7a edio
MatemticaBIANCHINI
8
Edwaldo BianchiniLicenciado em Cincias pela Universidade da Associao de Ensino de Ribeiro Preto, com
habilitao em Matemtica pela Faculdade de Filosofi a, Cincias e Letras do Sagrado Corao de Jesus, Bauru (SP).
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Edwaldo Bianchini, 2011
Coordenao editorial: Juliane Matsubara BarrosoEdio de texto: Cintia Alessandra Valle Burkert Machado, Dbora Regina Yogui, Fabio Martins de Leonardo, Fernando Savoia Gonzalez, Ktia Takahashi, Marilu Maranho Tasseto, William Raphael SilvaAssistncia editorial: Daniela Santo Ambrosio, Leandro Baptista, Maria Ceclia Bittencourt Mastrorosa, Maria Cristina Santos Sampaio, Roberto Henrique Lopes da SilvaPreparao de texto: Cibely Aguiar de Souza SalaCoordenao de design e projetos visuais: Sandra Botelho de Carvalho HommaProjeto grfi co: Aurlio CamiloCapa: Aurlio Camilo Foto de capa: Michel Porro/AFP PhotoCoordenao de produo grfi ca: Andr Monteiro, Maria de Lourdes RodriguesCoordenao de arte: Wilson Gazzoni AgostinhoEdio de arte: Elaine Cristina da SilvaEdio de infografi a: Willian H. Taciro, Dbora Yogui, Daniela Mximo, Luciano Baneza GabarronEditorao eletrnica: Grapho EditoraoIlustraes: Andr Toma, Andr Vazzios, Guilherme Luciano, Jos Lus JuhasCartografi a: Alessandro Passos da CostaCoordenao de reviso: Elaine C. del NeroReviso: Afonso N. Lopes, Lus M. Boa Nova, Maristela S. Carrasco, Millyane M. Moura, Nancy H. Dias, Viviane T. MendesPesquisa iconogrfi ca: Luciano Baneza Gabarron, Maria Magalhes As imagens identifi cadas com a sigla CID foram fornecidas pelo Centro de Informao e Documentao da Editora Moderna.Coordenao de bureau: Amrico JesusTratamento de imagens: Bureau So Paulo, Fabio N. Precendo, Rubens M. RodriguesPr-impresso: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira Silva, Helio P. de Souza Filho, Marcio Hideyuki KamotoCoordenao de produo industrial: Wilson Aparecido TroqueImpresso e acabamento:
Reproduo proibida. Art. 184 do Cdigo Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados
EDITORA MODERNA LTDA.Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho
So Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2790-1500
Fax (0_ _11) 2790-1501www.moderna.com.br
2011Impresso no Brasil
Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)(Cmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Bianchini, Edwaldo Matemtica Bianchini / Edwaldo Bianchini. 7. ed. So Paulo : Moderna, 2011. Obra em 4 v. para alunos do 6o ao 9o ano. Bibliografi a.
1. Matemtica (Ensino fundamental) I. Ttulo
11-03033 CDD-372.7
ndices para catlogo sistemtico:1. Matemtica : Ensino fundamental 372.7
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
ISBN 978-85-16-07091-5 (LA)ISBN 978-85-16-07092-2 (LP)
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ApresentaoRep
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Caro estudante,
Este livro foi feito especialmente para voc.
Ele foi pensado, escrito e organizado com o objetivo de facilitar sua aprendizagem, alm de ajud-lo a perceber como a Matemtica est presente em tudo o que acontece sua volta.Aqui voc vai encontrar exemplos de situaes que permitem perceber que a Matemtica faz parte do seu dia a dia.
Leia com ateno as explicaes tericas, para acompanhar as aulas e resolver os exerccios.
Faa deste livro um parceiro em sua vida escolar!
O autor
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Conhea seu livro
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A estrutura de cada captulo muito simples, pois permite encontrar com facilidade os assuntos fundamentais, os exemplos, as sries de exerccios e as sees enriquecedoras.
Pgina de contedo
Contm a teoria explicada com linguagem clara e objeti-va, apoiada por exemplos e ilustraes cuidadosamente elaborados para ajudar o entendimento da teoria.
Pgina de abertura
Cada captulo introduzido por uma imagem motivadora e questes do Matemtica no mundo, que abordam o assunto do captulo.
Exerccios
O livro apresenta uma variedade de exerccios (de aplicao, de explorao, de sistematizao, de aprofundamento), organizados segundo o grau de difi culdade.
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Tratamento da informao
Esta seo trabalha temas de Tratamento da informao e Estatstica, por meio de textos tericos e atividades variadas.
Atividades especiais
Estas sees apresentam atividades e objetivos diferentes:Pense mais um pouco... prope atividades desafi adoras;Diversifi cando prope que o aluno entre em contato com textos e atividades que envolvem temas variados.
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Sumrio
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CAPTULO 1 Nmeros reais
1. O caminho que fi zemos com os nmeros 13Os nmeros naturais 13
Os nmeros inteiros 14
Os nmeros racionais 15
Da forma decimal para a forma de frao 18
2. Nmeros quadrados perfeitos 21
3. Raiz quadrada de nmeros racionais 23Clculo da raiz quadrada pela decomposio em fatores primos 24
Raiz quadrada com aproximao natural 26
Raiz quadrada com aproximao decimal 26
4. Os nmeros irracionais e os nmeros reais 29O nmero irracional s 30
5. A reta real 32O teorema de Pitgoras e a reta real 32
Tratamento da informaoConstruindo e interpretando um grfi co de linha 35
Diversifi candoJogo: Enfi leirando 38
CAPTULO 2 Clculo algbrico
1. A incgnita e a varivel 40
2. Expresses algbricas 41Classifi cao das expresses algbricas 41
Valor numrico de uma expresso algbrica 43
3. Os monmios 46Grau de um monmio 47
Monmios semelhantes 47
4. Operaes com monmios 49Adio algbrica de monmios 49
Multiplicao e diviso de monmios 51
Potenciao de monmios 53
Raiz quadrada de um monmio 54
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5. Os polinmios 56Grau de um polinmio 58
Polinmios com uma s varivel 58
6. Operaes com polinmios 59Adio de polinmios 59
Subtrao de polinmios 61
Multiplicao entre polinmio e monmio 63
Multiplicao entre dois polinmios 64
Diviso de polinmio por monmio 66
Diviso de polinmio por polinmio 67
CAPTULO 3 Produtos notveis e fatorao
1. Os produtos notveis 74Quadrado da soma de dois termos 74
Quadrado da diferena de dois termos 77
Produto da soma pela diferena de dois termos 79
Cubo da soma e da diferena de dois termos 81
2. Fatorao de polinmios 83Fatorao colocando em evidncia os fatores comuns 84
Fatorao por agrupamento 86
Fatorao da diferena de dois quadrados 87
Fatorao do trinmio quadrado perfeito 90
Fatorao da diferena e da soma de dois cubos 92
CAPTULO 4 Fraes algbricas, equaes fracionrias e equaes literais
1. O conceito de frao algbrica 97
2. Simplifi cao de fraes algbricas 98
3. Operaes com fraes algbricas 101Reduo a um denominador comum 101
Adio algbrica 102
Multiplicao 104
Diviso 105
Potenciao 106
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4. Equaes fracionrias 108Conjunto universo de uma equao fracionria 109
Resoluo de equaes fracionrias 110
5. Equaes literais 113
Tratamento da informaoCalculando probabilidades 115
Diversifi candoOnde est o erro? 119
CAPTULO 5 Sistemas de equaes do 1o grau com duas incgnitas
1. Resoluo de sistemas 121O mtodo da substituio 121
O mtodo da adio 123
2. Sistemas de equaes fracionrias 125
3. Plano cartesiano 127
4. Soluo grfi ca de um sistema de equaes do 1o grau 130
5. Classifi cao de um sistema 134Sistema determinado 134
Sistema impossvel 135
Sistema indeterminado 136
CAPTULO 6 Retas e ngulos
1. As retas e os ngulos 142
2. Posio das retas 143Construindo retas paralelas com rgua e compasso 144
3. Partes da reta 145Construindo segmentos congruentes com rgua e compasso 147
Determinando o ponto mdio de um segmento com rgua e compasso 148
4. ngulos 149Bissetriz de um ngulo 150
ngulos consecutivos e ngulos adjacentes 153
ngulos complementares e ngulos suplementares 153
ngulos opostos pelo vrtice 155
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5. Retas perpendiculares 156Construindo perpendiculares com rgua e esquadro 157
6. ngulos formados por duas retas e uma transversal 158ngulos correspondentes 158
ngulos alternos internos e ngulos alternos externos 161
ngulos colaterais internos e ngulos colaterais externos 165
Tratamento da informaoConstruindo um grfi co de setores 169
Diversifi candoGirando no parque 174
CAPTULO 7 Polgonos
1. Os polgonos 176Elementos de um polgono 177
2. Nmero de diagonais de um polgono 178
3. Soma das medidas dos ngulos externos de um polgono 179
4. Soma das medidas dos ngulos internos de um polgono 180
5. Polgonos regulares 182
6. Congruncia de polgonos 185Elementos correspondentes em polgonos congruentes 185
Transformaes geomtricas que geram fi guras congruentes 186
Diversifi candoO RPG e os poliedros de Plato 192
CAPTULO 8 Tringulos
1. Os tringulos 194
2. Principais elementos de um tringulo 195
3. Classifi cao de tringulos 196Classifi cao quanto s medidas dos lados 196
Classifi cao quanto s medidas dos ngulos 197
4. Construo de tringulos 197Tringulo issceles 197
Tringulo equiltero 198
Tringulo escaleno 198
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5. Condio de existncia de um tringulo 200
6. Outros elementos de um tringulo 202Mediana 202
Bissetriz 203
Altura 203
7. Congruncia de tringulos 206Casos de congruncia de tringulos 208
8. Propriedades que relacionam os ngulos de um tringulo 214
9. Demonstraes geomtricas 218Noes primitivas e postulados 219
Teoremas 220
A congruncia de tringulos nas demonstraes geomtricas 220
10. Propriedades de um tringulo issceles 225
11. Propriedade que relaciona os lados com os ngulos de um tringulo 227
Tratamento da informaoConstruindo um pictograma 229
Diversifi candoFractais 234
CAPTULO 9 Quadrilteros
1. Os quadrilteros e seus principais elementos 237ngulos de um quadriltero 238
2. Paralelogramos 239Propriedades dos paralelogramos 240
Propriedade dos retngulos 243
Propriedade dos losangos 243
Propriedade dos quadrados 244
3. Trapzios 245Propriedades dos trapzios issceles 246
4. Propriedades da base mdia 249Propriedade da base mdia do tringulo 249
Propriedade da base mdia do trapzio 250
Tratamento da informaoInterpretando um infogrfi co 252
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CAPTULO 10 Circunferncia e crculo
1. A circunferncia e seus elementos 258
2. O crculo 260
3. Posies relativas 260Posies relativas de um ponto em relao a uma circunferncia 260
Posies relativas de uma reta em relao a uma circunferncia 261
Posies relativas de duas circunferncias 264
4. Segmentos tangentes a uma circunferncia 267Tringulo circunscrito 268
Quadriltero circunscrito 269
5. Arcos e ngulos em uma circunferncia 271Arco de circunferncia 271
ngulo central 271
ngulo inscrito 273
ngulos cujos vrtices no pertencem circunferncia 275
Diversifi candoMatemtica na Arqueologia 280
Respostas 281
Lista de siglas 290
Sugestes de leitura para o aluno 292
Bibliografi a 293
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Nmeros reais
CaPTU
Lo 1
LI W
EN/XINHUA PRESS/CORBIS/LAT
INSTO
CK
Aginsticartmicaumesportecaracterizadopelabelezaeelegnciadosmovimentos.Amo-dalidadeexigetreinamentosrigorososeousodediversosaparelhos,comofitas,arcosebolas.
