Circuitos Lgicos
Sistemas de NumeraoProf: Carlos Alberto de Souza Filho
SistemaSistema dede NumeraoNumerao
Conjunto de smbolos utilizados para representao de quantidades e de regras que definem a forma de representao.
Sistemas de NumeraoSistemas de Numerao
representao. Cada sistema de numerao apenas um mtodo
diferente de representar quantidades. As quantidades em si no mudam; mudam apenas os smbolos usados para represent-las.
A quantidade de algarismos disponveis em um dado sistema de numerao chamada de basebase.
Representao numrica mais empregada: notao notao posicionalposicional.
Notao PosicionalNotao Posicional
Valor atribudo a um smbolo dependente da posio em que ele se encontra no conjunto de smbolos que representa uma quantidade.
O valor total do nmero a soma dos valores relativos de
Sistemas de NumeraoSistemas de Numerao
O valor total do nmero a soma dos valores relativos de cada algarismo (decimal).
Sistema de numerao Sistema de numerao decimaldecimal735 573
700 30 5 500 70 3
Notao No PosicionalNotao No Posicional
Valor atribudo a um smbolo inaltervel, independente da posio em que se encontre no conjunto de smbolos que representam uma quantidade.
Sistemas de NumeraoSistemas de Numerao
Sistema de Numerao Sistema de Numerao RomanoRomano
XXI XIX
10 10 1 10 1 10
Sistema de numerao cdigocdigo Operao bsica contagemcontagem Grupo com um determinado nmero de objetos base base
Sistema de NumeraoSistema de Numerao
Sistema de NumeraoSistema de Numerao
(raiz)(raiz)
Sistemas de numerao bsicos:Sistemas de numerao bsicos: Decimal Binrio Octal Hexadecimal
Sistemas de Numerao
1 3
Contagem
Dividi-se em grupos de elementos iguais a base.Sistema decimal base =10
Exemplos de Sistemas de NumeraoExemplos de Sistemas de Numerao
Sistema Base Algarismos
Binrio 2 0,1Ternrio 3 0,1,2
Sistema de NumeraoSistema de Numerao
Octal 8 0,1,2,3,4,5,6,7Decimal 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9Duodecimal 12 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,BHexadecimal 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
Como os nmeros representados em base 2 so muito extensos e, portanto, de difcil manipulao visual, costuma-se representar externamente os valores binrios em outras bases de valor mais elevado (octal ou hexadecimal). Isso permite maior compactao de algarismos e melhor visualizao dos valores.
Padres de RepresentaoPadres de Representao
Letra Maiscula aps o nmero para indicar a base;Letra da base como ndice do nmero
Sistema de NumeraoSistema de Numerao
Letra da base como ndice do nmero Nmero entre parnteses e a base como um ndice do
nmero.
Exemplo: Sistema Decimal 2763D ou (2763)10 ou
276310 ou 2763d
Sistema mais utilizado.
10 smbolos para representar quantidades.
Sistema Decimal (Base 10)Sistema Decimal (Base 10)
Sistema de NumeraoSistema de Numerao
00 1 21 2 33 4 5 64 5 6 77 8 98 9
PesoPeso representar quantidades maiores que a base.
Peso trouxe: unidade, dezena, (dez unidades), centena (cem unidades), milhar (mil unidades), dezena de milhar, centena de milhar, etc.
ExemploExemplo: 2574 composto por 4 unidades, 7 dezenas, 5centenas e 2 milhares, ou 2000 + 500 + 70 + 4 = 2574
Sistema Binrio (Base 2)Sistema Binrio (Base 2)
Sistema de NumeraoSistema de Numerao
Utiliza dois smbolos para representar quantidades.
00 ee 11
Segue as regras do sistema decimal - vlidos os conceitos de pesopeso e posioposio. Posies no tm nome especfico.
Cada algarismo chamado de bit. Exemplo: 1012 ExpressoExpresso oraloral - diferente dos nmeros decimais.
Caractere mais esquerda - Most-Significative-Bit - MSBMSB. Caractere mais direita - Least-Significative-Bit - LSBLSB.
Utiliza 8 smbolos.
00 1 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 7
Sistema Sistema OctalOctal (Base 8)(Base 8)
Sistema de NumeraoSistema de Numerao
00 1 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 7
Exemplo: 5638
Possui 16 smbolos (algarismos) para representar qualquerquantidade.
00 11 22 33 44 55 66 77 88 99 AA BB CC DD EE FF
Sistema Hexadecimal (Base 16)Sistema Hexadecimal (Base 16)
Sistema de NumeraoSistema de Numerao
00 11 22 33 44 55 66 77 88 99 AA BB CC DD EE FF
Uso das letras - facilidadefacilidade dede manuseiomanuseio.
Exemplo: 5A316
AoAo trabalhartrabalhar comcom sistemassistemas dede numerao,numerao, ememqualquerqualquer base,base, devedeve--sese observarobservar oo seguinteseguinte::
O nmero de dgitos usado no sistema igual base.
