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Diagramas lgicos

Proposies categricasAs proposies categricas constituem-se num dos principais tpicos da

Lgica Formal. Desde Aristteles, as proposies categricas tm sido estu-dadas e inmeras contribuies de lgicos tm sido feitas.

Preste ateno ao conceito de proposio categrica:

Uma proposio categrica aquela formada por um quantificador asso-ciado a um sujeito (primeira classe de atributos) que se liga a um predicado (segunda classe de atributos) por meio de um elo (cpula).

Exemplos:

Todos os animais so carnvoros.

PredicadoEloSujeitoQuantificador

Alguns cremes so oleosos.

PredicadoEloSujeitoQuantificador

Existem apartamentos que no so modernos.

PredicadoEloPartcula de negao

Quantificador

Sujeito

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1

Nenhum anfbio inteligente.

PredicadoEloSujeitoQuantificador

Numa proposio categrica, importante que o sujeito se relacione com o predicado de forma coerente e que a proposio faa sentido, no impor-tando se verdadeira ou falsa. Assim, por exemplo, em Todos os esportistas so competitivos temos uma proposio claramente falsa, mas que provi-da de sentido lgico.

Classificao das proposies categricasAs proposies categricas podem ser classificadas de acordo com dois

critrios fundamentais: qualidade e extenso ou quantidade.

Qualidade

O critrio de qualidade classifica uma proposio categrica em afirmati-va ou negativa.

Exemplos:

Algumas pessoas viajam no vero.

Todas as pessoas so ingnuas.

As proposies so categricas afirmativas.

Algumas pessoas no viajam no vero.

Nenhuma pessoa ingnua.

As proposies so categricas negativas.

Observe que, nesse critrio, no se classifica a proposio em verdadeira ou falsa, mas, sim, em afirmativa ou negativa.

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Extenso

O critrio de extenso ou quantidade classifica uma proposio categ-rica em universal ou particular. A classificao depender do quantificador que utilizado na proposio.

Exemplos:

Todos os animais so seres vivos.

Nenhum carro tem sete portas.

As proposies so categricas universais, pois os quantificadores todos e nenhum so universais.

Algumas pessoas gostam de sorvete.

Existem animais que no gostam de gua.

As proposies so categricas particulares, pois os quantificadores al-gumas e existem so particulares (existenciais).

Fica claro que, nesse critrio, a classificao determinada pelo quantifi-cador, no importando se a proposio afirmativa ou negativa.

Tipos de proposies e relaes entre proposies

Desde a poca de Aristteles, de acordo com a qualidade e a extenso, a Lgica Formal classifica as proposies categricas em quatro tipos, repre-sentados pelas letras A, E, I e O.

Observe o quadro contendo tais classificaes:

Tipo Qualidade Extenso Exemplo

A Afirmativa Universal Todo S P.

E Negativa Universal Nenhum S P.

I Afirmativa Particular Algum S P.

O Negativa Particular Algum S no P.

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Na tabela, S indica o sujeito e P indica o predicado de uma proposio categrica. Assim, de acordo com a tabela, temos:

Proposio afirmativa universal (A): Toda cidade limpa.

Proposio negativa universal (E): Nenhuma cidade limpa.

Proposio afirmativa particular (I): Alguma cidade limpa.

Proposio negativa particular (O): Alguma cidade no limpa.

Com essas classificaes, pde-se construir um quadro, denominado Quadrado Geral de Oposio, que apresenta as relaes existentes entre as proposies. Tal quadro atribudo a Aristteles.

Quadro 1 Quadrado Geral de Oposio

A

I

E

O

Todo S P(SAP)

Algum S P(SIP)

Nenhum S P(SEP)

Contraditrias

Contraditrias

Subalternase

Superalternas

Subalternase

Superalternas

Subcontrrias

Contrrias

Algum S no P(SOP)

Observao:

Representa-se SAP para descrever a ideia de que a sentena possui sujei-to (S) relacionado ao predicado (P) por meio de uma proposio categrica do tipo A (universal afirmativa). Da mesma forma, ocorre com SEP, SIP ou SOP. As letras S e P indicam, respectivamente, sujeito e predicado. A letra do meio identifica o tipo de proposio categrica.

Essas regras que relacionam as proposies so denominadas regras de contrariedade, contraditoriedade, subcontrariedade e subalternao. A seguir, estudaremos particularmente cada uma delas.

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Contrrias

As proposies so ditas contrrias quando so universais e se opem entre si apenas pela qualidade. O sujeito em ambas o mesmo, mas enquan-to uma afirma um predicado, a outra nega esse mesmo predicado.

A E

Todo S P(SAP)

Nenhum S P(SEP)

Contrrias

Duas proposies so contrrias quando ambas no podem ser verdadeiras ao mesmo tempo. Entretanto, em alguns casos, podem ser falsas ao mesmo tempo.

Exemplo 1:

Todo homem mortal. (A)

Nenhum homem mortal. (E)

Observe que todo homem mortal uma sentena verdadeira, enquan-to nenhum homem mortal falsa. No pode ocorrer de ambas serem ver-dadeiras ao mesmo tempo.

Exemplo 2:

Todo homem professor. (A)

Nenhum homem professor. (E)

Nesse exemplo, a proposio todo homem professor uma sentena falsa e nenhum homem professor tambm falsa. Ambas no podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, mas podem ser falsas ao mesmo tempo.

Contraditrias

As proposies so ditas contraditrias quando se opem tanto em qua-lidade quanto em extenso. Enquanto uma universal, a outra particular; enquanto uma afirmativa, a outra negativa.