Agora,responda.
Um tablado de ginstica rtmica tem forma de um quadrado com rea de 196 m2. Quanto mede o lado desse quadrado?
Se esse tablado tivesse 225 m2, quanto seu lado mediria?14 metros
15 metros
matemticanomundo
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LIBRADO ROMERO/THE NEW YORK TIM
ES/LAT
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1 OcaminhoquefizemoscomosnmerosAHistrianosmostraque,medidaqueassociedadeshumanasforamsetransformando,
surgiuanecessidadedeorganizarmuitasatividades,comoaproduoagrcolaeocomrcio.Umadasmaneirasencontradasparaorganizaraproduofoioregistrodequantidadesdosalimentoscultivadosecolhidos.
Ospovosantigoscomoosegpcios, sumrios, romanosebabilnios, criaramsistemasprpriosderegistro.
Osbabilnios,porexemplo,muitossculosantesdeCristo,utilizavamsmbolosnaformadecunhapararepresentarnmeros:
umacunhaemp( )indicavaonmero1.Elapodiaserrepetidaatnovevezes; umacunhadeitada( )indicavaonmero10.Elapodiaserrepetidaatcincovezes.Essessmboloseramimpressosemtbuasdeargila,comoessadafotoabaixo(criadaentre
1800a.C.e1600a.C.),queestnoMuseudeLouvre,emParis.
OSistemadeNumeraoDecimalusadoatualmentepormuitospovosoriginou-sedeumdessessistemasantigos.Essesistemacompostodedezsmbolos(0,1,2,3,4,5,6,7,8e9),denominadosalgarismos indo-arbicos.
OsnmerosnaturaisQuandoprecisamossaberquantosobjetoshemumdeterminadolugarouquantaspes-
soasestopresentesemcertoevento,porexemplo,estamosdiantedeumasituaodecontagem.
Nmeros naturaissonmerosqueexpressamoresultadodeumacontagem.
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Oconjunto dos nmeros naturaisrepresentadoporvepodeserescritoassim:
Comosnmerosnaturaispodemosefetuarqualqueradiooumultiplicao.Jassub-traeseasdivisesnemsempresopossveisdentrodoconjuntodosnmerosnaturais.Porexemplo:
(627)nopertenceaoconjuntodenmerosnaturais,poisnohnmeronaturalquesomadocom7d6.
(845)nopertenceaoconjuntodenmerosnaturais,poisnohnmeronaturalquemultiplicadopor5d8.
Portanto,osnmerosnaturaisnososuficientespararepresentartodasassituaesdonossodiaadia.Comelesnopodemosrepresentar,porexemplo,temperaturasabaixodezerograuCelsiusnemnossaalturaemmetro.
v5{0,1,2,3,4,5,...}
b5{...,23,22,21,0,11,12,13,...}
125wC(25grausCelsiusacimadezero).
EDUARDO SANTA
LIESTRA/CID
225wC(25grausCelsiusabaixodezero).
EDUARDO SANTA
LIESTRA/CID
Osurgimentodosnmerosinteirospodeserassociadossituaescotidianasqueexigemarepresentaodequantidadesemrelaoaoreferencialzero.Vejaosexemplos.
a)Nostermmetros,astemperaturasabaixodezerograuCelsiussoindicadascomnmerosnegativoseaquelasacimadezerograu,comnmerospositivos.Oreferencial0wC.
OsnmerosinteirosOconjunto dos nmeros inteiros,indicadoporb,compostodenmerospositivosen-
merosnegativos.Assim,podemosescrever:
CAPTULO 1 nmeros reais14
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b)Emumaamovimentaobancria,usamosnmerospositivosparaosaldocredorenmerosnegativosparaosaldodevedor.Oreferencialosaldozero(nemcredornemdevedor).
O titular dessa conta tinha, em 23 de maro, saldo devedor de R$ 30,00, isto , devia ao banco R$ 30,00.
Movimentao de conta corrente (valores em reais)
Dia Histrico Dbito Crdito Saldo
22/3 saldoanterior 170,00
22/3 cheque900392 2200,00 2130,00
23/3 depsito 1100,00 230,00
Ossinais1e2esquerdadosnmerossousadosparaindicaraposioqueessesn-merosocupamemrelaoaozero,quandoorganizadosemordemcrescenteoudecrescente:osmenoresquezerosonegativos,eosmaiores,positivos.
Vejaarepresentaodealgunsnmerosinteirosnareta.
Osnmerosinteirosnonegativos(0,11,12,13,14,)podemserindicadossimples-mentepor0,1,2,3,4,...
Observequeosnmerosnaturaispertencemaoconjuntodosnmerosinteiros.b5{...,23,22,21,0,1,2,3,4,5,...}
nmeros naturais
Comosurgimentodosnmerosinteirostornou-sepossvelefetuarsubtraesemqueominuendomenorqueosubtraendo.Vejaosexemplos.
627521 023523Masasdivisescontinuamnosendosemprepossveisnoconjuntob. Porexemplo:
(1043)noperteceaosnmerosinteiros.
OsnmerosracionaisObserveosnmerosabaixo.
1,25 0,777... 213
Essesnmerossonmeros racionais,poispodemserexpressosnaformadefraocomumnmerointeirononumeradoreumnmerointeirononulonodenominador.
Veja.
1,255 5__
4 0,777...5
7__
9 21352
13___
1
Assim,qualquernmeroracionalpodeserconsideradocomoresultadodadivisodedoisnmerosinteiros,comodivisornonulo.Indicandooconjunto dos nmeros racionaisporB,podemosescrever:
B5 a__b,comaebinteiroseb%0
234 1 0 +1 +2 +3 +4
CAPTULO 1 nmeros reais 15
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Os nmeros racionais podem ser escritos na forma fracionria e na forma decimal.
Um mesmo nmero tem infi nitas representaes fracionrias. Veja os exemplos.
2 __
3 5
4 __
6 5
6 __
9 5
8 ___
12 5 ... 5 5
5 __
1 5
10 ___
2 5
15 ___
3 5
20 ___
4 5 ...
Os nmeros naturais e os nmeros inteiros tambm so nmeros racionais, pois podem ser escritos na forma de frao. Veja alguns exemplos na tabela abaixo.
OBSERVAES
Nmero natural Nmero inteiro Nmero racional
3 X X X
24 X X
1 __
5 X
20,7 X
1 Que operao impossvel de ser realizada apenas com nmeros naturais?a) 3 1 7 b) 5 2 235 c) 0 2 0 d) 7 2 0 e) 3 3 0 f) 3 3 7
2 Enquanto um avio est altitude de 5,8 km, um submarino est profundidade de 0,24 km.a) Represente essas medidas com nmeros inteiros e explique qual foi o referencial utilizado.b) Os nmeros 5,8 e 0,24 so nmeros racionais? Eles esto escritos na forma de frao?
3 Entre os nmeros a seguir, quais so inteiros?
b
PROPOSTOSExerccios
Sim, eles so nmeros racionais. No, eles esto escritos na forma decimal.
15,8 km, 20,24 km; referencial: nvel do mar
4 Identifi que as sentenas falsas. Em seu caderno, justifi que com um exemplo.a) Todo nmero natural inteiro.b) Todo nmero inteiro racional.c) Todo nmero natural racional.d) Todo nmero que pode ser escrito na forma de frao racional.e) Todo nmero natural um nmero inteiro positivo.f) Todo nmero inteiro natural.g) Todo nmero racional inteiro.
5 Quantos nmeros inteiros existem:a) entre dois nmeros inteiros consecutivos? c) entre 0 e 10, entre 0 e 100, entre 0 e 1.000.000?b) entre 1 e 9, entre 21 e 1, entre 29 e 9?
V
V
V
V
F
F
F
nenhum
7, 1, 179, 99, 999.999
2 3 __
2
1 __
3
2 20 ___
10
2 4 ___ 12
1 12 ___ 4
2 20 ___
10 e 1
12 ___
4
4 e) O zero no um nmero inteiro positivo. f) Por exemplo, 21 no um nmero natural.g) Por exemplo, 0,5 no um nmero inteiro.
Agora, com os nmeros racionais, todas as divises entre nmeros inteiros (e entre racionais) so possveis, desde que o denominador no seja nulo.
CAPTULO 1 NMEROS REAIS16
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1.Calcule os nmeros racionais: a) a, que a mdia aritmtica de 3 e 7; c) c, que a mdia aritmtica de 3 e b; b) b, que a mdia aritmtica de 3 e a; d) d, que a mdia aritmtica de 3 e c.2. Represente os nmeros racionais 3, a, b, c, d e 7 na reta numrica.
3. As mdias aritmticas de dois nmeros obtidas na atividade 1 esto entre esses dois nmeros?
4. possvel calcular os nmeros e, f, g, h, , que sejam as mdias aritmticas, respectivamente, de 3 e d, de 3 e e, de 3 e f, de 3 e g, e assim por diante?
5. Considerando os itens acima, use sua intuio para dizer quantos nmeros racionais existem entre 3 e 7, bem como quantos nmeros racionais existem entre dois nmeros racionais distintos quaisquer.
Pense mais um pouco...3
3,5
3,25
4 5 7
5
4
3,5
3,25
sim
Espera-se que os alunos respondam afirmativamente.
Espera-se que os alunos respondam que existem infinitos nmeros racionais.
2.
Representaesdosnmerosracionais
Nessarpidaretomadasobreanecessidadedeampliarosconjuntosnumricos,possvelnotarqueosalgarismosindo-arbicosservempararepresentartodososnmerosquecons-tituemessesconjuntos.
Notamostambmquehduasrepresentaespossveisparatodososnmerosracionais:afracionriaeadecimal.
Natabelaaseguir,halgumas,dentreasinfinitas,representaesfracionriaedecimaldealgunsnmerosracionais.
Nmero racional Algumas representaes
22 2 18___9 22,0
1__
4
4___
16 0,25
4___
11
8___
22 0,3636...
25,3 2 53___10
25,300
32___
15
64___
30 2,1333...
6 12___
2 6,000
Algunsnmeros racionaispodemser representadosporumafraodecimal, isto,dedenominador10,100,1.000etc.Vejaalgunsexemplos.
225220___
10
1__
45
25____
100 25,352 53___
10 6,0005
6.000______
1.000
fraes decimais
CAPTULO 1 nmeros reais 17
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9 Represente cada dzima peridica na forma abreviada e determine o seu perodo.
a) 0,222 c) 0,56777b) 20,313131 d) 22,4151515...
