1
A. Circuitos
Desenvolvimento de técnicas para análise deCircuitos eléctricos/electrónicos lineares.
2
Programa
1. Introdução aos circuitos eléctricos2. Grafos e circuitos resistivos lineares3. Circuitos dinâmicos lineares4. Regime forçado sinusoidal5. Análise no domínio da frequência complexa6. Circuitos resistivos não-lineares
3Low Distortion Power Amplifier
a bComponentes com 2 terminais
CaracterizadoPela corrente que o
atravessa e pela tensãoAos terminais
NODE
NODE
Circuito Eléctrico: Interligação entre componentes
+-
L
C
1R
2RSv −
+
Ov
Circuito linear típico
4
Um AMPERE DE CORRENTE transporta um COULOMB DE CARGA em cada segundo.
ELECTRÃO DO CARGA (e)(e) 106.28 COULOMB 1 18
=
×=
VOLT é uma medida da energia por unidade de carga. dois pontos têm uma tensão de 1 volt se 1 coulomb de carga ganha um joule de energia quando se desloca de um ponto para o outro.
OHM é uma medida de resistência à passagem da corrente. Existe um ohm de resist.se for necessário um volt de tensão para fazer fluir um ampere de corrente.
É necessário um WATT de potência para fazer fluir um ampere de correntecom uma tensão de um volt.
AVW 111 ×=
sCA 1/11 =
CmN
CJV
111
111 ×
==
AV
111 =Ω
dtdqi =
dqdwv =
IVR =
dtdw
dtdq
dqdwivp === .
5
+
++
)(tq
+
Qual o significado de um valor negativo para q(t)?
Se a carga “à esquerda da secção S” é conhecida ao longo do tempoentão a corrente em S pode ser calculada por diferenciação.
Se a corrente que passa em S é conhecida ao longo do tempoentão a carga pode ser calculada por integração.
Uma analogia física, é a identificação da corrente com o fluxo de águaE a carga com as partículas (moléculas)
A carga é quantidade elementar num circuito. A corrente decorre do movimento da carga.Podemos também encarar a corrente como a quantidade básica e calcular a carga.
6
1 2 3 4 5 610−
102030
Charge(pC)
Time(ms)
Carga q(t)“à esquerda de S”ao longo do tempo
)/(10100102
10101010 93
1212sC
sCm −
−
−−
×−=−××−×−
=
1 2 3 4 5 610−
102030
Time(ms)
) Current(nA40
20−
Objectivo:determinar a
corrente q(t) recta implica corrente = declive
7
CONVENÇÃO PARA CORRENTES
É absolutamente necessário indicar a direcção do movimento das cargas.
A CONVENÇÃO UNIVERSALMENTE ACEITE, É DEQUE A CORRRENTE REPRESENTA O FLUXO DECARGAS POSITIVAS, PELO QUE SE DEFINE A DIRECÇÃO DO FLUXO COMO
-DIRECÇÃO DE REFERÊNCIA-
um valor positivo paraa corrente indica fluxono sentido da seta
valor negativo indicafluxo no sentidocontrário.
8
CONVENÇÃO PARA TENSÃO ELÉCTRICA
UMA DEFINIÇÃO PARA VOLT2 pontos têm uma diferença de tensão de um voltse um coulomb de carga ganha (ou perde) um joulede energia quando se movimenta de um ponto para outro
+ a
b
C1
Se a carga ganha energiaao ir de a para b então b tem maior tensão (potencial)do que a. Se perde, então b tem menor tensãodo que a.
Dimensionalmente o volt deriva de outras grandezas
sAmN
COULOMBJOULE
qWVOLT
••
===
Tensão eléctrica é uma grandeza (relativa) entre 2 pontos. Para salientar esteaspecto alguns autores usam a terminologia “diferença de potencial”.
É fundamental que a notação esclareça qual dos pontos tem maiortensão eléctrica.
9
NOTAÇÃO DE DOIS INDÍCES
O primeiro índice indica a tensão positiva.
VVAB 2=
VVAB 5−= VVBA 5=BAAB VV −=
Qual a energia necessária para mover 120cde b para a (circuit_1)?
JVQWQWV 240==⇒=
cargas movem-se para um ponto demaior tensão logo ganham energia.
10
ENERGIA E POTÊNCIA
2[C/s] passampelo elemento
cada coulomb de carga perde 3[J]ou seja fornece 3[J] de energia ao elemento
Logo, o elemento recebe energia à taxa de 6[J/s]
Portanto, a potência absorvida pelo elemento é de 6[W]
COMO SE RECONHECE SE UM ELEMENTO ABSORVEOU FORNECE ENERGIA?
VIP =IN GENERAL ∫=
2
1
)(),( 12
t
tdxxpttw p
dtdw
dtdq
dqdwvi ===
11
Convenção passiva
Potência recebida é positiva, potênciafornecida é negativa.
UMA CONSEQUÊNCIA DA CONVENÇÃO É A DE
QUE A DIREÇÇÃO DA TENSÃO E CORRENTE NÃO
SÃO INDEPENDENTES (assumindo elementos passivos)
a b
−+ abV
abI
ababIVP =
Se tensão e correntesão ambas positivas acarga move-se da tensãomais alta para a maisbaixa e o elementorecebe energia.é um elemento passivo
a b
−+ abVAssim, dada a referência da polaridade…
a babI
Se a referência para a corrente é dada…
−+
… então esta é a referência para a polaridade
… determina-se a direcção da corrente.
a b
−+ abV
VVab 10−=
EXAMPLE
The element receives 20w of power.what is the current?
