ii

ÍNDICE

1. - INTRODUÇÃO..................................................................................................... 1

2. - COMPORTAMENTO DOS MATERIAIS............................................................ 2 2.1 - COMPORTAMENTO DE AÇO DE REFORÇO..............................................................................2

2.1.1 - COMPORTAMENTO A SOLICITAÇÕES MONOTÓNICAS UNIAXIAIS ..................2 2.1.1.1 - MODELO BILINEAR............................................................................................................8 2.1.1.2 - MODELO DE MANDER-PRIESTLEY-PARK ................................................................8 2.1.1.3 - MODELOS PROPOSTOS EM REGULAMENTOS......................................................10

• REBAP..........................................................................................................................................10

• EUROCÓDIGO 2 .......................................................................................................................10 2.1.2 - COMPORTAMENTO A ACÇÕES CÍCLICAS...................................................................11

2.1.2.1 - CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS ANALÍTICOS ...................................................12 2.1.2.2 - MODELO ELÁSTO-PLÁSTICO PERFEITO .................................................................12 2.1.2.3 - MODELO BILINEAR..........................................................................................................13 2.1.2.4 - MODELOS MULTILINEARES ........................................................................................13 2.1.2.5 - MODELO DE RAMBERG-OSGOOD .............................................................................14 2.1.2.6 - MODELO DE AKTAN-KARLSSON-SOZEN ...............................................................15 2.1.2.7 - MODELO DE MA-BERTERO-POPOV...........................................................................16 2.1.2.8 - MODELO DE GIUFFRÈ -MEN EGOTTO-PINTO .........................................................18 2.1.2.9 - MODELO DE FILIPPOU-BERTERO-POPOV..............................................................19

2.2 - COMPORTAMENTO DO BETÃO...................................................................................................20 2.2.1 - COMPORTAMENTO A SOLICITAÇÕES UNIAXIAIS ..................................................20

2.2.1.1 - COMPORTAMENTO À COMPRESSÃO.......................................................................20 2.2.1.2 - COMPORTAMENTO À TRACÇÃO ...............................................................................23 2.2.1.3 - COEFICIENTE DE POISSON ...........................................................................................23

2.2.2 - COMPORTAMENTO A SOLICITAÇÕES BIAXIAIS E TRIAXIAIS...........................23 2.2.2.1 - SOLICITAÇÕES BIAXIAIS ..............................................................................................23 2.2.2.2 - SOLICITAÇÕES TRIAXIAIS............................................................................................26

• CONFINAMENTO DO BETÃO POR ARMADURAS......................................................27

• MODELOS DO EUROCÓDIGO 2 [7] PARA O CONFINAMENTO DO BETÃO. ....29 2.2.3 - MODELOS PROPOSTOS EM REGULAMENTOS ...........................................................30

2.2.3.1 - COMPORTAMENTO À COMPRESSÃO.......................................................................30

• REBAP..........................................................................................................................................30

• EUROCÓDIGO 2 .......................................................................................................................31

• CÓDIGO MODELO 90.............................................................................................................32

iii

3. - COMPORTAMENTO DE SEÇÕES DE BETÃO ARMADO.............................. 34 3.1 - INTRODUÇÃO E FENÓMENOS ENVOLVIDOS .......................................................................34

• FENDILHAÇÃO DA SECÇÃO E CEDÊNCIA DAS ARMADURAS ...........................35

• DEGRADAÇÃO DA RIGIDEZ NA DESCARGA ..............................................................35

• DEGRADAÇÃO DA RIGIDEZ NA RECARGA .................................................................35

• EFEITO DE APERTO DOS DIAGRAMAS HISTERÉTICOS .........................................36

• DEGRADAÇÃO DA RESISTÊNCIA ....................................................................................38

• ENVOLVÊNCIA DOS DIAGRAMAS PELO DIAGRAMA MONOTÓNICO............38 3.2 - CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS DE COMPORTAMENTO NÃO LINEAR..................39

3.2.1 - MODELOS DE DISCRETIZAÇÃO POR PONTOS ...........................................................39 3.2.2 - MODELOS DE DISCRETIZAÇÃO POR PEÇAS ..............................................................40

3.2.2.1 - MODELOS FENOMENOLÓGICOS................................................................................40 3.2.2.2 - MODELOS FÍSICOS............................................................................................................41

3.2.3 - MODELOS DE DISCRETIZAÇÃO GLOBAL....................................................................41 3.2.4 - MODELOS DE PLASTICIDADE CONCENTRADA E DISTRIBUIDA ......................42

3.3 - MODELOS BILINEARES ..................................................................................................................44 3.4 - MODELO DE CLOUGH .....................................................................................................................45 3.5 - MODELO DE TAKEDA .....................................................................................................................45 3.6 - MODELO DE Q-HYST .......................................................................................................................49 3.7 - MODELO DAS FIBRAS.....................................................................................................................49

4 - REFERÊNCIAS......................................................................................................... 51

iv

ÍNDICE DE FIGURAS

Fig. 1 - Diagrama esquemático de um ensaio à tracção de um varão de aço.

Fig. 2 - Diagrama de um aço sem ponto de cedência bem definido (aço endurecido)

Fig. 3 - Ensaios à tracção e à compressão a varões de aço carbono [15].

Fig. 4 - Diagramas tensão-deformação de um varão de aço [1].

Fig. 5 - Diagrama tensões-extensões de um ensaio com cargas e descargas [3].

Fig. 6 - Diagrama tensão-extensão de um ensaio de cargas cíclicas [12].

Fig. 7 - Relações constitutivas bilineares.

Fig. 8 - Representação gráfica do modelo de Mander-Priestley-Park [10].

Fig. 9 - Relação constitutiva de cálculo, REBAP [37]

Fig. 10 - Relação constitutiva de cálculo para o aço de reforço, EC2[7]

Fig. 11 - Relação constitutiva típica de um aço sujeito a acções cíclicas [1].

Fig. 12 - Diagrama elásto-plástico perfeito e bilinear [1].

Fig. 13 - Modelo de Yannopoulos e Lepidas [13] (adap. de GOMES [1]).

Fig. 14 - Modelo inicialmente proposto por Ramberg-Osgood, (adap. de Proênça [3]).

Fig. 15 - Modelo de Ramberg-Osgood adaptado por Massing [1].

Fig. 16 - Diagrama monotónico utilizado no modelo [3].

Fig. 17 - Representação esquemática para o comportamento histerético [3].

Fig. 18 - Modelo de Giuffrè-Menegoto-Pinto [1].

Fig. 19 - Comportamento típico do betão quando solicitado uniaxialmente.

Fig. 20 - Diagramas de ten-são-extensão de provetes de betão solicitados axialmente com várias

taxas de defor-mação [23].

Fig. 21 - Diagrama de tensão-deformação de provetes de betão solicitados ciclicamente em

compressão [24].

Fig. 22 - Representação esquemática da envolvente do diagrama tensão-extensão.

Fig. 23 - Diagrama de resistência do betão solicitado biaxialmente [25].

Fig. 24 - Critério de rotura de Mohr [4].

Fig. 25 - Envolvente de rotura para combinação de tensões de compressão e corte [4].

Fig. 26 - Efeito das tensões triaxiais de compressão no diagrama tensão-extensão do betão, [4].

Fig. 27 - Comparação do efeito de confinamento de estribos rectangulares (fig. 26-a), o estribos

circulares/helicoidais (fig. 26-b), [4].