10 Somando os dois nmeros de cada item, obtemos outro nmero na forma de dzima peridica. Determine em cada caso essa dzima peridica na forma abreviada.
a) 2,444 e 5,111b) 2,5 e 3,222
11 Agora, calcule as subtraes.a) 9,5555... 2 3,1111...b) 7,333... 2 2,333...c) 6,8888... 2 4,5888...
Josnmeros4___
11e
32___
15nopodemserrepresentadosporumafraodecimal.Noentanto,
elespodemserescritosnaformadecimal.Paraisso,bastadividironumeradorpelodenominador:
4___
115441150,3636...
32___
1552,1333...
Notequeasrepresentaes0,3636e2,1333apresentaminfinitascasasdecimaiseperi-dicas.Em0,3636asreticnciasindicamque36chamadodeperodocontinuaserepetindoindefinidamente.Em2,1333temosumarepresentaodecimalperidicadeperodo3.
Umadzimaperidicapodeserescritaabreviadamente,colocando-seumtraosobreoperodo.Vejaarepresentaoabreviadadasseguintesdzimasperidicas:
2,555...52,__5 1,2777...51,2
__7
20,1313...520,___13 0,21888...50,21
__8
Arepresentaodecimalperidicainfinitarecebeonomededzima peridica.
6 D a representao decimal das seguintes fraes decimais.
a) 35 ___
10 c)
542 ____
100
b) 28 ____
100 d)
12 _____
1.000
7 Observando os resultados do exerccio ante-rior, escreva qual a relao existente entre a quantidade de zeros do denominador de uma frao decimal e a quantidade de casas aps a vrgula na representao decimal dessa frao.
8 Represente cada frao na forma decimal.
a) 2 __
5 c)
11 ___
3 e) 2
11 ___
90
b) 5 __
6 d) 2
45 ___
8
0, _ 2 ; perodo 2
20, __ 31 ; perodo 31
0,56 _ 7 ; perodo 7
22,4 __ 15 ; perodo 15
3,5
0,28
5,42
0,012
0,4
0,8333...
3,666...
25,62520,1222...
DaformadecimalparaaformadefraoJlidamoscomatransformaodeumnmeroescritonaformadefraoparaaforma
decimal.Paratanto,bastaefetuaradivisodonumeradorpelodenominador,porexemplo:
PROPOSTOSExerccios
7. A quantidade de zeros no denominador de uma frao decimal igual quantidade de casas aps a vrgula na representao decimal dessa frao.
7, _ 5
5,7 _ 2
6,4444...
5
2,3
10 5
0 0,21__
5514550,2
Vamosveragoracomotransformarumnmerodaformadecimalparaaformadefrao.
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Nmerosdecimaisexatos
Quandoonmerotemumaquantidadefinitadecasasdecimais,aleituradelenosdumaboapistaparaexpress-lonaformadefrao.Vejaalgunsexemplos.
0,25doisdcimos5 2___
10
5,3255cincointeiros,trezentosevinteecincomilsimos5 5325______
1.000
uma casa decimal
trs casas decimaistrs zeros
leitura
leitura
um zero
Dzimasperidicas
Quandoonmeroteminfinitascasasdecimais,porexemploonmero0,55555,proce-demosdoseguintemodo:
chamamosonmero0,55555dexeescrevemosaigualdadex50,55555multiplicamososdoismembrospor10,obtendoumanovaigualdade:10x55,55555 subtramosaprimeiraigualdadedasegunda,membroamembro:
CC Quandotransformamosumnmerodaformadecimalparaaformadefrao,podemossim-plificarafraoattorn-lairredutvel.Vejaosexemplos.
0,25 2___
105
1__
5
5,32555325______
1.0005
5.325______
1.0005
213____
40
OBSERVAO
Logo:0,55555...5 5__
9
Nesse caso, os doismembros da primeira igualdade forammultiplicados por 10.Demaneirageral,elesdevemsermultiplicadosporumapotnciadebase10conveniente(10,100,1.000,),afimdedeslocaravrgulaparaadireitadoprimeiroperodo.Dessemodo,aosubtrairasigualdades,eliminamosadzima.
10x55,55555...x50,55555...
9x55
9x___
95
5__
9
x5 5__
9
X
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e) @ 5 __ 8 2 2, __ 4 # 3 @ 2 9 ____ 131 #
f) @ 5 __ 7 2 0, __ 3 # 4 @ 24 ___ 11 2 1,
___ 47 #
15 Dividindo um nmero x por um nmero y, obtm-se 2,555 Determine o valor de x e de y, sabendo que eles so nmeros primos entre si.
16 Sendo x um nmero decimal, resolva a equa-
o: 1 __
3 x 1
1 __
2 5 0,2x 1 0,1333...
Logo: 2,3737... 5 235 ____
99
Logo: 3,2151515 5 1.061 ______
330
12 Qual a frao irredutvel que representa o nmero 0,36?
13 Expresse os nmeros abaixo na forma de frao.
a) 3,444 c) 0, ___ 45
b) 212, __ 5 d) 20,31222...
14 Determine a frao irredutvel que representa o valor das expresses.
a) 0,2 1 0, __ 3 c) 0,3
__ 8 1 1,4
__ 5
b) 0,2 __ 7 1 2,
__ 3 d) 1,
__ 8 3
2 ___
17
x 5 23 e y 5 9
x 5 22,75
PROPOSTOSExerccios
Veja alguns exemplos.
9 ___ 25
31 ___ 9
1 __ 8
132 ____ 245
b) 3,2151515... Seja x 5 3,2151515... Multiplicando os dois membros dessa
igualdade por 10, temos: 10x 5 32,151515... (I)
Multiplicando os dois membros da pri-meira igualdade por 1.000, obtemos:
1.000x 5 3215,1515... (II) Subtraindo (I) de (II), temos:
a) 2,373737 Chamando 2,373737 de x, obtemos
a igualdade x 5 2,373737 Multiplicando os dois membros dessa
igualdade por 100, obtemos: 100x 5 237,3737 Subtraindo a primeira igualdade da
segunda, membro a membro, temos:
100x 5 237,3737...x 5 2,3737...
99x 5 235
x 5 235 ____
99
X1.000x 5 3215,1515...
10x 5 32,151515...
990x 5 3.183
x 5 3.183 ______
990 5
1.061 ______
330
X
c) Se x 5 4,232323..., devemos multiplicar os dois membros por 100. 100x 5 423,2323...
d) Se x 5 0,518518..., devemos multiplicar os dois membros por 1.000. 1.000x 5 518,518518...
e) Se x 5 2,5313131..., devemos multiplicar os dois membros por 1.000. 1.000x 5 2.531,3131...
2 113 ___ 9
5 __ 11
2 281 ____
900
8 ___ 15
47 ___ 18
83 ___ 45
2 __ 9
CAPTULO 1 NMEROS REAIS20
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17 Em uma caixa h bolas numeradas de 1 a 7. Mrcio retira trs bolas consecutivas sem recoloc-las na caixa para representar um nmero A. O nmero retirado na primeira bola representar as unidades de A, o nmero da segunda bola vai representar os dcimos de A e o da terceira bola, os centsimos.
a) Mrcio retirou os nmeros 6, 4 e 2, nessa ordem. Qual o nmero A formado nesse caso? Indique-o por uma frao irredutvel.
b) Se, em seguida, Mrcio retirar mais trs bolas, qual o maior nmero A possvel que poder ser sorteado com a retirada dessas bolas? E o menor?
2 Nmerosquadradosperfeitos
Seumnmeronaturaligualaumnmeronaturalelevadoaoquadrado,elechamadodequadrado perfeito.
Observeosexemplos.
a)4quadradoperfeito,pois4522.
b)32noquadradoperfeito,poisnoexisteumnmeronaturalqueelevadoaoquadradoresulteem32.
c)81quadradoperfeito,pois81592.
Paraproduzirnmerosquadradosperfeitos,escolhemosumnmeronaturaleoelevamosaoquadrado.Porexemplo,12umnmeronatural;ento1225144umquadradoperfeito.
7,53; 1,35
321 ____ 50
Vejaoqueocorrequandodecompomos12e144emfatoresprimos.
144 272 236 218 29 33 31
4 fatores iguais a 2
2 fatores iguais a 3
12 26 23 31
2 fatores iguais a 2
1 fator igual a 3
Observeque144temodobrodefatoresprimosde12.Assim:
12tem2fatoresiguaisa2e 1fatoriguala3.144tem4fatoresiguaisa2e2fatoresiguaisa3.
Dessemodo,para identificarseumnmeroquadradoperfeito,bastadecomp-loemfatoresprimoseverificarseonmerodecadaumdessesfatorespar.Acompanhemaisdoisexemplos.
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72 236 218 29 33 31
2 fatores iguais a 3
3 fatores iguais a 2
Noteque todososexpoentesdos fatores sopares. Ento,324umquadradoperfeito.
Vejadoismodosdeencontraronmeroquegerouoquadradoperfeito324:
72523332
mpar
Noteque72temumnmerompardefatoresiguaisa2.Ento,72noumquadradoperfeito.
6 linhas
Total de quadradinhos: 6 3 6 = 62 = 36
6 colunas
324 2162 281 327 39 33 31
4 fatores iguais a 3
2 fatores iguais a 2
324522334
a)Verificarse324umquadradoperfeito. Paraverificarse324umquadradoperfeito,decompomos324emfatoresprimos.
Representao geomtrica
Podemosrepresentargeometricamenteumnme-roquadradoperfeito.Porexemplo,com36quadra-dinhos iguaispossvel formarumnovoquadrado,conformeafiguraaolado,porque36umnmeroquadradoperfeito.
Vejaabaixoquecom8quadradinhos iguaisnopossvel formarumnovoquadrado,pois8noquadradoperfeito.
Ento,podemosdizerque324umquadradoperfeitoporqueexisteonmeronatural18queelevadoaoquadradod324.
b)Verificarse72umquadradoperfeito.
3245223345 3245232333333335
5223(32)25 5(2 3 3 3 3)25
5(2332)25 5182
5182
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Representaogeomtrica
Damesmamaneiraquerepresentamososnmerosquadradosperfeitospelaquantidadedequadradinhosqueformamumquadradomaior,tambmpodemosrelacionararaizquadradadeumnmerocomamedidadoladodeumquadrado.
Porexemplo,umaregioquadradacom144m2dereatemoladomedindo12m,pois
1225144.Ento,125dllll144.
20 Com 144 quadradinhos iguais Fernando pode cons truir um quadrado. Quantos qua-dra di nhos h em cada linha desse novo quadrado?
21 Com quantos quadradinhos iguais posso cons-truir um quadrado que tenha 8 qua dra di nhos em cada linha?
PROPOSTOSExerccios
18 Determine os quadrados perfeitos entre 100 e 200.
19 Efetuando a decomposio em fatores primos, verifi que quais dos seguintes nmeros so quadrados perfeitos.
a) 225 c) 441 e) 576b) 360 d) 480 f) 784
121, 144, 169 e 196
225, 441, 576 e 784
12 quadradinhos
64 quadradinhos
3 RaizquadradadenmerosracionaisVimosque,quandodeterminamosoquadradodeumnmeronatural,encontramosum
nmeroquadradoperfeito.Porexemplo:1525225
Nessecaso,podemosdizer: 225oquadradode15; 15araiz quadradade225,oqueindicamosassim:155dllll225.Omesmoocorrecomqualquernmeroracionalnonegativo.Vejaestesexemplos.