abI
Select reference direction based onpassive sign convention
ababab IVIVW )10(][20 −==][2 AIab −=
A2
12
ELEMENTOS DE CIRCUITO
1. ELEMENTOS PASSIVOS:Resistência, condensador e bobine
2. FONTES INDEPENDENTES:Tensão e corrente
3. FONTESDEPENDENTESDE TENSÃO
4. FONTESDEPENDENTESDE CORRENTE
R C L
13
Potência absorvida ou recebida por cada elemento
][48)4)(12(1 WAVP ==
][48)2)(24(2 WAVP ==
][56)2)(28(3 WAVP ==
][8)2)(4()2)(1( WAVAIP xDS −=−=−=
][144)4)(36(36 WAVP V −=−=
VERIFIQUE O EQUILIBRIO ENERGÉTICO
USE O EQUILIBRIO ENERG. PARA CALC. Io
W12−
))(6( OI )9)(12( −
)3)(10( −
)8)(4( − )11)(28( ×
EQUILIBRIO (POTÊNCIA)
][1 AIO =
14
CIRCUITOS RESISTIVOS
Leis fundamentais para análise de cirtuitos: Ohm KCL KVL
Tópicos seguintes:
• Topologia (grafos, árvores, ramos, galhos, ligações), Circuitos
•Leis de KIRCHHOFF – leis fundamentais de conservação- Kirchhoff Current (KCL) E Kirchhoff Voltage (KVL)
•Aprender a analisar circuitos simplesCircuito com 1 malha- Divisor de tensãoCircuito com 1 nó – Divisor de corrente
• Combinaçôes serie/parallelo – técnica de redução de complexidade emcircuitos.
• Circuitos com fontes dependentes - ligações adicionais nas equações
• WYE - DELTA TRANSFORMATION – Técnica de redução de circuitos que naosão nem série nem paralelos
• Lei de Ohm – define o elemento passivo mais simples, a resistência.
16
R−
+v
i
ation Represent Circuit
Reparar naconvençãopassiva
Dois casos especiais
CircuitShort
CircuitOpen
−=
+0v
0=i
∞==
GR 0
0=∞=
GR
rel v-I verdadeira
Zona linear
v
i
Uma resistência linear obede à lei de OHM
)()( tRitv =
17
Programa
1. Introdução aos circuitos eléctricos2. Grafos e circuitos resistivos lineares
– Grafos, árvores, ramos, galhos e ligações– Leis de Kirchhoff.– Métodos nodal e das malhas.– Teoremas: Sobreposição e Equivalência; Thévenin e Norton
3. Circuitos dinâmicos lineares4. Regime forçado sinusoidal5. Análise no domínio da frequência complexa6. Circuitos resistivos não-lineares
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Nós, Ramos, Malhas
NÓ:junção entre 2 ou mais elementos(e.g., “big” nó 1)
MALHA:um caminho fechado que nunca passa2 vezes pelo mesmo nó.
BRANCH: Component connected between twonodes (e.g., component R4)
O caminho a vermelho NÃO é uma malha
UM NÓ LIGA VÁRIOS COMPONENTES MAS NÃOCONCENTRA NENHUMA CARGA.
A CORRENTE TOTAL QUE ENTRA NO NÓ ÉIGUAL À CORRENTE TOTAL QUE SAI.
(UM PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DE CARGA)
NÓ
21
LEI DAS CORRENTES KIRCHHOFF(KCL)
One of the fundamental conservation principlesin electrical engineering
“charge cannot be created nor destroyed”
22
SOMA DAS CORRENTES QUE ENTRAM NUM NÓÉ IGUAL À SOMA DAS CORRENTES QUE SAEMDO NÓ
SOMA ALGÉBRICA DAS CORRENTES QUE FLUEM PARA UM NÓ É ZERO.
SOMA ALGÉBRICA DAS CORRENTES QUE FLUEMDE UM NÓ É ZERO.
NÓ GENERALIZADO É QUALQUER PARTE DO CIRCUITO ONDE NÃO HÁ CONCENTRAÇÃO DECARGA. KCL É VALIDA EM ÁREAS.
... TAMBÉM CONHECIDO POR SUPERNÓ
0:3 de Sai0:2 de Sai
7542
461
=+−+−=−+
iiiiiii
0:3 & 2 somando 76521 =++−− iiiiiinterpretação:soma das correntes queSaiem de 2&3 é nula.
visualização: Nós 2&3 são englobadosDentro de uma superfície, vista comoum nó generalizado (OU SUPERNÓ)
LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES (KCL)
24
QUAL VALOR DAS CORRENTES DESCONHECIDAS ?
KCL DEPENDE APENAS DAS LIGAÇÕES. O TIPO DECOMPONENTE É IRRELEVANTE, ISTO É …
KCL DEPENDE APENAS DA TOPOLOGIA DO CIRCUITO
26
LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES (KVL)
KVL É UM PRINCIPIO DE CONS. DE ENERGIA
+AV
BBV)( AB VVqW −=Δ
q
−+ abVa b
+q
abqVW =ΔPERDE
+− cdVc d
+q
cdqVW =ΔGANHA
+
AV
BBV
q
CV
−
+ABV −
+BC
V−+ CAV
ABqVW =Δ
BCqVW =Δ
CAqVW =Δ
IMAGINEM ….
SE A CARGA VOLTA AO PONTO DE PARTIDA, O GANHO DE ENERGIA DEVERÁ SERNULO (rede conservativa)
CASO CONTRÁRIO PODERIA ABSORVER OUFORNERCER ENERGIA INFINITA.
0)( =++ CDBCAB VVVq
KVL: A SOMA ALGÉBRICA DAS QUEDAS DETENSÃO NUMA MALHA SÃO ZERO.
A B+− V ≡
A B−−+ )( V
DROP NEGATIVEA IS RISE E A VOLTAG
27
VVR 181=
VVR 122=
LOOP abcdefa
THE LOOP DOES NOT HAVE TO BE PHYSICAL
−
+
beV
0][3031
=−++ VVVV RbeR
PROBLEM SOLVING TIP: KVL IS USEFULTO DETERMINE A VOLTAGE - FIND A LOOP INCLUDING THE UNKNOWN VOLTAGE
be
R3R1
V VOLTAGETHE DETERMINEKNOWN AREVV:EXAMPLE ,
28
NEM TODAS AS EQUAÇÕES KVL SÃO INDEPENDENTES (TAL COMO KCL).