Fig. 28 - Efeito do espaçamento dos estribos/cintas no confinamento de betão [4].

Fig. 29 - Modelo do confinamento das cintas helicoidais.

Fig. 30 - Modelo proposto no EC2 [7] para o efeito do confinamento lateral nas relações

constitutivas do betão.

v

Fig. 31 - Diagrama parábola -rectângulo, REBAP [7]

Fig. 32 - Relação constitutiva exponencial

Fig. 33 - Relação constitutiva proposta pelo EC2 [7], para análises estruturais.

Fig. 34 - Relação constitutiva parábola -rectângulo [7].

Fig. 35 - Diagrama bilinear para dimensionamento de secções [7].

Fig. 36 - Relação constitutiva do betão proposta no MC90 [28].

Fig. 37 - Ensaios experimentais de Ma, Bertero e Popov [16]

Fig. 38 - Efeito de estreitamento dos diagramas cíclicos [1].

Fig. 39 - Ensaio com efeito de aperto em apenas um sentido de carga [3].

Fig. 40 - Modelo utilizando dois elementos em paralelo [2].

Fig. 41 - Modelo utilizando elementos em série [2].

Fig. 42 - Modelo de plasticidade distribuída – discretização da peça em fatias ao longo do seu

comprimento [2], [30].

Fig. 43 - Modelos elasto-plástico perfeito a) e elasto-plástico com endurecimento b) [1].

Fig. 44 - Modelo de Clough [1].

Fig. 45 - Modelo de Takeda [33].

Fig. 46 - Representação gráfica das regras do modelo de Takeda [1].

Fig. 47 - Modelo das fibras [1].

ÍNDICE DE QUADROS

Quadro 1 - Valores médios e característicos dos varões tipo Tempcore (Ensaios [5]

1

1. - INTRODUÇÃO

Nas últimas décadas a engenharia tem sido impulsionada pelo desenvolvimento dos

meios de cálculo. Hoje em dia é possível efectuar cálculos que anteriormente seriam

quase impossíveis. As análises não lineares são um caso típico onde a quantidade de

memória e de processamento necessários, tornou-a durante muitos anos impraticável.

Assim sendo os modelos de comportamento fisicamente não linear dos materiais, são

um assunto que se reveste de crescente importância nos cálculos actuais.

Este trabalho teve como objectivo procurar relatar os modelos existentes para simular o

comportamento dos materiais aço, betão e o material betão armado.

Procurou-se juntar um conjunto vasto de modelos, apresentando uma síntese das suas

características, bem como um conjunto de referências aos trabalhos de pesquisa que

descrevem com pormenor os modelos.

No estudo dos materiais foi dada especial atenção ao comportamento do aço, pois é

determinante para o comportamento da estrutura. Foi também abordado o

comportamento do betão sujeitos a estados de tensão compostos, como são o exemplos

de tensões principais, tensões tangenciais, bem como o efeito do confinamento no betão.

Nos modelos de comportamento de secções de betão armado é apresentado uma breve

introdução aos fenómenos em causa e seus efeitos na resposta da peça. Procurou-se

efectuar um enquadramento dos tipos de modelos existentes para simular o

comportamento fisicamente não linear das secções de betão armado, referindo-se as

suas principais vantagens e desvantagens.

É importante salientar o facto de a escolha das relações constitutivas depender do tipo

de fenómenos que se pretende caracterizar, bem como o tipo de análise que se pretende

efectuar. Assim para simular o comportamento em serviço, utiliza-se relações diferentes

das utilizadas em análises aos estados limites últimos.

2

2. - COMPORTAMENTO DOS MATERIAIS

Este capítulo tem como objectivo o estudo do comportamento isolado, dos dois

materiais que compõem uma secção de betão armado (aço e betão).

O conhecimento do modo de funcionamento dos materiais é extremamente importante

para melhor compreender, modelar e interpretar os fenómenos envolvidos numa secção

composta de betão armado.

2.1 - COMPORTAMENTO DE AÇO DE REFORÇO

O comportamento do aço é determinante para funcionamento de uma secção de betão

armada sujeita a grandes extensões, pois é neste material que se concentram a maior

parte das deformações plásticas da secção e é o aço que confere ductilidade à peça.

Apresentam-se em seguida os fenómenos mais significativos e indispensáveis do

comportamento de um aço em varão, tanto para acções monotónicas como para acções

cíclicas. Posteriormente são indicados os modelos mais utilizados para simular a sua

relação constitutiva, tanto ao nível de regulamentos de estruturas, como ao nível de

investigação na área do comportamento fisicamente não linear.

2.1.1 - COMPORTAMENTO A SOLICITAÇÕES MONOTÓNICAS UNIAXIAIS

Ao se ensaiar um varão de um aço em tracção até à rotura, obtém-se geralmente um

diagrama do tipo indicado na figura 1, que apresenta as seguintes características:

• O diagrama apresenta um troço linear (elástico) até praticamente à cedência do

material. O ponto A indica onde se inicia a quebra do declive do diagrama e

denomina-se por ponto limite de proporcionalidade.

• O material apresenta um ponto, mais ou menos bem definido, onde se inicia um

comportamento plástico, à tensão correspondente a este ponto denomina-se

tensão de cedência e à extensão, extensão de cedência.

3

• Na maior parte dos aços, o ponto limite de proporcionalidade e ponto de

cedência são muito próximos, podendo-se considerar coincidentes.

• Muitos aços apresentam uma pequena perturbação na zona de entrada em

cedência (zona entre os pontos B e C). As impurezas intersticiais do material

restringem as deformações da malha, provocando um ponto de cedência

artificialmente elevado. Ao se iniciar a cedência do material, as impurezas

tendem a libertar-se deixando de restringir da mesma forma a malha, levando a

dar-se um queda brusca da tensão. Ao ponto B denomina-se limite superior de

cedência e ao ponto C limite inferior de cedência. Em geral considera-se este

último para o ponto de cedência, visto representar o material na forma mais

pura, isto é sem o efeito das já referidas das impurezas.

• O material apresenta um patamar de cedência bem definido.

Fig. 1 - Diagrama esquemático de um ensaio à tracção de um varão de aço.

• O diagrama indica a existência de um troço de endurecimento, onde se regista

um aumento da rigidez do provete (zona de declive positivo).

4

• Em alguns ensaios pode-se registar um troço de declive negativo antes da rotura

da peça, tal deve-se a reduções locais da secção da peça (estricção). Embora o

diagrama registe uma diminuição da tensão, na realidade a tensão real aumenta,

pois a secção diminui.

Alguns aços, nomeadamente os aços endurecidos, não apresentam um ponto de

cedência bem definido (Fig. 2). Para o definir utiliza-se por exemplo o ponto

convencional de elasticidade a 0,2% (REBAP[37] e EC2[7]) conforme se indica na

figura.

Fig. 2 - Diagrama de um aço sem ponto de cedência bem definido (aço endurecido)

Outra característica destes aços é o facto de não apresentarem patamar de cedência,

iniciando-se uma zona típica de endurecimento depois da cedência do material. A

extensão na rotura é inferior à dos aços macios, assim como a ductilidade.

Um aço natural apresenta em geral uma extensão na rotura de aproximadamente 20%,

podendo em alguns casos atingir os 30%. Por outro lado, um aço do tipo Tempcore

apresenta valores da extensão na rotura inferiores, sendo 10% um valor corrente (ver

Quadro 1).