2__
5araizquadradade
4___
25,pois@2__5#
2
5 4___
25;isto, dlll4___255
2__
5.
dlllll1,4451,2,porque(1,2)251,44. Se1325169,ento135dllll169.
144 m
12 m
12 m
Assim,paraencontraramedidacdoladodeumquadrado,sabendoqueareadoseuinte-riorA,bastaencontrararaizquadradadeA.
c5dllA,poisc25A
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ClculodaraizquadradapeladecomposioemfatoresprimosJvimosque,paraidentificarumnmeroquadradoperfeito,verificamosseeletemuma
quantidadepardecadaumdeseusfatoresprimos.Essefatotambmnospermiteencontraronmeroquegerouoquadradoperfeito.Esse
nmerogeradoraraizquadradadoquadradoperfeitodado.Vejaosexemplos.
a)Calculardllll225.
nmero par de fatores
Ento,2255152e,portanto,dllll225515. Esseprocedimentonosforneceummeiodedeterminararaizquadradadeumquadrado
perfeito.
b)Determinardllll324. Decompondo324emfatoresprimos,temos:
225 375 325 55 51
32
522255323525(335)25152
324522332332
3245(23333)2
3245182
Como3245182,temosquedllll324518. Observeque18decompostoemfatoresprimos(18521331331)temametadedos
fatoresprimosde324.
324 2162 281 327 39 33 31
22
32
32
Vejaoutroexemplo.Areadeumjardimquadrado256m2.Paradeterminaramedidacdoladodessejardim,
temosdeencontrardllll256,poisc25256.Comoonmerocgeraoquadradoperfeito256,entoelepodeserencontradodecompondo
256emfatoresprimos.Assim,podemosescrever:2565285(24)25162
Portanto,oladodojardimmede16m.c
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Assim,deummodoprtico,podemosdizerque,paraextrairaraizquadradadenmerosinteirosquadradosperfeitos,procedemosassim:
primeiro,decompomosonmeroemfatoresprimos; aseguir,dividimoscadaexpoentepor2; finalmente,efetuamosamultiplicaoobtida.Nocasodenmerosracionaisrepresentadosporfrao,decompomosonumeradoreo
denominadoremfatoresprimose,aseguir,calculamosaraizquadradadecadaumdeles.Vejaalgunsexemplos.
dllll36____6255dllllll
22332______
54 5
233_____
52 5
6___
25
dllllll12,965dllllll1.296______100 5dllllll
24334______
223525
22332______
235 5
439_____
10 5
36___
1053,6
29 Um salo na forma de um quadrado tem seu piso coberto com 10.800 lajotas retangulares de 40 cm por 30 cm. Determine:
a) a rea do salo;b) as dimenses do salo.
27 Usando a decomposio em fatores primos, calcule a raiz quadrada de:
a) 25 ____
576 c)
225 ____
729 e) 19,36
b) 64 _____
1.225 d) 6,25 f) 0,01
28 Ivan vai construir uma pipa colorida na forma de um quadrado. Para essa construo, ele recor-tou um quadrado de papel azul com rea igual a 2.500 cm2, trs quadrados de papel amarelo de rea igual a 900 cm2 cada um e dois retn-gulos de papel vermelho de 20 cm por 30 cm. Qual ser a medida do lado dessa pipa?
22 Justifi que as igualdades.a) dllll0,64 5 0,8 c) dllllll210 3 32 5 25 3 3
b) dllll 64 ____ 225 5 8 ___
15 d) dllll 1,69 ____ 4 5 13 ___ 20
23 Extraia a raiz quadrada dos seguintes nmeros pela decomposio em fatores primos.
a) 256 d) 484 g) 1.600b) 196 e) 729 h) 1.024c) 576 f) 1.225 i) 1.296
24 Sendo x 5 24 3 132, calcule a raiz quadrada de x.
25 Um paliteiro de base quadrada tem a for-ma da fi gura ao lado. Sabendo que a rea das faces laterais do paliteiro 162 cm2 e que a rea de todas as faces 202,5 cm2, determine a medida a do lado da base desse paliteiro.
26 A rea de um quadrado 23,04 cm2. Calcule o permetro desse quadrado.
(0,8)2 5 0,64
(25 3 3)2 5 210 3 32
16
14
24
22
27
35
40
32
36
a 5 4,5 cm
19,2 cm
80 cm
1.296 m2
36 m por 36 m
0,12,5
4,4
a
PROPOSTOSExerccios
@ 8 ___ 15 # 2
5 64 ____ 225
@ 13 ___ 20 # 2
5 169 ____ 400
5 1,69 ____
4
dllx 5 52
5 ___ 24
8 ___ 35
15 ___ 27
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32 Faa estimativas para obter o valor aproxi-mado de:
a) dlll51 b) 50 3 dlll51 c) 200 3 dlll51 Como voc pode comprovar seus resultados?
33 No sculo XX, qual foi o nico ano represen-tado por um nmero quadrado perfeito?
PROPOSTOSExerccios
RaizquadradacomaproximaonaturalVimosqueosnmerosquadradosperfeitostmcomoraizquadradaumnmeronatural
queelevadoaoquadradoreproduzonmerodado.Vejamosoqueacontecequandoqueremosextrairaraizquadradadeumnmeroqueno
quadradoperfeito.Porexemplo,vamoscalculararaizquadradadonmero31.Quenmeroelevadoaoquadradod31?Vamostestaralgunsnmeros.
425165252562536
Como31estentreosnmeros25e36,ento dlll31 deveestar compreendidaentredlll25edlll36.
Comodlll2555edlll3656,conclumosquedlll31estentre5e6.
5,dlll31,6Dizemos,ento,que:5araizquadradaaproximada por faltadonmero31.6araizquadradaaproximada por excessodonmero31.Emgeral,considera-seraizquadradaaproximadadeumnmeronoquadradoperfeitoa
raizquadradaaproximadapor falta.Indica-seque5araizquadradaaproximadaporfaltade31escrevendo-se:
dlll3175(lemos:araizquadradadonmero31aproximadamenteiguala5)
30 Considere o nmero 110 e responda s questes.a) Entre que nmeros quadrados perfeitos ele
est compreendido?b) A raiz quadrada desse nmero est com-
preendida entre quais nmeros naturais?c) Qual a raiz quadrada por falta de 110?
31 Qual o menor nmero natural que devemos somar a 650 para obter um nmero quadrado perfeito?
100 e 121
10 e 11
10
resposta possvel: com uma calculadora
26 1936
7 7
7 350
7 1.400
31 est entre 25 e 36
RaizquadradacomaproximaodecimalVamosagoraaprenderacalculararaizquadradacomaproximaodecimaldeumnmero
quenoquadradoperfeito.Considere,comoexemplo,onmero2.Qualonmeroracionalqueelevadoaoquadradod2?Vejamos:
1nopodeser,porque12512nopodeser,porque2254
CAPTULO 1 nmeros reais26
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Nessecaso,dizemosquearaizquadradaaproximadadonmero2comumacasadecimal1,4eescrevemosdll271,4.
Procuremosumaaproximaomaior,comduascasasdecimais,paraaraizquadradade2:
(1,41)251,9881(menorque2)(1,42)252,0164(maiorque2)
Logo,dll2umnmerocompreendidoentre1,41e1,42.
Dessaforma,dll2umnmerocompreendidoentre1e2.
Comonoexistenenhumnmerointeirocujoquadradod2,dizemosque1araizqua-dradaaproximadadonmero2.
Procuremos,ento,umnmerocomumacasadecimalcujoquadradosejamaisprximode2:
(1,1)251,21(menorque2)(1,2)251,44(menorque2)(1,3)251,69(menorque2)(1,4)251,96(menorque2)(1,5)252,25(maiorque2)
Tambmnoexistenmerocomumacasadecimalcujoquadradoseja2.Logo,dll2umnmerocompreendidoentre1,4e1,5.
21
2
1 < < 22
21
2
1,4 1,5
1,4 < < 1,52
21
1,41 1,42
2
1,41 < < 1,422
2 est entre 1,96 e 2,25
Ento,podemosdizerquearaizquadradadonmero2comduascasasdecimais1,41eescrevemosdll271,41.
Assimprosseguindo,encontraremosaraizquadradaaproximadade2comquantascasasdecimaisdesejarmos,sem,entretanto,encontrarumnmerodecimalcujoquadradod2.
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38 Nas expresses a seguir, calcule as razes qua-dradas com uma casa decimal. Depois, efetue as operaes indicadas.
a) dll6 1 dlll21 c) dlll85 ______
dllll4,69
b) dlll12 3 dll8 d) 2 3 dlll50 2 3 3 dlll75
39 Veja o que Marta escreveu: dlllll72,56 7 8,a.Que algarismo deve ser colocado no lugar de a para que o nmero 8,a represente a raiz quadrada aproximada de 72,56 com uma casa decimal?
34 Verifi que se 1,7 pode ser considerado uma raiz aproximada de 3.
35 Entre os nmeros 3,87 e 3,88, qual deles mais se aproxima de dlll15 ?
36 Qual o nmero com uma casa decimal que apresenta a raiz quadrada aproximada de 265?
37 Calcule as seguintes razes quadradas aproxi-madas com uma casa decimal.
a) dlll11 c) dll8 e) 572 g) 42,55b) dll5 d) dlll10 f) 28,19 h) 12,6
sim
3,87
Vejaoutrosexemplos.
a)Calculararaizquadradadonmero58comduascasasdecimais. 7 a raiz quadrada
aproximada de 58.Ento: 7 , dlll58 , 872549(menorque58)82564(maiorque58)
(7,1)2550,41(menorque58) (7,2)2551,84(menorque58) (7,5)2556,25(menorque58) 7,6 a raiz quadrada aproximada
com uma casa decimal do nmero 58.Ento: 7,6 , dlll58 , 7,7(7,6)2557,76(menorque58)(7,7)2559,29(maiorque58)
Ento: 7,61 , dlll58 , 7,62
(7,61)2557,9121(menorque58)(7,62)2558,0644(maiorque58)
Ento,araizquadradade58comduascasasdecimais7,61.Escrevemosdlll5877,61
b)Calculararaizquadradadonmero7,2comumacasadecimal. Onmero7,2estcompreendidoentreosquadradosperfeitos4e9.Ento:
dll4 ,dllll7,2,dll9, ouseja,2, dllll7,2,3
Araizquadradade7,2umnmerocompreendidoentre2e3. Vamoscomeartestando2,5.
(2,5)256,25(menorque7,2)
Ento: 2,6 , dlll7,2 , 2,7(2,6)256,76(menorque7,2)(2,7)257,29(maiorque7,2)
Logo,araizquadradadonmero7,2comumacasadecimal2,6.Escrevemosdllll7,272,6.
CC Vimosquedll271,41.Geometricamente,issosignificaqueumquadradocom2cm2dereatem ladosdemedida1,41cm,aproximadamente,pois(1,41)272.
