EXERCICIOS DE ALGEBRA LINEAR
PEDRO MATIAS
Conteudo
Prefacio 3
Parte 1. Sistemas de equacoes lineares 4
Parte 2. Matrizes 10
Parte 3. Determinantes 16
Parte 4. Geometria analıtica 18
Parte 5. Espacos lineares 23
Parte 6. Transformacoes lineares 33
Parte 7. Valores proprios e vectores proprios 44
Bibliografia 47
1
2
Prefacio
Esta colectanea de exercıcios pretende reunir num documento unico as
varias listas de exercıcios utilizadas nas aulas praticas da disciplina de
Algebra Linear, leccionada por mim na Faculdade de Engenharia da Uni-
versidade Catolica Portuguesa (FE UCP) durante os anos lectivos 2006/07
e 2007/08.
Convem referir que a grande maioria dos exercıcios foi retirada do livro
Elementary Linear Algebra dos autores H. Anton e C. Rorres, o qual cons-
titui a referencia principal adoptada na disciplina.
Sendo esta a primeira versao da colectanea, ela contem certamente al-
gumas gralhas. O autor agradece que estas lhe sejam comunicadas, assim
como esta receptivo a todo o tipo de sugestoes que permitam melhorar o
documento.
Pedro Matias
Faculdade de Engenharia, UCP
Lisboa, 23 de Julho de 2008
3
Parte 1. Sistemas de equacoes lineares
1. Diga, justificando, quais das seguintes equacoes sao lineares:
(a) x + 7−1
3 y −√
5 z = 1
(b) 5x + xy − z = 0
(c) x = −π y + 2
3w −
√3z
(d) x2
5 + 8y − 5z = 71
3
2. Determine a solucao geral de cada uma das seguintes equacoes lineares:
(a) 7x − 5y = 3
(b) 3x − 5y + 4z = 7
(c) −8x + 2y − 5z + 6w = 1
(d) 3v − 8w + 2x − y + 4z = 0
3. Escreva a matriz aumentada correspondente a cada um dos seguintes
sistemas de equacoes lineares (SELs):
(a)
3x1 − 2x2 = −1
4x1 + 5x2 = 3
7x1 + 3x2 = 2
(b)
2x1 + + 2x3 = 1
3x1 − x2 + 4x3 = 7
6x1 + x2 − x3 = 0
(c)
x1 + 2x2 − x4 = 1
3x2 + x3 = 2
x3 + 7x4 = 1
4. Escreva o SEL correspondente a cada uma das seguintes matrizes aumen-
tadas:
(a)
2 0 0
3 −4 0
0 1 1
(b)
3 0 −2 5
7 1 4 −3
0 −2 1 7
(c)
[
7 2 1 −3 5
1 2 4 0 1
]
4
5. Use o metodo de eliminacao de Gauss para resolver cada um dos seguintes
SELs:
(a)
x1 + x2 + 2x3 = 8
−x1 − 2x2 + 3x3 = 1
3x1 − 7x2 + 4x3 = 10
(b)
2x1 + 2x2 + 2x3 = 0
−2x1 + 5x2 + 2x3 = 1
8x1 + x2 + 4x3 = −1
(c)
x − y + 2z − w = −1
2x + y − 2z − 2w = −2
−x + 2y − 4z + w = 1
3x − 3w = −3
(d)
− 2b + 3c = 1
3a + 6b − 3c = −2
6a + 6b + 3c = 5
(e)
2x1 − 3x2 = −2
2x1 + x2 = 1
3x1 + 2x2 = 1
(f)
3x1 + 2x2 − x3 = −15
5x1 + 3x2 + 2x3 = 0
3x1 + x2 + 3x3 = 11
−6x1 − 4x2 + 2x3 = 30
(g)
4x1 − 8x2 = 12
3x1 − 6x2 = 9
−2x1 + 4x2 = −6
(h)
10y − 4z + w = 1
x + 4y − z + w = 2
3x + 2y + z + 2w = 5
−2x − 8y + 2z − 2w = −4
x − 6y + 3z = 1
5
6. Use o metodo de eliminacao de Gauss para resolver cada um dos seguintes
SELs:
(a)
{
5x1 − 2x2 + 6x3 = 0
−2x1 + x2 + 3x3 = 1
(b)
x1 − 2x2 + x3 − 4x4 = 1
x1 + 3x2 + 7x3 + 2x4 = 2
x1 − 12x2 − 11x3 − 16x4 = 5
(c)
2x1 + x2 + 3x3 = 0
x1 + 2x2 = 0
x2 + x3 = 0
(d)
{
3x1 + x2 + x3 + x4 = 0
5x1 − x2 + x3 − x4 = 0
(e)
2x + 2y + 4z = 0
w − y − 3z = 0
2w + 3x + y + z = 0
−2w + x + 3y − 2z = 0
(f)
2x − y − 3z = 0
−x + 2y − 3z = 0
x + y + 4z = 0
7. Determine a solucao geral dos SELs em funcao dos parametros a, b, c ∈ R.
(a)
{
2x + y = a
3x + 6y = b(b)
x1 + x2 + x3 = a
2x1 + 2x3 = b
3x2 + 3x3 = c
8. Considere o seguinte SEL:
{
x + 2y = 3
αy = β
Determine os valores dos parametros α, β ∈ R que tornam o SEL
(a) possıvel e determinado;
(b) possıvel e indeterminado;
(c) impossıvel.
6
9. Considere o seguinte SEL:
x + 2y − 3z = 4
3x − y + 5z = 2
4x + y + (a2 − 14)z = a + 2
Determine os valores do parametro a ∈ R que tornam o SEL
(a) possıvel e determinado;
(b) possıvel e indeterminado;
(c) impossıvel.
10. Considere o seguinte SEL:
ax + y − z = 1
y + z = b
x + 2y = 0
cx + 2y + 2z = b − 1
(a) Determine os valores dos parametros a, b, c ∈ R que tornam o SEL
(i) possıvel e determinado;
(ii) possıvel e indeterminado;
(iii) impossıvel.
(b) Resolva o SEL para (a, b, c) = (−1,−1, 0).
11. Diga, justificando, para que valores do parametro λ ∈ R o SEL{
(λ − 3)x + y = 0
x + (λ − 3) y = 0
tem solucoes nao triviais.
12. Mostre que o SEL
x + y + 2z = 2
2x − y + 3z = 2
5x − y + az = 6
e possıvel e determinado se e so se a 6= 8. Determine a solucao geral do
SEL para a = 8.
13. Diga para que valores de α, β ∈ R o SEL
x + y + z = 2
x − y + z = 2
αx − z = −2
3x + y + βz = 6
e possıvel e indeterminado.7
14. Mostre que o SEL
x + y + 2z = a
x + z = b
2x + y + 3z = c
e possıvel se e so se a + b = c.
15. A curva y = ax2 + bx + c passa nos pontos (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3).
Mostre que os coeficientes a, b, c ∈ R sao solucao do SEL 3×3 cuja matriz
aumentada e
x21 x1 1 y1
x22 x2 1 y2
x23 x3 1 y3
.
16. Determine quais das seguintes matrizes sao em escada de linhas e/ou em
escada de linhas reduzidas:
(a)
1 2 0 3 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
(b)
1 0 0 5
0 0 1 3
0 1 0 4
(c)
[
1 0 3 1
0 1 2 4
]
(d)
[
1 −7 5 5
0 1 3 2
]
(e)
1 3 0 2 0
1 0 2 2 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
(f)
0 0
0 0
0 0
8
17. Aplique o metodo de eliminacao de Gauss-Jordan para transformar a
matriz
2 1 3
0 −2 −29
3 4 5
na sua forma em escada de linhas reduzida.
18. Aplique o metodo de eliminacao de Gauss de duas maneiras diferentes
para mostrar que a matriz[
1 3
2 7
]
admite formas em escada de linhas distintas.
19. Mostre que, se ad − bc 6= 0, entao a matriz em escada de linhas reduzida
de[
a b
c d
]
e[
1 0
0 1
]
20. Use o exercıcio anterior para mostrar que o SEL{
ax + by = k
cx + dy = l
e possıvel e determinado se ad − bc 6= 0.
9
Parte 2. Matrizes
1. Determine a matriz A de dimensao 6 × 6 e entradas aij satisfazendo a
condicao especificada. Escreva as respostas na forma mais geral possıvel,
colocando letras nas entradas nao nulas.
(a) aij = 0 se i 6= j
(b) aij = 0 se i > j
(c) aij = 0 se i < j
(d) aij = 0 se |i − j| > 1
2. Determine a matriz B de dimensao 4 × 4 e entradas bij satisfazendo a
condicao especificada.
(a) bij = i + j
(b) bij = ij−1
(c) bij =
1 se |i − j| > 1
−1 se |i − j| ≤ 1
3. Sejam A, B, C, D e E matrizes com as seguintes dimensoes:
A B C D E
(4 × 5) (4 × 5) (5 × 2) (4 × 2) (5 × 4)
Determine quais das seguintes operacoes estao bem definidas e, em caso
afirmativo, determine a dimensao da matriz resultante.
(a) BA (b) AC + D (c) AE + B (d)AB + B
(e) E(A + B) (f) E(AC) (g) ET A (h) (AT + E)D
4. Considere as matrizes
A =
3 0
−1 2
1 1
, B =
[
4 −1
0 2
]
, C =
[
1 4 2
3 1 5
]
,
D =
1 5 2
−1 0 1
3 2 4
, E =
6 1 3
−1 1 2
4 1 3
.
10
Verifique se as seguintes operacoes estao bem definidas e, em caso afir-
mativo, efectue o calculo.
