cálculo do ELU:
MPafexemplonof
faço
MPafexemplonof
fconcreto
ydS
ykyd
cdC
ckcd
43515,1
500:
14,124,1
2085,085,085,085,0:
===
=×==
γ
γ
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4.2. NAS CARGAS
Faz-se o caminho em sentido oposto: 1º passo: toma-se o valor característico superior da carga (ou o valor representativo): Fk 2º passo: majora-se Fk pelo coeficiente de segurança parcial das cargas fγ (=1,4 em geral): kfd FF γ=
Condições de segurança: o esforço solicitante de cálculo Fd,S (onde S = solicitante) deve ser menor ou igual ao esforço resistente de cálculo Fd,R (onde R = resistente): RdSd FF ,, ≤
Na compressão simples:
( )
)5,2rupturapara"distância("kN13854,1
6,1938FkN6,1938FF
kN6,19381020004358800014,12F
AfAf85,0F
kkfS,d
3R,d
sydccdR,d
==≤⇒≤=
=××+×=
+=
−
γ
Na tração axial (o concreto é desconsiderado):
( )
rupturapara"distância"61,115,14,115,1
fAF4,1F
kN6214,1
870FkN870FF
kN8701020004350F
Af0F
S
ykskR,d
kkfS,d
3R,d
sydR,d
==×→=
≤=
=≤⇒≤=
=××+=
+=
−
γ
γ
5. ESTÁDIOS I, II E III NA FLEXÃO SIMPLES
No CA (concreto armado) e no CP (concreto protendido) há três fases distintas de comportamento, conforme haja ou não dois fenômenos: fissuração do concreto e plastificação dos materiais. O Estádio I caracteriza-se pela ausência de fissuração e de plastificação dos materiais, enquanto o Estádio II é caracterizado pela fissuração, mas os materiais ainda podem ser considerados elásticos (Notar que o concreto só trabalha à compressão, na seção transversal, a tração é desconsiderada por facilidade de cálculo e por ter pouca influência). A plastificação aparece no Estádio III, com fissuras (vigas e lajes) ou sem fissuras (pilares). Ver nos diagramas tensão-deformação dos materiais, dados a seguir, o trecho plastificado.
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Concreto na flexão: Leis tensão-deformação, ver páginas 5 e 6;
Aço: ver página 14
Resistência à tração na flexão:
mmemhh
h
ff tcfltc ;
1005,1
1005,11
.7,0
7,0
inf,,
+=
EXEMPLO 01: FISSURAÇÃO EM VIGA DE CA, SEPARAÇÃO DOS TRECHOS NOS ESTÁDIOS I E II;
Características dos materiais:
( ) ( ) SSSSSi
ckkct
ci
sS
s
ci
ck
AAAAAAidealÁrea
MPaff
E
E
MPaE
MPaE
MPaf
1
47,1202,020,0
0,825
200
000.200
000.25044.25205600
20
00
32
32
inf,
−α+=α+−==
=×==
===α
=
≈=×=
=
CG ideal?
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( )
( ) iSSSSi
SSSi
OSSSSSii
yyAIIAi
yAy
yAyAAyA
00
00
000
1
1
0
−α+=
−α=
α+−=
Na fibra inferior, módulo de resistência da seção:
1i
ii y
IW =
ifltccr WfM ,=
( )( ) 2
0
2
5,1085600
16080018
8560080018400200
mmy
mmA
i
i
=××−
=
=×−+×=
( ) ( ) 463
1065,12005,101601608001812
400200mmI i ×=−×××−+
×=
( )36
6
10336,65,10200
1065,1200:inf mmWeriorfibraNa i ×=
−
×=
MPaf fltc 84,125,147,1
100
4005,1
100
4005,11
47,17,0
7,0
, =×=
×
×+×=
mKNmmNM cr .66,11.1066,1110366,684,1 66 =×=××=
Quando crcr M
lq=
8
2
, haverá fissuração. A carga vale:
mKNMl
q crcr /59,266,116
8822
=×==
=−=
==+−
58,542,06
42,0066,11455,7
2
12
x
xxx
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Trecho fissurado = !20,542,026 mmm ≈×−
A determinação das tensões no concreto e no aço em serviço para a peça no Estádio II se faz com as três ferramentas da mecânica: (1) Equilíbrio, (2) Leis constitutivas e (3) Condições de compatibilidade. Notando que as deformações têm distribuição linear na seção transversal (hipótese de Bernoulli), para sua determinação é preciso conhecer duas incógnitas que a definem, p.ex., a profundidade x da LN e a curvatura 1/r ou uma das deformações extremas, SC ou εε .
Por equilíbrio de forças horizontais, tem-se que a força no concreto, Cc
bxR σ
2= , é igual à força no aço,
SSs AR σ= . Esta é a primeira condição de equilíbrio. Como em serviço vale a lei de Hooke para ambos
os materiais, pode-se substituir as tensões pelo produto dos módulos de elasticidade e das deformações. Logo:
)1(2 SsSCcs EAE
bxε=ε
Por outro lado, as deformações ligam-se entre si pela curvatura 1/r da seção como segue:
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dXr
ddXd
r1
22=ϕ→=
ϕ
=
=
=
xr
dXx
dX
r
dXx
d
Concreto
c
c
c
ε
ε
εϕ
122
122
( )
( )
−
ε=
ε=−
ε=−ϕ
xdr
dXxddXr
dXxd
d
Aço
s
s
s
1
122
)2(
1
x
xdxdxr
curvatura
CS
SC
−ε=ε
−
ε=
ε==
022
;;:dim
)3(022
)(022
2:)1()2(
2
2
22
=−+
→=
==−
=−+
÷=−+
−=
SSSS
sS
cs
sS
SSSS
SSSS
CsSCcs
armaduradegeometricataxabd
A
E
E
d
xensionaisaossedefinem
d
d
bd
A
d
x
bd
A
d
x
ddb
Ax
b
Ax
x
xdEAE
bxem
ραξραξ
ρ
αξ
αα
αα
εε
−
ρα+ρα==ξ 1
21
SSSSd
x profundidade relativa da linha neutra na flexão simples de
seção retangular com armadura simples. Notar que a profundidade relativa x/d da LN não depende do momento fletor, no caso de flexão simples! Depende apenas do produto do coeficiente de equivalência pela taxa geométrica da armadura. Isto quer dizer que a altura da fissura é aproximadamente constante ao longo da viga.