OBSERVAO
PROPOSTOSExerccios
16,2
2,2
3,3
3,1
2,8
5,3
23,9
3,5
6,5
6,9
9,52
4,3
211,8
5
1,41 cm
1,41 cm
2 cm2
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Dessamaneira,conclumosqueexistemnmerosquenosorepresentadosnemnaformadecimalexata(comumnmerofinitodecasasdecimais)nemporumadzimaperidica.Portanto,nopodemserrepresentadosporfraese,consequentemente,nosonmerosracionais.Essesnmerossochamadosdenmeros irracionais.
Todososnmerosirracionaiscomtodososnmerosracionaisformamumnovoconjuntochamadodeconjunto dos nmeros reais,querepresentadoporV.
4 OsnmerosirracionaiseosnmerosreaisConsidereonmero:0,101112
Observandoaformaodessenmero,vamossuporquepodemosdarcontinuidadesuapartedecimal:0,10111213;0,1011121314;eassimpordiante.
Arepresentaodecimaldessenmeroteminfinitascasasdecimaisenoperidica;portanto,essenmeronopodeserescritocomofrao.Logo,elenoracional.
Vejaesteoutronmero:0,52552555255552...
Considereagoraarepresentaodecimaldosnmerosdll2edll3comsetecasasdecimais:
dll2 71,4142135 e dll371,7320508
Pormaiorquesejaonmerodecasasdecimaisquequeiramosdaraessesnmeros,nuncaencontraremosparaelesumarepresentaodecimalexataouperidicae,portanto,noen-contraremosfraesqueosrepresentem.Emvistadisso,dizemosquedll2edll3sonmerosirracionais.Tambmirracionaltodaraizquadradadeumnmeroracionalpositivoquenosejaquadradoperfeito.
Comoexemplodenmerosirracionaistemos:
dll5 dll6 dll8 dlll10
Arepresentaodessenmerotambmnodecimalexatanemperidica;portanto,essenmeronopodeserexpressoporumafrao.Logo,noumnmeroracional.
0,52552555255552555552...
Imaginandoqueessepadrocontinua,vamosacrescentarmaisseisalgarismossuapartedecimal:
um cinco
dois cincos
trs cincos
quatro cincos
cinco cincos
Logo,todonmeroracionalouirracionalumnmeroreal.
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Otraadoobtidopelojardineiroumacircunferncia.Emseguida,comumaenxada,elefezumsulcosobreacircunferncia.Desejandosaberocomprimentodessacircunferncia,elecolocouumatrenaacompanhando
osulco.
Adistnciaentreasduashasteserade3m. Issoquerdizerqueelehaviatraadoumacircunfernciade3mderaio,ouseja,de6mdedimetro.
Comodecostume,porcuriosidadeLusdividiuocomprimentodacircunfernciapelamedidadodimetro(18,8446).Oresultadofoioqueelejesperava:3,14(aproximadamente).
SemprequeLusfazessadivisoeleobtmaproximadamente3,14,independentementedodimetrodacircunferncia.
Naverdade,osmatemticosjprovaramquearazoentreocomprimentodacircunfernciaeamedidadeseudimetroumnmero(prximode3,14)que,naformadecimal,apresentainfinitascasasnoperidicas.Ouseja,umnmeroirracional.
Oavanodatecnologianareadainformticatemvalidado,naprtica,oqueateoriamos-tra:jpossvelexpressaressenmerocommilhesdecasasdecimais,eessarepresentaonoapresentanenhumperodo,poissetratadeumnmeroirracional.
OnmeroirracionalsConsidereaseguintesituao.Paratraarocanteirodeazaleiasdeumapraa,Lus,ojardineiro,usouumacordapresaa
duashastesdemadeira,umaemcadaponta.Fincandoumadashastesnochoemantendoacordaesticada,riscouaterracomaoutra
haste,dandoumavoltacompleta.
Assim,eleverificouqueacircunfernciamedia,aproximadamente,18,84m.
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40 Dados os nmeros dll2 , 2 dll3 , 2 dll4 , 3 dlll27 , dlll 25 ___ 4 , dll
1 __
8 e 4 dlll256 , diga quais so:
a) os nmeros inteiros; b) os nmeros racionais; c) os nmeros irracionais.
41 Calcule o valor das expresses considerando s 5 3,14.
a) 3s b) s 1 4,31 c) s __
5 d)
3 __
4 s e) 2,4s f)
0,5 3 s ______
3
42 Uma roda de bicicleta tem raio de 40 cm. Calcule o comprimento da circunferncia dessa roda consi-derando s 5 3,14.
43 Uma pista circular tem 8 m de largura. O comprimento de sua margem interna 1.570 m.
PROPOSTOSExerccios
9,42 7,45 0,628 2,355
2 dll4 , 3 dlll27 e 4 dllll256
40b) 2 dll4 , 3 dlll27 , dlll 25 ___ 4 e 4 dllll256
dll2 , 2 dll3 e dll 1 __ 8
7,536 0,52 _ 3
251,20 cm
8 m
A
B
Determine o comprimento de sua margem externa considerando s 5 3,14.
44 Marina e Paula esto na posio A de uma praa circular de 50 m de raio. Elas caminham em direo posio B. Marina caminha segundo o traado preto, e Paula, segundo o traado vermelho.
a) Quantos metros Marina andou?b) Quantos metros Paula andou?
45 Calcule quantos centmetros tem, aproximadamente, o contorno da fi gura abaixo. (Mea os dimetros com uma rgua.)
1.620,24 m
157 m
157 m
25,7 cm
Essenmeroirracional,querepresentaarazoentreocomprimentodeumacircunfernciaeamedidadeseudimetro,representadopelaletragregas(lemos:pi).
Assim,podemosescrever:
comprimentodacircunferncia
_____________________________medidadodimetro
5s
Veja a representao decimal desse nmero com suas primeiras 8 casas decimais:3,14159265...
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Comosabemos,nopossvelrepresentartodoseles,poisentredoisnmerosracionaisexisteumainfinidadedeoutrosnmerosracionais.Mesmoqueissofossepossvel,ospontosquerepresentariamessesnmerosnoseriamsuficientesparacobrirtodaaretanumrica.Faltariamaindaospontoscorrespondentesaosnmerosirracionaisparacompletarareta.
Arepresentaodetodososnmerosracionaiseirracionais,isto,dosnmeros reais,preenchecompletamentea retanumrica.Aessa retachamamosderetareal.
Vamosrepresentarnaretarealonmeroirracionaldll2.Jvimosquedll2umnmeroqueestentre1,4e1,5;logo,sualocalizaoaproximada
naretareal:
Assim,sabendoaaproximaodecimaldeumaraizquadradanoexata,podemosdeter-minarsuaposioaproximadanaretareal.
OteoremadePitgorasearetarealOteoremaqueestudaremosaseguirvainosajudaradeterminar
aposioexatadedll2edeoutrosnmerosirracionaisnaretareal.Vocjsabequeotringulo retnguloumtringuloquetem
umngulointernoreto.Omaiorladodessetringulochamadodehipotenusa,eosdemais,decatetos.
cateto
hipotenusa
cateto
47 Represente em uma mesma reta real os n-meros: a) 22 c) 2 dlll10 e) 0,
__ 5
b) 2 3 __
2 d) 0,25 f) 22 ___
9
46 Represente em uma mesma reta real os n-meros:
a) 3 c) dlll10 e) 10 ___
3
b) 4 d) dlll17
PROPOSTOSExerccios
2 1 21,51,4
10
2
2 3 4 5
10 17103
3 2 1 00,25 0,5
1
29
32
10 _
5 AretarealJvimoscomorepresentarnmerosinteirosemumareta:
Tambmjvimoscomorepresentarnmerosracionaisemumareta.Porexemplo:
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4
0,51 0 1 1,518 1
4 1
2
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Issosignificaqueareadoquadradoformadosobreahipotenusaigualsomadasreasdosquadradosconstrudossobreoscatetos.
Essarelao,chamadadeteorema de Pitgoras,valeparaqualquertringuloretnguloeserusadaparadeterminaraposiodealgunsnmerosirra-cionaisnaretareal.
a
b
c
Ostringulos retngulos tmumapropriedademuitoespecial: com regiesquadradasconstrudassobreoscatetos,semprepossvelconstruirumaregioquadradasobreahipo-tenusa.Vamosverificarexperimentalmenteessefato.
Naprimeirafiguraabaixo,temosumquadradosobrecadaumdoscatetos(regioroxaeregioverde).Vamosdecomporessesquadradosdemodoconvenienteparaformarumqua-dradosobreahipotenusa.
rea de cada quadrado construdo sobre os catetos.
rea do quadrado construdo sobre a hipotenusa.
a2 5 b2 1 c2
Ento, indicandoporc eb asmedidasdosca-tetosepora amedidadahipotenusa, podemosescrever:
2
1
3
4
5
1
2 3
54
2
1
3
4
5
1
2 3
54
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48 Que nmero irracional est representado em cada reta pela letra m?a)
0 1 32
3
m 01
1
m
0 1 32
3
m 01
1
m
a25b21c2
a2582112
a256411a2565a5 dlll65
Vejaoutroexemplo:paraobterdlll65,construmosumtringuloretngulodecatetosme-dindo1e8.
b) dlll13 2 dll2
PROPOSTOSExerccios
49 Construa com rgua e compasso um tringulo retngulo com um cateto de 2 unidades de comprimento, sobre uma reta numrica, e outro cateto de 1 unidade de comprimento. Determine a medida da hipotenusa desse tringulo e localize na reta numrica o nmero que expressa a medida da hipotenusa desse tringulo.
Ovalorprocuradoumnmeropositivoqueelevadoaoquadradoresultaem2.Essen-merodll2.Logo,a5dll2.
Ento,pararepresentardll2nareta,bastacontruirumtringuloretngulodecatetosme-dindo1unidadeetransferiramedidadahipotenusaparaareta.Veja.
ComcentroemOeabertu-raOB,marcamosopontoC.
PorA, traamos ___BAt r,
talqueBA51.UnimosOcomBeobtemosOB5dll2.
1
1
O A r r r
B
1
1
O A A
B
1
1
O
B
C
2
2
2
Porexemplo,sequisermosrepresentardll2naretareal,construmosumtringuloretngulocomahipotenusamedindodll2.Observe.
1
1a
a25b21c2
a2512112
a25111a252
1
1
O A r r r
B
1
1
O A A
B
1
1
O
B
C
2
2
2
1
1
O A r r r
B
1
1
O A A
B
1
1
O
B
C
2
2
2
dll5
1
8
a
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Atividade
Do 2o para o 3o bimestre.
Observequecadapontomarcadoindicaovalorgastoemdeterminadoms.Ospontosobtidosestoligadosporsegmentosderetaapenasparafacilitaravisuali-
zao,poisnoexistemoutrosmesesentreosmarcados.Observequeessessegmentosforamconstrudosrespeitandoaordemdosmeses.
Interpretandoogrfico,podemoschegarsseguintesconcluses: omsemqueEnricoteveomenorgastofoijulho; Enricogastoumaisnacantinaemabril; oconsumodeEnriconofoisemprecrescentenemdecrescente;eleoscilou.