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5

AI

E

O

Todo S P(SAP)

Algum S P(SIP)

Nenhum S P(SEP)

Contraditrias

Contraditrias

Algum S no P(SOP)

Duas proposies so contraditrias quando ambas no podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, nem podem ser falsas ao mesmo tempo.

Exemplo 1:

Todo homem mortal. (A)

Algum homem no mortal. (O)

Observe que todo homem mortal uma sentena verdadeira, en-quanto algum homem no mortal falsa. No pode ocorrer de ambas serem verdadeiras ao mesmo tempo, nem falsas ao mesmo tempo. Se uma verdadeira, a outra, obrigatoriamente, falsa, e vice-versa.

Exemplo 2:

Nenhum homem professor. (E)

Algum homem professor. (I)

Nesse exemplo, a proposio nenhum homem professor uma sen-tena falsa e algum homem professor verdadeira. Ambas no podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, nem podem ser falsas ao mesmo tempo.

Importante:

Se duas proposies categricas so contraditrias, uma a negao da outra.

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Subcontrrias

As proposies so ditas subcontrrias quando so particulares e se opem entre si apenas na qualidade. O sujeito em ambas o mesmo, mas enquanto uma afirmativa, a outra negativa.

I O

Algum S P(SIP)

Subcontrrias

Algum S no P(SOP)

Duas proposies so subcontrrias quando ambas no podem ser falsas ao mesmo tempo. Entretanto, em alguns casos, podem ser verdadeiras ao mesmo tempo.

Exemplo 1:

Algum homem mortal. (I)

Algum homem no mortal. (O)

Observe que algum homem mortal uma sentena verdadeira, en-quanto algum homem no mortal falsa. No pode ocorrer de ambas serem falsas ao mesmo tempo.

Exemplo 2:

Algum homem professor. (I)

Algum homem no professor. (O)

Nesse exemplo, a proposio algum homem professor uma sentena verdadeira e algum homem no professor tambm verdadeira. Ambas no podem ser falsas ao mesmo tempo, mas podem ser verdadeiras ao mesmo tempo.

Subalternao e superalternao

As proposies so ditas subalternas ou superalternas quando so iguais em qualidade e se opem entre si apenas em extenso. Enquanto uma universal, a outra particular.

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AI

E

O

Todo S P(SAP)

Algum S P(SIP)

Nenhum S P(SEP)

Subalternao

Algum S no P(SOP)

Raciocnio invlido Raciocnio vlido

A

I

E

O

Todo S P(SAP)

Algum S P(SIP)

Nenhum S P(SEP)

Superalternao

Algum S no P(SOP)

A I (vlida)

Se algum diz todos os convidados esto presentes, logo, algum convi-dado est presente, est utilizando uma superalternao entre as proposi-es (A I). O raciocnio claramente vlido e decorre da seguinte regra:

Da verdade do todo podemos inferir pela verdade das partes, mas da ver-dade das partes no podemos inferir pela verdade do todo.

I A (indeterminada)

Se algum diz algum convidado est presente e conclui que todos os convidados esto presentes, est utilizando uma subalternao (I A). Nesse caso, o raciocnio no vlido, pois no se pode afirmar que todos os convidados esto presentes apenas porque algum convidado est presente. Dessa forma, ocorre uma indeterminao, j que no se pode afirmar que verdadeiro ou que falso que todos os convidados esto presentes com base em algum convidado est presente.

E O (vlida)

Se algum diz nenhum convidado est presente e conclui que algum convidado no est presente, est utilizando uma superalternao entre as proposies (E O). O raciocnio vlido, pois se nenhum convidado est presente, certamente algum convidado no est presente.

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O E (indeterminada)

Se algum diz algum convidado no est presente e conclui que nenhum convidado est presente, est utilizando uma subalternao entre as proposies (O E). O raciocnio no vlido, pois no se pode afirmar que nenhum convidado est presente apenas porque algum convidado no est presente. Nesse caso, ocorre uma indeterminao, pois no se pode afir-mar que verdadeiro ou que falso que nenhum convidado est presente com base em algum convidado no est presente.

Assim, nas proposies superalternas, o raciocnio vlido e se pode con-cluir qual o valor lgico nico da concluso. J nas proposies subalter-nas, o raciocnio invlido e a concluso indeterminada, pois no se pode determinar o respectivo valor lgico dessa concluso.

Para destacar, se dissermos que algum A B verdadeira, a proposio todo A B ser verdadeira ou ser falsa?

Temos a uma proposio indeterminada, pois fica impossvel determinar um valor verdadeiro ou falso.

Observao:

A verificao da validade de argumentos categricos pode ser efetua-da por meio de regras gerais de inferncias, de premissas e de termos. No convm aqui cit-las, pois a anlise dessas regras pode ser substituda pela anlise de diagramas. Utilizando apenas diagramas temos uma forma rpida e eficiente para testar os argumentos categricos.

Diagramas lgicosOs diagramas utilizados na Teoria dos Conjuntos so importantes para

testar a validade de argumentos categricos. Cada diagrama se baseia num dos quatro tipos de proposies categricas (A, E, I, O).

Observe as ilustraes a seguir:

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Tipo

A

E

I

O

Afirmativa

Negativa

Afirmativa

Negativa

Universal Todo S P

Nenhum S P

Algum S P

Algum S no P

Universal

Particular

Particular

Qualidade Extenso Proposio Diagramas

PS

PS

PS

PS

Exemplos:

Todos os advogados so honestos. ( A)

HonestosAdvogados

Nenhum advogado honesto. ( E)

Advogados Honestos

Algum advogado honesto ou existem advogados que so honestos. (I)

Advogados

Advogados honestos

Honestos

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Algum advogado no honesto ou existem advogados que no so honestos. (O)

HonestosAdvogados

Advogados no honestos

Quando um sujeito s tiver certa propriedade S, diremos que s S. Caso s no tenha a propriedade S, escreveremos s S. Assim, por exemplo, nas proposies Joo mdico e Carlos no mdico, podemos ilustrar Joo como um elemento do conjunto dos mdicos, mas Carlos no:

Mdicos

JooCarlos

A utilizao de diagramas til, pois permite visualizar as premissas e a concluso, permitindo verificar a validade de um argumento.

