Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Tecnologia e Ciencias
Instituto de Fısica Armando Dias Tavares
Valeria de Carvalho Souza
Dinamica da condensacao de Bose-Einstein em gases fracamente
interagentes
Rio de Janeiro
2010
Valeria de Carvalho Souza
Dinamica da condensacao de Bose-Einstein em gases fracamente interagentes
Dissertacao apresentada como requisito par-cial para obtencao do tıtulo de Mestre aoPrograma de Pos-Graduacao em Fısica daUniversidade do Estado do Rio de Janeiro
Orientador Prof Dr Daniel Gustavo Barci
Rio de Janeiro
2010
CATALOGACcedilAtildeO NA FONTEUERJ REDE SIRIUS CTCD
Autorizo apenas para fins acadecircmicos e cientiacuteficos a reproduccedilatildeo total ou parcial desta dissertaccedilatildeo desde que citada a fonte
___________________________________________________ ____________________________ Assinatura Data
S729m Souza Vaacuteleria de Carvalho Dinacircmica da condensaccedilatildeo de Bose-Einstein em gases fracamente interagentes Vaacuteleria de Carvalho Souza - 2010 54 f il Orientador Daniel Gustavo Barci Dissertaccedilatildeo (mestrado) - Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Fiacutesica Armando Dias Tavares
1 Condensaccedilatildeo de Bose-Einstein -Teses 2 Mateacuteria condensada - Teses I Barci Daniel Gustavo II Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Fiacutesica Armando Dias Tavares III Tiacutetulo
CDU 530145
Valeria de Carvalho Souza
Dinamica da condensacao de Bose-Einstein em gases fracamente interagentes
Dissertacao apresentada como requisito par-cial para obtencao do tıtulo de Mestre aoPrograma de Pos-Graduacao em Fısica daUniversidade do Estado do Rio de Janeiro
Aprovada em 27 de Maio de 2010Banca Examinadora
Prof Dr Daniel Gustavo Barci (Orientador)Instituto de Fısica Armando Dias Tavares ndash UERJ
Prof Dr Rudnei de Oliveira RamosInstituto de Fısica Armando Dias Tavares - UERJ
Prof Dr Luiz Esteban OxmanUniversidade Federal Fluminense
Rio de Janeiro
2010
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar a Deus
Ao professor Daniel G Barci pela orientacao amizade e pela paciencia
A todos os professores do instituto de fısica da UERJ mas em especial Nilson
Antunes Ivan da Cunha Lima Rudnei Ramos Luiz Fernando Vitor Oguri Roberto
Mahon Lilian Pantoja
Aos colegas de pos graduacao Diego Vinıcios Emanuel
Ao pessoal da biblioteca mas em especial Nadia e Maria Luiza
Ao pessoal da secretaria de pos graduacao Laurimar e Rogerio
Finalmente a CAPES apoio financeiro
RESUMO
SOUZA V C Dinamica da condensacao de Bose-Einstein em gases fracamenteinteragentes 2010 54 f Dissertacao (Mestrado em Fısica) ndash Instituto de FısicaArmando Dias Tavares Universidade do Estado do Rio de Janeiro Rio de Janeiro 2010
A presente dissertacao estuda com detalhes a evolucao temporal fora do equilıbriode um condensado de Bose-Einstein homogeneo diluıdo imerso em um reservatorio termicoNos modelamos o sistema atraves de um campo de Bose escalar complexo E apropriadodescrever o comportamento microscopico desse sistema por meio da teoria quantica decampos atraves do formalismo de Schwinger-Keldysh Usando esse formalismo de temporeal a dinamica do condensado e solucionada por um grupo de equacoes integro-diferencialauto consistente essas sao solucionadas numericamente Estudamos tambem o cenarioquench e como a densidade do gas e as interacoes entre as flutuacoes tem o efeito deprovocar as instabilidades nesse sistema Aplicamos esse desenvolvimento para estudar ocomportamento de duas especies homogeneas de um gas de Bose diluıdo imerso em umreservatorio termico
Palavras-chave Condensacao de Bose-Einstein Flutuacoes Campo medio Reservatorio
termico
ABSTRACT
SOUZA V C Dynamic of Bose-Einstein condensate in weakly interacting gases 201054 f Dissertacao (Mestrado em Fısica) ndash Instituto de Fısica Armando Dias TavaresUniversidade do Estado do Rio de Janeiro Rio de Janeiro 2010
This Dissertation study the detailed out of equilibrium time evolution of a homo-geneous diluted Bose-Einstein condensate in thermal bath We modeled the system bymeans of one bosonic complex scalar field The microscopic behavior of such an environ-ment can be appropriately described by the non-equilibrium Schwinger-Keldysh formalismin a quantum field theory approach Using this formalism real-time dynamics of the con-densate is encoded in a set of self-consistent integral-differential equations that we solvednumerically We studied in the quench scenario how the role of the interactions in thegeneration of the initial instability and the subsequent time evolution of the condensateWe also applied this technique to the study of a two-species homogeneous diluted Bosegas in a thermal bath
Keywords Bose-Einstein condensates Fluctuations Mean field Thermal reservoir
LISTA DE ILUSTRACOES
Figura 1 - Fases do sistema 11
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado de Bose-Einstein em funcao da
temperatura 17
Figura 3 - Analise da densidade do condensado 25
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao do tempo 38
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh 53
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
CBE Condensado de Bose-Einstein
EGP Equacao de Gross-Pitaeviskii
EGPDT Equacao de Gross-Pitaeviskii Depedente do Tempo
EGPIT Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
LISTA DE SIMBOLOS
λ comprimento de onda de De Broglie
g constante de acoplamento
as comprimento de espalhamento da onda s
micro potencial quımico
SUMARIO
INTRODUCAO 10
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL 13
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTER-
AGENTE 18
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio) 18
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica 22
22 Interacoes repulsivas e atrativas 26
23 Aproximacao de Thomas-Fermi 27
24 Teoria de Bogoliubov 27
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes 28
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE 32
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes 32
32 O cenario quench 34
33 Equacoes auto-consistentes 35
34 Integracao numerica 37
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE 40
41 Flutuacoes 41
42 Equacoes auto-consistentes 42
CONCLUSAO 44
REFERENCIAS 45
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio 48
10
INTRODUCAO
Em 1925 Albert Einstein inspirado pelos trabalhos de N S Bose descreveu o
fenomeno hoje chamado de Condensacao de Bose-Einstein (CBE) Einstein pode obser-
var que existiria uma mudanca de fase em um gas ideal quando submetido a temperaturas
relativamente baixas(GRIFFIN 1996)
Podemos definir a Condensacao de Bose-Einstein como sendo a convergencia das
partıculas constituintes de um gas ideal bosonico para o primeiro estado quantico desse
sistema Desta forma no estado condensado um numero macroscopico de partıculas ocu-
pam o estado de mais baixa energia (estado com momento nulo) quando submetido a uma
temperatura extremamente baixa Nesta circunstancia as propriedades termodinamicas
do sistema irao sofrer alteracoes o que caracteriza uma transicao de fase
A medida que baixamos a temperatura do sistema as partıculas bosonicas que
estao neste estado quantico degenerado (estado sem energia cinetica) poderao ser tratadas
como pacotes de onda com o comprimento de onda de de Broglie λ = (2πhmkBT )12
Dessa maneira a transicao de fase acontece devido ao fato do comprimento de onda
termico (que e o comprimento de onda em mecanica quantica de uma partıcula com energia
cinetica da ordem O(kBT )) ficar igual a distancia media entre as partıculas bosonicas
Esse comprimento de onda termico aumenta a medida que baixamos a temperatura
do sistema Sendo assim a funcao de onda do estado condensado e uma funcao de onda
macroscopica ou seja todas as partıculas deslocam-se coerentemente visto que todas tem
a mesma funcao de onda ψ0 (BAGNATO 1997)
Portanto a ocupacao macroscopica do nıvel fundamental de um gas de Bose ho-
mogeneo e nao interagente e denominada de condensacao de Bose-Einstein
Vamos observar tres situacoes que ocorrem com o sistema
1 Para uma temperatura elevada isto e T gt Tc as partıculas bosonicas obedecem a
estatıstica de Boltzmann comportando-se classicamente
2 Quando a temperatura esta perto de Tc podemos observar um comportamento de
dois fluıdos uma fracao condensada e outra parte termica (flutuacoes)
3 E quando so tem a fracao condensada desaparecendo a parte termica isto e T = 0
Nesse momento todas as partıculas ficarao alojadas no nıvel de mais baixa energia
Esse nıvel quantico de mais baixa energia permanece ocupado por um numero N0
de partıculas bosonicas ate o instante em que a temperatura do sistema comecar a
subir ate atingir Tc
Contudo para se obter um CBE e preciso resfriar um gas extremamente diluıdo
constituıdo por um grande numero de partıculas
11
Figura 1 - Fases do sistema
Fonte MASSACHUSETTS
INSTITUTE OF
TECHNOLOGY 2010
O primeiro sistem fısico que ate bem pouco tempo conseguia obter caracterısticas
proximas de um condensado de Bose-Einstein era o 4He Ja foi constatado que a transicao
de fase que acontece no 4He e uma manifestacao que acompanha o condensado de Bose-
Einstein ou seja o CBE nos da explicacoes para o surgimento de uma mudanca de fase
no 4He (GRIFFIN 1996)
Dessa forma a funcao de onda macroscopica (que e uma funcao de onda quantica)
do condensado e a base de uma explicacao qualitativa da superfluidez O CBE reproduz
algumas propriedades essenciais do helio-4 liquefeito porem em detalhes o CBE conduz a
resultados quantitativamente errados A ligacao entre o CBE e o 4He foi primeiramente
estabelecida por London O 4He lıquido possui caracterısticas marcantes devido ao fato
dele ser um lıquido consequetemente apresenta uma forte interacao entre suas partıculas
Desta forma o condensado que explica a superfluidez nao pode ser considerado estrita-
mente um CBE devido as interacoes fortes entre suas moleculas
Para estudar o fenomenos proposto por Einstein seria interessante realizar exper-
imentalmente o CBE em um gas Investigando para se obter um CBE em um sistema
gasoso varios cientistas passaram a pesquisar o desenvolvimento de tecnicas que permi-
tiriam resfriamento de um gas confinado a temperaturas extremamente baixas Porem ex-
istia o problema de conseguir um sistema que ao ser submetido a temperaturas proximas
do zero absoluto nao solidificasse Esse problema foi solucionado utilizando componentes
do grupo I da tabela periodica (Na Rb Li etc) esses atomos alcalinos sao extrema-
12
mentes convenientes de serem utilizados pois torna possıvel de se ter amostras densas
e frias alem de que quando estao na presenca de um campo magnetico forte apresenta
uma fraca repulsao de suas partıculas isso faz com que o sistema continue no estado de
gas logo sao excelentes candidatos para se conseguir gases no regime quantico ou seja
para se obter o CBE (BAGNATO 1997)
No ano de 1995 foi obtido experimentalmente o primeiro condensado de Bose-
Einstein pelo grupo de Eric Cornell e Carl Wieman (National Institute of Standars e
Technology) Eles conseguiram resfriar a 170 nk gases de rubıdio (Rb) Mais tarde mas
no mesmo ano outros dois condensados foram obtidos Um condensado com gases de
Sodio (Na) realizado por Ketterle e colaboradores (Massachusetts Institute of Tecnology
- MIT) E por ultimo o grupo do Randy Hulet (Univrsity of Colorado) realizou experimen-
tos com atomos de lıtio (Li) (GRIFFIN 1996) O experimento com lıtio e completamente
equivalente aos outros dois experimentos com rubıdio e sodio exceto de que a interacao
entre as partıculas do lıtio e uma interacao atrativa (ele tem o comprimento de espal-
hamento negativo) isto e as lt 0 O gas de lıtio e constituıdo por partıculas fermionicas
(eletrons) que se agrupam formando pares (pares de Cooper) que deixam de lado suas
caracterısticas individuais para poderem se comportar como partıculas bosonicas Os
pares de Cooper pode ser denominado como sendo a uniao do spin up com o spin dow
do eletron (uarr darr) (EISBERG 1979) Dessa forma o gas de lıtio nao pode atingir o estado
de CBE sendo esperado um outra tipo de transicao No experimento com lıtio (mais
precisamente lıtio-6) tambem foi observado o fenomeno da superfluidez verificando assim
coexistencia de fases isto e uma fase superfluıda e outra normal Este tipo de com-
portamento e esperado de acontencer de acordo com as muitas teorias existentes sobre
atomos ultrafrios Podemos chamar de superfluidez com pares quebrados (breached-pair
superfluidity) a que ocorre no gas de lıtio isto e podemos observar a existencia de spins
paralelos e antiparalelos Com a pesquisa em torno do CBE foi possıvel estudar varios
outros sistemas quanticos complexos que ate entao nao se tinha uma teoria solida que os
explicasse como e o caso do helio lıquido
13
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL
Neste capıtulo vamos fazer uma breve descricao da Condensacao de Bose-Einstein
em um gas ideal Vamos analisar um sistema constituıdos por N partıculas nao inter-
agentes completamente diluıdo que obedece a distribuicao de Bose-Einstein com uma
ocupacao ni de partıculas para cada estado de energia εi
A energia do gas no estado e definido pelo conjunto dos numeros esperados de
partıculas isto e ni = n1 n2 sera (SALINAS 1997)
E(ni) = n1ε1 + n2ε2 + =sumi
niεi (1)
Calcularemos a funcao particao do sistema pois o objetivo principal e achar as
propriedades termodinamicas do gas sendo assim
Z =sumni
eminusβEni =sumni
eminusβsumniεi rarr funcao particao (2)
Condensacao Calculando a funcao particao acharemos todas as solucoes para o sistema
Usaremos entao o ensemble Grand canonico pois os ni nao sao independentes Ao
usar esse ensemble estamos tornando os ni independentes Neste caso estamos acoplando
ao sistema um reservatorio de partıculas e cada estado e populado a partir do reservatorio
Podemos escrever a funcao particao Grand canonica como sendo
Z(T V micro) =infinsumN=0
[eβmicroN
sumni
eminusβsumi niεi
]
=infinsumN=0
[sumni
eminusβsumi ni(εiminusmicro)
]
=infinsumN=0
[sumni
prodi
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni](3)
onde micro e o potencial quımico do gas
Podemos observar que em (3) existem dois somatorios o primeiro esta somando
sobre os ni vinculado a um valor constante do numero total N e o segundo e sobre todos
os valores possıveis de N e equivalente a um somatorio sobre todos os valores de ni
14
entao podemos escrever
Z(T V micro) =sumn1n2
[(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2]
=
[sumn1
(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1
][sumn2
(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2
] (4)
mas
Zi =sumni
eminusβni(εiminusmicro) (5)
A equacao (5) e a funcao particao de um estado quantico i
Na distribuicao de Bose-Eintein ni pode ser qualquer valor ou seja n = 0 1 2
Se eminusβ(εminusmicro) lt 1 dessa forma a funcao particao de um estado i sera
Zi =sumni
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni=(1minus eminusβ(εiminusmicro)
)minus1(6)
Entao a probabilidade de obter ni partıculas no estado i e portanto
P (ni) =eminusβni(εiminusmicro)
Zi(7)
Portanto o numero medio de bosons em um estado i sera
ni =
sumniniP (ni)
Zi= kBT
part
partmicrolnZi (8)
Fazendo a diferenciacao vamos encontrar
ni =1
eβ(εiminusmicro) minus 1(9)
Dessa forma (8) e o numero medio de partıculas que ocupam um determinado
estado de energia i Tendo em maos o numero medio de partıculas em um estado quantico
i vamos obter o numero total N de partıculas que e dado por
N =nsumi=1
〈ni〉 =nsumi=1
1
exp [β (εi minus micro)]minus 1(10)
Analisando a expressao em (10) podemos observar que ao considerar o numero de
partıculas bosonicas como sendo conservado estamos impondo que o potencial quımico (micro)
e obrigatoriamente negativo ou nulo (micro le 0) isso faz com que o numero de ocupacao para
qualquer nıvel de energia seja positivo ou seja esse somatorio tem que ser convergente
E conveniente que na equacao (10) seja feito uma mudanca do somatorio para a
integral porem ao fazer essa mudanca temos que ter uma certa atencao pois o estado
fundamental possui uma energia εi = 0 e consequentemente a densidade de estado ρ(ε)
15
do estado fundamental tambem e igual a zero
A densidade de estado ρ(ε) do sistema vai representar a quantidade de estado
com energia entre ε e ε+ dε Entao ao fazermos a mudanca do somatorio para a integral
estamos deixando de lado muitas partıculas bosonicas que se encontra no estado de energia
mınima estado esse que possui aproximadamente um numero de partıculas que pode ser
igual ao proprio numero total N de partıculas do sistema isso explica porque somos
obrigados a manter a ocupacao N0 no estado fundamental Devido a isso trataremos as
partıculas que se encontra no estado fundamental separadamente isto e
N = N0 +Nε
N = N0 +
int infin0
nε ρ (ε) dε
N = N0 +
int infin0
1
eβ(εiminusmicro) minus 1ρ(ε)dε (11)
onde N0 e o numero de ocupacao no estado fundamental com εi = 0 e Nε e o numero
de ocupacao no estado excitado (SALINAS 1997)
Da equacao (11) observamos que a medida que a temperatura diminui micro cresce
podendo alcancar para uma determinada temperatura finita um valor maximo micro = 0 A
este ponto epecıfico chamamos de temperatura crıtica (Tc) pois quando a temperatura
diminui ha um crescimento macroscopico do numero de partıcula que constitui o estado
fundamental (N0) enquanto que a quantidade de partıculas existente no estato excitado
(fracao nao condensada) diminui proporcionalmente Essa ocupacao macroscopica vai
fazer com que a contribuicao estatıstica desse primeiro estado quantico degenerado seja
maior se compararmos com a parte nao condensada Isso e consequencia da quantidade
mınima de partıcula que ainda se encontra no estado excitado Portanto vamos calcular
o numero de partıcula existente no estado excitado isto e ε gt 0
Nε =
int infin0
ρ(ε)1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (12)
onde
ρ(ε) =dN
dε=
V
3π2
(2m
h2
)323
2ε12 (13)
Substituindo a equacao (13) que e a equacao da densidade de estado na equacao
16
(12) obtemos
Nε =V
3π2
(2m
h2
)32 int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32
int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (14)
Podemos agora determinar a temperatura de transicao Tc fazendo micro = 0 Vamos
obter
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32 3
2
int infin0
ε12
eβεi minus 1dε
=1
2π2
(2mkBT
h2
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (15)
No momento em que o sistema tem micro = 0 temos que fazer Nε = N isso indica
que T tem o seu valor maximo ou seja
N
V=
1
2π2
(2mkBTc
h
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (16)
Podemos extrair da equacao acima a temperatura de transicao Tc que e
Tc =2πh2
mkB
(1
2 612
N
V
)32
(17)
Dessa forma reescreveremos a equacao (17) em termos de Tc como sendo
Nε
N=
(T
Tc
)32
(18)
Consequentemente vamos obter um outro parametro muito importante que e a
fracao de partıculas bosonicas que se encontra no estado fundamental (N0N) isto e no
estado condensado em funcao de T
N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
(19)
Agora fica facil observar que a transicao que acontece a Tc pode exprimir-se pela
separacao dos comportamentos assintoticos do numero de ocupacao do estado fundamen-
tal isto e
(T gt Tc)N0
N= O
(1
N
)asymp 0 para temperaturas altas
(T lt Tc)N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
para temperaturas baixas
17
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado
de Bose-Einstein em funcao da
temperatura
Fonte SALINAS 1997 p238
Dessas expressoes podemos observar que abaixo de uma temperatura de transicao
Tc uma pequena populacao das partıculas bosonicas ocupam o nıvel de mais baixa de
energia isto e N0 rarr N Entao a medida que N cresce fica mais facil falar da temperatura
de transicao logo o numero de partıculas no estado fundamental se torna mais singular
Dessa forma para T lt Tc o estado condensado e macroscopicamente populado
entao podemos dizer que Tc e a temperatura na qual micro assume o seu valor maximo
Podemos afirmar que as expressoes acima nos permite identificar a densidade do conden-
sado com o parametro de ordem de transicao Denominamos entao que Condensacao de
Bose-Einstein e o fato de um gas ideal bosonico possuir uma temperatura de transicao
discreta Tc e tambem possuir uma porcao finita de todas as partıculas ocupando o nıvel
mais baixo de energia para T lt Tc
No proximo capıtulo estudaremos as consequencias de submetermos um gas de
Bose na presenca de interacoes Vamos analisar uma teoria extremamente importante
para o entendimento desse sistemas quanticos complexos Para isso teremos que fazer
certa aproximacoes para que o desenvolvimento e o entendimento do sistema se estabeleca
de maneira satisfatoria
18
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTERAGENTE
Neste capıtulo demonstraremos um formalismo que vai ser capaz de descrever
as propriedades do estado fundamental de um gas bosonico diluıdo a uma temperatura
extremamente baixa (GRIFFIN 1996) Aplicaremos uma aproximacao de Campo Medio
Essa aproximacao e obtida depois que encontramos o valor esperado dos operadores de
campo bosonico Portanto definiremos uma funcao de onda (parametro de ordem) que
vai ser capaz de satisfazer a equacao nao linear de Schrodinger
Observaremos tambem o que acontece com um gas de Bose quando ele e aprision-
ado por um potencial harmonico e tambem quando esse sistema e submetido a interacoes
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio)
Para uma melhor descricao do estado condensado faremos o uso da aproximacao
de campo medio que vai resultar em uma equacao de Schrodinger nao linear que recebe
o nome de Equacao de Gross-Pitaevskii (EGP) (CARRETERO-GONZALES R 2008
GRIFFIN 1996) A deducao dessa equacao de campo medio foi feita por Lev Petrovich
Pitaevskii e E P Gross Com essa aproximacao de campo medio podemos estudar com
mais profundidade as propriedades do estado condensado ou seja a equacao de Gross-
Pitaeviskii Dependente do Tempo vai descrever a dinamica do sistema E se linearizarmos
essa equacao ao redor do estado fundamental vamos conseguir descrever as excitacoes co-
letivas de baixa energia do sistema que esta submetido a uma temperatura extremamente
baixa
A aproximacao de campo medio e baseada na aproximacao de Bogoliubov A ideia
principal da teoria de Bogoliubov e de que a fracao de partıculas nao condensada sera
despresada ou seja os efeitos da parte termica (flutuacoes) serao despresados
Usando a teoria de Bogoliubov conseguiremos encontrar os estados de equilıbrio
do sistema atraves da equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
Para conseguir chegar na equacao que vai dar a descricao do estado condensado
isto e do estado fundamental vamos escrever o hamiltoniano para um sistema formado
por N partıculas bosonicas com massa m que interagem duas a duas confinadas por um
potencial externo Vext(~r)
A hamiltoniana para esse sistema e escrita em segunda quantizacao atraves dos
operadores de campo Ψdagger(~r t) Ψ(~r t) (GREINER 1996) bosons de criacao e aniquilacao
respectivamente
19
H =
intd~rΨdagger(~r t) H0 Ψ(~r t) +
1
2
intd~r d~r primeΨdagger(~r t) Ψdagger(~r prime t)V (~r minus ~r prime) Ψ(~r prime t) Ψ(~r t) (20)
onde Vext(~r) e o potencial externo (potencial de armadilha) V (~r minus ~r prime) e o potencial
interatomico e H0 = minus h2
2mnabla2 + Vext(~r)
Os operadores de campo Ψ(~r t) e Ψdagger(~r t) obedecem as seguintes regras de co-
mutacao para bosons
[Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = δ(~r minus ~r prime)
[Ψ(~r t)Ψ(~r prime t)] = 0
[Ψdagger(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = 0
O formalismo de segunda quantizacao e a melhor forma para desenvolver sistema
compostos por muitas partıculas quando estamos no contexto da mecanica quantica
(GREINER 1996)
Agora vamos escrever a equacao de Heisenberg (SAKURAI 1994) para poder
descrever o estado fundamental ou seja queremos observar a dinamica do sistema con-
densado e saber como o operador Ψ(~r t) ou Ψdagger(~r t) evolui no tempo
ihpartΨ
partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)
Calculando [Ψ(~r t)H] usando o hamiltoniano
[Ψ(~r t) H] =
[Ψ(~r t)
intd~rΨdagger(~r t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
intΨ(~r prime t)Vext(~r)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
1
2
intd~rd~r primeΨdagger(~r t)Ψdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)Ψ(~r prime t)Ψ(~r t)
](22)
20
Vamos calcular a primeira parcela
I1 =
[Ψ(~r t)
intΨdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
]I1 =
int [Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)
]d~r prime
I1 =
intδ(~r minus ~r)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
I1 =minush2
2mnabla2Ψ(~r t) (23)
Analogamente para as parcelas I2 e I3 e substituindo as tres parcelas na equacao
de Heisenberg equacao (21) obtemos
ihpartΨ
partt(~r t) =
[H0 +
intd~r primeΨdagger(~r prime t)V (~r prime minus ~r)Ψ(~r prime t)
]Ψ(~r t) (24)
A equacao (24) e uma equacao exata para o operador de campo Ψ(~r t)
Agora vamos decompor o operador de campo bosonico da seguinte forma
Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)
onde ψ representa o estado fundamental e δφ representa as flutuacoes Contudo obser-
vamos que esse operador de campo vai agir como se fosse o seu proprio valor medio no
nıvel de mais baixa energia ou seja (BARCI 2002)
ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 rarr equacao de campo medio
A equacao acima e considerada como sendo a equacao de onda do estado conden-
sado e uma equacao de onda macroscopica e uma funcao de onda quantica ou seja ela
representa um conjunto de todas partıculas bosonicas que estao no estado fundamental
isto e essas partıculas vao se deslocar coerentemente Entao δφ e uma pequena parcela
das partıculas que se encontrta fora do condensado e quando o sistema encontra-se com
uma temperatura muito abaixo de Tc essa parcela e realmente desprezada
O que foi feito acima foi descartar as flutuacoes para que se possa fazer uma
melhor analise somente da parte condensada (BARCI 2002) isto e estamos aplicando a
aproximacao de campo medio Consequentemente vamos fazer a seguinte substituicao
Ψ(~r t) minusrarr ψ(~r t)
Ψdagger(~r t) minusrarr ψdagger(~r t)
Substituindo na equacao (24) que e a equacao de movimento para o operador de
21
campo temos
ihpartψ
partt=
[H0 +
intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)
]ψ(~r t) (26)
Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer
algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito
baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica
interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo
consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos
levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas
estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial
(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos
Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial
Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)
as =m
4πh2
intd~r V (~r minus ~rprime)
onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento
Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)
ihpartψ(~r t)
partt=
[minush2
2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2
]ψ(~r t) (27)
A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo
(EGPDT)
Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)
onde N e o numero total de partıcula do condensado
Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a
solucao estacionaria vamos considerar
ψ(~r t) = exp(minusimicro
ht)ψ0(~r) (29)
onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT
Eq (27) obtemos[minus h2
2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
Valeria de Carvalho Souza
Dinamica da condensacao de Bose-Einstein em gases fracamente interagentes
Dissertacao apresentada como requisito par-cial para obtencao do tıtulo de Mestre aoPrograma de Pos-Graduacao em Fısica daUniversidade do Estado do Rio de Janeiro
Orientador Prof Dr Daniel Gustavo Barci
Rio de Janeiro
2010
CATALOGACcedilAtildeO NA FONTEUERJ REDE SIRIUS CTCD
Autorizo apenas para fins acadecircmicos e cientiacuteficos a reproduccedilatildeo total ou parcial desta dissertaccedilatildeo desde que citada a fonte
___________________________________________________ ____________________________ Assinatura Data
S729m Souza Vaacuteleria de Carvalho Dinacircmica da condensaccedilatildeo de Bose-Einstein em gases fracamente interagentes Vaacuteleria de Carvalho Souza - 2010 54 f il Orientador Daniel Gustavo Barci Dissertaccedilatildeo (mestrado) - Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Fiacutesica Armando Dias Tavares
1 Condensaccedilatildeo de Bose-Einstein -Teses 2 Mateacuteria condensada - Teses I Barci Daniel Gustavo II Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Fiacutesica Armando Dias Tavares III Tiacutetulo
CDU 530145
Valeria de Carvalho Souza
Dinamica da condensacao de Bose-Einstein em gases fracamente interagentes
Dissertacao apresentada como requisito par-cial para obtencao do tıtulo de Mestre aoPrograma de Pos-Graduacao em Fısica daUniversidade do Estado do Rio de Janeiro
Aprovada em 27 de Maio de 2010Banca Examinadora
Prof Dr Daniel Gustavo Barci (Orientador)Instituto de Fısica Armando Dias Tavares ndash UERJ
Prof Dr Rudnei de Oliveira RamosInstituto de Fısica Armando Dias Tavares - UERJ
Prof Dr Luiz Esteban OxmanUniversidade Federal Fluminense
Rio de Janeiro
2010
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar a Deus
Ao professor Daniel G Barci pela orientacao amizade e pela paciencia
A todos os professores do instituto de fısica da UERJ mas em especial Nilson
Antunes Ivan da Cunha Lima Rudnei Ramos Luiz Fernando Vitor Oguri Roberto
Mahon Lilian Pantoja
Aos colegas de pos graduacao Diego Vinıcios Emanuel
Ao pessoal da biblioteca mas em especial Nadia e Maria Luiza
Ao pessoal da secretaria de pos graduacao Laurimar e Rogerio
Finalmente a CAPES apoio financeiro
RESUMO
SOUZA V C Dinamica da condensacao de Bose-Einstein em gases fracamenteinteragentes 2010 54 f Dissertacao (Mestrado em Fısica) ndash Instituto de FısicaArmando Dias Tavares Universidade do Estado do Rio de Janeiro Rio de Janeiro 2010
A presente dissertacao estuda com detalhes a evolucao temporal fora do equilıbriode um condensado de Bose-Einstein homogeneo diluıdo imerso em um reservatorio termicoNos modelamos o sistema atraves de um campo de Bose escalar complexo E apropriadodescrever o comportamento microscopico desse sistema por meio da teoria quantica decampos atraves do formalismo de Schwinger-Keldysh Usando esse formalismo de temporeal a dinamica do condensado e solucionada por um grupo de equacoes integro-diferencialauto consistente essas sao solucionadas numericamente Estudamos tambem o cenarioquench e como a densidade do gas e as interacoes entre as flutuacoes tem o efeito deprovocar as instabilidades nesse sistema Aplicamos esse desenvolvimento para estudar ocomportamento de duas especies homogeneas de um gas de Bose diluıdo imerso em umreservatorio termico
Palavras-chave Condensacao de Bose-Einstein Flutuacoes Campo medio Reservatorio
termico
ABSTRACT
SOUZA V C Dynamic of Bose-Einstein condensate in weakly interacting gases 201054 f Dissertacao (Mestrado em Fısica) ndash Instituto de Fısica Armando Dias TavaresUniversidade do Estado do Rio de Janeiro Rio de Janeiro 2010
This Dissertation study the detailed out of equilibrium time evolution of a homo-geneous diluted Bose-Einstein condensate in thermal bath We modeled the system bymeans of one bosonic complex scalar field The microscopic behavior of such an environ-ment can be appropriately described by the non-equilibrium Schwinger-Keldysh formalismin a quantum field theory approach Using this formalism real-time dynamics of the con-densate is encoded in a set of self-consistent integral-differential equations that we solvednumerically We studied in the quench scenario how the role of the interactions in thegeneration of the initial instability and the subsequent time evolution of the condensateWe also applied this technique to the study of a two-species homogeneous diluted Bosegas in a thermal bath
Keywords Bose-Einstein condensates Fluctuations Mean field Thermal reservoir
LISTA DE ILUSTRACOES
Figura 1 - Fases do sistema 11
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado de Bose-Einstein em funcao da
temperatura 17
Figura 3 - Analise da densidade do condensado 25
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao do tempo 38
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh 53
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
CBE Condensado de Bose-Einstein
EGP Equacao de Gross-Pitaeviskii
EGPDT Equacao de Gross-Pitaeviskii Depedente do Tempo
EGPIT Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
LISTA DE SIMBOLOS
λ comprimento de onda de De Broglie
g constante de acoplamento
as comprimento de espalhamento da onda s
micro potencial quımico
SUMARIO
INTRODUCAO 10
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL 13
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTER-
AGENTE 18
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio) 18
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica 22
22 Interacoes repulsivas e atrativas 26
23 Aproximacao de Thomas-Fermi 27
24 Teoria de Bogoliubov 27
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes 28
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE 32
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes 32
32 O cenario quench 34
33 Equacoes auto-consistentes 35
34 Integracao numerica 37
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE 40
41 Flutuacoes 41
42 Equacoes auto-consistentes 42
CONCLUSAO 44
REFERENCIAS 45
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio 48
10
INTRODUCAO
Em 1925 Albert Einstein inspirado pelos trabalhos de N S Bose descreveu o
fenomeno hoje chamado de Condensacao de Bose-Einstein (CBE) Einstein pode obser-
var que existiria uma mudanca de fase em um gas ideal quando submetido a temperaturas
relativamente baixas(GRIFFIN 1996)
Podemos definir a Condensacao de Bose-Einstein como sendo a convergencia das
partıculas constituintes de um gas ideal bosonico para o primeiro estado quantico desse
sistema Desta forma no estado condensado um numero macroscopico de partıculas ocu-
pam o estado de mais baixa energia (estado com momento nulo) quando submetido a uma
temperatura extremamente baixa Nesta circunstancia as propriedades termodinamicas
do sistema irao sofrer alteracoes o que caracteriza uma transicao de fase
A medida que baixamos a temperatura do sistema as partıculas bosonicas que
estao neste estado quantico degenerado (estado sem energia cinetica) poderao ser tratadas
como pacotes de onda com o comprimento de onda de de Broglie λ = (2πhmkBT )12
Dessa maneira a transicao de fase acontece devido ao fato do comprimento de onda
termico (que e o comprimento de onda em mecanica quantica de uma partıcula com energia
cinetica da ordem O(kBT )) ficar igual a distancia media entre as partıculas bosonicas
Esse comprimento de onda termico aumenta a medida que baixamos a temperatura
do sistema Sendo assim a funcao de onda do estado condensado e uma funcao de onda
macroscopica ou seja todas as partıculas deslocam-se coerentemente visto que todas tem
a mesma funcao de onda ψ0 (BAGNATO 1997)
Portanto a ocupacao macroscopica do nıvel fundamental de um gas de Bose ho-
mogeneo e nao interagente e denominada de condensacao de Bose-Einstein
Vamos observar tres situacoes que ocorrem com o sistema
1 Para uma temperatura elevada isto e T gt Tc as partıculas bosonicas obedecem a
estatıstica de Boltzmann comportando-se classicamente
2 Quando a temperatura esta perto de Tc podemos observar um comportamento de
dois fluıdos uma fracao condensada e outra parte termica (flutuacoes)
3 E quando so tem a fracao condensada desaparecendo a parte termica isto e T = 0
Nesse momento todas as partıculas ficarao alojadas no nıvel de mais baixa energia
Esse nıvel quantico de mais baixa energia permanece ocupado por um numero N0
de partıculas bosonicas ate o instante em que a temperatura do sistema comecar a
subir ate atingir Tc
Contudo para se obter um CBE e preciso resfriar um gas extremamente diluıdo
constituıdo por um grande numero de partıculas
11
Figura 1 - Fases do sistema
Fonte MASSACHUSETTS
INSTITUTE OF
TECHNOLOGY 2010
O primeiro sistem fısico que ate bem pouco tempo conseguia obter caracterısticas
proximas de um condensado de Bose-Einstein era o 4He Ja foi constatado que a transicao
de fase que acontece no 4He e uma manifestacao que acompanha o condensado de Bose-
Einstein ou seja o CBE nos da explicacoes para o surgimento de uma mudanca de fase
no 4He (GRIFFIN 1996)
Dessa forma a funcao de onda macroscopica (que e uma funcao de onda quantica)
do condensado e a base de uma explicacao qualitativa da superfluidez O CBE reproduz
algumas propriedades essenciais do helio-4 liquefeito porem em detalhes o CBE conduz a
resultados quantitativamente errados A ligacao entre o CBE e o 4He foi primeiramente
estabelecida por London O 4He lıquido possui caracterısticas marcantes devido ao fato
dele ser um lıquido consequetemente apresenta uma forte interacao entre suas partıculas
Desta forma o condensado que explica a superfluidez nao pode ser considerado estrita-
mente um CBE devido as interacoes fortes entre suas moleculas
Para estudar o fenomenos proposto por Einstein seria interessante realizar exper-
imentalmente o CBE em um gas Investigando para se obter um CBE em um sistema
gasoso varios cientistas passaram a pesquisar o desenvolvimento de tecnicas que permi-
tiriam resfriamento de um gas confinado a temperaturas extremamente baixas Porem ex-
istia o problema de conseguir um sistema que ao ser submetido a temperaturas proximas
do zero absoluto nao solidificasse Esse problema foi solucionado utilizando componentes
do grupo I da tabela periodica (Na Rb Li etc) esses atomos alcalinos sao extrema-
12
mentes convenientes de serem utilizados pois torna possıvel de se ter amostras densas
e frias alem de que quando estao na presenca de um campo magnetico forte apresenta
uma fraca repulsao de suas partıculas isso faz com que o sistema continue no estado de
gas logo sao excelentes candidatos para se conseguir gases no regime quantico ou seja
para se obter o CBE (BAGNATO 1997)
No ano de 1995 foi obtido experimentalmente o primeiro condensado de Bose-
Einstein pelo grupo de Eric Cornell e Carl Wieman (National Institute of Standars e
Technology) Eles conseguiram resfriar a 170 nk gases de rubıdio (Rb) Mais tarde mas
no mesmo ano outros dois condensados foram obtidos Um condensado com gases de
Sodio (Na) realizado por Ketterle e colaboradores (Massachusetts Institute of Tecnology
- MIT) E por ultimo o grupo do Randy Hulet (Univrsity of Colorado) realizou experimen-
tos com atomos de lıtio (Li) (GRIFFIN 1996) O experimento com lıtio e completamente
equivalente aos outros dois experimentos com rubıdio e sodio exceto de que a interacao
entre as partıculas do lıtio e uma interacao atrativa (ele tem o comprimento de espal-
hamento negativo) isto e as lt 0 O gas de lıtio e constituıdo por partıculas fermionicas
(eletrons) que se agrupam formando pares (pares de Cooper) que deixam de lado suas
caracterısticas individuais para poderem se comportar como partıculas bosonicas Os
pares de Cooper pode ser denominado como sendo a uniao do spin up com o spin dow
do eletron (uarr darr) (EISBERG 1979) Dessa forma o gas de lıtio nao pode atingir o estado
de CBE sendo esperado um outra tipo de transicao No experimento com lıtio (mais
precisamente lıtio-6) tambem foi observado o fenomeno da superfluidez verificando assim
coexistencia de fases isto e uma fase superfluıda e outra normal Este tipo de com-
portamento e esperado de acontencer de acordo com as muitas teorias existentes sobre
atomos ultrafrios Podemos chamar de superfluidez com pares quebrados (breached-pair
superfluidity) a que ocorre no gas de lıtio isto e podemos observar a existencia de spins
paralelos e antiparalelos Com a pesquisa em torno do CBE foi possıvel estudar varios
outros sistemas quanticos complexos que ate entao nao se tinha uma teoria solida que os
explicasse como e o caso do helio lıquido
13
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL
Neste capıtulo vamos fazer uma breve descricao da Condensacao de Bose-Einstein
em um gas ideal Vamos analisar um sistema constituıdos por N partıculas nao inter-
agentes completamente diluıdo que obedece a distribuicao de Bose-Einstein com uma
ocupacao ni de partıculas para cada estado de energia εi
A energia do gas no estado e definido pelo conjunto dos numeros esperados de
partıculas isto e ni = n1 n2 sera (SALINAS 1997)
E(ni) = n1ε1 + n2ε2 + =sumi
niεi (1)
Calcularemos a funcao particao do sistema pois o objetivo principal e achar as
propriedades termodinamicas do gas sendo assim
Z =sumni
eminusβEni =sumni
eminusβsumniεi rarr funcao particao (2)
Condensacao Calculando a funcao particao acharemos todas as solucoes para o sistema
Usaremos entao o ensemble Grand canonico pois os ni nao sao independentes Ao
usar esse ensemble estamos tornando os ni independentes Neste caso estamos acoplando
ao sistema um reservatorio de partıculas e cada estado e populado a partir do reservatorio
Podemos escrever a funcao particao Grand canonica como sendo
Z(T V micro) =infinsumN=0
[eβmicroN
sumni
eminusβsumi niεi
]
=infinsumN=0
[sumni
eminusβsumi ni(εiminusmicro)
]
=infinsumN=0
[sumni
prodi
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni](3)
onde micro e o potencial quımico do gas
Podemos observar que em (3) existem dois somatorios o primeiro esta somando
sobre os ni vinculado a um valor constante do numero total N e o segundo e sobre todos
os valores possıveis de N e equivalente a um somatorio sobre todos os valores de ni
14
entao podemos escrever
Z(T V micro) =sumn1n2
[(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2]
=
[sumn1
(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1
][sumn2
(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2
] (4)
mas
Zi =sumni
eminusβni(εiminusmicro) (5)
A equacao (5) e a funcao particao de um estado quantico i
Na distribuicao de Bose-Eintein ni pode ser qualquer valor ou seja n = 0 1 2
Se eminusβ(εminusmicro) lt 1 dessa forma a funcao particao de um estado i sera
Zi =sumni
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni=(1minus eminusβ(εiminusmicro)
)minus1(6)
Entao a probabilidade de obter ni partıculas no estado i e portanto
P (ni) =eminusβni(εiminusmicro)
Zi(7)
Portanto o numero medio de bosons em um estado i sera
ni =
sumniniP (ni)
Zi= kBT
part
partmicrolnZi (8)
Fazendo a diferenciacao vamos encontrar
ni =1
eβ(εiminusmicro) minus 1(9)
Dessa forma (8) e o numero medio de partıculas que ocupam um determinado
estado de energia i Tendo em maos o numero medio de partıculas em um estado quantico
i vamos obter o numero total N de partıculas que e dado por
N =nsumi=1
〈ni〉 =nsumi=1
1
exp [β (εi minus micro)]minus 1(10)
Analisando a expressao em (10) podemos observar que ao considerar o numero de
partıculas bosonicas como sendo conservado estamos impondo que o potencial quımico (micro)
e obrigatoriamente negativo ou nulo (micro le 0) isso faz com que o numero de ocupacao para
qualquer nıvel de energia seja positivo ou seja esse somatorio tem que ser convergente
E conveniente que na equacao (10) seja feito uma mudanca do somatorio para a
integral porem ao fazer essa mudanca temos que ter uma certa atencao pois o estado
fundamental possui uma energia εi = 0 e consequentemente a densidade de estado ρ(ε)
15
do estado fundamental tambem e igual a zero
A densidade de estado ρ(ε) do sistema vai representar a quantidade de estado
com energia entre ε e ε+ dε Entao ao fazermos a mudanca do somatorio para a integral
estamos deixando de lado muitas partıculas bosonicas que se encontra no estado de energia
mınima estado esse que possui aproximadamente um numero de partıculas que pode ser
igual ao proprio numero total N de partıculas do sistema isso explica porque somos
obrigados a manter a ocupacao N0 no estado fundamental Devido a isso trataremos as
partıculas que se encontra no estado fundamental separadamente isto e
N = N0 +Nε
N = N0 +
int infin0
nε ρ (ε) dε
N = N0 +
int infin0
1
eβ(εiminusmicro) minus 1ρ(ε)dε (11)
onde N0 e o numero de ocupacao no estado fundamental com εi = 0 e Nε e o numero
de ocupacao no estado excitado (SALINAS 1997)
Da equacao (11) observamos que a medida que a temperatura diminui micro cresce
podendo alcancar para uma determinada temperatura finita um valor maximo micro = 0 A
este ponto epecıfico chamamos de temperatura crıtica (Tc) pois quando a temperatura
diminui ha um crescimento macroscopico do numero de partıcula que constitui o estado
fundamental (N0) enquanto que a quantidade de partıculas existente no estato excitado
(fracao nao condensada) diminui proporcionalmente Essa ocupacao macroscopica vai
fazer com que a contribuicao estatıstica desse primeiro estado quantico degenerado seja
maior se compararmos com a parte nao condensada Isso e consequencia da quantidade
mınima de partıcula que ainda se encontra no estado excitado Portanto vamos calcular
o numero de partıcula existente no estado excitado isto e ε gt 0
Nε =
int infin0
ρ(ε)1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (12)
onde
ρ(ε) =dN
dε=
V
3π2
(2m
h2
)323
2ε12 (13)
Substituindo a equacao (13) que e a equacao da densidade de estado na equacao
16
(12) obtemos
Nε =V
3π2
(2m
h2
)32 int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32
int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (14)
Podemos agora determinar a temperatura de transicao Tc fazendo micro = 0 Vamos
obter
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32 3
2
int infin0
ε12
eβεi minus 1dε
=1
2π2
(2mkBT
h2
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (15)
No momento em que o sistema tem micro = 0 temos que fazer Nε = N isso indica
que T tem o seu valor maximo ou seja
N
V=
1
2π2
(2mkBTc
h
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (16)
Podemos extrair da equacao acima a temperatura de transicao Tc que e
Tc =2πh2
mkB
(1
2 612
N
V
)32
(17)
Dessa forma reescreveremos a equacao (17) em termos de Tc como sendo
Nε
N=
(T
Tc
)32
(18)
Consequentemente vamos obter um outro parametro muito importante que e a
fracao de partıculas bosonicas que se encontra no estado fundamental (N0N) isto e no
estado condensado em funcao de T
N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
(19)
Agora fica facil observar que a transicao que acontece a Tc pode exprimir-se pela
separacao dos comportamentos assintoticos do numero de ocupacao do estado fundamen-
tal isto e
(T gt Tc)N0
N= O
(1
N
)asymp 0 para temperaturas altas
(T lt Tc)N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
para temperaturas baixas
17
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado
de Bose-Einstein em funcao da
temperatura
Fonte SALINAS 1997 p238
Dessas expressoes podemos observar que abaixo de uma temperatura de transicao
Tc uma pequena populacao das partıculas bosonicas ocupam o nıvel de mais baixa de
energia isto e N0 rarr N Entao a medida que N cresce fica mais facil falar da temperatura
de transicao logo o numero de partıculas no estado fundamental se torna mais singular
Dessa forma para T lt Tc o estado condensado e macroscopicamente populado
entao podemos dizer que Tc e a temperatura na qual micro assume o seu valor maximo
Podemos afirmar que as expressoes acima nos permite identificar a densidade do conden-
sado com o parametro de ordem de transicao Denominamos entao que Condensacao de
Bose-Einstein e o fato de um gas ideal bosonico possuir uma temperatura de transicao
discreta Tc e tambem possuir uma porcao finita de todas as partıculas ocupando o nıvel
mais baixo de energia para T lt Tc
No proximo capıtulo estudaremos as consequencias de submetermos um gas de
Bose na presenca de interacoes Vamos analisar uma teoria extremamente importante
para o entendimento desse sistemas quanticos complexos Para isso teremos que fazer
certa aproximacoes para que o desenvolvimento e o entendimento do sistema se estabeleca
de maneira satisfatoria
18
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTERAGENTE
Neste capıtulo demonstraremos um formalismo que vai ser capaz de descrever
as propriedades do estado fundamental de um gas bosonico diluıdo a uma temperatura
extremamente baixa (GRIFFIN 1996) Aplicaremos uma aproximacao de Campo Medio
Essa aproximacao e obtida depois que encontramos o valor esperado dos operadores de
campo bosonico Portanto definiremos uma funcao de onda (parametro de ordem) que
vai ser capaz de satisfazer a equacao nao linear de Schrodinger
Observaremos tambem o que acontece com um gas de Bose quando ele e aprision-
ado por um potencial harmonico e tambem quando esse sistema e submetido a interacoes
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio)
Para uma melhor descricao do estado condensado faremos o uso da aproximacao
de campo medio que vai resultar em uma equacao de Schrodinger nao linear que recebe
o nome de Equacao de Gross-Pitaevskii (EGP) (CARRETERO-GONZALES R 2008
GRIFFIN 1996) A deducao dessa equacao de campo medio foi feita por Lev Petrovich
Pitaevskii e E P Gross Com essa aproximacao de campo medio podemos estudar com
mais profundidade as propriedades do estado condensado ou seja a equacao de Gross-
Pitaeviskii Dependente do Tempo vai descrever a dinamica do sistema E se linearizarmos
essa equacao ao redor do estado fundamental vamos conseguir descrever as excitacoes co-
letivas de baixa energia do sistema que esta submetido a uma temperatura extremamente
baixa
A aproximacao de campo medio e baseada na aproximacao de Bogoliubov A ideia
principal da teoria de Bogoliubov e de que a fracao de partıculas nao condensada sera
despresada ou seja os efeitos da parte termica (flutuacoes) serao despresados
Usando a teoria de Bogoliubov conseguiremos encontrar os estados de equilıbrio
do sistema atraves da equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
Para conseguir chegar na equacao que vai dar a descricao do estado condensado
isto e do estado fundamental vamos escrever o hamiltoniano para um sistema formado
por N partıculas bosonicas com massa m que interagem duas a duas confinadas por um
potencial externo Vext(~r)
A hamiltoniana para esse sistema e escrita em segunda quantizacao atraves dos
operadores de campo Ψdagger(~r t) Ψ(~r t) (GREINER 1996) bosons de criacao e aniquilacao
respectivamente
19
H =
intd~rΨdagger(~r t) H0 Ψ(~r t) +
1
2
intd~r d~r primeΨdagger(~r t) Ψdagger(~r prime t)V (~r minus ~r prime) Ψ(~r prime t) Ψ(~r t) (20)
onde Vext(~r) e o potencial externo (potencial de armadilha) V (~r minus ~r prime) e o potencial
interatomico e H0 = minus h2
2mnabla2 + Vext(~r)
Os operadores de campo Ψ(~r t) e Ψdagger(~r t) obedecem as seguintes regras de co-
mutacao para bosons
[Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = δ(~r minus ~r prime)
[Ψ(~r t)Ψ(~r prime t)] = 0
[Ψdagger(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = 0
O formalismo de segunda quantizacao e a melhor forma para desenvolver sistema
compostos por muitas partıculas quando estamos no contexto da mecanica quantica
(GREINER 1996)
Agora vamos escrever a equacao de Heisenberg (SAKURAI 1994) para poder
descrever o estado fundamental ou seja queremos observar a dinamica do sistema con-
densado e saber como o operador Ψ(~r t) ou Ψdagger(~r t) evolui no tempo
ihpartΨ
partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)
Calculando [Ψ(~r t)H] usando o hamiltoniano
[Ψ(~r t) H] =
[Ψ(~r t)
intd~rΨdagger(~r t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
intΨ(~r prime t)Vext(~r)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
1
2
intd~rd~r primeΨdagger(~r t)Ψdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)Ψ(~r prime t)Ψ(~r t)
](22)
20
Vamos calcular a primeira parcela
I1 =
[Ψ(~r t)
intΨdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
]I1 =
int [Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)
]d~r prime
I1 =
intδ(~r minus ~r)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
I1 =minush2
2mnabla2Ψ(~r t) (23)
Analogamente para as parcelas I2 e I3 e substituindo as tres parcelas na equacao
de Heisenberg equacao (21) obtemos
ihpartΨ
partt(~r t) =
[H0 +
intd~r primeΨdagger(~r prime t)V (~r prime minus ~r)Ψ(~r prime t)
]Ψ(~r t) (24)
A equacao (24) e uma equacao exata para o operador de campo Ψ(~r t)
Agora vamos decompor o operador de campo bosonico da seguinte forma
Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)
onde ψ representa o estado fundamental e δφ representa as flutuacoes Contudo obser-
vamos que esse operador de campo vai agir como se fosse o seu proprio valor medio no
nıvel de mais baixa energia ou seja (BARCI 2002)
ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 rarr equacao de campo medio
A equacao acima e considerada como sendo a equacao de onda do estado conden-
sado e uma equacao de onda macroscopica e uma funcao de onda quantica ou seja ela
