Condução de calor em regime transiente

Condições variam com o tempo

1°) Temperatura na superfície de um sólido é alterada e a temperatura no

interior do sólido começa a variar

2°) Passa-se algum tempo antes que seja atingida a distribuição de

temperatura estacionária

O comportamento da temperatura dependente do tempo e da posição no

sólido ocorre em muitos processos industriais de aquecimento e

resfriamento

A energia é transferida por convecção e radiação na superfície do

sistema e condução no interior do sistema

- O problema transiente pode ser resolvido através de duas análises

considerando:

1. A variação de temperatura no interior do sólido desprezível (variação

com a posição) e somente há variação com o tempo

2.A variação da temperatura do sólido com a posição e o tempo.

Exemplos de aplicação:

- tratamento térmico

- lingote de metal quente removido de um forno e exposto a uma

corrente de ar frio

- produção de novos materiais com propriedades melhoradas

1) Método da capacitância global

(sólido com resistência interna desprezível)

Sólido que é submetido à variação térmica repentina.

Ex: Metal quente a temperatura Ti é imerso em um líquido a T (Ti>T)

em t=0

Para t>0 a temperatura do metal decresce até alcançar T.

Isto se deve a convecção na interface sólido-líquido

Considerando:

1) temperatura do sólido é espacialmente uniforme em qualquer

instante durante o processo, o que implica que o gradiente de

temperatura dentro do sólido é desprezível

2) da Lei de Fourier um gradiente desprezível implica a existência

de um k infinito.

Admite-se que a resistência interna a transferência de calor por condução

dentro do sólido é muito pequena comparada à resistência externa entre a

superfície e o meio (convecção)

Esta aproximação é mais exata quanto maior for a relação entre a área

superficial e o volume, ex: placas finas e fios.

Balanço de energia no sólido

Taxa de perda de calor do sólido = Taxa de variação da energia interna

acsai EE

dt

)t(dTVc)T)t(T(hA

Por conveniência se define:

T)t(T)t(

Substituindo resulta:

tlnhA

Vc i

Esta equação pode ser usada para determinar o tempo em que um sólido

leva para atingir a temperatura T

ou

Vc

hAtexp

TTi

T)t(T

i

Esta equação pode ser usada para calcular a temperatura do sólido no

tempo t.

O termo

1

Vc

hA

onde é denominada de constante de tempo térmica

1texp

TTi

T)t(T

i

- A temperatura cai exponencialmente com o tempo, até alcançar T∞.

- > , menor o tempo para alcançar T∞ e maior a taxa de decaimento de T

- quanto maior a massa do corpo e seu calor específico, menor e portanto

mais tempo leva para aquecer ou resfriar

Por analogia:

RhA

1

Resistência à T.C. por convecção

e

CVc Capacitância térmica do sólido

então =R C

aumentando R ou C o sólido responderá mais lentamente às mudanças

térmicas do meio e aumentará o tempo para alcançar o equilíbrio térmico.

A energia total transferida Q é:

t t dthAdt.QQ 0 0

substituindo

dt)tVc

hAexp(hAQ t

i 0

3>2>1

t

Vc

hAexpVcQ i

1

ou

–Q=Eac Q é + se o sólido experimenta um decréscimo na energia interna

Q é – se a energia interna aumenta (sólido é aquecido)

Validade do método – para que condições o método pode ser aplicado

Para uma placa com uma superfície mantida à T1 e de temperatura T2 outra

exposta a um fluido com T. Fazendo um balanço na superfície:

)TT(hA)TT(L

kA 221

Bik

hL

R

R

hA/

kA/L

TT

TT

conv

cond

12

21

Número de Biot – Bi:

Razão entre as resistências interna e externa. Dá a medida do decréscimo

de temperatura no sólido relativo à diferença de temperatura entre a

superfície e o fluido.

Bi=hL/k

Se

- Bi<<1 é razoável assumir uma distribuição de temperatura

uniforme no sólido em qualquer tempo durante o processo transiente.

(T(x,t)T(t))

- Aumentando o Bi o gradiente de temperatura dentro do sólido é

significativo T(x,t).

- Bi>>1 o gradiente de temperatura no sólido é muito maior que entre

a superfície e o fluido.

Para aplicá-lo testar se:

Bi = hLcond/k < 0,1

onde Lcond é o “comprimento da condução”, que é definido para considerar

outras formas geométricas, Lcond=V/A

Geometrias unidimensionais: todas com característica de simetria

- Parede plana Lcond=L (espessura 2L)

- Cilindro longo Lcond=r/2

- Esfera Lcond=r/3

Número adimensional de Fourier – Fo

Denominado tempo relativo

2Lcond

tFo

Difusividade térmica pc

k

(m²/s)

Assim a equação pode ser escrita em função de Bi e Fo:

Fo.BiexpTTi

T)t(T

i

A equação escrita com estes dois números generaliza a equação para

diversos tipos geométricos.