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EXEMPLO 02
mmdx
d
x
bd
AEcs
GPaEGPaE
SS
sS
Scss
24,1313603646,0
3646,011046,0
211046,0
1046,0%11,14,9
%11,1360200
800
4,9200
;25,21;200
=×==
=
−+×==
=×=
=×
==
====
ξ
ξ
ρα
ρ
α
2ª equação de equilíbrio � momento! Determinado x, fica conhecido o braço de alavanca das forças internas:
3/xdz −=
Igualando os momentos solicitante e resistente e usando a expressão de z, obtém-se:
( )
( )
( ) ( )
−=
−−=
=
=÷
−=
−−=
−=ε
−ε=
−ε=
3231
1
32
1
3
1
32
.
3
2
2
xd
bxE
xdxdAE
r
MEI
flexãoàrigidezcurvaturaMomento
r
xd
bxE
r
xdxdAEM
rxdonde
xdE
xbxdEAM
csssII
csss
S
CScsSss
Há duas expressões de ( )IIEI , e ambas dão mesmo resultado, pois são iguais!
5.1.1. RIGIDEZ À FLEXÃO NO ESTÁDIO II
( ) ( )
−=
−−=323
2 xd
bxE
xdxdAEEI csssII
( )
−−α=
−=332
2 xdxdA
xd
bxI SSII
( ) ( ) ( )
( ) 213
3
10158,1
3
2,1313602,13136080010200
3
NmmEI
xdxdAEEI
II
ssII
×=
−×−×××=
−−=
No Estádio I tinha-se ( ) 213 .10002,3 mmNIEEI IciI ×==
Queda na rigidez %4,61100002,3
158,11 =×
−=
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Admite-se, como exemplo, a carga q =15 kN/m
No : mkNM máx .5,678
615 2
=×
=
mmx
dz 3,3163
2,131360
3=−=−=
Forças nos materiais: Nmm
mmN
z
MRR máx
sc3
6
1045,2133,316
.105,67×=
×===
Tensão na armadura: MPaNAR SSSSs 2671045,213800 3 =σ∴×=σ→σ= (faixa em serviço no
aproximadamente 200 a 300 MPa).
Tensão no concreto:
Nz
MbxR CCc
31045,2132
2,131200
2×=σ
×→=σ= MPaC 3,16=σ∴ (valor alto próximo de fck =
20MPa, haverá flecha por fluência do concreto comprimido!).
0δ = flecha inicial em t = t0
Cδ = acréscimo de flecha por fluência
5.1.2. RIGIDEZ EQUIVALENTE SEGUNDO A NBR 6118: EXPRESSÃO DE BRANSON
( ) ( )[ ]( )
( )
diretatraçãoàaresistênciMPaff
mmW
fWM
mmbh
I
M
M
IIEstádiodoponderaçãodefator
IEstádiodoponderaçãodefator
EIIE
IEIIEEI
ckmct
i
fltcicr
a
cr
IIIIcs
csIIcseq
21,23,0
10336,6
100667,112
400200
12
26,05,67
75,1
1
1
32
36inf,
,
4933
0
3
3
03
03
==
×=
=
×=×
==
===Ψ
Ψ−=
Ψ=
=
≤Ψ−+Ψ=
( ) ( ) 31313393
66
7,0
7,0
,
1018,110158,126,01100667,126,021250
5,171077,210336,6
77,2
100
4005,1
100
4005,11
21,2
NmmEI
KNmM
flexãonatraçãoàaresistênciMPaf
eq
cr
fltc
×=××−+×××=
=×××=
=
×
×+×=
−
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Flecha imediata no Estádio I:( )eq
II
EI
ql 4
0 384
5=δ
( )280
5,211018,1
10615
384
513
43
0
lmmII ≈=
×
×××=δ
Observação: Se IIcseq IEEIsetem ≅−≤ )(4,0ψ (os trechos no Estádio I têm pouca influência na
flecha no centro do vão e na rotação da peça nos apoios). Outro modo de calcular a flecha no Estádio II: através da curvatura na seção central. Notando que a curvatura é igual ao momento fletor dividido pela rigidez à flexão, ou seja:
( )eqEI
qlr
8//1
2
== resulta a flecha ( )
)1
(6,9
])(
8/[
48
5
384
5 22
24
0 r
ll
EI
ql
EI
ql
eqeq
II ===δ
No exemplo, sendo 33 10/335,1)10200/(267/ =×== sSs Eσε , mmxd 8,2282,131360)( =−=−
tem-se a curvatura igual a:
133 104,171
1
108,228
335,11 −
×=
×=
−= mm
xdrsε
A flecha imediata resulta igual a:
mmr
lII 9,21104,171
1
6,9
)106()
1(
6,9 3
232
0 =×
××
==δ (pequena diferença de aproximação numérica com o
valor anterior) A. CÁLCULO DA FLECHA DIFERIDA NO TEMPO PARA VIGAS DE CONCRETO ARMADO: PARCELA DA FLUÊNCIA DO
CONCRETO= fαδ0
Ver o item 17.3.2.1.2 da NBR 6118: 2014 para o cálculo de ( )ftot αδδ += 10
Com
comprimidaarmaduradeáreaAbd
As
s
f
==ρ
ρ+
ξ∆=α
';'
'
'501
( ) ( )
gaplicasequandomesesemconcretodoidadet
diferidaflechadavalorodesejasequandomesesemtempooét
tempodofunçãoecoeficienttt
,,
;,,
;
0
0
=
=ξξ−ξ=ξ∆
* Fonte: NBR 6118 – Projeto de Estrutura de Concreto
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No exemplo:
( )( )
( ) mm545,25,215,11
5,101
54,02
54,0tmês5,0t
2tmeses70t
0'As
0tot
f
00
≈×=+=
≈+
−=
=→=
=→≥
=
δδ
α
ξ
ξ
Como se vê a flecha total é 2,5 vezes maior do que a flecha imediata. O aumento da flecha de 21,5mm para 54mm ocorre ao longo dos anos. Assim, ao concluir a obra, a flecha parece estar em ordem, mas o problema da fluência do concreto comprimido só passa a ser evidente após vários anos.