A TERCEIRA EQUAÇÃO É A SOMA DAS OUTRAS DUAS!!
NUMERO DE EQUAÇÕES LINEARMENTE INDEPENDENTES
BRANCHES OFNUMBER NODES OFNUMBER
DEFINE CIRCUIT THE IN
BN
TESINDEPENDEN ELINEARMENT KVL EQUAÇÕES )1(
TESINDEPENDEN ELINEARMENT KCL EQUAÇÕES 1
−−
−
NB
N
EXAMPLE: PARA ESTE CIRCUITO: N = 6, B = 7. SÓ HA 2 EQUACOES KVL INDEPENDENTES
30
Combinações serie paralelo
k9
kkk 69||18 =
kkk 1066 ++
AN EXAMPLE WITHOUT REDRAWING
kkk 612||12 =kkk 26||3 =
)24(||6 kkk +
RESISTORS ARE IN SERIES IF THEY CARRYEXACTLY THE SAME CURRENT
RESISTORS ARE IN PARALLEL IF THEY ARECONNECTED EXACTLY BETWEEN THE SAME TWONODES
12k
31
Divisores de tensão e de corrente
São exemplos de circuitos com 2 nós ou com 2 malhas
divisor corrente: uma eq. KCL + Ohm -> Ix=f(Is)
divisor tensão: uma eq. KVL + Ohm -> Vx=f(Vs)
32
Programa
1. Introdução aos circuitos eléctricos2. Grafos e circuitos resistivos lineares
– Leis de Kirchhoff.– Métodos nodal e das malhas.– Teoremas: Sobreposição e Equivalência; Thévenin e Norton
3. Circuitos dinâmicos lineares4. Regime forçado sinusoidal5. Análise no domínio da frequência complexa6. Circuitos resistivos não-lineares
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Método dos nós e das malhas
objectivos
Desenvolver técnicas sistemáticas de determinação das Tensões e correntes no circuito.
Análise nodalAnálise nas malhas
ANÁLISE NODAL
As variáveis utilizadas para descrever o circuito sãoAs “Tensões Nodais”.
-- A tensão de cada nó do circuitorelativamente a um nó de referência.
34
2 - “BACKTRACK” USANDO KVL, KCL OHM’S
kVI a62 = :SOHM' 0321 =−− III :KCL
3*3 IkVb = :SOHM' …OTHER OPTIONS...
4
34
*4124
12
IkV
II
b =+
=
5
345
*30
IkVIII
C ==−+
:SOHM' :KCL
1 - Reduzir o circuito a uma só malha.
k12
k6
kVI
1212
1 =)12(
933+
=aV
3I
35
A PERSPECTIVA DA ANÁLISE NODAL: exprimir tensões nasresist. função das tensões nodais 5 NÓS: 1 de ref. logo
sobram 4 tensões nodaispor determinar.
Nota: se as tensões dos nósrelativamente a um nó referência sãoconhecidas … pode saber-se tudosobre o circuito
01
1
=++−
−=
aS
aS
VVVVVV
03
3
=++−
−=
ba
ba
VVVVVV
REFERENCE
05
5
=+−−
−=
bc
cb
VVVVVV
Diferenças de tensões nodaisindicam as correntes pelalei de Ohm
−+ Rv
NmR vvv −=
36
DEFINIR O NÓ DE REFERÊNCIA É VITAL
até que se defina o ponto de referência
Por convenção o símbolo de massaindica o ponto de referência (nó)
−
+V4
Todas as tensões nodais são relativas ao ponto de referência
+
−V2
Dizer que V1=4V é ambíguo. . . .
37
ESTRATÉGIA PARA ANÁLISE NODAL
1. identificar todos os nós e escolher o de referência.
2. identificar tensões conhecidas
3. em cada nó c/ V desconhecidoescrever eq KCL(e.g.,soma correntes saem =0)
0:@ 321 =++− IIIVa
4. substituir correntes por tensõesdos nós através lei de Ohm.
0369
=−
++−
kVV
kV
kVV baasa
obtém-se conjunto de equaçõesalgébricas nas tensões dos nós... resolver usando qq. método!
REFERENCE
SV aV bV cV
0:@ 543 =++− IIIVb
0:@ 65 =+− IIVc
0943
=−
++−
kVV
kV
kVV cbbab
039
=+−
kV
kVV cbc
shortcut:shortcut: estas eqs. só precisamde existir no pensamento...
Treinar a escrever estas
directamente.
38
CIRCUITOS APENAS COM FONTES DE CORRENTE INDEPENDENTES.
CONSELHO:CONSELHO: A NOTAÇÃO FICA MAIS CLARA SE UTILIZARMOS CONDUTÂNCIAS EM VEZ DE RESISTÊNCIAS.
@ NODE 1
REORDERING TERMS
@ NODE 2
REORDERING TERMS
O MODELO PARA O CIRCUITO É UM CONJUNTO DE EQ. ALGÉBRICAS.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS SÃOEFICIENTEMENTE TRATADAS UTILIZANDOÁLGEBRA DE MATRIZES…
39
MANEIRA EXPEDITA DE ESCREVER EQ.
CIRCUITOS APENAS COM FONTES INDEPENDENTES A MATRIZ É SIMÉTRICA
ELEMENTOS DA DIAGONAL SÃO POSITIVOS
ELEMENTOS FORADA DIAGONAL SÃO NEGATIVS
Conductances connected to node 1
Conductances between 1 and 2
Conductances between 1 and 3
Conductances between 2 and 3
VÁLIDO PARA CIRCUITOSSEM FONTES DEPENDENTES
40
Circuitos com fontes dependentes não se pode usaro método expedito… a simetria é perdida.