(a) D + E (b) 5A (c) 2B − C
(d) − 3(D + 2E) (e) tr(D − 3E) (f) 2AT + C
(g) DT − ET (h) BT + 5CT (i) B − BT
(j) (2ET − 3DT )T (k) AB (l) BA
(m) (AB)C (n) A(BC) (o) CCT
(p) (DA)T (q) (CT B)AT (r) tr(4ET − D)
(s) tr(CT AT + 2ET ) (t) (2DT − E)A (u) (4B)C + 2B
(v) (−AC)T + 5DT (w) (BAT − 2C)T (x) BT (CCT − AT A)
5. Sejam A e B duas matrizes.
(a) Mostre que, se AB e BA sao operacoes bem definidas, entao AB e
BA sao matrizes quadradas.
(b) Mostre que, se A e uma matriz m× n e A(BA) e uma operacao bem
definida, entao B e uma matriz n × m.
6. Considere as matrizes
A =
2 −1 3
0 4 5
−2 1 4
, B =
8 −3 −5
0 1 2
4 −7 6
, C =
0 −2 3
1 7 4
3 5 9
e os escalares a = 4, b = −7. Mostre que:
(a) A + (B + C) = (A + B) + C (b) (AB)C = A(BC)
(c) (a + b)C = aC + bC (d) a(B − C) = aB − aC
(e) a(BC) = (aB)C = B(aC) (f) A(B − C) = AB − AC
(g) (B + C)A = BA + CA (h) a(bC) = (ab)C
(i) (AT )T = A (j) (A + B)T = AT + BT
(k) (aC)T = aCT (l) (AB)T = BT AT
11
7. Resolva a seguinte equacao matricial:
[
a − b b + c
3d + c 2a − 4d
]
=
[
8 1
7 6
]
.
8. Uma matriz quadrada A diz-se simetrica se AT = A e anti-simetrica
se AT = −A. Mostre que, se B e uma matriz quadrada, entao
(a) BBT e B + BT sao simetricas.
(b) B − BT e anti-simetrica.
9. Mostre que, se A e uma matriz quadrada, entao (An)T = (AT )n para
todo o n ∈ N.
10. Mostre que, se A e uma matriz quadrada e k ∈ R, entao (kA)n = knAn
para todo o n ∈ N.
11. Mostre que, se A e uma matriz invertıvel e AB = AC, entao B = C.
12. Sejam A e B duas matrizes quadradas com as mesmas dimensoes.
(a) De um exemplo onde (A + B)2 6= A2 + 2AB + B2.
(b) Complete a seguinte igualdade (A+B)2 = , valida para todas
as matrizes A e B.
(c) De um exemplo onde (A + B)(A − B) 6= A2 − B2.
(d) Complete a seguinte igualdade (A + B)(A − B) = , valida
para todas as matrizes A e B.
13. Sejam A e B duas matrizes quadradas. Indique, justificando, se as se-
guintes afirmacoes sao sempre verdadeiras ou as vezes falsas.
(a) (AB)2 = A2B2
(b) (A − B)2 = (B − A)2
(c) (AB−1)(BA−1) = I
(d) AB 6= BA
14. Supondo que todas as matrizes sao quadradas e invertıveis, resolva a
seguinte equacao em ordem a D:
ABCTDBATC = ABT .
15. Considere as matrizes
A =
[
0 1
0 2
]
, B =
[
a b
c d
]
.
Determine a forma geral de B tal que
(a) AB = 02×2
(b) BA = 02×2
12
16. Condidere as matrizes
A =
[
2 −1
−2 3
]
, B =
[
7 6
8 8
]
.
Determine as matrizes C e D, ambas de dimensao 2 × 2, tais que
(a) AC = B
(b) DA = B
17. Diga, justificando, quais das seguintes matrizes sao elementares.
(a)
[
1 0
−5 1
]
(b)
[
−5 1
1 0
]
(c)
[
1 0
0√
3
]
(d)
1 1 0
0 0 1
0 0 0
(e)
1 0 0
0 1 9
0 0 1
(f)
2 0 0 2
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
18. Determine uma operacao elementar que transforma cada uma das seguin-
tes matrizes elementares na matriz identidade respectiva.
(a)
[
1 0
−3 1
]
(b)
1 0 0
0 1 0
0 0 3
(c)
0 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
19. Considere as matrizes
A =
3 4 1
2 −7 −1
8 1 5
, B =
8 1 5
2 −7 −1
3 4 1
, C =
3 4 1
2 −7 −1
2 −7 3
.
Encontre matrizes elementares E1, E2, E3, e E4 tais que
(a) E1A = B;
(b) E2B = A;
(c) E3A = C;
(d) E4C = A.
20. Considere a matriz
A =
[
1 0
−5 2
]
.
(a) Encontre matrizes elementares E1 e E2 tais que E2E1A = I2.
(b) Escreva A−1 como o produto de duas matrizes elementares.
(c) Escreva A como o produto de duas matrizes elementares.
13
21. Considere a matriz
B =
1 0 −2
0 4 3
0 0 1
.
(a) Encontre matrizes elementares E1, E2 e E3 tais que E3E2E1B = I3.
(b) Escreva B como o produto de matrizes elementares.
22. Determine, caso existam, as inversas das seguintes matrizes:
(a)
[
1 4
2 7
]
(b)
[
−3 6
4 5
]
(c)
3 4 −1
1 0 3
2 5 −4
(d)
−1 3 −4
2 4 1
−4 2 −9
(e)
1 0 1
0 1 1
1 1 0
(f)
2 6 6
2 7 6
2 7 7
(g)
1 0 1
−1 1 1
0 1 0
(h)
1
5
1
5−2
5
1
5
1
5
1
10
1
5−4
5
1
10
(i)
1 2 2
2 −1 1
1 3 2
(j)
−8 17 2 1
3
4 0 2
5−9
0 0 0 0
−1 13 4 2
(k)
0 0 2 0
1 0 0 1
0 −1 3 0
2 1 5 −3
(l)
1 0 0 0
1 3 0 0
1 3 5 0
1 3 5 7
23. Determine, caso existam, as inversas das seguintes matrizes:
(a)
k1 0 0 0
0 k2 0 0
0 0 k3 0
0 0 0 k4
(b)
0 0 0 k1
0 0 k2 0
0 k3 0 0
k4 0 0 0
(c)
k 0 0 0
1 k 0 0
0 1 k 0
0 0 1 k
,
onde k1, k2, k3, k4 e k sao parametros reais nao nulos.
24. Mostre que, se
C =
1 0 0
0 1 0
a b c
e uma matriz elementar, entao ab = 0 e c 6= 0.
25. Resolva a seguinte equacao matricial:
1 −1 1
2 3 0
0 2 −1
X =
2 −1 5 7 8
4 0 −3 0 1
3 5 −7 2 1
.
14
26. Resolva os seguintes SELs a partir da inversao da matriz dos coeficientes.
(a)
{
x1 + x2 = 2
5x1 + 6x2 = 9
(b)
{
4x1 − 3x2 = −3
2x1 − 5x2 = 9
(c)
x1 + 3x2 + x3 = 4
2x1 + 2x2 + x3 = −1
2x1 + 3x2 + x3 = 3
(d)
− x − 2y − 3z = 0
w + x + 4y + 4z = 7
w + 3x + 7y + 9z = 4
−w − 2x − 4y − 6z = 6
27. Considere as matrizes
A =
2 1 2
2 2 −2
3 1 1
e x =
x1
x2
x3
.
(a) Mostre que a equacao Ax = x pode escrever-se na forma (A−I3)x =
0 e use este resultado para resolver a equacao Ax = x.
(b) Resolva a equacao Ax = 4x.
28. Seja Ax = 0 um SEL n×n homogeneo com solucao unica trivial. Mostre
que o SEL homogeneo Akx = 0 tambem tem solucao unica trivial para
todo o k ∈ N.
29. Sejam Ax = 0 um SEL n×n homogeneo e Q uma matriz n×n invertıvel.
Mostre que Ax = 0 tem solucao unica trivial se e so se (QA)x = 0 tem
solucao unica trivial.
15
Parte 3. Determinantes
1. Considere a matriz
A =
1 −2 3
6 7 −1
−3 1 4
.
(a) Determine todos os menores de A.
(b) Determine todos os cofactores de A.
(c) Determine a matriz adjunta de A.
(d) Use a alınea anterior para calcular A−1.
2. Repita o exercıcio anterior para a matriz
B =
4 −1 1 6
0 0 −3 3
4 1 0 14
4 1 3 2
.
3. Use a formula
A−1 =1
det(A)adj(A)
para calcular a inversa das seguintes matrizes:
(a)
2 5 5
−1 −1 0
2 4 3
(b)
2 0 3
0 3 2
−2 0 −4
(c)
2 −3 5
0 1 −3
0 0 2
4. Mostre que a matriz
A =
cos θ sin θ 0
− sin θ cos θ 0
0 0 1
e invertıvel para todo o θ ∈ R e determine A−1.
5. Mostre que, se A e uma matriz cujas entradas sao numeros inteiros e
det(A) = 1, entao A−1 e tambem uma matriz cujas entradas sao numeros
inteiros.
6. Mostre que a equacao de uma recta no plano que passa nos pontos (a1, b1)
e (a2, b2) pode escrever-se como
det
x y 1
a1 b1 1
a2 b2 1
= 0.
16
7. Calcule o determinante das seguintes matrizes elementares sem recorrer
a formula de Laplace.
(a)
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 −5 0
0 0 0 1
(b)
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
(c)
1 0 0 0
0 1 0 −9
0 0 1 0
0 0 0 1
8. Sabendo que
det
a b c
d e f
g h i
= −6,
calcule
(a) det
d e f
g h i
a b c
(b) det
3a 3b 3c
−d −e −f
4g 4h 4i
(c) det
a + g b + h c + i
d e f
g h i
(d) det
−3a −3b −3c
d e f
g − 4d h − 4e i − 4f
9. Considere a matriz
A =
a b c
d e f
g h i
.