O controle das flechas se faz pela Tabela 13.3 - Limites para deslocamentos (NBR 6118:2014, item 13.3).
Tabela 13.3 - Limites para deslocamentos
Tipo de efeito Razão da limitação
Exemplo Deslocamento a
considerar Deslocamento
limite
Aceitabilidade sensorial
Visual
Deslocamentos visíveis em elementos estruturais
Total l /250
Outro Vibrações
sentidas no piso
Devido a cargas acidentais
l /350
Efeitos estruturais em
serviço
Superfícies que devem drenar água
Coberturas e varandas
Total l /2501)
Pavimentos que devem permanecer
planos
Ginásios e pistas de boliche
Total l /350+
contraflecha2)
Ocorrido após a construção do piso
l /600
Elementos que suportam equipamentos
sensíveis
Laboratórios Ocorrido após nivelamento do equipamento
De acordo com recomendação do fabricante do
equipamento
Efeitos em elementos
não estruturais
Paredes
Alvenaria, caixilhos e
revestimentos
Após a construção da parede
l /5003) e
10 mm e
θ = 0,0017 rad4)
Divisórias leves e
caixilhos telescópicos
Ocorrido após a instalação da divisória
l /2503) e
25 mm
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Movimento lateral de edifícios
Provocado pela ação do vento para
combinação freqüente
(ψ1=0,30)
H/1 700 e Hi/8505) entre pavimentos6)
Movimentos térmicos verticais
Provocado por diferença de temperatura
l /4007) e
15 mm
Tabela 13.3 (cont.)
Tipo de efeito Razão da limitação
Exemplo Deslocamento a
considerar Deslocamento
limite
Efeitos em elementos
não estruturais
Forros
Movimentos térmicos
horizontais
Provocado por diferença de temperatura
Hi/500
Revestimentos colados
Ocorrido após construção do forro
l /350
Revestimentos pendurados ou
com juntas
Deslocamento ocorrido após construção do
forro l /175
Pontes rolantes
Desalinhamento de trilhos
Deslocamento provocado pelas ações
decorrentes da frenação
H/400
Efeitos em elementos estruturais
Afastamento em relação
às hipóteses de cálculo adotadas
Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, seus efeitos sobre as tensões ou sobre a
estabilidade da estrutura devem ser considerados, incorporando-os ao modelo estrutural adotado.
1) As superfícies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto compensado por contraflechas, de modo a não se ter acúmulo de água. 2) Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de contraflechas. Entretanto, a atuação isolada da contraflecha não pode ocasionar um desvio do plano maior que l /350.
3) O vão l deve ser tomado na direção na qual a parede ou a divisória se desenvolve.
4) Rotação nos elementos que suportam paredes. 5) H é a altura total do edifício e Hi o desnível entre dois pavimentos vizinhos. 6) Esse limite aplica-se ao deslocamento lateral entre dois pavimentos consecutivos devido à atuação de ações horizontais. Não devem ser incluídos os deslocamentos devidos a deformações axiais nos pilares. O limite também se aplica para o deslocamento vertical relativo das extremidades de lintéis conectados a duas paredes de contraventamento, quando Hi representa o comprimento do lintel. 7) O valor l refere-se à distância entre o pilar externo e o primeiro pilar interno.
NOTAS
1 Todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vão l suportados em ambas as
extremidades por apoios que não se movem. Quando se tratar de balanços, o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço.
2 Para o caso de elementos de superfície, os limites prescritos consideram que o valor l é o menor vão,
exceto em casos de verificação de paredes e divisórias, onde interessa a direção na qual a parede ou
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divisória se desenvolve, limitando-se esse valor a duas vezes o vão menor.
3 O deslocamento total deve ser obtido a partir da combinação das ações características ponderadas pelos coeficientes definidos na seção 11.
4 Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas.
Estádio III: (os diagramas mostrados neste texto não consideram concretos de resistência acima de 50MPa)
No Estádio III, em lajes e vigas, a armadura deve plastificar-se, para que se possa aproveitar a resistência do material. O concreto também pode ser considerado plastificado. Com isto, a lei curva do concreto pode ser substituída por um bloco retangular de tensões e a tensão fica independente da deformação (encurtamento) sofrida pelo concreto. Ver a Figura seguinte.
A altura do bloco de tensões obtém-se da igualdade de forças resistentes, supondo a armadura em escoamento:
ysc fAbyf = ,
divide-se ambos os lados por bdfc e define-se a taxa mecânica da armadura ω :
)/()/( cyscc bdffAbdfbyf = ou, trabalhando com as resistências características de ambos os materiais:
278,020
500
360200
8008,0=×
×====
ck
ykS
f
f
bd
A
d
x
d
yω
My = momento do início do escoamento e qy = carga que produz My na seção mais solicitada ( ):
( ) ( )
mKNq
qKNmdfAM
y
yykSy
/56,276
81248
6124278,05,013605008005,01
2
2
=×
=
==×−×××=ω−=
Segunda equação de equilíbrio:
( )
( ) ( )ωωωµ
ω
5,015,01
)(5,01
int;
2
2
−=−===
÷−=
=×=
c
ykS
c
cykS
f
f
bd
A
fbd
Mrelativomomento
fbddfAM
ernasforçasdasalavancadebraçozzaçonoforçaM
Considere-se agora um ensaio em laboratório. Se no ensaio rápido as resistências medidas experimentalmente forem iguais a fc = 28 MPa e fy = 500 MPa, tem-se, com AS = 800 mm²:
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Taxa mecânica: 198,028
500
360200
800=×
×==
c
yS
f
f
bd
Aω
Momento relativo: ( ) ( ) 179,0278,05,01278,05,01 =×−×=ω−ω=µ Mu = momento último:
KNmMMfbd
Mu
c
7,1291028360200179,0 622
=××××==→=µ −
qu = carga última = ruína ou ruptura da viga: mkNM
q uu /8,28
6
82
==
5.1.3. MOMENTO RESISTENTE DE CÁLCULO (NO PROJETO)
O momento resistente de cálculo (design) resulta da resistência de cálculo dos materiais:
MPaf
f
MPaf
f
S
ykyd
C
ckcd
8,43415,1
500
14,124,1
2085,085,085,0
==γ
=
=×=γ
=
Taxa mecânica de cálculo:
398,014,12
435
360200
800
85,0=×
×==ω
cd
ydSd f
f
bd
A
(notar que dω é aproximadamente o dobro de 198,0=ω obtido no ensaio).