A maioria dos aços utilizados para aplicações estruturais, apresentam características de

resistência inversamente proporcionais às de ductilidade, isto é os ganhos de resistência

5

tendo como base tratamentos térmicos e/ou mecânicos, geralmente envolvem perdas

ductilidade.

A figura 3 representa resultados de ensaios à tracção de um provete de aço-carbono. O

ensaio revela uma característica importante do material. Impedindo-se os fenómenos de

instabilidade do provete, o comportamento à compressão é semelhante ao à tracção,

sendo prática corrente desprezar as diferenças existentes. As principais diferenças

residem ao nível do endurecimento e no tamanho dos patamares de cedência. Em geral

em tracção o endurecimento é menor e os patamares de cedência são mais curtos.

Fig. 3 - Ensaios à tracção e à compressão a varões de aço carbono [15].

6

Valores Médios Valores Característicos

Propriedade A400 A500 A400 A500

fsy [Mpa] 496 585 457 535

fsu [MPa] 598 680 565 633

εsu [%] 11.8 9.4 9.0 7.1

Quadro 1 - Valores médios e característicos dos varões tipo Tempcore (Ensaios [5],[9]).

A figura seguinte representa o comportamento esquemático de um varão de aço, onde

na figura 4 a) apenas se procederam cargas e descargas e na figura 4 b) já se procedeu à

inversão da tensão aplicada.

Fig. 4 - Diagramas tensão-deformação de um varão de aço [1].

a) sem inversão da tensão aplicada b) com inversão da tensão aplicada.

Conclui-se que ao traccionar um provete de aço até atingir a fase de endurecimento, a

descarga processa-se por um troço paralelo ao elástico (E=Es).

No entanto ao se comprimir o provete depois de uma descarga, este regista entrada em

regime não linear a uma tensão inferior à de cedência. A este fenómeno denomina-se

7

efeito de Baushinger e será abordado mais detalhadamente no capítulo referente às

acções cíclicas.

Nas figuras seguintes ilustra-se através de ensaios experimentais os conceitos

introduzidos.

Fig. 5 - Diagrama tensões-extensões de um ensaio com cargas e descargas [3].

Fig. 6 - Diagrama tensão-extensão de um ensaio de cargas cíclicas [12].

8

2.1.1.1 - MODELO BILINEAR

As relações constitutivas mais utilizadas para modelar o comportamento do aço sujeito

a cargas monotónicas, são do tipo bilinear (Fig. 4), sendo usual não ter em conta o

endurecimento (Es2=0)

Fig. 7 - Relações constitutivas bilineares.

2.1.1.2 - MODELO DE MANDER-PRIESTLEY-PARK

Para simular o comportamento de aços de dureza natural e do tipo Tempcore, Mander-

Priestley-Park [10], propuseram a seguinte relação constitutiva.

9

Fig. 8 - Representação gráfica do modelo de Mander-Priestley-Park [10].

A relação exprime-se matematicamente por:

Troço Elástico: σs = Es εs 0 ≤ εs ≤ εsy

Patamar de cedência: σs = fsy εsy ≤ εs ≤ εsh

Zona de endurecimento:

p

shsu

ssusysusus fff

−−−−=

εεεε

σ )( εsh ≤ εs ≤ εsu

com sysu

shsush ff

Ep−−= εε

O módulo de elasticidade tangente na zona de endurecimento obtém-se de:

shsu

p

shsu

ssusysu

s

sst ffpE

εεεεεε

εσ

−

−−−=

∂∂=

−1

)(1

; Nota: Esh=Est(εs=εsh)

10

2.1.1.3 - MODELOS PROPOSTOS EM REGULAMENTOS

• REBAP

O REBAP [37] preconiza para o

dimensionamento aos estados limites

últimos uma relação tensão-extensão

de cálculo, do tipo elasto-plástico

perfeito. Este tipo de diagrama não

simula o efeito de endurecimento.

A extensão máxima em tracção é 1%

e em compressão é –0.35%.

Fig. 9 - Relação constitutiva de cálculo, REBAP [37]

• EUROCÓDIGO 2

Para o dimensionamento aos estados limites últimos, o EC2 [7] indica relações

constitutivas do tipo bilinear, com a possibilidade de se considerar o endurecimento do

aço (figura 7).

Fig. 10 - Relação constitutiva de cálculo para o aço de reforço, EC2[7]

11

2.1.2 - COMPORTAMENTO A ACÇÕES CÍCLICAS

O comportamento típico de um varão de aço corrente, quando sujeito a acções cíclicas é

esquematicamente o representado na seguinte figura.

Fig. 11 - Relação constitutiva típica de um aço sujeito a acções cíclicas [1].

Um modelo para simular o comportamento do aço, deverá englobar os seguintes efeitos:

1. Troço elástico, patamar de cedência e troço de endurecimento.

2. Efeito de Baushinger.

3. Endurecimento cíclico isotrópico.

O efeito de Baushinger resulta do facto do aço antecipar o comportamento não linear,

depois de ter atingido a cedência, e posteriormente da inversão da deformação. Este

efeito origina uma diminuição da rigidez do material.

12

Por endurecimento cíclico isotrópico entende-se o aumento de tensão que o aço

apresenta em ciclos posteriores a excursões plásticas. As excursões são troços do

diagrama de tensões-deformação onde se tenha invertido o sentido da deformação.

2.1.2.1 - CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS ANALÍTICOS

Os modelos analíticos das relações constitutivas existentes podem-se classificar quanto

à variável independente que utilizam.

Modelos Implícitos: εs = f(σs)

Modelos Explícitos: σs=f(εs)

Existem também relações do tipo, f(σs,εs)=0 e do tipo )( ss

s

s fE σεσ

==∂∂

.

2.1.2.2 - MODELO ELÁSTO-PLÁSTICO PERFEITO

O diagrama elasto-plástico perfeito (Figura 12-a) é o mais simples de formular. Apenas

deve ser utilizado quando não seja necessário grande precisão nos cálculos, pois não

simula o endurecimento, o efeito de Baushinger e o endurecimento cíclico isotrópico.

Fig. 12 - Diagrama elásto-plástico perfeito e bilinear [1].

13

2.1.2.3 - MODELO BILINEAR

O modelo bilinear (Figura 12-b) apresenta como grande vantagem face ao elasto-

plástico perfeito, o facto de permitir simular o efeito do endurecimento da armadura.

2.1.2.4 - MODELOS MULTILINEARES

Alguns modelos para simular o comportamento do aço, utilizam um conjunto de

segmentos de recta, esses modelos denominam-se modelos multilineares.

A figura 13 representa um modelo deste tipo, o modelo de Yannopoulos-Lepidas [13].

Esta relação constitutiva necessita dos parâmetros a,b,c e d indicados na figura. Estes

devem ser estimados de forma a melhor se adaptarem ao comportamento real da

armadura.

Este modelo não simula correctamente a curvatura no diagrama provocado pelo efeito

de Baushinger.

Fig. 13 - Modelo de Yannopoulos e Lepidas [13] (adap. de GOMES [1]).