Sabendo que det(A) = −7, calcule
(a) det(3A);
(b) det(A−1);
(c) det(2A−1);
(d) det((2A)−1);
10. Determine os valores de k ∈ R que tornam as seguintes matrizes nao
invertıveis.
(a)
[
k − 3 −2
−2 k − 2
]
(b)
1 2 4
3 1 6
k 3 2
11. Sejam A e B duas matrizes n × n. Mostre que, se A e invertıvel, entao
det(B) = det(A−1BA).
12. Mostre que uma matriz quadrada e invertıvel se e so se AT A e invertıvel.
17
Parte 4. Geometria analıtica
1. Determine tres numeros c1, c2, c3 ∈ R tais que
c1(−3, 1, 2) + c2(4, 0,−8) + c3(6,−1,−4) = (2, 0, 4).
2. Mostre que nao existem c1, c2, c3 ∈ R tais que
c1(−2, 9, 6) + c2(−3, 2, 1) + c3(1, 7, 5) = (0, 5, 4).
3. Determine todos os numeros c1, c2, c3 ∈ R tais que
c1(1, 2, 0) + c2(2, 1, 1) + c3(0, 3, 1) = (0, 0, 0).
4. Sejam u, v e w tres vectores arbitrarios em R2 ou R
3 e sejam α, β ∈ R.
Mostre analiticamente que:
(a) u + v = v + u;
(b) (u + v) + w = u + (v + w);
(c) u + 0 = 0 + u = u;
(d) u + (−u) = 0;
(e) α(βu) = (αβ)u;
(f) α(u + v) = αu + αv;
(g) (α + β)u = αu + βu;
(h) 1u = u,
Estas oito propriedades conferem aos espacos R2 e R
3 a estrutura algebrica
de espaco linear.
5. Mostre que ||αu|| = |α|||u|| para todo o vector u em R2 ou R
3 e todo o
α ∈ R.
6. Sejam u = (2,−2, 3), v = (1,−3, 4) e w = (3, 6,−4). Calcule
(a) ||u + v||(b) ||u|| + ||v||(c) ||−2u|| + 2||u||(d) ||3u − 5v + w||(e) 1
||w||w
(f)∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
||w||w
∣
∣
∣
∣
∣
∣
7. Determine todos os valores de α ∈ R tais que ||α(−1, 2, 5)|| = 4.
8. Mostre que
||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||
para quaisquer vectores u,v em R2 ou R
3. Esta desigualdade e conhecida
por desigualdade triangular.
9. Mostre que, se v e um vector nao nulo, entao 1
||v||v e um vector unitario.
18
10. Use o resultado do exercıcio anterior para
(a) encontrar um vector unitario com a mesma direccao do vector (3, 4).
(b) encontrar um vector unitario com o sentido oposto ao vector (−2, 3,−6).
11. Calcule a projeccao ortogonal do vector u no vector a, onde
(a) u = (6, 2), a = (3,−9)
(b) u = (3, 1,−7), a = (1, 0, 5)
12. Calcule ||proja u||, onde
(a) u = (1,−2), a = (−4,−3)
(b) u = (3, 0, 4), a = (2, 3, 3)
13. Sejam u, v e w vectores arbitrarios em R2 ou R3 e α ∈ R. Mostre as
seguintes propriedades do produto interno:
(a) u · v = v · u(b) u · (v + w) = u · v + u · w(c) α(u · v) = (αu) · v = u · (αv)
(d) v · v > 0 se v 6= 0
14. Considere os vectores u = (3, 4), v = (5,−1) e w = (7, 1). Calcule
(a) u · (7v + w)
(b) ||(u · v)w||(c) ||u||(v · w)
(d) (||u||v) · w15. Mostre que os pontos A(3, 0, 2), B(4, 3, 0) e C(8, 1,−1) sao os vertices de
um triangulo rectangulo. Determine em qual dos vertices se encontra o
angulo recto.
16. Considere os vectores p = (2, k) e q = (3, 5). Determine o parametro
k ∈ R tal que
(a) p e q sejam paralelos.
(b) p e q sejam perpendiculares.
(c) o angulo entre p e q seja π/3.
(d) o angulo entre p e q seja π/4.
17. Mostre que
||u + v||2 + ||u − v||2 = 2||u||2 + 2||v||2
para quaisquer vectores u,v em R2 ou R
3. Esta equacao e conhecida
por lei do paraleologramo pois afirma que a soma dos quadrados dos
comprimentos das diagonais do paralelogramo definido por u e v e igual
a soma dos quadrados dos comprimentos dos lados do mesmo paralelo-
gramo.19
18. Mostre que
u · v =1
4||u + v||2 − 1
4||u − v||2
para quaisquer vectores u,v em R2 ou R
3.
19. Considere os vectores u = (3, 2,−1), v = (0, 2,−3) e w = (2, 6, 7). Cal-
cule
(a) v × w
(b) u × (v × w)
(c) (u × v) × w
(d) (u × v) × (v × w)
(e) u × (v − 2w)
(f) (u × v) − 2w
20. Sejam u, v e w vectores arbitrarios em R3 e seja α ∈ R. Mostre as
seguintes propriedades do produto externo:
(a) u · (u × v) = 0
(b) v · (u × v) = 0
(c) ||u × v||2 = ||u||2 ||v||2 − (u · v)2 (identidade de Lagrange)
(d) u × (v × w) = (u · w)v − (u · v)w
(e) (u × v) × w = (u · w)v − (v · w)u
(f) u × v = −v × u
(g) u × (v + w) = (u × v) + (u × w)
(h) (u + v) × w = (u × w) + (v × w)
(i) α(u × v) = (αu) × v = u × (αv)
(j) u × 0 = 0 × u = 0
(k) u × u = 0
21. Simplifique a expressao (u + v) × (u − v).
22. Use o produto externo para encontrar o seno do angulo entre os vectores
u = (2, 3,−6) e v = (2, 3, 6).
23. Seja u um vector com ponto de aplicacao numa recta r e ponto extre-
midade num ponto P exterior a recta e seja v um vector director de r.
Mostre que a distancia de P a r e dada por
d =||u × v||||v|| .
Sugestao: use a identidade de Lagrange.
24. Use o resultado da alınea anterior para calcular a distancia entre o ponto
P (−3, 1, 2) e a recta que passa nos pontos A(1, 1, 0) e B(−2, 3,−4).20
25. Sejam u e v dois vectores arbitrarios em R3 tais que u · v 6= 0. Mostre
que
tan θ =||u × v||
u · v ,
onde θ e o angulo entre u e v.
26. Determine uma equacao geral do plano que passa nos pontos P (−4,−1,−1),
Q(−2, 0, 1) e R(−1,−2,−3).
27. Determine se os seguintes planos sao paralelos:
(a) 4x − y + 2z = 5 e 7x − 3y + 4z = 8
(b) x − 4y − 3z − 2 = 0 e 3x − 12y − 9z − 7 = 0
28. Determine se a recta r e o plano π sao paralelos:
(a) r : x = −5 − 4t, y = 1 − t, z = 3 + 2t; π : x + 2y + 3z − 9 = 0
(b) r : x = 3t, y = 1 + 2t, z = 2 − t; π : 4x − y + 2z = 1
29. Determine se os seguintes planos sao perpendiculares:
(a) 3x − y + z = 4 e x + 2z = −1
(b) x − 2y + 3z − 4 = 0 e −2x + 5y + 4z + 1 = 0
30. Determine se a recta r e o plano π sao perpendiculares:
(a) r : x = −2 − 4t, y = 3 − 2t, z = 1 + 2t; π : 2x + y − z = 5
(b) r : x = 2 + t, y = 1 − t, z = 5 + 3t; π : 6x + 6y − 7 = 0
31. Encontre equacoes parametricas para a recta que passa nos pontos (5,−2, 4)
e (7, 2,−4).
32. Encontre equacoes parametricas para a recta que resulta da interseccao
dos planos 7x − 2y + 3z = −2 e −3x + y + 2z + 5 = 0.
33. Mostre que a recta de equacoes parametricas x = 0, y = t, z = t
(a) esta contida no plano de equacao 6x + 4y − 4z = 0.
(b) e paralela ao plano de equacao 5x − 3y + 3z = 1.
34. Determine uma equacao geral para o plano que passa no ponto (−2, 1, 7)
e e perpendicular a recta x − 4 = 2t, y + 2 = 3t, z = −5t.
35. Determine uma equacao geral para cada um dos planos coordenados.
36. Determine a interseccao do plano 2x − 3y + 4z + 7 = 0 com a recta
x − 9 = −5t, y + 1 = −t, z − 3 = t.
37. Determine uma equacao geral para o plano que passa no ponto (2, 4,−1)
e contem a recta que resulta da interseccao dos planos x − y − 4z = 2 e
−2x + y + 2z = 3.
38. Mostre que as rectas x = 3−2t, y = 4+t, z = 1−t e x = 5+2t, y = 1−t,
z = 7 + t sao paralelas e encontre uma equacao geral para o plano que
elas definem.21
39. Determine uma equacao geral para o plano que contem o ponto (1,−1, 2)
e a recta x = t, y = t + 1, z = −3 + 2t.
40. Mostre que o plano que intersecta os eixos coordenados em x = a, y = b
e z = c tem equacao geral
x
a+
y
b+
z
c= 1.
22
Parte 5. Espacos lineares
1. Determine quais dos seguintes conjuntos tem estrutura de espaco linear
relativamente as operacoes algebricas dadas.
(a) V = R3 com as operacoes (x, y, z)+ (x′, y′, z′) = (x+x′, y +y′, z + z′)
e α(x, y, z) = (αx, y, z).
(b) V = R2 com as operacoes (x, y)+(x′, y′) = (x+x′, y +y′) e α(x, y) =
(2αx, 2αy).
(c) V = {(x, 0) ∈ R2 | x ∈ R} com as operacoes usuais de soma de
vectores e multiplicacao de vectores por numeros reais em R2.