Momento relativo resistente de cálculo:
( ) ( )
KNmfbdM cdRdRd
ddRd
3,1001014,1236020032,085,0
319,0398,05,01398,05,01622
,,
,
=××××=µ=
=×−×=ω−ω=µ
Condição de segurança:
( ) KNmMl
qM RdKfSd 3,1008 ,
2
, =≤γ=
Coeficiente de segurança parcial da carga: 4,1=fγ
Carga de cálculo:
mKNl
Mq Rd
d /29,226
3,1008822
, =×
==
Carga característica (valor superior):
mkNl
Mq
f
Rdk /9,15
4,16
3,1008822
, =×
×=
γ≤ ou mkN
qqqq
f
dkkfd /9,15
4,1
29,22==
γ=→γ=
Esta é a máxima carga que a viga deve suportar em serviço com segurança adequada com relação ao Estado Limite Último- Flexão (atenção: Há outros estados limites a serem atendidos! ).
5.1.4. RESUMO (a) Carga de ruptura no ensaio: Carga última: mkNqu /8,28=
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(b) Carga de fissuração: mKNqcr /89,3=
Para kNmfWM fltcicr 5,171077,210336,6 66, =×××== −
MPaf
MPaff
mmW
fltc
ckmct
i
77,2
21,23,0
10336,6
,
32
36inf,
=
==
×=
(c) Carga de serviço:
=σ
=σ
=
=
MPa
MPa
kNmM
mKNq
C
S
máx
3,16
267
50,67
/15
(d) Carga de cálculo (no projeto):
mkNq
mkNq
k
d
/9,15
/29,22
=
= Resistências de cálculo:
=
=
MPaf
MPaf
yd
cd
8,434
14,1285,0
uuu xdou
xr −=
1000/10100/5,31: corresponde a uma deformação última seja no concreto (3,5‰), seja
no aço (10‰);
y
yd
yd xdr −=
ε1: corresponde à deformação do início do escoamento do aço,
s
ydyd E
f=ε ;
y
yk
yk xdr −=
ε1: corresponde à deformação do início do escoamento do aço,
s
ykyk E
f=ε .
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5.1.5. RESISTÊNCIA À TRAÇÃO NA FLEXÃO PARA O PROJETO A resistência à tração na flexão a usar no projeto depende da finalidade do cálculo.
=
=
=
=→
+=
32
sup,
32
32
inf,
7,0
7,0
,,
39,0
30,0
21,0
1005,1
1005,11
ckkct
ckmct
ckkct
tctcfltc
ff
ff
ff
fh
h
ff
- fctm (valor médio) é usado para obter Mcr = W.fct,fl e também no cálculo da rigidez equivalente (EI)eq, e portanto, no cálculo dos deslocamentos (flechas, rotação de apoios). - fctk,inf (valor característico inferior) é usado para checar se há ou não fissuração, com no máximo 5% de probabilidade. Notar que, se a peça fissurar para uma ocorrência rara da carga, ela permanecerá fissurada ao longo de sua vida útil. - fctk,sup (valor característico superior) é usado para obter a armadura mínima na flexão.
5.1.6. ARMADURA MÍNIMA DE FLEXÃO (ITEM 17.3.5.2.1 DA NBR 6118)
Esta armadura mínima, cf. a NBR 6118, deve ser dimensionada para resistir ao momento mínimo de
cálculo: sup,0min, kctd fWM = , não se colocando menos do que bhAs 100
15,0min, = (seção retangular).
Considera-se Md,min atendido para as taxas dadas na tabela seguinte. Para Lajes ver a Tabela 19.1.
Sugestão de alteração do item 17.3.5.2.1 Armadura de tração (Não está em acordo com a NBR 6118: 2014)
Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas Forma da
Seção Valores de , com Ac=bh seção ret. e Ac=bwh seção T com flange comprimido
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 Retangular
e T com
comprimido
0,15 0,15 0,16 0,18 0,20 0,21 0,23 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,27 0,28 0,28
Para as lajes deve-se seguir a Tabela 19.1 da NBR 6118: 2014:
19.3.3 NBR 6118: 2014, item 19.3.3 Armaduras longitudinais máximas e mínimas
Princípios básicos
Os princípios básicos para o estabelecimento de armaduras máximas e mínimas são os dados em 17.3.5.1. Como as lajes armadas nas duas direções têm outros mecanismos resistentes possíveis, os valores mínimos das armaduras positivas são reduzidos em relação aos definidos para elementos estruturais lineares.
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Armaduras mínimas
Para melhorar o desempenho e a dutilidade à flexão, assim como controlar a fissuração, são necessários valores mínimos de armadura passiva definidos na Tabela 19.1. Alternativamente, estes valores mínimos podem ser calculados com base no momento mínimo, conforme 17.3.5.2.1. Essa armadura deve ser constituída preferencialmente por barras com alta aderência ou por telas soldadas.
Nos apoios de lajes que não apresentem continuidade com planos de lajes adjacentes e que tenham ligação com os elementos de apoio, deve-se dispor de armadura negativa de borda conforme Tabela 19.1. Essa armadura deve se estender até pelo menos 0,15 do vão menor da laje a partir da face do apoio.
No caso de lajes lisas ou lajes-cogumelo com armadura ativa não aderente, as armaduras passivas positivas devem respeitar os valores mínimos da tabela 19.1 e a armadura negativa passiva sobre os apoios deve ter como valor mínimo:
As ≥ 0,00075 h l
onde:
h é a altura da laje;
l é o vão médio da laje medido na direção da armadura a ser colocada.
Essa armadura deve cobrir a região transversal a ela, compreendida pela dimensão dos apoios acrescida de 1,5 h para cada lado.