A seguir, analisaremos cada tipo de proposio categrica, relacionado-a com a teoria dos conjuntos, com as proposies lgicas e com a lgica de predicados (em que se faz o uso de quantificadores).

Todo S P. (A)

Quando dizemos, por exemplo, que um conjunto S est contido em um conjunto P, significa que a proposio todo elemento de S elemento de P verdadeira.

Em smbolos de conjuntos: S P

Na lgica proposicional: x S x P

Na lgica de predicados: ( x), (S(x) P(x)) ou (~ x), (S(x) ~P(x))

PS

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Nenhum S P. (E)

Se um conjunto S no tem elemento em comum com um conjunto P, significa que qualquer elemento que pertence a S certamente no pertence a P. Nesse caso, dizemos que S e P so conjuntos disjuntos.

Em smbolos de conjuntos: S P =

Na lgica proposicional: x S x P

Na lgica de predicados: ( x), (S(x) ~P(x)) ou (~ x), (S(x) P(x))

PS

Algum S P. (I)

Se algum elemento de S elemento de P, ento existe pelo menos um elemento que pertence simultaneamente a S e a P. Nesse caso, a interseco entre S e P no vazia, pois existe pelo menos um elemento no conjunto S P.

Em smbolos de conjuntos: S P

Na lgica proposicional: x, x S x P

Na lgica de predicados: ( x), (S(x) P(x)) ou ~( x), (S(x) ~P(x))

PS

S P

Algum S no P. (O)

Se algum elemento de S no elemento de P, ento existe pelo menos um elemento que no pertence simultaneamente a S e a P. A consequncia disso a de que S no est contido em P. O conjunto formado pelos elemen-tos de S que no pertencem a P representado por S P.

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Em smbolos de conjuntos: S P

Na lgica proposicional: x, x S x P

Na lgica de predicados: ( x), (S(x) ~P(x)) ou ~( x), (S(x) P(x))

PS

S-P

Observao:

O conjunto formado pelos elementos que pertencem a S ou a P (ou a ambos) o conjunto S unio P, representado por S P.

S-P P-S

S P

S P

PS

Se for verdadeiro que todo S P e que todo P S, ento S P e P S. Nesse caso, os conjuntos S e P so iguais, ou seja, S = P.

Silogismos categricosUm silogismo um argumento composto de duas premissas e uma con-

cluso. Um silogismo categrico um argumento composto por trs propo-sies categricas nas quais existem exatamente trs termos; cada um dos quais ocorre precisamente em duas das trs proposies.

Uma das maneiras de verificar a validade ou no de um silogismo categ-rico visualizar cada um dos predicados (conjuntos que satisfazem deter-minada condio). Se a concluso do argumento for necessariamente ver-dadeira, supondo como verdadeira cada uma das premissas, o argumento considerado vlido, correto ou legtimo. Caso contrrio, invlido, incorreto ou ilegtimo.

Observe alguns exemplos de silogismos categricos.

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Exemplo 1:

Todos os msicos so talentosos. ................. Premissa 1

Todos os talentosos so exticos. ................. Premissa 2

Todos os msicos so exticos. ..................... Concluso

Exticos

TalentososMsicos

De acordo com os diagramas, o argumento vlido.

Os termos que determinam as categorias msicos, talentosos e exti-cos aparecem em exatamente duas das trs proposies do argumento. Isso o que caracteriza um silogismo categrico.

Exemplo 2:

Todos os artistas so criativos. .................... Premissa 1

Existem homens que so artistas. ............. Premissa 2

Existem homens criativos. ............................ Concluso

Criativos

Artistas

Homens

O argumento vlido, pois a concluso necessariamente verdadeira.Observe que os predicados artistas, criativos e homens aparecem em exatamente duas das trs proposies do argumento. Trata-se, portanto, de um silogismo categrico.

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Exemplo 3:

Nenhum fantico religioso. ...................... Premissa 1

Existem homens que so religiosos........... Premissa 2

Existem homens que so fanticos............ Concluso

Fanticos Religiosos

Homens

O argumento invlido, pois a concluso no necessariamente verdadeira.

Observe que, supondo como verdadeiro que alguns homens so religio-sos e que nenhum fantico religioso, no h a garantia de que exista algum homem que seja fantico.

Exemplo 4:

Nenhum fantico religioso. ............................... Premissa 1

Existem homens que so religiosos. ................. Premissa 2

Existem homens que no so fanticos. ......... Concluso

Fanticos Religiosos

Homens

O argumento vlido. A concluso necessariamente verdadeira.

Pelos diagramas fica claro que se existem homens religiosos e nenhum fantico religioso, necessariamente alguns homens (religiosos) no so fanticos.

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Exemplo 5:

Todos os sbios so introvertidos. ..................... Premissa 1

Existem animais que so introvertidos. ........... Premissa 2

Existem animais que so sbios. ........................ Concluso

IntrovertidosAnimais

Sbios

O argumento invlido. A concluso no necessariamente verdadeira.

Observe que mesmo que todos os sbios sejam introvertidos e que existam animais que sejam introvertidos, pode ocorrer que nenhum animal seja sbio.

Exemplo 6:

Todos os sbios so introvertidos. ..................... Premissa 1

Existem animais que so introvertidos. ........... Premissa 2

Existem animais que no so sbios. ................ Concluso

Introvertidos

Sbios

Animais

O argumento invlido, pois a concluso no necessariamente verdadeira.

