Estes teoremas fornecem informações
importantes para a análise de circuitos.
Eles permitem “esconder” informações
não relevantes para que se possa
concentrar no que é importante para a
análise em questão.
Teoremas de Thevenin e Norton
http://angelfire.com/ab3/mjramp/index.html
Amplificador de áudio de baixa distorção
Do PreAmp (tensão ) Às caixas de som
Para se “casar” caixas de som e amplificadores é muito mais fácil se considerar este circuito equivalente.
Para se “casar” caixas de som e amplificadores é necessária a análise deste circuito.
+
-
RTH
VTH
Substituir o amplificador por um “equivalente” mais simples
Courtesy of M.J. Renardson
LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART A
LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART B
a
b_
Ov
i
Teorema do Equivalente de Thevenin
Thevenin de eEquivalent aResistênci
Thevenin de eEquivalent Fonte
TH
TH
R
v
LINEAR CIRCUIT
PART B
a
b_
Ov
i
THR
THv
PART A
Circuito Equivalente de Thevenin
para a PARTE A
CIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE A
CIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE B
CIRCUITO LINEAR
PARTE B
PARTE A
LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART A
LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART B
a
b_
Ov
i
Teorema Equivalente de Norton
Norton de eEquivalent aResistênci
Norton de eEquivalent Fonte
N
N
R
i
LINEAR CIRCUIT
PART B
a
b_
Ov
i
NRNi
PART A
Circuito Equivalente de Norton
para a PARTE A
CIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE A
CIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE B
CIRCUITO LINEAR
PARTE B
PARTE A
Motivação para o uso destes teoremas:
curva característica i-v de um circuito
Aplicando-se uma tensão v nos terminais A-B indicados, pode-se medir a corrente
resultante i.
bmvi
Para uma rede (circuito) linear, a característica i-v é uma função linear*:
* Mais especificamente, uma função f: definida por uma equação do tipo:
é uma função afim.
Pode também ser interpretada como uma função polinomial de primeira ordem
de uma variável. No gráfico cartesiano, trata-se da equação de uma linha reta
com inclinação (coeficiente angular) m e coeficiente linear b.
Uma função linear f: , por sua vez, é definida por uma equação do tipo:
No gráfico cartesiano, trata-se da equação de uma linha reta com inclinação
(coeficiente angular) m que passa sempre pela origem (b = 0).
Em outras palavras, uma função afim é a composição de uma função linear com
uma translação.
baxbxaxf , , , )(
axxaxf , , )(
Exemplos de características i-v:
Normalmente, a característica i-v não passa pela origem.
Veja o próximo exemplo.
Exemplos de características i-v:
0 vVsiRLKT: ou
R
Vsvi
Equivalentemente: VsiRv
Exemplos de características i-v:
0 iR
vIS
LKC: ou
R
vIsi
Corrente de
curto circuito
Tensão de
circuito aberto
Equivalentemente: IsRiRv
monitores: Ricardo Didonet ([email protected])
Lígia Magalhães ([email protected])
Da aula 7:
2) A rede linear mostrada possui apenas fontes independentes e
resistores. Se a característica i-v para a tensão e corrente mostradas é
dada por:
Determine a potência (em Watts) fornecida à resistência de carga RL.
5125.0 vi
Rede linear
resistiva
Da aula 7: 3) Duas fontes de tensão não ideais encontram-se conectadas em paralelo. A primeira fonte possui uma tensão V1 e uma resistência R1. A segunda fonte possui tensão V2 e resistência interna R2. Esta combinação em paralelo fornece uma fonte de tensão não ideal com que tensão e resistências equivalentes? Dica: Utilize o resultado do exercício anterior como referência.
monitores: Ricardo Didonet ([email protected]) Lígia Magalhães ([email protected])
Qual característica i-v corresponde à uma resistência maior?
Redes de dois terminais equivalentes
0 vVsiRLKT: ou
R
Vsvi
0 iR
vIS
LKC: ou
R
vIsi
Se VS = R I
S ou I
S = V
S / R:
as duas redes são equivalentes
Examplos de Partições Válidas e Inválidas
Explicação – versão 1
Se o Circuito A permanecer inalterado, a corrente i deve is permanecer a mesma Vo
Usando a superposição de fontes
SCi
Todas as fontes independentes em repouso no circuito A
Oi
O
OTH
i
vR Defina
SCO iii
OSC
TH
O viR
vi ;
SC
TH
OCOCO i
R
vvv
i
0
)0( aberto circuito :especial Caso
SC
OCTH
i
vR
TH
OCSC
R
vi
iRvviR
vi THOCOSC
TH
O Como se pode interpretar este resultado?