Tabela 19.1 - Valores mínimos para armaduras passivas aderentes
Armadura
Elementos estruturais
sem armaduras
ativas
Elementos estruturais com armadura ativa
aderente
Elementos estruturais com armadura ativa
não aderente
Armaduras negativas
ρs ≥ ρmin ρs ≥ ρmin – ρp ≥ 0,67ρmin
ρs ≥ ρmin – 0,5ρp
≥ 0,67ρmin
(ver 19.3.3.2)
Armaduras negativas de bordas sem continuidade
ρs ≥ 0,67ρmin
Armaduras positivas de lajes
armadas nas duas direções
ρs ≥ 0,67ρmin ρs ≥ 0,67ρmin – ρp
≥ 0,5ρmin
ρs ≥ ρmin – 0,5ρp
≥ 0,5 ρmin
Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma
direção
ρs ≥ ρmin ρs ≥ ρmin – ρp ≥ 0,5ρmin ρs ≥ ρmin – 0,5ρp
≥ 0,5ρmin
Armadura positiva As/s ≥ 20% da armadura principal -
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(secundária) de lajes armadas em
uma direção
As/s ≥ 0,9 cm2/m
ρs ≥ 0,5 ρmin
Onde:
ρs = As/bw h e ρp = Ap/bw h.
NOTA Os valores de ρmin são definidos em 17.3.5.2.1.
NBR 6118: 2014, item 17.3.5.2.4 Armaduras de tração e de compressão
A soma das armaduras de tração e de compressão (As + As’) não deve ter valor maior que 4% Ac, calculada na região fora da zona de emendas, devendo ser garantidas as condições de dutilidade requeridas em 14.6.4.3.
5.1.7. EXERCÍCIO Obter para a viga bi-apoiada da figura de seção retangular com armadura simples:
(a) O momento de fissuração correspondente aos quantís de 5% (valor característico inferior) e de 50% (valor médio).
(b) O valor da carga última Qu para romper a viga num ensaio de laboratório. As resistências medidas experimentalmente são: fc = 38 MPa e fy = 540 MPa.
(c) Obter o valor do momento máximo resistente de cálculo e as correspondentes cargas Qd e Qk para fck = 30 MPa e aço CA-50.
(d) Quais são as tensões na seção central para a carga Qk, no concreto e no aço? (e) Qual é a flecha instantânea no centro da viga quando atuar Qk? (f) Qual a armadura mínima a usar nessa viga?
Dados:
MPaE
mmáreacom
oubd
A
mmA
mmdhb
s
S
sS
s
200000
200;16
%235,101235,0
12002006166
60/600/180'//
2
2
=
==
==
=×==
=
φ
ρ
φ
50
30
540
38
−
=
=
=
CAaço
MPaf
MPaf
MPaf
ck
y
c
Resolução:
Área da seção 20 108000180600 mmA =×=→
Área de aço ( ) 212006060018001235,0 mmbdA ss =−××=ρ=→
Área de concreto 20 1068001200108000 mmAAA sc =−=−=→
Estádio I MPafE ckci 5,306723056005600 =×==→
Estádio II MPaEE cics 6,260715,3067285,085,0 =×=≅→
h=600mm
b=180mm
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Coeficiente de equivalência 52,646,30672
200000===α→
ci
ssi E
E( siα para tensões baixas, Estádio I,
M ≤ Mcr).
Área ideal ( ) ( )
( )
=×−+×=
−+=+−=→
MPaA
AAAAAA
i
SsiSsiSi
6,1146241200152,610108
13
00 αα
Resistência à tração axial
==
==
==
=→
MPaff
MPaff
MPaff
f
ckkct
ckmct
ckkct
tc
8,339,0
90,230,0
221,0
32
sup,
32
32
inf,
Momento máximo no centro do vão:
Cálculo do módulo de resistência elástico da seção (Wi):
( )
( )
mmyyy
mmy
mmdhy
A
yAy
iSis
i
S
i
SSsii
13,22687,13240
87,136,114624
2401200152,6
240606005,0'5,0
1
00
0
0
00
=−=−=
=××−
=
=−×=−=
−=
α
( ) ( )
369
1
01
493
00
1058,1213,286
106,3
13,28687,136005,05,0
106,313,2262401200152,612
6001801
mmy
IW
mmyhy
mmyyAII
i
ii
ii
isSSsii
×=×
==
=−×=−=
×=×××−+×
=−α+=
(a.1) Cálculo da resistência à tração na flexão e do momento de fissuração correspondentes ao
quantil de 5%:
kNmMNmmWfM
MPah
h
ff
crifltccr
tcfltc
9,29109,291058,1238,2
38,219,12
100
6005,1
100
6005,11
2
1005,1
1005,11
%566,
7,0
7,0
7,0
7,0
inf,,
=→×=××==
=×=
×
×+×=
+=
(a.2) Cálculo do momento de fissuração correspondente ao quantil de 50%
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kNmMNmmWfM
MPah
h
ff
crifltccr
mtcfltc
4,4310368,431058,1245,3
45,319,190,2
100
6005,1
100
6005,11
90,2
1005,1
1005,11
%5066,
7,0
7,0
7,0
7,0
,,
=→×=××==
=×=
×
×+×=
+=
Notar que: %50crM é aprox. 1,5 vezes maior que %5
crM , pois fct,m é aprox. 50% maior que fct,inf.
(b) Carga de ruptura no ensaio:
Taxa mecânica 175,038
540
540180
1200=×
×==ω→
c
yS
f
f
bd
A
Momento relativo ( ) ( ) 160,0175,05,01175,05,01 =×−×=ω−ω=µ→
KNmfbdMfbd
Mcu
c
u 2,319103854018016,0 6222
≈××××==→= µµ
Carga de ruptura: KNQl
MQ
lQM u
uu
uu 6,159
8
42,3194
4=∴
×==→=→
(c) Cargas de cálculo (projeto):
MPaf
f
MPaf
MPaf
f
S
ykyd
cd
C
ckcd
78,43415,1
500
214,1843,2185,085,0
43,214,1
30
===
=×=
===
γ
γ
Taxa mecânica de cálculo 295,0214,18
78,434
540180
1200
85,0=×
×==ω→
cd
ydSd f
f
bd
A
Momento relativo resistente de cálculo ( ) ( ) 251,0295,05,01295,05,01, =×−×=−= ddRd ωωµ
Momento resistente de cálculo:
( ) kNmfbdM cdRdRd 2,24010214,18540180251,085,0 622,, ≈××××=µ=
Condições de segurança ( fγ = coeficiente de segurança da carga):
( ) kNmMl
QM RdkfSd 2,2404 ,, =≤γ=
Carga característica kNQl
MQ k
f
Rdk 8,85
4,18
24044 , =→×
×=
γ≤→
Carga de cálculo (projeto) kNQl
MQ d
Rdd 1,120
8
24044 , =→×
==→
Conclusão: Qd é 1,4 vezes maior que Qk, pois a viga é isostática, se não fosse esta conta não valeria em caso de análise não-linear, p.ex., em viga hiperestática! Só valeria, para viga hiperestática se o cálculo for admitido elástico linear, sem redistribuição de solicitações. Em caso de análise diferente da elástica
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linear sem redistribuição de solicitações, o coeficiente de segurança das cargas deve ser aplicado nas cargas e não nas solicitações delas decorrentes.