ProcedimentoProcedimento•escrever as equações dos nós tratando
as fontes dependentes como se fossem independentes.•por cada fonte dependentes, escrever uma eq. extra coma equação de controlo da fonte em função das tensões nodais
CIRCUITOS COM FONTES DEPENDENTES
43
CIRCUITS WITH DEPENDENT SOURCESPRESENT NO SIGNIFICANT ADDITIONAL COMPLEXITY. THE DEPENDENT SOURCESARE TREATED AS REGULAR SOURCES
WE MUST ADD ONE EQUATION FOR EACHCONTROLLING VARIABLE
45
A segunda técnica sistemática de determinação de V’s e I’s...
- também a que permite criatividade
DUAL DA ANÁLISE NODAL – PRIMEIRO DETERMINA AS CORRENTESE DEPOIS USANDO LEI DE OHM DETERMINA AS TENSÕES
HÁ SITUAÇÕES EM QUE O MÉTODO DOS NÓS NÃO É EFICIENTE E O NÚMERO DEEQUAÇÕES GERADAS PELO MÉTODO DAS MALHAS É SIGNIFICATIVAMENTE MENOR
MÉTODO DAS MALHAS
46
PELO MÉTODO DOS NÓS . . .
5 NÓS
1 SUPERNÓ
1 fonte de tensão ligada a massa1 fonte de tensão não ligada à massa
MÉTODO DOS NÓS = 4 EQUAÇÕES
… mas só ha uma única corrente que flui por todos os componentes.se ficar determinada sabemos todas as tensões
aplicar KVL…
+-
+-
1R 2R
3RV18
V12
−+ 2RV−+ 1RV
−+ 3RV
3V2V1V
4V
47
1
2 3
4
56
7
A BASIC CIRCUIT
ab c
def
1I 2I
3 I
MALHA: CAMINHO FECHADO QUE NÃO PASSA2 VEZES PELO MESMO NÓ.MALHAS INTERIORES SÃO CIRCULAÇÕES SEM ELEMENTOS NO SEU INTERIOR
CORRENTE DE MALHA: CORRENTE FICTÍCIA QUEFLUI (À VOLTA) NUMA MALHA.
MALHA DE CORRENTES SÃO ,, 321 III
AFIRMAAFIRMAÇÇÃO ! ÃO ! NUM CIRCUITO AS CORRENTES PODEM SER EXPRESSAS ATRAVÉS DAS CORRENTES DE MALHA. - A SUA DIRECÇÃO É RELEVANTE -
48
B NÚMERO DE RAMOSN NÚMERO DE NÓS
NÚMERO MÍNIMO DE CORRENTES DEMALHA NECESSÁRIAS É:
)1( −−= NBLCORRENTES DAS MALHAS INTERIORES SÃOSEMPRE INDEPENDENTES.
EXEMPLO
2)16(767
=−−===
LNB
SÃO NECESSÁRIAS 2 CORRENTES DE MALHA.
KVL NAS MALHAS – 1 EQ P/MALHA
LEI DE OHM – SUBST. V P/ I MALHA
RESOLVER SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALG.
MÉTODO DAS MALHAS:
ESCOLHER MALHAS INTERIORES E SENTIDODAS CORRENTES DAS MALHAS todas c/mesmo sentido.
EXPLICAR MÉTODO EXPEDITO.
49
B NÚMERO DE RAMOSN NÚMERO DE NÓS
NÚMERO MÍNIMO DE CORRENTES DEMALHA NECESSÁRIAS É:
)1( −−= NBL
CORRENTES DAS MALHAS INTERIORES SÃOSEMPRE INDEPENDENTES.
EXEMPLO
2)16(767
=−−===
LNB
SÃO NECESSÁRIAS 2 CORRENTES DE MALHA.
KVL NA MALHA 1
SUBSTITUINDO E REARRANJANDO.
EQUAÇÕES DAS MALHAS PARA O CIRCUITO
DETERMINAÇÃO DAS CORRENTES DE MALHA
KVL NA MALHA 2
51
CIRCUITOS COM FONTES INDEPENDENTES DE CORRENTE
MALHA 1
MALHA 2
FONTES DE CORRENTE QUE NÃO SÃO PARTILHADASPOR OUTRAS MALHAS DEFINEM IMEDIATAMENTEO VALOR DA CORRENTE NA MALHA.
52
CIRCUITOS COM FONTES INDEPENDENTES DE CORRENTE
MESH 1 EQUATION mAI 21 =
MESH 2
VkIkI 282 21 =+−“BY INSPECTION”
][296
43
82)2(2
22 VkIVmAk
VmAkI O ==⇒=+×
=
FONTES DE CORRENTE QUE NÃO SÃO PARTILHADASPOR OUTRAS MALHAS DEFINEM IMEDIATAMENTEO VALOR DA CORRENTE NA MALHA.
TO OBTAIN V1 APPLY KVL TO ANY CLOSEDPATH THAT INCLUDES V1
53
FONTES DE CORRENTE PARTILHADA P/2 MALHAS – A SUPERMALHA!
1. ESCOLHER CORRENTES NAS MALHAS
2. ESCREVER A EQUAÇÃO DE PARTILHA DAFONTE PELAS DUAS CORRENTES.
mAII 432 =−
3. ESCREVER AS EQUAÇÕES DAS OUTRAS MALHAS
mAI 21 =
4. DEFINE A SUPERMALHASUPERMALHA REMOVENDO(MENTALMENTE) A FONTE DE CORRENTE.
SUPERMESH
5. ESCREVER KVL NA SUPERMALHA
0)(1)(2216 131223 =−+−+++− IIkIIkkIkI
3 EQUAÇÕES A 3 INCÓGNITAS…
MODELO COMPLETO
54
FONTES DE CORRENTE PARTILHADAS POR MALHAS – CIRCULAÇÃO ESPECIAL
ESTRATÉGIA – DEFINIR MALHAS QUE NÃOPARTILHAM FONTES DE CORRENTE.