Sistema de NumeraoSistema de Numerao
base. O maior dgito sempre menor que a base. O dgito mais significativo est esquerda, e o
menos significativo direita Um vai-um de uma posio para outra tem um
peso igual a uma potncia da base. Em geral se toma a base decimal como referncia.
Sistema de NumeraoSistema de Numerao
Decimal Hexadecimal Octal Binrio1 1 1 12 2 2 1 03 3 3 1 14 4 4 1 0 05 5 5 1 0 16 6 6 1 1 06 6 6 1 1 07 7 7 1 1 18 8 1 0 1 0 0 09 9 1 1 1 0 0 1
1 0 A 1 2 1 0 1 01 1 B 1 3 1 0 1 11 2 C 1 4 1 1 0 01 3 D 1 5 1 1 0 11 4 E 1 6 1 1 1 01 5 F 1 7 1 1 1 1
Converso entre Sistemas de NumeraoConverso entre Sistemas de Numerao
Procedimentos bsicos: -- divisodiviso(nmeros inteiros) -- polinmiopolinmio
Sistemas de NumeraoSistemas de Numerao
-- agrupamentoagrupamento dede bitsbits
OCTAL
DivisoDiviso (Decimal outro sistema)
Converso entre Sistemas de NumeraoConverso entre Sistemas de Numerao
Sistemas de NumeraoSistemas de Numerao
Diviso inteira (do quociente) sucessiva pela base, at que o quociente seja menor do que a base.
Valor na base = composio do ltimo ltimo quocientequociente (MSB) com restosrestos (primeiro resto bit menos significativo - LSB)
DivisoDiviso (DecimalDecimal outro sistemaoutro sistema) Dividir o nmero por b (base do sistema) e os resultados
consecutivas vezes.
Converso entre Sistemas de NumeraoConverso entre Sistemas de Numerao
Sistemas de NumeraoSistemas de Numerao
consecutivas vezes.
Ex.: (125)(125)10 10 = = (?(? ))22 (538)(538)10 10 = = (?(? ))1616
NotaoNotao PolinomialPolinomial ouou PosicionalPosicional(Outro(Outro SistemaSistema Decimal)Decimal)
VlidaVlida parapara qualquerqualquer basebase numricanumrica.
Converso entre Sistemas de NumeraoConverso entre Sistemas de Numerao
Sistemas de NumeraoSistemas de Numerao
VlidaVlida parapara qualquerqualquer basebase numricanumrica.
LEI DE FORMAO(Notao ou Representao Polinomial):
Nmero =Nmero =
an = algarismo, b = base do nmeron = quantidade de algarismo - 1
00
22
11 ... babababa
nn
nn
nn ++++
Ex.: a) (1111101)(1111101)2 2 = (? )= (? )1010
(1111101)2 =
Converso entre Sistemas de NumeraoConverso entre Sistemas de Numerao
Sistemas de NumeraoSistemas de Numerao
b) (21A)(21A)16 16 = = (?(? ))1010(21A)16 = 2x162 + 1x161 + 10x160 = 5385381010
(1111101)2 =1x26 + 1x25 + 1x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 1251251010
AgrupamentoAgrupamento dede BitsBits
SistemasSistemas comcom base=base= 22nn binriobinrio (e(e vicevice versa)versa) Divide-se em grupos de n bits. Em octal base=8=23, logo
Converso entre Sistemas de NumeraoConverso entre Sistemas de Numerao
Sistemas de NumeraoSistemas de Numerao
Divide-se em grupos de n bits. Em octal base=8=23, logo divide-se em grupos de 3 bits. Em hexadecima-> 4 bits.
Ex.: (1011110010100111)(1011110010100111)22 = ( ? )= ( ? )1616 (A79E)(A79E)1616 = ( ? )= ( ? )22
ConversoConverso octaloctal hexadecimalhexadecimal
Transforma-se primeiro para binrio e depois para a baseque deseja-se
Converso entre Sistemas de NumeraoConverso entre Sistemas de Numerao
Sistemas de NumeraoSistemas de Numerao
que deseja-se Converso em duas etapas:1 - nmero: base octal (hexadecimal) binria.2 - resultado intermedirio: binria hexadecimal
(octal).
Ex.: a) (175)(175)88 = ( ? )= ( ? )1616
(175)8 = (1111101)2 = (7D)(7D)1616
Converso entre Sistemas de NumeraoConverso entre Sistemas de Numerao
Sistema de NumeraoSistema de Numerao
(175)8 = (1111101)2 = (7D)(7D)1616
b) (21A)(21A)16 16 = (?= (? ))88(21A)16 = (001000011010)2 = (1032)(1032)88
ConversoConverso dede NmerosNmeros FracionriosFracionrios
Lei de Formao ampliada (polinmio):
Converso entre Sistemas de NumeraoConverso entre Sistemas de Numerao
Sistema de NumeraoSistema de Numerao
Exemplo: Exemplo: (101,110)(101,110)22 = ( ? )= ( ? )10101 22 + 0 21 + 1 20 +1 2-1 + 1 2-2 + 0 2-3 = (5,75)(5,75)1010
Converso de Nmeros FracionriosConverso de Nmeros Fracionrios
A Sistema de NumeraoA Sistema de Numerao
Operao inversa: multiplicar a parte fracionria pela base at que a parte fracionria do resultado seja zero.