Explicação – versão 2
2. Este resultado deve valer para “toda Parte B válida” que se pode criar
1. Devido à linearidade dos modelos, para qualquer Parte B a relação entre Vo e a corrente i deve ser da forma nimvO *
3. Se a parte B for um circuito aberto então i=0 e... OCvn
4. Se a parte B for um curto circuito então Vo é zero. Neste caso
OCTHO viRv Como isso pode ser interpretado?
OCSC vim *0 TH
SC
OC Ri
vm
LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART A
LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART B
a
b_
Ov
iCIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE A
CIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE B
Este é o circuito equivalente de Thevenin para o circuito na parte A
OCTHO viRv Para QUALQUER circuito escolhido para a parte B
A fonte de tensão é chamada de fonte equivalente de Thevenin
A resistência é chamada de resistência equivalente de Thevenin
RTH
i +
_OvOCv +
_
A parte A deve se comportar como este circuito equivalente
LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART A
ANY
PART B
a
b_
Ov
i
Abordagem de Thevenin
CIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE A
QUALQUER
PARTE B
Abordagem de Norton
SCiTHR
Ov
a
b
i
Norton
TH
O
TH
OCTHOCO
R
v
R
viiRvv
LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART A
ANY
PART B
a
b_
Ov
i
SC
TH
OC iR
v
Norton de eequivalent Fonte SCi
A parte a paraNorton de
eEquivalent do çãoRepresenta
CIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE A
QUALQUER
PARTE B
RTH
i +
_OvOCv +
_
Thevenin
TH
OCSC
R
vi
- Esta equivalência pode ser interpretada como um problema de uma transformação de fonte.
- Isto mostra como se pode converter uma fonte de tensão em série com um resistor em um circuito equivalente composto por uma fonte de corrente em paralelo com o mesmo resistor.
SCiTHR
Ov
a
b
i
Norton
Interpretação alternativa dos teoremas de Thevenin e de Norton
A transformação de fontes pode ser uma ferramenta útil para reduzir a complexidade de um circuito.
A transformação de fontes pode ser utilizada para se reduzir a complexidade de
um circuito ...
quando isto puder ser aplicado!!
A transformação de fontes pode ser utilizada para se determinar o equivalente de
Thevenin ou de Norton...
mas pode não ser a técnicas mais eficiente
“fontes ideais” não são bons modelos para o comportamento de fontes reais
Uma baterial real não produz uma corrente infinita quando seus terminais são curto-circuitados
+
-
Improved model
for voltage source
Improved model
for current source
SVVR
SI
IR
a
b
a
b SS
IV
RIV
RRR
quando esequivalent são modelos Estes
Modelo melhorado
para uma fonte de tensão
Modelo melhorado
para uma fonte de corrente
EXAMPLO: Resolva pela transformação de fontes
A fonte de corrente equivalente terá o valor de 12V/3k
Os resistores de 3k e de 6k estão agora em paralelo e podem ser combinados
Entre os dois terminais conecta-se uma fonte de corrente e uma resistência em paralelo
Entre os terminais conecta-se uma fonte de tensão em série com um resistor
A fonte equivalente tem um valor de 4mA*2k
Os dois resistores de 2k ficam agora em série e podem ser combinados
Após a transformação as fontes podem ser combinadas
A fonte de corrente equivalente tem valor de 8V/4k e a fonte de corrente combinada tem valor de 4mA
Opções a partir deste ponto:
1. Realizar uma transformação de fonte adicional e obter um circuito com uma única malha
2. Usar divisor de corrente e calcular I_0 e a seguir V_0 usando a lei de Ohm
Ou mais uma transformação de fonte
eqeqeq IRV +
-Veq
Req R3
R4
0V
Questão Compute V_0 usando a transformação de fontes
3 fontes de corrente em paraleloe três resistores em paralelo
0I
eqeqeq IRV eq
eq
VRRR
RV
34
40
Circuitos equivalentes
TH
TH
V
R
A transformação de fontes pode ser utilizada para se determinar o equivalente de
Thevenin ou de Norton...