1. A tabela ao lado mostra as notas de Matemtica que Maria obteve ao longo do ano.
a) Construa um grfico de linha com esses dados.b) Qual foi a maior e a menor nota obtida por ela?c) possvel afirmar que nesse perodo ela s me-
lhorou suas notas de Matemtica?d) Em qual perodo ela teve maior aumento da nota?
Bimestre Nota de Matemtica
1o 8,0
2o 8,5
3o 9,5
4o 9,0
9,5; 8,0
c) No, pois no ltimo bimestre a sua nota diminuiu.
Construindoeinterpretandoumgrficodelinha
TraTamenTodainformao
Gastos na cantina
Ms Valor gasto
Fevereiro R$15,00
Maro R$25,00
Abril R$45,00
Maio R$30,00
Junho R$35,00
Julho R$0,00
Enricosvezeslevalanchedesuacasaparaaes-colaesvezescompranacantina.Todofinaldemselepagaovalorquegastouduranteoms.VejanatabelaaoladoosgastosdeEnricoemalgunsmesesdoanopassado.
Parafacilitaravisualizaodeseusgastos,En-ricoresolveufazerumgrfico de linhacomessesdados. Esse tipodegrficomostraa variaodeumacontecimentodurantecertoperododetempo.Veja.
Gastos na cantina
MsMaroFevereiro Abril Maio Junho Julho
45
15
25
3530
0
Valor (em R$)
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015
a
120 m
100 m
B C (casa de Eduardo)
A (casa de Ricardo)
66 Represente na reta real os nmeros dlll29 e 2 dll5 .
67 Ricardo vai todos os dias visitar seu neto Eduardo. Ele pode ir de duas maneiras diferentes. Quantos metros ele anda quando escolhe o caminho mais curto? E quando escolhe o mais longo?
68 Uma costureira recebeu uma encomenda de uma toalha quadrada de 8 m2 de rea. Calcule a medida do lado dessa toalha com duas casas decimais.
aproximadamente156,2 m; 220 m
2,82 m
50 Quais sentenas so verdadeiras e quais so falsas?
a) Todo nmero inteiro natural.b) Todo nmero racional inteiro.c) Todo nmero racional real.d) Todo nmero irracional real.
51 Represente os seguintes nmeros na forma decimal.
a) 5 __
4 b)
5 __
3 c)
5 __
6 d) dlll 4 ___ 25
52 Represente com uma frao irredutvel.a) 0,45 c) 0,45555... b) 0,454545... d) dlllll12,25
53 Considere A 5 2 __ 3 2 1,
__ 4 e B 5 0,7 2 0,777...
Determine A 4 B.
54 Dadas as dzimas peridicas 2,555 e 0,222, determine:
a) a soma delas, escrevendo o resultado na forma abreviada;
b) a subtrao delas, escrevendo o resultado na forma abreviada;
c) as fraes geratrizes delas;d) o produto delas, escrevendo o resultado na
forma de frao.
55 Decomponha os seguintes nmeros em fatores primos e, depois, classifi que-os como quadra-dos perfeitos ou no quadrados perfeitos.
a) 256 b) 300 c)900 d) 450
56 Justifi que por que dllll4,84 5 2,2.
57 Sendo x 5 28 3 52, calcule a raiz quadrada de x.
58 Qual o menor nmero pelo qual devemos multiplicar 25 3 34 3 53 3 7 para obtermos um nmero natural que seja quadrado perfeito?
59 Sendo A 5 33 3 5 3 7 e B 5 3 3 5 3 7, calcule a raiz quadrada de A 3 B.
60 Um terreno tem a forma de um quadrado e sua rea igual a 231,04 m2. Calcule o permetro desse terreno.
61 Quais so as sentenas falsas?a) dlll30 5 5,47 c) dllllll0,0961 5 0,31b) dlll30 7 5,47 d) dllllll0,0961 7 0,31
62 Entre os nmeros 2s, 5s ___ 3 ,
5s ___ s e
5 ___
3s , quais so
irracionais?
63 Os catetos de um tringulo retngulo medem 12 cm e 5 cm.
a) Calcule a medida da hipotenusa.b) Essa medida um nmero racional ou irra-
cional?
64 Os catetos de um tringulo retngulo medem 6 cm e 2 cm.
a) Calcule a medida da hipotenusa.b) Essa medida um nmero racional ou irra-
cional?c) Determine a aproximao dessa medida da
hipotenusa com uma casa decimal.
65 Que nmero irracional est representado na reta pela letra a?
F
F
V
V
1,25
9 ___ 20
5 __ 11 7 __
2
41 ___ 90
1, __ 6 0,8
__ 3 0,4
10
2, __ 7
2, __ 3
23 ___ 9 ; 2 __ 9
46 ___ 81
(2,2)2 5 4,84
80
70
315
60,8 m
COMPLEMENTARESExerccios
55 a) 28; quadrado perfeitob) 22 3 3 3 52; no quadrado perfeitoc) 22 3 32 3 52; quadrado perfeitod) 2 3 32 3 52; no quadrado perfeito
racional
13 cm
dlll40 cm
irracional
6,3 cm
dlll26
F
V F
V
2s, 5s ___ 3 e 5 ___
3s
CAPTULO 1 nmeros reais36
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69 A fi gura ao lado representa um terreno dividido em dois lotes. O lote da esquerda tem a forma de um qua-drado e sua rea 497,29 m2. Calcule a rea do loteda direita.
30 m
669 m2
O nmero representado pela letra a na reta real :
a) dlll18 b) dlll17 c) dlll15 d) dlll20
86 (PUC-RJ) O valor de dllllll1,777... ________
dllllll0,111... :
a) 4,444... c) 4,777... e) 4 __
3
b) 4 d) 3
X
X
81 (Ufac) O valor da expresso numrica
2 2 1 __ 2 4 4 2 60 1 [5 1 (22 4 0,333...)] :a) 23 c) 210 e) 0,113
b) 2 113 ____
8 d) 0,25
82 (PUC-RJ) O valor de dlllll2,777 ... :a) 1,2 d) um nmero entre
1 __
2 e 1
b) 1,666... e) 3,49c) 1,5
83 O valor da expresso @2, __ 5 2 2 __ 9 # 4 @1,4 2 7 ___ 18 # :a)
46 ___
91 b)
41 ___
91 c)
30 ___
13 d)
637 ____
54
84 Se a e b forem nmeros inteiros, ento ver-dade que:
a) a 1 b um nmero natural.b) a 2 b um nmero inteiro.c) a 4 b um nmero irracional.d) a 3 b um nmero negativo.
85 Veja a fi gura.
X
X
X
X
0 3
3
a
70 Qual dos nmeros um quadrado perfeito?a) 200 b) 250 c) 300 d) 400
71 Qual dos seguintes nmeros quadrado perfeito?a) 26 3 32 b) 25 3 32 c) 26 3 33 d) 25 3 33
72 Qual dos seguintes nmeros mais se aproxima da raiz quadrada de 75?
a) 8,4 b) 8,5 c) 8,6 d) 8,7
73 Se A 5 23 3 32 3 5 e B 5 2 3 5, ento a raiz quadrada de A 3 B :
a) 10 b) 40 c) 60 d) 120
74 A raiz quadrada do nmero A 5 24 3 34 3 52 :a) 30 b) 60 c)90 d) 180
75 A raiz quadrada do nmero A 5 2x 3 32 3 72 42. Ento, o valor de x :
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
76 (Unirio-RJ) O valor de
dlllllllllllllllllll15 2 dllllllllllllll32 1 dllllllll25 2 dlll81 :a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5
77 Uma tela tem 2,8 m por 0,7 m. Sua rea igual de outra tela quadrada. O lado dessa tela mede:
a) 1,96 m c) 2,8 mb) 1,4 m d) 4,96 m
78 No sculo XXI, o primeiro ano quadrado per-feito :
a) 2004 b) 2009 c) 2016 d) 2025
79 Qual dos nmeros racional?a) dlll11 b) 1,111... c) dlll32 d) s
80 Se x 5 1,333 e y 5 0,1666, ento x 1 y igual a:
a) 5 __
7 b)
68 ___
45 c)
13 ___
9 d)
4 __
3 e)
3 __
2
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
TESTES
CAPTULO 1 nmeros reais 37
Rep
rodu
o proibida
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Jogo:EnfileirandoNmero de participantes:2a4jogadoresMaterial: 20cartescomosnmeros:0,2,6,7,9,28,27,24,23,21,
1__
2, 1__
3, 2__
3, 7__
8, 3__
8,dll1,dll2,
dll3,dlll16,dlll25. 4cartasdeao:umadeordemcrescente;umadeordemdecrescente;uma
deadiodosnmeros;eumademultiplicaodosnmeros. Doissaquinhosnotransparentes:umparaguardaroscartesnumeradoseoutro
paraguardarascartasdeao. Papelelpispararesolverasoperaes.Regras: Cadajogadorpegacincocartesnumeradosdosaquinho,semolharosnmeros. Depois,umdosjogadorestiraumacartadeaoecolocaemcimadamesapara
quetodosavejamefaamoqueelaindica.Porexemplo,sesairacartaordemcrescente, cada jogador deve colocar emordemcrescenteos cartesque
pegou.Suponhaqueumdosjogadorestenhaosnmeros2,23,dll2, 1__
2e9;eledeve
colocaroscartesnestadisposio:23,1__
2,dll2,2e9.Anota-seonomedequem
terminouatarefaemprimeirolugareretira-seoutracarta. Paraosclculoscomdll2edll3,osjogadoresdevemusarosvaloresaproximados
1,4e1,7respectivamente.Exemplo:21(23)1dll21 1__
21959,9
Venceojogoaquelequeganharomaiornmeroderodadas,isto,queconcluiratarefaantesdosoutroscolegasmaisvezes.Casonenhumjogadorconsigaexe-cutarastarefas,reinicia-seojogo.
Agora com voc!
Diversifi candoDiversificando
1 Observe a ilustrao e responda questo. Quem ganhou esta rodada? Justifi que.
2 Formem grupos de 3 ou 4 pessoas, modifi quem uma regra do jogo e troquem com outro grupo. Depois de jogarem com a nova regra, escolham um representante para explicar a regra nova do outro grupo.
A menina, pois colocou os cinco nmeros na ordem certa, como pedia a carta de ao.
Pedir aos alunos que escrevam a nova regra de forma clara e objetiva para que o colega consiga entender, pois ele ter de explic-la para os outros no fi nal da atividade.
CAPTULO 1 nmeros reais38
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CAPTU
LO
Clculo algbrico2
OcacauoriginriodasAmricasecomelesefazumdosalimentosmaissabo-rososqueexiste:ochocolate.
Umadoceriavendebombonsdeliciososdediversossabores.UmaembalagemparapresentecustaR$4,00ecadabombom,R$1,50.
Agora, responda.
Qualseropreototaldeumacaixadepresentecom5bombons?Ecom11? RepresentandoopreototalporPeaquantidadedebombonsporx,comoseriaaexpressoquerelacionaPex?
Matemticanomundo
R$ 11.50 e R$ 20,50
P 5 1,50x 4,00
EDUARDO SANTA
LIESTRA/CID
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Situao 1 SeuJoaquim,donodeumaquitanda,colocou5masemumdospratosdeumabalanaeequilibrou-acolocandonooutropratoumpesode500gedoispesosde200g.
