RICARDINHO
FUNÇÕES
y = f(x) = ax + b
a > 0
yD = ℜℜℜℜ Im = ℜℜℜℜ
FUNÇÃO CRESCENTE
(0, b)
x
y
(0, b)
x
FUNÇÃO DECRESCENTEa < 0
Raiz ou zero da funçãoy = 0
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
y = ax2 + bx + c
Vértice
a > 0
c
xV
yV
∆∆∆∆ > 0 x1 ≠≠≠≠ x2
2 4V V
bx e y
a a
− −∆= = ou 1 2 ( )2V V V
x xx e y f x
+= =
Côncava para cima
x1 x2
a < 0 Côncava para baixo
∆∆∆∆ = 0 x1 = x2
∆∆∆∆ < 0 não há raízes reais
Lembrando....Lembrando....
RESUMO GRÁFICO
∆∆∆∆ > 0
x1 ≠≠≠≠ x2
x1 x2
y
x
∆∆∆∆ = 0
x1 = x2
x1 = x2 x
y
∆∆∆∆ < 0
x1, x2 ∉∉∉∉ R
x
y
Sejam as funções
definida para todo x real. Determine a soma dos
números associados à(s) proposição(ões)
VERDADEIRA(S).
definida para todo x
real e x ≠≠≠≠ 4, g(x) = x + 3 e h(x) = 2x2 – 12x + 16
4x12xf(x) −
+=
4x12xf(x) −
+= g(x) = x + 3 h(x) = 2x2 – 12x + 16
01. O domínio da função h(x)k(x)=D(h) = {x ∈∈∈∈ ℜℜℜℜ/ 2 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 4}
é definido por
h(x)k(x)= 1612x2x2 +−=k(x)
2 4
++_
2x2 – 12x + 16 ≥≥≥≥ 0
x2 – 6x + 8 ≥≥≥≥ 0D(hD(h) { x ) { x ∈∈∈∈∈∈∈∈ R | R | x x ≤≤≤≤≤≤≤≤ 2 2 ouou x x ≥≥≥≥≥≥≥≥ 5} 5}
FALSO
02. A função h(x) é par.
FALSO
4x12xf(x) −
+= g(x) = x + 3 h(x) = 2x2 – 12x + 16
04. O valor de f(g(2)) é igual a 11.
g(x) = x + 34x12xf(x) −
+=
4512.5f(5) −
+=
4x12xf(x) −
+=
g(2) = 2 + 3
g(2) =5f(5) = 11
08.
VERDADEIRO
2x14x(x)f 1-
−+=
VERDADEIRO
16. A reta que representa a função g intercepta o eixo das
abscissas em (1,0)
4x12xf(x) −
+= g(x) = x + 3 h(x) = 2x2 – 12x + 16
y
(0, b)
x
Raiz ou zero da funçãoy = 0
g(x) = x + 3
(0, 3)
(-3,0)