A seguir, veremos diversas abordagens eficientes
para se determinar os circuitos equivalentes de
Thevenin ou de Norton
+
-
Improved model
for voltage source
Improved model
for current source
SVVR
SI
IR
a
b
a
b SS
IV
RIV
RRR
quando esequivalent são modelos Os
Recaptulação da transformação de fontes
Modelo melhorado
para uma fonte de tensão
Modelo melhorado
para uma fonte de corrente
Um procedimento geral para se determinar o equivalente de Thevenin
1. Determine a fonte equivalente de Thevenin
Remova a parte B e determine a tensão de circuito aberto abV
2. Determine a fonte equivalente de Norton
Remova a parte B e determine a corrente de cuirto circuito abI
SC
OCTHOCTH
i
vRvv ,
LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART A
a
b
_
0
v
SCi
abI
Segundo passo
Resistance EquivalentThevenin
circuito curto umpor
asubstituídfor B parte a se b - a em flui que currente
Circuito Curto de Corrente
removidafor B parte a se b-a terminaisno tensão
Aberto Circuito de Tensão
SC
THTH
SC
TH
i
vR
i
v
Primeiro passo
_
abV
LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART A
a
b
_
OCv
0iCIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE A
CIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE A
Exemplo para a determinação do equivalente de Thevenin
+
-
a
b
To Part BVS
R1
R2IS
A parte B é irrelevante neste procedimento. A tensão V_ab será o valor da fonte equivalente de Thevenin.
Qual seria uma técnica eficiente para se determinar a tensão de circuito aberto?
THV
Para a corrente de curto circuito: Vamos tentar a superposição de fontes
SCI
1R
VII S
SSC
Fonte de corrente em repouso: a currente através do curto-circuito é
1
1
R
VI S
SC
Fonte de tensão em repouso: a corrente através do curto-circuito é SSC II 2
Para determinar a resistência equivalente de Thevenin pode-se utilizar
SC
THTH
I
VR
S
STH I
R
V
RR
RRV
121
21
Para este caso, a resistência equivalente de Thevenin resistance pode ser determinada como a resistência vista dos terminais a - b quando todas as fontes independentes forem colocadas em repouso
Este é um resultado geral?
SSTH
SS
TH
SSTHTH
IRR
RRV
RR
RV
IR
VV
RR
IR
VV
R
V
21
21
21
2
121
12
)11
(
0
Análise Nodal
21
21
RR
RRRTH
Para a parte B
Determinando o equivalente de Thevenin em circuitos contendo apenas fontes
independentes
A fonte equivalente de Thevenin é determinada como a tensão de circuito aberto
A resistência equivalente de Thevenin pode ser determinada colocando-se todas as fontes dependentes em repouso e a seguir determinando-se a resistência vista pelos terminais onde este eqivalente será posicionado
+
-
a
b
To Part BVS
R1
R2IS
a
b
RTHR2R1
“Parte B”
kRTH 3
“Parte B”
kRTH 4
Como a obtenção do equivalente de Thevenin pode ser bem simples, ela pode ser adicionada às ferramentas disponíveis para a resolução de circuitos!!
Para a
parte B
V6
k5
“PARTE B”
][1)6(51
1VV
kk
kVO
Para fixar Determine Vo na rede a seguir
utilizando o teorema de Thevenin
Para fixar
Na região mostrada, pode-se utilizar duas vezes a transformação de fontes e reduzir esta parte a uma única fonte com um resistor.
... Ou pode-se aplicar a equivalência de Thevenin para esta parte (“Parte A”)
kRTH 4 Tensão de circuito aberto: elimina-se a parte do circuito fora da região demarcada
][8][1263
6VVVTH
O circito original torna-se...
Pode-se aplicar Thevenin novamente!
kR TH 41
1
THVPara a tensão de circuito aberto utilize LKT
VVmAkVTH 1682*41
...e obtêm-se um divisor de tensões simples!!
VVV 8][1688
80
Determine Vo usando Thevenin
Ou pode-se utilizar Thevenin uma única vez e obter o divisor de tensões
“Part B”
Para a resistência equivalente de Thevenin
Para a tensão de Thevenin é necessário analizar o seguinte circuito Método??