(d) V = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0)} com as operacoes usuais de soma de
vectores e multiplicacao de vectores por numeros reais em R2.
(e) V = {(x, . . . , x) ∈ Rn | x ∈ R} com as operacoes usuais de soma de
vectores e multiplicacao de vectores por numeros reais em Rn.
(f) V =
{[
x 1
1 y
]
∈ M2×2 | x, y ∈ R
}
com as operacoes usuais de soma
de matrizes e multiplicacao de matrizes por numeros reais.
(g) V = {f ∈ F (R) | f(1) = 0} com as operacoes usuais de soma de
funcoes e multiplicacao de funcoes por numeros reais.
(h) V = {(1, y) ∈ R2 | y ∈ R} com as operacoes (1, y)+(1, y′) = (1, y+y′)
e α(1, y) = (1, αy).
(i) V = R+ com as operacoes x + y = xy e αx = xα.
2. Mostre que o conjunto
V =
{[
x 1
1 y
]
∈ M2×2 | x, y ∈ R
}
com as operacoes
[
x 1
1 y
]
+
[
x′ 1
1 y′
]
=
[
x + x′ 1
1 y + y′
]
α
[
x 1
1 y
]
=
[
αx 1
1 αy
]
e um espaco linear. Qual e o vector zero de V ?
3. Considere o conjunto
V =
{[
x y
z w
]
∈ M2×2 | x, y, z, w ∈ R
}
23
com as operacoes
[
x y
z w
]
+
[
x′ y′
z′ w′
]
=
[
x y
z w
] [
x′ y′
z′ w′
]
α
[
x y
z w
]
=
[
αx αy
αz αw
]
.
Determine, justificando, se V e um espaco linear.
4. Seja V um espaco linear real, u ∈ V e α ∈ R. Use os axiomas de espaco
linear para mostrar que
(a) 0u = 0
(b) α0 = 0
(c) (−1)u = −u
(d) se αu = 0 entao α = 0 ou u = 0
5. Mostre que qualquer recta em R3 que passa na origem e um subespaco
linear de R3.
6. Mostre que qualquer plano em R3 que passa na origem e um subespaco
linear de R3.
7. Determine quais dos seguintes conjuntos sao subespacos lineares de R3.
(a) W = {(x, y, z) ∈ R3 | y = z = 0}
(b) W = {(x, y, z) ∈ R3 | y = z = 1}
(c) W = {(x, y, z) ∈ R3 | y = x + z}(d) W = {(x, y, z) ∈ R
3 | y = x + z + 1}
8. Determine quais dos seguintes conjuntos sao subespacos lineares de M2×2.
(a) W =
{[
x y
z w
]
∈ M2×2 | x, y, z, w ∈ Z
}
(b) W =
{[
x y
z w
]
∈ M2×2 | x + y + z + w = 0
}
(c) W =
{[
x y
z w
]
∈ M2×2 | xw − yz = 0
}
(d) W =
{[
x y
0 w
]
∈ M2×2 | x, y,w ∈ R
}
9. Determine quais dos seguintes conjuntos sao subespacos lineares de P3.
(a) W = {a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 ∈ P3 | a0 = 0}(b) W = {a0 + a1x + a2x
2 + a3x3 ∈ P3 | a0 + a1 + a2 + a3 = 0}
(c) W = {a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 ∈ P3 | a0, a1, a2, a3 ∈ Z}(d) W = {a0 + a1x + a2x
2 + a3x3 ∈ P3 | a2 = a3 = 0}24
10. Determine quais dos seguintes conjuntos sao subespacos lineares de F (R).
(a) W = {f ∈ F (R) | f(x) ≤ 0, ∀x ∈ R}(b) W = {f ∈ F (R) | f(0) = 2}(c) W = {f ∈ F (R) | f(x) = k, onde k ∈ R}(d) W = {f ∈ F (R) | f(x) = k1 + k2 sin(x), onde k1, k2 ∈ R}
11. Determine quais dos seguintes conjuntos sao subespacos lineares de Mn×n.
(a) W = {A ∈ Mn×n | tr(A) = 0}(b) W = {A ∈ Mn×n | AT = −A}(c) W = {A ∈ Mn×n | o SEL Ax = 0 admite so a solucao trivial}(d) W = {A ∈ Mn×n | AB = BA para uma matriz fixaB ∈ Mn×n}
12. Mostre que o conjunto solucao de um SEL m×n nao homogeneo Ax = b
nao e um subespaco linear de Rn.
13. Considere o conjunto S = {(0,−2, 2), (1, 3,−1)}. Quais dos seguintes
vectores sao uma combinacao linear de elementos de S?
(a) (2, 2, 2)
(b) (3, 1, 5)
(c) (0, 4, 5)
(d) (0, 0, 0)
14. Considere o conjunto S = {(2, 1, 4), (1,−1, 3), (3, 2, 5)}. Escreva os se-
guintes vectores como uma combinacao linear de elementos de S.
(a) (−9,−7,−15)
(b) (6, 11, 6)
(c) (0, 0, 0)
(d) (7, 8, 9)
15. Considere o conjunto S = {2+x+4x2, 1−x+3x2, 3+2x+5x2}. Escreva
os seguintes polinomios como uma combinacao linear de elementos de S.
(a) −9 − 7x − 15x2
(b) 6 + 11x + 6x2
(c) 0
(d) 7 + 8x + 9x2
16. Considere o conjunto
S =
{[
4 0
−2 −2
]
,
[
1 −1
2 3
]
,
[
0 2
1 4
]}
.
Determine quais das seguintes matrizes sao uma combinacao linear de
elementos de S.
(a)
[
6 −8
−1 −8
]
(b)
[
0 0
0 0
]
(c)
[
6 0
3 8
]
(d)
[
−1 5
7 1
]
25
17. Determine se cada um dos seguintes conjuntos gera R3.
(a) S = {(2, 2, 2), (0, 0, 3), (0, 1, 1)}(b) S = {(2,−1, 3), (4, 1, 2), (8,−1, 8)}(c) S = {(3, 1, 4), (2,−3, 5), (5,−2, 9), (1, 4,−1)}(d) S = {(1, 2, 6), (3, 4, 1), (4, 3, 1), (3, 3, 1)}
18. Determine se o conjunto S = {1−x+2x2, 3+x, 5−x+4x2,−2−2x+2x2}gera P2.
19. Considere o conjunto S = {(2, 1, 0, 3), (3,−1, 5, 2), (−1, 0, 2, 1)}. Deter-
mine quais dos seguintes vectores pertencem ao conjunto Span(S).
(a) (2, 3,−7, 3)
(b) (0, 0, 0, 0)
(c) (1, 1, 1, 1)
(d) (−4, 6,−13, 4)
20. Quais dos seguintes conjuntos sao linearmente independentes?
(a) S = {(−1, 2, 4), (5,−10,−20)}(b) S = {(3,−1), (4, 5), (−4, 7)}(c) S = {3 − 2x + x2, 6 − 4x + 2x2}
(d) S =
{[
−3 4
2 0
]
,
[
3 −4
−2 0
]}
21. Quais dos seguintes conjuntos sao linearmente dependentes?
(a) S = {(3, 8, 7,−3), (1, 5, 3,−1), (2,−1, 2, 6), (1, 4, 0, 3)}(b) S = {(0, 0, 2, 2), (3, 3, 0, 0), (1, 1, 0,−1)}(c) S = {(0, 3,−3,−6), (−2, 0, 0,−6), (0,−4,−2,−2), (0,−8, 4,−4)}(d) S = {(3, 0,−3, 6), (0, 2, 3, 1), (0,−2,−2, 0), (−2, 1, 2, 1)}
22. Quais dos seguintes conjuntos sao linearmente dependentes?
(a) S = {2 − x + 4x2, 3 + 6x + 2x2, 2 + 10x − 4x2}(b) S = {3 + x + x2, 2 − x + 5x2, 4 − 3x2}(c) S = {6 − x2, 1 + x + 4x2}(d) S = {1 + 3x + 3x2, x + 4x2, 5 + 6x + 3x2, 7 + 2x − x2}
23. Determine todos os valores do parametro λ ∈ R que tornam o conjunto
S =
{(
λ,−1
2,−1
2
)
,
(
−1
2, λ,−1
2
)
,
(
−1
2,−1
2, λ
)}
linearmente dependente.
24. Determine quais dos seguintes conjuntos sao bases de R2.
(a) {(2, 1), (3, 0)}(b) {(4, 1), (−7,−8)}(c) {(0, 0), (1, 3)}
26
25. Determine quais dos seguintes conjuntos sao bases de R3.
(a) {(1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3)}(b) {(3, 1,−4), (2, 5, 6), (1, 4, 8)}(c) {(2,−3, 1), (4, 1, 1), (0,−7, 1)}
26. Determine quais dos seguintes conjuntos sao bases de P2.
(a) {1 − 3x + 2x2, 1 + x + 4x2, 1 − 7x}(b) {4 + 6x + x2,−1 + 4x + 2x2, 5 + 2x − x2}(c) {1 + x + x2, x + x2, x2}
27. Mostre que o conjunto{[
3 6
3 −6
]
,
[
0 −1
−1 0
]
,
[
0 −8
−12 −4
]
,
[
1 0
−1 2
]}
e uma base de M2×2.
28. Explique porque e que os seguintes conjuntos nao sao bases dos respecti-
vos espacos lineares.
(a) {(1, 2), (0, 3), (2, 7)} em R2
(b) {(−1, 3, 2), (6, 1, 1)} em R3
(c) {1 + x + x2, x − 1} em P2
(d)
{[
1 1
2 3
]
,
[
6 0
−1 4
]
,
[
3 0
1 7
]
,
[
5 1
4 2
]
,
[
7 1
2 9
]}
em M2×2
29. Para cada uma das alıneas, determine as coordenadas do vector w em
relacao a base B = {v1,v2} de R2.