1 A incgnita e a varivel
Sendoassim,seDiegopescar: 1kg,devepagar,emreal:2,0014,0056,00 1,5kg,devepagar,emreal:2,0014,0031,552,0016,0058,00 2kg,devepagar,emreal2,0014,003252,0018,00510,00 eassimpordiante.NsnosabemosquantoDiegovaipescar,maspodemosdeterminaroquantoelepagarpornquilogramasdepeixepescado:2,0014,003n.Nessecaso,aletranpodeassumirovalor3ou3,2ou12,5ouqualqueroutrovalorrealpositivo.Porisso,elachamadadevarivel.OusodeletraspararepresentarnmerosreaisfazpartedeumramodaMatemticaque
trabalhacomincgnitasevariveis:algebra.
200 g500 g
200 g
Situao 2 DiegoeseuscolegasforamaumpesqueepagueondesecobramR$2,00deentradaeR$4,00porquilogramadepeixepescado.
Representandoamassadecadamaporx,temosaequao:53x5900 ou 5x5900
Noestudodasequaes, representamosumtermodesconhecidoporuma letra,quechamadadeincgnita.Naequao5x5900,aincgnitaaletraxeseuvalor180.
CAPTULO 2 ClCulo algbriCo40
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2 Expresses algbricasNestecaptulo,ampliaremosnossoestudoarespeitodasexpressesalgbricas.
Todaexpressoalgbricaqueno apresenta letras no radicandochamadadeexpresso algbrica racional.
Todaexpressoalgbricaqueapresenta letras no radicando chamadadeexpresso algbrica irracional.
Expresso algbricaaquelaquetemapenasletras,ounmeroseletras.
Vejaosexemplos.
a)Aexpressoalgbricaquerepresentaareadoretnguloabaixoab.
b
a
Vejaosexemplos.
dllx1y 2dlla2 b__
3
2__
3dllm dllllla1b22b
Vejaosseguintesexemplos.
2x225x11 2x1y_______x2y
2a1dll3________
3b
2x221_______y
2a___
3 2
2__x
xdll52y________
10
dll2m1n2_________
4
Classificao das expresses algbricas
b)Aexpressoalgbricaquerepresentaopermetrodesseretngulo2a2b.Ousodeletrasrepresentandonmerosfacilitaatraduodesentenasescritasemlin-
guagemcomumparaalinguagemmatemtica.
Vejaoutrosexemplos.
a)Oopostododobrodeumnmeroasomadocomumnmerob 22a1b
b)Adiferenaentreaterapartedeumnmeroxeoopostode5 x__32(25)
c)Oinversododobrodeumnmeroxnonulo 1___2x
CAPTULO 2 ClCulo algbriCo 41
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1 Representesimbolicamente:a)adiferenaentreonmeroxeonmeroy;b)asomadonmeromcomotriplodon-
meron;c) o quocientedonmeroa pelonmerob
(comb%0);d)asomadosquadradosdosnmerosres;e)adiferenaentreosquadradosdosnmeros
ced;f) oquadradodadiferenadosnmerosc
ed;g)araizquadradadonmeroa(coma>0);h)oquadradodonmerozmenosoquntuplo
donmerow;i) ocubodonmeroy;j) aquartapotnciadaquintapartedon-
merox.
2 Quaisexpressessoirracionaisequaissoracionais?
a)2x23 f) 3x225x13
b)2dllx23 g)5a13dllb
c) dll512x________
3 h)
a1b_____
3a2b
d)x2y_____
3 i)
29___y
e)2dllla3b15ab
3 Classifiqueemirracionais,racionaisinteirasouracionaisfracionriasasexpressesaseguir.
a)3x222x g) 2_____
a2b
b)3dllx15x h)5dlllab322ab
c) 5x23y_______
x1y i) a222ab1b2
d)5x23y_______
4 j)
c3i3t______
100
e) dll33x15x k) dlllxy____
2 23x2y
f) b3h____
2 l)
4ab2____
5 2
3a2b____
4
4 Emumadiviso,odivisorx,oquocienteyeorestoomaiorpossvel.Qualaexpressododividendo?
5 Onmero574decompostoemcentenas,de-zenaseunidadespodeserescritodaseguintemaneira:
531021731014
Agora, considere um nmero qualquer dequatroalgarismos:abcd
a)Determineaordemdecadaalgarismodessenmero.
b)Decomponhaonmeroabcdsegundoasordensdeseusalgarismos.
irracionais: b, h, k; racionais inteiras: a, d, e, f, i, j, l; racionais fracionrias: c, g
x 2 y
m 3n
r 2 s 2
c2 2 d2
z2 2 5w
y3
(c 2 d)2
irracionais: b, e, g; racionais: a, c, d, f, h, i
xy x 2 1
a 3 103 b 3 102 c 3 10 d5a) a p algarismo das unidades de milhar c p algarismo das dezenas
b p algarismo das centenas d p algarismo das unidades
a __ b
Expresses algbricas racionais fracionriassoaquelasqueapresentamletrasnodenominador.
Observeosexemplos.
2x1y_______x2y 2
2__x
2x221_______y
2a1dll3________
3b
PROPOSTOSExerccios
dlla
@ x __ 5 # 4
Asexpressesalgbricasracionaispodemserinteirasoufracionrias.
Observeosexemplos.
2x225x11 2a___
3
xdll52y________
10
dll2m1n2_________
4
Expresses algbricas racionais inteirassoaquelasquenoapresentamletrasnodenominador.
CAPTULO 2 ClCulo algbriCo42
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Valor numrico de uma expresso algbrica
Exemplo 1 Calcularovalornumricodaexpresso2x23yparax55ey5 22.
2x23y5523(5)233(22)5 Substitumos x por 5 e y por 22.51016516 Efetuamos as operaes indicadas.
Dizemosque16ovalornumricodaexpressoalgbrica2x23yparax55ey5 22.
Exemplo 2
Calcularovalornumricodaexpressoa22b2paraa5 1__
2eb5
2__
3.
a22b25 @1__2#2
2 @2__3#2
5 1__
42
4__
95
9216_______
36 52
7___
36
Portanto,ovalornumricodaexpressoalgbricaa22b2,paraa5 1__
2eb5
2__
3,2
7___
36.
Exemplo 3
Calcularovalornumricodaexpresso3x225x_________
x13 parax54.
3x225x_________
x13 5
33(4)2253(4)______________
(4)13 5
3316220___________
7 5
48220________
7 5
28___
7 5 4
Portanto,ovalornumricodaexpressoalgbrica3x225x_________
x13 ,parax54,4.
Umaexpressoalgbricaracional fracionrianopossuivalornumricorealquandoosvaloresatribudossvariveisanulamodenominador.Vejaosexemplos.
a)Aexpresso2__anopossui valornumrico realquandoa5 0, poisessevaloranula
odenominador.
b)Aexpresso x12______x13
nopossuivalornumricorealquandox523,poisessevaloranula
odenominador.Obtemosovalordavarivelparaoqualaexpressonopossuivalornumricorealigua-landoodenominadorazeroeresolvendoaequaoencontrada.
Vamosrecordaroclculodovalornumricodeumaexpres-soalgbrica.Paraisso,considereaseguintesituao.
Emumestacionamentohxmotoseycarros.Aexpressoquerepresentaonmerototalderodas2x14y.
Seforem12motose15carros,onmerototalderodasser:23(12)143(15)524160584.
Dizemos,ento,queovalornumricodaexpressoalg-brica2x14y,parax512ey515,84.
Observeestesoutrosexemplos.
CAPTULO 2 ClCulo algbriCo 43
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6 Calcule o valor numrico das expresses:
a) 2a 1 3b, para a 5 2 1 __
2 e b 5
2 __
3 d) 23x 2 1 2x 2 4, para x 5 2
4 __
3
b) x 2 1 2x, para x 5 25 e) 3xy _______
x 1 dll y , para x 5 22 e y 5 16
c) x 1 y _____ x 2 y , para x 5 4 e y 5 2 f) 2b 1
dlllllll b2 24ac , para a 5 2, b 5 210 e c 5 12
7 Dada a expresso 3x 2 2 5x 1 8, calcule o valor numrico para:a) x 5 6 b) x 5 24 c) x 5
2 __
3 d) x 5 2
3 __
2
8 Se zero o valor numrico da expresso x 2 2 y, determine os valores inteiros que x e y podem assumir.
9 Considere a fi gura ao lado. Ela formada por quadrados idnticos.a) Encontre a expresso que representa o permetro dessa fi gura.b) Ache o valor numrico da expresso do permetro para a 5 3,6.c) Encontre a expresso que representa a rea da fi gura.d) Determine o valor numrico da expresso da rea para a 5 5.
10 Para que valores de a as seguintes expresses no possuem valor numrico real?
a) 2a 1 3b _______ a b)
x 2 4 _____
a 1 5 c)
a 2 1 _____
5a d)
a 1 3b _______
2a 2 4
11 Que relao deve existir entre a e b para que as seguintes expresses no possuam valor numrico real?
a) a 2 1 _____
a 2 b b)
x 1 5 ______
2a 2 b c)
3x _______
2a 1 3b
a
Exemplo 1
Com que valor de x a expresso 3x 2 1 _______
2x 2 5 no possui valor numrico real?
A expresso no possui valor numrico real quando o denominador for igual a zero, ou seja, quando 2x 2 5 5 0.
Resolvendo a equao, obtemos x 5 5 __
2 .
Logo, o valor de x que anula o denominador da expresso dada 5 __
2 .
Exemplo 2
Que relao deve existir entre x e y para que a expresso 3x 1 2y ________
x 2 2y no possua valor
numrico real? A expresso no possui valor numrico real quando o denominador for nulo, ou seja, quando x 2 2y 5 0. Assim, temos x 5 2y.Portanto, a relao procurada x 5 2y.
Veja os exemplos.
1
15
3
86 76 6
H in nitas possibilidades. Respostas possveis: x 5 0 e y 5 0; x 5 21 e y 5 1; x 5 2 e y 5 4.
89 ___ 4
PROPOSTOSExerccios
212
248
12
14a
50,4
10a2
250
a 5 0 a 5 25 a 5 0 a 5 2
a 5 b 2a 5 b 2a 5 23b
CAPTULO 2 CLCULO ALGBRICO44
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a) Indicandoporxonmerodequilmetrosrodados,qualexpressorepresentaopreocobradoporele?
b)QuantoJosdevecobrarporumservioemquerodou6quilmetros? 34
10 4x
490 cm3
Paracalcularoconsumomensaldeenergiaeltrica(emkWh),pode-seaplicarafrmula:
consumo5potncia3horasdeusopordia3diasdeusoporms
_____________________________________________1.000
Utilizandoessafrmula,calculeoconsumodeenergiaeltrica,relativoa30dias,de:
a)umalmpadade100Wqueficaacesa3horaspordia;b)umchuveirode4.000Wqueutilizado1horapordia.
JACek/kino
1 kW = 1.000 W
Figura 1: situao inicial
Figura 2: garrafa em contato com gelo
VibRAnt im
Age Studio/ShutteRSto
Ck
9 kWh
120 kWh
Umrelgioregistraoconsumodeenergiaeltricadeumaresidnciaemquilowatt-hora(kWh).