(d) Tensões e serviço Coeficiente de equivalência
67,76,071.26
10200 3
=×
==αcs
sS E
E
1ª equação de equilíbrio (soma das forças resistentes=0 na flexão simples)
0222 =−+ SSSS ραξραξ
( )
)(87,4763
4,189540
3
)(40,1895403507,0
3507,01702,401235,067,7
101235,067,7
2101235,067,71
21
serviçoemalavancadebraçommx
dz
serviçoemLNmmdxd
x
d
x
SSSS
=−=−=
=×==
=−××==
−
×+××=
−+==
ξ
ξ
ραραξ
Momento máximo para a carga Qk aplicada no meio do vão:
kNmlQ
M
kNQ
kk
k
6,1714
88,85
4
8,85
=×
==
=
Forças nos materiais: Nmm
Nmm
z
M
z
MRR kmáx
sc3
6
108,35987,476
1058,171×=
×====
Tensão na armadura: MPaA
R
s
sS 3008,299
1200
108,359 3
≈=×
==σ
Tensão no concreto: MPabx
RcC 11,21
40,189180
108,35922 3
=×
××==σ
(e) Flecha imediata: ( )eq
kII
EI
lQ
48
3
0 =δ
253,058,171
368,43===Ψ
k
cr
M
M
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 213
2
.1001,487,47640,1895401200200000
323
mmNEI
xd
bxE
xdxdAEEI
II
csSsII
×=×−××=
−=
−−=
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) 2133133
3
03
03
1008,4253,011001,412
600180253,06,26071
1
NmmEI
IEIIEEI
eq
csIIcseq
×=−××+×
××=
≤Ψ−+Ψ=
( )357
40,221008,448
1081079,8513
333
0
lmmII ≈=
××
×××=δ
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Atenção: quando 40,0≤Ψ os trechos no Estádio I quase não influem, ou seja, (EI)eq é
aproximadamente igual a EcsIII. No caso, 016,0253,0 33 ==Ψ , valor muito baixo multiplicando 0I , e
vice-versa, 984,0016,011 3 =−=Ψ− valor muito alto multiplicando III .
(f) Momento mínimo de cálculo: sup,0min, kctd fWM = (sem o coeficiente 0,8 da NBR 6118: 2014!)
MPaf
mmbh
h
bh
y
IW
kct 86,3
108,106
600180
65,0
12
sup,
3622
3
01
00
=
×=×
==
==
KNmM d 41108,3108,10 66min, =×××= −
166200
1200200
120054018001235,0
216
2
φ==∴=
=××=ρ=→=ρ
φ necessáriaarmadurammA
mmbdAbd
ASS
SS
para fck = 30 MPa, tabela página 45 , %16,0min, =sρ
223,6
210
28
2min,
min,min,
1735,1913,611025,31;80
8450
17350
173600180100
173,0
100
16,0
100
16,0
mmmínimaarmadurammAmmA
ou
mínimaarmadurammA
mmbhAbh
As
ss
>=+=∴==
≅=∴=
=××==→==
φφ
φ
ρ
φφ
φ
A viga tem armadura superior à mínima mesmo fora da região central, pois é obrigatório levar aos
apoios pelo menos !4001623
166
3 min,2,
svãos Amm
A>=φ=
φ=
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6. ESTADOS LIMITES
6.1. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS (ELUs)
A segurança das estruturas de concreto deve ser verificada para os seguintes estados limites últimos:
(a) ELU de perda de equilíbrio para a estrutura admitida como corpo rígido:
Barragem ou muro de arrimo
Tom
bam
ento
Momento de tombamento: aFM ⋅= a Majorar por um coeficiente de segurança Momento estabilizante: bGM ⋅= a Minorar por um coeficiente de segurança
Des
liza
men
to
- Força desestabilizadora: F a Majorar por um coeficiente de segurança - Forca estabilizante:
solodocoesãoG +⋅µ =µ coeficiente de atrito
a Minorar por um coeficiente de segurança
(b) ELU por esgotamento da capacidade resistente da estrutura por solicitações normais (N,M) ou por solicitações tangenciais (V,T):
qu - carga última, a máxima que a viga resiste. (1) concreto na zona comprimida pode esmagar. (2) o aço pode alongar-se em excesso ou romper. (3) concreto da diagonal (isto é, da alma da viga) pode esmagar se wb , d
e ckf forem insuficientes.
(4) estribo pode romper se a área e a resistência yf forem insuficientes.
(5) se a armadura longitudinal tracionada não for adequadamente ancorada pode haver perda de aderência.
(5a) se o espaçamento dos estribos for muito grande, mesmo que a área e a resistência estejam ok, a viga pode romper.
s deve ser limitado, por exemplo:
≤mm
ds
200
3,0, se a compressão diagonal for muito alta ou
≤mm
ds
300
6,0, em caso contrario.
Ver item 18.3.3.2 da NBR6118:2003 (p.134). (c) ELU por esgotamento da capacidade resistente, no todo ou em parte, considerando os efeitos de 2ª ordem (ocorre em pilares esbeltos de pórticos):
(5a)
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Momento fletor na base do pilar:
2FeHlM e +=
onde, =Hl momento de 1ª ordem e =2Fe momento de 2ª ordem.
rle
14,0 2
2 =
rlFHlM e
14,0 2+=
Ponto E: equilíbrio estável
Ponto I: equilíbro instável.