(a) w = (3,−7), v1 = (1, 0), v2 = (0, 1)
(b) w = (1, 1), v1 = (2,−4), v2 = (3, 8)
30. Para cada uma das alıneas, determine as coordenadas do vector w em
relacao a base B = {v1,v2,v3} de R3.
(a) w = (2,−1, 3), v1 = (1, 0, 0), v2 = (2, 2, 0), v3 = (3, 3, 3)
(b) w = (5,−12, 3), v1 = (1, 2, 3), v2 = (−4, 5, 6), v3 = (7,−8, 9)
31. Para cada uma das alıneas, determine as coordenadas do polinomio p(x)
em relacao a base B = {p1(x), p2(x), p3(x)} de P2.
(a) p(x) = 4 − 3x + x2, p1(x) = 1, p2(x) = x, p3(x) = x2
(b) p(x) = 2 − x + x2, p1(x) = 1 + x, p2(x) = 1 + x2, p3(x) = x + x2
32. Determine as coordenadas da matriz
A =
[
2 0
−1 3
]
em relacao a base
B =
{[
−1 1
0 0
]
,
[
1 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
⊂ M2×2.
27
33. Determine bases para cada um dos seguintes subespacos lineares de R3 e
indique as respectivas dimensoes.
(a) o plano 3x − 2y + 5z = 0
(b) o plano x − y = 0
(c) a recta x = 2t, y = −t, z = 4t
(d) todos os vectores da forma (x, y, z), onde y = x + z
34. Determine bases para cada um dos seguintes subespacos lineares de R4 e
indique as respectivas dimensoes.
(a) todos os vectores da forma (x, y, z, 0)
(b) todos os vectores da forma (x, y, z, w), onde w = x + y e z = x − y
(c) todos os vectores da forma (x, y, z, w), onde x = y = z = w
35. Determine a dimensao do subespaco linear de P3 formado por todos os
polinomios da forma a0 + a1x + a2x2 + a3x
3, onde a0 = 0.
36. Determine uma base para o espaco de solucoes dos seguintes SELs ho-
mogeneos e indique as respectivas dimensoes.
(a)
x1 + x2 − x3 = 0
−2x1 − x2 + 2x3 = 0
−x1 + x3 = 0
(b)
{
3x1 + x2 + x3 + x4 = 0
5x1 − x2 + x3 − x4 = 0
(c)
{
x1 − 4x2 + 3x3 − x4 = 0
2x1 − 8x2 + 6x3 − 2x4 = 0
(d)
x1 − 3x2 + x3 = 0
2x1 − 6x2 + 2x3 = 0
3x1 − 9x2 + 3x3 = 0
(e)
2x1 + x2 + 3x3 = 0
x1 + 5x3 = 0
x2 + x3 = 0
(f)
x1 + x2 + x3 = 0
3x1 + 2x2 − 2x3 = 0
4x1 + 3x2 − x3 = 0
6x1 + 5x2 + x3 = 0
28
37. Determine bases para o espaco das linhas, espaco das colunas e nucleo de
cada uma das seguintes matrizes.
A =
1 −1 3
5 −4 −4
7 −6 2
B =
2 0 −1
4 0 −2
0 0 0
C =
1 4 5 2
2 1 3 0
−1 3 2 2
D =
1 4 5 6 9
3 −2 1 4 −1
−1 0 −1 −2 −1
2 3 5 7 8
E =
1 −3 2 2 1
0 3 6 0 −3
2 −3 −2 4 4
3 −6 0 6 5
−2 9 2 −4 −5
38. Para cada uma das matrizes do exercıcio anterior, determine uma base
para o espaco das linhas constituıda unicamente por vectores das linhas
das respectivas matrizes.
39. Determine uma base para os seguintes subespacos lineares de R4.
(a) W = Span{(1, 1,−4,−3), (2, 0, 2,−2), (2,−1, 3, 2)}(b) W = Span{(−1, 1,−2, 0), (3, 3, 6, 0), (9, 0, 0, 3)}(c) W = Span{(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (−2, 0, 2, 2), (0,−3, 0, 3)}
40. Considere os seguintes subespacos lineares de R4:
U = Span{(1, 0, 1, 1), (−3, 3, 7, 1), (−1, 3, 9, 3), (−5, 3, 5,−1)},
V = Span{(1,−2, 0, 3), (2,−4, 0, 6), (−1, 1, 2, 0), (0,−1, 2, 3)}.
(a) Determine um subconjunto dos geradores de U e V que formam uma
base para cada um destes espacos lineares.
(b) Escreva os restantes geradores como combinacao linear dos vectores
da base respectiva.
41. Seja
A =
0 1 0
1 0 0
0 0 0
e considere o sistema de coordenadas em R3 definido pelos eixos dos xx,
yy e zz. Mostre que o nucleo de A coincide com o eixo dos zz e o espaco
das colunas de A coincide com o plano xy.29
42. Use o exercıcio anterior para encontrar uma matriz 3 × 3 cujo nucleo
coincida com o eixo dos xx e cujo espaco das colunas coincida com o
plano yz.
43. Determine uma matriz 3 × 3 cujo nucleo seja
(a) um ponto
(b) uma recta
(c) um plano
(d) todo o espaco
44. Mostre que o conjunto formado pelos vectores linha de uma matriz n×n
invertıvel e uma base de Rn.
45. Considere a seguinte tabela:
Alıneas (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)
Dimensao de A 3 × 3 3 × 3 3 × 3 5 × 9 9 × 5 4 × 4 6 × 2
car(A) 3 2 1 2 2 0 2
Para cada uma das alıneas, determine a dimensao de Lin(A), Col(A),
Ker(A) e Ker(AT ).
46. Determine o valor maximo de car(A) e o valor mınimo de nul(A) se
(a) A e uma matriz 4 × 4
(b) A e uma matriz 3 × 5
(c) A e uma matriz 5 × 3
(d) A e uma matriz m × n
47. Determine a caracterıstica e a nulidade das seguintes matrizes.
A =
1 −1 3
5 −4 −4
7 −6 2
B =
2 0 −1
4 0 −2
0 0 0
C =
1 4 5 2
2 1 3 0
−1 3 2 2
D =
1 4 5 6 9
3 −2 1 4 −1
−1 0 −1 −2 −1
2 3 5 7 8
E =
1 −3 2 2 1
0 3 6 0 −3
2 −3 −2 4 4
3 −6 0 6 5
−2 9 2 −4 −5
30
48. Use os resultados obtidos no exercıcio anterior para verificar, em cada um
dos casos, o teorema da dimensao para matrizes.
49. Considere a seguinte tabela:
Alıneas (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)
Dimensao de A 3 × 3 3 × 3 3 × 3 5 × 9 5 × 9 4 × 4 6 × 2
car(A) 3 2 1 2 2 0 2
car([A|b]) 3 3 1 2 3 0 2
Para cada uma das alıneas, determine se o SEL Ax = b e possıvel. Em
caso afirmativo, determine o numero de parametros que aparecem na
solucao geral.
50. Seja Ax = b um SEL m × n possıvel (determinado ou indeterminado)
e seja xp uma solucao particular. Mostre que qualquer solucao do SEL
Ax = b pode escrever-se na forma x = xp + x0, onde x0 e uma solucao
do correspondente SEL homogeneo Ax = 0.
51. Determine a solucao geral dos seguintes SELs nao homogeneos e use os
resultados obtidos para escrever a solucao geral dos respectivos SELs
homogeneos.
(a)
{
x1 − 3x2 = 1
2x1 − 6x2 = 2
(b)
x1 + x2 + 2x3 = 5
x1 + x3 = −2
2x1 + x2 + 3x3 = 3
(c)
x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = −1
2x1 − 4x2 + 2x3 + 4x4 = −2
−x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = 1
3x1 − 6x2 + 3x3 + 6x4 = −3
(d)
x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 4
−2x1 + x2 + 2x3 + x4 = −1
−x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 3
4x1 − 7x2 − 5x4 = −5
52. Seja A uma matriz 3× 3 tal que Ker(A) e uma recta em R3 que passa na
origem. Diga, justificando, se Lin(A) e Col(A) podem ser ambos rectas
em R3 que passam na origem.
31
53. Considere o seguinte SEL 5 × 3:
x1 − 3x2 = b1
x1 − 2x2 = b2
x1 + x2 = b3
x1 − 4x2 = b4
x1 + 5x2 = b5
onde b1, b2, b3, b4, b5 sao parametros reais. Determine as condicoes que
b1, b2, b3, b4, b5 tem de satisfazer de forma a que o SEL seja possıvel.
54. Considere as seguintes matrizes:
A =
1 1 α
1 α 1
α 1 1
, B =
α 3 −1
3 6 −2
−1 −3 α
,
onde α ∈ R. Determine car(A) e car(B) em funcao de α.
55. Considere a seguinte matriz
C =
1 0 0
0 r − 2 2
0 s − 1 r + 2
0 0 3
onde r, s ∈ R. Determine car(C) em funcao de r, s.
56. Considere o seguinte SEL 3 × 3 homogeneo:
x + y + αz = 0
x + αy + z = 0
αx + y + z = 0
onde α ∈ R. Determine os valores de α de forma a que a solucao geral
do SEL seja
(a) a origem
(b) uma recta
(c) um plano
(d) todo o espaco
32
Parte 6. Transformacoes lineares
1. Diga, justificando, quais das seguintes aplicacoes sao transformacoes li-
neares.