MESMO QUE ISSO SIGNIFIQUE UTILIZARMALHAS NÃO-INTERIORES.
3I
mAImAI
4 - 2 MALHA2 - 1 MALHA
2
1
==
EQUAÇÕES SÃO:
EQUAÇÃO PARA A MALHA EXTERIOR.
0)(1)(2)(21][6 13123233 =−+−+++++− IIkIIIkIIkkIV
55
CIRCUITOS COM FONTES DEPENDENTES
Trata-se a fonte dependentecomo se fosse independente.
Junta-se mais uma equação(eq. da fonte) que relacionao parâmetro de controlo com correntes das malhas.
kVI
mAI
X
2
4
2
1
=
= 0)(1)(21 4313 =−+−+− IIkIIkkI x :3MESH
012)(1)(1 2434 =+−+− VIIkIIk :4MESH
)(2CONTROLO DE VARIÁVEIS
1324 IIkVIII xx −=−=
57
Programa
1. Introdução aos circuitos eléctricos2. Grafos e circuitos resistivos lineares
– Leis de Kirchhoff.– Métodos nodal e das malhas.– Teoremas: Sobreposição e Equivalência; Thévenin e Norton.
3. Circuitos dinâmicos lineares4. Regime forçado sinusoidal5. Análise no domínio da frequência complexa6. Circuitos resistivos não-lineares
58
OUTRAS TÉCNICAS DE ANÁLISE(as mais importantes p/ pequenos circuitos)
OBJECTIVOS
Propriedade da Linearidade –
Aplicar sobreposiçãoUtilizar este princípio para resolver circuitos-
TEOREMAS DE THEVENIN E NORTON Importantes teoremas que ajudam a esconder a complexidade e a Focar na parte do circtuito em que estamos interessados.
MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA
61
LINEARIDADE
OS MODELOS UTILIZADOS. MATEMATICAMENTESIGNIFICA QUE OBEDECEM AOPRINCÍPIO DA SOBREPOSIÇÃO
21
21
22112211
, possíveis escalares os todos e, possíveis entrada de pares os todos para
)(SSELINEAR É MODELO UM
αα
ααααuu
TuTuuuTTuy+=+
=
OU. . . ALTERNATIVAMENTE
adehomogeneid ,,)( 2.eaditividad ,, )(.1
SSELINEAR É MODELO O
212121
uTuuTuuTuTuuuT
Tuy
∀∀=∀+=+
=
ααα
Recorrendo ao método dos nós obtém-se umaEquação do tipo.
fAv =
v É UM VECTOR COM AS TENSÕES DOS NÓS Ef É UM VECTOR DEPENDENTED APENAS DASFONTES INDEPENDENTES.
62
USANDO A HOMOGENEIDADE
Assume that the answer is known. Can we Compute the input in a very easy way ?!!
−
+
1V
If Vo is given then V1 can be computed using an inverse voltage divider.
02
211 V
RRRV +
=
… And Vs using a second voltage divider
02
2141
4 VR
RRR
RRV
RRR
VEQ
EQ
EQ
EQS
++=
+=
Solve now for the variable Vo
The procedure can be made entirely algorithmic
1. Give to Vo any arbitrary value (e.g., V’o =1 )
2. Compute the resulting source value and call it V’_s
3. Use linearity. kkVkVVV SS ∀→⇒→ ,'0''
0'
4. The given value of the source (V_s) corresponds to
'S
S
VVk =
Hence the desired output value is
'0'
'00 V
VVkVV
S
S==
This is a nice little toolfor special problems.Normally when there isonly one source and when in our judgementsolving the problembackwards is actuallyeasier
EQR
63
UTILIZEMOS A HOMOGENEIDADE
][12 VVVout == ASSUME
1I
OV
NOW USE HOMOGENEITY
][2][12][1][6VVVV
VVVV
outO
outO
=→==→=
64
SOBREPOSIÇÃO DE FONTES
É uma aplicação directa da linearidade.
É util quando o circuito tem poucas fontes.
65
circuit
+ -VS
IS
+
VL
_
IL
Pela linearidade
V a V a IL S S= +1 2
V L1 Pode ser calculada anulando a fonte de corrente
V L2 Pode ser calculada anulando a fonte de tensão
Exemplo c/ 2 fontes
SVBY ONCONTRIBUTI1LV SIBY ONCONTRIBUTI
2LV
66
ANULAR FONTE DE CORRENTE(CIRCUITO ABERTO)
1LI
1LV
ANULAR FONTE DE TENSÃO(CURTO CIRCUITO)
2LI
2LV
SOBREPOSIÇÃO DE FONTES
= +
PELA LINEARIDADE DO CIRCUITO DEVEMOS TER2121
LLLLLL VVVIII +=+= Princípio da sobreposição
67
EXEMPLO 1 i
=
][6||33 kReq +=
eq
eq
Rvi
kR
2"2
][)3||3(6
=
+=
+
EQUAÇÕES DAS MALHAS
CONTRIBUIÇÃO DE v1
CONTRIBUIÇÃO DE V2
PRETENDE-SE CALCULAR A CORRENTE
CONHECIDOS OS CIRCUITOS PARCIAIS
DEVERÃO SER RESOLVIDOS COM EFICIÊNCIA, OUSEJA:
SABER MUITO BEM ASSOCIAR RESISTÊNCIAS ….☺
68
EXEMPLO
ANULAR FONTE DE TENSÃO
Divisor de corrte
Lei Ohm
Anular fonte de correnteDivisor de tensão
+-
V0"6k
3k
3V ][6"0
'00 VVVV =+=
][2 V=
FONTES DE ÃOSOBREPOSIÇ USANDO CALCULE 0V
69
1. Num circuito com múltiplas fontes independentes, cada fonte é aplicadaindependentemente anulando as outras fontes
2. Para anular uma fonte independente de tensão substituimo-la por um curto circuito e para anular uma de corrente por um circuito aberto.