representa um conjunto de todas partıculas bosonicas que estao no estado fundamental
isto e essas partıculas vao se deslocar coerentemente Entao δφ e uma pequena parcela
das partıculas que se encontrta fora do condensado e quando o sistema encontra-se com
uma temperatura muito abaixo de Tc essa parcela e realmente desprezada
O que foi feito acima foi descartar as flutuacoes para que se possa fazer uma
melhor analise somente da parte condensada (BARCI 2002) isto e estamos aplicando a
aproximacao de campo medio Consequentemente vamos fazer a seguinte substituicao
Ψ(~r t) minusrarr ψ(~r t)
Ψdagger(~r t) minusrarr ψdagger(~r t)
Substituindo na equacao (24) que e a equacao de movimento para o operador de
21
campo temos
ihpartψ
partt=
[H0 +
intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)
]ψ(~r t) (26)
Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer
algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito
baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica
interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo
consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos
levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas
estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial
(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos
Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial
Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)
as =m
4πh2
intd~r V (~r minus ~rprime)
onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento
Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)
ihpartψ(~r t)
partt=
[minush2
2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2
]ψ(~r t) (27)
A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo
(EGPDT)
Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)
onde N e o numero total de partıcula do condensado
Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a
solucao estacionaria vamos considerar
ψ(~r t) = exp(minusimicro
ht)ψ0(~r) (29)
onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT
Eq (27) obtemos[minus h2
2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
CATALOGACcedilAtildeO NA FONTEUERJ REDE SIRIUS CTCD
Autorizo apenas para fins acadecircmicos e cientiacuteficos a reproduccedilatildeo total ou parcial desta dissertaccedilatildeo desde que citada a fonte
___________________________________________________ ____________________________ Assinatura Data
S729m Souza Vaacuteleria de Carvalho Dinacircmica da condensaccedilatildeo de Bose-Einstein em gases fracamente interagentes Vaacuteleria de Carvalho Souza - 2010 54 f il Orientador Daniel Gustavo Barci Dissertaccedilatildeo (mestrado) - Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Fiacutesica Armando Dias Tavares
1 Condensaccedilatildeo de Bose-Einstein -Teses 2 Mateacuteria condensada - Teses I Barci Daniel Gustavo II Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Fiacutesica Armando Dias Tavares III Tiacutetulo
CDU 530145
Valeria de Carvalho Souza
Dinamica da condensacao de Bose-Einstein em gases fracamente interagentes
Dissertacao apresentada como requisito par-cial para obtencao do tıtulo de Mestre aoPrograma de Pos-Graduacao em Fısica daUniversidade do Estado do Rio de Janeiro
Aprovada em 27 de Maio de 2010Banca Examinadora
Prof Dr Daniel Gustavo Barci (Orientador)Instituto de Fısica Armando Dias Tavares ndash UERJ
Prof Dr Rudnei de Oliveira RamosInstituto de Fısica Armando Dias Tavares - UERJ
Prof Dr Luiz Esteban OxmanUniversidade Federal Fluminense
Rio de Janeiro
2010
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar a Deus
Ao professor Daniel G Barci pela orientacao amizade e pela paciencia
A todos os professores do instituto de fısica da UERJ mas em especial Nilson
Antunes Ivan da Cunha Lima Rudnei Ramos Luiz Fernando Vitor Oguri Roberto
Mahon Lilian Pantoja
Aos colegas de pos graduacao Diego Vinıcios Emanuel
Ao pessoal da biblioteca mas em especial Nadia e Maria Luiza
Ao pessoal da secretaria de pos graduacao Laurimar e Rogerio
Finalmente a CAPES apoio financeiro
RESUMO
SOUZA V C Dinamica da condensacao de Bose-Einstein em gases fracamenteinteragentes 2010 54 f Dissertacao (Mestrado em Fısica) ndash Instituto de FısicaArmando Dias Tavares Universidade do Estado do Rio de Janeiro Rio de Janeiro 2010
A presente dissertacao estuda com detalhes a evolucao temporal fora do equilıbriode um condensado de Bose-Einstein homogeneo diluıdo imerso em um reservatorio termicoNos modelamos o sistema atraves de um campo de Bose escalar complexo E apropriadodescrever o comportamento microscopico desse sistema por meio da teoria quantica decampos atraves do formalismo de Schwinger-Keldysh Usando esse formalismo de temporeal a dinamica do condensado e solucionada por um grupo de equacoes integro-diferencialauto consistente essas sao solucionadas numericamente Estudamos tambem o cenarioquench e como a densidade do gas e as interacoes entre as flutuacoes tem o efeito deprovocar as instabilidades nesse sistema Aplicamos esse desenvolvimento para estudar ocomportamento de duas especies homogeneas de um gas de Bose diluıdo imerso em umreservatorio termico
Palavras-chave Condensacao de Bose-Einstein Flutuacoes Campo medio Reservatorio
termico
ABSTRACT
SOUZA V C Dynamic of Bose-Einstein condensate in weakly interacting gases 201054 f Dissertacao (Mestrado em Fısica) ndash Instituto de Fısica Armando Dias TavaresUniversidade do Estado do Rio de Janeiro Rio de Janeiro 2010
This Dissertation study the detailed out of equilibrium time evolution of a homo-geneous diluted Bose-Einstein condensate in thermal bath We modeled the system bymeans of one bosonic complex scalar field The microscopic behavior of such an environ-ment can be appropriately described by the non-equilibrium Schwinger-Keldysh formalismin a quantum field theory approach Using this formalism real-time dynamics of the con-densate is encoded in a set of self-consistent integral-differential equations that we solvednumerically We studied in the quench scenario how the role of the interactions in thegeneration of the initial instability and the subsequent time evolution of the condensateWe also applied this technique to the study of a two-species homogeneous diluted Bosegas in a thermal bath
Keywords Bose-Einstein condensates Fluctuations Mean field Thermal reservoir
LISTA DE ILUSTRACOES
Figura 1 - Fases do sistema 11
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado de Bose-Einstein em funcao da
temperatura 17
Figura 3 - Analise da densidade do condensado 25
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao do tempo 38
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh 53
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
CBE Condensado de Bose-Einstein
EGP Equacao de Gross-Pitaeviskii
EGPDT Equacao de Gross-Pitaeviskii Depedente do Tempo
EGPIT Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
LISTA DE SIMBOLOS
λ comprimento de onda de De Broglie
g constante de acoplamento
as comprimento de espalhamento da onda s
micro potencial quımico
SUMARIO
INTRODUCAO 10
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL 13
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTER-
AGENTE 18
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio) 18
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica 22
22 Interacoes repulsivas e atrativas 26
23 Aproximacao de Thomas-Fermi 27
24 Teoria de Bogoliubov 27
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes 28
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE 32
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes 32
32 O cenario quench 34
33 Equacoes auto-consistentes 35
34 Integracao numerica 37
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE 40
41 Flutuacoes 41
42 Equacoes auto-consistentes 42
CONCLUSAO 44
REFERENCIAS 45
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio 48
10
INTRODUCAO
Em 1925 Albert Einstein inspirado pelos trabalhos de N S Bose descreveu o
fenomeno hoje chamado de Condensacao de Bose-Einstein (CBE) Einstein pode obser-
var que existiria uma mudanca de fase em um gas ideal quando submetido a temperaturas
relativamente baixas(GRIFFIN 1996)
Podemos definir a Condensacao de Bose-Einstein como sendo a convergencia das
partıculas constituintes de um gas ideal bosonico para o primeiro estado quantico desse
sistema Desta forma no estado condensado um numero macroscopico de partıculas ocu-
pam o estado de mais baixa energia (estado com momento nulo) quando submetido a uma
temperatura extremamente baixa Nesta circunstancia as propriedades termodinamicas
do sistema irao sofrer alteracoes o que caracteriza uma transicao de fase
A medida que baixamos a temperatura do sistema as partıculas bosonicas que
estao neste estado quantico degenerado (estado sem energia cinetica) poderao ser tratadas
como pacotes de onda com o comprimento de onda de de Broglie λ = (2πhmkBT )12
Dessa maneira a transicao de fase acontece devido ao fato do comprimento de onda
termico (que e o comprimento de onda em mecanica quantica de uma partıcula com energia
cinetica da ordem O(kBT )) ficar igual a distancia media entre as partıculas bosonicas
Esse comprimento de onda termico aumenta a medida que baixamos a temperatura
do sistema Sendo assim a funcao de onda do estado condensado e uma funcao de onda
macroscopica ou seja todas as partıculas deslocam-se coerentemente visto que todas tem
a mesma funcao de onda ψ0 (BAGNATO 1997)
Portanto a ocupacao macroscopica do nıvel fundamental de um gas de Bose ho-
mogeneo e nao interagente e denominada de condensacao de Bose-Einstein
Vamos observar tres situacoes que ocorrem com o sistema
1 Para uma temperatura elevada isto e T gt Tc as partıculas bosonicas obedecem a
estatıstica de Boltzmann comportando-se classicamente
2 Quando a temperatura esta perto de Tc podemos observar um comportamento de
dois fluıdos uma fracao condensada e outra parte termica (flutuacoes)
3 E quando so tem a fracao condensada desaparecendo a parte termica isto e T = 0
Nesse momento todas as partıculas ficarao alojadas no nıvel de mais baixa energia
Esse nıvel quantico de mais baixa energia permanece ocupado por um numero N0
de partıculas bosonicas ate o instante em que a temperatura do sistema comecar a
subir ate atingir Tc
Contudo para se obter um CBE e preciso resfriar um gas extremamente diluıdo
constituıdo por um grande numero de partıculas
11
Figura 1 - Fases do sistema
Fonte MASSACHUSETTS
INSTITUTE OF
TECHNOLOGY 2010
O primeiro sistem fısico que ate bem pouco tempo conseguia obter caracterısticas
proximas de um condensado de Bose-Einstein era o 4He Ja foi constatado que a transicao
de fase que acontece no 4He e uma manifestacao que acompanha o condensado de Bose-
Einstein ou seja o CBE nos da explicacoes para o surgimento de uma mudanca de fase
no 4He (GRIFFIN 1996)
Dessa forma a funcao de onda macroscopica (que e uma funcao de onda quantica)
do condensado e a base de uma explicacao qualitativa da superfluidez O CBE reproduz
algumas propriedades essenciais do helio-4 liquefeito porem em detalhes o CBE conduz a
resultados quantitativamente errados A ligacao entre o CBE e o 4He foi primeiramente
estabelecida por London O 4He lıquido possui caracterısticas marcantes devido ao fato
dele ser um lıquido consequetemente apresenta uma forte interacao entre suas partıculas
Desta forma o condensado que explica a superfluidez nao pode ser considerado estrita-
mente um CBE devido as interacoes fortes entre suas moleculas
Para estudar o fenomenos proposto por Einstein seria interessante realizar exper-
imentalmente o CBE em um gas Investigando para se obter um CBE em um sistema
gasoso varios cientistas passaram a pesquisar o desenvolvimento de tecnicas que permi-
tiriam resfriamento de um gas confinado a temperaturas extremamente baixas Porem ex-
istia o problema de conseguir um sistema que ao ser submetido a temperaturas proximas
do zero absoluto nao solidificasse Esse problema foi solucionado utilizando componentes
do grupo I da tabela periodica (Na Rb Li etc) esses atomos alcalinos sao extrema-
12
mentes convenientes de serem utilizados pois torna possıvel de se ter amostras densas
e frias alem de que quando estao na presenca de um campo magnetico forte apresenta
uma fraca repulsao de suas partıculas isso faz com que o sistema continue no estado de
gas logo sao excelentes candidatos para se conseguir gases no regime quantico ou seja
para se obter o CBE (BAGNATO 1997)
No ano de 1995 foi obtido experimentalmente o primeiro condensado de Bose-
Einstein pelo grupo de Eric Cornell e Carl Wieman (National Institute of Standars e
Technology) Eles conseguiram resfriar a 170 nk gases de rubıdio (Rb) Mais tarde mas
no mesmo ano outros dois condensados foram obtidos Um condensado com gases de
Sodio (Na) realizado por Ketterle e colaboradores (Massachusetts Institute of Tecnology
- MIT) E por ultimo o grupo do Randy Hulet (Univrsity of Colorado) realizou experimen-
tos com atomos de lıtio (Li) (GRIFFIN 1996) O experimento com lıtio e completamente
equivalente aos outros dois experimentos com rubıdio e sodio exceto de que a interacao
entre as partıculas do lıtio e uma interacao atrativa (ele tem o comprimento de espal-
hamento negativo) isto e as lt 0 O gas de lıtio e constituıdo por partıculas fermionicas
(eletrons) que se agrupam formando pares (pares de Cooper) que deixam de lado suas
caracterısticas individuais para poderem se comportar como partıculas bosonicas Os
pares de Cooper pode ser denominado como sendo a uniao do spin up com o spin dow
do eletron (uarr darr) (EISBERG 1979) Dessa forma o gas de lıtio nao pode atingir o estado
de CBE sendo esperado um outra tipo de transicao No experimento com lıtio (mais
precisamente lıtio-6) tambem foi observado o fenomeno da superfluidez verificando assim
coexistencia de fases isto e uma fase superfluıda e outra normal Este tipo de com-
portamento e esperado de acontencer de acordo com as muitas teorias existentes sobre
atomos ultrafrios Podemos chamar de superfluidez com pares quebrados (breached-pair
superfluidity) a que ocorre no gas de lıtio isto e podemos observar a existencia de spins
paralelos e antiparalelos Com a pesquisa em torno do CBE foi possıvel estudar varios
outros sistemas quanticos complexos que ate entao nao se tinha uma teoria solida que os
explicasse como e o caso do helio lıquido
13
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL
Neste capıtulo vamos fazer uma breve descricao da Condensacao de Bose-Einstein
em um gas ideal Vamos analisar um sistema constituıdos por N partıculas nao inter-
agentes completamente diluıdo que obedece a distribuicao de Bose-Einstein com uma
ocupacao ni de partıculas para cada estado de energia εi
A energia do gas no estado e definido pelo conjunto dos numeros esperados de
partıculas isto e ni = n1 n2 sera (SALINAS 1997)
E(ni) = n1ε1 + n2ε2 + =sumi
niεi (1)
Calcularemos a funcao particao do sistema pois o objetivo principal e achar as
propriedades termodinamicas do gas sendo assim
Z =sumni
eminusβEni =sumni
eminusβsumniεi rarr funcao particao (2)
Condensacao Calculando a funcao particao acharemos todas as solucoes para o sistema
Usaremos entao o ensemble Grand canonico pois os ni nao sao independentes Ao
usar esse ensemble estamos tornando os ni independentes Neste caso estamos acoplando
ao sistema um reservatorio de partıculas e cada estado e populado a partir do reservatorio
Podemos escrever a funcao particao Grand canonica como sendo
Z(T V micro) =infinsumN=0
[eβmicroN
sumni
eminusβsumi niεi
]
=infinsumN=0
[sumni
eminusβsumi ni(εiminusmicro)
]
=infinsumN=0
[sumni
prodi
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni](3)
onde micro e o potencial quımico do gas
Podemos observar que em (3) existem dois somatorios o primeiro esta somando
sobre os ni vinculado a um valor constante do numero total N e o segundo e sobre todos
os valores possıveis de N e equivalente a um somatorio sobre todos os valores de ni
14
entao podemos escrever
Z(T V micro) =sumn1n2
[(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2]
=
[sumn1
(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1
][sumn2
(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2
] (4)
mas
Zi =sumni
eminusβni(εiminusmicro) (5)
A equacao (5) e a funcao particao de um estado quantico i
Na distribuicao de Bose-Eintein ni pode ser qualquer valor ou seja n = 0 1 2
Se eminusβ(εminusmicro) lt 1 dessa forma a funcao particao de um estado i sera
Zi =sumni
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni=(1minus eminusβ(εiminusmicro)
)minus1(6)
Entao a probabilidade de obter ni partıculas no estado i e portanto
P (ni) =eminusβni(εiminusmicro)
Zi(7)
Portanto o numero medio de bosons em um estado i sera
ni =
sumniniP (ni)
Zi= kBT
part
partmicrolnZi (8)
Fazendo a diferenciacao vamos encontrar
ni =1
eβ(εiminusmicro) minus 1(9)
Dessa forma (8) e o numero medio de partıculas que ocupam um determinado
estado de energia i Tendo em maos o numero medio de partıculas em um estado quantico
i vamos obter o numero total N de partıculas que e dado por
N =nsumi=1
〈ni〉 =nsumi=1
1
exp [β (εi minus micro)]minus 1(10)
Analisando a expressao em (10) podemos observar que ao considerar o numero de
partıculas bosonicas como sendo conservado estamos impondo que o potencial quımico (micro)
e obrigatoriamente negativo ou nulo (micro le 0) isso faz com que o numero de ocupacao para
qualquer nıvel de energia seja positivo ou seja esse somatorio tem que ser convergente
E conveniente que na equacao (10) seja feito uma mudanca do somatorio para a
integral porem ao fazer essa mudanca temos que ter uma certa atencao pois o estado
fundamental possui uma energia εi = 0 e consequentemente a densidade de estado ρ(ε)
15
do estado fundamental tambem e igual a zero
A densidade de estado ρ(ε) do sistema vai representar a quantidade de estado
com energia entre ε e ε+ dε Entao ao fazermos a mudanca do somatorio para a integral
estamos deixando de lado muitas partıculas bosonicas que se encontra no estado de energia
mınima estado esse que possui aproximadamente um numero de partıculas que pode ser
igual ao proprio numero total N de partıculas do sistema isso explica porque somos
obrigados a manter a ocupacao N0 no estado fundamental Devido a isso trataremos as
partıculas que se encontra no estado fundamental separadamente isto e
N = N0 +Nε
N = N0 +
int infin0
nε ρ (ε) dε
N = N0 +
int infin0
1
eβ(εiminusmicro) minus 1ρ(ε)dε (11)
onde N0 e o numero de ocupacao no estado fundamental com εi = 0 e Nε e o numero
de ocupacao no estado excitado (SALINAS 1997)
Da equacao (11) observamos que a medida que a temperatura diminui micro cresce
podendo alcancar para uma determinada temperatura finita um valor maximo micro = 0 A
este ponto epecıfico chamamos de temperatura crıtica (Tc) pois quando a temperatura
diminui ha um crescimento macroscopico do numero de partıcula que constitui o estado
fundamental (N0) enquanto que a quantidade de partıculas existente no estato excitado
(fracao nao condensada) diminui proporcionalmente Essa ocupacao macroscopica vai
fazer com que a contribuicao estatıstica desse primeiro estado quantico degenerado seja
maior se compararmos com a parte nao condensada Isso e consequencia da quantidade
mınima de partıcula que ainda se encontra no estado excitado Portanto vamos calcular
o numero de partıcula existente no estado excitado isto e ε gt 0
Nε =
int infin0
ρ(ε)1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (12)
onde
ρ(ε) =dN
dε=
V
3π2
(2m
h2
)323
2ε12 (13)
Substituindo a equacao (13) que e a equacao da densidade de estado na equacao
16
(12) obtemos
Nε =V
3π2
(2m
h2
)32 int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32
int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (14)
Podemos agora determinar a temperatura de transicao Tc fazendo micro = 0 Vamos
obter
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32 3
2
int infin0
ε12
eβεi minus 1dε
=1
2π2
(2mkBT
h2
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (15)
No momento em que o sistema tem micro = 0 temos que fazer Nε = N isso indica
que T tem o seu valor maximo ou seja
N
V=
1
2π2
(2mkBTc
h
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (16)
Podemos extrair da equacao acima a temperatura de transicao Tc que e
Tc =2πh2
mkB
(1
2 612
N
V
)32
(17)
Dessa forma reescreveremos a equacao (17) em termos de Tc como sendo
Nε
N=
(T
Tc
)32
(18)
Consequentemente vamos obter um outro parametro muito importante que e a
fracao de partıculas bosonicas que se encontra no estado fundamental (N0N) isto e no
estado condensado em funcao de T
N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
(19)
Agora fica facil observar que a transicao que acontece a Tc pode exprimir-se pela
separacao dos comportamentos assintoticos do numero de ocupacao do estado fundamen-
tal isto e
(T gt Tc)N0
N= O
(1
N
)asymp 0 para temperaturas altas
(T lt Tc)N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
para temperaturas baixas
17
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado
de Bose-Einstein em funcao da
temperatura
Fonte SALINAS 1997 p238
Dessas expressoes podemos observar que abaixo de uma temperatura de transicao
Tc uma pequena populacao das partıculas bosonicas ocupam o nıvel de mais baixa de
energia isto e N0 rarr N Entao a medida que N cresce fica mais facil falar da temperatura
de transicao logo o numero de partıculas no estado fundamental se torna mais singular
Dessa forma para T lt Tc o estado condensado e macroscopicamente populado
entao podemos dizer que Tc e a temperatura na qual micro assume o seu valor maximo
Podemos afirmar que as expressoes acima nos permite identificar a densidade do conden-
sado com o parametro de ordem de transicao Denominamos entao que Condensacao de
Bose-Einstein e o fato de um gas ideal bosonico possuir uma temperatura de transicao
discreta Tc e tambem possuir uma porcao finita de todas as partıculas ocupando o nıvel
mais baixo de energia para T lt Tc
No proximo capıtulo estudaremos as consequencias de submetermos um gas de
Bose na presenca de interacoes Vamos analisar uma teoria extremamente importante
para o entendimento desse sistemas quanticos complexos Para isso teremos que fazer
certa aproximacoes para que o desenvolvimento e o entendimento do sistema se estabeleca
de maneira satisfatoria
18
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTERAGENTE
Neste capıtulo demonstraremos um formalismo que vai ser capaz de descrever
as propriedades do estado fundamental de um gas bosonico diluıdo a uma temperatura
extremamente baixa (GRIFFIN 1996) Aplicaremos uma aproximacao de Campo Medio
Essa aproximacao e obtida depois que encontramos o valor esperado dos operadores de
campo bosonico Portanto definiremos uma funcao de onda (parametro de ordem) que
vai ser capaz de satisfazer a equacao nao linear de Schrodinger
Observaremos tambem o que acontece com um gas de Bose quando ele e aprision-
ado por um potencial harmonico e tambem quando esse sistema e submetido a interacoes
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio)
Para uma melhor descricao do estado condensado faremos o uso da aproximacao
de campo medio que vai resultar em uma equacao de Schrodinger nao linear que recebe
o nome de Equacao de Gross-Pitaevskii (EGP) (CARRETERO-GONZALES R 2008
GRIFFIN 1996) A deducao dessa equacao de campo medio foi feita por Lev Petrovich
Pitaevskii e E P Gross Com essa aproximacao de campo medio podemos estudar com
mais profundidade as propriedades do estado condensado ou seja a equacao de Gross-
Pitaeviskii Dependente do Tempo vai descrever a dinamica do sistema E se linearizarmos
essa equacao ao redor do estado fundamental vamos conseguir descrever as excitacoes co-
letivas de baixa energia do sistema que esta submetido a uma temperatura extremamente
baixa
A aproximacao de campo medio e baseada na aproximacao de Bogoliubov A ideia
principal da teoria de Bogoliubov e de que a fracao de partıculas nao condensada sera
despresada ou seja os efeitos da parte termica (flutuacoes) serao despresados
Usando a teoria de Bogoliubov conseguiremos encontrar os estados de equilıbrio
do sistema atraves da equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
Para conseguir chegar na equacao que vai dar a descricao do estado condensado
isto e do estado fundamental vamos escrever o hamiltoniano para um sistema formado
por N partıculas bosonicas com massa m que interagem duas a duas confinadas por um
potencial externo Vext(~r)
A hamiltoniana para esse sistema e escrita em segunda quantizacao atraves dos
operadores de campo Ψdagger(~r t) Ψ(~r t) (GREINER 1996) bosons de criacao e aniquilacao
respectivamente
19
H =
intd~rΨdagger(~r t) H0 Ψ(~r t) +
1
2
intd~r d~r primeΨdagger(~r t) Ψdagger(~r prime t)V (~r minus ~r prime) Ψ(~r prime t) Ψ(~r t) (20)
onde Vext(~r) e o potencial externo (potencial de armadilha) V (~r minus ~r prime) e o potencial
interatomico e H0 = minus h2
2mnabla2 + Vext(~r)
Os operadores de campo Ψ(~r t) e Ψdagger(~r t) obedecem as seguintes regras de co-
mutacao para bosons
[Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = δ(~r minus ~r prime)
[Ψ(~r t)Ψ(~r prime t)] = 0
[Ψdagger(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = 0
O formalismo de segunda quantizacao e a melhor forma para desenvolver sistema
compostos por muitas partıculas quando estamos no contexto da mecanica quantica
(GREINER 1996)
Agora vamos escrever a equacao de Heisenberg (SAKURAI 1994) para poder
descrever o estado fundamental ou seja queremos observar a dinamica do sistema con-
densado e saber como o operador Ψ(~r t) ou Ψdagger(~r t) evolui no tempo
ihpartΨ
partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)
Calculando [Ψ(~r t)H] usando o hamiltoniano
[Ψ(~r t) H] =
[Ψ(~r t)
intd~rΨdagger(~r t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
intΨ(~r prime t)Vext(~r)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
1
2
intd~rd~r primeΨdagger(~r t)Ψdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)Ψ(~r prime t)Ψ(~r t)
](22)
20
Vamos calcular a primeira parcela
I1 =
[Ψ(~r t)
intΨdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
]I1 =
int [Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)
]d~r prime
I1 =
intδ(~r minus ~r)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
I1 =minush2
2mnabla2Ψ(~r t) (23)
Analogamente para as parcelas I2 e I3 e substituindo as tres parcelas na equacao
de Heisenberg equacao (21) obtemos
ihpartΨ
partt(~r t) =
[H0 +
intd~r primeΨdagger(~r prime t)V (~r prime minus ~r)Ψ(~r prime t)
]Ψ(~r t) (24)
A equacao (24) e uma equacao exata para o operador de campo Ψ(~r t)
Agora vamos decompor o operador de campo bosonico da seguinte forma
Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)
onde ψ representa o estado fundamental e δφ representa as flutuacoes Contudo obser-
vamos que esse operador de campo vai agir como se fosse o seu proprio valor medio no
nıvel de mais baixa energia ou seja (BARCI 2002)
ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 rarr equacao de campo medio
A equacao acima e considerada como sendo a equacao de onda do estado conden-
sado e uma equacao de onda macroscopica e uma funcao de onda quantica ou seja ela
representa um conjunto de todas partıculas bosonicas que estao no estado fundamental
isto e essas partıculas vao se deslocar coerentemente Entao δφ e uma pequena parcela
das partıculas que se encontrta fora do condensado e quando o sistema encontra-se com
uma temperatura muito abaixo de Tc essa parcela e realmente desprezada
O que foi feito acima foi descartar as flutuacoes para que se possa fazer uma
melhor analise somente da parte condensada (BARCI 2002) isto e estamos aplicando a
aproximacao de campo medio Consequentemente vamos fazer a seguinte substituicao
Ψ(~r t) minusrarr ψ(~r t)
Ψdagger(~r t) minusrarr ψdagger(~r t)
Substituindo na equacao (24) que e a equacao de movimento para o operador de
21
campo temos
ihpartψ
partt=
[H0 +
intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)
]ψ(~r t) (26)
Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer
algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito
baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica
interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo
consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos
levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas
estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial
(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos
Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial
Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)
as =m
4πh2
intd~r V (~r minus ~rprime)
onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento
Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)
ihpartψ(~r t)
partt=
[minush2
2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2
]ψ(~r t) (27)
A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo
(EGPDT)
Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)
onde N e o numero total de partıcula do condensado
Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a
solucao estacionaria vamos considerar
ψ(~r t) = exp(minusimicro
ht)ψ0(~r) (29)
onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT
Eq (27) obtemos[minus h2
2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
REFERENCIAS
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
Valeria de Carvalho Souza
Dinamica da condensacao de Bose-Einstein em gases fracamente interagentes
Dissertacao apresentada como requisito par-cial para obtencao do tıtulo de Mestre aoPrograma de Pos-Graduacao em Fısica daUniversidade do Estado do Rio de Janeiro
Aprovada em 27 de Maio de 2010Banca Examinadora
Prof Dr Daniel Gustavo Barci (Orientador)Instituto de Fısica Armando Dias Tavares ndash UERJ
Prof Dr Rudnei de Oliveira RamosInstituto de Fısica Armando Dias Tavares - UERJ
Prof Dr Luiz Esteban OxmanUniversidade Federal Fluminense
Rio de Janeiro
2010
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar a Deus
Ao professor Daniel G Barci pela orientacao amizade e pela paciencia
A todos os professores do instituto de fısica da UERJ mas em especial Nilson
Antunes Ivan da Cunha Lima Rudnei Ramos Luiz Fernando Vitor Oguri Roberto
Mahon Lilian Pantoja
Aos colegas de pos graduacao Diego Vinıcios Emanuel
Ao pessoal da biblioteca mas em especial Nadia e Maria Luiza
Ao pessoal da secretaria de pos graduacao Laurimar e Rogerio
Finalmente a CAPES apoio financeiro
RESUMO
SOUZA V C Dinamica da condensacao de Bose-Einstein em gases fracamenteinteragentes 2010 54 f Dissertacao (Mestrado em Fısica) ndash Instituto de FısicaArmando Dias Tavares Universidade do Estado do Rio de Janeiro Rio de Janeiro 2010
A presente dissertacao estuda com detalhes a evolucao temporal fora do equilıbriode um condensado de Bose-Einstein homogeneo diluıdo imerso em um reservatorio termicoNos modelamos o sistema atraves de um campo de Bose escalar complexo E apropriadodescrever o comportamento microscopico desse sistema por meio da teoria quantica decampos atraves do formalismo de Schwinger-Keldysh Usando esse formalismo de temporeal a dinamica do condensado e solucionada por um grupo de equacoes integro-diferencialauto consistente essas sao solucionadas numericamente Estudamos tambem o cenarioquench e como a densidade do gas e as interacoes entre as flutuacoes tem o efeito deprovocar as instabilidades nesse sistema Aplicamos esse desenvolvimento para estudar ocomportamento de duas especies homogeneas de um gas de Bose diluıdo imerso em umreservatorio termico
Palavras-chave Condensacao de Bose-Einstein Flutuacoes Campo medio Reservatorio
termico
ABSTRACT
SOUZA V C Dynamic of Bose-Einstein condensate in weakly interacting gases 201054 f Dissertacao (Mestrado em Fısica) ndash Instituto de Fısica Armando Dias TavaresUniversidade do Estado do Rio de Janeiro Rio de Janeiro 2010
This Dissertation study the detailed out of equilibrium time evolution of a homo-geneous diluted Bose-Einstein condensate in thermal bath We modeled the system bymeans of one bosonic complex scalar field The microscopic behavior of such an environ-ment can be appropriately described by the non-equilibrium Schwinger-Keldysh formalismin a quantum field theory approach Using this formalism real-time dynamics of the con-densate is encoded in a set of self-consistent integral-differential equations that we solvednumerically We studied in the quench scenario how the role of the interactions in thegeneration of the initial instability and the subsequent time evolution of the condensateWe also applied this technique to the study of a two-species homogeneous diluted Bosegas in a thermal bath
Keywords Bose-Einstein condensates Fluctuations Mean field Thermal reservoir
LISTA DE ILUSTRACOES
Figura 1 - Fases do sistema 11
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado de Bose-Einstein em funcao da
temperatura 17
Figura 3 - Analise da densidade do condensado 25
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao do tempo 38
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh 53
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
CBE Condensado de Bose-Einstein
EGP Equacao de Gross-Pitaeviskii
EGPDT Equacao de Gross-Pitaeviskii Depedente do Tempo
EGPIT Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
LISTA DE SIMBOLOS
λ comprimento de onda de De Broglie
g constante de acoplamento
as comprimento de espalhamento da onda s
micro potencial quımico
SUMARIO
INTRODUCAO 10
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL 13
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTER-
AGENTE 18
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio) 18
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica 22
22 Interacoes repulsivas e atrativas 26
23 Aproximacao de Thomas-Fermi 27
24 Teoria de Bogoliubov 27
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes 28
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE 32
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes 32
32 O cenario quench 34
33 Equacoes auto-consistentes 35
34 Integracao numerica 37
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE 40
41 Flutuacoes 41
42 Equacoes auto-consistentes 42
CONCLUSAO 44
REFERENCIAS 45
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio 48
10
INTRODUCAO
Em 1925 Albert Einstein inspirado pelos trabalhos de N S Bose descreveu o
fenomeno hoje chamado de Condensacao de Bose-Einstein (CBE) Einstein pode obser-
var que existiria uma mudanca de fase em um gas ideal quando submetido a temperaturas
relativamente baixas(GRIFFIN 1996)
Podemos definir a Condensacao de Bose-Einstein como sendo a convergencia das
partıculas constituintes de um gas ideal bosonico para o primeiro estado quantico desse
sistema Desta forma no estado condensado um numero macroscopico de partıculas ocu-
pam o estado de mais baixa energia (estado com momento nulo) quando submetido a uma
temperatura extremamente baixa Nesta circunstancia as propriedades termodinamicas
do sistema irao sofrer alteracoes o que caracteriza uma transicao de fase
A medida que baixamos a temperatura do sistema as partıculas bosonicas que
estao neste estado quantico degenerado (estado sem energia cinetica) poderao ser tratadas
como pacotes de onda com o comprimento de onda de de Broglie λ = (2πhmkBT )12
Dessa maneira a transicao de fase acontece devido ao fato do comprimento de onda
termico (que e o comprimento de onda em mecanica quantica de uma partıcula com energia
cinetica da ordem O(kBT )) ficar igual a distancia media entre as partıculas bosonicas
Esse comprimento de onda termico aumenta a medida que baixamos a temperatura
do sistema Sendo assim a funcao de onda do estado condensado e uma funcao de onda
macroscopica ou seja todas as partıculas deslocam-se coerentemente visto que todas tem
a mesma funcao de onda ψ0 (BAGNATO 1997)
Portanto a ocupacao macroscopica do nıvel fundamental de um gas de Bose ho-
mogeneo e nao interagente e denominada de condensacao de Bose-Einstein
Vamos observar tres situacoes que ocorrem com o sistema
1 Para uma temperatura elevada isto e T gt Tc as partıculas bosonicas obedecem a
estatıstica de Boltzmann comportando-se classicamente
2 Quando a temperatura esta perto de Tc podemos observar um comportamento de
dois fluıdos uma fracao condensada e outra parte termica (flutuacoes)
3 E quando so tem a fracao condensada desaparecendo a parte termica isto e T = 0
Nesse momento todas as partıculas ficarao alojadas no nıvel de mais baixa energia
Esse nıvel quantico de mais baixa energia permanece ocupado por um numero N0
de partıculas bosonicas ate o instante em que a temperatura do sistema comecar a
subir ate atingir Tc
Contudo para se obter um CBE e preciso resfriar um gas extremamente diluıdo
constituıdo por um grande numero de partıculas
11
Figura 1 - Fases do sistema
Fonte MASSACHUSETTS
INSTITUTE OF
TECHNOLOGY 2010
O primeiro sistem fısico que ate bem pouco tempo conseguia obter caracterısticas
proximas de um condensado de Bose-Einstein era o 4He Ja foi constatado que a transicao
de fase que acontece no 4He e uma manifestacao que acompanha o condensado de Bose-
Einstein ou seja o CBE nos da explicacoes para o surgimento de uma mudanca de fase
no 4He (GRIFFIN 1996)
Dessa forma a funcao de onda macroscopica (que e uma funcao de onda quantica)
do condensado e a base de uma explicacao qualitativa da superfluidez O CBE reproduz
algumas propriedades essenciais do helio-4 liquefeito porem em detalhes o CBE conduz a
resultados quantitativamente errados A ligacao entre o CBE e o 4He foi primeiramente
estabelecida por London O 4He lıquido possui caracterısticas marcantes devido ao fato
dele ser um lıquido consequetemente apresenta uma forte interacao entre suas partıculas
Desta forma o condensado que explica a superfluidez nao pode ser considerado estrita-
mente um CBE devido as interacoes fortes entre suas moleculas
Para estudar o fenomenos proposto por Einstein seria interessante realizar exper-
imentalmente o CBE em um gas Investigando para se obter um CBE em um sistema
gasoso varios cientistas passaram a pesquisar o desenvolvimento de tecnicas que permi-
tiriam resfriamento de um gas confinado a temperaturas extremamente baixas Porem ex-
istia o problema de conseguir um sistema que ao ser submetido a temperaturas proximas
do zero absoluto nao solidificasse Esse problema foi solucionado utilizando componentes
do grupo I da tabela periodica (Na Rb Li etc) esses atomos alcalinos sao extrema-
12
mentes convenientes de serem utilizados pois torna possıvel de se ter amostras densas
e frias alem de que quando estao na presenca de um campo magnetico forte apresenta
uma fraca repulsao de suas partıculas isso faz com que o sistema continue no estado de
gas logo sao excelentes candidatos para se conseguir gases no regime quantico ou seja
para se obter o CBE (BAGNATO 1997)
No ano de 1995 foi obtido experimentalmente o primeiro condensado de Bose-
Einstein pelo grupo de Eric Cornell e Carl Wieman (National Institute of Standars e
Technology) Eles conseguiram resfriar a 170 nk gases de rubıdio (Rb) Mais tarde mas
no mesmo ano outros dois condensados foram obtidos Um condensado com gases de
Sodio (Na) realizado por Ketterle e colaboradores (Massachusetts Institute of Tecnology
- MIT) E por ultimo o grupo do Randy Hulet (Univrsity of Colorado) realizou experimen-
tos com atomos de lıtio (Li) (GRIFFIN 1996) O experimento com lıtio e completamente
equivalente aos outros dois experimentos com rubıdio e sodio exceto de que a interacao
entre as partıculas do lıtio e uma interacao atrativa (ele tem o comprimento de espal-
hamento negativo) isto e as lt 0 O gas de lıtio e constituıdo por partıculas fermionicas
(eletrons) que se agrupam formando pares (pares de Cooper) que deixam de lado suas
caracterısticas individuais para poderem se comportar como partıculas bosonicas Os
pares de Cooper pode ser denominado como sendo a uniao do spin up com o spin dow
do eletron (uarr darr) (EISBERG 1979) Dessa forma o gas de lıtio nao pode atingir o estado
de CBE sendo esperado um outra tipo de transicao No experimento com lıtio (mais
precisamente lıtio-6) tambem foi observado o fenomeno da superfluidez verificando assim
coexistencia de fases isto e uma fase superfluıda e outra normal Este tipo de com-
portamento e esperado de acontencer de acordo com as muitas teorias existentes sobre
atomos ultrafrios Podemos chamar de superfluidez com pares quebrados (breached-pair
superfluidity) a que ocorre no gas de lıtio isto e podemos observar a existencia de spins
paralelos e antiparalelos Com a pesquisa em torno do CBE foi possıvel estudar varios
outros sistemas quanticos complexos que ate entao nao se tinha uma teoria solida que os
explicasse como e o caso do helio lıquido
13
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL
Neste capıtulo vamos fazer uma breve descricao da Condensacao de Bose-Einstein
em um gas ideal Vamos analisar um sistema constituıdos por N partıculas nao inter-
agentes completamente diluıdo que obedece a distribuicao de Bose-Einstein com uma
ocupacao ni de partıculas para cada estado de energia εi
A energia do gas no estado e definido pelo conjunto dos numeros esperados de
partıculas isto e ni = n1 n2 sera (SALINAS 1997)
E(ni) = n1ε1 + n2ε2 + =sumi
niεi (1)
Calcularemos a funcao particao do sistema pois o objetivo principal e achar as
propriedades termodinamicas do gas sendo assim
Z =sumni
eminusβEni =sumni
eminusβsumniεi rarr funcao particao (2)
Condensacao Calculando a funcao particao acharemos todas as solucoes para o sistema
Usaremos entao o ensemble Grand canonico pois os ni nao sao independentes Ao
usar esse ensemble estamos tornando os ni independentes Neste caso estamos acoplando
ao sistema um reservatorio de partıculas e cada estado e populado a partir do reservatorio
Podemos escrever a funcao particao Grand canonica como sendo
Z(T V micro) =infinsumN=0
[eβmicroN
sumni
eminusβsumi niεi
]
=infinsumN=0
[sumni
eminusβsumi ni(εiminusmicro)
]
=infinsumN=0
[sumni
prodi
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni](3)
onde micro e o potencial quımico do gas
Podemos observar que em (3) existem dois somatorios o primeiro esta somando
sobre os ni vinculado a um valor constante do numero total N e o segundo e sobre todos
os valores possıveis de N e equivalente a um somatorio sobre todos os valores de ni
14
entao podemos escrever
Z(T V micro) =sumn1n2
[(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2]
=
[sumn1
(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1
][sumn2
(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2
] (4)
mas
Zi =sumni
eminusβni(εiminusmicro) (5)
A equacao (5) e a funcao particao de um estado quantico i
Na distribuicao de Bose-Eintein ni pode ser qualquer valor ou seja n = 0 1 2
Se eminusβ(εminusmicro) lt 1 dessa forma a funcao particao de um estado i sera
Zi =sumni
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni=(1minus eminusβ(εiminusmicro)
)minus1(6)
Entao a probabilidade de obter ni partıculas no estado i e portanto
P (ni) =eminusβni(εiminusmicro)
Zi(7)
Portanto o numero medio de bosons em um estado i sera
ni =
sumniniP (ni)
Zi= kBT
part
partmicrolnZi (8)
Fazendo a diferenciacao vamos encontrar
ni =1
eβ(εiminusmicro) minus 1(9)
Dessa forma (8) e o numero medio de partıculas que ocupam um determinado
estado de energia i Tendo em maos o numero medio de partıculas em um estado quantico
i vamos obter o numero total N de partıculas que e dado por
N =nsumi=1
〈ni〉 =nsumi=1
1
exp [β (εi minus micro)]minus 1(10)
Analisando a expressao em (10) podemos observar que ao considerar o numero de
partıculas bosonicas como sendo conservado estamos impondo que o potencial quımico (micro)
e obrigatoriamente negativo ou nulo (micro le 0) isso faz com que o numero de ocupacao para
qualquer nıvel de energia seja positivo ou seja esse somatorio tem que ser convergente
E conveniente que na equacao (10) seja feito uma mudanca do somatorio para a
integral porem ao fazer essa mudanca temos que ter uma certa atencao pois o estado
fundamental possui uma energia εi = 0 e consequentemente a densidade de estado ρ(ε)
15
do estado fundamental tambem e igual a zero
A densidade de estado ρ(ε) do sistema vai representar a quantidade de estado
com energia entre ε e ε+ dε Entao ao fazermos a mudanca do somatorio para a integral
estamos deixando de lado muitas partıculas bosonicas que se encontra no estado de energia
mınima estado esse que possui aproximadamente um numero de partıculas que pode ser
igual ao proprio numero total N de partıculas do sistema isso explica porque somos
obrigados a manter a ocupacao N0 no estado fundamental Devido a isso trataremos as
partıculas que se encontra no estado fundamental separadamente isto e
N = N0 +Nε
N = N0 +
int infin0
nε ρ (ε) dε
N = N0 +
int infin0
1
eβ(εiminusmicro) minus 1ρ(ε)dε (11)
onde N0 e o numero de ocupacao no estado fundamental com εi = 0 e Nε e o numero
de ocupacao no estado excitado (SALINAS 1997)
Da equacao (11) observamos que a medida que a temperatura diminui micro cresce
podendo alcancar para uma determinada temperatura finita um valor maximo micro = 0 A
este ponto epecıfico chamamos de temperatura crıtica (Tc) pois quando a temperatura
diminui ha um crescimento macroscopico do numero de partıcula que constitui o estado
fundamental (N0) enquanto que a quantidade de partıculas existente no estato excitado
(fracao nao condensada) diminui proporcionalmente Essa ocupacao macroscopica vai
fazer com que a contribuicao estatıstica desse primeiro estado quantico degenerado seja
maior se compararmos com a parte nao condensada Isso e consequencia da quantidade
mınima de partıcula que ainda se encontra no estado excitado Portanto vamos calcular
o numero de partıcula existente no estado excitado isto e ε gt 0
Nε =
int infin0
ρ(ε)1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (12)
onde
ρ(ε) =dN
dε=
V
3π2
(2m
h2
)323
2ε12 (13)
Substituindo a equacao (13) que e a equacao da densidade de estado na equacao
16
(12) obtemos
Nε =V
3π2
(2m
h2
)32 int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32
int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (14)
Podemos agora determinar a temperatura de transicao Tc fazendo micro = 0 Vamos
obter
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32 3
2
int infin0
ε12
eβεi minus 1dε
=1
2π2
(2mkBT
h2
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (15)
No momento em que o sistema tem micro = 0 temos que fazer Nε = N isso indica
que T tem o seu valor maximo ou seja
N
V=
1
2π2
(2mkBTc
h
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (16)
Podemos extrair da equacao acima a temperatura de transicao Tc que e
Tc =2πh2
mkB
(1
2 612
N
V
)32
(17)
Dessa forma reescreveremos a equacao (17) em termos de Tc como sendo
Nε
N=
(T
Tc
)32
(18)
Consequentemente vamos obter um outro parametro muito importante que e a
fracao de partıculas bosonicas que se encontra no estado fundamental (N0N) isto e no
estado condensado em funcao de T
N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
(19)
Agora fica facil observar que a transicao que acontece a Tc pode exprimir-se pela
separacao dos comportamentos assintoticos do numero de ocupacao do estado fundamen-
tal isto e
(T gt Tc)N0
N= O
(1
N
)asymp 0 para temperaturas altas
(T lt Tc)N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
para temperaturas baixas
17
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado
de Bose-Einstein em funcao da
temperatura
Fonte SALINAS 1997 p238
Dessas expressoes podemos observar que abaixo de uma temperatura de transicao
Tc uma pequena populacao das partıculas bosonicas ocupam o nıvel de mais baixa de
energia isto e N0 rarr N Entao a medida que N cresce fica mais facil falar da temperatura
de transicao logo o numero de partıculas no estado fundamental se torna mais singular
Dessa forma para T lt Tc o estado condensado e macroscopicamente populado
entao podemos dizer que Tc e a temperatura na qual micro assume o seu valor maximo
Podemos afirmar que as expressoes acima nos permite identificar a densidade do conden-
sado com o parametro de ordem de transicao Denominamos entao que Condensacao de
Bose-Einstein e o fato de um gas ideal bosonico possuir uma temperatura de transicao
discreta Tc e tambem possuir uma porcao finita de todas as partıculas ocupando o nıvel
mais baixo de energia para T lt Tc
No proximo capıtulo estudaremos as consequencias de submetermos um gas de
Bose na presenca de interacoes Vamos analisar uma teoria extremamente importante
para o entendimento desse sistemas quanticos complexos Para isso teremos que fazer
certa aproximacoes para que o desenvolvimento e o entendimento do sistema se estabeleca
de maneira satisfatoria
18
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTERAGENTE
Neste capıtulo demonstraremos um formalismo que vai ser capaz de descrever
as propriedades do estado fundamental de um gas bosonico diluıdo a uma temperatura
extremamente baixa (GRIFFIN 1996) Aplicaremos uma aproximacao de Campo Medio
Essa aproximacao e obtida depois que encontramos o valor esperado dos operadores de
campo bosonico Portanto definiremos uma funcao de onda (parametro de ordem) que
vai ser capaz de satisfazer a equacao nao linear de Schrodinger
Observaremos tambem o que acontece com um gas de Bose quando ele e aprision-
ado por um potencial harmonico e tambem quando esse sistema e submetido a interacoes
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio)
Para uma melhor descricao do estado condensado faremos o uso da aproximacao
de campo medio que vai resultar em uma equacao de Schrodinger nao linear que recebe
o nome de Equacao de Gross-Pitaevskii (EGP) (CARRETERO-GONZALES R 2008
GRIFFIN 1996) A deducao dessa equacao de campo medio foi feita por Lev Petrovich
Pitaevskii e E P Gross Com essa aproximacao de campo medio podemos estudar com
mais profundidade as propriedades do estado condensado ou seja a equacao de Gross-
Pitaeviskii Dependente do Tempo vai descrever a dinamica do sistema E se linearizarmos
essa equacao ao redor do estado fundamental vamos conseguir descrever as excitacoes co-
letivas de baixa energia do sistema que esta submetido a uma temperatura extremamente
baixa
A aproximacao de campo medio e baseada na aproximacao de Bogoliubov A ideia
principal da teoria de Bogoliubov e de que a fracao de partıculas nao condensada sera
despresada ou seja os efeitos da parte termica (flutuacoes) serao despresados
Usando a teoria de Bogoliubov conseguiremos encontrar os estados de equilıbrio
do sistema atraves da equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
Para conseguir chegar na equacao que vai dar a descricao do estado condensado
isto e do estado fundamental vamos escrever o hamiltoniano para um sistema formado
por N partıculas bosonicas com massa m que interagem duas a duas confinadas por um
potencial externo Vext(~r)
A hamiltoniana para esse sistema e escrita em segunda quantizacao atraves dos
operadores de campo Ψdagger(~r t) Ψ(~r t) (GREINER 1996) bosons de criacao e aniquilacao
respectivamente
19
H =
intd~rΨdagger(~r t) H0 Ψ(~r t) +
1
2
intd~r d~r primeΨdagger(~r t) Ψdagger(~r prime t)V (~r minus ~r prime) Ψ(~r prime t) Ψ(~r t) (20)
onde Vext(~r) e o potencial externo (potencial de armadilha) V (~r minus ~r prime) e o potencial
interatomico e H0 = minus h2
2mnabla2 + Vext(~r)
Os operadores de campo Ψ(~r t) e Ψdagger(~r t) obedecem as seguintes regras de co-
mutacao para bosons
[Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = δ(~r minus ~r prime)
[Ψ(~r t)Ψ(~r prime t)] = 0
[Ψdagger(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = 0
O formalismo de segunda quantizacao e a melhor forma para desenvolver sistema
compostos por muitas partıculas quando estamos no contexto da mecanica quantica
(GREINER 1996)
Agora vamos escrever a equacao de Heisenberg (SAKURAI 1994) para poder
descrever o estado fundamental ou seja queremos observar a dinamica do sistema con-
densado e saber como o operador Ψ(~r t) ou Ψdagger(~r t) evolui no tempo
ihpartΨ
partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)
Calculando [Ψ(~r t)H] usando o hamiltoniano
[Ψ(~r t) H] =
[Ψ(~r t)
intd~rΨdagger(~r t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
intΨ(~r prime t)Vext(~r)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
1
2
intd~rd~r primeΨdagger(~r t)Ψdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)Ψ(~r prime t)Ψ(~r t)
](22)
20
Vamos calcular a primeira parcela
I1 =
[Ψ(~r t)
intΨdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
]I1 =
int [Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)
]d~r prime
I1 =
intδ(~r minus ~r)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
I1 =minush2
2mnabla2Ψ(~r t) (23)
Analogamente para as parcelas I2 e I3 e substituindo as tres parcelas na equacao
de Heisenberg equacao (21) obtemos
ihpartΨ
partt(~r t) =
[H0 +
intd~r primeΨdagger(~r prime t)V (~r prime minus ~r)Ψ(~r prime t)
]Ψ(~r t) (24)
A equacao (24) e uma equacao exata para o operador de campo Ψ(~r t)
Agora vamos decompor o operador de campo bosonico da seguinte forma
Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)
onde ψ representa o estado fundamental e δφ representa as flutuacoes Contudo obser-
vamos que esse operador de campo vai agir como se fosse o seu proprio valor medio no
nıvel de mais baixa energia ou seja (BARCI 2002)
ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 rarr equacao de campo medio
A equacao acima e considerada como sendo a equacao de onda do estado conden-
sado e uma equacao de onda macroscopica e uma funcao de onda quantica ou seja ela
representa um conjunto de todas partıculas bosonicas que estao no estado fundamental
isto e essas partıculas vao se deslocar coerentemente Entao δφ e uma pequena parcela
das partıculas que se encontrta fora do condensado e quando o sistema encontra-se com
uma temperatura muito abaixo de Tc essa parcela e realmente desprezada
O que foi feito acima foi descartar as flutuacoes para que se possa fazer uma
melhor analise somente da parte condensada (BARCI 2002) isto e estamos aplicando a
aproximacao de campo medio Consequentemente vamos fazer a seguinte substituicao
Ψ(~r t) minusrarr ψ(~r t)
Ψdagger(~r t) minusrarr ψdagger(~r t)
Substituindo na equacao (24) que e a equacao de movimento para o operador de
21
campo temos
ihpartψ
partt=
[H0 +
intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)
]ψ(~r t) (26)
Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer
algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito
baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica
interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo
consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos
levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas
estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial
(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos
Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial
Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)
as =m
4πh2
intd~r V (~r minus ~rprime)
onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento
Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)
ihpartψ(~r t)
partt=
[minush2
2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2
]ψ(~r t) (27)
A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo
(EGPDT)
Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)
onde N e o numero total de partıcula do condensado
Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a
solucao estacionaria vamos considerar
ψ(~r t) = exp(minusimicro
ht)ψ0(~r) (29)
onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT
Eq (27) obtemos[minus h2
2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar a Deus
Ao professor Daniel G Barci pela orientacao amizade e pela paciencia
A todos os professores do instituto de fısica da UERJ mas em especial Nilson
Antunes Ivan da Cunha Lima Rudnei Ramos Luiz Fernando Vitor Oguri Roberto
Mahon Lilian Pantoja
Aos colegas de pos graduacao Diego Vinıcios Emanuel
Ao pessoal da biblioteca mas em especial Nadia e Maria Luiza
Ao pessoal da secretaria de pos graduacao Laurimar e Rogerio
Finalmente a CAPES apoio financeiro
RESUMO
SOUZA V C Dinamica da condensacao de Bose-Einstein em gases fracamenteinteragentes 2010 54 f Dissertacao (Mestrado em Fısica) ndash Instituto de FısicaArmando Dias Tavares Universidade do Estado do Rio de Janeiro Rio de Janeiro 2010
A presente dissertacao estuda com detalhes a evolucao temporal fora do equilıbriode um condensado de Bose-Einstein homogeneo diluıdo imerso em um reservatorio termicoNos modelamos o sistema atraves de um campo de Bose escalar complexo E apropriadodescrever o comportamento microscopico desse sistema por meio da teoria quantica decampos atraves do formalismo de Schwinger-Keldysh Usando esse formalismo de temporeal a dinamica do condensado e solucionada por um grupo de equacoes integro-diferencialauto consistente essas sao solucionadas numericamente Estudamos tambem o cenarioquench e como a densidade do gas e as interacoes entre as flutuacoes tem o efeito deprovocar as instabilidades nesse sistema Aplicamos esse desenvolvimento para estudar ocomportamento de duas especies homogeneas de um gas de Bose diluıdo imerso em umreservatorio termico
Palavras-chave Condensacao de Bose-Einstein Flutuacoes Campo medio Reservatorio
termico
ABSTRACT
SOUZA V C Dynamic of Bose-Einstein condensate in weakly interacting gases 201054 f Dissertacao (Mestrado em Fısica) ndash Instituto de Fısica Armando Dias TavaresUniversidade do Estado do Rio de Janeiro Rio de Janeiro 2010
This Dissertation study the detailed out of equilibrium time evolution of a homo-geneous diluted Bose-Einstein condensate in thermal bath We modeled the system bymeans of one bosonic complex scalar field The microscopic behavior of such an environ-ment can be appropriately described by the non-equilibrium Schwinger-Keldysh formalismin a quantum field theory approach Using this formalism real-time dynamics of the con-densate is encoded in a set of self-consistent integral-differential equations that we solvednumerically We studied in the quench scenario how the role of the interactions in thegeneration of the initial instability and the subsequent time evolution of the condensateWe also applied this technique to the study of a two-species homogeneous diluted Bosegas in a thermal bath
Keywords Bose-Einstein condensates Fluctuations Mean field Thermal reservoir
LISTA DE ILUSTRACOES
Figura 1 - Fases do sistema 11
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado de Bose-Einstein em funcao da
temperatura 17
Figura 3 - Analise da densidade do condensado 25
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao do tempo 38
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh 53
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
CBE Condensado de Bose-Einstein
EGP Equacao de Gross-Pitaeviskii
EGPDT Equacao de Gross-Pitaeviskii Depedente do Tempo
EGPIT Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
LISTA DE SIMBOLOS
λ comprimento de onda de De Broglie
g constante de acoplamento
as comprimento de espalhamento da onda s
micro potencial quımico
SUMARIO
INTRODUCAO 10
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL 13
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTER-
AGENTE 18
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio) 18
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica 22
22 Interacoes repulsivas e atrativas 26
23 Aproximacao de Thomas-Fermi 27
24 Teoria de Bogoliubov 27
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes 28
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE 32
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes 32
32 O cenario quench 34
33 Equacoes auto-consistentes 35
34 Integracao numerica 37
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE 40
41 Flutuacoes 41
42 Equacoes auto-consistentes 42
CONCLUSAO 44
REFERENCIAS 45
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio 48
10
INTRODUCAO
Em 1925 Albert Einstein inspirado pelos trabalhos de N S Bose descreveu o
fenomeno hoje chamado de Condensacao de Bose-Einstein (CBE) Einstein pode obser-
var que existiria uma mudanca de fase em um gas ideal quando submetido a temperaturas
relativamente baixas(GRIFFIN 1996)
Podemos definir a Condensacao de Bose-Einstein como sendo a convergencia das
partıculas constituintes de um gas ideal bosonico para o primeiro estado quantico desse
sistema Desta forma no estado condensado um numero macroscopico de partıculas ocu-
pam o estado de mais baixa energia (estado com momento nulo) quando submetido a uma
temperatura extremamente baixa Nesta circunstancia as propriedades termodinamicas
do sistema irao sofrer alteracoes o que caracteriza uma transicao de fase
A medida que baixamos a temperatura do sistema as partıculas bosonicas que
estao neste estado quantico degenerado (estado sem energia cinetica) poderao ser tratadas
como pacotes de onda com o comprimento de onda de de Broglie λ = (2πhmkBT )12
Dessa maneira a transicao de fase acontece devido ao fato do comprimento de onda
termico (que e o comprimento de onda em mecanica quantica de uma partıcula com energia
cinetica da ordem O(kBT )) ficar igual a distancia media entre as partıculas bosonicas
Esse comprimento de onda termico aumenta a medida que baixamos a temperatura
do sistema Sendo assim a funcao de onda do estado condensado e uma funcao de onda
macroscopica ou seja todas as partıculas deslocam-se coerentemente visto que todas tem
a mesma funcao de onda ψ0 (BAGNATO 1997)
Portanto a ocupacao macroscopica do nıvel fundamental de um gas de Bose ho-
mogeneo e nao interagente e denominada de condensacao de Bose-Einstein
Vamos observar tres situacoes que ocorrem com o sistema
1 Para uma temperatura elevada isto e T gt Tc as partıculas bosonicas obedecem a
estatıstica de Boltzmann comportando-se classicamente
2 Quando a temperatura esta perto de Tc podemos observar um comportamento de
dois fluıdos uma fracao condensada e outra parte termica (flutuacoes)
3 E quando so tem a fracao condensada desaparecendo a parte termica isto e T = 0
Nesse momento todas as partıculas ficarao alojadas no nıvel de mais baixa energia
Esse nıvel quantico de mais baixa energia permanece ocupado por um numero N0
de partıculas bosonicas ate o instante em que a temperatura do sistema comecar a
subir ate atingir Tc
Contudo para se obter um CBE e preciso resfriar um gas extremamente diluıdo
constituıdo por um grande numero de partıculas
11
Figura 1 - Fases do sistema
Fonte MASSACHUSETTS
INSTITUTE OF
TECHNOLOGY 2010
O primeiro sistem fısico que ate bem pouco tempo conseguia obter caracterısticas
proximas de um condensado de Bose-Einstein era o 4He Ja foi constatado que a transicao
de fase que acontece no 4He e uma manifestacao que acompanha o condensado de Bose-
Einstein ou seja o CBE nos da explicacoes para o surgimento de uma mudanca de fase
no 4He (GRIFFIN 1996)
Dessa forma a funcao de onda macroscopica (que e uma funcao de onda quantica)
do condensado e a base de uma explicacao qualitativa da superfluidez O CBE reproduz
algumas propriedades essenciais do helio-4 liquefeito porem em detalhes o CBE conduz a
resultados quantitativamente errados A ligacao entre o CBE e o 4He foi primeiramente
estabelecida por London O 4He lıquido possui caracterısticas marcantes devido ao fato
dele ser um lıquido consequetemente apresenta uma forte interacao entre suas partıculas
Desta forma o condensado que explica a superfluidez nao pode ser considerado estrita-
mente um CBE devido as interacoes fortes entre suas moleculas
Para estudar o fenomenos proposto por Einstein seria interessante realizar exper-
imentalmente o CBE em um gas Investigando para se obter um CBE em um sistema
gasoso varios cientistas passaram a pesquisar o desenvolvimento de tecnicas que permi-
tiriam resfriamento de um gas confinado a temperaturas extremamente baixas Porem ex-
istia o problema de conseguir um sistema que ao ser submetido a temperaturas proximas
do zero absoluto nao solidificasse Esse problema foi solucionado utilizando componentes
do grupo I da tabela periodica (Na Rb Li etc) esses atomos alcalinos sao extrema-
12
mentes convenientes de serem utilizados pois torna possıvel de se ter amostras densas
e frias alem de que quando estao na presenca de um campo magnetico forte apresenta
uma fraca repulsao de suas partıculas isso faz com que o sistema continue no estado de
gas logo sao excelentes candidatos para se conseguir gases no regime quantico ou seja
para se obter o CBE (BAGNATO 1997)
No ano de 1995 foi obtido experimentalmente o primeiro condensado de Bose-
Einstein pelo grupo de Eric Cornell e Carl Wieman (National Institute of Standars e
Technology) Eles conseguiram resfriar a 170 nk gases de rubıdio (Rb) Mais tarde mas
no mesmo ano outros dois condensados foram obtidos Um condensado com gases de
Sodio (Na) realizado por Ketterle e colaboradores (Massachusetts Institute of Tecnology
- MIT) E por ultimo o grupo do Randy Hulet (Univrsity of Colorado) realizou experimen-
tos com atomos de lıtio (Li) (GRIFFIN 1996) O experimento com lıtio e completamente
equivalente aos outros dois experimentos com rubıdio e sodio exceto de que a interacao
entre as partıculas do lıtio e uma interacao atrativa (ele tem o comprimento de espal-
hamento negativo) isto e as lt 0 O gas de lıtio e constituıdo por partıculas fermionicas
(eletrons) que se agrupam formando pares (pares de Cooper) que deixam de lado suas
caracterısticas individuais para poderem se comportar como partıculas bosonicas Os
pares de Cooper pode ser denominado como sendo a uniao do spin up com o spin dow
do eletron (uarr darr) (EISBERG 1979) Dessa forma o gas de lıtio nao pode atingir o estado
de CBE sendo esperado um outra tipo de transicao No experimento com lıtio (mais
precisamente lıtio-6) tambem foi observado o fenomeno da superfluidez verificando assim
coexistencia de fases isto e uma fase superfluıda e outra normal Este tipo de com-
portamento e esperado de acontencer de acordo com as muitas teorias existentes sobre
atomos ultrafrios Podemos chamar de superfluidez com pares quebrados (breached-pair
superfluidity) a que ocorre no gas de lıtio isto e podemos observar a existencia de spins
paralelos e antiparalelos Com a pesquisa em torno do CBE foi possıvel estudar varios
outros sistemas quanticos complexos que ate entao nao se tinha uma teoria solida que os
explicasse como e o caso do helio lıquido
13
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL
Neste capıtulo vamos fazer uma breve descricao da Condensacao de Bose-Einstein
em um gas ideal Vamos analisar um sistema constituıdos por N partıculas nao inter-
agentes completamente diluıdo que obedece a distribuicao de Bose-Einstein com uma
ocupacao ni de partıculas para cada estado de energia εi
A energia do gas no estado e definido pelo conjunto dos numeros esperados de
partıculas isto e ni = n1 n2 sera (SALINAS 1997)
E(ni) = n1ε1 + n2ε2 + =sumi
niεi (1)
Calcularemos a funcao particao do sistema pois o objetivo principal e achar as
propriedades termodinamicas do gas sendo assim
Z =sumni
eminusβEni =sumni
eminusβsumniεi rarr funcao particao (2)
Condensacao Calculando a funcao particao acharemos todas as solucoes para o sistema
Usaremos entao o ensemble Grand canonico pois os ni nao sao independentes Ao
usar esse ensemble estamos tornando os ni independentes Neste caso estamos acoplando
ao sistema um reservatorio de partıculas e cada estado e populado a partir do reservatorio
Podemos escrever a funcao particao Grand canonica como sendo
Z(T V micro) =infinsumN=0
[eβmicroN
sumni
eminusβsumi niεi
]
=infinsumN=0
[sumni
eminusβsumi ni(εiminusmicro)
]
=infinsumN=0
[sumni
prodi
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni](3)
onde micro e o potencial quımico do gas
Podemos observar que em (3) existem dois somatorios o primeiro esta somando
sobre os ni vinculado a um valor constante do numero total N e o segundo e sobre todos
os valores possıveis de N e equivalente a um somatorio sobre todos os valores de ni
14
entao podemos escrever
Z(T V micro) =sumn1n2
[(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2]
=
[sumn1
(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1
][sumn2
(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2
] (4)
mas
Zi =sumni
eminusβni(εiminusmicro) (5)
A equacao (5) e a funcao particao de um estado quantico i
Na distribuicao de Bose-Eintein ni pode ser qualquer valor ou seja n = 0 1 2
Se eminusβ(εminusmicro) lt 1 dessa forma a funcao particao de um estado i sera
Zi =sumni
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni=(1minus eminusβ(εiminusmicro)
)minus1(6)
Entao a probabilidade de obter ni partıculas no estado i e portanto
P (ni) =eminusβni(εiminusmicro)
Zi(7)
Portanto o numero medio de bosons em um estado i sera
ni =
sumniniP (ni)
Zi= kBT
part
partmicrolnZi (8)
Fazendo a diferenciacao vamos encontrar
ni =1
eβ(εiminusmicro) minus 1(9)
Dessa forma (8) e o numero medio de partıculas que ocupam um determinado
estado de energia i Tendo em maos o numero medio de partıculas em um estado quantico
i vamos obter o numero total N de partıculas que e dado por
N =nsumi=1
〈ni〉 =nsumi=1
1
exp [β (εi minus micro)]minus 1(10)
Analisando a expressao em (10) podemos observar que ao considerar o numero de
partıculas bosonicas como sendo conservado estamos impondo que o potencial quımico (micro)
e obrigatoriamente negativo ou nulo (micro le 0) isso faz com que o numero de ocupacao para
qualquer nıvel de energia seja positivo ou seja esse somatorio tem que ser convergente
E conveniente que na equacao (10) seja feito uma mudanca do somatorio para a
integral porem ao fazer essa mudanca temos que ter uma certa atencao pois o estado
fundamental possui uma energia εi = 0 e consequentemente a densidade de estado ρ(ε)
15
do estado fundamental tambem e igual a zero
A densidade de estado ρ(ε) do sistema vai representar a quantidade de estado
com energia entre ε e ε+ dε Entao ao fazermos a mudanca do somatorio para a integral
estamos deixando de lado muitas partıculas bosonicas que se encontra no estado de energia
mınima estado esse que possui aproximadamente um numero de partıculas que pode ser
igual ao proprio numero total N de partıculas do sistema isso explica porque somos
obrigados a manter a ocupacao N0 no estado fundamental Devido a isso trataremos as
partıculas que se encontra no estado fundamental separadamente isto e
N = N0 +Nε
N = N0 +
int infin0
nε ρ (ε) dε
N = N0 +
int infin0
1
eβ(εiminusmicro) minus 1ρ(ε)dε (11)
onde N0 e o numero de ocupacao no estado fundamental com εi = 0 e Nε e o numero
de ocupacao no estado excitado (SALINAS 1997)
Da equacao (11) observamos que a medida que a temperatura diminui micro cresce
podendo alcancar para uma determinada temperatura finita um valor maximo micro = 0 A
este ponto epecıfico chamamos de temperatura crıtica (Tc) pois quando a temperatura
diminui ha um crescimento macroscopico do numero de partıcula que constitui o estado
fundamental (N0) enquanto que a quantidade de partıculas existente no estato excitado
(fracao nao condensada) diminui proporcionalmente Essa ocupacao macroscopica vai
fazer com que a contribuicao estatıstica desse primeiro estado quantico degenerado seja
maior se compararmos com a parte nao condensada Isso e consequencia da quantidade
mınima de partıcula que ainda se encontra no estado excitado Portanto vamos calcular
o numero de partıcula existente no estado excitado isto e ε gt 0
Nε =
int infin0
ρ(ε)1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (12)
onde
ρ(ε) =dN
dε=
V
3π2
(2m
h2
)323
2ε12 (13)
Substituindo a equacao (13) que e a equacao da densidade de estado na equacao
16
(12) obtemos
Nε =V
3π2
(2m
h2
)32 int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32
int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (14)
Podemos agora determinar a temperatura de transicao Tc fazendo micro = 0 Vamos
obter
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32 3
2
int infin0
ε12
eβεi minus 1dε
=1
2π2
(2mkBT
h2
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (15)
No momento em que o sistema tem micro = 0 temos que fazer Nε = N isso indica
que T tem o seu valor maximo ou seja
N
V=
1
2π2
(2mkBTc
h
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (16)
Podemos extrair da equacao acima a temperatura de transicao Tc que e
Tc =2πh2
mkB
(1
2 612
N
V
)32
(17)
Dessa forma reescreveremos a equacao (17) em termos de Tc como sendo
Nε
N=
(T
Tc
)32
(18)
Consequentemente vamos obter um outro parametro muito importante que e a
fracao de partıculas bosonicas que se encontra no estado fundamental (N0N) isto e no
estado condensado em funcao de T
N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
(19)
Agora fica facil observar que a transicao que acontece a Tc pode exprimir-se pela
separacao dos comportamentos assintoticos do numero de ocupacao do estado fundamen-
tal isto e
(T gt Tc)N0
N= O
(1
N
)asymp 0 para temperaturas altas
(T lt Tc)N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
para temperaturas baixas
17
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado
de Bose-Einstein em funcao da
temperatura
Fonte SALINAS 1997 p238
Dessas expressoes podemos observar que abaixo de uma temperatura de transicao
Tc uma pequena populacao das partıculas bosonicas ocupam o nıvel de mais baixa de
energia isto e N0 rarr N Entao a medida que N cresce fica mais facil falar da temperatura
de transicao logo o numero de partıculas no estado fundamental se torna mais singular
Dessa forma para T lt Tc o estado condensado e macroscopicamente populado
entao podemos dizer que Tc e a temperatura na qual micro assume o seu valor maximo
Podemos afirmar que as expressoes acima nos permite identificar a densidade do conden-
sado com o parametro de ordem de transicao Denominamos entao que Condensacao de
Bose-Einstein e o fato de um gas ideal bosonico possuir uma temperatura de transicao
discreta Tc e tambem possuir uma porcao finita de todas as partıculas ocupando o nıvel
mais baixo de energia para T lt Tc
No proximo capıtulo estudaremos as consequencias de submetermos um gas de
Bose na presenca de interacoes Vamos analisar uma teoria extremamente importante
para o entendimento desse sistemas quanticos complexos Para isso teremos que fazer
certa aproximacoes para que o desenvolvimento e o entendimento do sistema se estabeleca
de maneira satisfatoria
18
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTERAGENTE
Neste capıtulo demonstraremos um formalismo que vai ser capaz de descrever
as propriedades do estado fundamental de um gas bosonico diluıdo a uma temperatura
extremamente baixa (GRIFFIN 1996) Aplicaremos uma aproximacao de Campo Medio
Essa aproximacao e obtida depois que encontramos o valor esperado dos operadores de
campo bosonico Portanto definiremos uma funcao de onda (parametro de ordem) que
vai ser capaz de satisfazer a equacao nao linear de Schrodinger
Observaremos tambem o que acontece com um gas de Bose quando ele e aprision-
ado por um potencial harmonico e tambem quando esse sistema e submetido a interacoes
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio)
Para uma melhor descricao do estado condensado faremos o uso da aproximacao
de campo medio que vai resultar em uma equacao de Schrodinger nao linear que recebe
o nome de Equacao de Gross-Pitaevskii (EGP) (CARRETERO-GONZALES R 2008
GRIFFIN 1996) A deducao dessa equacao de campo medio foi feita por Lev Petrovich
Pitaevskii e E P Gross Com essa aproximacao de campo medio podemos estudar com
mais profundidade as propriedades do estado condensado ou seja a equacao de Gross-
Pitaeviskii Dependente do Tempo vai descrever a dinamica do sistema E se linearizarmos
essa equacao ao redor do estado fundamental vamos conseguir descrever as excitacoes co-
letivas de baixa energia do sistema que esta submetido a uma temperatura extremamente
baixa
A aproximacao de campo medio e baseada na aproximacao de Bogoliubov A ideia
principal da teoria de Bogoliubov e de que a fracao de partıculas nao condensada sera
despresada ou seja os efeitos da parte termica (flutuacoes) serao despresados
Usando a teoria de Bogoliubov conseguiremos encontrar os estados de equilıbrio
do sistema atraves da equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
Para conseguir chegar na equacao que vai dar a descricao do estado condensado
isto e do estado fundamental vamos escrever o hamiltoniano para um sistema formado
por N partıculas bosonicas com massa m que interagem duas a duas confinadas por um
potencial externo Vext(~r)
A hamiltoniana para esse sistema e escrita em segunda quantizacao atraves dos
operadores de campo Ψdagger(~r t) Ψ(~r t) (GREINER 1996) bosons de criacao e aniquilacao
respectivamente
19
H =
intd~rΨdagger(~r t) H0 Ψ(~r t) +
1
2
intd~r d~r primeΨdagger(~r t) Ψdagger(~r prime t)V (~r minus ~r prime) Ψ(~r prime t) Ψ(~r t) (20)
onde Vext(~r) e o potencial externo (potencial de armadilha) V (~r minus ~r prime) e o potencial
interatomico e H0 = minus h2
2mnabla2 + Vext(~r)
Os operadores de campo Ψ(~r t) e Ψdagger(~r t) obedecem as seguintes regras de co-
mutacao para bosons
[Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = δ(~r minus ~r prime)
[Ψ(~r t)Ψ(~r prime t)] = 0
[Ψdagger(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = 0
O formalismo de segunda quantizacao e a melhor forma para desenvolver sistema
compostos por muitas partıculas quando estamos no contexto da mecanica quantica
(GREINER 1996)
Agora vamos escrever a equacao de Heisenberg (SAKURAI 1994) para poder
descrever o estado fundamental ou seja queremos observar a dinamica do sistema con-
densado e saber como o operador Ψ(~r t) ou Ψdagger(~r t) evolui no tempo
ihpartΨ
partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)
Calculando [Ψ(~r t)H] usando o hamiltoniano
[Ψ(~r t) H] =
[Ψ(~r t)
intd~rΨdagger(~r t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
intΨ(~r prime t)Vext(~r)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
1
2
intd~rd~r primeΨdagger(~r t)Ψdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)Ψ(~r prime t)Ψ(~r t)
](22)
20
Vamos calcular a primeira parcela
I1 =
[Ψ(~r t)
intΨdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
]I1 =
int [Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)
]d~r prime
I1 =
intδ(~r minus ~r)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
I1 =minush2
2mnabla2Ψ(~r t) (23)
Analogamente para as parcelas I2 e I3 e substituindo as tres parcelas na equacao
de Heisenberg equacao (21) obtemos
ihpartΨ
partt(~r t) =
[H0 +
intd~r primeΨdagger(~r prime t)V (~r prime minus ~r)Ψ(~r prime t)
]Ψ(~r t) (24)
A equacao (24) e uma equacao exata para o operador de campo Ψ(~r t)
Agora vamos decompor o operador de campo bosonico da seguinte forma
Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)
onde ψ representa o estado fundamental e δφ representa as flutuacoes Contudo obser-
vamos que esse operador de campo vai agir como se fosse o seu proprio valor medio no
nıvel de mais baixa energia ou seja (BARCI 2002)
ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 rarr equacao de campo medio
A equacao acima e considerada como sendo a equacao de onda do estado conden-
sado e uma equacao de onda macroscopica e uma funcao de onda quantica ou seja ela
representa um conjunto de todas partıculas bosonicas que estao no estado fundamental
isto e essas partıculas vao se deslocar coerentemente Entao δφ e uma pequena parcela
das partıculas que se encontrta fora do condensado e quando o sistema encontra-se com
uma temperatura muito abaixo de Tc essa parcela e realmente desprezada
O que foi feito acima foi descartar as flutuacoes para que se possa fazer uma
melhor analise somente da parte condensada (BARCI 2002) isto e estamos aplicando a
aproximacao de campo medio Consequentemente vamos fazer a seguinte substituicao
Ψ(~r t) minusrarr ψ(~r t)
Ψdagger(~r t) minusrarr ψdagger(~r t)
Substituindo na equacao (24) que e a equacao de movimento para o operador de
21
campo temos
ihpartψ
partt=
[H0 +
intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)
]ψ(~r t) (26)
Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer
algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito
baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica
interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo
consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos
levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas
estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial
(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos
Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial
Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)
as =m
4πh2
intd~r V (~r minus ~rprime)
onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento
Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)
ihpartψ(~r t)
partt=
[minush2
2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2
]ψ(~r t) (27)
A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo
(EGPDT)
Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)
onde N e o numero total de partıcula do condensado
Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a
solucao estacionaria vamos considerar
ψ(~r t) = exp(minusimicro
ht)ψ0(~r) (29)
onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT
Eq (27) obtemos[minus h2
2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
RESUMO
SOUZA V C Dinamica da condensacao de Bose-Einstein em gases fracamenteinteragentes 2010 54 f Dissertacao (Mestrado em Fısica) ndash Instituto de FısicaArmando Dias Tavares Universidade do Estado do Rio de Janeiro Rio de Janeiro 2010
A presente dissertacao estuda com detalhes a evolucao temporal fora do equilıbriode um condensado de Bose-Einstein homogeneo diluıdo imerso em um reservatorio termicoNos modelamos o sistema atraves de um campo de Bose escalar complexo E apropriadodescrever o comportamento microscopico desse sistema por meio da teoria quantica decampos atraves do formalismo de Schwinger-Keldysh Usando esse formalismo de temporeal a dinamica do condensado e solucionada por um grupo de equacoes integro-diferencialauto consistente essas sao solucionadas numericamente Estudamos tambem o cenarioquench e como a densidade do gas e as interacoes entre as flutuacoes tem o efeito deprovocar as instabilidades nesse sistema Aplicamos esse desenvolvimento para estudar ocomportamento de duas especies homogeneas de um gas de Bose diluıdo imerso em umreservatorio termico
Palavras-chave Condensacao de Bose-Einstein Flutuacoes Campo medio Reservatorio
termico
ABSTRACT
SOUZA V C Dynamic of Bose-Einstein condensate in weakly interacting gases 201054 f Dissertacao (Mestrado em Fısica) ndash Instituto de Fısica Armando Dias TavaresUniversidade do Estado do Rio de Janeiro Rio de Janeiro 2010
This Dissertation study the detailed out of equilibrium time evolution of a homo-geneous diluted Bose-Einstein condensate in thermal bath We modeled the system bymeans of one bosonic complex scalar field The microscopic behavior of such an environ-ment can be appropriately described by the non-equilibrium Schwinger-Keldysh formalismin a quantum field theory approach Using this formalism real-time dynamics of the con-densate is encoded in a set of self-consistent integral-differential equations that we solvednumerically We studied in the quench scenario how the role of the interactions in thegeneration of the initial instability and the subsequent time evolution of the condensateWe also applied this technique to the study of a two-species homogeneous diluted Bosegas in a thermal bath
Keywords Bose-Einstein condensates Fluctuations Mean field Thermal reservoir
LISTA DE ILUSTRACOES
Figura 1 - Fases do sistema 11
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado de Bose-Einstein em funcao da
temperatura 17
Figura 3 - Analise da densidade do condensado 25
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao do tempo 38
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh 53
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
CBE Condensado de Bose-Einstein
EGP Equacao de Gross-Pitaeviskii
EGPDT Equacao de Gross-Pitaeviskii Depedente do Tempo
EGPIT Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
LISTA DE SIMBOLOS
λ comprimento de onda de De Broglie
g constante de acoplamento
as comprimento de espalhamento da onda s
micro potencial quımico
SUMARIO
INTRODUCAO 10
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL 13
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTER-
AGENTE 18
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio) 18
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica 22
22 Interacoes repulsivas e atrativas 26
23 Aproximacao de Thomas-Fermi 27
24 Teoria de Bogoliubov 27
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes 28
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE 32
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes 32
32 O cenario quench 34
33 Equacoes auto-consistentes 35
34 Integracao numerica 37
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE 40
41 Flutuacoes 41
42 Equacoes auto-consistentes 42
CONCLUSAO 44
REFERENCIAS 45
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio 48
10
INTRODUCAO
Em 1925 Albert Einstein inspirado pelos trabalhos de N S Bose descreveu o
fenomeno hoje chamado de Condensacao de Bose-Einstein (CBE) Einstein pode obser-
var que existiria uma mudanca de fase em um gas ideal quando submetido a temperaturas
relativamente baixas(GRIFFIN 1996)
Podemos definir a Condensacao de Bose-Einstein como sendo a convergencia das
partıculas constituintes de um gas ideal bosonico para o primeiro estado quantico desse
sistema Desta forma no estado condensado um numero macroscopico de partıculas ocu-
pam o estado de mais baixa energia (estado com momento nulo) quando submetido a uma
temperatura extremamente baixa Nesta circunstancia as propriedades termodinamicas
do sistema irao sofrer alteracoes o que caracteriza uma transicao de fase
A medida que baixamos a temperatura do sistema as partıculas bosonicas que
estao neste estado quantico degenerado (estado sem energia cinetica) poderao ser tratadas
como pacotes de onda com o comprimento de onda de de Broglie λ = (2πhmkBT )12
Dessa maneira a transicao de fase acontece devido ao fato do comprimento de onda
termico (que e o comprimento de onda em mecanica quantica de uma partıcula com energia
cinetica da ordem O(kBT )) ficar igual a distancia media entre as partıculas bosonicas
Esse comprimento de onda termico aumenta a medida que baixamos a temperatura
do sistema Sendo assim a funcao de onda do estado condensado e uma funcao de onda
macroscopica ou seja todas as partıculas deslocam-se coerentemente visto que todas tem
a mesma funcao de onda ψ0 (BAGNATO 1997)
Portanto a ocupacao macroscopica do nıvel fundamental de um gas de Bose ho-
mogeneo e nao interagente e denominada de condensacao de Bose-Einstein
Vamos observar tres situacoes que ocorrem com o sistema
1 Para uma temperatura elevada isto e T gt Tc as partıculas bosonicas obedecem a
estatıstica de Boltzmann comportando-se classicamente
2 Quando a temperatura esta perto de Tc podemos observar um comportamento de
dois fluıdos uma fracao condensada e outra parte termica (flutuacoes)
3 E quando so tem a fracao condensada desaparecendo a parte termica isto e T = 0
Nesse momento todas as partıculas ficarao alojadas no nıvel de mais baixa energia
Esse nıvel quantico de mais baixa energia permanece ocupado por um numero N0
de partıculas bosonicas ate o instante em que a temperatura do sistema comecar a
subir ate atingir Tc
Contudo para se obter um CBE e preciso resfriar um gas extremamente diluıdo
constituıdo por um grande numero de partıculas
11
Figura 1 - Fases do sistema
Fonte MASSACHUSETTS
INSTITUTE OF
TECHNOLOGY 2010
O primeiro sistem fısico que ate bem pouco tempo conseguia obter caracterısticas
proximas de um condensado de Bose-Einstein era o 4He Ja foi constatado que a transicao
de fase que acontece no 4He e uma manifestacao que acompanha o condensado de Bose-
Einstein ou seja o CBE nos da explicacoes para o surgimento de uma mudanca de fase
no 4He (GRIFFIN 1996)
Dessa forma a funcao de onda macroscopica (que e uma funcao de onda quantica)
do condensado e a base de uma explicacao qualitativa da superfluidez O CBE reproduz
algumas propriedades essenciais do helio-4 liquefeito porem em detalhes o CBE conduz a
resultados quantitativamente errados A ligacao entre o CBE e o 4He foi primeiramente
estabelecida por London O 4He lıquido possui caracterısticas marcantes devido ao fato
dele ser um lıquido consequetemente apresenta uma forte interacao entre suas partıculas
Desta forma o condensado que explica a superfluidez nao pode ser considerado estrita-
mente um CBE devido as interacoes fortes entre suas moleculas
Para estudar o fenomenos proposto por Einstein seria interessante realizar exper-
imentalmente o CBE em um gas Investigando para se obter um CBE em um sistema
gasoso varios cientistas passaram a pesquisar o desenvolvimento de tecnicas que permi-
tiriam resfriamento de um gas confinado a temperaturas extremamente baixas Porem ex-
istia o problema de conseguir um sistema que ao ser submetido a temperaturas proximas
do zero absoluto nao solidificasse Esse problema foi solucionado utilizando componentes
do grupo I da tabela periodica (Na Rb Li etc) esses atomos alcalinos sao extrema-
12
mentes convenientes de serem utilizados pois torna possıvel de se ter amostras densas
e frias alem de que quando estao na presenca de um campo magnetico forte apresenta
uma fraca repulsao de suas partıculas isso faz com que o sistema continue no estado de
gas logo sao excelentes candidatos para se conseguir gases no regime quantico ou seja
para se obter o CBE (BAGNATO 1997)
No ano de 1995 foi obtido experimentalmente o primeiro condensado de Bose-
Einstein pelo grupo de Eric Cornell e Carl Wieman (National Institute of Standars e
Technology) Eles conseguiram resfriar a 170 nk gases de rubıdio (Rb) Mais tarde mas
no mesmo ano outros dois condensados foram obtidos Um condensado com gases de
Sodio (Na) realizado por Ketterle e colaboradores (Massachusetts Institute of Tecnology
- MIT) E por ultimo o grupo do Randy Hulet (Univrsity of Colorado) realizou experimen-
tos com atomos de lıtio (Li) (GRIFFIN 1996) O experimento com lıtio e completamente
equivalente aos outros dois experimentos com rubıdio e sodio exceto de que a interacao
entre as partıculas do lıtio e uma interacao atrativa (ele tem o comprimento de espal-
hamento negativo) isto e as lt 0 O gas de lıtio e constituıdo por partıculas fermionicas
(eletrons) que se agrupam formando pares (pares de Cooper) que deixam de lado suas
caracterısticas individuais para poderem se comportar como partıculas bosonicas Os
pares de Cooper pode ser denominado como sendo a uniao do spin up com o spin dow
do eletron (uarr darr) (EISBERG 1979) Dessa forma o gas de lıtio nao pode atingir o estado
de CBE sendo esperado um outra tipo de transicao No experimento com lıtio (mais
precisamente lıtio-6) tambem foi observado o fenomeno da superfluidez verificando assim
coexistencia de fases isto e uma fase superfluıda e outra normal Este tipo de com-
portamento e esperado de acontencer de acordo com as muitas teorias existentes sobre
atomos ultrafrios Podemos chamar de superfluidez com pares quebrados (breached-pair
superfluidity) a que ocorre no gas de lıtio isto e podemos observar a existencia de spins
paralelos e antiparalelos Com a pesquisa em torno do CBE foi possıvel estudar varios
outros sistemas quanticos complexos que ate entao nao se tinha uma teoria solida que os
explicasse como e o caso do helio lıquido
13
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL
Neste capıtulo vamos fazer uma breve descricao da Condensacao de Bose-Einstein
em um gas ideal Vamos analisar um sistema constituıdos por N partıculas nao inter-
agentes completamente diluıdo que obedece a distribuicao de Bose-Einstein com uma
ocupacao ni de partıculas para cada estado de energia εi
A energia do gas no estado e definido pelo conjunto dos numeros esperados de
partıculas isto e ni = n1 n2 sera (SALINAS 1997)
E(ni) = n1ε1 + n2ε2 + =sumi
niεi (1)
Calcularemos a funcao particao do sistema pois o objetivo principal e achar as
propriedades termodinamicas do gas sendo assim
Z =sumni
eminusβEni =sumni
eminusβsumniεi rarr funcao particao (2)
Condensacao Calculando a funcao particao acharemos todas as solucoes para o sistema
Usaremos entao o ensemble Grand canonico pois os ni nao sao independentes Ao
usar esse ensemble estamos tornando os ni independentes Neste caso estamos acoplando
ao sistema um reservatorio de partıculas e cada estado e populado a partir do reservatorio
Podemos escrever a funcao particao Grand canonica como sendo
Z(T V micro) =infinsumN=0
[eβmicroN
sumni
eminusβsumi niεi
]
=infinsumN=0
[sumni
eminusβsumi ni(εiminusmicro)
]
=infinsumN=0
[sumni
prodi
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni](3)
onde micro e o potencial quımico do gas
Podemos observar que em (3) existem dois somatorios o primeiro esta somando
sobre os ni vinculado a um valor constante do numero total N e o segundo e sobre todos
os valores possıveis de N e equivalente a um somatorio sobre todos os valores de ni
14
entao podemos escrever
Z(T V micro) =sumn1n2
[(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2]
=
[sumn1
(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1
][sumn2
(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2
] (4)
mas
Zi =sumni
eminusβni(εiminusmicro) (5)
A equacao (5) e a funcao particao de um estado quantico i
Na distribuicao de Bose-Eintein ni pode ser qualquer valor ou seja n = 0 1 2
Se eminusβ(εminusmicro) lt 1 dessa forma a funcao particao de um estado i sera
Zi =sumni
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni=(1minus eminusβ(εiminusmicro)
)minus1(6)
Entao a probabilidade de obter ni partıculas no estado i e portanto
P (ni) =eminusβni(εiminusmicro)
Zi(7)
Portanto o numero medio de bosons em um estado i sera
ni =
sumniniP (ni)
Zi= kBT
part
partmicrolnZi (8)
Fazendo a diferenciacao vamos encontrar
ni =1
eβ(εiminusmicro) minus 1(9)
Dessa forma (8) e o numero medio de partıculas que ocupam um determinado
estado de energia i Tendo em maos o numero medio de partıculas em um estado quantico
i vamos obter o numero total N de partıculas que e dado por
N =nsumi=1
〈ni〉 =nsumi=1
1
exp [β (εi minus micro)]minus 1(10)
Analisando a expressao em (10) podemos observar que ao considerar o numero de
partıculas bosonicas como sendo conservado estamos impondo que o potencial quımico (micro)
e obrigatoriamente negativo ou nulo (micro le 0) isso faz com que o numero de ocupacao para
qualquer nıvel de energia seja positivo ou seja esse somatorio tem que ser convergente
E conveniente que na equacao (10) seja feito uma mudanca do somatorio para a
integral porem ao fazer essa mudanca temos que ter uma certa atencao pois o estado
fundamental possui uma energia εi = 0 e consequentemente a densidade de estado ρ(ε)
15
do estado fundamental tambem e igual a zero
A densidade de estado ρ(ε) do sistema vai representar a quantidade de estado
com energia entre ε e ε+ dε Entao ao fazermos a mudanca do somatorio para a integral
estamos deixando de lado muitas partıculas bosonicas que se encontra no estado de energia
mınima estado esse que possui aproximadamente um numero de partıculas que pode ser
igual ao proprio numero total N de partıculas do sistema isso explica porque somos
obrigados a manter a ocupacao N0 no estado fundamental Devido a isso trataremos as
partıculas que se encontra no estado fundamental separadamente isto e
N = N0 +Nε
N = N0 +
int infin0
nε ρ (ε) dε
N = N0 +
int infin0
1
eβ(εiminusmicro) minus 1ρ(ε)dε (11)
onde N0 e o numero de ocupacao no estado fundamental com εi = 0 e Nε e o numero
de ocupacao no estado excitado (SALINAS 1997)
Da equacao (11) observamos que a medida que a temperatura diminui micro cresce
podendo alcancar para uma determinada temperatura finita um valor maximo micro = 0 A
este ponto epecıfico chamamos de temperatura crıtica (Tc) pois quando a temperatura
diminui ha um crescimento macroscopico do numero de partıcula que constitui o estado
fundamental (N0) enquanto que a quantidade de partıculas existente no estato excitado
(fracao nao condensada) diminui proporcionalmente Essa ocupacao macroscopica vai
fazer com que a contribuicao estatıstica desse primeiro estado quantico degenerado seja
maior se compararmos com a parte nao condensada Isso e consequencia da quantidade
mınima de partıcula que ainda se encontra no estado excitado Portanto vamos calcular
o numero de partıcula existente no estado excitado isto e ε gt 0
Nε =
int infin0
ρ(ε)1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (12)
onde
ρ(ε) =dN
dε=
V
3π2
(2m
h2
)323
2ε12 (13)
Substituindo a equacao (13) que e a equacao da densidade de estado na equacao
16
(12) obtemos
Nε =V
3π2
(2m
h2
)32 int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32
int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (14)
Podemos agora determinar a temperatura de transicao Tc fazendo micro = 0 Vamos
obter
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32 3
2
int infin0
ε12
eβεi minus 1dε
=1
2π2
(2mkBT
h2
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (15)
No momento em que o sistema tem micro = 0 temos que fazer Nε = N isso indica
que T tem o seu valor maximo ou seja
N
V=
1
2π2
(2mkBTc
h
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (16)
Podemos extrair da equacao acima a temperatura de transicao Tc que e
Tc =2πh2
mkB
(1
2 612
N
V
)32
(17)
Dessa forma reescreveremos a equacao (17) em termos de Tc como sendo
Nε
N=
(T
Tc
)32
(18)
Consequentemente vamos obter um outro parametro muito importante que e a
fracao de partıculas bosonicas que se encontra no estado fundamental (N0N) isto e no
estado condensado em funcao de T
N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
(19)
Agora fica facil observar que a transicao que acontece a Tc pode exprimir-se pela
separacao dos comportamentos assintoticos do numero de ocupacao do estado fundamen-
tal isto e
(T gt Tc)N0
N= O
(1
N
)asymp 0 para temperaturas altas
(T lt Tc)N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
para temperaturas baixas
17
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado
de Bose-Einstein em funcao da
temperatura
Fonte SALINAS 1997 p238
Dessas expressoes podemos observar que abaixo de uma temperatura de transicao
Tc uma pequena populacao das partıculas bosonicas ocupam o nıvel de mais baixa de
energia isto e N0 rarr N Entao a medida que N cresce fica mais facil falar da temperatura
de transicao logo o numero de partıculas no estado fundamental se torna mais singular
Dessa forma para T lt Tc o estado condensado e macroscopicamente populado
entao podemos dizer que Tc e a temperatura na qual micro assume o seu valor maximo
Podemos afirmar que as expressoes acima nos permite identificar a densidade do conden-
sado com o parametro de ordem de transicao Denominamos entao que Condensacao de
Bose-Einstein e o fato de um gas ideal bosonico possuir uma temperatura de transicao
discreta Tc e tambem possuir uma porcao finita de todas as partıculas ocupando o nıvel
mais baixo de energia para T lt Tc
No proximo capıtulo estudaremos as consequencias de submetermos um gas de
Bose na presenca de interacoes Vamos analisar uma teoria extremamente importante
para o entendimento desse sistemas quanticos complexos Para isso teremos que fazer
certa aproximacoes para que o desenvolvimento e o entendimento do sistema se estabeleca
de maneira satisfatoria
18
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTERAGENTE
Neste capıtulo demonstraremos um formalismo que vai ser capaz de descrever
as propriedades do estado fundamental de um gas bosonico diluıdo a uma temperatura
extremamente baixa (GRIFFIN 1996) Aplicaremos uma aproximacao de Campo Medio
Essa aproximacao e obtida depois que encontramos o valor esperado dos operadores de
campo bosonico Portanto definiremos uma funcao de onda (parametro de ordem) que
vai ser capaz de satisfazer a equacao nao linear de Schrodinger
Observaremos tambem o que acontece com um gas de Bose quando ele e aprision-
ado por um potencial harmonico e tambem quando esse sistema e submetido a interacoes
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio)
Para uma melhor descricao do estado condensado faremos o uso da aproximacao
de campo medio que vai resultar em uma equacao de Schrodinger nao linear que recebe
o nome de Equacao de Gross-Pitaevskii (EGP) (CARRETERO-GONZALES R 2008
GRIFFIN 1996) A deducao dessa equacao de campo medio foi feita por Lev Petrovich
Pitaevskii e E P Gross Com essa aproximacao de campo medio podemos estudar com
mais profundidade as propriedades do estado condensado ou seja a equacao de Gross-
Pitaeviskii Dependente do Tempo vai descrever a dinamica do sistema E se linearizarmos
essa equacao ao redor do estado fundamental vamos conseguir descrever as excitacoes co-
letivas de baixa energia do sistema que esta submetido a uma temperatura extremamente
baixa
A aproximacao de campo medio e baseada na aproximacao de Bogoliubov A ideia
principal da teoria de Bogoliubov e de que a fracao de partıculas nao condensada sera
despresada ou seja os efeitos da parte termica (flutuacoes) serao despresados
Usando a teoria de Bogoliubov conseguiremos encontrar os estados de equilıbrio
do sistema atraves da equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
Para conseguir chegar na equacao que vai dar a descricao do estado condensado
isto e do estado fundamental vamos escrever o hamiltoniano para um sistema formado
por N partıculas bosonicas com massa m que interagem duas a duas confinadas por um
potencial externo Vext(~r)
A hamiltoniana para esse sistema e escrita em segunda quantizacao atraves dos
operadores de campo Ψdagger(~r t) Ψ(~r t) (GREINER 1996) bosons de criacao e aniquilacao
respectivamente
19
H =
intd~rΨdagger(~r t) H0 Ψ(~r t) +
1
2
intd~r d~r primeΨdagger(~r t) Ψdagger(~r prime t)V (~r minus ~r prime) Ψ(~r prime t) Ψ(~r t) (20)
onde Vext(~r) e o potencial externo (potencial de armadilha) V (~r minus ~r prime) e o potencial
interatomico e H0 = minus h2
2mnabla2 + Vext(~r)
Os operadores de campo Ψ(~r t) e Ψdagger(~r t) obedecem as seguintes regras de co-
mutacao para bosons
[Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = δ(~r minus ~r prime)
[Ψ(~r t)Ψ(~r prime t)] = 0
[Ψdagger(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = 0
O formalismo de segunda quantizacao e a melhor forma para desenvolver sistema
compostos por muitas partıculas quando estamos no contexto da mecanica quantica
(GREINER 1996)
Agora vamos escrever a equacao de Heisenberg (SAKURAI 1994) para poder
descrever o estado fundamental ou seja queremos observar a dinamica do sistema con-
densado e saber como o operador Ψ(~r t) ou Ψdagger(~r t) evolui no tempo
ihpartΨ
partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)
Calculando [Ψ(~r t)H] usando o hamiltoniano
[Ψ(~r t) H] =
[Ψ(~r t)
intd~rΨdagger(~r t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
intΨ(~r prime t)Vext(~r)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
1
2
intd~rd~r primeΨdagger(~r t)Ψdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)Ψ(~r prime t)Ψ(~r t)
](22)
20
Vamos calcular a primeira parcela
I1 =
[Ψ(~r t)
intΨdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
]I1 =
int [Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)
]d~r prime
I1 =
intδ(~r minus ~r)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
I1 =minush2
2mnabla2Ψ(~r t) (23)
Analogamente para as parcelas I2 e I3 e substituindo as tres parcelas na equacao
de Heisenberg equacao (21) obtemos
ihpartΨ
partt(~r t) =
[H0 +
intd~r primeΨdagger(~r prime t)V (~r prime minus ~r)Ψ(~r prime t)
]Ψ(~r t) (24)
A equacao (24) e uma equacao exata para o operador de campo Ψ(~r t)
Agora vamos decompor o operador de campo bosonico da seguinte forma
Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)
onde ψ representa o estado fundamental e δφ representa as flutuacoes Contudo obser-
vamos que esse operador de campo vai agir como se fosse o seu proprio valor medio no
nıvel de mais baixa energia ou seja (BARCI 2002)
ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 rarr equacao de campo medio
A equacao acima e considerada como sendo a equacao de onda do estado conden-
sado e uma equacao de onda macroscopica e uma funcao de onda quantica ou seja ela
representa um conjunto de todas partıculas bosonicas que estao no estado fundamental
isto e essas partıculas vao se deslocar coerentemente Entao δφ e uma pequena parcela
das partıculas que se encontrta fora do condensado e quando o sistema encontra-se com
uma temperatura muito abaixo de Tc essa parcela e realmente desprezada
O que foi feito acima foi descartar as flutuacoes para que se possa fazer uma
melhor analise somente da parte condensada (BARCI 2002) isto e estamos aplicando a
aproximacao de campo medio Consequentemente vamos fazer a seguinte substituicao
Ψ(~r t) minusrarr ψ(~r t)
Ψdagger(~r t) minusrarr ψdagger(~r t)
Substituindo na equacao (24) que e a equacao de movimento para o operador de
21
campo temos
ihpartψ
partt=
[H0 +
intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)
]ψ(~r t) (26)
Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer
algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito
baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica
interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo
consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos
levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas
estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial
(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos
Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial
Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)
as =m
4πh2
intd~r V (~r minus ~rprime)
onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento
Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)
ihpartψ(~r t)
partt=
[minush2
2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2