(a) T : R2 → R
2 dada por T (x1, x2) = (x1 + 2x2, 3x1 − x2)
(b) T : R3 → R
2 dada por T (x1, x2, x3) = (2x1 − x2 + x3, x2 − 4x3 + 1)
(c) T : R3 → R dada por T (u) = ||u||
(d) T : R3 → R
3 dada por T (u) = u × a, onde a ∈ R3 esta fixo
(e) T : M2×2 → M2×3 dada por T (A) = AB, onde B ∈ M2×3 esta fixa
(f) T : Mn×n → R dada por T (A) = tr(A)
(g) F : Mm×n → Mn×m dada por F (A) = AT
(h) T : M2×2 → R dada por T
([
a b
c d
])
= 3a − 4b + c − d
(i) T : M2×2 → R dada por T
([
a b
c d
])
= a2 + b2
(j) T : P2 → P2 dada por T (a0 +a1x+a2x2) = a0 +a1(x+1)+a2(x+1)2
(k) T : P2 → P2 dada por T (a0 + a1x + a2x2) = (a0 + 1) + (a1 + 1)x +
(a2 + 1)x2
(l) T : F (R) → F (R) dada por T (f(x)) = 1 + f(x)
(m) T : F (R) → F (R) dada por T (f(x)) = f(x + 1)
2. Sejam B = {v1,v2} = {(1, 1), (1, 0)} uma base de R2 e T : R
2 → R2
uma transformacao linear tal que T (v1) = (1,−2) e T (v2) = (−4, 1).
Determine uma formula para T (x1, x2).
3. Sejam B = {v1,v2} = {(−2, 1), (1, 3)} uma base de R2 e T : R
2 → R3
uma transformacao linear tal que T (v1) = (1,−2, 0) e T (v2) = (0,−3, 5).
Determine uma formula para T (x1, x2).
4. Sejam B = {v1,v2,v3} = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} uma base de R3
e T : R3 → R
3 uma transformacao linear tal que T (v1) = (2,−1, 4),
T (v2) = (3, 0, 1) e T (v3) = (−1, 5, 1). Determine uma formula para
T (x1, x2, x3).
5. Sejam B = {v1,v2,v3} = {(1, 2, 1), (2, 9, 0), (3, 3, 4)} uma base de R3 e
T : R3 → R
2 uma transformacao linear tal que T (v1) = (1, 0), T (v2) =
(−1, 1) e T (v3) = (0, 1). Determine uma formula para T (x1, x2, x3).
6. Sejam v1, v2 e v3 tres vectores num espaco linear V e seja T : V → R3
uma transformacao linear tal que T (v1) = (1,−1, 2), T (v2) = (0, 3, 2) e
T (v3) = (−3, 1, 2). Calcule T (2v1 − 3v2 + 4v3).
33
7. Seja B = {v1, . . . ,vn} uma base num espaco linear V e seja T : V → W
uma transformacao linear. Mostre que, se T (v1) = . . . = T (vn) = 0,
entao T e a transformacao nula.
8. Seja B = {v1, . . . ,vn} uma base num espaco linear V e seja T : V → V
uma transformacao linear. Mostre que, se T (v1) = v1, . . . , T (vn) = vn,
entao T e a transformacao identidade.
9. Recorde que, dada uma transformacao linear T : V → W , podemos
representa-la matricialmente se fixarmos uma base B = {v1, . . . ,vn} no
espaco de partida V e uma base C = {w1, . . . ,wm} no espaco de chegada
W . A matriz TCB, de dimensao m × n, cujas colunas sao formadas
pelos n vectores (T (v1))C , . . . , (T (vn))C ∈ Rm diz-se a representacao
matricial de T em relacao as bases ordenadas B e C. Esta matriz
satisfaz a equacao
(T (v))C = TCB (v)B , (1)
para todo o v ∈ V . Seja T : P2 → P3 a transformacao linear definida por
T (p(x)) = xp(x).
(a) Determine a representacao matricial de T em relacao as bases canonicas
de P2 e P3.
(b) Verifique a formula (1).
10. Seja T : P2 → P1 a transformacao linear definida por
T (a0 + a1x + a2x2) = (a0 + a1) − (2a1 + 3a2)x.
(a) Determine a representacao matricial de T em relacao as bases canonicas
de P2 e P1.
(b) Verifique a formula (1).
11. Seja T : P2 → P2 a transformacao linear definda por
T (a0 + a1x + a2x2) = a0 + a1(x − 1) + a2(x − 1)2.
(a) Determine a representacao matricial de T em relacao a base canonica
de P2.
(b) Verifique a formula (1).
12. Sejam B = {(1, 1), (−1, 0)} e T : R2 → R
2 a transformacao linear definida
por
T (x1, x2) = (x1 − x2, x1 + x2).
(a) Determine a representacao matricial de T em relacao a base B.
(b) Verifique a formula (1).
34
13. Seja T : R2 → R
3 a transformacao linear definida por
T (x1, x2) = (x1 + 2x2,−x1, 0).
(a) Determine a representacao matricial de T em relacao as bases B =
{(1, 3), (−2, 4)} de R2 e C = {(1, 1, 1), (2, 2, 0), (3, 0, 0)} de R
3.
(b) Verifique a formula (1).
14. Seja T : R3 → R
3 a transformacao linear definida por
T (x1, x2, x3) = (x1 − x2, x2 − x1, x1 − x3).
(a) Determine a representacao matricial de T em relacao a base B =
{(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} de R3.
(b) Verifique a formula (1).
15. Seja T : M2×2 → M2×2 a transformacao linear definida por
T
([
a b
c d
])
=
[
2c a + c
b − 2c d
]
.
(a) Determine a representacao matricial de T em relacao a base canonica
de M2×2.
(b) Verifique a formula (1).
16. Seja S : M2×2 → M2×2 a transformacao linear definida por
S(X) = XT .
(a) Determine a representacao matricial de S em relacao a base canonica
de M2×2.
(b) Verifique a formula (1).
17. Seja T : M2×2 → M2×2 a transformacao linear definida por
T (X) =
[
1 1
0 0
]
X + X
[
0 0
1 1
]
.
(a) Determine a representacao matricial de T em relacao a base canonica
de M2×2.
(b) Verifique a formula (1).
18. Seja T : P2 → P2 a transformacao linear definda por
T (p(x)) = p(2x + 1).
(a) Determine a representacao matricial de T em relacao a base canonica
de P2.
(b) Use a matriz obtida na alınea (a) para calcular T (2 − 3x + 4x2).
(c) Verifique o resultado obtido na alınea (b) calculando directamente
T (2 − 3x + 4x2).35
19. Seja T : P2 → P3 a transformacao linear definda por
T (p(x)) = xp(x − 3).
(a) Determine a representacao matricial de T em relacao as bases canonicas
de P2 e P3.
(b) Use a matriz obtida na alınea (a) para calcular T (1 + x − x2).
(c) Verifique o resultado obtido na alınea (b) calculando directamente
T (1 + x − x2).
20. Sejam B = {(1, 3), (−1, 4)} uma base de R2 e
TBB =
[
1 3
−2 5
]
a representacao matricial da transformacao linear T : R2 → R
2 em relacao
a base B.
(a) Determine (T (1, 3))B e (T (−1, 4))B .
(b) Determine T (1, 3) e T (−1, 4).
(c) Encontre uma formula para T (x1, x2).
(d) Use a formula da alınea (c) para calcular T (1, 1).
21. Sejam
B = {(0, 1, 1, 1), (2, 1,−1,−1), (1, 4,−1, 2), (6, 9, 4, 2)},
C = {(0, 8, 8), (−7, 8, 1), (−6, 9, 1)}
duas bases de R4 e R
3, respectivamente e
TCB =
3 −2 1 0
1 6 2 1
−3 0 7 1
a representacao matricial da transformacao linear T : R4 → R
3 em relacao
as bases B e C.
(a) Determine (T (0, 1, 1, 1))C , (T (2, 1,−1,−1))C , (T (1, 4,−1, 2))C e
(T (6, 9, 4, 2))C .
(b) Determine T (0, 1, 1, 1), T (2, 1,−1,−1), T (1, 4,−1, 2) e T (6, 9, 4, 2).
(c) Encontre uma formula para T (x1, x2, x3, x4).
(d) Use a formula da alınea (c) para calcular T (2, 2, 0, 0).
22. Sejam B = {3x + 3x2,−1 + 3x + 2x2, 3 + 7x + 2x2} uma base de P2 e
TBB =
1 3 −1
2 0 5
6 −2 4
36
a representacao matricial da transformacao linear T : P2 → P2 em relacao
a base B.
(a) Determine (T (3x+3x2))B , (T (−1+3x+2x2))B , (T (3+7x+2x2))B .
(b) Determine T (3x + 3x2), T (−1 + 3x + 2x2), T (3 + 7x + 2x2).
(c) Encontre uma formula para T (a0 + a1x + a2x2).
(d) Use a formula da alınea (c) para calcular T (1 + x2).
23. Mostre que, se T : V → W e a transformacao nula, entao a representacao
matricial de T em relacao a quaisquer bases de V e W e a matriz nula.
24. Mostre que, se T : V → V e a transformacao linear definida por T (v) =
av, onde a ∈ R, entao a representacao matricial de T em relacao a qual-
quer base de V e dada por a vezes a matriz identidade.
25. Seja T : V → V a transformacao linear definida por
T (v1) = v2
T (v2) = v3
T (v3) = v4
T (v4) = v1,
onde B = {v1,v2,v3,v4} e uma base de V . Determine a matriz TBB .
26. Seja T : R2 → R
2 a transformacao linear definida por
T (x1, x2) = (x1 − 2x2,−x2)
e sejam B = {(1, 0), (0, 1)} e B′ = {(2, 1), (−3, 4)} duas bases de R2.
(a) Determine a representacao matricial de T em relacao a base B.
(b) Determine as matrizes de mudanca de base PBB′ e PB′B.
(c) Use as duas alıneas anteriores para calcular a representacao matricial
de T em relacao a base B′.
27. Seja T : R2 → R
2 a transformacao linear definida por
T (x1, x2) = (x1 + 7x2, 3x1 − 4x2)
e sejam B = {(2, 2), (4,−1)} e C = {(1, 3), (−1,−1)} duas bases de R2.