A ilustrao uma das possveis configuraes que se pode construir a partir da suposio da veracidade das premissas. Analisemos cada uma das premissas e a concluso para explicar porque o argumento invlido.

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Premissa 1: Todos os sbios so introvertidos.

Essa proposio categrica possui o quantificador universal todos. Dessa forma, deve-se destacar o conjunto dos sbios como subconjunto do con-junto dos introvertidos. Nenhuma outra possibilidade de ilustrao vivel a partir da veracidade dessa premissa.

Premissa 2: Existem animais que so introvertidos.

Essa proposio categrica possui o quantificador existencial existem. Assim, no possvel se garantir a exata relao entre os diagramas dos conjuntos animais e introvertidos. A ilustrao deve destacar que h inter-seco entre os conjuntos animais e introvertidos, mas nada impede que possamos ilustrar o conjunto animais como subconjunto de introvertidos. A premissa no contrariada nessa situao.

Concluso: Existem animais que no so sbios.

Inicialmente, observe que quando colocamos o conjunto animais como subconjunto de introvertidos, abrimos a possibilidade de que a concluso possa ser falsa, uma vez que, na ilustrao apresentada, todos os animais so sbios.

Lembre-se sempre que o argumento s vlido quando a concluso necessariamente verdadeira. Se houver alguma possibilidade de a concluso ser falsa, mesmo mantendo a veracidade de cada uma das premissas, deve- -se classificar o argumento como invlido.

Exemplo 7:

Nenhum lgico louco. ................................ Premissa 1

Existem bichos que so loucos. .................. Premissa 2

Existem lgicos que no so bichos. ........ Concluso

BichosLoucosLgicos

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O argumento invlido. A concluso no necessariamente verdadeira.

Mais uma vez, observe atentamente que a ilustrao uma das poss-veis configuraes que se pode construir, supondo que as premissas sejam verdadeiras. Vamos analisar as premissas e a concluso para constatar que o argumento falacioso.

Premissa 1: Nenhum lgico louco.

Essa proposio categrica possui o quantificador universal nenhum. Assim, o conjunto lgicos tem interseco vazia com o conjunto loucos, no existindo outra possibilidade em relao aos conjuntos.

Premissa 2: Existem bichos que so loucos.

Essa proposio categrica possui o quantificador existencial existem. Logo, no possvel se garantir a exata relao entre os conjuntos bichos e loucos. A ilustrao deve destacar que h interseco entre os conjun-tos bichos e loucos. Isso no impede que ilustremos o conjunto lgicos como subconjunto de bichos. A premissa no contrariada nessa situao.

Concluso: Existem lgicos que no so bichos.

Observe que ao colocarmos o conjunto lgicos como subconjunto de bichos, abrimos a possibilidade de que a concluso possa ser falsa, pois, na ilustrao apresentada, todos os lgicos so bichos.

Mais uma vez lembremos que um argumento vlido apenas quando a concluso necessariamente verdadeira. Como nesse caso existe a possibi-lidade de a concluso ser falsa, sem que isso contrarie qualquer premissa, conclumos que o argumento invlido.

Validade de silogismos categricos pelo mtodo de Venn

Para determinar se um tpico silogismo categrico vlido ou no, existe um mtodo elaborado pelo matemtico John Venn (1834-1923) que consis-te em se representar as premissas e a concluso em trs diagramas que se interceptam dois a dois. Pelo mtodo, analisando os diagramas, as premissas e a concluso do argumento pode-se verificar se o argumento vlido.

Considerando que os trs termos de um silogismo categrico so repre-sentados pelas letras S, M e P, observe a seguinte ilustrao:

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SM

P

Como os trs diagramas (S, M e P) interceptam-se dois a dois, podemos identificar oito diferentes regies que determinam oito distintas classes.

S

M

P

SMP

SMPSMP

SMP

SMP

SMP SMP

SMP

Os smbolos e os correspondentes significados de cada uma dessas regies o seguinte:

SMP : Elementos pertencentes a S e a P e a M.

SM P : Elementos pertencentes a S e a M, mas no a P.

S MP: Elementos pertencentes a S e a P, mas no a M.

S MP: Elementos pertencentes a M e a P, mas no a S.

S MP : Elementos pertencentes a S, mas no a M, nem a P.

S MP: Elementos pertencentes a P, mas no a S, nem a M.

S MP : Elementos pertencentes a M, mas no a S, nem a P.

S MP: Elementos que no pertencem a S, nem a M, nem a P.

Observe que o trao acima da letra que representa um conjunto indica que o elemento considerado no pertence a esse conjunto. Ainda, em vez de

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utilizar a barra acima da letra que representa um dado conjunto, poderamos tambm representar utilizando a notao de conjunto complementar. Por exemplo, o complementar do conjunto A representa-se por Ac.

Nos prximos exemplos, observe como o procedimento de verificao da validade de silogismos categricos por meio do mtodo de Venn.

Exemplo 1:

Todo homem mortal. .................................................. Premissa 1

Existem homens que so esportistas. ...................... Premissa 2

Existem esportistas que so mortais. ....................... Concluso

Inicialmente, construmos os diagramas, considerando H como conjunto dos homens, M como conjunto dos mortais e E como conjunto dos esportis-tas. Em seguida, se, por exemplo, uma premissa indicar que uma determina-da regio vazia, vamos sombrear a rea correspondente para indicar que na regio sombreada no existe qualquer elemento.

A premissa 1 afirma que todo homem mortal. Logo, devemos sombre-ar as regies formadas pelas categorias HME e HME, pois essas regies so vazias se a premissa 1 for verdadeira.