Decimal outro sistemaDecimal outro sistema
ExemploExemplo:: ((88,,375375))1010 == (( ?? ))22
Operao de Adio A operao em qualquer sistema iniciada somando-se os
algarismos menos significativo de cada nmero A0+B0..
Os algarismos com mesma potncia so somados,considerando o transporte de entrada C0=A0+B0+Te . Aordem do menos significativo para o mais significativo.
O transporte de entrada de uma coluna o transporte desada da coluna imediatamente menos significativa.
Quando o resultado da soma da coluna, por exemplo C0 maior ou igual a base (b), no existe smbolo pararepresentar a quantidade no sistema. O valor do algarismona coluna ento C0=A0+B0+Te-b e o transporte de sadaTs=1.
Adio em um Sistema Hipottico Imagine um sistema fictcio de base 3
com os seguintes elementos:{ , , }, onde =0, =1, =2
Deseja-se realizar a seguinte operao:
+
+ = 2+1=3;Porm no existe smbolo para representar a quantidade 3, logo subtrai-se a base do resultado e acrescenta-se 1 a coluna imediatamente mais significativa
Adio
O valor do algarismo mais significativo do resultado sempre o transporte de sada anterior
Te Te Te
C0=A0+B0+Te0C1=A1+B1+Te1Te2 Te1 Te0
A2 A1 A0+ B2 B1 B0
= C3 C2 C1 C0
Ts2 Ts1 Ts0
C1=A1+B1+Te1C2=A2+B2+Te2C3=Ts2Te0=0;Te1=Ts0; Te2=Ts1;
Adio em Decimal
Base =10;
0 1 0
C0=7+8=15;Como 15>100 1 0
1 2 7
+ 2 4 8=0 3 7 5
0 0 1
Como 15>10C0=7+8-10=5; e Ts0=1C1=2+4+1=7C2=1+2+0=3C3=0Te0=0;Te1=Ts0=1; Te2=Ts1=0;
Adio em binrio
Base =2.
0+0=0 e Ts=00+0=0 e Ts=00+1=1 e Ts=01+0=1 e Ts=01+1=0 e Ts=1; pois 1+1=2 mais 2 igual a base.
Adio em Binrio
Ex= somar 5 e 3 em binrio.
1 1 0
C0=1+1=2;Como 2=base C0=1+1-2=0; e Ts0=11 1 0
1 0 1 ->5+ 0 1 1 ->3
=1 0 0 0 ->81 1 1
Como 2=base C0=1+1-2=0; e Ts0=1C1=1+1+0=2; logo C1=1+1+0-2=0 e Ts1=1C2=0+1+1=2; logo C2=0+1+1-2=0 e Ts2=1C3=1Te0=0;Te1=Ts0=1; Te2=Ts1=1;
Subtrao Em qualquer que seja a base, quando a operao de
subtrao A0-B0=C0 de uma coluna menor do que 0deve-se pedir um emprestado coluna da esquerda,subtraindo-se 1 do algarismo da primeira parcela esomando-se a base a coluna em que se est realizandoa operao A0-B0+b=C0 e Ts=1.0 0 0
Ex: Em decimal quando realizamos 24-07, na primeiracoluna C0=4-7=-3 que menor do que 0. Logo pede-se 1emprestado a coluna da esquerda subtraindo 1 doalgarismo da primeira parcela que 2, e soma-se a baseque 10 a primeira coluna que 4:
2 4
-0 7C1C0 C0=4+10-7=7
C1=2-1-0=1
Subtrao em Binrio0-0=0 e Ts=01-0=1 e Ts=01-1=0 e Ts=00-1=1 e Ts=1;
C0=A0-B0=1-1=0 e Ts0=0;C1=A1-B1-Te1=0-1-0=1 e Ts1=1
1 0 0
1 0 1 ->5- 0 1 1 ->3
=0 0 1 0 ->20 1 0
C2=A2-B1- Te2=1-0-1=0 e Ts2=0C3=0Te0=0;Te1=Ts0=0; Te2=Ts1=1;
Multiplicao em Binrio
A multiplicao em binrio feita da mesma maneira que em decimal.
0x0=00x1=01x0=01x1=1
11011=27X 101=5
1101100000
+1101110000111=135
Diviso em Binrio
10100 101-101 10000000
1011011 101-101 10010
000191/5=18 e resta 100000
10101-1010001
-0000 0001
91/5=18 e resta 1
20/5=4 e resta 0