]ψ(~r t) (27)
A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo
(EGPDT)
Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)
onde N e o numero total de partıcula do condensado
Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a
solucao estacionaria vamos considerar
ψ(~r t) = exp(minusimicro
ht)ψ0(~r) (29)
onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT
Eq (27) obtemos[minus h2
2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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SVAITER N F Finite size effect in thermal field theory Jornal of mathematical USA
v45 p 4521 2004
48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
ABSTRACT
SOUZA V C Dynamic of Bose-Einstein condensate in weakly interacting gases 201054 f Dissertacao (Mestrado em Fısica) ndash Instituto de Fısica Armando Dias TavaresUniversidade do Estado do Rio de Janeiro Rio de Janeiro 2010
This Dissertation study the detailed out of equilibrium time evolution of a homo-geneous diluted Bose-Einstein condensate in thermal bath We modeled the system bymeans of one bosonic complex scalar field The microscopic behavior of such an environ-ment can be appropriately described by the non-equilibrium Schwinger-Keldysh formalismin a quantum field theory approach Using this formalism real-time dynamics of the con-densate is encoded in a set of self-consistent integral-differential equations that we solvednumerically We studied in the quench scenario how the role of the interactions in thegeneration of the initial instability and the subsequent time evolution of the condensateWe also applied this technique to the study of a two-species homogeneous diluted Bosegas in a thermal bath
Keywords Bose-Einstein condensates Fluctuations Mean field Thermal reservoir
LISTA DE ILUSTRACOES
Figura 1 - Fases do sistema 11
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado de Bose-Einstein em funcao da
temperatura 17
Figura 3 - Analise da densidade do condensado 25
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao do tempo 38
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh 53
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
CBE Condensado de Bose-Einstein
EGP Equacao de Gross-Pitaeviskii
EGPDT Equacao de Gross-Pitaeviskii Depedente do Tempo
EGPIT Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
LISTA DE SIMBOLOS
λ comprimento de onda de De Broglie
g constante de acoplamento
as comprimento de espalhamento da onda s
micro potencial quımico
SUMARIO
INTRODUCAO 10
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL 13
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTER-
AGENTE 18
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio) 18
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica 22
22 Interacoes repulsivas e atrativas 26
23 Aproximacao de Thomas-Fermi 27
24 Teoria de Bogoliubov 27
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes 28
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE 32
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes 32
32 O cenario quench 34
33 Equacoes auto-consistentes 35
34 Integracao numerica 37
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE 40
41 Flutuacoes 41
42 Equacoes auto-consistentes 42
CONCLUSAO 44
REFERENCIAS 45
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio 48
10
INTRODUCAO
Em 1925 Albert Einstein inspirado pelos trabalhos de N S Bose descreveu o
fenomeno hoje chamado de Condensacao de Bose-Einstein (CBE) Einstein pode obser-
var que existiria uma mudanca de fase em um gas ideal quando submetido a temperaturas
relativamente baixas(GRIFFIN 1996)
Podemos definir a Condensacao de Bose-Einstein como sendo a convergencia das
partıculas constituintes de um gas ideal bosonico para o primeiro estado quantico desse
sistema Desta forma no estado condensado um numero macroscopico de partıculas ocu-
pam o estado de mais baixa energia (estado com momento nulo) quando submetido a uma
temperatura extremamente baixa Nesta circunstancia as propriedades termodinamicas
do sistema irao sofrer alteracoes o que caracteriza uma transicao de fase
A medida que baixamos a temperatura do sistema as partıculas bosonicas que
estao neste estado quantico degenerado (estado sem energia cinetica) poderao ser tratadas
como pacotes de onda com o comprimento de onda de de Broglie λ = (2πhmkBT )12
Dessa maneira a transicao de fase acontece devido ao fato do comprimento de onda
termico (que e o comprimento de onda em mecanica quantica de uma partıcula com energia
cinetica da ordem O(kBT )) ficar igual a distancia media entre as partıculas bosonicas
Esse comprimento de onda termico aumenta a medida que baixamos a temperatura
do sistema Sendo assim a funcao de onda do estado condensado e uma funcao de onda
macroscopica ou seja todas as partıculas deslocam-se coerentemente visto que todas tem
a mesma funcao de onda ψ0 (BAGNATO 1997)
Portanto a ocupacao macroscopica do nıvel fundamental de um gas de Bose ho-
mogeneo e nao interagente e denominada de condensacao de Bose-Einstein
Vamos observar tres situacoes que ocorrem com o sistema
1 Para uma temperatura elevada isto e T gt Tc as partıculas bosonicas obedecem a
estatıstica de Boltzmann comportando-se classicamente
2 Quando a temperatura esta perto de Tc podemos observar um comportamento de
dois fluıdos uma fracao condensada e outra parte termica (flutuacoes)
3 E quando so tem a fracao condensada desaparecendo a parte termica isto e T = 0
Nesse momento todas as partıculas ficarao alojadas no nıvel de mais baixa energia
Esse nıvel quantico de mais baixa energia permanece ocupado por um numero N0
de partıculas bosonicas ate o instante em que a temperatura do sistema comecar a
subir ate atingir Tc
Contudo para se obter um CBE e preciso resfriar um gas extremamente diluıdo
constituıdo por um grande numero de partıculas
11
Figura 1 - Fases do sistema
Fonte MASSACHUSETTS
INSTITUTE OF
TECHNOLOGY 2010
O primeiro sistem fısico que ate bem pouco tempo conseguia obter caracterısticas
proximas de um condensado de Bose-Einstein era o 4He Ja foi constatado que a transicao
de fase que acontece no 4He e uma manifestacao que acompanha o condensado de Bose-
Einstein ou seja o CBE nos da explicacoes para o surgimento de uma mudanca de fase
no 4He (GRIFFIN 1996)
Dessa forma a funcao de onda macroscopica (que e uma funcao de onda quantica)
do condensado e a base de uma explicacao qualitativa da superfluidez O CBE reproduz
algumas propriedades essenciais do helio-4 liquefeito porem em detalhes o CBE conduz a
resultados quantitativamente errados A ligacao entre o CBE e o 4He foi primeiramente
estabelecida por London O 4He lıquido possui caracterısticas marcantes devido ao fato
dele ser um lıquido consequetemente apresenta uma forte interacao entre suas partıculas
Desta forma o condensado que explica a superfluidez nao pode ser considerado estrita-
mente um CBE devido as interacoes fortes entre suas moleculas
Para estudar o fenomenos proposto por Einstein seria interessante realizar exper-
imentalmente o CBE em um gas Investigando para se obter um CBE em um sistema
gasoso varios cientistas passaram a pesquisar o desenvolvimento de tecnicas que permi-
tiriam resfriamento de um gas confinado a temperaturas extremamente baixas Porem ex-
istia o problema de conseguir um sistema que ao ser submetido a temperaturas proximas
do zero absoluto nao solidificasse Esse problema foi solucionado utilizando componentes
do grupo I da tabela periodica (Na Rb Li etc) esses atomos alcalinos sao extrema-
12
mentes convenientes de serem utilizados pois torna possıvel de se ter amostras densas
e frias alem de que quando estao na presenca de um campo magnetico forte apresenta
uma fraca repulsao de suas partıculas isso faz com que o sistema continue no estado de
gas logo sao excelentes candidatos para se conseguir gases no regime quantico ou seja
para se obter o CBE (BAGNATO 1997)
No ano de 1995 foi obtido experimentalmente o primeiro condensado de Bose-
Einstein pelo grupo de Eric Cornell e Carl Wieman (National Institute of Standars e
Technology) Eles conseguiram resfriar a 170 nk gases de rubıdio (Rb) Mais tarde mas
no mesmo ano outros dois condensados foram obtidos Um condensado com gases de
Sodio (Na) realizado por Ketterle e colaboradores (Massachusetts Institute of Tecnology
- MIT) E por ultimo o grupo do Randy Hulet (Univrsity of Colorado) realizou experimen-
tos com atomos de lıtio (Li) (GRIFFIN 1996) O experimento com lıtio e completamente
equivalente aos outros dois experimentos com rubıdio e sodio exceto de que a interacao
entre as partıculas do lıtio e uma interacao atrativa (ele tem o comprimento de espal-
hamento negativo) isto e as lt 0 O gas de lıtio e constituıdo por partıculas fermionicas
(eletrons) que se agrupam formando pares (pares de Cooper) que deixam de lado suas
caracterısticas individuais para poderem se comportar como partıculas bosonicas Os
pares de Cooper pode ser denominado como sendo a uniao do spin up com o spin dow
do eletron (uarr darr) (EISBERG 1979) Dessa forma o gas de lıtio nao pode atingir o estado
de CBE sendo esperado um outra tipo de transicao No experimento com lıtio (mais
precisamente lıtio-6) tambem foi observado o fenomeno da superfluidez verificando assim
coexistencia de fases isto e uma fase superfluıda e outra normal Este tipo de com-
portamento e esperado de acontencer de acordo com as muitas teorias existentes sobre
atomos ultrafrios Podemos chamar de superfluidez com pares quebrados (breached-pair
superfluidity) a que ocorre no gas de lıtio isto e podemos observar a existencia de spins
paralelos e antiparalelos Com a pesquisa em torno do CBE foi possıvel estudar varios
outros sistemas quanticos complexos que ate entao nao se tinha uma teoria solida que os
explicasse como e o caso do helio lıquido
13
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL
Neste capıtulo vamos fazer uma breve descricao da Condensacao de Bose-Einstein
em um gas ideal Vamos analisar um sistema constituıdos por N partıculas nao inter-
agentes completamente diluıdo que obedece a distribuicao de Bose-Einstein com uma
ocupacao ni de partıculas para cada estado de energia εi
A energia do gas no estado e definido pelo conjunto dos numeros esperados de
partıculas isto e ni = n1 n2 sera (SALINAS 1997)
E(ni) = n1ε1 + n2ε2 + =sumi
niεi (1)
Calcularemos a funcao particao do sistema pois o objetivo principal e achar as
propriedades termodinamicas do gas sendo assim
Z =sumni
eminusβEni =sumni
eminusβsumniεi rarr funcao particao (2)
Condensacao Calculando a funcao particao acharemos todas as solucoes para o sistema
Usaremos entao o ensemble Grand canonico pois os ni nao sao independentes Ao
usar esse ensemble estamos tornando os ni independentes Neste caso estamos acoplando
ao sistema um reservatorio de partıculas e cada estado e populado a partir do reservatorio
Podemos escrever a funcao particao Grand canonica como sendo
Z(T V micro) =infinsumN=0
[eβmicroN
sumni
eminusβsumi niεi
]
=infinsumN=0
[sumni
eminusβsumi ni(εiminusmicro)
]
=infinsumN=0
[sumni
prodi
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni](3)
onde micro e o potencial quımico do gas
Podemos observar que em (3) existem dois somatorios o primeiro esta somando
sobre os ni vinculado a um valor constante do numero total N e o segundo e sobre todos
os valores possıveis de N e equivalente a um somatorio sobre todos os valores de ni
14
entao podemos escrever
Z(T V micro) =sumn1n2
[(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2]
=
[sumn1
(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1
][sumn2
(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2
] (4)
mas
Zi =sumni
eminusβni(εiminusmicro) (5)
A equacao (5) e a funcao particao de um estado quantico i
Na distribuicao de Bose-Eintein ni pode ser qualquer valor ou seja n = 0 1 2
Se eminusβ(εminusmicro) lt 1 dessa forma a funcao particao de um estado i sera
Zi =sumni
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni=(1minus eminusβ(εiminusmicro)
)minus1(6)
Entao a probabilidade de obter ni partıculas no estado i e portanto
P (ni) =eminusβni(εiminusmicro)
Zi(7)
Portanto o numero medio de bosons em um estado i sera
ni =
sumniniP (ni)
Zi= kBT
part
partmicrolnZi (8)
Fazendo a diferenciacao vamos encontrar
ni =1
eβ(εiminusmicro) minus 1(9)
Dessa forma (8) e o numero medio de partıculas que ocupam um determinado
estado de energia i Tendo em maos o numero medio de partıculas em um estado quantico
i vamos obter o numero total N de partıculas que e dado por
N =nsumi=1
〈ni〉 =nsumi=1
1
exp [β (εi minus micro)]minus 1(10)
Analisando a expressao em (10) podemos observar que ao considerar o numero de
partıculas bosonicas como sendo conservado estamos impondo que o potencial quımico (micro)
e obrigatoriamente negativo ou nulo (micro le 0) isso faz com que o numero de ocupacao para
qualquer nıvel de energia seja positivo ou seja esse somatorio tem que ser convergente
E conveniente que na equacao (10) seja feito uma mudanca do somatorio para a
integral porem ao fazer essa mudanca temos que ter uma certa atencao pois o estado
fundamental possui uma energia εi = 0 e consequentemente a densidade de estado ρ(ε)
15
do estado fundamental tambem e igual a zero
A densidade de estado ρ(ε) do sistema vai representar a quantidade de estado
com energia entre ε e ε+ dε Entao ao fazermos a mudanca do somatorio para a integral
estamos deixando de lado muitas partıculas bosonicas que se encontra no estado de energia
mınima estado esse que possui aproximadamente um numero de partıculas que pode ser
igual ao proprio numero total N de partıculas do sistema isso explica porque somos
obrigados a manter a ocupacao N0 no estado fundamental Devido a isso trataremos as
partıculas que se encontra no estado fundamental separadamente isto e
N = N0 +Nε
N = N0 +
int infin0
nε ρ (ε) dε
N = N0 +
int infin0
1
eβ(εiminusmicro) minus 1ρ(ε)dε (11)
onde N0 e o numero de ocupacao no estado fundamental com εi = 0 e Nε e o numero
de ocupacao no estado excitado (SALINAS 1997)
Da equacao (11) observamos que a medida que a temperatura diminui micro cresce
podendo alcancar para uma determinada temperatura finita um valor maximo micro = 0 A
este ponto epecıfico chamamos de temperatura crıtica (Tc) pois quando a temperatura
diminui ha um crescimento macroscopico do numero de partıcula que constitui o estado
fundamental (N0) enquanto que a quantidade de partıculas existente no estato excitado
(fracao nao condensada) diminui proporcionalmente Essa ocupacao macroscopica vai
fazer com que a contribuicao estatıstica desse primeiro estado quantico degenerado seja
maior se compararmos com a parte nao condensada Isso e consequencia da quantidade
mınima de partıcula que ainda se encontra no estado excitado Portanto vamos calcular
o numero de partıcula existente no estado excitado isto e ε gt 0
Nε =
int infin0
ρ(ε)1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (12)
onde
ρ(ε) =dN
dε=
V
3π2
(2m
h2
)323
2ε12 (13)
Substituindo a equacao (13) que e a equacao da densidade de estado na equacao
16
(12) obtemos
Nε =V
3π2
(2m
h2
)32 int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32
int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (14)
Podemos agora determinar a temperatura de transicao Tc fazendo micro = 0 Vamos
obter
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32 3
2
int infin0
ε12
eβεi minus 1dε
=1
2π2
(2mkBT
h2
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (15)
No momento em que o sistema tem micro = 0 temos que fazer Nε = N isso indica
que T tem o seu valor maximo ou seja
N
V=
1
2π2
(2mkBTc
h
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (16)
Podemos extrair da equacao acima a temperatura de transicao Tc que e
Tc =2πh2
mkB
(1
2 612
N
V
)32
(17)
Dessa forma reescreveremos a equacao (17) em termos de Tc como sendo
Nε
N=
(T
Tc
)32
(18)
Consequentemente vamos obter um outro parametro muito importante que e a
fracao de partıculas bosonicas que se encontra no estado fundamental (N0N) isto e no
estado condensado em funcao de T
N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
(19)
Agora fica facil observar que a transicao que acontece a Tc pode exprimir-se pela
separacao dos comportamentos assintoticos do numero de ocupacao do estado fundamen-
tal isto e
(T gt Tc)N0
N= O
(1
N
)asymp 0 para temperaturas altas
(T lt Tc)N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
para temperaturas baixas
17
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado
de Bose-Einstein em funcao da
temperatura
Fonte SALINAS 1997 p238
Dessas expressoes podemos observar que abaixo de uma temperatura de transicao
Tc uma pequena populacao das partıculas bosonicas ocupam o nıvel de mais baixa de
energia isto e N0 rarr N Entao a medida que N cresce fica mais facil falar da temperatura
de transicao logo o numero de partıculas no estado fundamental se torna mais singular
Dessa forma para T lt Tc o estado condensado e macroscopicamente populado
entao podemos dizer que Tc e a temperatura na qual micro assume o seu valor maximo
Podemos afirmar que as expressoes acima nos permite identificar a densidade do conden-
sado com o parametro de ordem de transicao Denominamos entao que Condensacao de
Bose-Einstein e o fato de um gas ideal bosonico possuir uma temperatura de transicao
discreta Tc e tambem possuir uma porcao finita de todas as partıculas ocupando o nıvel
mais baixo de energia para T lt Tc
No proximo capıtulo estudaremos as consequencias de submetermos um gas de
Bose na presenca de interacoes Vamos analisar uma teoria extremamente importante
para o entendimento desse sistemas quanticos complexos Para isso teremos que fazer
certa aproximacoes para que o desenvolvimento e o entendimento do sistema se estabeleca
de maneira satisfatoria
18
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTERAGENTE
Neste capıtulo demonstraremos um formalismo que vai ser capaz de descrever
as propriedades do estado fundamental de um gas bosonico diluıdo a uma temperatura
extremamente baixa (GRIFFIN 1996) Aplicaremos uma aproximacao de Campo Medio
Essa aproximacao e obtida depois que encontramos o valor esperado dos operadores de
campo bosonico Portanto definiremos uma funcao de onda (parametro de ordem) que
vai ser capaz de satisfazer a equacao nao linear de Schrodinger
Observaremos tambem o que acontece com um gas de Bose quando ele e aprision-
ado por um potencial harmonico e tambem quando esse sistema e submetido a interacoes
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio)
Para uma melhor descricao do estado condensado faremos o uso da aproximacao
de campo medio que vai resultar em uma equacao de Schrodinger nao linear que recebe
o nome de Equacao de Gross-Pitaevskii (EGP) (CARRETERO-GONZALES R 2008
GRIFFIN 1996) A deducao dessa equacao de campo medio foi feita por Lev Petrovich
Pitaevskii e E P Gross Com essa aproximacao de campo medio podemos estudar com
mais profundidade as propriedades do estado condensado ou seja a equacao de Gross-
Pitaeviskii Dependente do Tempo vai descrever a dinamica do sistema E se linearizarmos
essa equacao ao redor do estado fundamental vamos conseguir descrever as excitacoes co-
letivas de baixa energia do sistema que esta submetido a uma temperatura extremamente
baixa
A aproximacao de campo medio e baseada na aproximacao de Bogoliubov A ideia
principal da teoria de Bogoliubov e de que a fracao de partıculas nao condensada sera
despresada ou seja os efeitos da parte termica (flutuacoes) serao despresados
Usando a teoria de Bogoliubov conseguiremos encontrar os estados de equilıbrio
do sistema atraves da equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
Para conseguir chegar na equacao que vai dar a descricao do estado condensado
isto e do estado fundamental vamos escrever o hamiltoniano para um sistema formado
por N partıculas bosonicas com massa m que interagem duas a duas confinadas por um
potencial externo Vext(~r)
A hamiltoniana para esse sistema e escrita em segunda quantizacao atraves dos
operadores de campo Ψdagger(~r t) Ψ(~r t) (GREINER 1996) bosons de criacao e aniquilacao
respectivamente
19
H =
intd~rΨdagger(~r t) H0 Ψ(~r t) +
1
2
intd~r d~r primeΨdagger(~r t) Ψdagger(~r prime t)V (~r minus ~r prime) Ψ(~r prime t) Ψ(~r t) (20)
onde Vext(~r) e o potencial externo (potencial de armadilha) V (~r minus ~r prime) e o potencial
interatomico e H0 = minus h2
2mnabla2 + Vext(~r)
Os operadores de campo Ψ(~r t) e Ψdagger(~r t) obedecem as seguintes regras de co-
mutacao para bosons
[Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = δ(~r minus ~r prime)
[Ψ(~r t)Ψ(~r prime t)] = 0
[Ψdagger(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = 0
O formalismo de segunda quantizacao e a melhor forma para desenvolver sistema
compostos por muitas partıculas quando estamos no contexto da mecanica quantica
(GREINER 1996)
Agora vamos escrever a equacao de Heisenberg (SAKURAI 1994) para poder
descrever o estado fundamental ou seja queremos observar a dinamica do sistema con-
densado e saber como o operador Ψ(~r t) ou Ψdagger(~r t) evolui no tempo
ihpartΨ
partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)
Calculando [Ψ(~r t)H] usando o hamiltoniano
[Ψ(~r t) H] =
[Ψ(~r t)
intd~rΨdagger(~r t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
intΨ(~r prime t)Vext(~r)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
1
2
intd~rd~r primeΨdagger(~r t)Ψdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)Ψ(~r prime t)Ψ(~r t)
](22)
20
Vamos calcular a primeira parcela
I1 =
[Ψ(~r t)
intΨdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
]I1 =
int [Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)
]d~r prime
I1 =
intδ(~r minus ~r)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
I1 =minush2
2mnabla2Ψ(~r t) (23)
Analogamente para as parcelas I2 e I3 e substituindo as tres parcelas na equacao
de Heisenberg equacao (21) obtemos
ihpartΨ
partt(~r t) =
[H0 +
intd~r primeΨdagger(~r prime t)V (~r prime minus ~r)Ψ(~r prime t)
]Ψ(~r t) (24)
A equacao (24) e uma equacao exata para o operador de campo Ψ(~r t)
Agora vamos decompor o operador de campo bosonico da seguinte forma
Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)
onde ψ representa o estado fundamental e δφ representa as flutuacoes Contudo obser-
vamos que esse operador de campo vai agir como se fosse o seu proprio valor medio no
nıvel de mais baixa energia ou seja (BARCI 2002)
ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 rarr equacao de campo medio
A equacao acima e considerada como sendo a equacao de onda do estado conden-
sado e uma equacao de onda macroscopica e uma funcao de onda quantica ou seja ela
representa um conjunto de todas partıculas bosonicas que estao no estado fundamental
isto e essas partıculas vao se deslocar coerentemente Entao δφ e uma pequena parcela
das partıculas que se encontrta fora do condensado e quando o sistema encontra-se com
uma temperatura muito abaixo de Tc essa parcela e realmente desprezada
O que foi feito acima foi descartar as flutuacoes para que se possa fazer uma
melhor analise somente da parte condensada (BARCI 2002) isto e estamos aplicando a
aproximacao de campo medio Consequentemente vamos fazer a seguinte substituicao
Ψ(~r t) minusrarr ψ(~r t)
Ψdagger(~r t) minusrarr ψdagger(~r t)
Substituindo na equacao (24) que e a equacao de movimento para o operador de
21
campo temos
ihpartψ
partt=
[H0 +
intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)
]ψ(~r t) (26)
Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer
algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito
baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica
interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo
consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos
levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas
estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial
(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos
Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial
Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)
as =m
4πh2
intd~r V (~r minus ~rprime)
onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento
Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)
ihpartψ(~r t)
partt=
[minush2
2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2
]ψ(~r t) (27)
A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo
(EGPDT)
Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)
onde N e o numero total de partıcula do condensado
Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a
solucao estacionaria vamos considerar
ψ(~r t) = exp(minusimicro
ht)ψ0(~r) (29)
onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT
Eq (27) obtemos[minus h2
2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
REFERENCIAS
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
LISTA DE ILUSTRACOES
Figura 1 - Fases do sistema 11
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado de Bose-Einstein em funcao da
temperatura 17
Figura 3 - Analise da densidade do condensado 25
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao do tempo 38
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh 53
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
CBE Condensado de Bose-Einstein
EGP Equacao de Gross-Pitaeviskii
EGPDT Equacao de Gross-Pitaeviskii Depedente do Tempo
EGPIT Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
LISTA DE SIMBOLOS
λ comprimento de onda de De Broglie
g constante de acoplamento
as comprimento de espalhamento da onda s
micro potencial quımico
SUMARIO
INTRODUCAO 10
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL 13
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTER-
AGENTE 18
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio) 18
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica 22
22 Interacoes repulsivas e atrativas 26
23 Aproximacao de Thomas-Fermi 27
24 Teoria de Bogoliubov 27
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes 28
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE 32
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes 32
32 O cenario quench 34
33 Equacoes auto-consistentes 35
34 Integracao numerica 37
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE 40
41 Flutuacoes 41
42 Equacoes auto-consistentes 42
CONCLUSAO 44
REFERENCIAS 45
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio 48
10
INTRODUCAO
Em 1925 Albert Einstein inspirado pelos trabalhos de N S Bose descreveu o
fenomeno hoje chamado de Condensacao de Bose-Einstein (CBE) Einstein pode obser-
var que existiria uma mudanca de fase em um gas ideal quando submetido a temperaturas
relativamente baixas(GRIFFIN 1996)
Podemos definir a Condensacao de Bose-Einstein como sendo a convergencia das
partıculas constituintes de um gas ideal bosonico para o primeiro estado quantico desse
sistema Desta forma no estado condensado um numero macroscopico de partıculas ocu-
pam o estado de mais baixa energia (estado com momento nulo) quando submetido a uma
temperatura extremamente baixa Nesta circunstancia as propriedades termodinamicas
do sistema irao sofrer alteracoes o que caracteriza uma transicao de fase
A medida que baixamos a temperatura do sistema as partıculas bosonicas que
estao neste estado quantico degenerado (estado sem energia cinetica) poderao ser tratadas
como pacotes de onda com o comprimento de onda de de Broglie λ = (2πhmkBT )12
Dessa maneira a transicao de fase acontece devido ao fato do comprimento de onda
termico (que e o comprimento de onda em mecanica quantica de uma partıcula com energia
cinetica da ordem O(kBT )) ficar igual a distancia media entre as partıculas bosonicas
Esse comprimento de onda termico aumenta a medida que baixamos a temperatura
do sistema Sendo assim a funcao de onda do estado condensado e uma funcao de onda
macroscopica ou seja todas as partıculas deslocam-se coerentemente visto que todas tem
a mesma funcao de onda ψ0 (BAGNATO 1997)
Portanto a ocupacao macroscopica do nıvel fundamental de um gas de Bose ho-
mogeneo e nao interagente e denominada de condensacao de Bose-Einstein
Vamos observar tres situacoes que ocorrem com o sistema
1 Para uma temperatura elevada isto e T gt Tc as partıculas bosonicas obedecem a
estatıstica de Boltzmann comportando-se classicamente
2 Quando a temperatura esta perto de Tc podemos observar um comportamento de
dois fluıdos uma fracao condensada e outra parte termica (flutuacoes)
3 E quando so tem a fracao condensada desaparecendo a parte termica isto e T = 0
Nesse momento todas as partıculas ficarao alojadas no nıvel de mais baixa energia
Esse nıvel quantico de mais baixa energia permanece ocupado por um numero N0
de partıculas bosonicas ate o instante em que a temperatura do sistema comecar a
subir ate atingir Tc
Contudo para se obter um CBE e preciso resfriar um gas extremamente diluıdo
constituıdo por um grande numero de partıculas
11
Figura 1 - Fases do sistema
Fonte MASSACHUSETTS
INSTITUTE OF
TECHNOLOGY 2010
O primeiro sistem fısico que ate bem pouco tempo conseguia obter caracterısticas
proximas de um condensado de Bose-Einstein era o 4He Ja foi constatado que a transicao
de fase que acontece no 4He e uma manifestacao que acompanha o condensado de Bose-
Einstein ou seja o CBE nos da explicacoes para o surgimento de uma mudanca de fase
no 4He (GRIFFIN 1996)
Dessa forma a funcao de onda macroscopica (que e uma funcao de onda quantica)
do condensado e a base de uma explicacao qualitativa da superfluidez O CBE reproduz
algumas propriedades essenciais do helio-4 liquefeito porem em detalhes o CBE conduz a
resultados quantitativamente errados A ligacao entre o CBE e o 4He foi primeiramente
estabelecida por London O 4He lıquido possui caracterısticas marcantes devido ao fato
dele ser um lıquido consequetemente apresenta uma forte interacao entre suas partıculas
Desta forma o condensado que explica a superfluidez nao pode ser considerado estrita-
mente um CBE devido as interacoes fortes entre suas moleculas
Para estudar o fenomenos proposto por Einstein seria interessante realizar exper-
imentalmente o CBE em um gas Investigando para se obter um CBE em um sistema
gasoso varios cientistas passaram a pesquisar o desenvolvimento de tecnicas que permi-
tiriam resfriamento de um gas confinado a temperaturas extremamente baixas Porem ex-
istia o problema de conseguir um sistema que ao ser submetido a temperaturas proximas
do zero absoluto nao solidificasse Esse problema foi solucionado utilizando componentes
do grupo I da tabela periodica (Na Rb Li etc) esses atomos alcalinos sao extrema-
12
mentes convenientes de serem utilizados pois torna possıvel de se ter amostras densas
e frias alem de que quando estao na presenca de um campo magnetico forte apresenta
uma fraca repulsao de suas partıculas isso faz com que o sistema continue no estado de
gas logo sao excelentes candidatos para se conseguir gases no regime quantico ou seja
para se obter o CBE (BAGNATO 1997)
No ano de 1995 foi obtido experimentalmente o primeiro condensado de Bose-
Einstein pelo grupo de Eric Cornell e Carl Wieman (National Institute of Standars e
Technology) Eles conseguiram resfriar a 170 nk gases de rubıdio (Rb) Mais tarde mas
no mesmo ano outros dois condensados foram obtidos Um condensado com gases de
Sodio (Na) realizado por Ketterle e colaboradores (Massachusetts Institute of Tecnology
- MIT) E por ultimo o grupo do Randy Hulet (Univrsity of Colorado) realizou experimen-
tos com atomos de lıtio (Li) (GRIFFIN 1996) O experimento com lıtio e completamente
equivalente aos outros dois experimentos com rubıdio e sodio exceto de que a interacao
entre as partıculas do lıtio e uma interacao atrativa (ele tem o comprimento de espal-
hamento negativo) isto e as lt 0 O gas de lıtio e constituıdo por partıculas fermionicas
(eletrons) que se agrupam formando pares (pares de Cooper) que deixam de lado suas
caracterısticas individuais para poderem se comportar como partıculas bosonicas Os
pares de Cooper pode ser denominado como sendo a uniao do spin up com o spin dow
do eletron (uarr darr) (EISBERG 1979) Dessa forma o gas de lıtio nao pode atingir o estado
de CBE sendo esperado um outra tipo de transicao No experimento com lıtio (mais
precisamente lıtio-6) tambem foi observado o fenomeno da superfluidez verificando assim
coexistencia de fases isto e uma fase superfluıda e outra normal Este tipo de com-
portamento e esperado de acontencer de acordo com as muitas teorias existentes sobre
atomos ultrafrios Podemos chamar de superfluidez com pares quebrados (breached-pair
superfluidity) a que ocorre no gas de lıtio isto e podemos observar a existencia de spins
paralelos e antiparalelos Com a pesquisa em torno do CBE foi possıvel estudar varios
outros sistemas quanticos complexos que ate entao nao se tinha uma teoria solida que os
explicasse como e o caso do helio lıquido
13
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL
Neste capıtulo vamos fazer uma breve descricao da Condensacao de Bose-Einstein
em um gas ideal Vamos analisar um sistema constituıdos por N partıculas nao inter-
agentes completamente diluıdo que obedece a distribuicao de Bose-Einstein com uma
ocupacao ni de partıculas para cada estado de energia εi
A energia do gas no estado e definido pelo conjunto dos numeros esperados de
partıculas isto e ni = n1 n2 sera (SALINAS 1997)
E(ni) = n1ε1 + n2ε2 + =sumi
niεi (1)
Calcularemos a funcao particao do sistema pois o objetivo principal e achar as
propriedades termodinamicas do gas sendo assim
Z =sumni
eminusβEni =sumni
eminusβsumniεi rarr funcao particao (2)
Condensacao Calculando a funcao particao acharemos todas as solucoes para o sistema
Usaremos entao o ensemble Grand canonico pois os ni nao sao independentes Ao
usar esse ensemble estamos tornando os ni independentes Neste caso estamos acoplando
ao sistema um reservatorio de partıculas e cada estado e populado a partir do reservatorio
Podemos escrever a funcao particao Grand canonica como sendo
Z(T V micro) =infinsumN=0
[eβmicroN
sumni
eminusβsumi niεi
]
=infinsumN=0
[sumni
eminusβsumi ni(εiminusmicro)
]
=infinsumN=0
[sumni
prodi
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni](3)
onde micro e o potencial quımico do gas
Podemos observar que em (3) existem dois somatorios o primeiro esta somando
sobre os ni vinculado a um valor constante do numero total N e o segundo e sobre todos
os valores possıveis de N e equivalente a um somatorio sobre todos os valores de ni
14
entao podemos escrever
Z(T V micro) =sumn1n2
[(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2]
=
[sumn1
(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1
][sumn2
(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2
] (4)
mas
Zi =sumni
eminusβni(εiminusmicro) (5)
A equacao (5) e a funcao particao de um estado quantico i
Na distribuicao de Bose-Eintein ni pode ser qualquer valor ou seja n = 0 1 2
Se eminusβ(εminusmicro) lt 1 dessa forma a funcao particao de um estado i sera
Zi =sumni
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni=(1minus eminusβ(εiminusmicro)
)minus1(6)
Entao a probabilidade de obter ni partıculas no estado i e portanto
P (ni) =eminusβni(εiminusmicro)
Zi(7)
Portanto o numero medio de bosons em um estado i sera
ni =
sumniniP (ni)
Zi= kBT
part
partmicrolnZi (8)
Fazendo a diferenciacao vamos encontrar
ni =1
eβ(εiminusmicro) minus 1(9)
Dessa forma (8) e o numero medio de partıculas que ocupam um determinado
estado de energia i Tendo em maos o numero medio de partıculas em um estado quantico
i vamos obter o numero total N de partıculas que e dado por
N =nsumi=1
〈ni〉 =nsumi=1
1
exp [β (εi minus micro)]minus 1(10)
Analisando a expressao em (10) podemos observar que ao considerar o numero de
partıculas bosonicas como sendo conservado estamos impondo que o potencial quımico (micro)
e obrigatoriamente negativo ou nulo (micro le 0) isso faz com que o numero de ocupacao para
qualquer nıvel de energia seja positivo ou seja esse somatorio tem que ser convergente
E conveniente que na equacao (10) seja feito uma mudanca do somatorio para a
integral porem ao fazer essa mudanca temos que ter uma certa atencao pois o estado
fundamental possui uma energia εi = 0 e consequentemente a densidade de estado ρ(ε)
15
do estado fundamental tambem e igual a zero
A densidade de estado ρ(ε) do sistema vai representar a quantidade de estado
com energia entre ε e ε+ dε Entao ao fazermos a mudanca do somatorio para a integral
estamos deixando de lado muitas partıculas bosonicas que se encontra no estado de energia
mınima estado esse que possui aproximadamente um numero de partıculas que pode ser
igual ao proprio numero total N de partıculas do sistema isso explica porque somos
obrigados a manter a ocupacao N0 no estado fundamental Devido a isso trataremos as
partıculas que se encontra no estado fundamental separadamente isto e
N = N0 +Nε
N = N0 +
int infin0
nε ρ (ε) dε
N = N0 +
int infin0
1
eβ(εiminusmicro) minus 1ρ(ε)dε (11)
onde N0 e o numero de ocupacao no estado fundamental com εi = 0 e Nε e o numero
de ocupacao no estado excitado (SALINAS 1997)
Da equacao (11) observamos que a medida que a temperatura diminui micro cresce
podendo alcancar para uma determinada temperatura finita um valor maximo micro = 0 A
este ponto epecıfico chamamos de temperatura crıtica (Tc) pois quando a temperatura
diminui ha um crescimento macroscopico do numero de partıcula que constitui o estado
fundamental (N0) enquanto que a quantidade de partıculas existente no estato excitado
(fracao nao condensada) diminui proporcionalmente Essa ocupacao macroscopica vai
fazer com que a contribuicao estatıstica desse primeiro estado quantico degenerado seja
maior se compararmos com a parte nao condensada Isso e consequencia da quantidade
mınima de partıcula que ainda se encontra no estado excitado Portanto vamos calcular
o numero de partıcula existente no estado excitado isto e ε gt 0
Nε =
int infin0
ρ(ε)1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (12)
onde
ρ(ε) =dN
dε=
V
3π2
(2m
h2
)323
2ε12 (13)
Substituindo a equacao (13) que e a equacao da densidade de estado na equacao
16
(12) obtemos
Nε =V
3π2
(2m
h2
)32 int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32
int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (14)
Podemos agora determinar a temperatura de transicao Tc fazendo micro = 0 Vamos
obter
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32 3
2
int infin0
ε12
eβεi minus 1dε
=1
2π2
(2mkBT
h2
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (15)
No momento em que o sistema tem micro = 0 temos que fazer Nε = N isso indica
que T tem o seu valor maximo ou seja
N
V=
1
2π2
(2mkBTc
h
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (16)
Podemos extrair da equacao acima a temperatura de transicao Tc que e
Tc =2πh2
mkB
(1
2 612
N
V
)32
(17)
Dessa forma reescreveremos a equacao (17) em termos de Tc como sendo
Nε
N=
(T
Tc
)32
(18)
Consequentemente vamos obter um outro parametro muito importante que e a
fracao de partıculas bosonicas que se encontra no estado fundamental (N0N) isto e no
estado condensado em funcao de T
N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
(19)
Agora fica facil observar que a transicao que acontece a Tc pode exprimir-se pela
separacao dos comportamentos assintoticos do numero de ocupacao do estado fundamen-
tal isto e
(T gt Tc)N0
N= O
(1
N
)asymp 0 para temperaturas altas
(T lt Tc)N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
para temperaturas baixas
17
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado
de Bose-Einstein em funcao da
temperatura
Fonte SALINAS 1997 p238
Dessas expressoes podemos observar que abaixo de uma temperatura de transicao
Tc uma pequena populacao das partıculas bosonicas ocupam o nıvel de mais baixa de
energia isto e N0 rarr N Entao a medida que N cresce fica mais facil falar da temperatura
de transicao logo o numero de partıculas no estado fundamental se torna mais singular
Dessa forma para T lt Tc o estado condensado e macroscopicamente populado
entao podemos dizer que Tc e a temperatura na qual micro assume o seu valor maximo
Podemos afirmar que as expressoes acima nos permite identificar a densidade do conden-
sado com o parametro de ordem de transicao Denominamos entao que Condensacao de
Bose-Einstein e o fato de um gas ideal bosonico possuir uma temperatura de transicao
discreta Tc e tambem possuir uma porcao finita de todas as partıculas ocupando o nıvel
mais baixo de energia para T lt Tc
No proximo capıtulo estudaremos as consequencias de submetermos um gas de
Bose na presenca de interacoes Vamos analisar uma teoria extremamente importante
para o entendimento desse sistemas quanticos complexos Para isso teremos que fazer
certa aproximacoes para que o desenvolvimento e o entendimento do sistema se estabeleca
de maneira satisfatoria
18
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTERAGENTE
Neste capıtulo demonstraremos um formalismo que vai ser capaz de descrever
as propriedades do estado fundamental de um gas bosonico diluıdo a uma temperatura
extremamente baixa (GRIFFIN 1996) Aplicaremos uma aproximacao de Campo Medio
Essa aproximacao e obtida depois que encontramos o valor esperado dos operadores de
campo bosonico Portanto definiremos uma funcao de onda (parametro de ordem) que
vai ser capaz de satisfazer a equacao nao linear de Schrodinger
Observaremos tambem o que acontece com um gas de Bose quando ele e aprision-
ado por um potencial harmonico e tambem quando esse sistema e submetido a interacoes
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio)
Para uma melhor descricao do estado condensado faremos o uso da aproximacao
de campo medio que vai resultar em uma equacao de Schrodinger nao linear que recebe
o nome de Equacao de Gross-Pitaevskii (EGP) (CARRETERO-GONZALES R 2008
GRIFFIN 1996) A deducao dessa equacao de campo medio foi feita por Lev Petrovich
Pitaevskii e E P Gross Com essa aproximacao de campo medio podemos estudar com
mais profundidade as propriedades do estado condensado ou seja a equacao de Gross-
Pitaeviskii Dependente do Tempo vai descrever a dinamica do sistema E se linearizarmos
essa equacao ao redor do estado fundamental vamos conseguir descrever as excitacoes co-
letivas de baixa energia do sistema que esta submetido a uma temperatura extremamente
baixa
A aproximacao de campo medio e baseada na aproximacao de Bogoliubov A ideia
principal da teoria de Bogoliubov e de que a fracao de partıculas nao condensada sera
despresada ou seja os efeitos da parte termica (flutuacoes) serao despresados
Usando a teoria de Bogoliubov conseguiremos encontrar os estados de equilıbrio
do sistema atraves da equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
Para conseguir chegar na equacao que vai dar a descricao do estado condensado
isto e do estado fundamental vamos escrever o hamiltoniano para um sistema formado
por N partıculas bosonicas com massa m que interagem duas a duas confinadas por um
potencial externo Vext(~r)
A hamiltoniana para esse sistema e escrita em segunda quantizacao atraves dos
operadores de campo Ψdagger(~r t) Ψ(~r t) (GREINER 1996) bosons de criacao e aniquilacao
respectivamente
19
H =
intd~rΨdagger(~r t) H0 Ψ(~r t) +
1
2
intd~r d~r primeΨdagger(~r t) Ψdagger(~r prime t)V (~r minus ~r prime) Ψ(~r prime t) Ψ(~r t) (20)
onde Vext(~r) e o potencial externo (potencial de armadilha) V (~r minus ~r prime) e o potencial
interatomico e H0 = minus h2
2mnabla2 + Vext(~r)
Os operadores de campo Ψ(~r t) e Ψdagger(~r t) obedecem as seguintes regras de co-
mutacao para bosons
[Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = δ(~r minus ~r prime)
[Ψ(~r t)Ψ(~r prime t)] = 0
[Ψdagger(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = 0
O formalismo de segunda quantizacao e a melhor forma para desenvolver sistema
compostos por muitas partıculas quando estamos no contexto da mecanica quantica
(GREINER 1996)
Agora vamos escrever a equacao de Heisenberg (SAKURAI 1994) para poder
descrever o estado fundamental ou seja queremos observar a dinamica do sistema con-
densado e saber como o operador Ψ(~r t) ou Ψdagger(~r t) evolui no tempo
ihpartΨ
partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)
Calculando [Ψ(~r t)H] usando o hamiltoniano
[Ψ(~r t) H] =
[Ψ(~r t)
intd~rΨdagger(~r t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
intΨ(~r prime t)Vext(~r)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
1
2
intd~rd~r primeΨdagger(~r t)Ψdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)Ψ(~r prime t)Ψ(~r t)
](22)
20
Vamos calcular a primeira parcela
I1 =
[Ψ(~r t)
intΨdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
]I1 =
int [Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)
]d~r prime
I1 =
intδ(~r minus ~r)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
I1 =minush2
2mnabla2Ψ(~r t) (23)
Analogamente para as parcelas I2 e I3 e substituindo as tres parcelas na equacao
de Heisenberg equacao (21) obtemos
ihpartΨ
partt(~r t) =
[H0 +
intd~r primeΨdagger(~r prime t)V (~r prime minus ~r)Ψ(~r prime t)
]Ψ(~r t) (24)
A equacao (24) e uma equacao exata para o operador de campo Ψ(~r t)
Agora vamos decompor o operador de campo bosonico da seguinte forma
Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)
onde ψ representa o estado fundamental e δφ representa as flutuacoes Contudo obser-
vamos que esse operador de campo vai agir como se fosse o seu proprio valor medio no
nıvel de mais baixa energia ou seja (BARCI 2002)
ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 rarr equacao de campo medio
A equacao acima e considerada como sendo a equacao de onda do estado conden-
sado e uma equacao de onda macroscopica e uma funcao de onda quantica ou seja ela
representa um conjunto de todas partıculas bosonicas que estao no estado fundamental
isto e essas partıculas vao se deslocar coerentemente Entao δφ e uma pequena parcela
das partıculas que se encontrta fora do condensado e quando o sistema encontra-se com
uma temperatura muito abaixo de Tc essa parcela e realmente desprezada
O que foi feito acima foi descartar as flutuacoes para que se possa fazer uma
melhor analise somente da parte condensada (BARCI 2002) isto e estamos aplicando a
aproximacao de campo medio Consequentemente vamos fazer a seguinte substituicao
Ψ(~r t) minusrarr ψ(~r t)
Ψdagger(~r t) minusrarr ψdagger(~r t)
Substituindo na equacao (24) que e a equacao de movimento para o operador de
21
campo temos
ihpartψ
partt=
[H0 +
intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)
]ψ(~r t) (26)
Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer
algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito
baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica
interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo
consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos
levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas
estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial
(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos
Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial
Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)
as =m
4πh2
intd~r V (~r minus ~rprime)
onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento
Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)
ihpartψ(~r t)
partt=
[minush2
2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2
]ψ(~r t) (27)
A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo
(EGPDT)
Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)
onde N e o numero total de partıcula do condensado
Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a
solucao estacionaria vamos considerar
ψ(~r t) = exp(minusimicro
ht)ψ0(~r) (29)
onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT
Eq (27) obtemos[minus h2
2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
REFERENCIAS
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
CBE Condensado de Bose-Einstein
EGP Equacao de Gross-Pitaeviskii
EGPDT Equacao de Gross-Pitaeviskii Depedente do Tempo
EGPIT Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
LISTA DE SIMBOLOS
λ comprimento de onda de De Broglie
g constante de acoplamento
as comprimento de espalhamento da onda s
micro potencial quımico
SUMARIO
INTRODUCAO 10
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL 13
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTER-
AGENTE 18
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio) 18
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica 22
22 Interacoes repulsivas e atrativas 26
23 Aproximacao de Thomas-Fermi 27
24 Teoria de Bogoliubov 27
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes 28
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE 32
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes 32
32 O cenario quench 34
33 Equacoes auto-consistentes 35
34 Integracao numerica 37
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE 40
41 Flutuacoes 41
42 Equacoes auto-consistentes 42
CONCLUSAO 44
REFERENCIAS 45
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio 48
10
INTRODUCAO
Em 1925 Albert Einstein inspirado pelos trabalhos de N S Bose descreveu o
fenomeno hoje chamado de Condensacao de Bose-Einstein (CBE) Einstein pode obser-
var que existiria uma mudanca de fase em um gas ideal quando submetido a temperaturas
relativamente baixas(GRIFFIN 1996)
Podemos definir a Condensacao de Bose-Einstein como sendo a convergencia das
partıculas constituintes de um gas ideal bosonico para o primeiro estado quantico desse
sistema Desta forma no estado condensado um numero macroscopico de partıculas ocu-
pam o estado de mais baixa energia (estado com momento nulo) quando submetido a uma
temperatura extremamente baixa Nesta circunstancia as propriedades termodinamicas
do sistema irao sofrer alteracoes o que caracteriza uma transicao de fase
A medida que baixamos a temperatura do sistema as partıculas bosonicas que
estao neste estado quantico degenerado (estado sem energia cinetica) poderao ser tratadas
como pacotes de onda com o comprimento de onda de de Broglie λ = (2πhmkBT )12
Dessa maneira a transicao de fase acontece devido ao fato do comprimento de onda
termico (que e o comprimento de onda em mecanica quantica de uma partıcula com energia
cinetica da ordem O(kBT )) ficar igual a distancia media entre as partıculas bosonicas
Esse comprimento de onda termico aumenta a medida que baixamos a temperatura
do sistema Sendo assim a funcao de onda do estado condensado e uma funcao de onda
macroscopica ou seja todas as partıculas deslocam-se coerentemente visto que todas tem
a mesma funcao de onda ψ0 (BAGNATO 1997)
Portanto a ocupacao macroscopica do nıvel fundamental de um gas de Bose ho-
mogeneo e nao interagente e denominada de condensacao de Bose-Einstein
Vamos observar tres situacoes que ocorrem com o sistema
1 Para uma temperatura elevada isto e T gt Tc as partıculas bosonicas obedecem a
estatıstica de Boltzmann comportando-se classicamente
2 Quando a temperatura esta perto de Tc podemos observar um comportamento de
dois fluıdos uma fracao condensada e outra parte termica (flutuacoes)
3 E quando so tem a fracao condensada desaparecendo a parte termica isto e T = 0
Nesse momento todas as partıculas ficarao alojadas no nıvel de mais baixa energia
Esse nıvel quantico de mais baixa energia permanece ocupado por um numero N0
de partıculas bosonicas ate o instante em que a temperatura do sistema comecar a
subir ate atingir Tc
Contudo para se obter um CBE e preciso resfriar um gas extremamente diluıdo
constituıdo por um grande numero de partıculas
11
Figura 1 - Fases do sistema
Fonte MASSACHUSETTS
INSTITUTE OF
TECHNOLOGY 2010
O primeiro sistem fısico que ate bem pouco tempo conseguia obter caracterısticas
proximas de um condensado de Bose-Einstein era o 4He Ja foi constatado que a transicao
de fase que acontece no 4He e uma manifestacao que acompanha o condensado de Bose-
Einstein ou seja o CBE nos da explicacoes para o surgimento de uma mudanca de fase
no 4He (GRIFFIN 1996)
Dessa forma a funcao de onda macroscopica (que e uma funcao de onda quantica)
do condensado e a base de uma explicacao qualitativa da superfluidez O CBE reproduz
algumas propriedades essenciais do helio-4 liquefeito porem em detalhes o CBE conduz a
resultados quantitativamente errados A ligacao entre o CBE e o 4He foi primeiramente
estabelecida por London O 4He lıquido possui caracterısticas marcantes devido ao fato
dele ser um lıquido consequetemente apresenta uma forte interacao entre suas partıculas
Desta forma o condensado que explica a superfluidez nao pode ser considerado estrita-
mente um CBE devido as interacoes fortes entre suas moleculas
Para estudar o fenomenos proposto por Einstein seria interessante realizar exper-
imentalmente o CBE em um gas Investigando para se obter um CBE em um sistema
gasoso varios cientistas passaram a pesquisar o desenvolvimento de tecnicas que permi-
tiriam resfriamento de um gas confinado a temperaturas extremamente baixas Porem ex-
istia o problema de conseguir um sistema que ao ser submetido a temperaturas proximas
do zero absoluto nao solidificasse Esse problema foi solucionado utilizando componentes