H

E

M

HME

HME

A premissa 2 afirma que existem homens que so esportistas. A partir dela, no podemos sombrear alguma regio especfica, mas podemos co-locar um X na regio que, necessariamente, no vazia. Este X marcado garantir que existe pelo menos um elemento na regio em que ele se en-contra. Essa regio a que, de acordo com a premissa 1, no foi sombreada e que est contida nos conjuntos H e E simultaneamente. Na figura a seguir, o X indica que a premissa 2 verdadeira.

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HE

X

M

HMEHME

HME

A concluso afirma que existem esportistas que so mortais. A presen-a de X na regio comum a H, E e M, garante que existe pelo menos um homem que seja mortal e esportista. Por isso, garante a veracidade de exis-tem esportistas que so mortais. Logo, a concluso verdadeira e conse-quncia das premissas. Portanto, o argumento vlido.

H

E

X

M

A presena de elementos nesta regio garante que a concluso verdadeira.

HMEHME

HME

Exemplo 2:

Nenhum homem louco. .............................. Premissa 1

Existem bichos que so loucos. .................... Premissa 2

Existem homens que no so bichos. ........ Concluso

De incio, vamos construir os diagramas, considerando H como conjunto dos homens, L como conjunto dos loucos e B como conjunto dos bichos. Em seguida, de acordo com as premissas, devemos sombrear a rea que indica que a classe correspondente vazia.

A primeira premissa afirma que nenhum homem louco. Logo, a inter-seco entre os conjuntos homens e loucos vazia. Isso ser representado sombreando a regio comum aos conjuntos homens e loucos.

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HB

L

A segunda premissa afirma que existem bichos que so loucos. Assim, colocaremos um X na regio que comum aos conjuntos bichos e loucos. Isso identifica que a regio que possui o X no vazia.

H

B

L

X

A concluso afirma que existem homens que no so bichos. Observe na prxima ilustrao que a regio exclusiva do conjunto H, formada apenas pelos elementos que so apenas homens, pode ser vazia. A consequncia disso que todos os homens seriam bichos, o que tornaria a concluso falsa.

H

B

X

L

Se esta regio for vazia, todos os homens sero bichos.

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Portanto, o argumento invlido.

Observao:

Em geral, a utilizao de diagramas de Venn na verificao da validade de argumentos categricos eficiente nos casos em que o argumento um silogismo, ou seja, um argumento com duas premissas, uma concluso e a presena de trs termos, cada um aparecendo duas vezes no argumento. Entretanto, para argumentos com um maior nmero de premissas, a anlise tradicional, possibilidade por possibilidade, torna-se mais conveniente.

Ampliando seus conhecimentosO prximo texto foi extrado do livro Lgica Elementar.

Lgica Antiga(MATES, 1967, p. 257-260)

Se, com essas observaes em mente, buscamos as origens de nossa cin-cia, poderemos dizer, sem rodeios, que a histria da Lgica tem incio com o filsofo grego Aristteles (384-322 a.C.). Embora, entre os historiadores, seja quase um lugar comum afirmar que as grandes conquistas intelectuais nunca se devem a uma pessoa apenas (Euclides utilizou-se, para fundar a geometria, de resultados obtidos por Eudoxo e outros; quanto mecnica, Newton pode erguer-se sobre os ombros de Descartes, Galileu e Kepler; e assim por diante), Aristteles, segundo todas as evidncias ao nosso alcance, criou a cincia lgica inteiramente ex nihilo. Com uma franqueza que desarma, ele prprio nos diz isso, em passagem ao fim das Refutaes aos Sofistas, e no h motivo para duvidar da preciso de seu relato. Muitos estudiosos afirmaram, apoia-dos em argumentos a priori, que tal ato de criao impossvel e lanaram-se ao exame das obras dos predecessores de Aristteles, especialmente Plato, procurando encontrar pelo menos o germe da lgica aristotlica. A busca foi inteiramente infrutfera; em razo, porm, de confuses de que demos notcia nos dois pargrafos, tem-se por vezes afirmado o contrrio.

Os escritos de Aristteles a propsito da Lgica contm-se num conjunto de tratados que pocas posteriores vieram a denominar Organon. Renem- -se nele seis obras: as Categoriae, De Interpretatione, Analytica Priora, Analyti-

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ca Posteriora, Tpicos e Refutaes aos Sofistas (os ttulos provavelmente no foram dados por Aristteles e so pouco indicativos do contedo). Impressos, eles correspondem a um volume de vrias centenas de pginas, mas a silo-gstica, ou teoria do silogismo, que o ncleo essencial da lgica aristotlica, vem exposta em poucas pginas, ao comeo da Analytica Priora. O mais que se inclui no Organon diz respeito, em maior poro, a tpicos estranhos ao campo da Lgica, embora passagens ocasionais esclaream a terminologia utilizada na silogstica ou proporcionem outras informaes teis.

Antes de nos adiantarmos, importa anotar, entre parnteses, que o leitor de Aristteles no deve perder de vistas as vicissitudes a que os escritos de Aristteles estiveram sujeitos ao longo dos 23 sculos de sua histria. Houve mutilao de trechos, notas marginais de comentadores foram includas no texto, alterou-se a ordem dos livros e captulos, perderam-se pargrafos intei-ros e obras esprias surgiram e tudo isso alm dos erros por omisso, dupli-cao e substituio normalmente cometidos pelos copistas. O lgico dado leitura de Aristteles dever tambm acautelar-se contra a pouca importncia por ele atribuda distino uso-meno. Locues da forma toda A B e A est includo em B so usadas indiferentemente por locues da forma B predicado de todo A e B pertence a todo A; com efeito, a certa altura, o autor diz redondamente: pois o mesmo uma primeira coisa ser includa como um todo em outra e esta outra ser predicada de toda a primeira. Assim, nas Cate-goriae, nos deparamos com a seguinte afirmao:

Sempre que uma coisa predicado de outra, que sujeito, tudo que pre-dicado do predicado tambm predicado do sujeito, e.g. homem predicado de homem especfico, e animal, de homem; assim, animal ser tambm predi-cado de um homem especfico.