. (d) ELU provocado por ações dinâmicas (por cargas móveis ou sismos, fadiga): - vibração da estrutura → aumento dos esforços solicitantes → ruptura material. - fadiga dos materiais, especialmente do aço. (e) ELU por colapso progressivo → problema de punção de laje
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6.2. ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS)
(a) Flecha excessiva:
(ver tabela 13.2 da NBR 6118)
(b) Abertura de fissura excessiva:
(ver tabela 13.3 da NBR 6118)
(c) vibração excessiva em uso da estrutura.
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6.3. TABELAS
* Fonte: NBR 6118 – Projeto de Estrutura de Concreto
* Fonte: NBR 6118 – Projeto de Estrutura de Concreto
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* Fonte: NBR 6118 – Projeto de Estrutura de Concreto
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* Fonte: NBR 6118 – Projeto de Estrutura de Concreto
* Fonte: NBR 6118 – Projeto de Estrutura de Concreto
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6.4. ELU: FLEXÃO SIMPLES E/OU COMPOSTA Hipóteses de dimensionamento e verificação:
(1) Na compressão o concreto e o aço vizinho têm mesmo encurtamento ε , pois há aderência sem deslizamento; (2) O concreto tracionado é desprezado no cálculo do esforço resistente (a favor da segurança);
(3) As deformações ε distribuem-se linearmente na seção
idadecompatibildecond
Bernoullidehipótese
.;
(4) Equilíbrio: os esforços solicitantes de cálculo ( dS , p. ex., SdM ) são iguais aos esforços resistentes de
cálculo ( dR , p. ex., RdM );
Condição de segurança: simbolicamente ( )
≤→
S
yk
C
ckdKfd
f,
f85,0RFS
γγγ . Esta condição quer dizer
simplesmente que o esforço de cálculo decorrente das ações características majoradas pelo coeficiente de segurança fγ deve ser menor ou igual ao esforço resistente de cálculo resultante das resistências
características divididas pelos coeficientes de segurança sc e γγ , o concreto afetado ainda pelo fator 0,85.
As leis constitutivas do concreto (para fck<=50MPa) e do aço são conhecidas, inclusive as deformações limites:
Compressão e tração
( )( )
( )
=
=
=
puracompressãona
flexãona
oalongament
C
C
S
‰2
‰5,3
‰10
lim,
lim,
lim,
ε
ε
ε
O diagrama parábola-retângulo pode ser substituído por um bloco retangular de tensões cuja altura y é
igual a 80% da profundidade x da linha neutra, porém com a restrição hy ≤ .
0,85fcd
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6.5. ELU: FLEXÃO SIMPLES (VIGAS E LAJES) - seção retangular, armadura simples:
42
llqzR d
s =
43
12
09,3
1
1,14,3
1
4,3
1
85,0442
=≅=≈=××
≈=h
lhl
d
l
d
l
z
llq
R
d
s ;
quer dizer, as forças do binário resistente na seção central são da ordem de 4 vezes maiores que as forças do binário solicitante.
=h
lEsbeltez
≈
≈→
icahiperestátvigaah
l
isostáticavigaah
l
CA
,1812
,128
Equilíbrio (2 equações):
( )
( )
( )
( ) ( )cálculoderelativomomentobdf
M
bdfMy
dbyf
tesolicieresistentemomentososentreequlíbrioMzRzR
cálculodemecânicataxaf
f
bd
A
d
y
bdfdfAbyf
shorizontaiforçasdeequilíbrioRR
d
dc
ddd
dcddc
dSC
d
dc
yS
dcySdc
SC
µωω
ω
==−
÷=
−
==
==
÷=
=
2
2
5,01
285,0
tan:
85,0
85,0
:
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6.6. ELU: SOLICITAÇÕES NORMAIS (FLEXÃO SIMPLES)
A. HIPÓTESES: (1) Deformações iguais entre o aço e o concreto vizinho, CS ε=ε , se forem de compressão ou
tração, mas antes da fissuração – Estádio I. (2) Resistência à tração do concreto igual a zero. (3) Hipótese de Bernoulli: deformação ε linear ao longo da altura da seção (compatibilidade) (4) As leis ( )εσ dos materiais são dadas: Aço:
(válido tanto na compressão quanto na tração)
Concreto (fck<=50MPa ATENÇÃO!):
ou
lei não-linear (parábola-retângulo) lei rígido-plástica
B. DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO (VÁLIDA PARA FCK<=50MPA)
* Fonte: NBR 6118 – Projeto de Estrutura de Concreto – p.108
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Vig
as, l
ajes
e
tira
ntes
‰10
lim,
=
ε=ε SS
Domínio 1 → tirante, só o aço trabalha. Domínio 2 → o concreto em compressão trabalha e o aço tem
‰10=ε S .
Laj
es e
vig
as
Domínio 3 → idem Dom.2, mas ‰10≤ε≤ε Syd e o concreto tem
‰5,3=εC .
pila
res
Domínio 4 → ‰5,3=εC ; o aço 2 tracionado não escoa e o aço 1 pode escoar.
Domínio 5 → ‰5,3‰2 ≤ε≤ C ; o aço 2 não escoa e o aço 1 pode escoar.
Lembrete:
285,0 bdf
M
dc
dd =µ
( )ddd
dc
dySd d
y
f
f
bd
A
ω−ω=µ
==ω
5,01
85,0
6.7. EXEMPLO 01
fck =20 MPa → MPafcd 14,124,1
2085,085,0 =×=
Aço CA-50; mmd 50'= ; NmmkNmM d61024,8524,85 ×==
Fixar 3
1==ξ
d
x e obter h.
Solução:
Sendo 267,03
8,08,08,0
3
1=∴==ξ=⇒==ξ
d
y
d
x
d
y
d
x
Mas 267,0=ω∴ω= ddd
y
( ) ( )
mmddh
mmd
ddbdf
Md
dcd
ddd
50050450'
450231,0
43,46798
43,46798
15014,12
1024,85
85,0231,0
231,0267,05,01267,05,01
22
6
2
=+=+=
==
=××
×===µ
=×−×=ω−ω=µ
Área As:
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22
24
4
1254
5,125,121
5,124500103,5
267,0
103,514,12
435
450150267,0
43515,1
500
mm
mmA
AA
f
s
ss
d
dy
≅→
∴≅×
=
××=××
==
==
−
−
πφ
φ
ω
Observação: para vigas e lajes ( )
( )
≤≤≤
≤≤2
1
905035,0
5045,0
MPafMPaparadx
MPafparadx
ck
ck
( ) ( )
( ) !max35,0max
295,036,05,0136,0max36,045,08,0max45,0max
,2
,1
ckmáxd
máxdd
fdedependemed
y
d
xd
y
d
x
µ
µω
→=
=×−×=→==×=→=
Estas equações mostram que tanto faz limitar x/d ou y/d ou dµ . O importante é limitar uma destas
grandezas.