(a) Determine a representacao matricial de T em relacao a base canonica
C de R2.
(b) Determine as matrizes de mudanca de base PCB e PCC .
(c) Use as duas alıneas anteriores para calcular TCB .
28. Seja T : R3 → R
3 a transformacao linear definida por
T (x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 − x3,−x2, x1 + 7x3)37
e sejam B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e B′ = {(1, 0, 0), (1, 1, 0)(1, 1, 1)}duas bases de R
3.
(a) Determine a representacao matricial de T em relacao a base B.
(b) Determine as matrizes de mudanca de base PBB′ e PB′B.
(c) Use as duas alıneas anteriores para calcular a representacao matricial
de T em relacao a base B′.
29. Seja T : P1 → P1 a transformacao linear definida por
T (p(x)) = p(x + 1)
e sejam B = {6 + 3x, 10 + 2x} e C = {2, 3 + 2x} bases de P1.
(a) Determine a representacao matricial de T em relacao a base canonica
C de P1.
(b) Determine as matrizes de mudanca de base PCB e PCC .
(c) Use as duas alıneas anteriores para calcular TCB .
30. Seja T : R2 → R
3 a transformacao linear definida por
T (1,−1) = 2(1, 1, 1)
T (1, 1) = (1, 1, 1) − (1, 1, 0),
onde B = {(1,−1), (1, 1)} e C = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} sao bases de
R2 e R
3, respectivamente.
(a) Determine a representacao matricial de T em relacao as bases B e C.
(b) Determine a representacao matricial de T em relacao as bases canonicas
de R2 e R
3.
(c) Calcule T (x1, x2).
31. Seja T : P1 → P2 a transformacao linear definida por
T (p(x)) = p(x) + (1 + x2)p′(x).
(a) Determine a representacao matricial de T em relacao as bases canonicas
de P1 e P2.
(b) Use as matrizes de mudanca de base apropriadas para calcular a
representacao matricial de T em relacao as bases B = {2, 3 + 2x} de
P1 e C = {1 + x, 1 + x + x2, 1 − x2} de P2.
32. Caracterize as transformacoes lineares S ◦ T , onde
(a) T (x, y) = (2x, 3y) e S(x, y) = (x − y, x + y)
(b) T (x, y) = (x − 3y, 0) e S(x, y) = (4x − 5y, 3x − 6y)
(c) T (x, y) = (2x,−3y, x + y) e S(x, y, z) = (x − y, y + z)
(d) T (x, y, z) = (x − y, y + z, x − z) e S(x, y, z) = (0, x + y + z)
38
33. Sejam T : M2×2 → R e S : M2×2 → M2×2 as transformacoes lineares
definidas por T (A) = tr(A) e S(A) = AT , respectivamente.
(a) Calcule (T ◦ S)(A), onde A =
[
a b
c d
]
.
(b) Diga, justificando, se e possıvel calcular (S ◦ T )(A).
34. Sejam T : Pn → Pn e S : Pn → Pn as transformacoes lineares definidas
por T (p(x)) = p(x − 1) e S(p(x)) = p(x + 1), respectivamente. Calcule
(T ◦ S)(p(x)) e (S ◦ T )(p(x)).
35. Sejam T : V → W uma transformacao linear e k ∈ R.
(a) Mostre que a aplicacao kT : V → W definida por (kT )(v) = kT (v) e
uma transformacao linear.
(b) Calcule (3T )(x, y) sabendo que T : R2 → R
2 e dada por T (x, y) =
(2x − y, x + y).
36. Sejam T : V → W e S : V → W duas transformacoes lineares.
(a) Mostre que a aplicacao T + S : V → W definida por (T + S)(v) =
T (v) + S(v) e uma transformacao linear.
(b) Calcule (T + S)(x, y) sabendo que T : R2 → R
2 e S : R2 → R
2 sao
dadas, respectivamente, por T (x, y) = (2y, 3x) e S(x, y) = (y, x).
37. Sejam T : P1 → P2 e S : P2 → P2 as transformacoes lineares definidas
por T (p(x)) = xp(x) e S(p(x)) = p(2x + 1), respectivamente.
(a) Calcule (S ◦ T )(p(x)).
(b) Use a formula da alınea (a) para calcular a representacao matricial
de S ◦ T em relacao as bases canonicas de P1 e P2.
(c) Determine a representacao matricial de T em relacao as bases canonicas
de P1 e P2.
(d) Determine a representacao matricial de S em relacao a base canonica
de P2.
(e) Use os resultados obtidos nas alıneas (c) e (d) para verificar o resul-
tado obtido na alınea (b).
38. Sejam T : P1 → P2 e S : P2 → P3 as transformacoes lineares definidas
por T (a0+a1x) = 2a0−3a1x e S(a0+a1x+a2x2) = 3a0x+3a1x
2+3a2x3,
respectivamente.
(a) Calcule (S ◦ T )(a0 + a1x).
(b) Use a formula da alınea (a) para calcular a representacao matricial
de S ◦ T em relacao as bases canonicas de P1 e P3.
(c) Determine a representacao matricial de T em relacao as bases canonicas
de P1 e P2.
39
(d) Determine a representacao matricial de S em relacao as bases canonicas
de P2 e P3.
(e) Use os resultados obtidos nas alıneas (c) e (d) para verificar o resul-
tado obtido na alınea (b).
39. Seja T : R2 → R
2 a transformacao linear definida por
T (x, y) = (2x − y,−8x + 4y).
(a) Verifique se os vectores (1,−4), (5, 0) e (−3, 12) pertencem a Ker(T ).
(b) Determine uma base para Ker(T ).
(c) Verifique se os vectores (5, 10), (3, 2) e (1, 1) pertencem a Im(T ).
(d) Determine uma base para Im(T ).
(e) Verifique o teorema da dimensao para T .
40. Seja T : R4 → R
3 a transformacao linear definida por
T (x1, x2, x3, x4) = (4x1 +x2−2x3−3x4, 2x1+x2+x3−4x4, 6x1−9x3+9x4).
(a) Verifique se os vectores (3,−8, 2, 0), (0, 0, 0, 1) e (0,−4, 1, 0) perten-
cem a Ker(T ).
(b) Determine uma base para Ker(T ).
(c) Verifique se os vectores (0, 0, 6), (1, 3, 0) e (2, 4, 1) pertencem a Im(T ).
(d) Determine uma base para Im(T ).
(e) Verifique o teorema da dimensao para T .
41. Seja T : P2 → P3 a transformacao linear definida por
T (p(x)) = xp(x).
(a) Verifique se os polinomios p1(x) = x2, p2(x) = 0 e p3(x) = 1 + x
pertencem a Ker(T ).
(b) Determine uma base para Ker(T ).
(c) Verifique se os polinomios p1(x) = x + x2, p2(x) = 1 + x e p3(x) =
3 − x2 pertencem a Im(T ).
(d) Determine uma base para Im(T ).
(e) Verifique o teorema da dimensao para T .
42. Seja T : V → V a transformacao linear definida por T (v) = 3v. Deter-
mine Ker(T ) e Im(T ).
43. Determine a nulidade de T em cada um dos casos seguintes:
(a) T : R5 → R
7, onde car(T ) = 3.
(b) T : P4 → P3, onde car(T ) = 1.
(c) T : R6 → R
3, onde Im(T ) = R3.
(d) T : M2×2 → M2×2, onde car(T ) = 3.
40
44. Seja T : Mn×n → R a transformacao linear definida por T (A) = tr(A).
Determine a dimensao de Ker(T ).
45. Seja T : P3 → P2 a transformacao linear definida por T (p(x)) = p′(x).
Determine o nucleo de T .
46. Seja T : R4 → R
3 a transformacao linear definida por
T (e1) = (1, 2, 1)
T (e2) = (0, 1, 0)
T (e3) = (1, 3, 0)
T (e4) = (1, 1, 1),
onde {e1,e2,e3,e4} e a base canonica de R4.
(a) Determine bases para Ker(T ) e Im(T ).
(b) Indique a caracterıstica e a nulidade de T .
47. Seja T : M2×2 → M2×2 a transformacao linear definida por
T (X) =
[
1 1
0 0
]
X + X
[
0 0
1 1
]
.
(a) Determine o nucleo e a imagem de T .
(b) Determine a caracterıstica e a nulidade de T .
48. Use a informacao dada para determinar se a transformacao linear T e
injectiva.
(a) T : Rm → R
m, onde nul(T ) = 0
(b) T : Rm → R
m, onde car(T ) = m − 1
(c) T : Rm → R
n, onde n < m
(d) T : Rm → R
m, onde Im(T ) = Rm
49. Determine se a transformacao linear T : P2 → P2 definida por T (p(x)) =
p(x + 1) e injectiva.
50. Seja A uma matriz n × n tal que det(A) = 0. Diga, justificando, se a
transformacao matricial T : Rn → R
n definida por T (x) = Ax e injectiva.
51. Indique se a transformacao linear T e invertıvel e, em caso afirmativo,
caracterize T−1.
(a) T (x, y) = (5x + 2y, 2x + y)
(b) T (x, y, z) = (x + 5y + 2z, x + 2y + z,−x + y)
(c) T (x, y, z) = (x + z, y + z, x + y)
(d) T (x, y) = (x − 2y, 2x − 4y,−3x + 6y)
(e) T (x, y, z, w) = (x + 3y + 5z + 7w, 2x − y + 2z + 4w,−x + 3y)
(f) T (x, y) = (4x − 2y, x + 5y, 5x + 3y)
41
52. Seja T : Rn → R
n a transformacao linear definida por
T (x1, . . . , xn) = (a1x1, . . . , anxn),
onde a1, . . . , an sao constantes reais.
(a) Determine as condicoes que os coeficientes a1, . . . , an tem de satisfazer
de forma a que T seja invertıvel.