Os números de Bi e Fo caracterizam a análise transiente.

Gradientes de temperatura no interior do meio não são desprezíveis

- Determinação da distribuição de temperatura no interior do sólido como

uma função do tempo e da posição

Para unidimensional, k constante e sem geração

)t,x(t

T

x

T

1

2

2

Especificar as condições inicial e de contorno

- Para parede plana de espessura 2L (simetria geométrica e térmica na linha

de centro)

Condição inicial t=0 T(x,0)=Ti

Condições de contorno x=0 0

x

T (simetria)

x=L )T)t,L(T(hdx

dTk

T=T(x,t,Ti,T,L,k,,h)

Resolução: - métodos analíticos (separação de variáveis)

- métodos numéricos

Adimensionalizar as equações e condições permite:

- diminuir a dependência da temperatura

- arranjar as variáveis em grupos

Temperatura adimensional

TTi

TT

i

*

Coordenada espacial ou posição adimensional

L

xx* L = semiespessura da parede plana

Tempo adimensional 2

*

L

tFot

Equação torna-se:

Fox

*

*

*

2

2

Condições de contorno: 10 ),x( **

0

*

*

x

)t,(Bi

x

**

*

*

1

)Bi,Fo,x(f **

Para uma dada geometria a distribuição transiente de temperatura é uma

função de x*, Fo e Bi. A solução não depende de valores particulares.

A resolução envolve várias técnicas analíticas e numéricas, incluindo a

transformada de Laplace e outras, método de separação de variáveis,

método das diferenças finitas e dos elementos finitos.

1) Soluções analíticas aproximadas: parede plana, cilindro longo e esfera

Válidas para Fo > 0,2

A) Parede plana

- Temperatura

)xcos()Foexp(C **1

211

ou )xcos( **o

*1 onde

TTi

TTo)Foexp(C*

o2

11

C1 e 1 (em rad) são tabelados para cada geometria em função de Bi.

- Quantidade total de energia que deixou a parede até um dado instante de

tempo t

)TTi(cVQo Energia interna inicial da parede em relação

à temperatura do fluido ou quantidade

máxima de transferência de calor para

tempo infinito.

Q/Qo=qde total de energia transf. ao longo do intervalo de t/transf. máxima

Ou *o

o

sen

Q

Q

1

11

B) Cilindro infinito – raio ro

Idealização que permite utilizar a hipótese de condução unidimensional na

direção radial. Razoável para L/ro>=10.

)r(Jo)Foexp(C **1

211 onde Jo= função de Bessel tabelada

ou )r(Jo **o

*1 onde

TTi

TTo)Foexp(C*

o2

11

)(JQ

Q*o

o11

1

21

onde J1= função de Bessel tabelada

C) Esfera – raio ro

)rsen(r

)Foexp(C *

*

*1

1

211

1

ou )rsen(r

*

*

*o

*1

1

1

onde

TTi

TTo)Foexp(C*

o2

11

)cos()sen(Q

Q*o

o1113

1

31

Sólido semi-infinito

- Idealização útil para muitos problemas práticos

- Pode ser usado para determinar a resposta transiente perto da superfície

do solo ou a resposta transiente aproximada de um sólido finito onde

nos instantes iniciais a temperatura no interior do sólido ainda não foi

afetada pelas alterações superficiais

)t,x(t

T

x

T

1

2

2

Condição inicial t=0 T(,t)=Ti

Condições de contorno

Caso 1 - Temperatura constante na superfície: T(0,t)=Ts

Ts

x

Caso 2 – Fluxo de calor constante na superfície: dx

dTkq

q

x

Caso 3 – Convecção na superfície: ))t,(TT(hdx

dTk 0

T

h

x

Soluções analíticas aproximadas – resposta dentro do sólido diferente para

cada situação:

Caso 1

t

xerf

TsTi

Ts)t,x(T

2 t em horas e x em metros

Onde a função erro de Gauss erf é tabelada (Apêndice B2)

t

)TiTs(kq

Caso 2

t

xerfc

k

qx

t

xexp

k

/tqTi)t,x(T

24

2 2

Sendo erfc(w)=1-erf(w) função erro complementar de erf (w)

Caso3- Convecção

k

Th

t

xerfc

k

th

k

hxexp

t

xerfc

TiT

Ti)t,x(T

22 2

2

Exemplo: