Correlação e Regressão Linear
Prof. Marcos Vinicius Pó
Métodos Quantitativos para Ciências Sociais
Variação SQe (Soma dos
Quadrados dos Erros)
Graus de
Liberdade MQ (Média dos
Quadrados) Fobs
Entre
subpopulações SQe gle = k-1
Dentro das
subpopulações SQd gld = n-k
Total SQt glt = n-1
Tabela da ANOVA
n: número de elementos da amostra
ni: número de elementos da subamostra de uma subpopulação
k: número de subpopulações
MQd
MQe
egl
SQeMQe
dgl
SQdMQd
2
SQt
SQeR
2R2: coeficiente de explicação. Significa a quantidade de
informação que é explicada pelo modelo em relação ao modelo mais simples (puro acaso).
p-valor de F: indica a possibilidade de generalização do modelo
para a população, ou seja, o nível em que podemos afirmar que o modelo é significativo.
CORRELAÇÃO LINEAR
3
Coeficiente de correlação linear “r”
Mede o grau de relacionamento linear entre valores pareados x e y em uma amostra e também a proximidade dos dados a uma reta.
É também chamado de coeficiente de Pearson.
Varia de -1 a 1, sendo que zero significa não haver correlação.
])()([(
...),(
2222 yyNxnx
yxnyxnrYXcorr
i
ii
4
Exemplos de correlações
5
Fonte: Wikipédia (http://en.wikipedia.org/wiki/File:Correlation_examples2.svg)
6
Há correlação entre comprimento da barba e poder mágico?
Teste de r
O coeficiente de correlação pode ser testado usando a estatística t de Student, que é calculado usando-se a seguinte fórmula:
O valor crítico é verificado na tabela t de Student, com os graus de liberdade definidos por N-2
7
)1
2
2r
Nrt
N = pares de escore X e Y
Correlação e causalidade
Haver correlação entre duas variáveis não implica em causalidade. Pode haver correlações espúrias ou viés.
Contudo, a correlação é uma pista significativa para ser investigada em busca de causalidade e sua direção.
A ausência de correlação também não quer dizer não haver relação entre duas variáveis. Apenas uma análise do modelo pode apontar isso. Além disso, pode haver relações não-lineares entre as variáveis.
Correlações espúrias no site www.tylervigen.com
8
9
Consumo de chocolate e prêmios Nobel
Correlation between Countries' Annual Per Capita Chocolate Consumption and the Number of Nobel Laureates per 10 Million
Population.
Fon
te:
“Ch
oco
late
Co
nsu
mp
tio
n, C
ogn
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e F
un
ctio
n, a
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No
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Lau
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Fran
z H
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i, M
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N E
ngl
J M
ed 2
01
2;
36
7:1
56
2-1
56
4O
cto
ber
18
, 20
12
h
ttp
://w
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rg/d
oi/
full/
10
.10
56
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Mo
n1
21
10
64
, ace
sso
em
0
4/1
1/2
01
2
REGRESSÃO LINEAR
10
Regressão linear simples
Calcula médias condicionais da variável Y a partir de uma variável X supostamente relacionada, estabelecendo um modelo para:
► Explicar o total ou parcialmente um fenômeno observado.
► Mensurar a relação entre duas variáveis.
► Permitir predições.
Modelo linear simples: Y = a + bX +
Usaremos a notação Y = a + bx + para os parâmetros calculados
Y: variável dependente (aquela que é explicada;)
X1, X2,..., Xn: variáveis explicativas (ou independentes)
: erro, parte não explicada pelo modelo
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Suposições do modelo de regressão linear
• Variáveis independentes.
• As variáveis Xn não podem ser combinações lineares entre si.
• O número de parâmetros a serem estimados é menor que o número de observações.
• Resíduos possuem variância constante e têm média zero.
• Os resíduos são independentes e mostram um comportamento normal.
• O relacionamento entre as variáveis pode ser razoavelmente representado por uma reta.
12
• Objetivos: estabelecer uma reta que:
► Minimize o total de erros (ε).
► Possua significância estatística.
► Possua bom fator explicativo (R2).
• Só é possível trabalhar o primeiro, os demais são avaliados.
• O ajuste da reta deve minimizar as distâncias entre os valores preditos pela reta e os valores observados.
13
Estimação dos parâmetros
Regressão linear
• Princípio: ajustar os parâmetros para minimizar a soma dos erros quadrados entre as previsões e os valores amostrais.
• Os parâmetros do nosso modelo são:
Y = a + bX + (equação da reta)
• Temos que determinar:
► a: intercepto ou valor fixo;
► b: inclinação da reta
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yi= a+bxi+i
Erros (εi)
i~N(0,²) (erros independentes)
Aplicando ao modelo
A soma dos quadrados dos erros é:
Assumindo uma distribuição normal dos erros deduzimos que:
Os estimadores a e b possuem distribuição normal e intervalos de confiança com uma distribuição t, com n-2 graus de liberdade.
xnx
yxnxyb
22
n
i
n
ii xye ii
SQ11
2
)}({2),( baba
xbya
Para mais informações consultar Bussab e Morettin: Estatística Básica, capítulo 15
15
)(..);(
2
2
)2(
xxn
xSetaIC
i
n
ia
)(.
1.);(
2)2(
xxnSetbIC
i
nb
Correlação x Regressão
Correlação linear
• Não determina causalidade, mas dá pistas.
• Pode ser testada estatisticamente.
• Identifica se duas variáveis se relacionam de forma linear.
• Não indica o quanto uma variável afeta a outra.
• Determina o quão mais próximo de uma reta é a relação entre as variáveis.
Regressão linear
• Não determina causalidade, mas dá pistas.
• Pode ser testada estatisticamente.
• Determina uma relação linear entre duas variáveis.
• Identifica o quanto uma variável afeta a outra.
• Traz elementos que permitem fazer predições.
• Necessita de uma análise dos resíduos para decidir sobre sua adequação.
16
Começando a analisar os dados
• Primeiro é necessário termos uma boa idéia do comportamento de nossos dados, de forma a avaliar se o modelo linear é adequado.
• Isso é muito importante!
• Uma sugestão é colocar os dados em diagramas de dispersão.
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Por que a análise gráfica é importante?
Esses quatro conjuntos de dados possuem as mesmas propriedades estatísticas, ...
1 2 3 4
x y x y x y x y
10,0 8,04 10,0 9,14 10,0 7,46 8,0 6,58
8,0 6,95 8,0 8,14 8,0 6,77 8,0 5,76
13,0 7,58 13,0 8,74 13,0 12,74 8,0 7,71
9,0 8,81 9,0 8,77 9,0 7,11 8,0 8,84
11,0 8,33 11,0 9,26 11,0 7,81 8,0 8,47
14,0 9,96 14,0 8,10 14,0 8,84 8,0 7,04
6,0 7,24 6,0 6,13 6,0 6,08 8,0 5,25
4,0 4,26 4,0 3,10 4,0 5,39 19,0 12,50
12,0 10,84 12,0 9,13 12,0 8,15 8,0 5,56
7,0 4,82 7,0 7,26 7,0 6,42 8,0 7,91
5,0 5,68 5,0 4,74 5,0 5,73 8,0 6,89
Propriedade Valor
Média de x 9,00
Variância de x 10,00
Média de y 7,50
Variância de y 3,75
Correlação 0,898
Regressão linear y = 2,50 + 0,500x
18
Esses dados compõe o chamado Quarteto de Anscombe
Quarteto de Anscombe
... mas são bem diferentes graficamente.
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Julgando o modelo: ANOVA para regressão
Fonte de
variação
Soma dos
Quadrados (SQ)
Graus de
Liberdade
Quadrado das
Médias (QM) Fobs
Regressão glN = p – 1
Resíduo glD = n – p
Total glT = n – 1
n: número de amostras
p: número de parâmetros estimados
se
gQM2
ReNgl
gSQgQM
ReRe
Dgl
sSQse
Re2
2
1
)ˆ(Rei
n
ti
yysSQ
n
t
n
t
xxb
yy
i
igSQ
1
22
1
2
)(
)ˆ(Re
2
1
)( yySQTotn
ti
20
R2: mede a variabilidade
de Y explicada pelo
modelo. SQTot
gSQR
Re2
• A Regressão permite fazer predições.
► Interpolação: em geral é bastante confiável.
► Extrapolação: deve-se tomar cuidado para garantir que a linearidade entre as variáveis permaneça válido além da região de observação.
• Já o modelo II permite categorizar as observações e simplificar as predições, mas apenas dentro do intervalo já observado
• Seria possível combinar os dois modelos?
21
Regressão: interpolação e extrapolação
• Tão importante quanto verificar se os dados servem ao modelo de regressão e estabelecer os parâmetros, é fazer a análise de resíduos com o objetivo de verificar se:
► O modelo se ajusta bem
► As suposições não foram violadas
o Homocedasticidade
o Independência
o Comportamento normal
• Aconselha-se a fazer uma análise gráfica dos resíduos.
22
Análise de resíduos
Plotagem dos resíduos
Quais dessas plotagens mostram normalidade dos resíduos?
Quais os problemas das outras?
Bu
ssab
; Mo
rett
in, 2
00
2:4
56
23
Transformação de variáveis: linearização
Considere os dados abaixo e os gráficos abaixo.
Você teria alguma restrição em adotar o modelo linear nesse caso?
Se transformarmos a variável inflação por meio de logaritmo (Log), poderíamos adotar o modelo linear?
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
1967 1969 1971 1973 1975 1977 1979 1981
Inflação
Ano 1967 1969 1971 1973 1975 1977 1979
Inflação 128 192 277 373 613 1236 2639
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
3,2
3,4
3,6
1966 1968 1970 1972 1974 1976 1978 1980
Log(inflação)
24
Voltando ao nosso exemplo
Deseja-se avaliar explicações para o tempo de reação das pessoas a determinado estímulo visual.
Variável dependente: Tempo de reação = Y
Variáveis Independentes: Gênero; Idade; Acuidade Visual (podem explicar o fenômeno) = X1, X2, ...
Indivíduo Tempo de
reação (ms) Gênero (M/F)
Idade (anos)
Acuidade Visual (%)
i y w x z
1 96 M 20 90 2 92 F 20 100 3 106 M 20 80 4 100 F 20 90 5 98 F 25 100 6 104 M 25 90 7 110 M 25 80 8 101 F 25 90 9 116 F 30 70
10 106 M 30 90 11 109 M 30 90 12 100 F 30 80 13 112 F 35 90 14 105 F 35 80 15 118 M 35 70 16 108 M 35 90 17 113 F 40 90 18 112 F 40 90 19 127 M 40 60 20 117 M 40 80
Dados tirados de Bussab, Wilton. Análise de Variância e Regressão. 2a. Ed. Editora Atual: São Paulo. 1988
25
No nosso exemplo (tempo de reação)
Calcular as correlações
O que esses números significam?
26
Tempo de reação x Idade 0,768
Tempo de reação x Acuidade visual -0,755
Idade x Acuidade visual -0,399
Avaliando os dados
Já testamos e descartamos Gênero;
Traçar diagramas de dispersão para Idade e para Acuidade Visual
0
20
40
60
80
100
120
140
0 10 20 30 40 50
Idade
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100 120
Acuidade visual
O modelo de regressão linear é aplicável em ambos os casos?
27
Exemplo
• Determinar os parâmetros a e b para Tempo de reação x Acuidade
• Colocar na equação e interpretar
• Quais suas conclusões?
28
Plots do SPSS
Comparação entre modelo II e modelo III
• Qual é o melhor?
► Estatisticamente, ambos possuem um p-valor significativo.
► Na diminuição da variabilidade (R2), ambos estão próximos.
► Como escolher?
o Utilização
o Facilidade, conveniência
Modelo II Médias por faixa etária
Modelo III Regressão com acuidade visual
p-valor 0,61% <0,01%
R2 58,7% 57,1%
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Exemplo
• As suposições foram violadas?
► Homocedasticidade:
► Independência
► Comportamento normal?
30
Plots do SPSS
Etapas de análise de regressão linear
1. Exploração dos dados
a. Gráficos de dispersão
b. Mapa de correlações
2. Determinação da regressão linear
a. Verificação da significância (p-valor)
b. Verificar o grau de explicação (R2)
c. Determinação dos coeficientes da reta de regressão (“a” e “b”)
d. Julgamento se o modelo é interessante e pertinente
3. Avaliação de atendimento dos pressupostos da correlação
a. Análise dos resíduos: normalidade; homocedasticidade
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Atividade com banco de dados
Health expenditure ► Total expenditure on health, % of gross domestic product ► Total health expenditure per capita, US$ PPP ► Public health expenditure per capita, US$ PPP ► Pharmaceutical expenditure per capita, US$ PPP
Health care resources
► Physicians, density per 1 000 population ► Nurses, density per 1 000 population ► Hospital beds, density per 1 000 population
Health care activities ► Doctor consultations per capita ► Hospital discharge rates, all causes, per 100 000 population ► Average length of stay for a normal delivery, days ► Caesarean sections, per 1 000 live births
Health status (Mortality)
► Life expectancy at birth, total population ► Infant mortality rate, deaths per 1 000 live births
Risk factors
► Tobacco consumption, % of adult population who are daily smokers ► Alcohol consumption, litres per population aged 15+ ► Obesity, percentage of total adult population with a BMI>30 kg/m2, based on self-reports ► Obesity, percentage of total adult population with a BMI>30 kg/m2, based on measures of height and weight
32
33
Plots do SPSS