do grupo I da tabela periodica (Na Rb Li etc) esses atomos alcalinos sao extrema-
12
mentes convenientes de serem utilizados pois torna possıvel de se ter amostras densas
e frias alem de que quando estao na presenca de um campo magnetico forte apresenta
uma fraca repulsao de suas partıculas isso faz com que o sistema continue no estado de
gas logo sao excelentes candidatos para se conseguir gases no regime quantico ou seja
para se obter o CBE (BAGNATO 1997)
No ano de 1995 foi obtido experimentalmente o primeiro condensado de Bose-
Einstein pelo grupo de Eric Cornell e Carl Wieman (National Institute of Standars e
Technology) Eles conseguiram resfriar a 170 nk gases de rubıdio (Rb) Mais tarde mas
no mesmo ano outros dois condensados foram obtidos Um condensado com gases de
Sodio (Na) realizado por Ketterle e colaboradores (Massachusetts Institute of Tecnology
- MIT) E por ultimo o grupo do Randy Hulet (Univrsity of Colorado) realizou experimen-
tos com atomos de lıtio (Li) (GRIFFIN 1996) O experimento com lıtio e completamente
equivalente aos outros dois experimentos com rubıdio e sodio exceto de que a interacao
entre as partıculas do lıtio e uma interacao atrativa (ele tem o comprimento de espal-
hamento negativo) isto e as lt 0 O gas de lıtio e constituıdo por partıculas fermionicas
(eletrons) que se agrupam formando pares (pares de Cooper) que deixam de lado suas
caracterısticas individuais para poderem se comportar como partıculas bosonicas Os
pares de Cooper pode ser denominado como sendo a uniao do spin up com o spin dow
do eletron (uarr darr) (EISBERG 1979) Dessa forma o gas de lıtio nao pode atingir o estado
de CBE sendo esperado um outra tipo de transicao No experimento com lıtio (mais
precisamente lıtio-6) tambem foi observado o fenomeno da superfluidez verificando assim
coexistencia de fases isto e uma fase superfluıda e outra normal Este tipo de com-
portamento e esperado de acontencer de acordo com as muitas teorias existentes sobre
atomos ultrafrios Podemos chamar de superfluidez com pares quebrados (breached-pair
superfluidity) a que ocorre no gas de lıtio isto e podemos observar a existencia de spins
paralelos e antiparalelos Com a pesquisa em torno do CBE foi possıvel estudar varios
outros sistemas quanticos complexos que ate entao nao se tinha uma teoria solida que os
explicasse como e o caso do helio lıquido
13
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL
Neste capıtulo vamos fazer uma breve descricao da Condensacao de Bose-Einstein
em um gas ideal Vamos analisar um sistema constituıdos por N partıculas nao inter-
agentes completamente diluıdo que obedece a distribuicao de Bose-Einstein com uma
ocupacao ni de partıculas para cada estado de energia εi
A energia do gas no estado e definido pelo conjunto dos numeros esperados de
partıculas isto e ni = n1 n2 sera (SALINAS 1997)
E(ni) = n1ε1 + n2ε2 + =sumi
niεi (1)
Calcularemos a funcao particao do sistema pois o objetivo principal e achar as
propriedades termodinamicas do gas sendo assim
Z =sumni
eminusβEni =sumni
eminusβsumniεi rarr funcao particao (2)
Condensacao Calculando a funcao particao acharemos todas as solucoes para o sistema
Usaremos entao o ensemble Grand canonico pois os ni nao sao independentes Ao
usar esse ensemble estamos tornando os ni independentes Neste caso estamos acoplando
ao sistema um reservatorio de partıculas e cada estado e populado a partir do reservatorio
Podemos escrever a funcao particao Grand canonica como sendo
Z(T V micro) =infinsumN=0
[eβmicroN
sumni
eminusβsumi niεi
]
=infinsumN=0
[sumni
eminusβsumi ni(εiminusmicro)
]
=infinsumN=0
[sumni
prodi
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni](3)
onde micro e o potencial quımico do gas
Podemos observar que em (3) existem dois somatorios o primeiro esta somando
sobre os ni vinculado a um valor constante do numero total N e o segundo e sobre todos
os valores possıveis de N e equivalente a um somatorio sobre todos os valores de ni
14
entao podemos escrever
Z(T V micro) =sumn1n2
[(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2]
=
[sumn1
(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1
][sumn2
(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2
] (4)
mas
Zi =sumni
eminusβni(εiminusmicro) (5)
A equacao (5) e a funcao particao de um estado quantico i
Na distribuicao de Bose-Eintein ni pode ser qualquer valor ou seja n = 0 1 2
Se eminusβ(εminusmicro) lt 1 dessa forma a funcao particao de um estado i sera
Zi =sumni
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni=(1minus eminusβ(εiminusmicro)
)minus1(6)
Entao a probabilidade de obter ni partıculas no estado i e portanto
P (ni) =eminusβni(εiminusmicro)
Zi(7)
Portanto o numero medio de bosons em um estado i sera
ni =
sumniniP (ni)
Zi= kBT
part
partmicrolnZi (8)
Fazendo a diferenciacao vamos encontrar
ni =1
eβ(εiminusmicro) minus 1(9)
Dessa forma (8) e o numero medio de partıculas que ocupam um determinado
estado de energia i Tendo em maos o numero medio de partıculas em um estado quantico
i vamos obter o numero total N de partıculas que e dado por
N =nsumi=1
〈ni〉 =nsumi=1
1
exp [β (εi minus micro)]minus 1(10)
Analisando a expressao em (10) podemos observar que ao considerar o numero de
partıculas bosonicas como sendo conservado estamos impondo que o potencial quımico (micro)
e obrigatoriamente negativo ou nulo (micro le 0) isso faz com que o numero de ocupacao para
qualquer nıvel de energia seja positivo ou seja esse somatorio tem que ser convergente
E conveniente que na equacao (10) seja feito uma mudanca do somatorio para a
integral porem ao fazer essa mudanca temos que ter uma certa atencao pois o estado
fundamental possui uma energia εi = 0 e consequentemente a densidade de estado ρ(ε)
15
do estado fundamental tambem e igual a zero
A densidade de estado ρ(ε) do sistema vai representar a quantidade de estado
com energia entre ε e ε+ dε Entao ao fazermos a mudanca do somatorio para a integral
estamos deixando de lado muitas partıculas bosonicas que se encontra no estado de energia
mınima estado esse que possui aproximadamente um numero de partıculas que pode ser
igual ao proprio numero total N de partıculas do sistema isso explica porque somos
obrigados a manter a ocupacao N0 no estado fundamental Devido a isso trataremos as
partıculas que se encontra no estado fundamental separadamente isto e
N = N0 +Nε
N = N0 +
int infin0
nε ρ (ε) dε
N = N0 +
int infin0
1
eβ(εiminusmicro) minus 1ρ(ε)dε (11)
onde N0 e o numero de ocupacao no estado fundamental com εi = 0 e Nε e o numero
de ocupacao no estado excitado (SALINAS 1997)
Da equacao (11) observamos que a medida que a temperatura diminui micro cresce
podendo alcancar para uma determinada temperatura finita um valor maximo micro = 0 A
este ponto epecıfico chamamos de temperatura crıtica (Tc) pois quando a temperatura
diminui ha um crescimento macroscopico do numero de partıcula que constitui o estado
fundamental (N0) enquanto que a quantidade de partıculas existente no estato excitado
(fracao nao condensada) diminui proporcionalmente Essa ocupacao macroscopica vai
fazer com que a contribuicao estatıstica desse primeiro estado quantico degenerado seja
maior se compararmos com a parte nao condensada Isso e consequencia da quantidade
mınima de partıcula que ainda se encontra no estado excitado Portanto vamos calcular
o numero de partıcula existente no estado excitado isto e ε gt 0
Nε =
int infin0
ρ(ε)1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (12)
onde
ρ(ε) =dN
dε=
V
3π2
(2m
h2
)323
2ε12 (13)
Substituindo a equacao (13) que e a equacao da densidade de estado na equacao
16
(12) obtemos
Nε =V
3π2
(2m
h2
)32 int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32
int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (14)
Podemos agora determinar a temperatura de transicao Tc fazendo micro = 0 Vamos
obter
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32 3
2
int infin0
ε12
eβεi minus 1dε
=1
2π2
(2mkBT
h2
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (15)
No momento em que o sistema tem micro = 0 temos que fazer Nε = N isso indica
que T tem o seu valor maximo ou seja
N
V=
1
2π2
(2mkBTc
h
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (16)
Podemos extrair da equacao acima a temperatura de transicao Tc que e
Tc =2πh2
mkB
(1
2 612
N
V
)32
(17)
Dessa forma reescreveremos a equacao (17) em termos de Tc como sendo
Nε
N=
(T
Tc
)32
(18)
Consequentemente vamos obter um outro parametro muito importante que e a
fracao de partıculas bosonicas que se encontra no estado fundamental (N0N) isto e no
estado condensado em funcao de T
N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
(19)
Agora fica facil observar que a transicao que acontece a Tc pode exprimir-se pela
separacao dos comportamentos assintoticos do numero de ocupacao do estado fundamen-
tal isto e
(T gt Tc)N0
N= O
(1
N
)asymp 0 para temperaturas altas
(T lt Tc)N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
para temperaturas baixas
17
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado
de Bose-Einstein em funcao da
temperatura
Fonte SALINAS 1997 p238
Dessas expressoes podemos observar que abaixo de uma temperatura de transicao
Tc uma pequena populacao das partıculas bosonicas ocupam o nıvel de mais baixa de
energia isto e N0 rarr N Entao a medida que N cresce fica mais facil falar da temperatura
de transicao logo o numero de partıculas no estado fundamental se torna mais singular
Dessa forma para T lt Tc o estado condensado e macroscopicamente populado
entao podemos dizer que Tc e a temperatura na qual micro assume o seu valor maximo
Podemos afirmar que as expressoes acima nos permite identificar a densidade do conden-
sado com o parametro de ordem de transicao Denominamos entao que Condensacao de
Bose-Einstein e o fato de um gas ideal bosonico possuir uma temperatura de transicao
discreta Tc e tambem possuir uma porcao finita de todas as partıculas ocupando o nıvel
mais baixo de energia para T lt Tc
No proximo capıtulo estudaremos as consequencias de submetermos um gas de
Bose na presenca de interacoes Vamos analisar uma teoria extremamente importante
para o entendimento desse sistemas quanticos complexos Para isso teremos que fazer
certa aproximacoes para que o desenvolvimento e o entendimento do sistema se estabeleca
de maneira satisfatoria
18
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTERAGENTE
Neste capıtulo demonstraremos um formalismo que vai ser capaz de descrever
as propriedades do estado fundamental de um gas bosonico diluıdo a uma temperatura
extremamente baixa (GRIFFIN 1996) Aplicaremos uma aproximacao de Campo Medio
Essa aproximacao e obtida depois que encontramos o valor esperado dos operadores de
campo bosonico Portanto definiremos uma funcao de onda (parametro de ordem) que
vai ser capaz de satisfazer a equacao nao linear de Schrodinger
Observaremos tambem o que acontece com um gas de Bose quando ele e aprision-
ado por um potencial harmonico e tambem quando esse sistema e submetido a interacoes
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio)
Para uma melhor descricao do estado condensado faremos o uso da aproximacao
de campo medio que vai resultar em uma equacao de Schrodinger nao linear que recebe
o nome de Equacao de Gross-Pitaevskii (EGP) (CARRETERO-GONZALES R 2008
GRIFFIN 1996) A deducao dessa equacao de campo medio foi feita por Lev Petrovich
Pitaevskii e E P Gross Com essa aproximacao de campo medio podemos estudar com
mais profundidade as propriedades do estado condensado ou seja a equacao de Gross-
Pitaeviskii Dependente do Tempo vai descrever a dinamica do sistema E se linearizarmos
essa equacao ao redor do estado fundamental vamos conseguir descrever as excitacoes co-
letivas de baixa energia do sistema que esta submetido a uma temperatura extremamente
baixa
A aproximacao de campo medio e baseada na aproximacao de Bogoliubov A ideia
principal da teoria de Bogoliubov e de que a fracao de partıculas nao condensada sera
despresada ou seja os efeitos da parte termica (flutuacoes) serao despresados
Usando a teoria de Bogoliubov conseguiremos encontrar os estados de equilıbrio
do sistema atraves da equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
Para conseguir chegar na equacao que vai dar a descricao do estado condensado
isto e do estado fundamental vamos escrever o hamiltoniano para um sistema formado
por N partıculas bosonicas com massa m que interagem duas a duas confinadas por um
potencial externo Vext(~r)
A hamiltoniana para esse sistema e escrita em segunda quantizacao atraves dos
operadores de campo Ψdagger(~r t) Ψ(~r t) (GREINER 1996) bosons de criacao e aniquilacao
respectivamente
19
H =
intd~rΨdagger(~r t) H0 Ψ(~r t) +
1
2
intd~r d~r primeΨdagger(~r t) Ψdagger(~r prime t)V (~r minus ~r prime) Ψ(~r prime t) Ψ(~r t) (20)
onde Vext(~r) e o potencial externo (potencial de armadilha) V (~r minus ~r prime) e o potencial
interatomico e H0 = minus h2
2mnabla2 + Vext(~r)
Os operadores de campo Ψ(~r t) e Ψdagger(~r t) obedecem as seguintes regras de co-
mutacao para bosons
[Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = δ(~r minus ~r prime)
[Ψ(~r t)Ψ(~r prime t)] = 0
[Ψdagger(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = 0
O formalismo de segunda quantizacao e a melhor forma para desenvolver sistema
compostos por muitas partıculas quando estamos no contexto da mecanica quantica
(GREINER 1996)
Agora vamos escrever a equacao de Heisenberg (SAKURAI 1994) para poder
descrever o estado fundamental ou seja queremos observar a dinamica do sistema con-
densado e saber como o operador Ψ(~r t) ou Ψdagger(~r t) evolui no tempo
ihpartΨ
partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)
Calculando [Ψ(~r t)H] usando o hamiltoniano
[Ψ(~r t) H] =
[Ψ(~r t)
intd~rΨdagger(~r t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
intΨ(~r prime t)Vext(~r)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
1
2
intd~rd~r primeΨdagger(~r t)Ψdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)Ψ(~r prime t)Ψ(~r t)
](22)
20
Vamos calcular a primeira parcela
I1 =
[Ψ(~r t)
intΨdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
]I1 =
int [Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)
]d~r prime
I1 =
intδ(~r minus ~r)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
I1 =minush2
2mnabla2Ψ(~r t) (23)
Analogamente para as parcelas I2 e I3 e substituindo as tres parcelas na equacao
de Heisenberg equacao (21) obtemos
ihpartΨ
partt(~r t) =
[H0 +
intd~r primeΨdagger(~r prime t)V (~r prime minus ~r)Ψ(~r prime t)
]Ψ(~r t) (24)
A equacao (24) e uma equacao exata para o operador de campo Ψ(~r t)
Agora vamos decompor o operador de campo bosonico da seguinte forma
Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)
onde ψ representa o estado fundamental e δφ representa as flutuacoes Contudo obser-
vamos que esse operador de campo vai agir como se fosse o seu proprio valor medio no
nıvel de mais baixa energia ou seja (BARCI 2002)
ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 rarr equacao de campo medio
A equacao acima e considerada como sendo a equacao de onda do estado conden-
sado e uma equacao de onda macroscopica e uma funcao de onda quantica ou seja ela
representa um conjunto de todas partıculas bosonicas que estao no estado fundamental
isto e essas partıculas vao se deslocar coerentemente Entao δφ e uma pequena parcela
das partıculas que se encontrta fora do condensado e quando o sistema encontra-se com
uma temperatura muito abaixo de Tc essa parcela e realmente desprezada
O que foi feito acima foi descartar as flutuacoes para que se possa fazer uma
melhor analise somente da parte condensada (BARCI 2002) isto e estamos aplicando a
aproximacao de campo medio Consequentemente vamos fazer a seguinte substituicao
Ψ(~r t) minusrarr ψ(~r t)
Ψdagger(~r t) minusrarr ψdagger(~r t)
Substituindo na equacao (24) que e a equacao de movimento para o operador de
21
campo temos
ihpartψ
partt=
[H0 +
intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)
]ψ(~r t) (26)
Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer
algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito
baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica
interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo
consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos
levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas
estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial
(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos
Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial
Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)
as =m
4πh2
intd~r V (~r minus ~rprime)
onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento
Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)
ihpartψ(~r t)
partt=
[minush2
2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2
]ψ(~r t) (27)
A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo
(EGPDT)
Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)
onde N e o numero total de partıcula do condensado
Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a
solucao estacionaria vamos considerar
ψ(~r t) = exp(minusimicro
ht)ψ0(~r) (29)
onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT
Eq (27) obtemos[minus h2
2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
REFERENCIAS
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
LISTA DE SIMBOLOS
λ comprimento de onda de De Broglie
g constante de acoplamento
as comprimento de espalhamento da onda s
micro potencial quımico
SUMARIO
INTRODUCAO 10
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL 13
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTER-
AGENTE 18
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio) 18
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica 22
22 Interacoes repulsivas e atrativas 26
23 Aproximacao de Thomas-Fermi 27
24 Teoria de Bogoliubov 27
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes 28
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE 32
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes 32
32 O cenario quench 34
33 Equacoes auto-consistentes 35
34 Integracao numerica 37
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE 40
41 Flutuacoes 41
42 Equacoes auto-consistentes 42
CONCLUSAO 44
REFERENCIAS 45
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio 48
10
INTRODUCAO
Em 1925 Albert Einstein inspirado pelos trabalhos de N S Bose descreveu o
fenomeno hoje chamado de Condensacao de Bose-Einstein (CBE) Einstein pode obser-
var que existiria uma mudanca de fase em um gas ideal quando submetido a temperaturas
relativamente baixas(GRIFFIN 1996)
Podemos definir a Condensacao de Bose-Einstein como sendo a convergencia das
partıculas constituintes de um gas ideal bosonico para o primeiro estado quantico desse
sistema Desta forma no estado condensado um numero macroscopico de partıculas ocu-
pam o estado de mais baixa energia (estado com momento nulo) quando submetido a uma
temperatura extremamente baixa Nesta circunstancia as propriedades termodinamicas
do sistema irao sofrer alteracoes o que caracteriza uma transicao de fase
A medida que baixamos a temperatura do sistema as partıculas bosonicas que
estao neste estado quantico degenerado (estado sem energia cinetica) poderao ser tratadas
como pacotes de onda com o comprimento de onda de de Broglie λ = (2πhmkBT )12
Dessa maneira a transicao de fase acontece devido ao fato do comprimento de onda
termico (que e o comprimento de onda em mecanica quantica de uma partıcula com energia
cinetica da ordem O(kBT )) ficar igual a distancia media entre as partıculas bosonicas
Esse comprimento de onda termico aumenta a medida que baixamos a temperatura
do sistema Sendo assim a funcao de onda do estado condensado e uma funcao de onda
macroscopica ou seja todas as partıculas deslocam-se coerentemente visto que todas tem
a mesma funcao de onda ψ0 (BAGNATO 1997)
Portanto a ocupacao macroscopica do nıvel fundamental de um gas de Bose ho-
mogeneo e nao interagente e denominada de condensacao de Bose-Einstein
Vamos observar tres situacoes que ocorrem com o sistema
1 Para uma temperatura elevada isto e T gt Tc as partıculas bosonicas obedecem a
estatıstica de Boltzmann comportando-se classicamente
2 Quando a temperatura esta perto de Tc podemos observar um comportamento de
dois fluıdos uma fracao condensada e outra parte termica (flutuacoes)
3 E quando so tem a fracao condensada desaparecendo a parte termica isto e T = 0
Nesse momento todas as partıculas ficarao alojadas no nıvel de mais baixa energia
Esse nıvel quantico de mais baixa energia permanece ocupado por um numero N0
de partıculas bosonicas ate o instante em que a temperatura do sistema comecar a
subir ate atingir Tc
Contudo para se obter um CBE e preciso resfriar um gas extremamente diluıdo
constituıdo por um grande numero de partıculas
11
Figura 1 - Fases do sistema
Fonte MASSACHUSETTS
INSTITUTE OF
TECHNOLOGY 2010
O primeiro sistem fısico que ate bem pouco tempo conseguia obter caracterısticas
proximas de um condensado de Bose-Einstein era o 4He Ja foi constatado que a transicao
de fase que acontece no 4He e uma manifestacao que acompanha o condensado de Bose-
Einstein ou seja o CBE nos da explicacoes para o surgimento de uma mudanca de fase
no 4He (GRIFFIN 1996)
Dessa forma a funcao de onda macroscopica (que e uma funcao de onda quantica)
do condensado e a base de uma explicacao qualitativa da superfluidez O CBE reproduz
algumas propriedades essenciais do helio-4 liquefeito porem em detalhes o CBE conduz a
resultados quantitativamente errados A ligacao entre o CBE e o 4He foi primeiramente
estabelecida por London O 4He lıquido possui caracterısticas marcantes devido ao fato
dele ser um lıquido consequetemente apresenta uma forte interacao entre suas partıculas
Desta forma o condensado que explica a superfluidez nao pode ser considerado estrita-
mente um CBE devido as interacoes fortes entre suas moleculas
Para estudar o fenomenos proposto por Einstein seria interessante realizar exper-
imentalmente o CBE em um gas Investigando para se obter um CBE em um sistema
gasoso varios cientistas passaram a pesquisar o desenvolvimento de tecnicas que permi-
tiriam resfriamento de um gas confinado a temperaturas extremamente baixas Porem ex-
istia o problema de conseguir um sistema que ao ser submetido a temperaturas proximas
do zero absoluto nao solidificasse Esse problema foi solucionado utilizando componentes
do grupo I da tabela periodica (Na Rb Li etc) esses atomos alcalinos sao extrema-
12
mentes convenientes de serem utilizados pois torna possıvel de se ter amostras densas
e frias alem de que quando estao na presenca de um campo magnetico forte apresenta
uma fraca repulsao de suas partıculas isso faz com que o sistema continue no estado de
gas logo sao excelentes candidatos para se conseguir gases no regime quantico ou seja
para se obter o CBE (BAGNATO 1997)
No ano de 1995 foi obtido experimentalmente o primeiro condensado de Bose-
Einstein pelo grupo de Eric Cornell e Carl Wieman (National Institute of Standars e
Technology) Eles conseguiram resfriar a 170 nk gases de rubıdio (Rb) Mais tarde mas
no mesmo ano outros dois condensados foram obtidos Um condensado com gases de
Sodio (Na) realizado por Ketterle e colaboradores (Massachusetts Institute of Tecnology
- MIT) E por ultimo o grupo do Randy Hulet (Univrsity of Colorado) realizou experimen-
tos com atomos de lıtio (Li) (GRIFFIN 1996) O experimento com lıtio e completamente
equivalente aos outros dois experimentos com rubıdio e sodio exceto de que a interacao
entre as partıculas do lıtio e uma interacao atrativa (ele tem o comprimento de espal-
hamento negativo) isto e as lt 0 O gas de lıtio e constituıdo por partıculas fermionicas
(eletrons) que se agrupam formando pares (pares de Cooper) que deixam de lado suas
caracterısticas individuais para poderem se comportar como partıculas bosonicas Os
pares de Cooper pode ser denominado como sendo a uniao do spin up com o spin dow
do eletron (uarr darr) (EISBERG 1979) Dessa forma o gas de lıtio nao pode atingir o estado
de CBE sendo esperado um outra tipo de transicao No experimento com lıtio (mais
precisamente lıtio-6) tambem foi observado o fenomeno da superfluidez verificando assim
coexistencia de fases isto e uma fase superfluıda e outra normal Este tipo de com-
portamento e esperado de acontencer de acordo com as muitas teorias existentes sobre
atomos ultrafrios Podemos chamar de superfluidez com pares quebrados (breached-pair
superfluidity) a que ocorre no gas de lıtio isto e podemos observar a existencia de spins
paralelos e antiparalelos Com a pesquisa em torno do CBE foi possıvel estudar varios
outros sistemas quanticos complexos que ate entao nao se tinha uma teoria solida que os
explicasse como e o caso do helio lıquido
13
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL
Neste capıtulo vamos fazer uma breve descricao da Condensacao de Bose-Einstein
em um gas ideal Vamos analisar um sistema constituıdos por N partıculas nao inter-
agentes completamente diluıdo que obedece a distribuicao de Bose-Einstein com uma
ocupacao ni de partıculas para cada estado de energia εi
A energia do gas no estado e definido pelo conjunto dos numeros esperados de
partıculas isto e ni = n1 n2 sera (SALINAS 1997)
E(ni) = n1ε1 + n2ε2 + =sumi
niεi (1)
Calcularemos a funcao particao do sistema pois o objetivo principal e achar as
propriedades termodinamicas do gas sendo assim
Z =sumni
eminusβEni =sumni
eminusβsumniεi rarr funcao particao (2)
Condensacao Calculando a funcao particao acharemos todas as solucoes para o sistema
Usaremos entao o ensemble Grand canonico pois os ni nao sao independentes Ao
usar esse ensemble estamos tornando os ni independentes Neste caso estamos acoplando
ao sistema um reservatorio de partıculas e cada estado e populado a partir do reservatorio
Podemos escrever a funcao particao Grand canonica como sendo
Z(T V micro) =infinsumN=0
[eβmicroN
sumni
eminusβsumi niεi
]
=infinsumN=0
[sumni
eminusβsumi ni(εiminusmicro)
]
=infinsumN=0
[sumni
prodi
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni](3)
onde micro e o potencial quımico do gas
Podemos observar que em (3) existem dois somatorios o primeiro esta somando
sobre os ni vinculado a um valor constante do numero total N e o segundo e sobre todos
os valores possıveis de N e equivalente a um somatorio sobre todos os valores de ni
14
entao podemos escrever
Z(T V micro) =sumn1n2
[(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2]
=
[sumn1
(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1
][sumn2
(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2
] (4)
mas
Zi =sumni
eminusβni(εiminusmicro) (5)
A equacao (5) e a funcao particao de um estado quantico i
Na distribuicao de Bose-Eintein ni pode ser qualquer valor ou seja n = 0 1 2
Se eminusβ(εminusmicro) lt 1 dessa forma a funcao particao de um estado i sera
Zi =sumni
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni=(1minus eminusβ(εiminusmicro)
)minus1(6)
Entao a probabilidade de obter ni partıculas no estado i e portanto
P (ni) =eminusβni(εiminusmicro)
Zi(7)
Portanto o numero medio de bosons em um estado i sera
ni =
sumniniP (ni)
Zi= kBT
part
partmicrolnZi (8)
Fazendo a diferenciacao vamos encontrar
ni =1
eβ(εiminusmicro) minus 1(9)
Dessa forma (8) e o numero medio de partıculas que ocupam um determinado
estado de energia i Tendo em maos o numero medio de partıculas em um estado quantico
i vamos obter o numero total N de partıculas que e dado por
N =nsumi=1
〈ni〉 =nsumi=1
1
exp [β (εi minus micro)]minus 1(10)
Analisando a expressao em (10) podemos observar que ao considerar o numero de
partıculas bosonicas como sendo conservado estamos impondo que o potencial quımico (micro)
e obrigatoriamente negativo ou nulo (micro le 0) isso faz com que o numero de ocupacao para
qualquer nıvel de energia seja positivo ou seja esse somatorio tem que ser convergente
E conveniente que na equacao (10) seja feito uma mudanca do somatorio para a
integral porem ao fazer essa mudanca temos que ter uma certa atencao pois o estado
fundamental possui uma energia εi = 0 e consequentemente a densidade de estado ρ(ε)
15
do estado fundamental tambem e igual a zero
A densidade de estado ρ(ε) do sistema vai representar a quantidade de estado
com energia entre ε e ε+ dε Entao ao fazermos a mudanca do somatorio para a integral
estamos deixando de lado muitas partıculas bosonicas que se encontra no estado de energia
mınima estado esse que possui aproximadamente um numero de partıculas que pode ser
igual ao proprio numero total N de partıculas do sistema isso explica porque somos
obrigados a manter a ocupacao N0 no estado fundamental Devido a isso trataremos as
partıculas que se encontra no estado fundamental separadamente isto e
N = N0 +Nε
N = N0 +
int infin0
nε ρ (ε) dε
N = N0 +
int infin0
1
eβ(εiminusmicro) minus 1ρ(ε)dε (11)
onde N0 e o numero de ocupacao no estado fundamental com εi = 0 e Nε e o numero
de ocupacao no estado excitado (SALINAS 1997)
Da equacao (11) observamos que a medida que a temperatura diminui micro cresce
podendo alcancar para uma determinada temperatura finita um valor maximo micro = 0 A
este ponto epecıfico chamamos de temperatura crıtica (Tc) pois quando a temperatura
diminui ha um crescimento macroscopico do numero de partıcula que constitui o estado
fundamental (N0) enquanto que a quantidade de partıculas existente no estato excitado
(fracao nao condensada) diminui proporcionalmente Essa ocupacao macroscopica vai
fazer com que a contribuicao estatıstica desse primeiro estado quantico degenerado seja
maior se compararmos com a parte nao condensada Isso e consequencia da quantidade
mınima de partıcula que ainda se encontra no estado excitado Portanto vamos calcular
o numero de partıcula existente no estado excitado isto e ε gt 0
Nε =
int infin0
ρ(ε)1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (12)
onde
ρ(ε) =dN
dε=
V
3π2
(2m
h2
)323
2ε12 (13)
Substituindo a equacao (13) que e a equacao da densidade de estado na equacao
16
(12) obtemos
Nε =V
3π2
(2m
h2
)32 int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32
int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (14)
Podemos agora determinar a temperatura de transicao Tc fazendo micro = 0 Vamos
obter
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32 3
2
int infin0
ε12
eβεi minus 1dε
=1
2π2
(2mkBT
h2
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (15)
No momento em que o sistema tem micro = 0 temos que fazer Nε = N isso indica
que T tem o seu valor maximo ou seja
N
V=
1
2π2
(2mkBTc
h
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (16)
Podemos extrair da equacao acima a temperatura de transicao Tc que e
Tc =2πh2
mkB
(1
2 612
N
V
)32
(17)
Dessa forma reescreveremos a equacao (17) em termos de Tc como sendo
Nε
N=
(T
Tc
)32
(18)
Consequentemente vamos obter um outro parametro muito importante que e a
fracao de partıculas bosonicas que se encontra no estado fundamental (N0N) isto e no
estado condensado em funcao de T
N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
(19)
Agora fica facil observar que a transicao que acontece a Tc pode exprimir-se pela
separacao dos comportamentos assintoticos do numero de ocupacao do estado fundamen-
tal isto e
(T gt Tc)N0
N= O
(1
N
)asymp 0 para temperaturas altas
(T lt Tc)N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
para temperaturas baixas
17
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado
de Bose-Einstein em funcao da
temperatura
Fonte SALINAS 1997 p238
Dessas expressoes podemos observar que abaixo de uma temperatura de transicao
Tc uma pequena populacao das partıculas bosonicas ocupam o nıvel de mais baixa de
energia isto e N0 rarr N Entao a medida que N cresce fica mais facil falar da temperatura
de transicao logo o numero de partıculas no estado fundamental se torna mais singular
Dessa forma para T lt Tc o estado condensado e macroscopicamente populado
entao podemos dizer que Tc e a temperatura na qual micro assume o seu valor maximo
Podemos afirmar que as expressoes acima nos permite identificar a densidade do conden-
sado com o parametro de ordem de transicao Denominamos entao que Condensacao de
Bose-Einstein e o fato de um gas ideal bosonico possuir uma temperatura de transicao
discreta Tc e tambem possuir uma porcao finita de todas as partıculas ocupando o nıvel
mais baixo de energia para T lt Tc
No proximo capıtulo estudaremos as consequencias de submetermos um gas de
Bose na presenca de interacoes Vamos analisar uma teoria extremamente importante
para o entendimento desse sistemas quanticos complexos Para isso teremos que fazer
certa aproximacoes para que o desenvolvimento e o entendimento do sistema se estabeleca
de maneira satisfatoria
18
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTERAGENTE
Neste capıtulo demonstraremos um formalismo que vai ser capaz de descrever
as propriedades do estado fundamental de um gas bosonico diluıdo a uma temperatura
extremamente baixa (GRIFFIN 1996) Aplicaremos uma aproximacao de Campo Medio
Essa aproximacao e obtida depois que encontramos o valor esperado dos operadores de
campo bosonico Portanto definiremos uma funcao de onda (parametro de ordem) que
vai ser capaz de satisfazer a equacao nao linear de Schrodinger
Observaremos tambem o que acontece com um gas de Bose quando ele e aprision-
ado por um potencial harmonico e tambem quando esse sistema e submetido a interacoes
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio)
Para uma melhor descricao do estado condensado faremos o uso da aproximacao
de campo medio que vai resultar em uma equacao de Schrodinger nao linear que recebe
o nome de Equacao de Gross-Pitaevskii (EGP) (CARRETERO-GONZALES R 2008
GRIFFIN 1996) A deducao dessa equacao de campo medio foi feita por Lev Petrovich
Pitaevskii e E P Gross Com essa aproximacao de campo medio podemos estudar com
mais profundidade as propriedades do estado condensado ou seja a equacao de Gross-
Pitaeviskii Dependente do Tempo vai descrever a dinamica do sistema E se linearizarmos
essa equacao ao redor do estado fundamental vamos conseguir descrever as excitacoes co-
letivas de baixa energia do sistema que esta submetido a uma temperatura extremamente
baixa
A aproximacao de campo medio e baseada na aproximacao de Bogoliubov A ideia
principal da teoria de Bogoliubov e de que a fracao de partıculas nao condensada sera
despresada ou seja os efeitos da parte termica (flutuacoes) serao despresados
Usando a teoria de Bogoliubov conseguiremos encontrar os estados de equilıbrio
do sistema atraves da equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
Para conseguir chegar na equacao que vai dar a descricao do estado condensado
isto e do estado fundamental vamos escrever o hamiltoniano para um sistema formado
por N partıculas bosonicas com massa m que interagem duas a duas confinadas por um
potencial externo Vext(~r)
A hamiltoniana para esse sistema e escrita em segunda quantizacao atraves dos
operadores de campo Ψdagger(~r t) Ψ(~r t) (GREINER 1996) bosons de criacao e aniquilacao
respectivamente
19
H =
intd~rΨdagger(~r t) H0 Ψ(~r t) +
1
2
intd~r d~r primeΨdagger(~r t) Ψdagger(~r prime t)V (~r minus ~r prime) Ψ(~r prime t) Ψ(~r t) (20)
onde Vext(~r) e o potencial externo (potencial de armadilha) V (~r minus ~r prime) e o potencial
interatomico e H0 = minus h2
2mnabla2 + Vext(~r)
Os operadores de campo Ψ(~r t) e Ψdagger(~r t) obedecem as seguintes regras de co-
mutacao para bosons
[Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = δ(~r minus ~r prime)
[Ψ(~r t)Ψ(~r prime t)] = 0
[Ψdagger(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = 0
O formalismo de segunda quantizacao e a melhor forma para desenvolver sistema
compostos por muitas partıculas quando estamos no contexto da mecanica quantica
(GREINER 1996)
Agora vamos escrever a equacao de Heisenberg (SAKURAI 1994) para poder
descrever o estado fundamental ou seja queremos observar a dinamica do sistema con-
densado e saber como o operador Ψ(~r t) ou Ψdagger(~r t) evolui no tempo
ihpartΨ
partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)
Calculando [Ψ(~r t)H] usando o hamiltoniano
[Ψ(~r t) H] =
[Ψ(~r t)
intd~rΨdagger(~r t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
intΨ(~r prime t)Vext(~r)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
1
2
intd~rd~r primeΨdagger(~r t)Ψdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)Ψ(~r prime t)Ψ(~r t)
](22)
20
Vamos calcular a primeira parcela
I1 =
[Ψ(~r t)
intΨdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
]I1 =
int [Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)
]d~r prime
I1 =
intδ(~r minus ~r)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
I1 =minush2
2mnabla2Ψ(~r t) (23)
Analogamente para as parcelas I2 e I3 e substituindo as tres parcelas na equacao
de Heisenberg equacao (21) obtemos
ihpartΨ
partt(~r t) =
[H0 +
intd~r primeΨdagger(~r prime t)V (~r prime minus ~r)Ψ(~r prime t)
]Ψ(~r t) (24)
A equacao (24) e uma equacao exata para o operador de campo Ψ(~r t)
Agora vamos decompor o operador de campo bosonico da seguinte forma
Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)
onde ψ representa o estado fundamental e δφ representa as flutuacoes Contudo obser-
vamos que esse operador de campo vai agir como se fosse o seu proprio valor medio no
nıvel de mais baixa energia ou seja (BARCI 2002)
ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 rarr equacao de campo medio
A equacao acima e considerada como sendo a equacao de onda do estado conden-
sado e uma equacao de onda macroscopica e uma funcao de onda quantica ou seja ela
representa um conjunto de todas partıculas bosonicas que estao no estado fundamental
isto e essas partıculas vao se deslocar coerentemente Entao δφ e uma pequena parcela
das partıculas que se encontrta fora do condensado e quando o sistema encontra-se com
uma temperatura muito abaixo de Tc essa parcela e realmente desprezada
O que foi feito acima foi descartar as flutuacoes para que se possa fazer uma
melhor analise somente da parte condensada (BARCI 2002) isto e estamos aplicando a
aproximacao de campo medio Consequentemente vamos fazer a seguinte substituicao
Ψ(~r t) minusrarr ψ(~r t)
Ψdagger(~r t) minusrarr ψdagger(~r t)
Substituindo na equacao (24) que e a equacao de movimento para o operador de
21
campo temos
ihpartψ
partt=
[H0 +
intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)
]ψ(~r t) (26)
Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer
algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito
baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica
interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo
consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos
levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas
estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial
(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos
Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial
Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)
as =m
4πh2
intd~r V (~r minus ~rprime)
onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento
Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)
ihpartψ(~r t)
partt=
[minush2
2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2
]ψ(~r t) (27)
A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo
(EGPDT)
Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)
onde N e o numero total de partıcula do condensado
Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a
solucao estacionaria vamos considerar
ψ(~r t) = exp(minusimicro
ht)ψ0(~r) (29)
onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT
Eq (27) obtemos[minus h2
2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
SUMARIO
INTRODUCAO 10
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL 13
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTER-
AGENTE 18
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio) 18
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica 22
22 Interacoes repulsivas e atrativas 26
23 Aproximacao de Thomas-Fermi 27
24 Teoria de Bogoliubov 27
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes 28
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE 32
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes 32
32 O cenario quench 34
33 Equacoes auto-consistentes 35
34 Integracao numerica 37
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE 40
41 Flutuacoes 41
42 Equacoes auto-consistentes 42
CONCLUSAO 44
REFERENCIAS 45
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio 48
10
INTRODUCAO
Em 1925 Albert Einstein inspirado pelos trabalhos de N S Bose descreveu o
fenomeno hoje chamado de Condensacao de Bose-Einstein (CBE) Einstein pode obser-
var que existiria uma mudanca de fase em um gas ideal quando submetido a temperaturas
relativamente baixas(GRIFFIN 1996)
Podemos definir a Condensacao de Bose-Einstein como sendo a convergencia das
partıculas constituintes de um gas ideal bosonico para o primeiro estado quantico desse
sistema Desta forma no estado condensado um numero macroscopico de partıculas ocu-
pam o estado de mais baixa energia (estado com momento nulo) quando submetido a uma
temperatura extremamente baixa Nesta circunstancia as propriedades termodinamicas
do sistema irao sofrer alteracoes o que caracteriza uma transicao de fase
A medida que baixamos a temperatura do sistema as partıculas bosonicas que
estao neste estado quantico degenerado (estado sem energia cinetica) poderao ser tratadas
como pacotes de onda com o comprimento de onda de de Broglie λ = (2πhmkBT )12
Dessa maneira a transicao de fase acontece devido ao fato do comprimento de onda
termico (que e o comprimento de onda em mecanica quantica de uma partıcula com energia
cinetica da ordem O(kBT )) ficar igual a distancia media entre as partıculas bosonicas
Esse comprimento de onda termico aumenta a medida que baixamos a temperatura
do sistema Sendo assim a funcao de onda do estado condensado e uma funcao de onda
macroscopica ou seja todas as partıculas deslocam-se coerentemente visto que todas tem
a mesma funcao de onda ψ0 (BAGNATO 1997)
Portanto a ocupacao macroscopica do nıvel fundamental de um gas de Bose ho-
mogeneo e nao interagente e denominada de condensacao de Bose-Einstein
Vamos observar tres situacoes que ocorrem com o sistema
1 Para uma temperatura elevada isto e T gt Tc as partıculas bosonicas obedecem a
estatıstica de Boltzmann comportando-se classicamente
2 Quando a temperatura esta perto de Tc podemos observar um comportamento de
dois fluıdos uma fracao condensada e outra parte termica (flutuacoes)
3 E quando so tem a fracao condensada desaparecendo a parte termica isto e T = 0
Nesse momento todas as partıculas ficarao alojadas no nıvel de mais baixa energia
Esse nıvel quantico de mais baixa energia permanece ocupado por um numero N0
de partıculas bosonicas ate o instante em que a temperatura do sistema comecar a
subir ate atingir Tc
Contudo para se obter um CBE e preciso resfriar um gas extremamente diluıdo
constituıdo por um grande numero de partıculas
11
Figura 1 - Fases do sistema
Fonte MASSACHUSETTS
INSTITUTE OF
TECHNOLOGY 2010
O primeiro sistem fısico que ate bem pouco tempo conseguia obter caracterısticas
proximas de um condensado de Bose-Einstein era o 4He Ja foi constatado que a transicao
de fase que acontece no 4He e uma manifestacao que acompanha o condensado de Bose-
Einstein ou seja o CBE nos da explicacoes para o surgimento de uma mudanca de fase
no 4He (GRIFFIN 1996)
Dessa forma a funcao de onda macroscopica (que e uma funcao de onda quantica)
do condensado e a base de uma explicacao qualitativa da superfluidez O CBE reproduz
algumas propriedades essenciais do helio-4 liquefeito porem em detalhes o CBE conduz a
resultados quantitativamente errados A ligacao entre o CBE e o 4He foi primeiramente
estabelecida por London O 4He lıquido possui caracterısticas marcantes devido ao fato
dele ser um lıquido consequetemente apresenta uma forte interacao entre suas partıculas
Desta forma o condensado que explica a superfluidez nao pode ser considerado estrita-
mente um CBE devido as interacoes fortes entre suas moleculas
Para estudar o fenomenos proposto por Einstein seria interessante realizar exper-
imentalmente o CBE em um gas Investigando para se obter um CBE em um sistema
gasoso varios cientistas passaram a pesquisar o desenvolvimento de tecnicas que permi-
tiriam resfriamento de um gas confinado a temperaturas extremamente baixas Porem ex-
istia o problema de conseguir um sistema que ao ser submetido a temperaturas proximas
do zero absoluto nao solidificasse Esse problema foi solucionado utilizando componentes
do grupo I da tabela periodica (Na Rb Li etc) esses atomos alcalinos sao extrema-
12
mentes convenientes de serem utilizados pois torna possıvel de se ter amostras densas
e frias alem de que quando estao na presenca de um campo magnetico forte apresenta
uma fraca repulsao de suas partıculas isso faz com que o sistema continue no estado de
gas logo sao excelentes candidatos para se conseguir gases no regime quantico ou seja
para se obter o CBE (BAGNATO 1997)
No ano de 1995 foi obtido experimentalmente o primeiro condensado de Bose-
Einstein pelo grupo de Eric Cornell e Carl Wieman (National Institute of Standars e
Technology) Eles conseguiram resfriar a 170 nk gases de rubıdio (Rb) Mais tarde mas
no mesmo ano outros dois condensados foram obtidos Um condensado com gases de
Sodio (Na) realizado por Ketterle e colaboradores (Massachusetts Institute of Tecnology
- MIT) E por ultimo o grupo do Randy Hulet (Univrsity of Colorado) realizou experimen-
tos com atomos de lıtio (Li) (GRIFFIN 1996) O experimento com lıtio e completamente
equivalente aos outros dois experimentos com rubıdio e sodio exceto de que a interacao
entre as partıculas do lıtio e uma interacao atrativa (ele tem o comprimento de espal-
hamento negativo) isto e as lt 0 O gas de lıtio e constituıdo por partıculas fermionicas
(eletrons) que se agrupam formando pares (pares de Cooper) que deixam de lado suas
caracterısticas individuais para poderem se comportar como partıculas bosonicas Os
pares de Cooper pode ser denominado como sendo a uniao do spin up com o spin dow
do eletron (uarr darr) (EISBERG 1979) Dessa forma o gas de lıtio nao pode atingir o estado
de CBE sendo esperado um outra tipo de transicao No experimento com lıtio (mais
precisamente lıtio-6) tambem foi observado o fenomeno da superfluidez verificando assim
coexistencia de fases isto e uma fase superfluıda e outra normal Este tipo de com-
portamento e esperado de acontencer de acordo com as muitas teorias existentes sobre
atomos ultrafrios Podemos chamar de superfluidez com pares quebrados (breached-pair
superfluidity) a que ocorre no gas de lıtio isto e podemos observar a existencia de spins
paralelos e antiparalelos Com a pesquisa em torno do CBE foi possıvel estudar varios
outros sistemas quanticos complexos que ate entao nao se tinha uma teoria solida que os
explicasse como e o caso do helio lıquido
13
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL
Neste capıtulo vamos fazer uma breve descricao da Condensacao de Bose-Einstein
em um gas ideal Vamos analisar um sistema constituıdos por N partıculas nao inter-
agentes completamente diluıdo que obedece a distribuicao de Bose-Einstein com uma
ocupacao ni de partıculas para cada estado de energia εi
A energia do gas no estado e definido pelo conjunto dos numeros esperados de
partıculas isto e ni = n1 n2 sera (SALINAS 1997)
E(ni) = n1ε1 + n2ε2 + =sumi
niεi (1)
Calcularemos a funcao particao do sistema pois o objetivo principal e achar as
propriedades termodinamicas do gas sendo assim
Z =sumni
eminusβEni =sumni
eminusβsumniεi rarr funcao particao (2)
Condensacao Calculando a funcao particao acharemos todas as solucoes para o sistema
Usaremos entao o ensemble Grand canonico pois os ni nao sao independentes Ao
usar esse ensemble estamos tornando os ni independentes Neste caso estamos acoplando
ao sistema um reservatorio de partıculas e cada estado e populado a partir do reservatorio
Podemos escrever a funcao particao Grand canonica como sendo
Z(T V micro) =infinsumN=0
[eβmicroN
sumni
eminusβsumi niεi
]
=infinsumN=0
[sumni
eminusβsumi ni(εiminusmicro)
]
=infinsumN=0
[sumni
prodi
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni](3)
onde micro e o potencial quımico do gas
Podemos observar que em (3) existem dois somatorios o primeiro esta somando
sobre os ni vinculado a um valor constante do numero total N e o segundo e sobre todos
os valores possıveis de N e equivalente a um somatorio sobre todos os valores de ni
14
entao podemos escrever
Z(T V micro) =sumn1n2
[(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2]
=
[sumn1
(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1
][sumn2
(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2
] (4)
mas
Zi =sumni
eminusβni(εiminusmicro) (5)
A equacao (5) e a funcao particao de um estado quantico i
Na distribuicao de Bose-Eintein ni pode ser qualquer valor ou seja n = 0 1 2
Se eminusβ(εminusmicro) lt 1 dessa forma a funcao particao de um estado i sera
Zi =sumni
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni=(1minus eminusβ(εiminusmicro)
)minus1(6)
Entao a probabilidade de obter ni partıculas no estado i e portanto
P (ni) =eminusβni(εiminusmicro)
Zi(7)
Portanto o numero medio de bosons em um estado i sera
ni =
sumniniP (ni)
Zi= kBT
part
partmicrolnZi (8)
Fazendo a diferenciacao vamos encontrar
ni =1
eβ(εiminusmicro) minus 1(9)
Dessa forma (8) e o numero medio de partıculas que ocupam um determinado
estado de energia i Tendo em maos o numero medio de partıculas em um estado quantico
i vamos obter o numero total N de partıculas que e dado por
N =nsumi=1
〈ni〉 =nsumi=1
1
exp [β (εi minus micro)]minus 1(10)
Analisando a expressao em (10) podemos observar que ao considerar o numero de
partıculas bosonicas como sendo conservado estamos impondo que o potencial quımico (micro)
e obrigatoriamente negativo ou nulo (micro le 0) isso faz com que o numero de ocupacao para
qualquer nıvel de energia seja positivo ou seja esse somatorio tem que ser convergente
E conveniente que na equacao (10) seja feito uma mudanca do somatorio para a
integral porem ao fazer essa mudanca temos que ter uma certa atencao pois o estado
fundamental possui uma energia εi = 0 e consequentemente a densidade de estado ρ(ε)
15
do estado fundamental tambem e igual a zero
A densidade de estado ρ(ε) do sistema vai representar a quantidade de estado
com energia entre ε e ε+ dε Entao ao fazermos a mudanca do somatorio para a integral
estamos deixando de lado muitas partıculas bosonicas que se encontra no estado de energia
mınima estado esse que possui aproximadamente um numero de partıculas que pode ser
igual ao proprio numero total N de partıculas do sistema isso explica porque somos
obrigados a manter a ocupacao N0 no estado fundamental Devido a isso trataremos as
partıculas que se encontra no estado fundamental separadamente isto e
N = N0 +Nε
N = N0 +
int infin0
nε ρ (ε) dε
N = N0 +
int infin0
1
eβ(εiminusmicro) minus 1ρ(ε)dε (11)
onde N0 e o numero de ocupacao no estado fundamental com εi = 0 e Nε e o numero
de ocupacao no estado excitado (SALINAS 1997)
Da equacao (11) observamos que a medida que a temperatura diminui micro cresce
podendo alcancar para uma determinada temperatura finita um valor maximo micro = 0 A
este ponto epecıfico chamamos de temperatura crıtica (Tc) pois quando a temperatura
diminui ha um crescimento macroscopico do numero de partıcula que constitui o estado
fundamental (N0) enquanto que a quantidade de partıculas existente no estato excitado
(fracao nao condensada) diminui proporcionalmente Essa ocupacao macroscopica vai
fazer com que a contribuicao estatıstica desse primeiro estado quantico degenerado seja
maior se compararmos com a parte nao condensada Isso e consequencia da quantidade
mınima de partıcula que ainda se encontra no estado excitado Portanto vamos calcular
o numero de partıcula existente no estado excitado isto e ε gt 0
Nε =
int infin0
ρ(ε)1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (12)
onde
ρ(ε) =dN
dε=
V
3π2
(2m
h2
)323
2ε12 (13)
Substituindo a equacao (13) que e a equacao da densidade de estado na equacao
16
(12) obtemos
Nε =V
3π2
(2m
h2
)32 int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32
int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (14)
Podemos agora determinar a temperatura de transicao Tc fazendo micro = 0 Vamos
obter
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32 3
2
int infin0
ε12
eβεi minus 1dε
=1
2π2
(2mkBT
h2
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (15)
No momento em que o sistema tem micro = 0 temos que fazer Nε = N isso indica
que T tem o seu valor maximo ou seja
N
V=
1
2π2
(2mkBTc
h
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (16)
Podemos extrair da equacao acima a temperatura de transicao Tc que e
Tc =2πh2
mkB
(1
2 612
N
V
)32
(17)