(b) Assumindo que essas condicoes se verificam, caracterize T−1.
53. Indique se a transformacao linear T e invertıvel e, em caso afirmativo,
caracterize T−1.
(a) T (x1, x2, . . . , xn) = (0, x1, x2, . . . , xn−1)
(b) T (x1, x2, . . . , xn) = (xn, xn−1, . . . , x2, x1)
(c) T (x1, x2, . . . , xn) = (x2, x3, x4, . . . , xn, x1)
54. Indique se a transformacao linear T : M2×2 → M2×2 e invertıvel e, em
caso afirmativo, caracterize T−1.
(a) T
([
a b
c d
])
=
[
a 0
0 d
]
(b) T
([
a b
c d
])
=
[
a c
b d
]
(c) T
([
a b
c d
])
=
[
d −b
−c a
]
55. Sejam T : R2 → R
2 e S : R2 → R
2 as transformacoes lineares definidas
por T (x, y) = (x+ y, x− y) e S(x, y) = (2x+ y, x− 2y), respectivamente.
(a) Mostre que T e S sao injectivas.
(b) Caracterize T−1, S−1 e (S ◦ T )−1.
(c) Mostre que (S ◦ T )−1 = T−1 ◦ S−1.
56. Sejam T : P2 → P3 e S : P3 → P3 as transformacoes lineares definidas
por T (p(x)) = xp(x) e S(p(x)) = p(x + 1), respectivamente.
(a) Mostre que T e S sao injectivas.
(b) Caracterize T−1, S−1 e (S ◦ T )−1.
(c) Mostre que (S ◦ T )−1 = T−1 ◦ S−1.
57. Seja T : P1 → R2 a aplicacao definida por T (p(x)) = (p(0), p(1)).
(a) Calcule T (1 − 2x).
(b) Mostre que T e uma transformacao linear.
(c) Mostre que T e injectiva.
(d) Caracterize T−1.
58. Seja T : P2 → R3 a aplicacao definida por T (p(x)) = (p(−1), p(0), p(1)).
(a) Calcule T (6 + 5x + x2).
(b) Mostre que T e uma transformacao linear.42
(c) Mostre que T e injectiva.
(d) Caracterize T−1.
59. Seja T : R2 → R
2 a transformacao linear definida por
T (x, y) = (x + ky,−y),
onde k e um parametro real.
(a) Mostre que T e injectiva para todo o k ∈ R.
(b) Mostre que T−1 = T .
60. Mostre que, se V e W sao espacos lineares tais que dim W < dim V , entao
nao existem transformacoes lineares injectivas T : V → W .
61. Mostre que, se V e W sao espacos lineares tais que dim W > dim V , entao
nao existem transformacoes lineares sobrejectivas T : V → W .
62. Seja T : R3 → R
3 a transformacao linear definida por
T (x, y, z) = (x − y, y − x, x − z).
(a) Determine a representacao matricial de T em relacao a base B =
{(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}.(b) Diga, justificando, se T e injectiva e, em caso afirmativo, determine
a representacao matricial de T−1 em relacao a base B.
63. Seja T : P4 → P4 a transformacao linear definida por
T (p(x)) = (2x + 1).
(a) Determine a representacao matricial de T em relacao a base canonica
de P4.
(b) Diga, justificando, se T e injectiva e, em caso afirmativo, determine
a representacao matricial de T−1 em relacao a base canonica de P4.
64. Sejam x1, x2 e x3 tres numeros reais fixos tais que x1 < x2 < x3 e seja
T : P2 → R3 a aplicacao definida por T (p(x)) = (p(x1), p(x2), p(x3)).
(a) Mostre que T e uma transformacao linear.
(b) Mostre que T e injectiva.
(c) Mostre que, T−1(a, b, c) = ap1(x) + bp2(x) + cp3(x), onde
p1(x) =(x − x2)(x − x3)
(x1 − x2)(x1 − x3),
p2(x) =(x − x1)(x − x3)
(x2 − x1)(x2 − x3),
p3(x) =(x − x1)(x − x2)
(x3 − x1)(x3 − x2).
43
Parte 7. Valores proprios e vectores proprios
1. Seja A uma matriz 6×6 com equacao caracterıstica λ2(λ−1)(λ−2)3 = 0.
(a) Quais sao os valores proprios de A?
(b) Quais sao as respectivas multiplicidades algebricas?
(c) Quais sao as possıveis dimensoes dos espacos proprios de A?
2. Considere as matrizes
A =
[
3 0
8 −1
]
, B =
[
10 −9
4 −2
]
, C =
[
1 0
0 1
]
.
(a) Determine os valores proprios de A, B e C.
(b) Determine os espacos proprios de A, B e C associados a cada valor
proprio.
(c) Diga, justificando, se as matrizes A, B e C sao diagonalizaveis e, em
caso afirmativo, determine a matriz diagonalizante.
3. Considere as matrizes
D =
4 0 1
−2 1 0
−2 0 1
, E =
4 2 −1
−6 −4 3
−6 −6 5
, F =
5 6 2
0 −1 −8
1 0 −2
.
(a) Determine os valores proprios de D, E e F .
(b) Determine os espacos proprios de D, E e F associados a cada valor
proprio.
(c) Diga, justificando, se as matrizes D, E e F sao diagonalizaveis e, em
caso afirmativo, determine a matriz diagonalizante.
4. Considere as matrizes
G =
0 0 2 0
1 0 1 0
0 1 −2 0
0 0 0 1
, H =
−2 0 0 0
5 −2 0 0
0 0 3 1
0 0 1 3
.
(a) Determine os valores proprios de G e H.
(b) Determine os espacos proprios de G e H associados a cada valor
proprio.
(c) Diga, justificando, se as matrizes G e H sao diagonalizaveis e, em
caso afirmativo, determine a matriz diagonalizante.
5. Mostre que, se A e uma matriz diagonalizavel com matriz diagonalizante
S, entao Ak = SDkS−1 para todo o k ∈ N, onde D e a matriz diagonal
constituıda pelos valores proprios de A. Sugestao: use o metodo de
inducao matematica.44
6. Use o exercıcio anterior para calcular Ak, onde
A =
3 −1 0
−1 2 −1
0 −1 3
.
7. Considere a matriz
K =
4 0 1
2 3 2
1 0 4
.
(a) Determine os valores proprios de K.
(b) Para cada valor proprio λ, determine a caracterıstica da matriz K −λI.
(c) Diga, justificando, se K e diagonalizavel e, em caso afirmativo, de-
termine a matriz diagonalizante.
8. Mostre que a equacao caracterıstica de uma matriz A de dimensao 2 × 2
pode escrever-se como λ2 − tr(A)λ + det(A) = 0.
9. Use o resultado do exercıcio anterior para mostrar que, se
A =
[
a b
c d
]
,
entao as solucoes da equacao caracterıstica sao
λ1 =1
2
[
(a + d) +√
(a − d)2 + 4bc]
,
λ2 =1
2
[
(a + d) −√
(a − d)2 + 4bc]
.
Daqui concluimos que:
• A tem dois valores proprios reais distintos se (a − d)2 + 4bc > 0;
• A tem um valor proprio real se (a − d)2 + 4bc = 0.
• A nao tem valores proprios reais se (a − d)2 + 4bc < 0.
10. Seja
A =
[
a b
c d
]
.
Mostre que, se (a − d)2 + 4bc > 0 e b 6= 0, entao os vectores (−b, a − λ1)
e (−b, a − λ2) sao vectores proprios correspondentes aos valores proprios
λ1 e λ2, respectivamente.
11. Mostre que, se λ e um valor proprio da matriz invertıvel A e x e um
vector proprio correspondente, entao 1
λe um valor proprio de A−1 e x e
tambem um vector proprio correspondente.45
12. Mostre que, se λ e um valor proprio de A, x e um vector proprio corres-
pondente e α e um parametro real, entao λ − α e um valor proprio de
A − αI e x e tambem um vector proprio correspondente.
13. Mostre que, se A e uma matriz quadrada, entao A e AT tem os mesmos
valores proprios.
14. Seja T : P2 → P2 a transformacao linear definida por
T (a + bx + cx2) = (5a + 6b + 2c) − (b + 8c)x + (a − 2c)x2.
(a) Determine os valores proprios de T .
(b) Determine os espacos proprios associados a cada valor proprio de T .
(c) Diga, justificando, se T e diagonalizavel e, em caso afirmativo, deter-
mine a matriz diagonalizante.
15. Seja T : M2×2 → M2×2 a transformacao linear definida por
T
([
a b
c d
])
=
[
2c a + c
b − 2c d
]
.
(a) Determine os valores proprios de T .
(b) Determine os espacos proprios associados a cada valor proprio de T .
(c) Diga, justificando, se T e diagonalizavel e, em caso afirmativo, deter-
mine a matriz diagonalizante.
16. Seja T : M2×2 → M2×2 a transformacao linear definida por
T (A) = A + AT .
(a) Determine os valores proprios de T .
(b) Determine os espacos proprios associados a cada valor proprio de T .
(c) Diga, justificando, se T e diagonalizavel e, em caso afirmativo, deter-
mine a matriz diagonalizante.
46
Bibliografia
• H. Anton e C. Rorres, Elementary Linear Algebra, Wiley, 2005.
• L. T. Magalhaes, Algebra Linear como Introducao a Matematica
Aplicada, Texto Editora, 1992.
• T. M. Apostol, Calculo, Vols. 1 e 2, Editorial Reverte, S. A., 1999.
• F. D. Agudo, Introducao a Algebra Linear e a Geometria Analıtica,
Escolar Editora, 1996.
• S. Lipschutz, Algebra Linear, McGraw Hill, 1994.
Faculdade de Engenharia, Universidade Catolica Portuguesa, Estrada Oc-
tavio Pato, 2635-631 Rio de Mouro, Portugal
E-mail address: [email protected]
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