14

2.1.2.5 - MODELO DE RAMBERG-OSGOOD

Este modelo inicialmente apenas contemplava relações constitutivas monotónicas

(Figura 14). A relação constitutiva é expressa matematicamente por:

n

s

s

s

sps

ess E

kE

+=+=

σσεεε

Uma das principais vantagens deste modelo, reside no facto de necessitar de apenas três

parâmetros (Es,k,n).

Fig. 14 - Modelo inicialmente proposto por Ramberg-Osgood, (adap. de Proênça [3]).

Posteriormente Massing [14] adaptou o modelo de forma a englobar o comportamento

histerético. A alteração consistia em considerar sequências de curvas do tipo

inicialmente proposto, duplicando a amplitude do diagrama (figura 15).

15

Fig. 15 - Modelo de Ramberg-Osgood adaptado por Massing [1].

2.1.2.6 - MODELO DE AKTAN-KARLSSON-SOZEN

O modelo de Aktan-Karlsson-Sozen [12] utiliza um curva inicial do tipo monotónico:

1. Troço elástico linear (σ=Es ε)

2. Patamar de cedência (σ=fsy)

3. Troço de endurecimento para εs>εsh , expresso por uma equação do tipo de

Ramberg-Osgood:

α

σσ

σσ

εε

+=

000 s

s

s

s

s

s

Para semi-ciclos posteriores à primeira inversão de carga o modelo utiliza também

equações do tipo Ramberg-Osgood

α

σσσ

σσσ

εε

−+

−=

000 s

rs

s

rs

s

s

16

Sendo: (σr ; εr) as coordenadas da última inversão de carga

σs0 ; εs0 ; α são parâmetros que se determinam para ciclos ascendentes e

descendentes, utilizando σsmin e σsmax anteriormente registadas.

2.1.2.7 - MODELO DE MA-BERTERO-POPOV

O modelo de Ma-Berteo-Popov [16] utiliza os seguintes pontos para definir a curva

monotónica:

(0,0) – origem; (εsy ; σsy) – cedência; (εsh ; σsh) – início do endurecimento e 4 outros

pontos para definir o troço de endurecimento (figura 16).

Fig. 16 - Diagrama monotónico utilizado no modelo [3].

A primeira inversão pode dar-se em:

1. Troço elástico – descarga pelo mesmo troço.

2. Patamar de cedência – Caso a)

3. Troço de endurecimento – Caso b)

17

Caso a) – A primeira inversão ocorre no patamar de cedência.

O modelo utiliza uma equação do tipo Ramberg-Osgood para modelar o primeiro semi-

ciclo descendente.

ε’s=β(σ’s+ασ’sn ), sendo: sy

srss ε

εεε

2'

−= ;

sy

srss σ

σσσ

2'

−= ; α, β são parâmetros do modelo.

( )srsr σε ; são os pontos de inversão da carga.

Caso b) – A primeira inversão ocorre no troço de endurecimento.

A descarga segue o troço elástico linear até intersectar o prolongamento do patamar de

cedência, a partir do qual segue uma equação do tipo anterior.

Em seguida inicia-se no ponto de inversão a curva monotónica em compressão, depois

de se verificar uma das condições:

1. Amplitude do semi-ciclo contado a partir da intersecção com o eixo das

abcissas, excede εsh.

2. O valor absoluto da tensão excede a tensão de cedência monotónica.

Se a amplitude do ciclo verificar a condição: syshs εεε −>∆ 21 (Figura 17-b), a curva

monotónica em compressão apresenta um troço de endurecimento antecipado.

Fig. 17 - Representação esquemática para o comportamento histerético [3].

18

Sempre que a extensão residual exceder a extensão residual máxima registada até à

altura, os parâmetros α, β e n são actualizados.

2.1.2.8 - MODELO DE GIUFFRÈ-MENEGOTTO-PINTO

O modelo foi inicialmente definido por Giuffrè e Pinto [17] e depois foi modificado por

Menegoto e Pinto [18][19].

O diagrama tem as seguintes características:

1. Os caminhos de carga e descarga estão contidos numa envolvente bilinear,

constituída por um troço elástico e um troço de endurecimento.

2. O diagrama é definido pela equação:

( )[ ] RR

s

sss 1

*

***

1)1(.

ε

εβεβσ

+−+=

sendo: 0

*

s

ss ε

εε = ;

0

*

s

ss σ

σσ = ; antes da primeira inversão.

0

*

2 s

sass ε

εεε

−= ;

0

*

2 s

sass σ

σσσ

−= ; depois da primeira inversão.

β - Relação entre a rigidez do troço de endurecimento e o módulo de

elasticidade inicial, β=Es1/Es.

R – Parâmetro que tem em conta o efeito Baushinger.

ξξ+

=2

10

.a - R Ra

sendo: R0, a1, a2 parâmetros que caracterizam o comportamento do material.

ξ - valor absoluto da deformação plástica da excursão anterior.

Este modelo tem como principal desvantagem o facto de não simular o endurecimento

cíclico isotrópico, no entanto tem uma formulação simples e produz resultados

relativamente aproximados aos reais.

19

Fig. 18 - Modelo de Giuffrè-Menegoto-Pinto [1].

Nesta formulação se houverem ciclos de pequena amplitude (situação corrente numa

acção sísmica), pode acontecer que o modelo entre em ciclos não envolvidos pelos

troços lineares. Assim sendo é necessário guardar informação dos ciclos anteriores, o

que pode conduzir a grandes exigências computacionais.

2.1.2.9 - MODELO DE FILIPPOU-BERTERO-POPOV

Em 1983 Filippou, Bertero e Popov [20] propuseram alterar o diagrama de Giuffrè-

Menegoto-Pinto para ter em conta o efeito do endurecimento cíclico isotrópico.

Assim o troço linear da envolvente referente à cedência do material é dado por:

−= 4

0

max300 aa

s

ss

es ε

εσσ

Sendo: εsmax - máxima deformação ocorrida, em valor absoluto,

σs0e – valor da tensão de cedência que define a nova envolvente.

a3 e a4 - parâmetros que caracterizam o comportamento do material.

20

2.2 - COMPORTAMENTO DO BETÃO

Embora na maior parte das situações correntes, o betão está sujeito a tensões actuantes

em várias direcções, é importante caracterizar o seu comportamento, em situações

especiais, como seja o caso de solicitações uniaxiais.

2.2.1 - COMPORTAMENTO A SOLICITAÇÕES UNIAXIAIS

2.2.1.1 - COMPORTAMENTO À COMPRESSÃO

O resistência à compressão é usualmente obtida pelo ensaio de provetes cilíndricos de

com relação altura-diâmetro de 2 (usual φ0.15 x 0.30). Os provetes são em geral

ensaiados aos 28 dias, mantidos em água a 20 ºC. Em alternativa utilizam-se provetes

cúbicos com 15 cm ou 20 cm de lado.

Na figura seguinte apresenta-se as relações tensão/extensão típicas, de provetes

cilíndricos ensaiados à compressão.

Fig. 19 - Comportamento típico do betão quando solicitado uniaxialmente.

21

Analisando a figura anterior é possível chegar às seguintes conclusões:

1. As curvas são praticamente lineares até metade da resistência à compressão

máxima.

2. A resistência máxima (valor de pico) é obtido numa zona onde a curva é muito

esbatida, isto é com declive praticamente constante.

3. A extensão no valor de resistência máxima, é praticamente constante e toma o

valor εc = -2 x 10-3

4. Depois de se atingir a tensão máxima, o diagrama apresenta um troço

descendente, designado por amolecimento (softening).