Dessa forma reescreveremos a equacao (17) em termos de Tc como sendo
Nε
N=
(T
Tc
)32
(18)
Consequentemente vamos obter um outro parametro muito importante que e a
fracao de partıculas bosonicas que se encontra no estado fundamental (N0N) isto e no
estado condensado em funcao de T
N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
(19)
Agora fica facil observar que a transicao que acontece a Tc pode exprimir-se pela
separacao dos comportamentos assintoticos do numero de ocupacao do estado fundamen-
tal isto e
(T gt Tc)N0
N= O
(1
N
)asymp 0 para temperaturas altas
(T lt Tc)N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
para temperaturas baixas
17
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado
de Bose-Einstein em funcao da
temperatura
Fonte SALINAS 1997 p238
Dessas expressoes podemos observar que abaixo de uma temperatura de transicao
Tc uma pequena populacao das partıculas bosonicas ocupam o nıvel de mais baixa de
energia isto e N0 rarr N Entao a medida que N cresce fica mais facil falar da temperatura
de transicao logo o numero de partıculas no estado fundamental se torna mais singular
Dessa forma para T lt Tc o estado condensado e macroscopicamente populado
entao podemos dizer que Tc e a temperatura na qual micro assume o seu valor maximo
Podemos afirmar que as expressoes acima nos permite identificar a densidade do conden-
sado com o parametro de ordem de transicao Denominamos entao que Condensacao de
Bose-Einstein e o fato de um gas ideal bosonico possuir uma temperatura de transicao
discreta Tc e tambem possuir uma porcao finita de todas as partıculas ocupando o nıvel
mais baixo de energia para T lt Tc
No proximo capıtulo estudaremos as consequencias de submetermos um gas de
Bose na presenca de interacoes Vamos analisar uma teoria extremamente importante
para o entendimento desse sistemas quanticos complexos Para isso teremos que fazer
certa aproximacoes para que o desenvolvimento e o entendimento do sistema se estabeleca
de maneira satisfatoria
18
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTERAGENTE
Neste capıtulo demonstraremos um formalismo que vai ser capaz de descrever
as propriedades do estado fundamental de um gas bosonico diluıdo a uma temperatura
extremamente baixa (GRIFFIN 1996) Aplicaremos uma aproximacao de Campo Medio
Essa aproximacao e obtida depois que encontramos o valor esperado dos operadores de
campo bosonico Portanto definiremos uma funcao de onda (parametro de ordem) que
vai ser capaz de satisfazer a equacao nao linear de Schrodinger
Observaremos tambem o que acontece com um gas de Bose quando ele e aprision-
ado por um potencial harmonico e tambem quando esse sistema e submetido a interacoes
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio)
Para uma melhor descricao do estado condensado faremos o uso da aproximacao
de campo medio que vai resultar em uma equacao de Schrodinger nao linear que recebe
o nome de Equacao de Gross-Pitaevskii (EGP) (CARRETERO-GONZALES R 2008
GRIFFIN 1996) A deducao dessa equacao de campo medio foi feita por Lev Petrovich
Pitaevskii e E P Gross Com essa aproximacao de campo medio podemos estudar com
mais profundidade as propriedades do estado condensado ou seja a equacao de Gross-
Pitaeviskii Dependente do Tempo vai descrever a dinamica do sistema E se linearizarmos
essa equacao ao redor do estado fundamental vamos conseguir descrever as excitacoes co-
letivas de baixa energia do sistema que esta submetido a uma temperatura extremamente
baixa
A aproximacao de campo medio e baseada na aproximacao de Bogoliubov A ideia
principal da teoria de Bogoliubov e de que a fracao de partıculas nao condensada sera
despresada ou seja os efeitos da parte termica (flutuacoes) serao despresados
Usando a teoria de Bogoliubov conseguiremos encontrar os estados de equilıbrio
do sistema atraves da equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
Para conseguir chegar na equacao que vai dar a descricao do estado condensado
isto e do estado fundamental vamos escrever o hamiltoniano para um sistema formado
por N partıculas bosonicas com massa m que interagem duas a duas confinadas por um
potencial externo Vext(~r)
A hamiltoniana para esse sistema e escrita em segunda quantizacao atraves dos
operadores de campo Ψdagger(~r t) Ψ(~r t) (GREINER 1996) bosons de criacao e aniquilacao
respectivamente
19
H =
intd~rΨdagger(~r t) H0 Ψ(~r t) +
1
2
intd~r d~r primeΨdagger(~r t) Ψdagger(~r prime t)V (~r minus ~r prime) Ψ(~r prime t) Ψ(~r t) (20)
onde Vext(~r) e o potencial externo (potencial de armadilha) V (~r minus ~r prime) e o potencial
interatomico e H0 = minus h2
2mnabla2 + Vext(~r)
Os operadores de campo Ψ(~r t) e Ψdagger(~r t) obedecem as seguintes regras de co-
mutacao para bosons
[Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = δ(~r minus ~r prime)
[Ψ(~r t)Ψ(~r prime t)] = 0
[Ψdagger(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = 0
O formalismo de segunda quantizacao e a melhor forma para desenvolver sistema
compostos por muitas partıculas quando estamos no contexto da mecanica quantica
(GREINER 1996)
Agora vamos escrever a equacao de Heisenberg (SAKURAI 1994) para poder
descrever o estado fundamental ou seja queremos observar a dinamica do sistema con-
densado e saber como o operador Ψ(~r t) ou Ψdagger(~r t) evolui no tempo
ihpartΨ
partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)
Calculando [Ψ(~r t)H] usando o hamiltoniano
[Ψ(~r t) H] =
[Ψ(~r t)
intd~rΨdagger(~r t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
intΨ(~r prime t)Vext(~r)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
1
2
intd~rd~r primeΨdagger(~r t)Ψdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)Ψ(~r prime t)Ψ(~r t)
](22)
20
Vamos calcular a primeira parcela
I1 =
[Ψ(~r t)
intΨdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
]I1 =
int [Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)
]d~r prime
I1 =
intδ(~r minus ~r)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
I1 =minush2
2mnabla2Ψ(~r t) (23)
Analogamente para as parcelas I2 e I3 e substituindo as tres parcelas na equacao
de Heisenberg equacao (21) obtemos
ihpartΨ
partt(~r t) =
[H0 +
intd~r primeΨdagger(~r prime t)V (~r prime minus ~r)Ψ(~r prime t)
]Ψ(~r t) (24)
A equacao (24) e uma equacao exata para o operador de campo Ψ(~r t)
Agora vamos decompor o operador de campo bosonico da seguinte forma
Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)
onde ψ representa o estado fundamental e δφ representa as flutuacoes Contudo obser-
vamos que esse operador de campo vai agir como se fosse o seu proprio valor medio no
nıvel de mais baixa energia ou seja (BARCI 2002)
ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 rarr equacao de campo medio
A equacao acima e considerada como sendo a equacao de onda do estado conden-
sado e uma equacao de onda macroscopica e uma funcao de onda quantica ou seja ela
representa um conjunto de todas partıculas bosonicas que estao no estado fundamental
isto e essas partıculas vao se deslocar coerentemente Entao δφ e uma pequena parcela
das partıculas que se encontrta fora do condensado e quando o sistema encontra-se com
uma temperatura muito abaixo de Tc essa parcela e realmente desprezada
O que foi feito acima foi descartar as flutuacoes para que se possa fazer uma
melhor analise somente da parte condensada (BARCI 2002) isto e estamos aplicando a
aproximacao de campo medio Consequentemente vamos fazer a seguinte substituicao
Ψ(~r t) minusrarr ψ(~r t)
Ψdagger(~r t) minusrarr ψdagger(~r t)
Substituindo na equacao (24) que e a equacao de movimento para o operador de
21
campo temos
ihpartψ
partt=
[H0 +
intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)
]ψ(~r t) (26)
Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer
algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito
baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica
interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo
consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos
levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas
estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial
(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos
Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial
Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)
as =m
4πh2
intd~r V (~r minus ~rprime)
onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento
Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)
ihpartψ(~r t)
partt=
[minush2
2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2
]ψ(~r t) (27)
A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo
(EGPDT)
Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)
onde N e o numero total de partıcula do condensado
Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a
solucao estacionaria vamos considerar
ψ(~r t) = exp(minusimicro
ht)ψ0(~r) (29)
onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT
Eq (27) obtemos[minus h2
2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
10
INTRODUCAO
Em 1925 Albert Einstein inspirado pelos trabalhos de N S Bose descreveu o
fenomeno hoje chamado de Condensacao de Bose-Einstein (CBE) Einstein pode obser-
var que existiria uma mudanca de fase em um gas ideal quando submetido a temperaturas
relativamente baixas(GRIFFIN 1996)
Podemos definir a Condensacao de Bose-Einstein como sendo a convergencia das
partıculas constituintes de um gas ideal bosonico para o primeiro estado quantico desse
sistema Desta forma no estado condensado um numero macroscopico de partıculas ocu-
pam o estado de mais baixa energia (estado com momento nulo) quando submetido a uma
temperatura extremamente baixa Nesta circunstancia as propriedades termodinamicas
do sistema irao sofrer alteracoes o que caracteriza uma transicao de fase
A medida que baixamos a temperatura do sistema as partıculas bosonicas que
estao neste estado quantico degenerado (estado sem energia cinetica) poderao ser tratadas
como pacotes de onda com o comprimento de onda de de Broglie λ = (2πhmkBT )12
Dessa maneira a transicao de fase acontece devido ao fato do comprimento de onda
termico (que e o comprimento de onda em mecanica quantica de uma partıcula com energia
cinetica da ordem O(kBT )) ficar igual a distancia media entre as partıculas bosonicas
Esse comprimento de onda termico aumenta a medida que baixamos a temperatura
do sistema Sendo assim a funcao de onda do estado condensado e uma funcao de onda
macroscopica ou seja todas as partıculas deslocam-se coerentemente visto que todas tem
a mesma funcao de onda ψ0 (BAGNATO 1997)
Portanto a ocupacao macroscopica do nıvel fundamental de um gas de Bose ho-
mogeneo e nao interagente e denominada de condensacao de Bose-Einstein
Vamos observar tres situacoes que ocorrem com o sistema
1 Para uma temperatura elevada isto e T gt Tc as partıculas bosonicas obedecem a
estatıstica de Boltzmann comportando-se classicamente
2 Quando a temperatura esta perto de Tc podemos observar um comportamento de
dois fluıdos uma fracao condensada e outra parte termica (flutuacoes)
3 E quando so tem a fracao condensada desaparecendo a parte termica isto e T = 0
Nesse momento todas as partıculas ficarao alojadas no nıvel de mais baixa energia
Esse nıvel quantico de mais baixa energia permanece ocupado por um numero N0
de partıculas bosonicas ate o instante em que a temperatura do sistema comecar a
subir ate atingir Tc
Contudo para se obter um CBE e preciso resfriar um gas extremamente diluıdo
constituıdo por um grande numero de partıculas
11
Figura 1 - Fases do sistema
Fonte MASSACHUSETTS
INSTITUTE OF
TECHNOLOGY 2010
O primeiro sistem fısico que ate bem pouco tempo conseguia obter caracterısticas
proximas de um condensado de Bose-Einstein era o 4He Ja foi constatado que a transicao
de fase que acontece no 4He e uma manifestacao que acompanha o condensado de Bose-
Einstein ou seja o CBE nos da explicacoes para o surgimento de uma mudanca de fase
no 4He (GRIFFIN 1996)
Dessa forma a funcao de onda macroscopica (que e uma funcao de onda quantica)
do condensado e a base de uma explicacao qualitativa da superfluidez O CBE reproduz
algumas propriedades essenciais do helio-4 liquefeito porem em detalhes o CBE conduz a
resultados quantitativamente errados A ligacao entre o CBE e o 4He foi primeiramente
estabelecida por London O 4He lıquido possui caracterısticas marcantes devido ao fato
dele ser um lıquido consequetemente apresenta uma forte interacao entre suas partıculas
Desta forma o condensado que explica a superfluidez nao pode ser considerado estrita-
mente um CBE devido as interacoes fortes entre suas moleculas
Para estudar o fenomenos proposto por Einstein seria interessante realizar exper-
imentalmente o CBE em um gas Investigando para se obter um CBE em um sistema
gasoso varios cientistas passaram a pesquisar o desenvolvimento de tecnicas que permi-
tiriam resfriamento de um gas confinado a temperaturas extremamente baixas Porem ex-
istia o problema de conseguir um sistema que ao ser submetido a temperaturas proximas
do zero absoluto nao solidificasse Esse problema foi solucionado utilizando componentes
do grupo I da tabela periodica (Na Rb Li etc) esses atomos alcalinos sao extrema-
12
mentes convenientes de serem utilizados pois torna possıvel de se ter amostras densas
e frias alem de que quando estao na presenca de um campo magnetico forte apresenta
uma fraca repulsao de suas partıculas isso faz com que o sistema continue no estado de
gas logo sao excelentes candidatos para se conseguir gases no regime quantico ou seja
para se obter o CBE (BAGNATO 1997)
No ano de 1995 foi obtido experimentalmente o primeiro condensado de Bose-
Einstein pelo grupo de Eric Cornell e Carl Wieman (National Institute of Standars e
Technology) Eles conseguiram resfriar a 170 nk gases de rubıdio (Rb) Mais tarde mas
no mesmo ano outros dois condensados foram obtidos Um condensado com gases de
Sodio (Na) realizado por Ketterle e colaboradores (Massachusetts Institute of Tecnology
- MIT) E por ultimo o grupo do Randy Hulet (Univrsity of Colorado) realizou experimen-
tos com atomos de lıtio (Li) (GRIFFIN 1996) O experimento com lıtio e completamente
equivalente aos outros dois experimentos com rubıdio e sodio exceto de que a interacao
entre as partıculas do lıtio e uma interacao atrativa (ele tem o comprimento de espal-
hamento negativo) isto e as lt 0 O gas de lıtio e constituıdo por partıculas fermionicas
(eletrons) que se agrupam formando pares (pares de Cooper) que deixam de lado suas
caracterısticas individuais para poderem se comportar como partıculas bosonicas Os
pares de Cooper pode ser denominado como sendo a uniao do spin up com o spin dow
do eletron (uarr darr) (EISBERG 1979) Dessa forma o gas de lıtio nao pode atingir o estado
de CBE sendo esperado um outra tipo de transicao No experimento com lıtio (mais
precisamente lıtio-6) tambem foi observado o fenomeno da superfluidez verificando assim
coexistencia de fases isto e uma fase superfluıda e outra normal Este tipo de com-
portamento e esperado de acontencer de acordo com as muitas teorias existentes sobre
atomos ultrafrios Podemos chamar de superfluidez com pares quebrados (breached-pair
superfluidity) a que ocorre no gas de lıtio isto e podemos observar a existencia de spins
paralelos e antiparalelos Com a pesquisa em torno do CBE foi possıvel estudar varios
outros sistemas quanticos complexos que ate entao nao se tinha uma teoria solida que os
explicasse como e o caso do helio lıquido
13
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL
Neste capıtulo vamos fazer uma breve descricao da Condensacao de Bose-Einstein
em um gas ideal Vamos analisar um sistema constituıdos por N partıculas nao inter-
agentes completamente diluıdo que obedece a distribuicao de Bose-Einstein com uma
ocupacao ni de partıculas para cada estado de energia εi
A energia do gas no estado e definido pelo conjunto dos numeros esperados de
partıculas isto e ni = n1 n2 sera (SALINAS 1997)
E(ni) = n1ε1 + n2ε2 + =sumi
niεi (1)
Calcularemos a funcao particao do sistema pois o objetivo principal e achar as
propriedades termodinamicas do gas sendo assim
Z =sumni
eminusβEni =sumni
eminusβsumniεi rarr funcao particao (2)
Condensacao Calculando a funcao particao acharemos todas as solucoes para o sistema
Usaremos entao o ensemble Grand canonico pois os ni nao sao independentes Ao
usar esse ensemble estamos tornando os ni independentes Neste caso estamos acoplando
ao sistema um reservatorio de partıculas e cada estado e populado a partir do reservatorio
Podemos escrever a funcao particao Grand canonica como sendo
Z(T V micro) =infinsumN=0
[eβmicroN
sumni
eminusβsumi niεi
]
=infinsumN=0
[sumni
eminusβsumi ni(εiminusmicro)
]
=infinsumN=0
[sumni
prodi
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni](3)
onde micro e o potencial quımico do gas
Podemos observar que em (3) existem dois somatorios o primeiro esta somando
sobre os ni vinculado a um valor constante do numero total N e o segundo e sobre todos
os valores possıveis de N e equivalente a um somatorio sobre todos os valores de ni
14
entao podemos escrever
Z(T V micro) =sumn1n2
[(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2]
=
[sumn1
(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1
][sumn2
(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2
] (4)
mas
Zi =sumni
eminusβni(εiminusmicro) (5)
A equacao (5) e a funcao particao de um estado quantico i
Na distribuicao de Bose-Eintein ni pode ser qualquer valor ou seja n = 0 1 2
Se eminusβ(εminusmicro) lt 1 dessa forma a funcao particao de um estado i sera
Zi =sumni
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni=(1minus eminusβ(εiminusmicro)
)minus1(6)
Entao a probabilidade de obter ni partıculas no estado i e portanto
P (ni) =eminusβni(εiminusmicro)
Zi(7)
Portanto o numero medio de bosons em um estado i sera
ni =
sumniniP (ni)
Zi= kBT
part
partmicrolnZi (8)
Fazendo a diferenciacao vamos encontrar
ni =1
eβ(εiminusmicro) minus 1(9)
Dessa forma (8) e o numero medio de partıculas que ocupam um determinado
estado de energia i Tendo em maos o numero medio de partıculas em um estado quantico
i vamos obter o numero total N de partıculas que e dado por
N =nsumi=1
〈ni〉 =nsumi=1
1
exp [β (εi minus micro)]minus 1(10)
Analisando a expressao em (10) podemos observar que ao considerar o numero de
partıculas bosonicas como sendo conservado estamos impondo que o potencial quımico (micro)
e obrigatoriamente negativo ou nulo (micro le 0) isso faz com que o numero de ocupacao para
qualquer nıvel de energia seja positivo ou seja esse somatorio tem que ser convergente
E conveniente que na equacao (10) seja feito uma mudanca do somatorio para a
integral porem ao fazer essa mudanca temos que ter uma certa atencao pois o estado
fundamental possui uma energia εi = 0 e consequentemente a densidade de estado ρ(ε)
15
do estado fundamental tambem e igual a zero
A densidade de estado ρ(ε) do sistema vai representar a quantidade de estado
com energia entre ε e ε+ dε Entao ao fazermos a mudanca do somatorio para a integral
estamos deixando de lado muitas partıculas bosonicas que se encontra no estado de energia
mınima estado esse que possui aproximadamente um numero de partıculas que pode ser
igual ao proprio numero total N de partıculas do sistema isso explica porque somos
obrigados a manter a ocupacao N0 no estado fundamental Devido a isso trataremos as
partıculas que se encontra no estado fundamental separadamente isto e
N = N0 +Nε
N = N0 +
int infin0
nε ρ (ε) dε
N = N0 +
int infin0
1
eβ(εiminusmicro) minus 1ρ(ε)dε (11)
onde N0 e o numero de ocupacao no estado fundamental com εi = 0 e Nε e o numero
de ocupacao no estado excitado (SALINAS 1997)
Da equacao (11) observamos que a medida que a temperatura diminui micro cresce
podendo alcancar para uma determinada temperatura finita um valor maximo micro = 0 A
este ponto epecıfico chamamos de temperatura crıtica (Tc) pois quando a temperatura
diminui ha um crescimento macroscopico do numero de partıcula que constitui o estado
fundamental (N0) enquanto que a quantidade de partıculas existente no estato excitado
(fracao nao condensada) diminui proporcionalmente Essa ocupacao macroscopica vai
fazer com que a contribuicao estatıstica desse primeiro estado quantico degenerado seja
maior se compararmos com a parte nao condensada Isso e consequencia da quantidade
mınima de partıcula que ainda se encontra no estado excitado Portanto vamos calcular
o numero de partıcula existente no estado excitado isto e ε gt 0
Nε =
int infin0
ρ(ε)1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (12)
onde
ρ(ε) =dN
dε=
V
3π2
(2m
h2
)323
2ε12 (13)
Substituindo a equacao (13) que e a equacao da densidade de estado na equacao
16
(12) obtemos
Nε =V
3π2
(2m
h2
)32 int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32
int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (14)
Podemos agora determinar a temperatura de transicao Tc fazendo micro = 0 Vamos
obter
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32 3
2
int infin0
ε12
eβεi minus 1dε
=1
2π2
(2mkBT
h2
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (15)
No momento em que o sistema tem micro = 0 temos que fazer Nε = N isso indica
que T tem o seu valor maximo ou seja
N
V=
1
2π2
(2mkBTc
h
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (16)
Podemos extrair da equacao acima a temperatura de transicao Tc que e
Tc =2πh2
mkB
(1
2 612
N
V
)32
(17)
Dessa forma reescreveremos a equacao (17) em termos de Tc como sendo
Nε
N=
(T
Tc
)32
(18)
Consequentemente vamos obter um outro parametro muito importante que e a
fracao de partıculas bosonicas que se encontra no estado fundamental (N0N) isto e no
estado condensado em funcao de T
N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
(19)
Agora fica facil observar que a transicao que acontece a Tc pode exprimir-se pela
separacao dos comportamentos assintoticos do numero de ocupacao do estado fundamen-
tal isto e
(T gt Tc)N0
N= O
(1
N
)asymp 0 para temperaturas altas
(T lt Tc)N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
para temperaturas baixas
17
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado
de Bose-Einstein em funcao da
temperatura
Fonte SALINAS 1997 p238
Dessas expressoes podemos observar que abaixo de uma temperatura de transicao
Tc uma pequena populacao das partıculas bosonicas ocupam o nıvel de mais baixa de
energia isto e N0 rarr N Entao a medida que N cresce fica mais facil falar da temperatura
de transicao logo o numero de partıculas no estado fundamental se torna mais singular
Dessa forma para T lt Tc o estado condensado e macroscopicamente populado
entao podemos dizer que Tc e a temperatura na qual micro assume o seu valor maximo
Podemos afirmar que as expressoes acima nos permite identificar a densidade do conden-
sado com o parametro de ordem de transicao Denominamos entao que Condensacao de
Bose-Einstein e o fato de um gas ideal bosonico possuir uma temperatura de transicao
discreta Tc e tambem possuir uma porcao finita de todas as partıculas ocupando o nıvel
mais baixo de energia para T lt Tc
No proximo capıtulo estudaremos as consequencias de submetermos um gas de
Bose na presenca de interacoes Vamos analisar uma teoria extremamente importante
para o entendimento desse sistemas quanticos complexos Para isso teremos que fazer
certa aproximacoes para que o desenvolvimento e o entendimento do sistema se estabeleca
de maneira satisfatoria
18
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTERAGENTE
Neste capıtulo demonstraremos um formalismo que vai ser capaz de descrever
as propriedades do estado fundamental de um gas bosonico diluıdo a uma temperatura
extremamente baixa (GRIFFIN 1996) Aplicaremos uma aproximacao de Campo Medio
Essa aproximacao e obtida depois que encontramos o valor esperado dos operadores de
campo bosonico Portanto definiremos uma funcao de onda (parametro de ordem) que
vai ser capaz de satisfazer a equacao nao linear de Schrodinger
Observaremos tambem o que acontece com um gas de Bose quando ele e aprision-
ado por um potencial harmonico e tambem quando esse sistema e submetido a interacoes
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio)
Para uma melhor descricao do estado condensado faremos o uso da aproximacao
de campo medio que vai resultar em uma equacao de Schrodinger nao linear que recebe
o nome de Equacao de Gross-Pitaevskii (EGP) (CARRETERO-GONZALES R 2008
GRIFFIN 1996) A deducao dessa equacao de campo medio foi feita por Lev Petrovich
Pitaevskii e E P Gross Com essa aproximacao de campo medio podemos estudar com
mais profundidade as propriedades do estado condensado ou seja a equacao de Gross-
Pitaeviskii Dependente do Tempo vai descrever a dinamica do sistema E se linearizarmos
essa equacao ao redor do estado fundamental vamos conseguir descrever as excitacoes co-
letivas de baixa energia do sistema que esta submetido a uma temperatura extremamente
baixa
A aproximacao de campo medio e baseada na aproximacao de Bogoliubov A ideia
principal da teoria de Bogoliubov e de que a fracao de partıculas nao condensada sera
despresada ou seja os efeitos da parte termica (flutuacoes) serao despresados
Usando a teoria de Bogoliubov conseguiremos encontrar os estados de equilıbrio
do sistema atraves da equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
Para conseguir chegar na equacao que vai dar a descricao do estado condensado
isto e do estado fundamental vamos escrever o hamiltoniano para um sistema formado
por N partıculas bosonicas com massa m que interagem duas a duas confinadas por um
potencial externo Vext(~r)
A hamiltoniana para esse sistema e escrita em segunda quantizacao atraves dos
operadores de campo Ψdagger(~r t) Ψ(~r t) (GREINER 1996) bosons de criacao e aniquilacao
respectivamente
19
H =
intd~rΨdagger(~r t) H0 Ψ(~r t) +
1
2
intd~r d~r primeΨdagger(~r t) Ψdagger(~r prime t)V (~r minus ~r prime) Ψ(~r prime t) Ψ(~r t) (20)
onde Vext(~r) e o potencial externo (potencial de armadilha) V (~r minus ~r prime) e o potencial
interatomico e H0 = minus h2
2mnabla2 + Vext(~r)
Os operadores de campo Ψ(~r t) e Ψdagger(~r t) obedecem as seguintes regras de co-
mutacao para bosons
[Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = δ(~r minus ~r prime)
[Ψ(~r t)Ψ(~r prime t)] = 0
[Ψdagger(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = 0
O formalismo de segunda quantizacao e a melhor forma para desenvolver sistema
compostos por muitas partıculas quando estamos no contexto da mecanica quantica
(GREINER 1996)
Agora vamos escrever a equacao de Heisenberg (SAKURAI 1994) para poder
descrever o estado fundamental ou seja queremos observar a dinamica do sistema con-
densado e saber como o operador Ψ(~r t) ou Ψdagger(~r t) evolui no tempo
ihpartΨ
partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)
Calculando [Ψ(~r t)H] usando o hamiltoniano
[Ψ(~r t) H] =
[Ψ(~r t)
intd~rΨdagger(~r t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
intΨ(~r prime t)Vext(~r)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
1
2
intd~rd~r primeΨdagger(~r t)Ψdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)Ψ(~r prime t)Ψ(~r t)
](22)
20
Vamos calcular a primeira parcela
I1 =
[Ψ(~r t)
intΨdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
]I1 =
int [Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)
]d~r prime
I1 =
intδ(~r minus ~r)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
I1 =minush2
2mnabla2Ψ(~r t) (23)
Analogamente para as parcelas I2 e I3 e substituindo as tres parcelas na equacao
de Heisenberg equacao (21) obtemos
ihpartΨ
partt(~r t) =
[H0 +
intd~r primeΨdagger(~r prime t)V (~r prime minus ~r)Ψ(~r prime t)
]Ψ(~r t) (24)
A equacao (24) e uma equacao exata para o operador de campo Ψ(~r t)
Agora vamos decompor o operador de campo bosonico da seguinte forma
Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)
onde ψ representa o estado fundamental e δφ representa as flutuacoes Contudo obser-
vamos que esse operador de campo vai agir como se fosse o seu proprio valor medio no
nıvel de mais baixa energia ou seja (BARCI 2002)
ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 rarr equacao de campo medio
A equacao acima e considerada como sendo a equacao de onda do estado conden-
sado e uma equacao de onda macroscopica e uma funcao de onda quantica ou seja ela
representa um conjunto de todas partıculas bosonicas que estao no estado fundamental
isto e essas partıculas vao se deslocar coerentemente Entao δφ e uma pequena parcela
das partıculas que se encontrta fora do condensado e quando o sistema encontra-se com
uma temperatura muito abaixo de Tc essa parcela e realmente desprezada
O que foi feito acima foi descartar as flutuacoes para que se possa fazer uma
melhor analise somente da parte condensada (BARCI 2002) isto e estamos aplicando a
aproximacao de campo medio Consequentemente vamos fazer a seguinte substituicao
Ψ(~r t) minusrarr ψ(~r t)
Ψdagger(~r t) minusrarr ψdagger(~r t)
Substituindo na equacao (24) que e a equacao de movimento para o operador de
21
campo temos
ihpartψ
partt=
[H0 +
intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)
]ψ(~r t) (26)
Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer
algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito
baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica
interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo
consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos
levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas
estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial
(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos
Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial
Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)
as =m
4πh2
intd~r V (~r minus ~rprime)
onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento
Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)
ihpartψ(~r t)
partt=
[minush2
2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2
]ψ(~r t) (27)
A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo
(EGPDT)
Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)
onde N e o numero total de partıcula do condensado
Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a
solucao estacionaria vamos considerar
ψ(~r t) = exp(minusimicro
ht)ψ0(~r) (29)
onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT
Eq (27) obtemos[minus h2
2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
11
Figura 1 - Fases do sistema
Fonte MASSACHUSETTS
INSTITUTE OF
TECHNOLOGY 2010
O primeiro sistem fısico que ate bem pouco tempo conseguia obter caracterısticas
proximas de um condensado de Bose-Einstein era o 4He Ja foi constatado que a transicao
de fase que acontece no 4He e uma manifestacao que acompanha o condensado de Bose-
Einstein ou seja o CBE nos da explicacoes para o surgimento de uma mudanca de fase
no 4He (GRIFFIN 1996)
Dessa forma a funcao de onda macroscopica (que e uma funcao de onda quantica)
do condensado e a base de uma explicacao qualitativa da superfluidez O CBE reproduz
algumas propriedades essenciais do helio-4 liquefeito porem em detalhes o CBE conduz a
resultados quantitativamente errados A ligacao entre o CBE e o 4He foi primeiramente
estabelecida por London O 4He lıquido possui caracterısticas marcantes devido ao fato
dele ser um lıquido consequetemente apresenta uma forte interacao entre suas partıculas
Desta forma o condensado que explica a superfluidez nao pode ser considerado estrita-
mente um CBE devido as interacoes fortes entre suas moleculas
Para estudar o fenomenos proposto por Einstein seria interessante realizar exper-
imentalmente o CBE em um gas Investigando para se obter um CBE em um sistema
gasoso varios cientistas passaram a pesquisar o desenvolvimento de tecnicas que permi-
tiriam resfriamento de um gas confinado a temperaturas extremamente baixas Porem ex-
istia o problema de conseguir um sistema que ao ser submetido a temperaturas proximas
do zero absoluto nao solidificasse Esse problema foi solucionado utilizando componentes
do grupo I da tabela periodica (Na Rb Li etc) esses atomos alcalinos sao extrema-
12
mentes convenientes de serem utilizados pois torna possıvel de se ter amostras densas
e frias alem de que quando estao na presenca de um campo magnetico forte apresenta
uma fraca repulsao de suas partıculas isso faz com que o sistema continue no estado de
gas logo sao excelentes candidatos para se conseguir gases no regime quantico ou seja
para se obter o CBE (BAGNATO 1997)
No ano de 1995 foi obtido experimentalmente o primeiro condensado de Bose-
Einstein pelo grupo de Eric Cornell e Carl Wieman (National Institute of Standars e
Technology) Eles conseguiram resfriar a 170 nk gases de rubıdio (Rb) Mais tarde mas
no mesmo ano outros dois condensados foram obtidos Um condensado com gases de
Sodio (Na) realizado por Ketterle e colaboradores (Massachusetts Institute of Tecnology
- MIT) E por ultimo o grupo do Randy Hulet (Univrsity of Colorado) realizou experimen-
tos com atomos de lıtio (Li) (GRIFFIN 1996) O experimento com lıtio e completamente
equivalente aos outros dois experimentos com rubıdio e sodio exceto de que a interacao
entre as partıculas do lıtio e uma interacao atrativa (ele tem o comprimento de espal-
hamento negativo) isto e as lt 0 O gas de lıtio e constituıdo por partıculas fermionicas
(eletrons) que se agrupam formando pares (pares de Cooper) que deixam de lado suas
caracterısticas individuais para poderem se comportar como partıculas bosonicas Os
pares de Cooper pode ser denominado como sendo a uniao do spin up com o spin dow
do eletron (uarr darr) (EISBERG 1979) Dessa forma o gas de lıtio nao pode atingir o estado
de CBE sendo esperado um outra tipo de transicao No experimento com lıtio (mais
precisamente lıtio-6) tambem foi observado o fenomeno da superfluidez verificando assim
coexistencia de fases isto e uma fase superfluıda e outra normal Este tipo de com-
portamento e esperado de acontencer de acordo com as muitas teorias existentes sobre
atomos ultrafrios Podemos chamar de superfluidez com pares quebrados (breached-pair
superfluidity) a que ocorre no gas de lıtio isto e podemos observar a existencia de spins
paralelos e antiparalelos Com a pesquisa em torno do CBE foi possıvel estudar varios
outros sistemas quanticos complexos que ate entao nao se tinha uma teoria solida que os
explicasse como e o caso do helio lıquido
13
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL
Neste capıtulo vamos fazer uma breve descricao da Condensacao de Bose-Einstein
em um gas ideal Vamos analisar um sistema constituıdos por N partıculas nao inter-
agentes completamente diluıdo que obedece a distribuicao de Bose-Einstein com uma
ocupacao ni de partıculas para cada estado de energia εi
A energia do gas no estado e definido pelo conjunto dos numeros esperados de
partıculas isto e ni = n1 n2 sera (SALINAS 1997)
E(ni) = n1ε1 + n2ε2 + =sumi
niεi (1)
Calcularemos a funcao particao do sistema pois o objetivo principal e achar as
propriedades termodinamicas do gas sendo assim
Z =sumni
eminusβEni =sumni
eminusβsumniεi rarr funcao particao (2)
Condensacao Calculando a funcao particao acharemos todas as solucoes para o sistema
Usaremos entao o ensemble Grand canonico pois os ni nao sao independentes Ao
usar esse ensemble estamos tornando os ni independentes Neste caso estamos acoplando
ao sistema um reservatorio de partıculas e cada estado e populado a partir do reservatorio
Podemos escrever a funcao particao Grand canonica como sendo
Z(T V micro) =infinsumN=0
[eβmicroN
sumni
eminusβsumi niεi
]
=infinsumN=0
[sumni
eminusβsumi ni(εiminusmicro)
]
=infinsumN=0
[sumni
prodi
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni](3)
onde micro e o potencial quımico do gas
Podemos observar que em (3) existem dois somatorios o primeiro esta somando
sobre os ni vinculado a um valor constante do numero total N e o segundo e sobre todos
os valores possıveis de N e equivalente a um somatorio sobre todos os valores de ni
14
entao podemos escrever
Z(T V micro) =sumn1n2
[(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2]
=
[sumn1
(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1
][sumn2
(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2
] (4)
mas
Zi =sumni
eminusβni(εiminusmicro) (5)
A equacao (5) e a funcao particao de um estado quantico i
Na distribuicao de Bose-Eintein ni pode ser qualquer valor ou seja n = 0 1 2
Se eminusβ(εminusmicro) lt 1 dessa forma a funcao particao de um estado i sera
Zi =sumni
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni=(1minus eminusβ(εiminusmicro)
)minus1(6)
Entao a probabilidade de obter ni partıculas no estado i e portanto
P (ni) =eminusβni(εiminusmicro)
Zi(7)
Portanto o numero medio de bosons em um estado i sera
ni =
sumniniP (ni)
Zi= kBT
part
partmicrolnZi (8)
Fazendo a diferenciacao vamos encontrar
ni =1
eβ(εiminusmicro) minus 1(9)
Dessa forma (8) e o numero medio de partıculas que ocupam um determinado
estado de energia i Tendo em maos o numero medio de partıculas em um estado quantico
i vamos obter o numero total N de partıculas que e dado por
N =nsumi=1
〈ni〉 =nsumi=1
1
exp [β (εi minus micro)]minus 1(10)
Analisando a expressao em (10) podemos observar que ao considerar o numero de
partıculas bosonicas como sendo conservado estamos impondo que o potencial quımico (micro)
e obrigatoriamente negativo ou nulo (micro le 0) isso faz com que o numero de ocupacao para
qualquer nıvel de energia seja positivo ou seja esse somatorio tem que ser convergente
E conveniente que na equacao (10) seja feito uma mudanca do somatorio para a
integral porem ao fazer essa mudanca temos que ter uma certa atencao pois o estado
fundamental possui uma energia εi = 0 e consequentemente a densidade de estado ρ(ε)
15
do estado fundamental tambem e igual a zero
A densidade de estado ρ(ε) do sistema vai representar a quantidade de estado
com energia entre ε e ε+ dε Entao ao fazermos a mudanca do somatorio para a integral
estamos deixando de lado muitas partıculas bosonicas que se encontra no estado de energia
mınima estado esse que possui aproximadamente um numero de partıculas que pode ser
igual ao proprio numero total N de partıculas do sistema isso explica porque somos
obrigados a manter a ocupacao N0 no estado fundamental Devido a isso trataremos as
partıculas que se encontra no estado fundamental separadamente isto e
N = N0 +Nε
N = N0 +
int infin0
nε ρ (ε) dε
N = N0 +
int infin0
1
eβ(εiminusmicro) minus 1ρ(ε)dε (11)
onde N0 e o numero de ocupacao no estado fundamental com εi = 0 e Nε e o numero
de ocupacao no estado excitado (SALINAS 1997)
Da equacao (11) observamos que a medida que a temperatura diminui micro cresce
podendo alcancar para uma determinada temperatura finita um valor maximo micro = 0 A
este ponto epecıfico chamamos de temperatura crıtica (Tc) pois quando a temperatura
diminui ha um crescimento macroscopico do numero de partıcula que constitui o estado
fundamental (N0) enquanto que a quantidade de partıculas existente no estato excitado
(fracao nao condensada) diminui proporcionalmente Essa ocupacao macroscopica vai
fazer com que a contribuicao estatıstica desse primeiro estado quantico degenerado seja
maior se compararmos com a parte nao condensada Isso e consequencia da quantidade
mınima de partıcula que ainda se encontra no estado excitado Portanto vamos calcular
o numero de partıcula existente no estado excitado isto e ε gt 0
Nε =
int infin0
ρ(ε)1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (12)
onde
ρ(ε) =dN
dε=
V
3π2
(2m
h2
)323
2ε12 (13)
Substituindo a equacao (13) que e a equacao da densidade de estado na equacao
16
(12) obtemos
Nε =V
3π2
(2m
h2
)32 int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32
int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (14)
Podemos agora determinar a temperatura de transicao Tc fazendo micro = 0 Vamos
obter
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32 3
2
int infin0
ε12
eβεi minus 1dε
=1
2π2
(2mkBT
h2
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (15)
No momento em que o sistema tem micro = 0 temos que fazer Nε = N isso indica
que T tem o seu valor maximo ou seja
N
V=
1
2π2
(2mkBTc
h
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (16)
Podemos extrair da equacao acima a temperatura de transicao Tc que e
Tc =2πh2
mkB
(1
2 612
N
V
)32
(17)
Dessa forma reescreveremos a equacao (17) em termos de Tc como sendo
Nε
N=
(T
Tc
)32
(18)
Consequentemente vamos obter um outro parametro muito importante que e a
fracao de partıculas bosonicas que se encontra no estado fundamental (N0N) isto e no
estado condensado em funcao de T
N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
(19)
Agora fica facil observar que a transicao que acontece a Tc pode exprimir-se pela
separacao dos comportamentos assintoticos do numero de ocupacao do estado fundamen-
tal isto e
(T gt Tc)N0
N= O
(1
N
)asymp 0 para temperaturas altas
(T lt Tc)N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
para temperaturas baixas
17
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado
de Bose-Einstein em funcao da
temperatura
Fonte SALINAS 1997 p238
Dessas expressoes podemos observar que abaixo de uma temperatura de transicao
Tc uma pequena populacao das partıculas bosonicas ocupam o nıvel de mais baixa de
energia isto e N0 rarr N Entao a medida que N cresce fica mais facil falar da temperatura
de transicao logo o numero de partıculas no estado fundamental se torna mais singular
Dessa forma para T lt Tc o estado condensado e macroscopicamente populado
entao podemos dizer que Tc e a temperatura na qual micro assume o seu valor maximo
Podemos afirmar que as expressoes acima nos permite identificar a densidade do conden-
sado com o parametro de ordem de transicao Denominamos entao que Condensacao de
Bose-Einstein e o fato de um gas ideal bosonico possuir uma temperatura de transicao
discreta Tc e tambem possuir uma porcao finita de todas as partıculas ocupando o nıvel
mais baixo de energia para T lt Tc
No proximo capıtulo estudaremos as consequencias de submetermos um gas de
Bose na presenca de interacoes Vamos analisar uma teoria extremamente importante
para o entendimento desse sistemas quanticos complexos Para isso teremos que fazer
certa aproximacoes para que o desenvolvimento e o entendimento do sistema se estabeleca
de maneira satisfatoria
18
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTERAGENTE
Neste capıtulo demonstraremos um formalismo que vai ser capaz de descrever
as propriedades do estado fundamental de um gas bosonico diluıdo a uma temperatura
extremamente baixa (GRIFFIN 1996) Aplicaremos uma aproximacao de Campo Medio
Essa aproximacao e obtida depois que encontramos o valor esperado dos operadores de
campo bosonico Portanto definiremos uma funcao de onda (parametro de ordem) que
vai ser capaz de satisfazer a equacao nao linear de Schrodinger
Observaremos tambem o que acontece com um gas de Bose quando ele e aprision-
ado por um potencial harmonico e tambem quando esse sistema e submetido a interacoes
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio)
Para uma melhor descricao do estado condensado faremos o uso da aproximacao
de campo medio que vai resultar em uma equacao de Schrodinger nao linear que recebe
o nome de Equacao de Gross-Pitaevskii (EGP) (CARRETERO-GONZALES R 2008
GRIFFIN 1996) A deducao dessa equacao de campo medio foi feita por Lev Petrovich
Pitaevskii e E P Gross Com essa aproximacao de campo medio podemos estudar com
mais profundidade as propriedades do estado condensado ou seja a equacao de Gross-
Pitaeviskii Dependente do Tempo vai descrever a dinamica do sistema E se linearizarmos
essa equacao ao redor do estado fundamental vamos conseguir descrever as excitacoes co-
letivas de baixa energia do sistema que esta submetido a uma temperatura extremamente
baixa
A aproximacao de campo medio e baseada na aproximacao de Bogoliubov A ideia
principal da teoria de Bogoliubov e de que a fracao de partıculas nao condensada sera
despresada ou seja os efeitos da parte termica (flutuacoes) serao despresados
Usando a teoria de Bogoliubov conseguiremos encontrar os estados de equilıbrio
do sistema atraves da equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
Para conseguir chegar na equacao que vai dar a descricao do estado condensado
isto e do estado fundamental vamos escrever o hamiltoniano para um sistema formado
por N partıculas bosonicas com massa m que interagem duas a duas confinadas por um
potencial externo Vext(~r)
A hamiltoniana para esse sistema e escrita em segunda quantizacao atraves dos
operadores de campo Ψdagger(~r t) Ψ(~r t) (GREINER 1996) bosons de criacao e aniquilacao
respectivamente
19
H =
intd~rΨdagger(~r t) H0 Ψ(~r t) +
1
2
intd~r d~r primeΨdagger(~r t) Ψdagger(~r prime t)V (~r minus ~r prime) Ψ(~r prime t) Ψ(~r t) (20)
onde Vext(~r) e o potencial externo (potencial de armadilha) V (~r minus ~r prime) e o potencial
interatomico e H0 = minus h2
2mnabla2 + Vext(~r)
Os operadores de campo Ψ(~r t) e Ψdagger(~r t) obedecem as seguintes regras de co-
mutacao para bosons
[Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = δ(~r minus ~r prime)
[Ψ(~r t)Ψ(~r prime t)] = 0
[Ψdagger(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = 0
O formalismo de segunda quantizacao e a melhor forma para desenvolver sistema
compostos por muitas partıculas quando estamos no contexto da mecanica quantica
(GREINER 1996)
Agora vamos escrever a equacao de Heisenberg (SAKURAI 1994) para poder
descrever o estado fundamental ou seja queremos observar a dinamica do sistema con-
densado e saber como o operador Ψ(~r t) ou Ψdagger(~r t) evolui no tempo
ihpartΨ
partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)
Calculando [Ψ(~r t)H] usando o hamiltoniano
[Ψ(~r t) H] =
[Ψ(~r t)
intd~rΨdagger(~r t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
intΨ(~r prime t)Vext(~r)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
1
2
intd~rd~r primeΨdagger(~r t)Ψdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)Ψ(~r prime t)Ψ(~r t)
](22)
20
Vamos calcular a primeira parcela
I1 =
[Ψ(~r t)
intΨdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
]I1 =
int [Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)
]d~r prime
I1 =
intδ(~r minus ~r)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
I1 =minush2
2mnabla2Ψ(~r t) (23)
Analogamente para as parcelas I2 e I3 e substituindo as tres parcelas na equacao
de Heisenberg equacao (21) obtemos
ihpartΨ
partt(~r t) =
[H0 +
intd~r primeΨdagger(~r prime t)V (~r prime minus ~r)Ψ(~r prime t)
]Ψ(~r t) (24)
A equacao (24) e uma equacao exata para o operador de campo Ψ(~r t)
Agora vamos decompor o operador de campo bosonico da seguinte forma
Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)
onde ψ representa o estado fundamental e δφ representa as flutuacoes Contudo obser-
vamos que esse operador de campo vai agir como se fosse o seu proprio valor medio no
nıvel de mais baixa energia ou seja (BARCI 2002)
ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 rarr equacao de campo medio
A equacao acima e considerada como sendo a equacao de onda do estado conden-
sado e uma equacao de onda macroscopica e uma funcao de onda quantica ou seja ela
representa um conjunto de todas partıculas bosonicas que estao no estado fundamental
isto e essas partıculas vao se deslocar coerentemente Entao δφ e uma pequena parcela
das partıculas que se encontrta fora do condensado e quando o sistema encontra-se com
uma temperatura muito abaixo de Tc essa parcela e realmente desprezada
O que foi feito acima foi descartar as flutuacoes para que se possa fazer uma
melhor analise somente da parte condensada (BARCI 2002) isto e estamos aplicando a
aproximacao de campo medio Consequentemente vamos fazer a seguinte substituicao
Ψ(~r t) minusrarr ψ(~r t)
Ψdagger(~r t) minusrarr ψdagger(~r t)
Substituindo na equacao (24) que e a equacao de movimento para o operador de
21
campo temos
ihpartψ
partt=
[H0 +
intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)
]ψ(~r t) (26)
Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer
algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito
baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica
interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo
consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos
levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas
estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial
(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos
Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial
Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)
as =m
4πh2
intd~r V (~r minus ~rprime)
onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento
Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)
ihpartψ(~r t)
partt=
[minush2
2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2
]ψ(~r t) (27)
A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo
(EGPDT)
Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)
onde N e o numero total de partıcula do condensado
Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a
solucao estacionaria vamos considerar
ψ(~r t) = exp(minusimicro
ht)ψ0(~r) (29)
onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT
Eq (27) obtemos[minus h2
2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
12
mentes convenientes de serem utilizados pois torna possıvel de se ter amostras densas
e frias alem de que quando estao na presenca de um campo magnetico forte apresenta
uma fraca repulsao de suas partıculas isso faz com que o sistema continue no estado de
gas logo sao excelentes candidatos para se conseguir gases no regime quantico ou seja
para se obter o CBE (BAGNATO 1997)
No ano de 1995 foi obtido experimentalmente o primeiro condensado de Bose-
Einstein pelo grupo de Eric Cornell e Carl Wieman (National Institute of Standars e
Technology) Eles conseguiram resfriar a 170 nk gases de rubıdio (Rb) Mais tarde mas
no mesmo ano outros dois condensados foram obtidos Um condensado com gases de
Sodio (Na) realizado por Ketterle e colaboradores (Massachusetts Institute of Tecnology
- MIT) E por ultimo o grupo do Randy Hulet (Univrsity of Colorado) realizou experimen-
tos com atomos de lıtio (Li) (GRIFFIN 1996) O experimento com lıtio e completamente
equivalente aos outros dois experimentos com rubıdio e sodio exceto de que a interacao
entre as partıculas do lıtio e uma interacao atrativa (ele tem o comprimento de espal-
hamento negativo) isto e as lt 0 O gas de lıtio e constituıdo por partıculas fermionicas
(eletrons) que se agrupam formando pares (pares de Cooper) que deixam de lado suas
caracterısticas individuais para poderem se comportar como partıculas bosonicas Os
pares de Cooper pode ser denominado como sendo a uniao do spin up com o spin dow
do eletron (uarr darr) (EISBERG 1979) Dessa forma o gas de lıtio nao pode atingir o estado
de CBE sendo esperado um outra tipo de transicao No experimento com lıtio (mais
precisamente lıtio-6) tambem foi observado o fenomeno da superfluidez verificando assim
coexistencia de fases isto e uma fase superfluıda e outra normal Este tipo de com-
portamento e esperado de acontencer de acordo com as muitas teorias existentes sobre
atomos ultrafrios Podemos chamar de superfluidez com pares quebrados (breached-pair
superfluidity) a que ocorre no gas de lıtio isto e podemos observar a existencia de spins
paralelos e antiparalelos Com a pesquisa em torno do CBE foi possıvel estudar varios
outros sistemas quanticos complexos que ate entao nao se tinha uma teoria solida que os
explicasse como e o caso do helio lıquido
13
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL
Neste capıtulo vamos fazer uma breve descricao da Condensacao de Bose-Einstein
em um gas ideal Vamos analisar um sistema constituıdos por N partıculas nao inter-
agentes completamente diluıdo que obedece a distribuicao de Bose-Einstein com uma
ocupacao ni de partıculas para cada estado de energia εi
A energia do gas no estado e definido pelo conjunto dos numeros esperados de
partıculas isto e ni = n1 n2 sera (SALINAS 1997)
E(ni) = n1ε1 + n2ε2 + =sumi
niεi (1)
Calcularemos a funcao particao do sistema pois o objetivo principal e achar as
propriedades termodinamicas do gas sendo assim
Z =sumni
eminusβEni =sumni
eminusβsumniεi rarr funcao particao (2)
Condensacao Calculando a funcao particao acharemos todas as solucoes para o sistema
Usaremos entao o ensemble Grand canonico pois os ni nao sao independentes Ao
usar esse ensemble estamos tornando os ni independentes Neste caso estamos acoplando
ao sistema um reservatorio de partıculas e cada estado e populado a partir do reservatorio
Podemos escrever a funcao particao Grand canonica como sendo
Z(T V micro) =infinsumN=0
[eβmicroN
sumni
eminusβsumi niεi
]
=infinsumN=0
[sumni
eminusβsumi ni(εiminusmicro)
]
=infinsumN=0
[sumni
prodi
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni](3)
onde micro e o potencial quımico do gas
Podemos observar que em (3) existem dois somatorios o primeiro esta somando
sobre os ni vinculado a um valor constante do numero total N e o segundo e sobre todos