3. Aplicar todas as técnicas e leis aprendidas (kvl,kcl,divisores V eI, nós, malhas) para calcular a variável de interesse.
4. Somar ALGEBRICAMENTE as contribuições de cada fonte para obter a solução final.
SUMÁRIO
70
UM DOS RESULTADOS MAIS IMPORTANTE NA ANÁLISE DE
CIRCUITOS.Permite esconder a complexidaderecorrendo a uma “sintese” de um
circuito.
TEOREMAS DE THEVENIN E NORTON
71
http://angelfire.com/ab3/mjramp/index.html
Low distortion audio power amplifier
From PreAmp(voltage ) To speakers
Para ajustar os speakers ao amplificadorÉ muito mais simples se utilizar o modelosimplificado!
Para “calcular” o melhor altifalanteÉ necessário resolver o circuito.
+-
RTH
VTH
Substituir o amplif.Por um circuito equiv.
Courtesy of M.J. Renardson
72
a
b_Ov+
i
TEOREMA DE EQUIVALÊNCIA DE THEVENIN
Thevenin de eequivalent aResistenci Thevenin de eequivalent Fonte
TH
TH
Rv
LINEAR CIRCUIT
PART B
a
b_Ov+
i
−+
THR
THv
PART A
Circuito equivalente de Thevenin
Para a PARTE A
PARTE ACIRCUITO LINEARPode ter fontes
independentes e dependentes
englobando as variáveis de
controlo
PARTE BCIRCUITO LINEARPode ter fontes
independentes e dependentes
englobando as variáveis de
controlo
73
a
b_Ov+
i
TEOREMA DA EQUIVALÊNCIA NORTON
Norton de eEquivalent aResistenci Norton de eequivalent Fonte
N
N
Ri
LINEAR CIRCUIT
PART B
a
b_Ov+
i
NRNi
PART A
Circuito Equivalente de Norton
Para a PARTE A
PARTE ACIRCUITO LINEARPode ter fontes
independentes e dependentes
englobando as variáveis de
controlo
PARTE BCIRCUITO LINEARPode ter fontes
independentes e dependentes
englobando as variáveis de
controlo
75
COMO ???? - version 1
Se o circuito A não é alterado a corrente é a mesma qualquer que seja Vo
TEOREMA DA SOBREPOSIÇÃO
SCi+
ANULAR FONTESINDEPENDENTES EM A
Oi
=
⇒−=O
OTH i
vR SE-DEFINE
SCO iii +=
OSCTH
O viRvi ∀+−= ;
SCTH
OCOCO i
Rvvv
i
+−=⇒=
=
0
)0(ABERTOCIRCUITO :ESPECIALCASO
SC
OCTH i
vR =⇒TH
OCSC R
vi =⇒
iRvviRvi THOCOSCTH
O −=⇒+−= COMO SE INTERPRETA O RESULTADO ?
76
OUTLINE OF PROOF - version 2
2. O resultado é verdadeiro para qualquer circ. B que se imagine
1. POR SEREM CIRCUITOS LINEARES, QUALQUER QUE SEJA A FORMADO CIRCTUI B, V0 E I RELACIONAM-SE POR: nimvO += *
3. SE B for um circuito aberto, então i=0 , e OCvn =4. Se B for um curto-circuito, V0=0. Então …
OCTHO viRv +−=
OCSC vim += *0 THSC
OC Rivm −=−=⇒
a
b_Ov+
iPARTE A
CIRCUITO LINEARPode ter fontes
independentes e dependentes
englobando as variáveis de
controlo
PARTE AbCIRCUITO LINEARPode ter fontes
independentes e dependentes
englobando as variáveis de
controlo
77
EQUIVALENTE DE THEVENIN PARA APARTE A DO CIRCTUITO
OCTHO viRv +−= Qualquer que seja o circuito B
A fonte de tensão chama-se FONTE EQUIVALENTE DE THEVENIN
A resistência chama-se a RESISTÊNCIA EQUIVALENTE DE THEVENIN
RTH
i +
_OvOCv +
_
QualquerPARTE B
a
b_Ov+
i
EQUIVALENTE DE THEVENIN
PARTE ACIRCUITO LINEARPode ter fontes
independentes e dependentes
englobando as variáveis de
controlo
78
Equivalente Norton
SCi THR−
+
Ov
a
b
i
Norton
TH
O
TH
OCTHOCO R
vRviiRvv −=⇒−=
QUALQUER
PARTE B
a
b_Ov+
i
SCTH
OC iRv
=
Norton de eequivalent Fonte SCi
Acirc. o para çãoRepresentaNortondeeEquivalent
PARTE ACIRCUITO LINEARPode ter fontes
independentes e dependentes
englobando as variáveis de
controlo
79
RTH
i +
_OvOCv +
_
Thevenin
TH
OCSC R
vi =
A equivalência pode ser vista como um modo de transformar fontes:Uma fonte de tensão em série com uma resistência, numa fonte de corrente com uma resistência em paralelo
SCi THR−
+
Ov
a
b
i
Norton
OUTRO PONTO DE VISTA SOBRE OS TEOREMAS THEVENIN E NORTON
Equivalentes são ferramentas importantes para reduzir complexidade
81
+- SV
VR
SI
IRa
b
a
bSS
IV
RIVRRR
=
==:ESQUANDOEQUIVALENT SÃO MODELOS OS
RESUMO: TRANSF. DE FONTES
82
PROCEDIMENTO GERAL PARA DETERMINAR EQUIV. THEVENIN
1. Determinar a Tensão de THEVENIN
Retirar a parte Be calcular a tensãoCIRC. ABERTO abV
2. Determinar aCORRENTE DECURTO-CIRCUITO
Retirar o circ B e calcularA CORRENTE DE CURTOCIRCUITO abI
SC
OCTHOCTH i
vRvv == ,
LINEAR CIRCUITMay contain
independent anddependent sources
with their controllingvariablesPART A
a
b_
0=+v
SCi
abI
OUTRO CIRC. A RESOLVER
Thevenin de eequivalent aResistênci
circuito-curto umpor B substitui se quando b - a em corrente
circuito -curto de orrenteC B parte a retirando b-a em tensão
aberto-circuito de Tensão
SC
THTH
SC
TH
ivR
i
v
= UM CIRC. A RESOLVER
_abV+
LINEAR CIRCUITMay contain
independent anddependent sources
with their controllingvariablesPART A
a
b_
OCv+
0=i
83
EQUIVALENTE DE THEVENIN , SÓ COM FONTES INDEPENDENTES
Vth = V CIRCUITO ABERTO
RESISTÊNCIA DE THEVENIN É A RESISTÊNCIA EM a-b ANULANDO TODAS AS FONTES …….