5. Betões de maior resistência têm em geral menor extensão na rotura.

Trabalhos como os efectuados por Rüsch [23] concluíram que a forma do diagrama

tensão/extensão do betão até ser atingido a resistência máxima, são dependentes da

resistência do betão. Assim sendo hoje em dia é usual relacionar o módulo de

elasticidade com a resistência do betão.

O EC2 [7] propõe a seguinte fórmula para o módulo secante entre σc=0 e 0.4fcm :

Ecm =22 [ fcm/10 ]0.3

Quando o provete de betão é solicitado rapidamente, tanto o módulo de elasticidade

como a sua resistência aumentam. Os resultados de ensaios mostram que o aumento de

resistência pode ser de 17% [22].

Fig. 20 - Diagramas de ten-

são-extensão de provetes de

betão solicitados axialmente

com várias taxas de defor-

mação [23].

22

Os ensaios de provetes de betão solicitados ciclicamente em compressão, produzem em

geral resultados como os indicados na figura 21.

Fig. 21 - Diagrama de tensão-deformação de provetes de betão solicitados ciclicamente

em compressão [24].

A envolvente do diagrama obtido na figura 21, é semelhante à curva obtida em ensaios

monotónicos com aplicação de carga contínua.

Fig. 22 - Representação esquemática da envolvente do diagrama tensão-extensão.

23

2.2.1.2 - COMPORTAMENTO À TRACÇÃO

A resistência à tracção do betão é geralmente inferior a 20% da sua resistência à

compressão, apresentando os resultados grande dispersão de valores.

Devido à pequena resistência e à grande variabilidade de resultados, a resistência à

tracção do betão é um geral desprezada no cálculo da resistência do elementos de betão

armado.

2.2.1.3 - COEFICIENTE DE POISSON

A relação entre a deformação transversal e a deformação na direcção de aplicação de

uma acção uniaxial, denominado coeficiente de Poisson, é bastante variável no betão,

sendo os valores mais habituais compreendidos no intervalo 0.15 – 0.20, no entanto

têm-se registado valores compreendidos entre 0.10 – 0.30. Embora não existam relações

credíveis estabelecidas, em geral o coeficiente de Poisson é mais baixo para betões de

grande resistência.

2.2.2 - COMPORTAMENTO A SOLICITAÇÕES BIAXIAIS E TRIAXIAIS

2.2.2.1 - SOLICITAÇÕES BIAXIAIS

Um estado biaxial de tensão acontece quando apenas existem tensões num plano, a

tensão principal perpendicular a esse plano é nula.

A figura 23 representa a envolvente de rotura do betão, quando solicitado por um

combinação de tensões biaxiais actuando nas direcções principais de tensão, isto é, sem

tensões de corte.

24

Fig. 23 - Diagrama de resistência do betão solicitado biaxialmente [25].

A figura anterior permite concluir:

1. A combinação de tensões de compressão pode aumentar a resistência à

compressão uniaxial em 20%-30%.

2. A combinação de tensões de compressão de igual valor nas duas direcções,

aumenta a resistência em aproximadamente 16%.

3. A resistência a um estado de tensão biaxial em tracção é aproximadamente a

mesma que se obtém a um estado de tracção uniaxial.

4. A combinação de tensões de compressão com tensões de compressão, conduzem

a valores de resistência inferiores aos obtidos para tensões de compressão

uniaxiais.

Se houverem tensões de corte pode-se utilizar a o critério de rotura de Mohr (Fig.24),

para prever a combinação de tensões que conduzem aos valores teóricos de rotura.

25

Fig. 24 - Critério de rotura de Mohr [4].

Um exemplo deste comportamento é resultado do estudo de Bresler e Pister [38] em

1958 (Fig. 25), que relaciona a tensão de compressão e de corte que leva à rotura o

provete de betão.

Fig. 25 - Envolvente de rotura para combinação de tensões de compressão e corte [4].

Conclui-se que a presença de tensões de corte diminuem a resistência à compressão e à

tracção do betão. Este tipo de situações são muito frequentes nas peças de betão armado,

como sejam os casos de vigas ou pilares com esforço transverso.

26

2.2.2.2 - SOLICITAÇÕES TRIAXIAIS

Como já foi visto a resistência e a ductilidade do betão aumentam com o efeito da

compressão triaxial. Este efeito é vulgarmente denominado de efeito de confinamento

do betão.

Na figura seguinte apresenta-se os resultados dos ensaios de Richart, Brandtzaeg e

Brown [26], que permite observar o já referido aumento de resistência e ductilidade.

Nestes ensaios a tensão de confinamento foi aplicada através de um fluído que envolvia

o provete de betão.

Fig. 26 - Efeito das tensões triaxiais de compressão no diagrama tensão-extensão do

betão, [4].

Muitos autores propuseram expressões que traduzissem este efeito:

fc’ = fc + α fconf , onde fc’ – Resistência à compressão do betão confinado.

fc - Resistência à compressão do betão não confinado.

fconf – Tensão de confinamento.

α - Coeficiente que pode variar de 4,1 a 7,0 (≈5,6).

Ver [26] e [27].

27

Este efeito é devido às tensões triaxiais de compressão diminuírem a tendência de

fendilhação interior, aumento de volume e posterior rotura da secção.

• CONFINAMENTO DO BETÃO POR ARMADURAS

Como já foi referido quando a extensão do betão atinge valores próximos da rotura,

inicia-se o fendilhação interna que posteriormente levariam à rotura frágil da secção, no

entanto se houverem estribos/cintas para estes valores de deformação as armaduras têm

uma reacção a expansão lateral do betão, introduzindo-lhe um efeito de confinamento

passivo.

O confinamento do betão é devido principalmente aos estribo/cintas rectangulares ou

circulares/helicoidais. Os resultados dos ensaios indicam que as cintas circulares

induzem maiores tensões de confinamento, que as cintas rectangulares. Facilmente se

compreende este efeito, pois as cintas circulares trabalham a esforços axiais e as cintas

rectangulares têm principalmente esforços de flexão (Fig. 27). Assim sendo as cintas

rectangulares são mais eficientes nos cantos, pois aí apresentam maior rigidez visto

estarem “apoiadas” nas armaduras longitudinais.

A quantidade de armadura longitudinal também influência as tensões de confinamento

induzidas no betão, no entanto este efeito é geralmente desprezado face ao efeito das

cintas/estribos.

Fig. 27 - Comparação do efeito de confinamento de estribos rectangulares (fig. 26-a), o

estribos circulares/helicoidais (fig. 26-b), [4].

28

Pode-se concluir que as tensões de confinamento no betão aumentam com o aumento da

rigidez dos estribos/cintas à expansões laterais do betão. Estas tensões também diferem

consoante o nível de extensão longitudinal nas secções, sendo muito maiores para

valores elevados de extensão.

Consequentemente todos os parâmetros que influenciam a rigidez às expansões laterais

das secções de betão, influenciam o efeito de confinamento na peça. Assim sendo, o

espaçamento dos estribos/cintas e o diâmetro destes varões influenciam directamente as

tensões de confinamento mobilizáveis na peça de betão armado.

Fig. 28 - Efeito do espaçamento dos estribos/cintas no confinamento de betão [4].

Um modelo para estimar o efeito de estribos/cintas circulares, pode ser o seguinte:

Considerar que os varões estão em cedência.

1. O equilíbrio das forças conduzem à expressão:

2 fy Asp = ds s ft ; sendo fy – tensão de cedência da armadura; Asp – área de

armadura; ds – diâmetro da espiral; s – desenvolvimento circular da armadura; ft

– tensão de confinamento.

29

Fig. 29 - Modelo do confinamento das cintas helicoidais.

Conclui-se que as tensões de confinamento têm os seguintes efeitos no betão:

1. Aumento do valor da tensão máxima (fc).

2. Aumento da ductilidade, devido ao aumento de extensão em que se verifica a

cedência e na rotura.

3. Alterações desprezáveis na rigidez da secção.

• MODELOS DO EUROCÓDIGO 2 [7] PARA O CONFINAMENTO DO BETÃO.

1. Aumento da resistência:

fck,c = fck (1,0 + 5,0 σ2/fck) ; para σ2 < 0.05 fck

fck,c = fck (1,125 + 2,5 σ2/fck) ; para σ2 > 0.05 fck

2. Aumento da das extensões de referência:

εc2,c = 2,0x10-3 (fck,c/fck)2

εcu2,c = 3,5x10-3 + 0,2 σ2/fck

Sendo σ2=σ3 – tensão efectiva de confinamento lateral de compressão ao estado limite

último.

30

Fig. 30 - Modelo proposto no EC2 [7] para o efeito do confinamento lateral nas relações

constitutivas do betão.

2.2.3 - MODELOS PROPOSTOS EM REGULAMENTOS

2.2.3.1 - COMPORTAMENTO À COMPRESSÃO

• REBAP

Este regulamento indica a seguinte relação constitutiva para a análise de secções aos

estados limites últimos.

Fig. 31 - Diagrama parábola-rectângulo, REBAP [7]

Para simular o comportamento em serviço de secções de betão armado, é usual utilizar

um diagrama do tipo exponencial.

31

1

2

2

25,11,1

5,1.

1,1

.1..

ccd

c

c

cd

c

c

ccc

f

E

f

E

εγ

εβ

α

εγεβεα

σ

+=

=

=

−+

=

Fig. 32 - Relação constitutiva exponencial

• EUROCÓDIGO 2

O EC2 [7] define dois tipos de relações tensão/extensão para o betão.

1. Relações tensão/extensão para análise estrutural.

Fig. 33 - Relação constitutiva proposta pelo EC2 [7], para análises estruturais.

cm

ccm

c

c

cmc

f

Ek

fk

k

1

1

2

.1,1

)2(1.

εεε

η

ηηη

σ

−=

=

−+−

=

32

2. Relações tensão/extensão para a análise de secções.

Fig. 34 - Relação constitutiva parábola-rectângulo [7].

ccc E εσ = , 0 < εc < εc3

fyc =σ , εc3 < εc < εcu3

Fig. 35 - Diagrama bilinear para dimensionamento de secções [7].

• CÓDIGO MODELO 90

O MC90 [28] propõe a seguinte relação constitutiva para modelar o comportamento do

betão a solicitações uniaxiais monotónicas à compressão, (Fig. 36).

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c f

E

E

E

E

01

0

2

001

0

21εε

εε

εε

σ

−+

−

= ; para εc < εcu

<≤=

<≤

−−=

22

22

,

0,)1(1

cucccdc

ccn

c

cc

f

fcd

εεεσ

εεεε

σ

33

sendo: fc – valor médio da tensão de rotura em compressão uniaxial em provetes

cilíndricos

εc0 – extensão correspondente à tensão máxima

εcu – extensão máxima, (corresponde ao ponto de tensão igual a metade da

tensão máxima).

Ec0 – módulo de elasticidade tangente. ≈ Ec0 = 104 fc 1/3 ; fc em [MPa].

Ec1 – módulo de elasticidade secante entre o ponto de origem e o ponto de tensão

máxima, ≈ Ec1 = fc / 0.0022 ; fc em [MPa].

Fig. 36 - Relação constitutiva do betão proposta no MC90 [28].

34

3. - COMPORTAMENTO DE SEÇÕES DE BETÃO ARMADO

3.1 - INTRODUÇÃO E FENÓMENOS ENVOLVIDOS

Pretende-se neste capítulo introduzir-se os conceitos e fenómenos básicos, do

comportamento de secções de betão armado submetidas a acções cíclicas.

Em seguida apresentar-se-á os modelos mais significativos, para simular este tipo de

comportamento.

De ensaios a peças de betão armado sujeitas a acções cíclicas, obtêm-se curvas carga-

deslocamento do tipo apresentado na figura 37.

Fig. 37 - Ensaios experimentais de Ma, Bertero e Popov [16]

A análise a este tipo de comportamento permite identificar os seguintes efeitos:

1. Início e espalhamento da fendilhação da secção.

2. Cedência das armaduras.

35

3. Efeito da degradação de rigidez na descarga.

4. Efeito da degradação de rigidez na recarga.

5. Efeito da degradação de resistência, conduzido continuamente ao colapso.

6. Efeito de aperto (pinching).

7. Envolvência do diagrama monotónico ao comportamento histerético.

• FENDILHAÇÃO DA SECÇÃO E CEDÊNCIA DAS ARMADURAS

A peça irá fendilhar nas zonas onde as tensões de tracção excedam a resistência do

betão. Devido ao início da fendilhação e ao seu espalhamento ocorre uma diminuição

gradual da rigidez tangente.

A entrada em regime não linear das armaduras tem como consequência uma diminuição

significativa da rigidez da secção. No entanto a resistência aumenta devido à diminuição

da profundidade da linha neutra e consequente aumento do braço das forças internas. O

endurecimento das armaduras irá contribuir para um aumento da rigidez e resistência da

secção.

• DEGRADAÇÃO DA RIGIDEZ NA DESCARGA

A degradação de rigidez no troço de descarga é definida comparativamente ao troço

elástico. Assim no diagrama carga-deslocamento, até se atingir o eixo das deformações,

observa-se que existe um diminuição da rigidez da secção. O que acontece devido à

descompressão progressiva do betão comprimido, até que no limite são apenas os

varões longitudinais a transmitirem as forças.

• DEGRADAÇÃO DA RIGIDEZ NA RECARGA

Na recarga observa-se também degradação na rigidez da secção, pois haverá uma altura

em que do lado anteriormente traccionado as forças de compressão apenas estão a

actuar no varões longitudinais, que estão plastificados. Nesta altura as fendas no betão

36

ainda não foram fechadas. Assim sendo a rigidez da secção nesta altura é muito inferior

aos valores elásticos.

O denominado efeito de Baushinger (ver §2) também terá um pequena contribuição para

esta degradação de rigidez.

• EFEITO DE APERTO DOS DIAGRAMAS HISTERÉTICOS

O efeito de estreitamento do diagrama de tensão-deformação, também conhecido por

efeito de aperto ou por pinching effect consiste no seguinte (fig. 38):

1. Durante um ciclo anterior foram abertas fendas na zona traccionada de betão. As

armaduras poderão ter entrado em cedência.

2. No troço inicial da recarga apenas as armaduras longitudinais estão a contribuir

para as forças internas de compressão, visto as fendas no betão permanecerem

abertas.

3. Se as armaduras atingiram a cedência, as forças de compressão têm que anular

as deformações inelásticas a que as armaduras foram sujeitas.