Se propusermos a questo de saber se, nesse passo, Aristteles est se referindo a palavras ou coisas ou tanto a umas quanto a outras, estaremos provavelmente fazendo uma pergunta sem resposta; isso no quer dizer, na-turalmente, que no tenha contedo o que ele afirma.

Silogismo, segundo Aristteles, uma parte do discurso na qual, sendo postas certas coisas, delas decorrem outras, necessariamente. Essa definio poderia levar a supor que Aristteles usa o termo silogismo como equiva-lente aproximado de argumento vlido, mas, na verdade, o alcance que lhe empresta muito mais restrito. Prximo ao comeo da Analytica Priora, ele re-

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laciona as espcies de sentena que podem ser integrantes de um silogismo. E nos diz que toda premissa ou concluso afirmativa ou negativa, segundo afirme ou negue algo a propsito de algo. Classificam-se as sentenas em uni-versais, particulares ou indefinidas: uma sentena universal assevera que algo pertence a todo ou a nenhum outro algo; uma sentena particular assevera que algo pertence ou no a algum ou a no todo algo diverso; e, por fim, uma sentena indefinida assevera, sem faz-lo em geral nem em particular, que algo pertence a algo, e.g., que o prazer no um bem. Na prtica, as senten-as indefinidas so ignoradas por Aristteles; razo para isso, de acordo com os comentadores, est em que elas equivalem a correspondentes senten-as particulares. Seja como for, as componentes do silogismo aristotlico so sempre sentenas universais ou particulares e afirmativas ou negativas; isto , recorrendo a exemplos do prprio Aristteles, so sentenas como Todo homem branco e Nenhum homem branco, Alguns homens so brancos e Nem todos os homens so brancos, sentenas posteriormente designadas como das formas A, E, I ou O, respectivamente. Expresses como homem e branco so chamadas termos. A teoria do silogismo nada diz a propsito de sentenas singulares, como Scrates branco, embora sentenas desse tipo hajam desempenhado papel relevante em descries da chamada Lgica Tradicional.

Nem todo argumento composto de sentenas A, E, I ou O um silogis-mo, mas apenas aqueles que apresentam exatamente duas premissas e uma concluso e envolvem, no mximo, trs termos. Assim, as duas premissas tem sempre um termo em comum, pelo menos, e esse o chamado termo mdio. O predicado da concluso o termo maior e o sujeito da concluso o termo menor.

No tratado De Interpretatione, Aristteles menciona algumas das relaes lgicas existentes entre as sentenas A, E, I ou O que tenham os mesmos termos como sujeito e predicado. As sentenas A e O so contraditrias, assim como o so as E e I; de cada par de contraditrias, diz ele, uma verdadeira. A e E so chamadas contrrias; as contrrias no podem ser ambas verdadeiras, mas ambas podem ser falsas. Essas relaes e outras foram, mais tarde, repre-sentadas esquematicamente no Quadrado de Oposio, figura encontradia em quase todos os textos de Lgica Tradicional e que primeiro apareceu no comentrio que Apuleio de Madauros (sculo II a. C.) escreveu a propsito de De Interpretatione.

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Aristteles inicia sua exposio dedutiva da teoria estabelecendo assim as chamadas leis de converso que, posteriormente, usa para reduzir uma es-pcie de silogismo a outra. Diz ele que a sentena negativa universal se con-verte em negativa universal; por exemplo, se nenhum prazer um bem, ento nenhum bem ser prazer. As sentenas afirmativas particulares e universais convertem-se em afirmativas particulares; por exemplo, se todo prazer um bem ou se algum prazer um bem, ento algum bem prazer. A negativa particular no se converte; no o caso de se algum animal no homem, ento algum homem no animal. Aristteles formula essas leis valendo-se de variveis:

Se A pertence a no B, ento B no pertence a nenhum A.

Se A pertence a todos os B, ento B pertencer a algum A.

Se A pertence a algum B, ento B pertencer a algum A.

Essa foi a primeira vez em que se fez o uso claro de variveis em cincia.

Atividades de aplicao1. Classifique as proposies categricas de acordo com a qualidade e a

extenso:

a) Todo animal carnvoro.

b) Nenhum homem cristo.

c) Alguns macacos latem.

d) Algumas ruas no so pblicas.

e) Existem praias poludas.

f) Existem motoristas sem carteira.

2. Considere a proposio categrica Todo homem mortal. Escreva as correspondentes proposies: contraditria, contrria e superalterna.

3. Se for verdade que todos os alunos so estudiosos, ento necessaria-mente verdadeiro que:

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a) Nenhum aluno estudioso?

b) Alguns alunos so estudiosos?

c) Alguns alunos no so estudiosos?

4. Se for verdade que nenhum aluno estudioso, ento necessaria-mente verdadeiro que:

a) Todos os alunos so estudiosos?

b) Alguns alunos so estudiosos?

c) Alguns alunos no so estudiosos?

5. Se for verdade que alguns alunos so estudiosos, ento necessaria-mente verdadeiro que:

a) Todos os alunos so estudiosos?

b) Nenhum aluno estudioso?

c) Alguns alunos no so estudiosos?

6. Se for verdade que alguns alunos no so estudiosos, ento necessa-riamente verdadeiro que:

a) Todos os alunos so estudiosos?

b) Nenhum aluno estudioso?

c) Alguns alunos so estudiosos?