6.8. EXEMPLO 02 Viga hiperestática
b / h / d’ = 300 / 750 / 45 mm fck = 25 MPa CA–50 Md = 672,67 kN.m Qual a armadura AS?
Solução:
MPaf dc 18,154,1
2585,085,0 =×=
mmdhd 70545750' =−=−=
(a) cálculo de ( )
297,070530018,15
1067,672
85,0 2
6
2=
××
×==µ
bdf
M
dc
dd
(b) invertendo ( )ddd ω−ω=µ 5,01 resulta em dd µ−−=ω 211
d
yd ==×−−=ω 363,0297,0211
454,0363,025,1
25,18,0
=×=
=∴=
d
x
yxxymas
Para este valor de dx o aço CA-50 escoa pois:
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yd
ydyd
d
x
dxdx
d
x
dxdx
ε+=→
ε+=
−
ε=
==→+
=−
=
‰5,3
‰5,3‰5,3‰5,3
267,05,13
5,3105,3105,3
4,3
4,34,3
3,2
3,23,2
=+
=→==ε→−
=+
=→==ε→−
628,0070,25,3
5,3‰070,2
21000015,1
50050
585,0484,25,3
5,3‰484,2
21000015,1
60060
4,3
4,3
d
xCA
d
xCA
yd
yd
Como no pior caso
−→=
−→=<=
50628,0
60585,045,0
4,3
4,3
CAd
x
CAd
x
d
x
Conclusão importante: os aços (CA-50 e CA-60) usualmente empregados no concreto armado, no ELU
escoam em tração se a condição 45,0≤d
x for obedecida!
(c) cálculo de AS: 102208268018,15
15,1
500
705300363,0 2 φφ +=≅→
××
= mmAA
SS
(d) distribuição da armadura:
( )( )
=×=
=φ
≥
=×=
φ
≥
=φ
=
mmd
mm
mm
e
mmd
mme
estribomm
cobrimentommc
agregadomáx
v
agregadomáx
h
t
5,12255,05,0
20
20
30252,12,1
20
3,6
25
,
,
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( ) ( )( )
( ) ( )
okmme
e
serpodenãonse
nnnmmb
camadaporbarrasdenúmeronondeenncb
h
h
w
htw
304,344
6,162300
152053,6252300
)!6(5
35,53030203,6252300
:12
>≅−
=
×−+×++×=
=
=⇒−×+×++×==
=−+++= φφ
( ) ( ) ( )
( )mmmmdnovo
Adnovo
S
456056,59'
609.159
80231535
3,818023,8631533,413155'
>≅=
=×+×+
××+××+××=
Como existirá armadura dupla não considerada no dimensionamento e também armadura de pele, aceita-se a solução ou repete-se o cálculo com o novo mmd 60'= .
7. SEÇÃO T
7.1. EXEMPLO 01: Viga sala 805 do CTU:
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carga da laje:
Peso próprio (pp) 3/2510,0 mkN×= 2/50,2 mkN=
Revestimento inferior + superior 3/21025,02 mkN××= 2/05,1 mkN=
Piso cerâmico 3/1801,0 mkN×= 2/18,0 mkN=
Sobrecarga da laje 2/00,2 mkN=
TOTAL 2/73,5 mkN=
Reação na viga 2/73,55 mkNm×= mkN/7,28≅
- carga na viga:
Peso próprio da viga abaixo da laje (pp) 3/2570,020,0 mkN××= mkN/50,3=
Laje mkN/7,28=
Parede sobre a viga 3/153,215,0 mkN××= mkN/20,5=
q mkN/4,37=
Admite-se o seguinte diagrama obtido de um processamento do pórtico:
kNmql
5,4678
104,37
8
22
=×=
KNmMM kfd 4363124,1 =×=γ=
fck = 20 MPa CA-50
Estimativa inicial da armadura e de d’:
mmdmmd
mmzf
MA
kNz
M
z
dy
dS
d
80'758
3,12123,8033,393'
1681542435
10671
67165,0
436
65,005,010,080,0
23
≅∴=×+×+×
=
≈≈×
==
==
=−−≈
φ
Para saber se o dimensionamento é feito como seção T ( )flhy > ou retangular ( )flhy ≤ calcula-se antes
o momento resistente para flhy = . Ou seja, é preciso saber de antemão se a altura y do bloco de tensões
estará contida na laje ou se avança na alma da viga. Com y=hfl=100mm, então a força no concreto e o braço de alavanca ficam conhecidos. Isto permite calcular o momento resistente:
ev =25>20
bw=200
bfl=1400 hfl=100
200 mm
39,3
80,3,3
121,3
eh =44,7>30mm
c=25, estribo 6,3
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kNmkNmzRM chflyR 436113910)8050800(14001004,1
2085,0 6
, >>=×−−××××== −=
A seção é dimensionada como retangular com b=bfl=1400mm.
049,014,127201400
10436
)85,0( 2
6
2=
××
×=
×=
cdfl
dd fdb
Mµ
dyd /051,0049,0211 ==×−−=ω
Logo, a altura do bloco de tensões é y=0,051x720=36,6mm<hfl=100mm. A armadura tem área igual a:
051,0)85,0(
=×
=cdfl
ydsd fdb
fAω ou 21435435/14,127201400051,0 mmAs =×××= ou
21600168 mm=Φ . Ver a figura da página anterior, onde se tem a disposição da armadura longitudinal, adotando-se cobrimento c=25mm, diâmetro do estribo=6,3mm, ev=25mm, eh=44,7mm>1,2xdiâmetro máximo do agregado=30mm. Note-se que não é possível 164Φ por camada, pois seria eh=24,5mm<30mm.