32. A função f assume valores estritamente positivos para
x < -1/2 ou x > 4
FALSO
VERDADEIRO
64. O valor mínimo de h(x) é – 1.
4x12xf(x) −
+= g(x) = x + 3 h(x) = 2x2 – 12x + 16
Vértice
(0,16)
3
-2
x1 x2
y
x
h(x) = 2x2 – 12x + 16
a
bxV 2
−= ∴2.2
)12(−−=Vx
3=Vx
h(3) = 2.(3)2 – 12.3 + 16
h(3) = - 2
EXPONENCIAL e LOGARITMOS
log 2 x + log (1 + 2 x) = log 6
log 2 x + log (1 + 2 x) = log 6
log [(2 x (1 + 2x)] = log 6
2x (1 + 2x) = 6
y (1 + y) = 6
y + y2 = 6
y2 + y – 6 = 0
Incógnita auxiliar:
2X = y
y’ = 2 y’’ = - 3
2x = 2
x = 1
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Forma: f(x) = ax
(a > 1) → função crescente
(0 < a < 1) → função decrescente
INEQUAÇÃO EXPONENCIAL
ax > ay
x > y x < y
a > 1 0 < a < 1
log B A = x ↔↔↔↔ A = B x
log B 1 = 0 log A A = 1
log C (A.B) = log c A + log c B
log C (A/B) = log c A – log c B
log A Am = m
DefiniDefini ççãoão
A > 0 1 ≠ B > 0
log C Am = m.log c A
MUDANMUDANÇÇA DE BASEA DE BASE
BlogAlog
Alogc
cB =
Casos ParticularesCasos Particulares
PropriedadesPropriedades
x
y
01
y = loga x
y = loga x
Função Logarítmica
a > 1
0 < a < 1
M = C(1 + i) t
log 1,12 = log 112 – log 100
Uma pessoa comprou um im óvel com intenção de investir seu dinheiro. Sabendo-se que este im óvel valorizou 12% ao ano, determine:
a) Dados: log 2 = 0,30 e log 7 = 0,84. Determine o v alor do log 1,12.
=100
112log12,1log
log 1,12 = log (2 4.7) – log 10 2
log 1,12 = log 2 4 + log 7 – 2 log 1,12 = 4.0,30 + 0,84 – 2
log 1,12 = 0,04
b) Após quanto tempo o valor valor do im óvel duplicou?
2x = x(1 + 0,12) t
2 = (1,12)t
log 2 = log (1,12) t
0,30 = t .log (1,12)0,30 = t .0,04t = 7,5 (7 anos e 6 meses)
PROGRESSÕES
a1, a2, a3, ……., an
P. G.
RAZÃO DA P.G.
TERMO GERAL
a2 = aaaa1111 .... qqqq
a3 = aaaa1111 .... qqqq2222
a4 = aaaa1111 .... qqqq3333
aaaannnn = a= a= a= a1111 .... q q q q n n n n –––– 1 1 1 1
3 TERMOS EM P.G.
q...aa
aa
2
3
1
2 ===
xqx;;qx
a1, a2, a3, ……., an
P. A.
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA:
a2 – a1 = a3 – a2 = rTERMO GERAL
a2 = aaaa1111 + r + r + r + r
a3 = aaaa1111 + 2r + 2r + 2r + 2r
a4 = aaaa1111 + 3r + 3r + 3r + 3r
aaaannnn = a= a= a= a1111 + (n + (n + (n + (n –––– 1).r1).r1).r1).r
SOMA DOS TERMOS
Sn = (a1 + an). n
2
1q1).(qa
Sn
1n −
−=
SOMA DOS TERMOS
q-1a
Slimite 1=∞
PROGRESSÕES: ASSINALE V ou F
A sequência (1 – 3x, x – 2, 2x + 1) é uma P.A e a sequência (1 + y, 13 + y, 49 +y) é uma P.G, então o valor de x.y é 10.
VERDADEIRO
P.A
a2 – a1 = a3 – a2
x – 2 – (1 – 3x) = 2x + 1 – (x – 2)
x = 2
4x – 3 = x + 3
P.G
=a1
a2 a3
a2
=1 + y
13+ y 49 + y
13 + y(13 + y)2 = (1 + y).(49 + y)
y = 5
PROGRESSÕES: ASSINALE V ou F
A soma dos números ímpares de 27 a 75 é 1275.
27 75
a1 an
an = a1 + (n – 1)r
75 = 27 + (n – 1).2
n = 25
Sn = ( a1 + an) · n
2
S25 = ( a1 + a25) · 25
2
S25 = ( 27 + 75) · 25
2
S25 = 1275
VERDADEIRO
PROGRESSÕES: ASSINALE V ou F
A soma dos termos da P.G (3 -1, 3-2, 3-3, ...........) é 1
(3-1 + 3-2 + 3-3 + ……..)