Nas lmpadas e aparelhos eltricos, vem indicado,entreoutrasinformaes,oquantodeenergiaeltricaconsumidoemcadaunidadedetempo,chamadadepotnciaeexpressaemwatt(W).
Pense mais um pouco...
Medidordeconsumodeenergiaeltrica.
12 Asmedidasdotringulodecarroabaixosodadasemcentmetro.
10 x + 16 10
x + 13x + 30
a)Determine a expressoque representa areavermelhadotringulo.
b)Calculeovalornumricodessaexpressoparax510cm.
13 Em1787,ocientistafrancsJacquesCharlesobservou que os gases se dilatam quandoaquecidosesecontraemquandoresfriados.
621 cm2
37x 1 872 _________ 2
AfrmulaV55__
33T1455relacionaovolumeV
de certo gs (em cm3) e sua temperaturaT(emwC).Calculeovolumedessegsa21wC.
14 Josfazpequenosfretesurbanoscomsuape-ruavan,cobrandoumataxainicialdeR$10,00emaisR$4,00porquilmetrorodado.
CAPTULO 2 ClCulo algbriCo 45
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a)Vtor possui ametade da quantidade deselosqueJoopossui.
b)RicardopossuiodobrodaquantidadedeselosdeJoo.
c)Gabrielpossui2__
3daquantidadedeselosde
Joo.
18 UmpintordeparedescobraR$15,00pormetroquadradodepintura.Franciscoquercalcularquantovai gastar parapintar asparedesdacasadele.Paraisso,decidiuusarummonmio,indicandoareadasparedespory(emm2).QuemonmioFranciscousouparafazeresseregistro?
3 Os monmios
15 Expliqueporqueasseguintesexpressesnosomonmios.
a)2x15 b)2a__b c) 4dlll5x
16 Docoeficientedestesmonmios.
a)22xy c)x e) xy2___
5
b)3__
5a d)2y f) 2
a__
3
17 Joocolecionadordeselos.IndicandoporxaquantidadedeselosqueJoopossui,repre-senteporummonmioaquantidadedeselosdecadacolecionadoraseguir.
15 a) Porque tem a operao de adio.b) Porque tem letra no denominador.c) Porque tem letra no radicando.
22 1
3 __ 5
x __ 2
2 __ 3 x
1 __ 5
2 1 __ 3 21
2x
Vejaosexemplos.
x 2 2a___
3 dll33b2
3__
5x
Emummonmio,distinguimosocoe ciente(partenumrica)eaparte literal(partecomletras).
Observe,natabelaabaixo,algunsmonmios,oscoeficienteseaspartesliteraisdessesmonmios.
Asexpressesalgbricasracionaisinteirasrepresentadasporumnicoprodutosochamadasdemonmios(outermos algbricos).Ummonmiorepresentaumprodutodenmerosreais.
Monmio Coe ciente Parte literal
5x3y2 5 x3y2
22__
7ab3m 2
2__
7 ab3m
dll2x dll2 x
ab5 1 ab5
CC Todonmerorealnonuloummonmiosemparteliteral.
Exemplos:5;210;5__
6;0,51;dll3
CC Onmerorealzerochamadodemonmio nulo.
OBSERVAES
PROPOSTOSExerccios
15y
CAPTULO 2 ClCulo algbriCo46
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x5x
b
h
x
3x2x
2x
2x
figura1 figura2
figura3
10x bh
5 __ 2 x2
20 Indicandopor x amedida do ladode cadaquadradinhoque formaafigura abaixo,de-termine:
a)omonmioquerepresentaopermetrodoretnguloABCD;
b)o valor numrico desse permetro parax51,2;
c) omonmio que representa a rea desseretngulo;
d)ovalornumricodessareaparax54,5.A B
CD
24x
28,8
708,75
35x2
19 Determineomonmioquerepresentaoper-metrodafigura1,areadafigura2eareadafigura3.
Grau de um monmioOgraudosmonmioscujoscoeficientesnosonulosindicadopelasoma dos expoentes
daparteliteral.Vejaosexemplos.
a)4x2y3 b)2__3ab2
expoentedavarivelx:221355
expoentedavarivela:111253
expoentedavarively:3 expoentedavarivelb:2
4x 2y3ummonmiodo5ograu. 2__
3ab2ummonmiodo3ograu.
CC Ummonmioformadoapenasporumnmerorealnonulo(semparteliteral)temgrau zero.
Exemplo:5ummonmiodegrauzero.
CC Nosedefinegrauparaomonmionulo.
OBSERVAES
x
5x
b
h
x
3x2x
2x
2x
x
5x
b
h
x
3x2x
2x
2x
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
aa a
a
a
a
a
a
tringulo quadrado pentgono hexgono
Monmios semelhantesConsidereospolgonosabaixo.
CAPTULO 2 ClCulo algbriCo 47
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21 Dograudosseguintesmonmios.a)3xy e)12x i) 2a6
b)22x2y5 f) 15 j) 23__
4
c) 10xy3 g)27a2b3c
d)3__
5x2y h)
3a___
7
22 Quais itens apresentammonmios seme-lhantes?a)4xe27x g)7x2ye9xy2
b)5ab,3abe2ab h)abe3ab
c) a__
3e5a i)
x2__
4,22x2e
2x2___
3
d)2ae2b j) 2abe5ab2
e)8a2e25a k)12xye221xyf) 8e23 l) 26,22e10
23 Observeoquadradoaolado.
3x
a)Escrevaummonmiopara representaropermetroeoutropararepresentarareadessequadrado.
b)Determineograudecadaumdessesmo-nmios.
c)Essesmonmiossosemelhantes?Justifique.
24 Observeestespolgonos.
Notequeosmonmios3a,4a,5ae6atmamesmaparteliteral.Dizemos,ento,queelessomonmios semelhantesoutermos semelhantes.Vejaoutrosexemplos.
a)Osmonmios9a2xe22a2xtmamesmaparteliterala2x.Portanto,so termos seme-lhantes.
b)Osmonmios21__4y,0,5ye23ytmamesmaparteliteraly.Logo,so termos semelhantes.
c)Osmonmios12a2ce2ac2notmamesmaparteliteral(a2c%ac2).Logo,no so termos semelhantes.
d)3edll2sodoisnmerosreaisnonulos;portanto,somonmiossemelhantes(semparteliteral).
Observequeospermetrosdessespolgonospodemserindicadospormonmios.Assim:
Polgono Tringulo Quadrado Pentgono Hexgono
Permetro 3a 4a 5a 6a
Termos semelhantesoumonmios semelhantessoaquelesquepossuemamesmaparteliteralounopossuemparteliteral(soapenasnmeros).
PROPOSTOSExerccios
a, b, c, f, h, i, k, l
a)Determine omonmio que representa opermetrodecadapolgono.
b)Essesmonmiossosemelhantes?
2
7
4
3
1
zero
6
1
6
zero
2x
5x
5x
x
4x
3x
2x
3x
4x
2x
5x
5x
x
4x
3x
2x
3x
4x
12x: 1o grau e 9x 2: 2o grau
permetro: 12x; rea: 9x 2
no, pois eles no apresentam a mesma parte literal.
sim
12x; 17x
CAPTULO 2 ClCulo algbriCo48
Rep
rodu
o proibida
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25 Quetipodeslidosoasfigurasaseguir?Escrevaomonmioquecorrespondeaovolumedessesslidos.
a)
a
a
bba
a
aa3
cubo
b)
4 Operaes com monmiosTrabalhandocomnmerosreais,vocaprendeuarealizarasoperaesdeadio,subtra-
o,multiplicao,diviso,potenciaoeradiciao.Agora, iremosrealizaressasmesmasoperaescomnmeros reais representadosporexpressesalgbricas.Chamamosesseestudodeclculo algbrico.
Iniciaremosoestudodeclculoalgbricocomasoperaesqueenvolvemmonmios.
2a2bparaleleppedo retngulo
Umaexpressoemqueaparecemapenasadiesesubtraesdemonmioschamadadeadio algbrica de monmios.
Vejaestesoutrosexemplosdeadioalgbrica.
a) (25ab)1(22ab)2(23ab)525ab22ab13ab5 24ab
b) @2 3__4x3y#2@1__3x3y#2 @2 3__2x3y#5 23__4x3y21__3x3y13__2x3y5 29x3y24x3y118x3y_____________________
12 5
5x3y_____
12
Naprtica,aadioalgbricademonmiossemelhantesobtidasomando-sealgebricamenteoscoeficienteseconservando-seaparteliteral.
Adio algbrica de monmiosConsidereafiguraaolado.Nela,areadecadaquadradinhox2.Area
dapartepintadadeazul24x2.Areadapartepintadadecinza12x2.Areadafiguratodaobtidapelasomadasreasdasduaspartes
pintadas,ouseja,pelaadiodosmonmios24x2e12x2.Veja:24x2112x2536x2
Assim,areadetodaafigura36x2.
Esseprocessodeclculotambmchamadodereduo dos monmios(ou termos)se-melhantes.
Vamosreduzirosmonmiossemelhantes.
a)22x2y13x2y25x2y524x2y b)5__
2ab22
2__
3ab21
1__
4ab25
25___
12ab2
(221325524) @5__222__311__45 302813___________12 525___12#
a
a
bba
a
a
CAPTULO 2 ClCulo algbriCo 49
Rep
rodu
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32 Reduzaosmonmiossemelhantes.a)24xy16xy25xyb)5a317a329a313a3
c)23x25x12x2x14x
d)3__
2x21
2__
3x22
7__
6x2
e)21__
8x2
3__
8x1
1__
2x
f )2a22 7__
2a22
3__
4a2
33 Observeestafigura.
Indicandoadistnciadomeninoatarvorepory,determine:
a)omonmioquerepresentaadistnciaentrearvoreeaportadacasa,sabendoqueessadistnciaodobrodadistnciadomeninoatarvore;
b)omonmioquerepresentaadistnciaen-treaportadacasaeocachorro,sabendo
que essa distncia 2__
3 da distncia do
meninoatarvore;c) omonmioquerepresentaadistnciado
meninoatocachorro;d)adistnciadomeninoatacasa,seyfor
iguala6,24metros.
34 Duranteumcampeonatodefutebol,promo-vidoemumaescola,otimedo8oanoganhouxpartidas,perdeu(x22)partidaseempatou
x__2partidas.
a)Determine a expresso algbrica que re-presenta o nmero de partidas que essetimejogou.Essaexpressoummonmio?Porqu?
b)Sabendoqueparacadavitriao timedo8oanoganha3pontos,paracadaempateganha1ponto enasderrotasnoganhanemperdepontos,qualototaldepontosdessetime?Ototaldepontosexpressoporummonmio?Porqu?
2y
26 Otringuloabaixofoimontadocom9trin-gulosmenoresdemesmotamanho.Areadecadaum0,43x2.
a)Dasomadasreasdostringulosamarelos.b)Dasomadasreasdostringulosazuis.c)Dareatotaldotringulogrande.
27 Efetue.a) (210x)1(16x)b)(0,8x2y)1(23,5x2y)
c) @22__5ab#1 @23___10ab#28 Calculeasdiferenasentreosmonmios.
a) (29ay)2(23ay)
b)(0,