7. Escreva a sentena que nega cada uma das proposies categricas abaixo:

a) Todos os marujos esto no navio.

b) Nenhum marujo est no navio.

c) Alguns marujos esto no navio.

d) Alguns marujos no esto no navio.

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8. Considere o silogismo categrico a seguir.

Nenhuma rvore nativa. ......................................Premissa 1

Nenhum nativo homem. ..................................... Premissa 2

Nenhuma rvore homem. ................................... Concluso

Resolva o que se pede:

a) Construa diagramas e verifique se o argumento vlido pelo m-todo tradicional.

b) Verifique se o argumento vlido pelo mtodo de Venn.

9. (Vunesp-adap.)Marque um X nos argumentos em que ocorre uma concluso verdadeira (real) e o argumento invlido.

( ) Raulino homem e todo homem mortal, portanto Raulino mortal.

( ) Toda a pedra um homem, pois alguma pedra um ser e todo ser homem.

( ) Todo cachorro mia e nenhum gato mia, portanto cachorros no so gatos.

( ) Todo o pensamento um raciocnio, portanto todo o pensamento um movimento, visto que todos os raciocnios so movimentos.

( ) Toda cadeira um objeto e todo objeto tem cinco ps, portanto algumas cadeiras tm s quatro ps.

10. Verifique a validade do argumento categrico:

Existem mariscos que so txicos.

Existem txicos que so teis.

Logo, existem mariscos que so teis.

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RefernciasABELARDO, Pedro. Lgica para Principiantes. Petrpolis: Vozes, 1994.

ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciao Lgica Matemtica. So Paulo: Nobel, 2003. 203 p.

ARISTTELES. Tpicos. So Paulo: Abril Cultural, 1973. (Coleo Os Pensadores).

_____. Organon. So Paulo: Nova Cultural, 1999. (Coleo Os Pensadores).

BOLL, Marcel; REINHART, Jacques. A Histria da Lgica. Lisboa: Edies 70, 1982. 127 p.

CASTRUCCI, Benedito. Introduo Lgica Matemtica. 6. ed. So Paulo: Nobel, 1986. 158 p.

DESCARTES, Ren. Discurso do Mtodo. 4. ed. So Paulo: Martins Fontes, 2003. 102 p.

KELLER, Vicente; BASTOS, Cleverson L. Aprendendo Lgica. 12. ed. Petrpolis: Vozes, 2000. 179 p.

KOPNIN, P. V. A Dialtica como Lgica e Teoria do Conhecimento. Rio de Janei-ro, 1978. 353 p.

LAUSCHNER, Roque. Lgica Formal. 4. ed. rev. Porto Alegre: Sulina/ Unisinos, 1984. 207 p.

LIARD, L. Lgica. 6. ed. So Paulo: Cia. Editora Nacional, 1965. 211 p.

LIPSCHULTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos. So Paulo: McGraw-Hill, 1972. 337 p.

MACHADO, Nilson Jos. Matemtica 1 por Assunto lgica, conjuntos e fun-es. So Paulo: Scipione, 1988. 240 p.

_____. Lgica? Lgico! So Paulo: Scipione, 2000. 49 p. (Coleo Vivendo a Matemtica).

MARITAIN, Jacques. Elementos de Filosofia II: a ordem dos conceitos, lgica menor. Rio de Janeiro: Agir, 1980. 318 p.

MATES, Benson. Lgica Elementar. Traduo de: HEGENBERG, Lenidas H. B.; MOTA, Octanny Silveira da. So Paulo: Nacional/ USP, 1967. 298 p.

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192

NAHRA, Cnara; WEBER, Ivan Hingo. Atravs da Lgica. 5. ed. Petrpolis: Vozes, 1997. 174 p.

OLIVEIRA, Augusto J. Franco de. Lgica Aritmtica. Braslia: UnB, 2004. 241 p.

SALMON, Wesley C. Lgica. 4. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 1978. 142 p.

SRATES, Jonofon. Raciocnio Lgico. 8. ed. Braslia: Jonofon, 1998. 432 p. v. 1.

_____. Raciocnio Lgico. 8. ed. Braslia: Jonofon, 1998. 467 p. v. 2.

SOARES, Edvaldo. Fundamentos da Lgica elementos da Lgica Formal e Teoria da Argumentao. So Paulo: Atlas, 2003. 187 p.

TELLES JR., Goffredo. Curso de Lgica Formal. 3. ed. So Paulo: Edusp, 1973. 367 p.

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Gabarito1.

a) Extenso: universal.

Qualidade: afirmativa.

b) Extenso: universal.

Qualidade: negativa.

c) Extenso: particular.

Qualidade: afirmativa.

d) Extenso: particular.

Qualidade: negativa.

e) Extenso: particular.

Qualidade: afirmativa.

f) Extenso: particular.

Qualidade: negativa (a palavra sem indica negao).

2. Proposio: Todo homem mortal.

Contraditria: Algum homem no mortal.

Contrria: Nenhum homem mortal.

Superalterna: Algum homem mortal.

3. Observe a ilustrao que destaca a proposio todos os alunos so estudiosos:

Estudiosos

Alunos

A partir dessa ilustrao, pode-se corretamente responder:

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a) No, pois todo aluno estudioso.

b) Sim, pois se todo aluno estudioso, algum aluno estudioso.

c) No, pois todo aluno estudioso.

4. Observe a ilustrao que destaca a proposio nenhum aluno estu-dioso:

EstudiososAlunos

A partir dessa ilustrao, pode-se corretamente responder:

a) No, pois nenhum aluno estudioso.

b) No, pois nenhum aluno estudioso.

c) Sim, pois se nenhum aluno estudioso, ento alguns alunos no so estudiosos.