4. Nesta fase a rigidez da secção é muito baixa.

Fig. 38 - Efeito de estreitamento dos diagramas cíclicos [1].

37

5. Numa fase posterior inicia-se o gradual contacto entre o betão na zona das

fendas. A rigidez aumenta gradualmente até valores mais próximos dos

elásticos.

6. Nos ciclos subsequentes observa-se novamente este efeito.

Para secções armadas não simetricamente, na eventualidade de as diferenças de

armaduras serem muito grandes é possível que este fenómeno não se manifeste num

sentido de carga (fig. 39), havendo principalmente duas razões:

1. Não se verifica o fecho das fendas anteriormente abertas, no lado menos armado

da secção.

2. As armaduras no lado mais armado podem não entrar em cedência.

Fig. 39 - Ensaio com efeito de aperto em apenas um sentido de carga [3].

38

• DEGRADAÇÃO DA RESISTÊNCIA

A degradação de resistência manifesta-se nos diagrama carga-deslocamento com a

progressiva aproximação do eixo dos deslocamentos dos ciclos. As causas são as

seguintes:

1. Deterioração progressiva das zonas de contacto de betão anteriormente abertas,

através da repetição de abertura/fecho das fendas.

2. Deterioração da aderência do aço com o betão, devido aos vários ciclos de

grande amplitude. Poderá existir também fendilhação do betão nas proximidades

das armaduras.

3. O descasque do betão de recobrimento devido a se atingirem grandes

deformações.

• ENVOLVÊNCIA DOS DIAGRAMAS PELO DIAGRAMA MONOTÓNICO

Verifica-se que o diagrama carga-deformação do carregamento monotónico é

envolvente dos diagramas cíclicos, convergindo para os diagramas monotónicos para

valores crescentes de inelasticidade.

Outros fenómenos devem ser considerados quando se pretende efectuar análises mais

pormenorizadas, do comportamento cíclico das peças de betão armado, entre os quais

estão:

1. Escorregamento relativo por perda de aderência, entre as armaduras e o betão.

2. Descasque do betão de recobrimento (spalling of concrete cover).

3. Encurvadura dos varões longitudinais.

4. Contribuição do betão entre fendas (tension stiffening effect).

5. Efeito de perne (dowel action).

6. O efeito do confinamento no betão.

39

3.2 - CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS DE COMPORTAMENTO

NÃO LINEAR

A classificação dos modelos de comportamento não linear poderá ser feita de diversos

critérios. O critério que se apresenta é o proposto pelo CEB em [29] e [30], que tem por

base a relação do número de peças que constituem a estrutura e o número de elementos

finitos usados para a modelar, a que se denomina grau de discretização. Desta forma

pode-se definir as seguintes classes:

1. Modelos de discretização por pontos.

2. Modelos de discretização por peças.

3. Modelação de discretização global.

3.2.1 - MODELOS DE DISCRETIZAÇÃO POR PONTOS

São aqueles em que a estrutura é modelada por um número de elementos finitos

superior ao número de peças que constituem a estrutura.

Estes modelos podem ser ainda divididos em:

1. Modelos que utilizam um só elemento para simular o material composto betão

armado.

2. Modelos que utilizam elementos diferentes para simular o betão e o aço de

reforço.

O primeiro tipo apenas deve-se utilizar em peças homogeneamente armadas e que os

efeitos não lineares não sejam muito localizados.

O segundo tipo é o mais utilizado. Cada material é simulado utilizando as suas relações

constitutivas, sendo em geral o betão modelado com relações biaxiais e triaxiais e as

armaduras com relações uniaxiais.

Para unir estes elementos e formar uma peça de betão armado, existem duas

possibilidades.

40

A primeira consiste em unir os elementos rigidamente, fazendo coincidir os seus nós de

extremidade. Desta forma considera-se que não haverá deslocamentos (por perda de

aderência) entre o betão e o aço, ou seja é válida a hipótese de Bernoulli. O CEB [29]

indica que deve-se considerar a contribuição do betão entre armaduras (“tension

stiffening” na designação anglo-saxónica)

A segunda possibilidade consiste em utilizar elementos a fazerem a ligação entre o aço e

o betão. Através das relações constitutivas destes materiais é possivel simular o

escorregamento entre as armaduras e o betão. Com este método é possível simular o

efeito de perne (“Dowel action” na designação anglo-saxónica) se houverem

deslocamentos perpendiculares ao eixo da peça.

Vantagens: São capazes de simular o comportamento não linear ao nível da fibra.

São indicados para o estudo das ligações ou de subestruturas.

Desvantagens: São muito exigentes do ponto de vista computacional, tanto no

capacidade de processamento como na capacidade de memória.

3.2.2 - MODELOS DE DISCRETIZAÇÃO POR PEÇAS

São aqueles em que o número de elementos finitos utilizados para simular a estrutura é

o mesmo que o número de barras na estrutura.

Dentro destes modelos é habitual distingir os seguintes dois grandes grupos:

1. Modelos fenomenológicos.

2. Modelos físicos.

3.2.2.1 - MODELOS FENOMENOLÓGICOS

São aqueles em que todos os efeitos não lineares são simulados numa perspectiva de

modelo de comportamento global e empírico, não recorrendo directamente a relações

que traduzem directamente os fenómenos físicos em causa.

41

Exemplos deste tipo de modelos são os modelos de elasto-plástico, bilinear, de Clough,

de Takeda e derivados, e de Q-Hyst.

3.2.2.2 - MODELOS FÍSICOS

São aqueles que utilizam modelos físicos concretos para simular os efeitos não lineares

envolvidos. Assim sendo têm um maior potencial que os modelos fenomenológicos,

pois permitem simular mais correctamente os efeitos considerados. Entre estes métodos

está o modelo das fibras.

Vantagens: Boa capacidade de reprodução do comportamento não linear.

Boa relação entre a qualidade dos resultados e as exigências computa-

cionais.

Desvantagens: Não têm a capacidade de simular efeitos não lineares tão profundamente

como os modelos de discretização por pontos.

3.2.3 - MODELOS DE DISCRETIZAÇÃO GLOBAL

São aqueles em que se utiliza um elemento finito para simular várias peças da estrutura.

Estes modelos são utilizados quando se pretende determinar apenas a resposta global da

estrutura.

Vantagens: Rapidez e facilidade de implementação.

Exigências computacionais muito inferiores aos restantes modelo.

Desvantagens: Pouca capacidade de simular os efeitos não lineares.

Pouca precisão dos resultados obtidos.

42

3.2.4 - MODELOS DE PLASTICIDADE CONCENTRADA E DISTRIBUIDA

Alguns autores distinguem os modelos quanto à maneira como consideram a zonas de

deformação inelástica. Assim sendo existem os seguintes dois grandes grupos.

1. Modelos de plasticidade concentrada.

2. Modelos de plasticidade distribuída.

Os primeiros concentram os zonas de deformação inelásticas em pontos concretos da

estrutura, que geralmente coincidem com as extremidades das barras. Associados a

esses pontos pode-se considerar um comprimento pré-estipulado denominado

comprimento de rótula plástica (Lp).

Por outro lado os modelos de plasticidade distribuída como o próprio nome indica

consideram que as zonas de deformação inelástica está distribuída por todo o elemento.

Estes são os únicos a poder simular o alastramento de plasticidade ao longo do

elemento.