+++ ....271
91
31
3113
1S
−=
S = 0,5
Falso
q-1a
S 1=∞ 0 < |q| < 1
MATRIZ INVERSA
MATRIZ INVERSA
A . A -1 = In
detA1
detA 1 =−
• Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa, sendo assim chamada de inversível.
• Se det A = 0 a matriz não admite inversa é chamada de singular.
=
dc
baA
−−
=ac
bd1-A
=
A det
a
Adet
c-
A det
b-
A det
d
1-A
=
57
12A
−−
=2
51-A
7
1
=
3
2
3
7-
3
1-
3
5
1-A
det A =3
LEMBRAR !!!!!!det(A.B) = detA.det B (Teorema de Binet)
CUIDADO: det(A + B) ≠ detA + det B
vale lembrar que:vale lembrar que:
det (k.A) = k n. det A
k ∈∈∈∈ R, n é a ordem da matriz
GEOMETRIA ANAL ÍTICA
ESTUDO DA RETA
EQUAÇÕES DA RETA
EQUAÇÃO GERAL
ax + by + c = 0
EQUAÇÃO REDUZIDA
y = mx + n
Coef. angular
Coef. linear
FORMAS DE OBTENÇÃO
0
1yx
1yx
1yx
BB
AA =
Dados 2 pontos
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR
Dados 1 ponto e o coef. angular
y – yo = m(x – xo)
B
x
y
O
yB
yA
xBxA
A
αααα
(0, n)
αααα
yB– yA
xB– xA
r
AB
AB
xx
yym
−−
=m = tg α
POSIÇÕES RELATIVAS
PARALELAS: mr = ms
CONCORRENTES: mr ≠ ms
PERPENDICULARES: mr . ms = – 1
ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
x
y
C
αααα x
y P
ββββ x - αααα
y - ββββR
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
EQUAÇÃO REDUZIDA
(x – αααα)2 + (y – ββββ )2 = R2
EQUAÇÃO GERAL
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
A = - 2αααα B = - 2 ββββ C = αααα2 + ββββ2 – R2
x2 + y2 – 4x – 6y + 9 = 0
αααα = 2
÷ (-2)
÷(-2
)
ββββ = 3
C = αααα2 + ββββ2 – R2
9 = (2)2 + (3)2 – R2
R = 2C( 2 , 3 )
PORCENTAGEM
AUMENTOS E DESCONTOS
AUMENTAR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 20% SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 1,2
AUMENTAR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 2% SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 1,02
DIMINUIR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 20% SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 0,8
Aumento sucessivo de 10% e 20% no preço de um determinado produto é equivalente a um único aumento de:
1,1 . 1,2 = 1,32 32%
Quando chegou o inverno, um comerciante aumentou em 10% o preço de cada jaqueta de couro do seu estoque. Terminada a estação, fez uma promoção com 20% de desconto, passando o preço da jaqueta para R$ 176,0 0. O preço inicial de cada jaqueta, antes do aumento, er a:
PREÇO INICIAL:x
0,88x = 176 0,88x = 176
x = 200 x = 200
x1,1 0,8 = 176
Se um cubo tem as suas arestas aumentadas em 20% ca da uma, então o seu volume fica aumentado em:
1,2 a
1,2 a
1,2 a
V = a3
a
a
a
V = (1,2a)3
V = 1,728a3
Portanto, o volume aumentado em 72,8%
1
Um município de 628 km ² é atendido por duas emissoras de rádio cujas antenas A e B alcançam um raio de 10km do município, conforme mostra a figura:
Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a probabilidade que um morador tem de, circulando livremente pelo município, encontrar-se na área de alcance de pelo menos uma das emissoras. Essa probabilidade é de, aproximadamente:
n(E)n(A)
P(A) =n(A) é o número de elementosdo evento desejado
n(E) é o número de elementosdo espaço amostral
P(A)= 157
6280,25 = 25%=
10km 10kmA = 1/2 (ππππ R2)A = 1/2 (3,14 102)
A = 157km 2