+-
a
b
To Part BVS
R1
R2IS
a
b
RTHR2R1
“Part B”
Ω= kRTH 3
“Part B”
Ω= kRTH 4
85
Ω= kRTH 4
][8][1263
6 VVVTH =+
=
Ω= kR TH 41
−
+1
THVVOC – UTILIZA-SE KVL
VVmAkVTH 1682*41 =+=
VVV 8][1688
80 =
+=
DETERMINAR Vo
86
CIRCUITOS SÓ COM FONTES DEPENDENTES
Só tem resistência equivalente !!!
Só que … isc=0, voc=0 => Rth é indeterminado.
87
CIRC. SÓ COM FONTES DEPENDENTESUTILIZA-SE TENSÃO DE “TESTE”...
)( PV
)( PVP
PTH I
VR =
1RaIVII XP
XP−
+=2R
VI PX =
PP VRRa
RRI ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
2112
11
P
PTH
VRRa
RR
VR
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
=
2112
11
O valor da fonte de teste é irrelevante.Por exemplo 1V .
…E CALCULA-SE A CORRENTE FORNECIDA AOCIRCUITO
88
USANDO FONTE AUXILIAR DE CORRENTE
)( PI
)( PI
P
PTH I
VR =
É NECESSÁRIO CALC. TENSÃO NÓ V_p
012
=−−
+ PXPP I
RaIV
RVKCL
2RVI P
X =
PP IVRRa
RR=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
2112
11
O valor da corrente de teste também é irrelevante
89
a) Obter o equivalente de Thévenin em função do parâmetro α.
b) Comentar o valor obtido para a resistência equivalente quando α=-2R.
CIRC. SÓ COM FONTES DEPENDENTESUTILIZAR FONTE DE TESTE
aa
Exemplo 1
90
Exemplo 2
Pomos uma fonte de corrente ou de tensão?
PV1V
PV
PI
Usando o método dos nós, o nó de V1 pode ser resolvido rapidamente…
P
PTH I
VR = Ω= k1514
91
LINEAR CIRCUITMay contain
independent anddependent sources
with their controllingvariablesPART A
a
b_Ov+
i
Equivalente de Thevenincircuitos com fontes dependentes e independentes
+-
THR
THV
a
b
OCTH VV =
SC
OCTH I
VR =
Há que calcular a corrente de c.c. e tensão c. a.
Para cada equivalente há que resolver 2 circuitos !!!
Utiliza-se a “artilharia” toda : KVL, KCL, NÓS, MALHAS, ASS. RES.SOBREPOSIÇÃO, HOMOGENEIDADE … ETC
92
EXAMPLE Use Thevenin to determine Vo
“Part B”
TENSÃO EM ABERTO1V
CORRENTE C. C.AV
02
" ==k
VI AX
SOLUÇÃO
OCV
)2( kaRTH =
THTH
VRkk
kV++
=111
0
93
MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA
From PreAmp(voltage ) To speakers
+-
RTH
VTH
The simplest model for aspeaker is a resistance...
+-
RTH
VTH SPEAKERMODEL
BASIC MODEL FOR THE ANALYSIS OF POWER TRANSFER
http://angelfire.com/ab3/mjramp/index.html
Courtesy of M.J. Renardson
94
MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA
The simplest model for aspeaker is a resistance...
+-
RTH
VTH SPEAKERMODEL
BASIC MODEL FOR THE ANALYSIS OF POWER TRANSFER
Qual a potência na carga (altifalante) quando:
-resistência da carga é nula?
-resistência na carga é infinita?
95
TEOREMA DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA
+-
SOURCE
(LOAD)
RTH
VTH
RL
−
+
LV
THLTH
LL
L
LL V
RRRV
RVP
+== ;
2
( )2
2 THLTH
LL V
RRRP+
=
( ) ( )( ) 02
4
22 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+−+=
LTH
LTHLLTHTH
L
L
RRRRRRRV
dRdP
3
⇒=−+ 02 LLTH RRR THL RR =*
A CARGA QUE MAXIMIZA A TRANSF. DE POTÊNCIA ÉIGUAL À RESIST. EQUIVALENTE DE THEVENIN.
TH
THL R
VP4
(max)2
=
98
Programa
1. Introdução aos circuitos eléctricos2. Grafos e circuitos resistivos lineares
– Leis de Kirchhoff– Métodos nodal e das malhas.– Teoremas: Sobreposição e Equivalência; Thévenin e Norton.– Circuitos lineares com AMPOPs
3. Circuitos dinâmicos lineares4. Regime forçado sinusoidal5. Análise no domínio da frequência complexa6. Circuitos resistivos não-lineares
99
CIRCUITOS COM AMPOPS (Amp. Operacional)