Exemplos dos modelos de plasticidade concentrada são os modelos de Clough e

Johnston [32] e o modelo de Giberson [31].

O primeiro considera um elemento elástico linear e outro elemento elasto-plástico

ligados em paralelo (ver Fig. nº40), por sua vez o segundo considera os mesmos dois

elementos, mas desta vez ligados em série (ver Fig. nº41).

Fig. 40 - Modelo utilizando dois elementos em paralelo [2].

43

Fig. 41 - Modelo utilizando elementos em série [2].

Por outro lado um exemplo de um modelo de plasticidade distribuída é o modelo de

discretização do elemento em fatiais ao longo do comprimento, como é indicado em

CEB[30] (ver Fig. nº42).

Fig. 42 - Modelo de plasticidade distribuída – discretização da peça em fatias ao longo

do seu comprimento [2], [30].

44

3.3 - MODELOS BILINEARES

As primeiras tentativas de simular o comportamento de secções de betão armado,

utilizaram modelos elasto-plástico perfeitos. Este modelo é extremamente simples não

conseguindo simular devidamente a resposta da secção, (Fig. 43-a).

Fig. 43 - Modelos elasto-plástico perfeito a) e elasto-plástico com endurecimento b) [1].

O modelo elasto-plástico com endurecimento é semelhante ao modelo elasto-plástico

perfeito, tendo como principal vantagem o facto de conseguir simular o aumento de

rigidez na secção devido ao troço de endurecimento do aço, (Fig. 43-b).

Em ambos os modelos considera-se que a secção tem um comportamento elástico até à

plastificação das armaduras e que as descargas são paralelas ao troço elástico inicial até

que haja cedência das armaduras.

Estes modelos fornecem valores de energia histerética dissipada, superiores aos valores

reais e não consideram qualquer degradação de rigidez, de resistência ou o efeito de

aperto.

45

3.4 - MODELO DE CLOUGH

O modelo de Clough é semelhante ao modelo elasto-plástico com endurecimento, com a

vantagem de simular a degradação de rigidez na recarga, (Fig. 44). Quando o troço de

descarga intersecta o eixo das deformações, o diagrama inicia um troço de recarga com

inclinação diferente.

Fig. 44 - Modelo de Clough [1].

Alguns modelos partiram do modelo de Clough e adicionaram-lhe o efeito da

degradação de rigidez na descarga, ver trabalhos de Anagnostopoulos.

3.5 - MODELO DE TAKEDA

O modelo de Takeda [33] foi inicialmente definido para reproduzir o comportamento

histerético, em termos de carga-deslocamento, de uma consola ensaiada na

Universidade de Illinois nos EUA.

O diagrama utiliza múltiplos troços lineares para simular o seu comportamento

histerético da consola. Esses troços são definidos por um conjunto de regras (16 no

total), figura 45.

46

Fig. 45 - Modelo de Takeda [33].

O modelo é definido da seguinte forma, ver figura 46:

1. Primeiro carregamento (Figura 46-a):

O primeiro carregamento é definido por um troço onde a secção encontra-se em

regime elástico não fendilhado, OC , por um troço onde a secção encontra-se

fendilhada, CY e por um troço de plasticidade das armaduras, YU .

2. Primeira inversão de carga:

A primeira inversão de carga pode acontecer nas seguintes condições

47

Caso a) – Antes de ocorrer a fendilhação, OC .

Caso b) – Secção encontra-se fendilhada, mas as armaduras estão em regime linear, CY .

Caso c) – As armaduras encontram-se plastificadas, YU .

No caso a), ainda não se iniciaram os fenómenos não-lineares, o comportamento é

elástico linear.

No caso b), o diagrama segue do ponto de inversão da carga (ponto D – Figura 46-

a), para o ponto onde ocorre a fendilhação para valores de carga de sinal contrário

(ponto C’ – Figura 46-a).

No caso c), o diagrama segue o troço AE , que é paralelo a CY até a ordenada ser

igual à carga de fendilhação da secção (ponto E – Figura 46-b), seguindo em se-

guida o troço ´EY até se atingir a cedência das armaduras (ponto Y’ – Figura 46-b).

3. As seguintes inversões de carga:

Os troços seguintes são definidos pelas rectas GH e HA , sendo a primeira paralela

ao segmento CY até aos eixos de abcissas, o segundo troço é definido pelos pontos

H e A, (ver figura 46-b).

Em ciclos posteriores a degradação da rigidez na descarga é tida em conta multiplicando

o declive na descarga por um coeficiente que tem em consta o máximo deslocamento

registado até à altura. A degradação de rigidez na recarga é considerada fazendo com

que este troço atinja o máximo deslocamento já ocorrido.

Havendo ciclos incompletos ou parciais, o modelo de Takeda prevê um conjunto

extenso de regras para definir estes casos, ver Takeda [33].

Foram elaborados um série de modelos que tomaram como referência o modelo de

Takeda, com o objectivo de melhorar o seu desempenho. São os exemplos do modelo

48

de Takeda-Powell [13], modelo de Takeda-Takayanagi [13], modelo de Otani [34],

modelo de Roufaiel-Meyer [36] e o modelo Q-Hyst [35].

Fig. 46 - Representação gráfica das regras do modelo de Takeda [1].

A principal limitação do modelo de Takeda e suas variantes, reside no facto de não

considerar o efeito de aperto (“pinching” na designação anglo-saxónica).

49

3.6 - MODELO DE Q-HYST

O modelo de Q-Hyst foi desenvolvido por Sozen e Saiidi [35] em 1981, para simular o

comportamento de secções simétricas, recorrendo ao modelo de Takeda.

O diagrama é do tipo bilinear em que o ponto de intersecção dos dois troços, é aquele

que representa a cedência das armaduras traccionadas. A degradação da rigidez na

descarga é efectuado escalando o declive elástico por um coeficiente que tem em conta

o máximo deslocamento já ocorrido. Quando este troço intersecta o eixo das

deformações inicia-se um novo troço que aponta para a maior deformação plástica.

3.7 - MODELO DAS FIBRAS

O modelo das fibras é um modelo físico, visto considerar directamente os fenómenos

que ocorrem em cada material, ao nível das fibras.

O modelo consiste em discretizar cada secção em fibras de betão e de aço (Fig. 47),

onde se considera as relações constitutivas de cada material, englobando os efeitos

adequados ao tipo de cálculo em causa (efeito do confinamento do betão, etc).

Fig. 47 - Modelo das fibras [1].

50

Para compatibilizar as deformações das fibras é usual considerar-se a hipótese de

Bernoulli, resultando uma distribuição linear das deformações. No entanto é possível

considerar o deslizamento por perda de aderência entre o betão e as armaduras.

O modelo das fibras apresenta as vantagens de considerar directamente a

pormenorização da secção, por considerar os efeitos da degradação de rigidez (nas

relações constitutivas dos materiais), por poder considerar o confinamento do betão e

por considerar o efeito de aperto.

No entanto este modelo é exigente ao nível computacional, visto recorrer inúmeras

vezes às relações constitutivas e o processo tornar-se iterativo para certos casos, por

exemplo casos de flexão composta.

51

4 - REFERÊNCIAS

[1] GOMES, A M (1992) – “Comportamento e Reforço de Elementos de Betão

Armado sujeitos a Acções cíclicas”: Dissertação submetida para a obtenção do grau de

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