5. Observe algumas ilustraes possveis a partir da veracidade da pro-posio alguns alunos so estudiosos:

Estudiosos

Alunos

EstudiososAlunos

A partir dessas ilustraes, pode-se corretamente responder:

a) No, pois, pela primeira ilustrao, possvel que existam alunos que no sejam estudiosos.

b) No, pois, pela primeira ilustrao, possvel que existam alunos que sejam estudiosos.

c) No, pois, pela segunda ilustrao, possvel que todos os alunos sejam estudiosos.

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6. Observe algumas ilustraes possveis a partir da veracidade da pro-posio alguns alunos no so estudiosos:

EstudiososAlunos EstudiososAlunos

A partir dessas ilustraes, pode-se corretamente responder:

a) No, pois, pela primeira ilustrao, possvel que existam alunos que no sejam estudiosos.

b) No, pois, pela primeira ilustrao, possvel que existam alunos que sejam estudiosos.

c) No, pois, pela segunda ilustrao, possvel que nenhum aluno seja estudioso.

7.

a) Alguns marujos no esto no navio.

b) Alguns marujos esto no navio.

c) Nenhum marujo est no navio.

d) Todos os marujos esto no navio.

8.

a) Sejam A: conjunto das rvores, N: conjunto dos nativos e H: conjun-to dos homens. Observe uma possvel ilustrao de tais conjuntos:

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HA

N

De acordo com as premissas, no existem elementos comuns aos conjuntos A e N, e, tambm, aos conjuntos N e H. Mas isso no im-pede que existam elementos comuns aos conjuntos A e H. Logo, a concluso nenhuma rvore homem pode ser verdadeira ou pode ser falsa. Assim, a concluso no est garantida na hiptese das premissas serem verdadeiras e, portanto, o argumento no vlido.

b) Em primeiro lugar, devemos representar os trs conjuntos (A, N e H) em diagramas, com interseces dois a dois. Em seguida, analisar as premissas. A premissa 1 afirma que nenhuma rvore nativa, logo devemos sombrear as regies ANH e ANH, pois tais regies so vazias na hiptese da premissa 1 ser verdadeira.

A

H

N

ANH

ANH

ANH

ANH

ANH

ANH ANH

ANH

A premissa 2 afirma que nenhum nativo homem. Logo, as regies ANH e ANH devem ser sombreadas, pois so vazias.

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AH

N

ANH

ANH

ANHANH

ANH

ANH

ANH ANH

A concluso nenhuma rvore homem afirma que os conjuntos A e N no tm elementos comuns. A parte comum aos conjuntos A e N formada pelas regies ANH e ANH. A regio ANH vazia, pois foi sombreada. Mas a regio ANH pode no estar vazia, pois no foi sombreada. Como a regio da concluso do argumento no foi in-teiramente sombreada e, nesse caso, deveria ser inteiramente som-breada, conclumos que o argumento no vlido.

9. Analisando cada argumento, temos:

a)

( ) Raulino homem. ............................ Premissa 1

Todo homem mortal. ....................... Premissa 2

Raulino mortal. ................................... Concluso

Mortais

Raulino

Homens

No sentido real, a concluso Raulino mortal verdadeira. Alm disso, de acordo com a ilustrao anterior, o argumento vlido.

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b)

( ) Alguma pedra um ser. ......................... Premissa 1

Todo ser homem. ....................................... Premissa 2

Toda pedra um homem. .......................... Concluso

Homens

Seres

Pedras

O diagrama mostra que, mesmo que alguma pedra seja um ser e mesmo que todo ser seja homem, pode ocorrer de existirem pe-dras que no so homens. Logo, o argumento invlido. A conclu-so toda pedra um homem , no sentido real, evidentemente falsa.

c)

( ) Todo cachorro mia. .................................. Premissa 1

Nenhum gato mia. ........................................ Premissa 2

Cachorros no so gatos. ........................... Concluso

Animais que miam

Cachorros

Gatos

De acordo com a ilustrao, o argumento vlido. No sentido real, a concluso cachorros no so gatos verdadeira.

d)

( ) Todo o pensamento um raciocnio. ................ Premissa 1

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Todos os raciocnios so movimentos. .................. Premissa 2

Todo o pensamento um movimento. ................. Concluso

Movimentos

Pensamentos

Raciocnios

O argumento vlido. Embora no esteja clara a extenso do sig-nificado da palavra movimento, no sentido real a concluso pode ser considerada verdadeira.

e)

( X ) Toda cadeira um objeto. ................................. Premissa 1

Todo objeto tem cinco ps. ....................................... Premissa 2

Algumas cadeiras tm s quatro ps. .................... Concluso

Cinco ps

Cadeiras

Objetos

Da ilustrao, conclui-se que todas as cadeiras tm cinco ps. A par-tir disso, conclumos ser falsa a afirmao de que algumas cadei-ras tm s quatro ps. Portanto, o argumento invlido. A questo solicitava que marcssemos o argumento invlido, cuja concluso, na realidade, verdadeira. Observe que, no sentido real, entretan-to, quando dizemos que algumas cadeiras tm s quatro ps, tal concluso verdadeira. Ou seja, mesmo que existam cadeiras com menos que quatro ps ou mais que quatro ps, no sentido real de-vemos admitir que existem cadeiras que tm s quatro ps.

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Diagramas lgicos

10. Observe como podemos organizar os diagramas a partir das premis-sas consideradas verdadeiras:

marisco txicos teis

Mesmo que existam mariscos que sejam txicos e que existam txicos que sejam teis, no necessariamente verdadeiro que existam maris-cos que sejam teis. Portanto, o argumento invlido.

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