1. AmPops são elementos muito úteis !
2. Já conhecemos todas as ferramentas necessárias paraFazer a análise de circuitos com AmPops
3. O modelo do ampop inclui fontes dependentes
100
OP-AMP ASSEMBLED ON PRINTED CIRCUIT BOARD
LMC 6294 DIP
PIN OUT FOR LM324
DIMENSIONAL DIAGRAM LM 324
101
SÍMBOLO DOAMPOP
MODELO LINEAR RESISTÊNCIA DE SAÍDA
RESIST. ENTRADA
GANHO
75
125
1010:
501:1010:
−
Ω−ΩΩ−Ω
A
RR
O
i
VALORES TÍPICOS
102
CIRCUITO COM UM AMPOP
CIRCUITO “FONTE”
CARGA
AMP-OP
MANUFACTURER PART No A Ri[MOhm] Ro[Ohm]National LM324 100,000 1 20National LMC6492 50,000 10 150Maxim MAX4240 20,000 45 160
AMPOPS COMERCIAIS E ALGUNS VALORES DAS VARIÁVEIS
103
SEGUIDOR DE TENSÃO: CIRCUITO E MODELO
0=+++− inOOis VAIRIRV :KVL
0=++ inOO VAIRoutV- :KVL
IRV iin = :CONTROLO DE VARIÁVEL
iOO
is
out
RARRV
V
++
=1
1RESOLVENDO
1→⇒∞→S
outO V
VA
PORQUÊ O SEGUIDOR?
GANHO
PERFORMANCE OF REAL OP-AMPS
Op-Amp BUFFER GAINLM324 0.99999LMC6492 0.9998MAX4240 0.99995
105
SEGUIDOR DE TENSÃO – (UNITY GAIN BUFFER)
svv =+
+− = vv
−= vvO
SO vv =
SEM SEGUIDOR COM SEGUIDOR
SO vv =
A FONTE FORNECE POTÊNCIA
NÃO HÁ FORNECIMENTO DE POT.
SEGUIDOR DE TENSÃO ISOLA OS DOIS CIRCUITOS.MUITO ÚTIL PARA FONTES DE MUITO BAIXAPOTÊNCIA.
107
EXEMPLO:USANDO AMPOP IDEAL
s
out
VVG = GANHO OCALCULAR
0=+v
0=∴=⇒∞= −−+ vvvAo
0=−v
0==⇒∞= +− iiRi
00021
=−
+−
RV
RV outs
-v@KCL
0=−i
1
2
RR
VVG
s
out −==
108
MODELO LINEAR DO AMPOP – “MODELO REAL”
MODELO LINEAR :
LIGANDO OS OUTROS COMPONENTES.
FAZENDO “REFRESH” AO DESENHO!!!!!!
2R
109
AMPLIFICADOR INVERSOR: ANÁLISE C/ MODELO REAL
MÉTODO DOS NÓS
VARIÁVEL DE CONTROLO FUNÇÃO DAS TENSÕESNOS NÓS:
RECORRENDO À ALGEBRA…
Ω=Ω=
=
10,10,10
8
5
Oi RRA
9996994.45,1 21 −=⇒Ω=Ω=S
O
vvkRkR 000.5−=⇒∞=
S
O
vvA
110
0=−i
0==⇒∞= +− iiRi
−+ =⇒∞= vvA
0=+v
0=−v
KCL @ TERMINAL INVERSOR
000
21=
−+
−R
vR
v OS
1
2
RR
vv
s
O −=⇒
O AMPOP IDEAL É UMA EXCELENTE APROXIMAÇÃO.EXCEPTO QUANDO INDICADO UTILIZAREMOS SEMPRE O MODELO IDEAL
EM RESUMO: O AMPLIFICADOR INVERSOR USANDO AMPOP IDEAL VERSUS O LINEAR …
AMPOP IDEAL
112
EXAMPLO USANDO AMPOP IDEAL
Ov DETERM.
2v
TENSÕES CONHECIDAS? 2211 , vvvv == ++Ganho infinito
1v
2v
Resist. Ent. infinita
0=−i
HÁ CORRENTE A “SAIR”DOS AMPOPS
1v
2v
av
CIRCUITO EQUIVALENTE
KCL@v1
KCL@v2
RESOLVENDO P/ vo
113
RESUMO (MUITO IMPORTANTE): AMPOP IDEAL
1 – GANHO INFINITO => V+-V- = 02 – RESISTÊNCIA DE ENTRADA INFINITA => i-=0 e i+=0
i-
i+ V+
V-
114
11 vvvv =⇒= −+GANHO INFINITO
0=−i
“DIVISOR DE TENSÃO INVERSO”
ii vR
RRvvRR
Rv1
2100
21
1 +=⇒
+=
RESIST. ENTRADA INF.
AMPLIFICADOR NÃO INVERSOR
TENSÕES CONHECIDAS1vv =+
R2
R1
ivv =−
0vMAIS EXEMPLOS
115
AINDA MAIS… IDEAL AMPOP ASSUMINDO .I CALULE O
Vv 12=+
VvAO 12=⇒∞= −
0=⇒∞= −iRi
Vv 12=−
0212
1212: =+
−− kk
Vv o KCL@ VVo 84=⇒
mAk
VI oO 4.8
10==∴
116
=SV
OV E GANHOCALCULAR
SVv =+SVv =_
0=−i
“DIVISOR DE TENSÃO INVERSO”OV
SV2R
1R
SO Vk
kkV1
1100 +=
101==S
O
VVG
VVmVV OS 101.01 =⇒=
AMPLIFICADOR NÃO INVERSOR
117
CIRCUITOS COMPARADORES
ALGUNS AMPOPS REAIS NECESSITAMUM “pull up resistor.”
DETECTOR DE ZERO-CROSSING
118
APLICAÇÃO: AMPERÍMETRO
APLIFICADOR NÃO INVERSOR
1
21RRG +=
IRV II =
IRRRGVV IIO ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+==
1
21
1191000 DEFACTOR UMPOR APMLIFICAR
A MODO DE , DETERMINE 12 RR
NÃO “CARREGA” PHONOGRAPH
)1)(1(1
2
1 RR
VVO +=
120
TERMÓMETRO COM LUZINHAS !!!!
UNITY GAINBUFFER
COMPARADORES
TT eR 0227.045.57 −=
ONLY ONE LEDIS ON AT ANYGIVEN TIME