Por exemplo, superposiçaõ de fontes
Contribuição da fonte de tensão
VVVOC 81263
61
Contribução da fonte de corrente
VmAkkVOC 8)2(*)22(2
Divisor de tensões simples
Equivalente de Thevenin da “Parte A”
kRTH 8
Outro exemplo
Escolha como particionar o circuito. Torne a “Parte A” o mais simples possível
“Part B”
Como há apenas fontes independentes, para a resistência de Thevenin coloca-se todas as fontes em repouso e determina-se a resistência equivalente
Para a tensão de circuito aberto deve-se analisar o seguinte circuito (“Parte A”) ...
0)(246
2
211
2
IIkkIV
mAI
NodalAnálise
mAmAI
I3
5
6
26 21
][3/3243/20*2*4 21 VVIkIkVOC
O circuito torna-se...
Utilize Thevenin para determinar Vo
3
10
] )[4||2(2
kR
kR
TH
TH
Utilize Thevenin para determinar Vo
“PART B”
OCVI
mAIVkI 2][189
][6123 VkIVOC
kkkRTH 26||3
OV
kRTH 2 k2
k4VVTH 6
Circuito equivalente resultante
][3)6(44
4VVVO
THR
Determine Vo usando Norton
PARTE B kRR THN 3
SCI
mAmAk
VII NSC 22
3
12
NINR
k4
k2
N
N
NO I
kR
RkkIV
622
I
][3
4)2(
9
32 VVO
Determine Vo usando Thevenin PARTE B
THV
023
12
mA
k
VTH
kkRTH 43
+
-
THR
THV
k2
OV
][3
4)6(
72
2VVVO
Problema típico:
+
-
RTH
VTH
Precisamos obter isto
Resistência Equivalente: Apenas fontes independentes
RRRRTH 5.13||3
THR
Tensão Equivalente: Nodal, malha, superposição…
1I
2I
SII 1 0)(5 221 RIIIRVS
THVKVL
)(2 212 IIRRIVTH
E superposição de fontes?
Abrindo a fonte de corrente:
2
1 STH
VV
Curto-circuitando a fonte de tensão
R
2R3R
IS
+
V2TH
_
1I SII6
51
2I
SII6
12
KVL
STH RIRIRIV2
12 21
2
21THTHTH VVV
Por malhas:
Determine o equivalente de Thevenin em a-b
THV
Outro exemplo típico Somente fontes independentes Todos os resistores em paralelo!!
O circuito pode ser simplificado
THV
Para determinar a fonte equivalente...
THV
Divisor de tensão
])[6/246()6/8(8
8V
kk
kVTH
Transformação de fonte
kkkkRTH7
88||4||2
Determine o circuito equivalente de
Thevenin visto dos terminais a-b
Mostre todos os passos em sua resolução.
Circuitos equivalente de Thevenin contendo apenas fontes dependentes
Um circuito contendo apenas fontes dependentes não consegue “auto-começar”.
0THV
Esta é uma enorme simplificação!!
Mas é necessária uma abordagem especial para a determinação da resistência equivalente de Thevenin.
Como o circuito não consegue “auto-começar”, é necessário analisá-lo com uma fonte externa.
A fonte pode ser uma fonte de tensão ou de corrente de qualquer valor!
Aquele a ser escolhido é determinado pela simplicidade do circuito resultante
0
0)(
21
21
x
Xx
IRRa
IRRaI
0021 xIRRa
(O que acontede se ) ?21 RRa
Para qualquer circuito apropriadamente projetado contendo apenas fontes dependentes
0,0 SCOC IV
Escolhendo uma fonte de tensão externa...
)( PV
)( PVP
PTH
I
VR
1R
aIVII XP
XP
2R
VI P
X
PP VRR
a
RRI
2112
11
P
PTH
VRR
a
RR
VR
2112
11
Veja que, de fato, o valor numérico escolhido para a fonte de tensão externa é irrelevante. Pode-se, por exemplo, escolher VP = 1 V inicialmente, ou deixar valor literal.
Deve-se determinar a corrente fornecida pela fonte externa
Escolhendo uma fonte de corrente externa
)( PI
)( PI
P
PTH
I
VR
Deve-se determinar a tensão nodal V_p
012
PXPP I
R
aIV
R
V
LKC
2R
VI P
X
PP IVRR
a
RR
2112
11
Novamente, o valor da corrente externa é irrelevante. Para simplificar, pode-se escolher IP = 1 A.