os valores possıveis de N e equivalente a um somatorio sobre todos os valores de ni
14
entao podemos escrever
Z(T V micro) =sumn1n2
[(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2]
=
[sumn1
(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1
][sumn2
(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2
] (4)
mas
Zi =sumni
eminusβni(εiminusmicro) (5)
A equacao (5) e a funcao particao de um estado quantico i
Na distribuicao de Bose-Eintein ni pode ser qualquer valor ou seja n = 0 1 2
Se eminusβ(εminusmicro) lt 1 dessa forma a funcao particao de um estado i sera
Zi =sumni
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni=(1minus eminusβ(εiminusmicro)
)minus1(6)
Entao a probabilidade de obter ni partıculas no estado i e portanto
P (ni) =eminusβni(εiminusmicro)
Zi(7)
Portanto o numero medio de bosons em um estado i sera
ni =
sumniniP (ni)
Zi= kBT
part
partmicrolnZi (8)
Fazendo a diferenciacao vamos encontrar
ni =1
eβ(εiminusmicro) minus 1(9)
Dessa forma (8) e o numero medio de partıculas que ocupam um determinado
estado de energia i Tendo em maos o numero medio de partıculas em um estado quantico
i vamos obter o numero total N de partıculas que e dado por
N =nsumi=1
〈ni〉 =nsumi=1
1
exp [β (εi minus micro)]minus 1(10)
Analisando a expressao em (10) podemos observar que ao considerar o numero de
partıculas bosonicas como sendo conservado estamos impondo que o potencial quımico (micro)
e obrigatoriamente negativo ou nulo (micro le 0) isso faz com que o numero de ocupacao para
qualquer nıvel de energia seja positivo ou seja esse somatorio tem que ser convergente
E conveniente que na equacao (10) seja feito uma mudanca do somatorio para a
integral porem ao fazer essa mudanca temos que ter uma certa atencao pois o estado
fundamental possui uma energia εi = 0 e consequentemente a densidade de estado ρ(ε)
15
do estado fundamental tambem e igual a zero
A densidade de estado ρ(ε) do sistema vai representar a quantidade de estado
com energia entre ε e ε+ dε Entao ao fazermos a mudanca do somatorio para a integral
estamos deixando de lado muitas partıculas bosonicas que se encontra no estado de energia
mınima estado esse que possui aproximadamente um numero de partıculas que pode ser
igual ao proprio numero total N de partıculas do sistema isso explica porque somos
obrigados a manter a ocupacao N0 no estado fundamental Devido a isso trataremos as
partıculas que se encontra no estado fundamental separadamente isto e
N = N0 +Nε
N = N0 +
int infin0
nε ρ (ε) dε
N = N0 +
int infin0
1
eβ(εiminusmicro) minus 1ρ(ε)dε (11)
onde N0 e o numero de ocupacao no estado fundamental com εi = 0 e Nε e o numero
de ocupacao no estado excitado (SALINAS 1997)
Da equacao (11) observamos que a medida que a temperatura diminui micro cresce
podendo alcancar para uma determinada temperatura finita um valor maximo micro = 0 A
este ponto epecıfico chamamos de temperatura crıtica (Tc) pois quando a temperatura
diminui ha um crescimento macroscopico do numero de partıcula que constitui o estado
fundamental (N0) enquanto que a quantidade de partıculas existente no estato excitado
(fracao nao condensada) diminui proporcionalmente Essa ocupacao macroscopica vai
fazer com que a contribuicao estatıstica desse primeiro estado quantico degenerado seja
maior se compararmos com a parte nao condensada Isso e consequencia da quantidade
mınima de partıcula que ainda se encontra no estado excitado Portanto vamos calcular
o numero de partıcula existente no estado excitado isto e ε gt 0
Nε =
int infin0
ρ(ε)1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (12)
onde
ρ(ε) =dN
dε=
V
3π2
(2m
h2
)323
2ε12 (13)
Substituindo a equacao (13) que e a equacao da densidade de estado na equacao
16
(12) obtemos
Nε =V
3π2
(2m
h2
)32 int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32
int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (14)
Podemos agora determinar a temperatura de transicao Tc fazendo micro = 0 Vamos
obter
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32 3
2
int infin0
ε12
eβεi minus 1dε
=1
2π2
(2mkBT
h2
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (15)
No momento em que o sistema tem micro = 0 temos que fazer Nε = N isso indica
que T tem o seu valor maximo ou seja
N
V=
1
2π2
(2mkBTc
h
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (16)
Podemos extrair da equacao acima a temperatura de transicao Tc que e
Tc =2πh2
mkB
(1
2 612
N
V
)32
(17)
Dessa forma reescreveremos a equacao (17) em termos de Tc como sendo
Nε
N=
(T
Tc
)32
(18)
Consequentemente vamos obter um outro parametro muito importante que e a
fracao de partıculas bosonicas que se encontra no estado fundamental (N0N) isto e no
estado condensado em funcao de T
N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
(19)
Agora fica facil observar que a transicao que acontece a Tc pode exprimir-se pela
separacao dos comportamentos assintoticos do numero de ocupacao do estado fundamen-
tal isto e
(T gt Tc)N0
N= O
(1
N
)asymp 0 para temperaturas altas
(T lt Tc)N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
para temperaturas baixas
17
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado
de Bose-Einstein em funcao da
temperatura
Fonte SALINAS 1997 p238
Dessas expressoes podemos observar que abaixo de uma temperatura de transicao
Tc uma pequena populacao das partıculas bosonicas ocupam o nıvel de mais baixa de
energia isto e N0 rarr N Entao a medida que N cresce fica mais facil falar da temperatura
de transicao logo o numero de partıculas no estado fundamental se torna mais singular
Dessa forma para T lt Tc o estado condensado e macroscopicamente populado
entao podemos dizer que Tc e a temperatura na qual micro assume o seu valor maximo
Podemos afirmar que as expressoes acima nos permite identificar a densidade do conden-
sado com o parametro de ordem de transicao Denominamos entao que Condensacao de
Bose-Einstein e o fato de um gas ideal bosonico possuir uma temperatura de transicao
discreta Tc e tambem possuir uma porcao finita de todas as partıculas ocupando o nıvel
mais baixo de energia para T lt Tc
No proximo capıtulo estudaremos as consequencias de submetermos um gas de
Bose na presenca de interacoes Vamos analisar uma teoria extremamente importante
para o entendimento desse sistemas quanticos complexos Para isso teremos que fazer
certa aproximacoes para que o desenvolvimento e o entendimento do sistema se estabeleca
de maneira satisfatoria
18
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTERAGENTE
Neste capıtulo demonstraremos um formalismo que vai ser capaz de descrever
as propriedades do estado fundamental de um gas bosonico diluıdo a uma temperatura
extremamente baixa (GRIFFIN 1996) Aplicaremos uma aproximacao de Campo Medio
Essa aproximacao e obtida depois que encontramos o valor esperado dos operadores de
campo bosonico Portanto definiremos uma funcao de onda (parametro de ordem) que
vai ser capaz de satisfazer a equacao nao linear de Schrodinger
Observaremos tambem o que acontece com um gas de Bose quando ele e aprision-
ado por um potencial harmonico e tambem quando esse sistema e submetido a interacoes
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio)
Para uma melhor descricao do estado condensado faremos o uso da aproximacao
de campo medio que vai resultar em uma equacao de Schrodinger nao linear que recebe
o nome de Equacao de Gross-Pitaevskii (EGP) (CARRETERO-GONZALES R 2008
GRIFFIN 1996) A deducao dessa equacao de campo medio foi feita por Lev Petrovich
Pitaevskii e E P Gross Com essa aproximacao de campo medio podemos estudar com
mais profundidade as propriedades do estado condensado ou seja a equacao de Gross-
Pitaeviskii Dependente do Tempo vai descrever a dinamica do sistema E se linearizarmos
essa equacao ao redor do estado fundamental vamos conseguir descrever as excitacoes co-
letivas de baixa energia do sistema que esta submetido a uma temperatura extremamente
baixa
A aproximacao de campo medio e baseada na aproximacao de Bogoliubov A ideia
principal da teoria de Bogoliubov e de que a fracao de partıculas nao condensada sera
despresada ou seja os efeitos da parte termica (flutuacoes) serao despresados
Usando a teoria de Bogoliubov conseguiremos encontrar os estados de equilıbrio
do sistema atraves da equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
Para conseguir chegar na equacao que vai dar a descricao do estado condensado
isto e do estado fundamental vamos escrever o hamiltoniano para um sistema formado
por N partıculas bosonicas com massa m que interagem duas a duas confinadas por um
potencial externo Vext(~r)
A hamiltoniana para esse sistema e escrita em segunda quantizacao atraves dos
operadores de campo Ψdagger(~r t) Ψ(~r t) (GREINER 1996) bosons de criacao e aniquilacao
respectivamente
19
H =
intd~rΨdagger(~r t) H0 Ψ(~r t) +
1
2
intd~r d~r primeΨdagger(~r t) Ψdagger(~r prime t)V (~r minus ~r prime) Ψ(~r prime t) Ψ(~r t) (20)
onde Vext(~r) e o potencial externo (potencial de armadilha) V (~r minus ~r prime) e o potencial
interatomico e H0 = minus h2
2mnabla2 + Vext(~r)
Os operadores de campo Ψ(~r t) e Ψdagger(~r t) obedecem as seguintes regras de co-
mutacao para bosons
[Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = δ(~r minus ~r prime)
[Ψ(~r t)Ψ(~r prime t)] = 0
[Ψdagger(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = 0
O formalismo de segunda quantizacao e a melhor forma para desenvolver sistema
compostos por muitas partıculas quando estamos no contexto da mecanica quantica
(GREINER 1996)
Agora vamos escrever a equacao de Heisenberg (SAKURAI 1994) para poder
descrever o estado fundamental ou seja queremos observar a dinamica do sistema con-
densado e saber como o operador Ψ(~r t) ou Ψdagger(~r t) evolui no tempo
ihpartΨ
partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)
Calculando [Ψ(~r t)H] usando o hamiltoniano
[Ψ(~r t) H] =
[Ψ(~r t)
intd~rΨdagger(~r t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
intΨ(~r prime t)Vext(~r)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
1
2
intd~rd~r primeΨdagger(~r t)Ψdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)Ψ(~r prime t)Ψ(~r t)
](22)
20
Vamos calcular a primeira parcela
I1 =
[Ψ(~r t)
intΨdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
]I1 =
int [Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)
]d~r prime
I1 =
intδ(~r minus ~r)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
I1 =minush2
2mnabla2Ψ(~r t) (23)
Analogamente para as parcelas I2 e I3 e substituindo as tres parcelas na equacao
de Heisenberg equacao (21) obtemos
ihpartΨ
partt(~r t) =
[H0 +
intd~r primeΨdagger(~r prime t)V (~r prime minus ~r)Ψ(~r prime t)
]Ψ(~r t) (24)
A equacao (24) e uma equacao exata para o operador de campo Ψ(~r t)
Agora vamos decompor o operador de campo bosonico da seguinte forma
Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)
onde ψ representa o estado fundamental e δφ representa as flutuacoes Contudo obser-
vamos que esse operador de campo vai agir como se fosse o seu proprio valor medio no
nıvel de mais baixa energia ou seja (BARCI 2002)
ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 rarr equacao de campo medio
A equacao acima e considerada como sendo a equacao de onda do estado conden-
sado e uma equacao de onda macroscopica e uma funcao de onda quantica ou seja ela
representa um conjunto de todas partıculas bosonicas que estao no estado fundamental
isto e essas partıculas vao se deslocar coerentemente Entao δφ e uma pequena parcela
das partıculas que se encontrta fora do condensado e quando o sistema encontra-se com
uma temperatura muito abaixo de Tc essa parcela e realmente desprezada
O que foi feito acima foi descartar as flutuacoes para que se possa fazer uma
melhor analise somente da parte condensada (BARCI 2002) isto e estamos aplicando a
aproximacao de campo medio Consequentemente vamos fazer a seguinte substituicao
Ψ(~r t) minusrarr ψ(~r t)
Ψdagger(~r t) minusrarr ψdagger(~r t)
Substituindo na equacao (24) que e a equacao de movimento para o operador de
21
campo temos
ihpartψ
partt=
[H0 +
intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)
]ψ(~r t) (26)
Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer
algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito
baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica
interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo
consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos
levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas
estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial
(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos
Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial
Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)
as =m
4πh2
intd~r V (~r minus ~rprime)
onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento
Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)
ihpartψ(~r t)
partt=
[minush2
2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2
]ψ(~r t) (27)
A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo
(EGPDT)
Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)
onde N e o numero total de partıcula do condensado
Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a
solucao estacionaria vamos considerar
ψ(~r t) = exp(minusimicro
ht)ψ0(~r) (29)
onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT
Eq (27) obtemos[minus h2
2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
13
1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL
Neste capıtulo vamos fazer uma breve descricao da Condensacao de Bose-Einstein
em um gas ideal Vamos analisar um sistema constituıdos por N partıculas nao inter-
agentes completamente diluıdo que obedece a distribuicao de Bose-Einstein com uma
ocupacao ni de partıculas para cada estado de energia εi
A energia do gas no estado e definido pelo conjunto dos numeros esperados de
partıculas isto e ni = n1 n2 sera (SALINAS 1997)
E(ni) = n1ε1 + n2ε2 + =sumi
niεi (1)
Calcularemos a funcao particao do sistema pois o objetivo principal e achar as
propriedades termodinamicas do gas sendo assim
Z =sumni
eminusβEni =sumni
eminusβsumniεi rarr funcao particao (2)
Condensacao Calculando a funcao particao acharemos todas as solucoes para o sistema
Usaremos entao o ensemble Grand canonico pois os ni nao sao independentes Ao
usar esse ensemble estamos tornando os ni independentes Neste caso estamos acoplando
ao sistema um reservatorio de partıculas e cada estado e populado a partir do reservatorio
Podemos escrever a funcao particao Grand canonica como sendo
Z(T V micro) =infinsumN=0
[eβmicroN
sumni
eminusβsumi niεi
]
=infinsumN=0
[sumni
eminusβsumi ni(εiminusmicro)
]
=infinsumN=0
[sumni
prodi
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni](3)
onde micro e o potencial quımico do gas
Podemos observar que em (3) existem dois somatorios o primeiro esta somando
sobre os ni vinculado a um valor constante do numero total N e o segundo e sobre todos
os valores possıveis de N e equivalente a um somatorio sobre todos os valores de ni
14
entao podemos escrever
Z(T V micro) =sumn1n2
[(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2]
=
[sumn1
(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1
][sumn2
(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2
] (4)
mas
Zi =sumni
eminusβni(εiminusmicro) (5)
A equacao (5) e a funcao particao de um estado quantico i
Na distribuicao de Bose-Eintein ni pode ser qualquer valor ou seja n = 0 1 2
Se eminusβ(εminusmicro) lt 1 dessa forma a funcao particao de um estado i sera
Zi =sumni
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni=(1minus eminusβ(εiminusmicro)
)minus1(6)
Entao a probabilidade de obter ni partıculas no estado i e portanto
P (ni) =eminusβni(εiminusmicro)
Zi(7)
Portanto o numero medio de bosons em um estado i sera
ni =
sumniniP (ni)
Zi= kBT
part
partmicrolnZi (8)
Fazendo a diferenciacao vamos encontrar
ni =1
eβ(εiminusmicro) minus 1(9)
Dessa forma (8) e o numero medio de partıculas que ocupam um determinado
estado de energia i Tendo em maos o numero medio de partıculas em um estado quantico
i vamos obter o numero total N de partıculas que e dado por
N =nsumi=1
〈ni〉 =nsumi=1
1
exp [β (εi minus micro)]minus 1(10)
Analisando a expressao em (10) podemos observar que ao considerar o numero de
partıculas bosonicas como sendo conservado estamos impondo que o potencial quımico (micro)
e obrigatoriamente negativo ou nulo (micro le 0) isso faz com que o numero de ocupacao para
qualquer nıvel de energia seja positivo ou seja esse somatorio tem que ser convergente
E conveniente que na equacao (10) seja feito uma mudanca do somatorio para a
integral porem ao fazer essa mudanca temos que ter uma certa atencao pois o estado
fundamental possui uma energia εi = 0 e consequentemente a densidade de estado ρ(ε)
15
do estado fundamental tambem e igual a zero
A densidade de estado ρ(ε) do sistema vai representar a quantidade de estado
com energia entre ε e ε+ dε Entao ao fazermos a mudanca do somatorio para a integral
estamos deixando de lado muitas partıculas bosonicas que se encontra no estado de energia
mınima estado esse que possui aproximadamente um numero de partıculas que pode ser
igual ao proprio numero total N de partıculas do sistema isso explica porque somos
obrigados a manter a ocupacao N0 no estado fundamental Devido a isso trataremos as
partıculas que se encontra no estado fundamental separadamente isto e
N = N0 +Nε
N = N0 +
int infin0
nε ρ (ε) dε
N = N0 +
int infin0
1
eβ(εiminusmicro) minus 1ρ(ε)dε (11)
onde N0 e o numero de ocupacao no estado fundamental com εi = 0 e Nε e o numero
de ocupacao no estado excitado (SALINAS 1997)
Da equacao (11) observamos que a medida que a temperatura diminui micro cresce
podendo alcancar para uma determinada temperatura finita um valor maximo micro = 0 A
este ponto epecıfico chamamos de temperatura crıtica (Tc) pois quando a temperatura
diminui ha um crescimento macroscopico do numero de partıcula que constitui o estado
fundamental (N0) enquanto que a quantidade de partıculas existente no estato excitado
(fracao nao condensada) diminui proporcionalmente Essa ocupacao macroscopica vai
fazer com que a contribuicao estatıstica desse primeiro estado quantico degenerado seja
maior se compararmos com a parte nao condensada Isso e consequencia da quantidade
mınima de partıcula que ainda se encontra no estado excitado Portanto vamos calcular
o numero de partıcula existente no estado excitado isto e ε gt 0
Nε =
int infin0
ρ(ε)1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (12)
onde
ρ(ε) =dN
dε=
V
3π2
(2m
h2
)323
2ε12 (13)
Substituindo a equacao (13) que e a equacao da densidade de estado na equacao
16
(12) obtemos
Nε =V
3π2
(2m
h2
)32 int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32
int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (14)
Podemos agora determinar a temperatura de transicao Tc fazendo micro = 0 Vamos
obter
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32 3
2
int infin0
ε12
eβεi minus 1dε
=1
2π2
(2mkBT
h2
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (15)
No momento em que o sistema tem micro = 0 temos que fazer Nε = N isso indica
que T tem o seu valor maximo ou seja
N
V=
1
2π2
(2mkBTc
h
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (16)
Podemos extrair da equacao acima a temperatura de transicao Tc que e
Tc =2πh2
mkB
(1
2 612
N
V
)32
(17)
Dessa forma reescreveremos a equacao (17) em termos de Tc como sendo
Nε
N=
(T
Tc
)32
(18)
Consequentemente vamos obter um outro parametro muito importante que e a
fracao de partıculas bosonicas que se encontra no estado fundamental (N0N) isto e no
estado condensado em funcao de T
N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
(19)
Agora fica facil observar que a transicao que acontece a Tc pode exprimir-se pela
separacao dos comportamentos assintoticos do numero de ocupacao do estado fundamen-
tal isto e
(T gt Tc)N0
N= O
(1
N
)asymp 0 para temperaturas altas
(T lt Tc)N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
para temperaturas baixas
17
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado
de Bose-Einstein em funcao da
temperatura
Fonte SALINAS 1997 p238
Dessas expressoes podemos observar que abaixo de uma temperatura de transicao
Tc uma pequena populacao das partıculas bosonicas ocupam o nıvel de mais baixa de
energia isto e N0 rarr N Entao a medida que N cresce fica mais facil falar da temperatura
de transicao logo o numero de partıculas no estado fundamental se torna mais singular
Dessa forma para T lt Tc o estado condensado e macroscopicamente populado
entao podemos dizer que Tc e a temperatura na qual micro assume o seu valor maximo
Podemos afirmar que as expressoes acima nos permite identificar a densidade do conden-
sado com o parametro de ordem de transicao Denominamos entao que Condensacao de
Bose-Einstein e o fato de um gas ideal bosonico possuir uma temperatura de transicao
discreta Tc e tambem possuir uma porcao finita de todas as partıculas ocupando o nıvel
mais baixo de energia para T lt Tc
No proximo capıtulo estudaremos as consequencias de submetermos um gas de
Bose na presenca de interacoes Vamos analisar uma teoria extremamente importante
para o entendimento desse sistemas quanticos complexos Para isso teremos que fazer
certa aproximacoes para que o desenvolvimento e o entendimento do sistema se estabeleca
de maneira satisfatoria
18
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTERAGENTE
Neste capıtulo demonstraremos um formalismo que vai ser capaz de descrever
as propriedades do estado fundamental de um gas bosonico diluıdo a uma temperatura
extremamente baixa (GRIFFIN 1996) Aplicaremos uma aproximacao de Campo Medio
Essa aproximacao e obtida depois que encontramos o valor esperado dos operadores de
campo bosonico Portanto definiremos uma funcao de onda (parametro de ordem) que
vai ser capaz de satisfazer a equacao nao linear de Schrodinger
Observaremos tambem o que acontece com um gas de Bose quando ele e aprision-
ado por um potencial harmonico e tambem quando esse sistema e submetido a interacoes
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio)
Para uma melhor descricao do estado condensado faremos o uso da aproximacao
de campo medio que vai resultar em uma equacao de Schrodinger nao linear que recebe
o nome de Equacao de Gross-Pitaevskii (EGP) (CARRETERO-GONZALES R 2008
GRIFFIN 1996) A deducao dessa equacao de campo medio foi feita por Lev Petrovich
Pitaevskii e E P Gross Com essa aproximacao de campo medio podemos estudar com
mais profundidade as propriedades do estado condensado ou seja a equacao de Gross-
Pitaeviskii Dependente do Tempo vai descrever a dinamica do sistema E se linearizarmos
essa equacao ao redor do estado fundamental vamos conseguir descrever as excitacoes co-
letivas de baixa energia do sistema que esta submetido a uma temperatura extremamente
baixa
A aproximacao de campo medio e baseada na aproximacao de Bogoliubov A ideia
principal da teoria de Bogoliubov e de que a fracao de partıculas nao condensada sera
despresada ou seja os efeitos da parte termica (flutuacoes) serao despresados
Usando a teoria de Bogoliubov conseguiremos encontrar os estados de equilıbrio
do sistema atraves da equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
Para conseguir chegar na equacao que vai dar a descricao do estado condensado
isto e do estado fundamental vamos escrever o hamiltoniano para um sistema formado
por N partıculas bosonicas com massa m que interagem duas a duas confinadas por um
potencial externo Vext(~r)
A hamiltoniana para esse sistema e escrita em segunda quantizacao atraves dos
operadores de campo Ψdagger(~r t) Ψ(~r t) (GREINER 1996) bosons de criacao e aniquilacao
respectivamente
19
H =
intd~rΨdagger(~r t) H0 Ψ(~r t) +
1
2
intd~r d~r primeΨdagger(~r t) Ψdagger(~r prime t)V (~r minus ~r prime) Ψ(~r prime t) Ψ(~r t) (20)
onde Vext(~r) e o potencial externo (potencial de armadilha) V (~r minus ~r prime) e o potencial
interatomico e H0 = minus h2
2mnabla2 + Vext(~r)
Os operadores de campo Ψ(~r t) e Ψdagger(~r t) obedecem as seguintes regras de co-
mutacao para bosons
[Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = δ(~r minus ~r prime)
[Ψ(~r t)Ψ(~r prime t)] = 0
[Ψdagger(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = 0
O formalismo de segunda quantizacao e a melhor forma para desenvolver sistema
compostos por muitas partıculas quando estamos no contexto da mecanica quantica
(GREINER 1996)
Agora vamos escrever a equacao de Heisenberg (SAKURAI 1994) para poder
descrever o estado fundamental ou seja queremos observar a dinamica do sistema con-
densado e saber como o operador Ψ(~r t) ou Ψdagger(~r t) evolui no tempo
ihpartΨ
partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)
Calculando [Ψ(~r t)H] usando o hamiltoniano
[Ψ(~r t) H] =
[Ψ(~r t)
intd~rΨdagger(~r t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
intΨ(~r prime t)Vext(~r)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
1
2
intd~rd~r primeΨdagger(~r t)Ψdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)Ψ(~r prime t)Ψ(~r t)
](22)
20
Vamos calcular a primeira parcela
I1 =
[Ψ(~r t)
intΨdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
]I1 =
int [Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)
]d~r prime
I1 =
intδ(~r minus ~r)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
I1 =minush2
2mnabla2Ψ(~r t) (23)
Analogamente para as parcelas I2 e I3 e substituindo as tres parcelas na equacao
de Heisenberg equacao (21) obtemos
ihpartΨ
partt(~r t) =
[H0 +
intd~r primeΨdagger(~r prime t)V (~r prime minus ~r)Ψ(~r prime t)
]Ψ(~r t) (24)
A equacao (24) e uma equacao exata para o operador de campo Ψ(~r t)
Agora vamos decompor o operador de campo bosonico da seguinte forma
Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)
onde ψ representa o estado fundamental e δφ representa as flutuacoes Contudo obser-
vamos que esse operador de campo vai agir como se fosse o seu proprio valor medio no
nıvel de mais baixa energia ou seja (BARCI 2002)
ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 rarr equacao de campo medio
A equacao acima e considerada como sendo a equacao de onda do estado conden-
sado e uma equacao de onda macroscopica e uma funcao de onda quantica ou seja ela
representa um conjunto de todas partıculas bosonicas que estao no estado fundamental
isto e essas partıculas vao se deslocar coerentemente Entao δφ e uma pequena parcela
das partıculas que se encontrta fora do condensado e quando o sistema encontra-se com
uma temperatura muito abaixo de Tc essa parcela e realmente desprezada
O que foi feito acima foi descartar as flutuacoes para que se possa fazer uma
melhor analise somente da parte condensada (BARCI 2002) isto e estamos aplicando a
aproximacao de campo medio Consequentemente vamos fazer a seguinte substituicao
Ψ(~r t) minusrarr ψ(~r t)
Ψdagger(~r t) minusrarr ψdagger(~r t)
Substituindo na equacao (24) que e a equacao de movimento para o operador de
21
campo temos
ihpartψ
partt=
[H0 +
intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)
]ψ(~r t) (26)
Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer
algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito
baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica
interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo
consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos
levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas
estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial
(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos
Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial
Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)
as =m
4πh2
intd~r V (~r minus ~rprime)
onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento
Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)
ihpartψ(~r t)
partt=
[minush2
2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2
]ψ(~r t) (27)
A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo
(EGPDT)
Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)
onde N e o numero total de partıcula do condensado
Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a
solucao estacionaria vamos considerar
ψ(~r t) = exp(minusimicro
ht)ψ0(~r) (29)
onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT
Eq (27) obtemos[minus h2
2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
14
entao podemos escrever
Z(T V micro) =sumn1n2
[(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2]
=
[sumn1
(eminusβ(ε1minusmicro)
)n1
][sumn2
(eminusβ(ε2minusmicro)
)n2
] (4)
mas
Zi =sumni
eminusβni(εiminusmicro) (5)
A equacao (5) e a funcao particao de um estado quantico i
Na distribuicao de Bose-Eintein ni pode ser qualquer valor ou seja n = 0 1 2
Se eminusβ(εminusmicro) lt 1 dessa forma a funcao particao de um estado i sera
Zi =sumni
(eminusβ(εiminusmicro)
)ni=(1minus eminusβ(εiminusmicro)
)minus1(6)
Entao a probabilidade de obter ni partıculas no estado i e portanto
P (ni) =eminusβni(εiminusmicro)
Zi(7)
Portanto o numero medio de bosons em um estado i sera
ni =
sumniniP (ni)
Zi= kBT
part
partmicrolnZi (8)
Fazendo a diferenciacao vamos encontrar
ni =1
eβ(εiminusmicro) minus 1(9)
Dessa forma (8) e o numero medio de partıculas que ocupam um determinado
estado de energia i Tendo em maos o numero medio de partıculas em um estado quantico
i vamos obter o numero total N de partıculas que e dado por
N =nsumi=1
〈ni〉 =nsumi=1
1
exp [β (εi minus micro)]minus 1(10)
Analisando a expressao em (10) podemos observar que ao considerar o numero de
partıculas bosonicas como sendo conservado estamos impondo que o potencial quımico (micro)
e obrigatoriamente negativo ou nulo (micro le 0) isso faz com que o numero de ocupacao para
qualquer nıvel de energia seja positivo ou seja esse somatorio tem que ser convergente
E conveniente que na equacao (10) seja feito uma mudanca do somatorio para a
integral porem ao fazer essa mudanca temos que ter uma certa atencao pois o estado
fundamental possui uma energia εi = 0 e consequentemente a densidade de estado ρ(ε)
15
do estado fundamental tambem e igual a zero
A densidade de estado ρ(ε) do sistema vai representar a quantidade de estado
com energia entre ε e ε+ dε Entao ao fazermos a mudanca do somatorio para a integral
estamos deixando de lado muitas partıculas bosonicas que se encontra no estado de energia
mınima estado esse que possui aproximadamente um numero de partıculas que pode ser
igual ao proprio numero total N de partıculas do sistema isso explica porque somos
obrigados a manter a ocupacao N0 no estado fundamental Devido a isso trataremos as
partıculas que se encontra no estado fundamental separadamente isto e
N = N0 +Nε
N = N0 +
int infin0
nε ρ (ε) dε
N = N0 +
int infin0
1
eβ(εiminusmicro) minus 1ρ(ε)dε (11)
onde N0 e o numero de ocupacao no estado fundamental com εi = 0 e Nε e o numero
de ocupacao no estado excitado (SALINAS 1997)
Da equacao (11) observamos que a medida que a temperatura diminui micro cresce
podendo alcancar para uma determinada temperatura finita um valor maximo micro = 0 A
este ponto epecıfico chamamos de temperatura crıtica (Tc) pois quando a temperatura
diminui ha um crescimento macroscopico do numero de partıcula que constitui o estado
fundamental (N0) enquanto que a quantidade de partıculas existente no estato excitado
(fracao nao condensada) diminui proporcionalmente Essa ocupacao macroscopica vai
fazer com que a contribuicao estatıstica desse primeiro estado quantico degenerado seja
maior se compararmos com a parte nao condensada Isso e consequencia da quantidade
mınima de partıcula que ainda se encontra no estado excitado Portanto vamos calcular
o numero de partıcula existente no estado excitado isto e ε gt 0
Nε =
int infin0
ρ(ε)1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (12)
onde
ρ(ε) =dN
dε=
V
3π2
(2m
h2
)323
2ε12 (13)
Substituindo a equacao (13) que e a equacao da densidade de estado na equacao
16
(12) obtemos
Nε =V
3π2
(2m
h2
)32 int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32
int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (14)
Podemos agora determinar a temperatura de transicao Tc fazendo micro = 0 Vamos
obter
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32 3
2
int infin0
ε12
eβεi minus 1dε
=1
2π2
(2mkBT
h2
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (15)
No momento em que o sistema tem micro = 0 temos que fazer Nε = N isso indica
que T tem o seu valor maximo ou seja
N
V=
1
2π2
(2mkBTc
h
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (16)
Podemos extrair da equacao acima a temperatura de transicao Tc que e
Tc =2πh2
mkB
(1
2 612
N
V
)32
(17)
Dessa forma reescreveremos a equacao (17) em termos de Tc como sendo
Nε
N=
(T
Tc
)32
(18)
Consequentemente vamos obter um outro parametro muito importante que e a
fracao de partıculas bosonicas que se encontra no estado fundamental (N0N) isto e no
estado condensado em funcao de T
N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
(19)
Agora fica facil observar que a transicao que acontece a Tc pode exprimir-se pela
separacao dos comportamentos assintoticos do numero de ocupacao do estado fundamen-
tal isto e
(T gt Tc)N0
N= O
(1
N
)asymp 0 para temperaturas altas
(T lt Tc)N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
para temperaturas baixas
17
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado
de Bose-Einstein em funcao da
temperatura
Fonte SALINAS 1997 p238
Dessas expressoes podemos observar que abaixo de uma temperatura de transicao
Tc uma pequena populacao das partıculas bosonicas ocupam o nıvel de mais baixa de
energia isto e N0 rarr N Entao a medida que N cresce fica mais facil falar da temperatura
de transicao logo o numero de partıculas no estado fundamental se torna mais singular
Dessa forma para T lt Tc o estado condensado e macroscopicamente populado
entao podemos dizer que Tc e a temperatura na qual micro assume o seu valor maximo
Podemos afirmar que as expressoes acima nos permite identificar a densidade do conden-
sado com o parametro de ordem de transicao Denominamos entao que Condensacao de
Bose-Einstein e o fato de um gas ideal bosonico possuir uma temperatura de transicao
discreta Tc e tambem possuir uma porcao finita de todas as partıculas ocupando o nıvel
mais baixo de energia para T lt Tc
No proximo capıtulo estudaremos as consequencias de submetermos um gas de
Bose na presenca de interacoes Vamos analisar uma teoria extremamente importante
para o entendimento desse sistemas quanticos complexos Para isso teremos que fazer
certa aproximacoes para que o desenvolvimento e o entendimento do sistema se estabeleca
de maneira satisfatoria
18
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTERAGENTE
Neste capıtulo demonstraremos um formalismo que vai ser capaz de descrever
as propriedades do estado fundamental de um gas bosonico diluıdo a uma temperatura
extremamente baixa (GRIFFIN 1996) Aplicaremos uma aproximacao de Campo Medio
Essa aproximacao e obtida depois que encontramos o valor esperado dos operadores de
campo bosonico Portanto definiremos uma funcao de onda (parametro de ordem) que
vai ser capaz de satisfazer a equacao nao linear de Schrodinger
Observaremos tambem o que acontece com um gas de Bose quando ele e aprision-
ado por um potencial harmonico e tambem quando esse sistema e submetido a interacoes
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio)
Para uma melhor descricao do estado condensado faremos o uso da aproximacao
de campo medio que vai resultar em uma equacao de Schrodinger nao linear que recebe
o nome de Equacao de Gross-Pitaevskii (EGP) (CARRETERO-GONZALES R 2008
GRIFFIN 1996) A deducao dessa equacao de campo medio foi feita por Lev Petrovich
Pitaevskii e E P Gross Com essa aproximacao de campo medio podemos estudar com
mais profundidade as propriedades do estado condensado ou seja a equacao de Gross-
Pitaeviskii Dependente do Tempo vai descrever a dinamica do sistema E se linearizarmos
essa equacao ao redor do estado fundamental vamos conseguir descrever as excitacoes co-
letivas de baixa energia do sistema que esta submetido a uma temperatura extremamente
baixa
A aproximacao de campo medio e baseada na aproximacao de Bogoliubov A ideia
principal da teoria de Bogoliubov e de que a fracao de partıculas nao condensada sera
despresada ou seja os efeitos da parte termica (flutuacoes) serao despresados
Usando a teoria de Bogoliubov conseguiremos encontrar os estados de equilıbrio
do sistema atraves da equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
Para conseguir chegar na equacao que vai dar a descricao do estado condensado
isto e do estado fundamental vamos escrever o hamiltoniano para um sistema formado
por N partıculas bosonicas com massa m que interagem duas a duas confinadas por um
potencial externo Vext(~r)
A hamiltoniana para esse sistema e escrita em segunda quantizacao atraves dos
operadores de campo Ψdagger(~r t) Ψ(~r t) (GREINER 1996) bosons de criacao e aniquilacao
respectivamente
19
H =
intd~rΨdagger(~r t) H0 Ψ(~r t) +
1
2
intd~r d~r primeΨdagger(~r t) Ψdagger(~r prime t)V (~r minus ~r prime) Ψ(~r prime t) Ψ(~r t) (20)
onde Vext(~r) e o potencial externo (potencial de armadilha) V (~r minus ~r prime) e o potencial
interatomico e H0 = minus h2
2mnabla2 + Vext(~r)
Os operadores de campo Ψ(~r t) e Ψdagger(~r t) obedecem as seguintes regras de co-
mutacao para bosons
[Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = δ(~r minus ~r prime)
[Ψ(~r t)Ψ(~r prime t)] = 0
[Ψdagger(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = 0
O formalismo de segunda quantizacao e a melhor forma para desenvolver sistema
compostos por muitas partıculas quando estamos no contexto da mecanica quantica
(GREINER 1996)
Agora vamos escrever a equacao de Heisenberg (SAKURAI 1994) para poder
descrever o estado fundamental ou seja queremos observar a dinamica do sistema con-
densado e saber como o operador Ψ(~r t) ou Ψdagger(~r t) evolui no tempo
ihpartΨ
partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)
Calculando [Ψ(~r t)H] usando o hamiltoniano
[Ψ(~r t) H] =
[Ψ(~r t)
intd~rΨdagger(~r t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
intΨ(~r prime t)Vext(~r)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
1
2
intd~rd~r primeΨdagger(~r t)Ψdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)Ψ(~r prime t)Ψ(~r t)
](22)
20
Vamos calcular a primeira parcela
I1 =
[Ψ(~r t)
intΨdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
]I1 =
int [Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)
]d~r prime
I1 =
intδ(~r minus ~r)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
I1 =minush2
2mnabla2Ψ(~r t) (23)
Analogamente para as parcelas I2 e I3 e substituindo as tres parcelas na equacao
de Heisenberg equacao (21) obtemos
ihpartΨ
partt(~r t) =
[H0 +
intd~r primeΨdagger(~r prime t)V (~r prime minus ~r)Ψ(~r prime t)
]Ψ(~r t) (24)
A equacao (24) e uma equacao exata para o operador de campo Ψ(~r t)
Agora vamos decompor o operador de campo bosonico da seguinte forma
Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)
onde ψ representa o estado fundamental e δφ representa as flutuacoes Contudo obser-
vamos que esse operador de campo vai agir como se fosse o seu proprio valor medio no
nıvel de mais baixa energia ou seja (BARCI 2002)
ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 rarr equacao de campo medio
A equacao acima e considerada como sendo a equacao de onda do estado conden-
sado e uma equacao de onda macroscopica e uma funcao de onda quantica ou seja ela
representa um conjunto de todas partıculas bosonicas que estao no estado fundamental
isto e essas partıculas vao se deslocar coerentemente Entao δφ e uma pequena parcela
das partıculas que se encontrta fora do condensado e quando o sistema encontra-se com
uma temperatura muito abaixo de Tc essa parcela e realmente desprezada
O que foi feito acima foi descartar as flutuacoes para que se possa fazer uma
melhor analise somente da parte condensada (BARCI 2002) isto e estamos aplicando a
aproximacao de campo medio Consequentemente vamos fazer a seguinte substituicao
Ψ(~r t) minusrarr ψ(~r t)
Ψdagger(~r t) minusrarr ψdagger(~r t)
Substituindo na equacao (24) que e a equacao de movimento para o operador de
21
campo temos
ihpartψ
partt=
[H0 +
intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)
]ψ(~r t) (26)
Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer
algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito
baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica
interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo
consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos
levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas
estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial
(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos
Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial
Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)
as =m
4πh2
intd~r V (~r minus ~rprime)
onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento
Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)
ihpartψ(~r t)
partt=
[minush2
2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2
]ψ(~r t) (27)
A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo
(EGPDT)
Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)
onde N e o numero total de partıcula do condensado
Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a
solucao estacionaria vamos considerar
ψ(~r t) = exp(minusimicro
ht)ψ0(~r) (29)
onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT
Eq (27) obtemos[minus h2
2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
15
do estado fundamental tambem e igual a zero
A densidade de estado ρ(ε) do sistema vai representar a quantidade de estado
com energia entre ε e ε+ dε Entao ao fazermos a mudanca do somatorio para a integral
estamos deixando de lado muitas partıculas bosonicas que se encontra no estado de energia
mınima estado esse que possui aproximadamente um numero de partıculas que pode ser
igual ao proprio numero total N de partıculas do sistema isso explica porque somos
obrigados a manter a ocupacao N0 no estado fundamental Devido a isso trataremos as
partıculas que se encontra no estado fundamental separadamente isto e
N = N0 +Nε
N = N0 +
int infin0
nε ρ (ε) dε
N = N0 +
int infin0
1
eβ(εiminusmicro) minus 1ρ(ε)dε (11)
onde N0 e o numero de ocupacao no estado fundamental com εi = 0 e Nε e o numero
de ocupacao no estado excitado (SALINAS 1997)
Da equacao (11) observamos que a medida que a temperatura diminui micro cresce
podendo alcancar para uma determinada temperatura finita um valor maximo micro = 0 A
este ponto epecıfico chamamos de temperatura crıtica (Tc) pois quando a temperatura
diminui ha um crescimento macroscopico do numero de partıcula que constitui o estado
fundamental (N0) enquanto que a quantidade de partıculas existente no estato excitado
(fracao nao condensada) diminui proporcionalmente Essa ocupacao macroscopica vai
fazer com que a contribuicao estatıstica desse primeiro estado quantico degenerado seja
maior se compararmos com a parte nao condensada Isso e consequencia da quantidade
mınima de partıcula que ainda se encontra no estado excitado Portanto vamos calcular
o numero de partıcula existente no estado excitado isto e ε gt 0
Nε =
int infin0
ρ(ε)1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (12)
onde
ρ(ε) =dN
dε=
V
3π2
(2m
h2
)323
2ε12 (13)
Substituindo a equacao (13) que e a equacao da densidade de estado na equacao
16
(12) obtemos
Nε =V
3π2
(2m
h2
)32 int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32
int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (14)
Podemos agora determinar a temperatura de transicao Tc fazendo micro = 0 Vamos
obter
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32 3
2
int infin0
ε12
eβεi minus 1dε
=1
2π2
(2mkBT
h2
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (15)
No momento em que o sistema tem micro = 0 temos que fazer Nε = N isso indica
que T tem o seu valor maximo ou seja
N
V=
1
2π2
(2mkBTc
h
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (16)
Podemos extrair da equacao acima a temperatura de transicao Tc que e
Tc =2πh2
mkB
(1
2 612
N
V
)32
(17)
Dessa forma reescreveremos a equacao (17) em termos de Tc como sendo
Nε
N=
(T
Tc
)32
(18)
Consequentemente vamos obter um outro parametro muito importante que e a
fracao de partıculas bosonicas que se encontra no estado fundamental (N0N) isto e no
estado condensado em funcao de T
N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
(19)
Agora fica facil observar que a transicao que acontece a Tc pode exprimir-se pela
separacao dos comportamentos assintoticos do numero de ocupacao do estado fundamen-
tal isto e
(T gt Tc)N0
N= O
(1
N
)asymp 0 para temperaturas altas
(T lt Tc)N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
para temperaturas baixas
17
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado
de Bose-Einstein em funcao da
temperatura
Fonte SALINAS 1997 p238
Dessas expressoes podemos observar que abaixo de uma temperatura de transicao
Tc uma pequena populacao das partıculas bosonicas ocupam o nıvel de mais baixa de
energia isto e N0 rarr N Entao a medida que N cresce fica mais facil falar da temperatura
de transicao logo o numero de partıculas no estado fundamental se torna mais singular
Dessa forma para T lt Tc o estado condensado e macroscopicamente populado
entao podemos dizer que Tc e a temperatura na qual micro assume o seu valor maximo
Podemos afirmar que as expressoes acima nos permite identificar a densidade do conden-
sado com o parametro de ordem de transicao Denominamos entao que Condensacao de
Bose-Einstein e o fato de um gas ideal bosonico possuir uma temperatura de transicao
discreta Tc e tambem possuir uma porcao finita de todas as partıculas ocupando o nıvel
mais baixo de energia para T lt Tc
No proximo capıtulo estudaremos as consequencias de submetermos um gas de
Bose na presenca de interacoes Vamos analisar uma teoria extremamente importante
para o entendimento desse sistemas quanticos complexos Para isso teremos que fazer
certa aproximacoes para que o desenvolvimento e o entendimento do sistema se estabeleca
de maneira satisfatoria
18
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTERAGENTE
Neste capıtulo demonstraremos um formalismo que vai ser capaz de descrever
as propriedades do estado fundamental de um gas bosonico diluıdo a uma temperatura
extremamente baixa (GRIFFIN 1996) Aplicaremos uma aproximacao de Campo Medio
Essa aproximacao e obtida depois que encontramos o valor esperado dos operadores de
campo bosonico Portanto definiremos uma funcao de onda (parametro de ordem) que
vai ser capaz de satisfazer a equacao nao linear de Schrodinger
Observaremos tambem o que acontece com um gas de Bose quando ele e aprision-
ado por um potencial harmonico e tambem quando esse sistema e submetido a interacoes
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio)
Para uma melhor descricao do estado condensado faremos o uso da aproximacao
de campo medio que vai resultar em uma equacao de Schrodinger nao linear que recebe
o nome de Equacao de Gross-Pitaevskii (EGP) (CARRETERO-GONZALES R 2008
GRIFFIN 1996) A deducao dessa equacao de campo medio foi feita por Lev Petrovich
Pitaevskii e E P Gross Com essa aproximacao de campo medio podemos estudar com
mais profundidade as propriedades do estado condensado ou seja a equacao de Gross-
Pitaeviskii Dependente do Tempo vai descrever a dinamica do sistema E se linearizarmos
essa equacao ao redor do estado fundamental vamos conseguir descrever as excitacoes co-
letivas de baixa energia do sistema que esta submetido a uma temperatura extremamente
baixa
A aproximacao de campo medio e baseada na aproximacao de Bogoliubov A ideia
principal da teoria de Bogoliubov e de que a fracao de partıculas nao condensada sera
despresada ou seja os efeitos da parte termica (flutuacoes) serao despresados
Usando a teoria de Bogoliubov conseguiremos encontrar os estados de equilıbrio
do sistema atraves da equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
Para conseguir chegar na equacao que vai dar a descricao do estado condensado
isto e do estado fundamental vamos escrever o hamiltoniano para um sistema formado
por N partıculas bosonicas com massa m que interagem duas a duas confinadas por um
potencial externo Vext(~r)
A hamiltoniana para esse sistema e escrita em segunda quantizacao atraves dos
operadores de campo Ψdagger(~r t) Ψ(~r t) (GREINER 1996) bosons de criacao e aniquilacao
respectivamente
19
H =
intd~rΨdagger(~r t) H0 Ψ(~r t) +
1
2
intd~r d~r primeΨdagger(~r t) Ψdagger(~r prime t)V (~r minus ~r prime) Ψ(~r prime t) Ψ(~r t) (20)
onde Vext(~r) e o potencial externo (potencial de armadilha) V (~r minus ~r prime) e o potencial
interatomico e H0 = minus h2
2mnabla2 + Vext(~r)
Os operadores de campo Ψ(~r t) e Ψdagger(~r t) obedecem as seguintes regras de co-
mutacao para bosons
[Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = δ(~r minus ~r prime)
[Ψ(~r t)Ψ(~r prime t)] = 0
[Ψdagger(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = 0
O formalismo de segunda quantizacao e a melhor forma para desenvolver sistema
compostos por muitas partıculas quando estamos no contexto da mecanica quantica
(GREINER 1996)
Agora vamos escrever a equacao de Heisenberg (SAKURAI 1994) para poder
descrever o estado fundamental ou seja queremos observar a dinamica do sistema con-
densado e saber como o operador Ψ(~r t) ou Ψdagger(~r t) evolui no tempo
ihpartΨ
partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)
Calculando [Ψ(~r t)H] usando o hamiltoniano
[Ψ(~r t) H] =
[Ψ(~r t)
intd~rΨdagger(~r t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
intΨ(~r prime t)Vext(~r)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
1
2
intd~rd~r primeΨdagger(~r t)Ψdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)Ψ(~r prime t)Ψ(~r t)
](22)
20
Vamos calcular a primeira parcela
I1 =
[Ψ(~r t)
intΨdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
]I1 =
int [Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)
]d~r prime
I1 =
intδ(~r minus ~r)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
I1 =minush2
2mnabla2Ψ(~r t) (23)
Analogamente para as parcelas I2 e I3 e substituindo as tres parcelas na equacao
de Heisenberg equacao (21) obtemos
ihpartΨ
partt(~r t) =
[H0 +
intd~r primeΨdagger(~r prime t)V (~r prime minus ~r)Ψ(~r prime t)
]Ψ(~r t) (24)
A equacao (24) e uma equacao exata para o operador de campo Ψ(~r t)
Agora vamos decompor o operador de campo bosonico da seguinte forma
Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)
onde ψ representa o estado fundamental e δφ representa as flutuacoes Contudo obser-
vamos que esse operador de campo vai agir como se fosse o seu proprio valor medio no
nıvel de mais baixa energia ou seja (BARCI 2002)
ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 rarr equacao de campo medio
A equacao acima e considerada como sendo a equacao de onda do estado conden-
sado e uma equacao de onda macroscopica e uma funcao de onda quantica ou seja ela
representa um conjunto de todas partıculas bosonicas que estao no estado fundamental
isto e essas partıculas vao se deslocar coerentemente Entao δφ e uma pequena parcela
das partıculas que se encontrta fora do condensado e quando o sistema encontra-se com
uma temperatura muito abaixo de Tc essa parcela e realmente desprezada
O que foi feito acima foi descartar as flutuacoes para que se possa fazer uma
melhor analise somente da parte condensada (BARCI 2002) isto e estamos aplicando a
aproximacao de campo medio Consequentemente vamos fazer a seguinte substituicao
Ψ(~r t) minusrarr ψ(~r t)
Ψdagger(~r t) minusrarr ψdagger(~r t)
Substituindo na equacao (24) que e a equacao de movimento para o operador de
21
campo temos
ihpartψ
partt=
[H0 +
intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)
]ψ(~r t) (26)
Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer
algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito
baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica
interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo
consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos
levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas
estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial
(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos
Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial
Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)
as =m
4πh2
intd~r V (~r minus ~rprime)
onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento
Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)
ihpartψ(~r t)
partt=
[minush2
2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2
]ψ(~r t) (27)
A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo
(EGPDT)
Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)
onde N e o numero total de partıcula do condensado
Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a
solucao estacionaria vamos considerar
ψ(~r t) = exp(minusimicro
ht)ψ0(~r) (29)
onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT
Eq (27) obtemos[minus h2
2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
16
(12) obtemos
Nε =V
3π2
(2m
h2
)32 int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32
int infin0
3
2ε12 1
eβ(εiminusmicro) minus 1dε (14)
Podemos agora determinar a temperatura de transicao Tc fazendo micro = 0 Vamos
obter
Nε
V=
1
3π2h3 (2m)32 3
2
int infin0
ε12
eβεi minus 1dε
=1
2π2
(2mkBT
h2
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (15)
No momento em que o sistema tem micro = 0 temos que fazer Nε = N isso indica
que T tem o seu valor maximo ou seja
N
V=
1
2π2
(2mkBTc
h
)32 int infin0
x12
ex minus 1d~x (16)
Podemos extrair da equacao acima a temperatura de transicao Tc que e
Tc =2πh2
mkB
(1
2 612
N
V
)32
(17)
Dessa forma reescreveremos a equacao (17) em termos de Tc como sendo
Nε
N=
(T
Tc
)32
(18)
Consequentemente vamos obter um outro parametro muito importante que e a
fracao de partıculas bosonicas que se encontra no estado fundamental (N0N) isto e no
estado condensado em funcao de T
N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
(19)
Agora fica facil observar que a transicao que acontece a Tc pode exprimir-se pela
separacao dos comportamentos assintoticos do numero de ocupacao do estado fundamen-
tal isto e
(T gt Tc)N0
N= O
(1
N
)asymp 0 para temperaturas altas
(T lt Tc)N0
N= 1minus
(T
Tc
)32
para temperaturas baixas
17
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado
de Bose-Einstein em funcao da
temperatura
Fonte SALINAS 1997 p238
Dessas expressoes podemos observar que abaixo de uma temperatura de transicao
Tc uma pequena populacao das partıculas bosonicas ocupam o nıvel de mais baixa de
energia isto e N0 rarr N Entao a medida que N cresce fica mais facil falar da temperatura
de transicao logo o numero de partıculas no estado fundamental se torna mais singular
Dessa forma para T lt Tc o estado condensado e macroscopicamente populado
entao podemos dizer que Tc e a temperatura na qual micro assume o seu valor maximo
Podemos afirmar que as expressoes acima nos permite identificar a densidade do conden-
sado com o parametro de ordem de transicao Denominamos entao que Condensacao de
Bose-Einstein e o fato de um gas ideal bosonico possuir uma temperatura de transicao
discreta Tc e tambem possuir uma porcao finita de todas as partıculas ocupando o nıvel
mais baixo de energia para T lt Tc
No proximo capıtulo estudaremos as consequencias de submetermos um gas de
Bose na presenca de interacoes Vamos analisar uma teoria extremamente importante
para o entendimento desse sistemas quanticos complexos Para isso teremos que fazer
certa aproximacoes para que o desenvolvimento e o entendimento do sistema se estabeleca
de maneira satisfatoria
18
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTERAGENTE
Neste capıtulo demonstraremos um formalismo que vai ser capaz de descrever
as propriedades do estado fundamental de um gas bosonico diluıdo a uma temperatura
extremamente baixa (GRIFFIN 1996) Aplicaremos uma aproximacao de Campo Medio
Essa aproximacao e obtida depois que encontramos o valor esperado dos operadores de
campo bosonico Portanto definiremos uma funcao de onda (parametro de ordem) que
vai ser capaz de satisfazer a equacao nao linear de Schrodinger
Observaremos tambem o que acontece com um gas de Bose quando ele e aprision-
ado por um potencial harmonico e tambem quando esse sistema e submetido a interacoes
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio)
Para uma melhor descricao do estado condensado faremos o uso da aproximacao
de campo medio que vai resultar em uma equacao de Schrodinger nao linear que recebe
o nome de Equacao de Gross-Pitaevskii (EGP) (CARRETERO-GONZALES R 2008
GRIFFIN 1996) A deducao dessa equacao de campo medio foi feita por Lev Petrovich
Pitaevskii e E P Gross Com essa aproximacao de campo medio podemos estudar com
mais profundidade as propriedades do estado condensado ou seja a equacao de Gross-
Pitaeviskii Dependente do Tempo vai descrever a dinamica do sistema E se linearizarmos
essa equacao ao redor do estado fundamental vamos conseguir descrever as excitacoes co-
letivas de baixa energia do sistema que esta submetido a uma temperatura extremamente
baixa
A aproximacao de campo medio e baseada na aproximacao de Bogoliubov A ideia
principal da teoria de Bogoliubov e de que a fracao de partıculas nao condensada sera
despresada ou seja os efeitos da parte termica (flutuacoes) serao despresados
Usando a teoria de Bogoliubov conseguiremos encontrar os estados de equilıbrio
do sistema atraves da equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
Para conseguir chegar na equacao que vai dar a descricao do estado condensado
isto e do estado fundamental vamos escrever o hamiltoniano para um sistema formado
por N partıculas bosonicas com massa m que interagem duas a duas confinadas por um
potencial externo Vext(~r)
A hamiltoniana para esse sistema e escrita em segunda quantizacao atraves dos
operadores de campo Ψdagger(~r t) Ψ(~r t) (GREINER 1996) bosons de criacao e aniquilacao
respectivamente
19
H =
intd~rΨdagger(~r t) H0 Ψ(~r t) +
1
2
intd~r d~r primeΨdagger(~r t) Ψdagger(~r prime t)V (~r minus ~r prime) Ψ(~r prime t) Ψ(~r t) (20)
onde Vext(~r) e o potencial externo (potencial de armadilha) V (~r minus ~r prime) e o potencial
interatomico e H0 = minus h2
2mnabla2 + Vext(~r)
Os operadores de campo Ψ(~r t) e Ψdagger(~r t) obedecem as seguintes regras de co-
mutacao para bosons
[Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = δ(~r minus ~r prime)
[Ψ(~r t)Ψ(~r prime t)] = 0
[Ψdagger(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = 0
O formalismo de segunda quantizacao e a melhor forma para desenvolver sistema
compostos por muitas partıculas quando estamos no contexto da mecanica quantica
(GREINER 1996)
Agora vamos escrever a equacao de Heisenberg (SAKURAI 1994) para poder
descrever o estado fundamental ou seja queremos observar a dinamica do sistema con-
densado e saber como o operador Ψ(~r t) ou Ψdagger(~r t) evolui no tempo
ihpartΨ
partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)
Calculando [Ψ(~r t)H] usando o hamiltoniano
[Ψ(~r t) H] =
[Ψ(~r t)
intd~rΨdagger(~r t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
intΨ(~r prime t)Vext(~r)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
1
2
intd~rd~r primeΨdagger(~r t)Ψdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)Ψ(~r prime t)Ψ(~r t)
](22)
20
Vamos calcular a primeira parcela
I1 =
[Ψ(~r t)
intΨdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
]I1 =
int [Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)
]d~r prime
I1 =
intδ(~r minus ~r)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
I1 =minush2
2mnabla2Ψ(~r t) (23)
Analogamente para as parcelas I2 e I3 e substituindo as tres parcelas na equacao
de Heisenberg equacao (21) obtemos
ihpartΨ
partt(~r t) =
[H0 +
intd~r primeΨdagger(~r prime t)V (~r prime minus ~r)Ψ(~r prime t)
]Ψ(~r t) (24)
A equacao (24) e uma equacao exata para o operador de campo Ψ(~r t)
Agora vamos decompor o operador de campo bosonico da seguinte forma
Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)
onde ψ representa o estado fundamental e δφ representa as flutuacoes Contudo obser-
vamos que esse operador de campo vai agir como se fosse o seu proprio valor medio no
nıvel de mais baixa energia ou seja (BARCI 2002)
ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 rarr equacao de campo medio
A equacao acima e considerada como sendo a equacao de onda do estado conden-
sado e uma equacao de onda macroscopica e uma funcao de onda quantica ou seja ela
representa um conjunto de todas partıculas bosonicas que estao no estado fundamental
isto e essas partıculas vao se deslocar coerentemente Entao δφ e uma pequena parcela
das partıculas que se encontrta fora do condensado e quando o sistema encontra-se com
uma temperatura muito abaixo de Tc essa parcela e realmente desprezada
O que foi feito acima foi descartar as flutuacoes para que se possa fazer uma
melhor analise somente da parte condensada (BARCI 2002) isto e estamos aplicando a
aproximacao de campo medio Consequentemente vamos fazer a seguinte substituicao
Ψ(~r t) minusrarr ψ(~r t)
Ψdagger(~r t) minusrarr ψdagger(~r t)
Substituindo na equacao (24) que e a equacao de movimento para o operador de
21
campo temos
ihpartψ
partt=
[H0 +
intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)
]ψ(~r t) (26)
Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer
algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito
baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica
interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo
consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos
levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas
estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial
(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos
Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial
Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)
as =m
4πh2
intd~r V (~r minus ~rprime)
onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento
Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)
ihpartψ(~r t)
partt=
[minush2
2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2
]ψ(~r t) (27)
A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo
(EGPDT)
Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)
onde N e o numero total de partıcula do condensado
Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a
solucao estacionaria vamos considerar
ψ(~r t) = exp(minusimicro
ht)ψ0(~r) (29)
onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT
Eq (27) obtemos[minus h2
2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
17
Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado
de Bose-Einstein em funcao da
temperatura
Fonte SALINAS 1997 p238
Dessas expressoes podemos observar que abaixo de uma temperatura de transicao
Tc uma pequena populacao das partıculas bosonicas ocupam o nıvel de mais baixa de
energia isto e N0 rarr N Entao a medida que N cresce fica mais facil falar da temperatura
de transicao logo o numero de partıculas no estado fundamental se torna mais singular
Dessa forma para T lt Tc o estado condensado e macroscopicamente populado
entao podemos dizer que Tc e a temperatura na qual micro assume o seu valor maximo
Podemos afirmar que as expressoes acima nos permite identificar a densidade do conden-
sado com o parametro de ordem de transicao Denominamos entao que Condensacao de
Bose-Einstein e o fato de um gas ideal bosonico possuir uma temperatura de transicao
discreta Tc e tambem possuir uma porcao finita de todas as partıculas ocupando o nıvel
mais baixo de energia para T lt Tc
No proximo capıtulo estudaremos as consequencias de submetermos um gas de
Bose na presenca de interacoes Vamos analisar uma teoria extremamente importante
para o entendimento desse sistemas quanticos complexos Para isso teremos que fazer
certa aproximacoes para que o desenvolvimento e o entendimento do sistema se estabeleca
de maneira satisfatoria
18
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTERAGENTE
Neste capıtulo demonstraremos um formalismo que vai ser capaz de descrever
as propriedades do estado fundamental de um gas bosonico diluıdo a uma temperatura
extremamente baixa (GRIFFIN 1996) Aplicaremos uma aproximacao de Campo Medio
Essa aproximacao e obtida depois que encontramos o valor esperado dos operadores de
campo bosonico Portanto definiremos uma funcao de onda (parametro de ordem) que
vai ser capaz de satisfazer a equacao nao linear de Schrodinger
Observaremos tambem o que acontece com um gas de Bose quando ele e aprision-
ado por um potencial harmonico e tambem quando esse sistema e submetido a interacoes
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio)
Para uma melhor descricao do estado condensado faremos o uso da aproximacao
de campo medio que vai resultar em uma equacao de Schrodinger nao linear que recebe
o nome de Equacao de Gross-Pitaevskii (EGP) (CARRETERO-GONZALES R 2008
GRIFFIN 1996) A deducao dessa equacao de campo medio foi feita por Lev Petrovich
Pitaevskii e E P Gross Com essa aproximacao de campo medio podemos estudar com
mais profundidade as propriedades do estado condensado ou seja a equacao de Gross-
Pitaeviskii Dependente do Tempo vai descrever a dinamica do sistema E se linearizarmos
essa equacao ao redor do estado fundamental vamos conseguir descrever as excitacoes co-
letivas de baixa energia do sistema que esta submetido a uma temperatura extremamente
baixa
A aproximacao de campo medio e baseada na aproximacao de Bogoliubov A ideia
principal da teoria de Bogoliubov e de que a fracao de partıculas nao condensada sera
despresada ou seja os efeitos da parte termica (flutuacoes) serao despresados
Usando a teoria de Bogoliubov conseguiremos encontrar os estados de equilıbrio
do sistema atraves da equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
Para conseguir chegar na equacao que vai dar a descricao do estado condensado
isto e do estado fundamental vamos escrever o hamiltoniano para um sistema formado
por N partıculas bosonicas com massa m que interagem duas a duas confinadas por um
potencial externo Vext(~r)
A hamiltoniana para esse sistema e escrita em segunda quantizacao atraves dos
operadores de campo Ψdagger(~r t) Ψ(~r t) (GREINER 1996) bosons de criacao e aniquilacao
respectivamente
19
H =
intd~rΨdagger(~r t) H0 Ψ(~r t) +
1
2
intd~r d~r primeΨdagger(~r t) Ψdagger(~r prime t)V (~r minus ~r prime) Ψ(~r prime t) Ψ(~r t) (20)
onde Vext(~r) e o potencial externo (potencial de armadilha) V (~r minus ~r prime) e o potencial
interatomico e H0 = minus h2
2mnabla2 + Vext(~r)
Os operadores de campo Ψ(~r t) e Ψdagger(~r t) obedecem as seguintes regras de co-
mutacao para bosons
[Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = δ(~r minus ~r prime)
[Ψ(~r t)Ψ(~r prime t)] = 0
[Ψdagger(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = 0
O formalismo de segunda quantizacao e a melhor forma para desenvolver sistema
compostos por muitas partıculas quando estamos no contexto da mecanica quantica
(GREINER 1996)
Agora vamos escrever a equacao de Heisenberg (SAKURAI 1994) para poder
descrever o estado fundamental ou seja queremos observar a dinamica do sistema con-
densado e saber como o operador Ψ(~r t) ou Ψdagger(~r t) evolui no tempo
ihpartΨ
partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)
Calculando [Ψ(~r t)H] usando o hamiltoniano
[Ψ(~r t) H] =
[Ψ(~r t)
intd~rΨdagger(~r t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
intΨ(~r prime t)Vext(~r)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
1
2
intd~rd~r primeΨdagger(~r t)Ψdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)Ψ(~r prime t)Ψ(~r t)
](22)
20
Vamos calcular a primeira parcela
I1 =
[Ψ(~r t)
intΨdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
]I1 =
int [Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)
]d~r prime
I1 =
intδ(~r minus ~r)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
I1 =minush2
2mnabla2Ψ(~r t) (23)
Analogamente para as parcelas I2 e I3 e substituindo as tres parcelas na equacao
de Heisenberg equacao (21) obtemos
ihpartΨ
partt(~r t) =
[H0 +
intd~r primeΨdagger(~r prime t)V (~r prime minus ~r)Ψ(~r prime t)
]Ψ(~r t) (24)
A equacao (24) e uma equacao exata para o operador de campo Ψ(~r t)
Agora vamos decompor o operador de campo bosonico da seguinte forma
Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)
onde ψ representa o estado fundamental e δφ representa as flutuacoes Contudo obser-
vamos que esse operador de campo vai agir como se fosse o seu proprio valor medio no
nıvel de mais baixa energia ou seja (BARCI 2002)
ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 rarr equacao de campo medio
A equacao acima e considerada como sendo a equacao de onda do estado conden-
sado e uma equacao de onda macroscopica e uma funcao de onda quantica ou seja ela
representa um conjunto de todas partıculas bosonicas que estao no estado fundamental
isto e essas partıculas vao se deslocar coerentemente Entao δφ e uma pequena parcela
das partıculas que se encontrta fora do condensado e quando o sistema encontra-se com
uma temperatura muito abaixo de Tc essa parcela e realmente desprezada
O que foi feito acima foi descartar as flutuacoes para que se possa fazer uma
melhor analise somente da parte condensada (BARCI 2002) isto e estamos aplicando a
aproximacao de campo medio Consequentemente vamos fazer a seguinte substituicao
Ψ(~r t) minusrarr ψ(~r t)
Ψdagger(~r t) minusrarr ψdagger(~r t)
Substituindo na equacao (24) que e a equacao de movimento para o operador de
21
campo temos
ihpartψ
partt=
[H0 +
intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)
]ψ(~r t) (26)
Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer
algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito
baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica
interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo
consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos
levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas
estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial
(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos
Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial
Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)
as =m
4πh2
intd~r V (~r minus ~rprime)
onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento
Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)
ihpartψ(~r t)
partt=
[minush2
2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2
]ψ(~r t) (27)
A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo
(EGPDT)
Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)
onde N e o numero total de partıcula do condensado
Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a
solucao estacionaria vamos considerar
ψ(~r t) = exp(minusimicro
ht)ψ0(~r) (29)
onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT
Eq (27) obtemos[minus h2
2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
18
2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTERAGENTE
Neste capıtulo demonstraremos um formalismo que vai ser capaz de descrever
as propriedades do estado fundamental de um gas bosonico diluıdo a uma temperatura
extremamente baixa (GRIFFIN 1996) Aplicaremos uma aproximacao de Campo Medio
Essa aproximacao e obtida depois que encontramos o valor esperado dos operadores de
campo bosonico Portanto definiremos uma funcao de onda (parametro de ordem) que
vai ser capaz de satisfazer a equacao nao linear de Schrodinger
Observaremos tambem o que acontece com um gas de Bose quando ele e aprision-
ado por um potencial harmonico e tambem quando esse sistema e submetido a interacoes
21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio)
Para uma melhor descricao do estado condensado faremos o uso da aproximacao
de campo medio que vai resultar em uma equacao de Schrodinger nao linear que recebe
o nome de Equacao de Gross-Pitaevskii (EGP) (CARRETERO-GONZALES R 2008
GRIFFIN 1996) A deducao dessa equacao de campo medio foi feita por Lev Petrovich
Pitaevskii e E P Gross Com essa aproximacao de campo medio podemos estudar com
mais profundidade as propriedades do estado condensado ou seja a equacao de Gross-
Pitaeviskii Dependente do Tempo vai descrever a dinamica do sistema E se linearizarmos
essa equacao ao redor do estado fundamental vamos conseguir descrever as excitacoes co-
letivas de baixa energia do sistema que esta submetido a uma temperatura extremamente
baixa
A aproximacao de campo medio e baseada na aproximacao de Bogoliubov A ideia
principal da teoria de Bogoliubov e de que a fracao de partıculas nao condensada sera
despresada ou seja os efeitos da parte termica (flutuacoes) serao despresados
Usando a teoria de Bogoliubov conseguiremos encontrar os estados de equilıbrio
do sistema atraves da equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
Para conseguir chegar na equacao que vai dar a descricao do estado condensado
isto e do estado fundamental vamos escrever o hamiltoniano para um sistema formado
por N partıculas bosonicas com massa m que interagem duas a duas confinadas por um
potencial externo Vext(~r)
A hamiltoniana para esse sistema e escrita em segunda quantizacao atraves dos
operadores de campo Ψdagger(~r t) Ψ(~r t) (GREINER 1996) bosons de criacao e aniquilacao
respectivamente
19
H =
intd~rΨdagger(~r t) H0 Ψ(~r t) +
1
2
intd~r d~r primeΨdagger(~r t) Ψdagger(~r prime t)V (~r minus ~r prime) Ψ(~r prime t) Ψ(~r t) (20)
onde Vext(~r) e o potencial externo (potencial de armadilha) V (~r minus ~r prime) e o potencial
interatomico e H0 = minus h2
2mnabla2 + Vext(~r)
Os operadores de campo Ψ(~r t) e Ψdagger(~r t) obedecem as seguintes regras de co-
mutacao para bosons
[Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = δ(~r minus ~r prime)
[Ψ(~r t)Ψ(~r prime t)] = 0
[Ψdagger(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = 0
O formalismo de segunda quantizacao e a melhor forma para desenvolver sistema
compostos por muitas partıculas quando estamos no contexto da mecanica quantica
(GREINER 1996)
Agora vamos escrever a equacao de Heisenberg (SAKURAI 1994) para poder
descrever o estado fundamental ou seja queremos observar a dinamica do sistema con-
densado e saber como o operador Ψ(~r t) ou Ψdagger(~r t) evolui no tempo
ihpartΨ
partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)
Calculando [Ψ(~r t)H] usando o hamiltoniano
[Ψ(~r t) H] =
[Ψ(~r t)
intd~rΨdagger(~r t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
intΨ(~r prime t)Vext(~r)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
1
2
intd~rd~r primeΨdagger(~r t)Ψdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)Ψ(~r prime t)Ψ(~r t)
](22)
20
Vamos calcular a primeira parcela
I1 =
[Ψ(~r t)
intΨdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
]I1 =
int [Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)
]d~r prime
I1 =
intδ(~r minus ~r)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
I1 =minush2
2mnabla2Ψ(~r t) (23)
Analogamente para as parcelas I2 e I3 e substituindo as tres parcelas na equacao
de Heisenberg equacao (21) obtemos
ihpartΨ
partt(~r t) =
[H0 +
intd~r primeΨdagger(~r prime t)V (~r prime minus ~r)Ψ(~r prime t)
]Ψ(~r t) (24)
A equacao (24) e uma equacao exata para o operador de campo Ψ(~r t)
Agora vamos decompor o operador de campo bosonico da seguinte forma
Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)
onde ψ representa o estado fundamental e δφ representa as flutuacoes Contudo obser-
vamos que esse operador de campo vai agir como se fosse o seu proprio valor medio no
nıvel de mais baixa energia ou seja (BARCI 2002)
ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 rarr equacao de campo medio
A equacao acima e considerada como sendo a equacao de onda do estado conden-
sado e uma equacao de onda macroscopica e uma funcao de onda quantica ou seja ela
representa um conjunto de todas partıculas bosonicas que estao no estado fundamental
isto e essas partıculas vao se deslocar coerentemente Entao δφ e uma pequena parcela
das partıculas que se encontrta fora do condensado e quando o sistema encontra-se com
uma temperatura muito abaixo de Tc essa parcela e realmente desprezada
O que foi feito acima foi descartar as flutuacoes para que se possa fazer uma
melhor analise somente da parte condensada (BARCI 2002) isto e estamos aplicando a
aproximacao de campo medio Consequentemente vamos fazer a seguinte substituicao
Ψ(~r t) minusrarr ψ(~r t)
Ψdagger(~r t) minusrarr ψdagger(~r t)
Substituindo na equacao (24) que e a equacao de movimento para o operador de
21
campo temos
ihpartψ
partt=
[H0 +
intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)
]ψ(~r t) (26)
Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer
algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito
baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica
interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo
consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos
levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas
estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial
(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos
Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial
Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)
as =m
4πh2
intd~r V (~r minus ~rprime)
onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento
Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)
ihpartψ(~r t)
partt=
[minush2
2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2
]ψ(~r t) (27)
A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo
(EGPDT)
Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)
onde N e o numero total de partıcula do condensado
Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a
solucao estacionaria vamos considerar
ψ(~r t) = exp(minusimicro
ht)ψ0(~r) (29)
onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT
Eq (27) obtemos[minus h2
2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
19
H =
intd~rΨdagger(~r t) H0 Ψ(~r t) +
1
2
intd~r d~r primeΨdagger(~r t) Ψdagger(~r prime t)V (~r minus ~r prime) Ψ(~r prime t) Ψ(~r t) (20)
onde Vext(~r) e o potencial externo (potencial de armadilha) V (~r minus ~r prime) e o potencial
interatomico e H0 = minus h2
2mnabla2 + Vext(~r)
Os operadores de campo Ψ(~r t) e Ψdagger(~r t) obedecem as seguintes regras de co-
mutacao para bosons
[Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = δ(~r minus ~r prime)
[Ψ(~r t)Ψ(~r prime t)] = 0
[Ψdagger(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = 0
O formalismo de segunda quantizacao e a melhor forma para desenvolver sistema
compostos por muitas partıculas quando estamos no contexto da mecanica quantica
(GREINER 1996)
Agora vamos escrever a equacao de Heisenberg (SAKURAI 1994) para poder
descrever o estado fundamental ou seja queremos observar a dinamica do sistema con-
densado e saber como o operador Ψ(~r t) ou Ψdagger(~r t) evolui no tempo
ihpartΨ
partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)
Calculando [Ψ(~r t)H] usando o hamiltoniano
[Ψ(~r t) H] =
[Ψ(~r t)
intd~rΨdagger(~r t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
intΨ(~r prime t)Vext(~r)Ψ(~r t)
]+
[Ψ(~r t)
1
2
intd~rd~r primeΨdagger(~r t)Ψdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)Ψ(~r prime t)Ψ(~r t)
](22)
20
Vamos calcular a primeira parcela
I1 =
[Ψ(~r t)
intΨdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
]I1 =
int [Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)
]d~r prime
I1 =
intδ(~r minus ~r)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
I1 =minush2
2mnabla2Ψ(~r t) (23)
Analogamente para as parcelas I2 e I3 e substituindo as tres parcelas na equacao
de Heisenberg equacao (21) obtemos
ihpartΨ
partt(~r t) =
[H0 +
intd~r primeΨdagger(~r prime t)V (~r prime minus ~r)Ψ(~r prime t)
]Ψ(~r t) (24)
A equacao (24) e uma equacao exata para o operador de campo Ψ(~r t)
Agora vamos decompor o operador de campo bosonico da seguinte forma
Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)
onde ψ representa o estado fundamental e δφ representa as flutuacoes Contudo obser-
vamos que esse operador de campo vai agir como se fosse o seu proprio valor medio no
nıvel de mais baixa energia ou seja (BARCI 2002)
ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 rarr equacao de campo medio
A equacao acima e considerada como sendo a equacao de onda do estado conden-
sado e uma equacao de onda macroscopica e uma funcao de onda quantica ou seja ela
representa um conjunto de todas partıculas bosonicas que estao no estado fundamental
isto e essas partıculas vao se deslocar coerentemente Entao δφ e uma pequena parcela
das partıculas que se encontrta fora do condensado e quando o sistema encontra-se com
uma temperatura muito abaixo de Tc essa parcela e realmente desprezada
O que foi feito acima foi descartar as flutuacoes para que se possa fazer uma
melhor analise somente da parte condensada (BARCI 2002) isto e estamos aplicando a
aproximacao de campo medio Consequentemente vamos fazer a seguinte substituicao
Ψ(~r t) minusrarr ψ(~r t)
Ψdagger(~r t) minusrarr ψdagger(~r t)
Substituindo na equacao (24) que e a equacao de movimento para o operador de
21
campo temos
ihpartψ
partt=
[H0 +
intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)
]ψ(~r t) (26)
Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer
algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito
baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica
interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo
consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos
levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas
estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial
(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos
Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial
Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)
as =m
4πh2
intd~r V (~r minus ~rprime)
onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento
Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)
ihpartψ(~r t)
partt=
[minush2
2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2
]ψ(~r t) (27)
A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo
(EGPDT)
Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)
onde N e o numero total de partıcula do condensado
Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a
solucao estacionaria vamos considerar
ψ(~r t) = exp(minusimicro
ht)ψ0(~r) (29)
onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT
Eq (27) obtemos[minus h2
2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
20
Vamos calcular a primeira parcela
I1 =
[Ψ(~r t)
intΨdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
]I1 =
int [Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)
]d~r prime
I1 =
intδ(~r minus ~r)
(minush2
2mnabla2
)Ψ(~r prime t)d~r prime
I1 =minush2
2mnabla2Ψ(~r t) (23)
Analogamente para as parcelas I2 e I3 e substituindo as tres parcelas na equacao
de Heisenberg equacao (21) obtemos
ihpartΨ
partt(~r t) =
[H0 +
intd~r primeΨdagger(~r prime t)V (~r prime minus ~r)Ψ(~r prime t)
]Ψ(~r t) (24)
A equacao (24) e uma equacao exata para o operador de campo Ψ(~r t)
Agora vamos decompor o operador de campo bosonico da seguinte forma
Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)
onde ψ representa o estado fundamental e δφ representa as flutuacoes Contudo obser-
vamos que esse operador de campo vai agir como se fosse o seu proprio valor medio no
nıvel de mais baixa energia ou seja (BARCI 2002)
ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 rarr equacao de campo medio
A equacao acima e considerada como sendo a equacao de onda do estado conden-
sado e uma equacao de onda macroscopica e uma funcao de onda quantica ou seja ela
representa um conjunto de todas partıculas bosonicas que estao no estado fundamental
isto e essas partıculas vao se deslocar coerentemente Entao δφ e uma pequena parcela
das partıculas que se encontrta fora do condensado e quando o sistema encontra-se com
uma temperatura muito abaixo de Tc essa parcela e realmente desprezada
O que foi feito acima foi descartar as flutuacoes para que se possa fazer uma
melhor analise somente da parte condensada (BARCI 2002) isto e estamos aplicando a
aproximacao de campo medio Consequentemente vamos fazer a seguinte substituicao
Ψ(~r t) minusrarr ψ(~r t)
Ψdagger(~r t) minusrarr ψdagger(~r t)
Substituindo na equacao (24) que e a equacao de movimento para o operador de
21
campo temos
ihpartψ
partt=
[H0 +
intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)
]ψ(~r t) (26)
Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer
algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito
baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica
interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo
consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos
levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas
estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial
(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos
Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial
Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)
as =m
4πh2
intd~r V (~r minus ~rprime)
onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento
Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)
ihpartψ(~r t)
partt=
[minush2
2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2
]ψ(~r t) (27)
A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo
(EGPDT)
Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)
onde N e o numero total de partıcula do condensado
Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a
solucao estacionaria vamos considerar
ψ(~r t) = exp(minusimicro
ht)ψ0(~r) (29)
onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT
Eq (27) obtemos[minus h2
2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
21
campo temos
ihpartψ
partt=
[H0 +
intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)
]ψ(~r t) (26)
Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer
algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito
baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica
interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo
consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos
levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas
estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial
(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos
Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial
Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)
as =m
4πh2
intd~r V (~r minus ~rprime)
onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento
Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)
ihpartψ(~r t)
partt=
[minush2
2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2
]ψ(~r t) (27)
A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo
(EGPDT)
Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)
onde N e o numero total de partıcula do condensado
Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a
solucao estacionaria vamos considerar
ψ(~r t) = exp(minusimicro
ht)ψ0(~r) (29)
onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT
Eq (27) obtemos[minus h2
2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
22
A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo
(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado
A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e
ihpartψ
partt=
δE
δψlowast(31)
E[ψ] =
intd~r
[h2
2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +
1
2g | ψ |4
](32)
onde h2
2m| nablaψ |2= energia cinetica
Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint
1
2g | ψ |4= energia de interacao
A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH
C J 2002)
δ
intLdt = 0
Podemos escrever a Lagrangeana como sendo
L =
intd~r
ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
partt
)minus E =
intd~r
[ih
2
(ψlowastpartψ
parttminus ψpartψ
lowast
partt
)minus ε]
(33)
onde
ε =h2
2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +
1
2g | ψ(~r) |4 (34)
Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado
fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos
e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-
Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado
211 Estado condensado em uma armadilha harmonica
Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente
diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica
magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
23
CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)
A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses
resultados
Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um
potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J
2002)
Vext =1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2) (35)
onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da
armadilha harmonica
O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as
partıculas
A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e
vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas
sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)
Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que
desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas
atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)
E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de
atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas
Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-
las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer
a natureza do condensado sofrera modificacoes
Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no
estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que
tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah
Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da
seguinte forma
εnxnynz =
(nx +
1
2
)hwx +
(ny +
1
2
)hwy +
(nz +
1
2
)hwz
εnxnynz =
(nx + ny + nz +
3
2
)hwi (36)
A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e
uma gaussiana temos entao
Φ(~r1~rn) =prod
i
ϕ0(~ri) (37)
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
24
e
ϕ0(~r) =(mwhπh
) 34
exp
[minus1
2m(w2
xx2 + w2
yy2 + w2
zz2)
](38)
onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro
de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e
ah =
(h
mwh
) 12
sim 10minus6m (39)
esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm
Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos
avaliar as excitacoes
Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica
as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica
de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem
ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao
gaussiana de largura
aT =
(kBT
hwh
)rarr comprimento da fracao termica (40)
temos portanto
aT gtgt ah (41)
A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade
Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-
primento da fracao termica
E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo
N =infinsum
nx=0
infinsumny=0
infinsumnz=0
1
exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)
onde nx ny nz sao numeros quanticos
Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador
agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0
A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida
atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero
medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende
para infinito
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
25
Figura 3 - Analise da densidade do
condensado
Legenda Formacao do condensado de
sodio
Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE
OF TECHNOLOGY 2010
Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido
cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos
N = N0 +Nεi (i = x y z)
N = N0 +
int infin0
dnx
int infin0
dny
int infin0
dnz1
exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)
A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw
Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-
mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado
N = N0 + ζ(3)
(kBT
hw
)3
(44)
onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin
l=1 lminus3 asymp 1202
Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-
tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de
uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do
nıvel fundamental do oscilador
Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-
gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem
N0 rarr 0 temos
kBTc = hw
(N
ζ(3)
)13
asymp 094h w N13 (45)
Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
26
no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha
Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-
acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai
ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros
da armadilha
22 Interacoes repulsivas e atrativas
O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das
interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta
sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre
as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais
interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos
O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante
g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente
Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e
de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas
interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado
Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da
densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0
Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-
icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado
diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia
disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se
agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao
de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)
Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente
baixa ou seja
n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)
onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-
tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto
e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado
fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um
momento mınimo
Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-
tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
27
(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)
EintEcin
sim N | a |ah
(47)
23 Aproximacao de Thomas-Fermi
Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie
N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e
valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite
hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na
aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-
sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar
N | a |aho
gtgt 1
isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre
interacao repulsiva (a gt 0)
O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois
termos constituintes da energia total isto e
Ecin ltlt Epot + Eint
Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao
diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-
sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2
]ψ0(~r) = microψ0(~r)
[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)
Vext(~r) + gρ = micro
gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1
g(microminus Vext(~r)) (48)
Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado
fundamental
24 Teoria de Bogoliubov
Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de
interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
28
ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-
metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas
caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov
Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao
Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial
para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-
sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio
A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora
do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas
excitadas
Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes
chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um
tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves
de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste
em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior
A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos
fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-
Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-
siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com
isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de
equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de
autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema
Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais
apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com
um valor elevado
241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes
Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como
os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das
interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado
Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma
temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-
tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado
condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos
em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se
encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-
teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
29
que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses
estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema
condensado (PETHICH C J 2002)
Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao
de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a
equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de
equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema
com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao
em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser
extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao
temporal do nosso sistema
Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT
obtemos
minus h2
2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g
[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast
]= ih
partδφ
partt
minus h2
2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g
[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ
]= minusihpartδφ
lowast
partt(49)
onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como
sendo
φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)
onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico
do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao
Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt
](51)
Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas
para u(~r) e v(~r)
hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)
minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)
]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)
onde ε = hw e a energia de excitacao
Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-
citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente
ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao
canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido
analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
30
transformacao
φ(~r) =sumj
[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α
daggerj
](53)
onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes
Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado
Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-
dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas
(BARCI 2000)
Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-
Pitaeviskii isto e[minus h2
2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)
]φ = microφ (54)
Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela
transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de
Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw
]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw
]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)
Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov
onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao
reescreveremos as quacoes (55)[minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw
]u(~r)minus gnv(~r) = 0[
minus h2
2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw
]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)
onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov
O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi
descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-
densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade
de maneira pertubativa
Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-
sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja
n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)
Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
31
mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-
tados das solucoes as densidades anomalas
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
32
3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE
Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-
Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar
uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)
que esta acoplado a um reservatorio termico
A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado
condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo
da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo
utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais
indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com
a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e
da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais
auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes
serao resolvidas numericamente
31 Densidade Lagrangeana flutuacoes
A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-
mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI
2002)
HT = H0 +Hint (58)
onde
Hint =1
2
intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)
Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo
HT =
intd~rφdagger
[minus1
2mnabla2
]φ+
1
2g (φdaggerφ)2 (60)
Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser
escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)
L = φlowast(
id
dt+
1
2mnabla2
)φ+ microφlowastφminus 1
2g(φlowastφ)2 (61)
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
33
Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal
fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma
parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no
condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao
φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)
φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)
onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora
do condensado
Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)
Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-
ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das
partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE
A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de
aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-
tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-
erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e
infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog
2(ϕlowastϕ)2 nao
pode ser desprezado
Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)
Esta consiste em reescrever o termo de interacao como
g
2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)
desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por
〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)
A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado
Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn
obtemos a densidade lagrangiana
LT = L0 + Lflut (65)
onde a dinamica das flutuacoes e dada por
Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ+ ϕlowast
(minus1
2g ϕ2
0
)ϕlowast + ϕ
(minus1
2g ϕlowast20
)ϕ (66)
Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
34
como
ipartϕ
partt+
1
2mnabla2ϕ = g(ϕ2
0(t))ϕlowast
ipartϕlowast
parttminus 1
2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)
Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade
do condensado
32 O cenario quench
Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-
cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma
temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)
Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma
temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2
(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n
Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura
muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do
reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos
dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja
trarrinfin
Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0
para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n
Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade
constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como
| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)
ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde
que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf
As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores
esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt
Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever
esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos
nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)
onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2
A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
35
para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)
Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente
para achar ϕ0(t)
33 Equacoes auto-consistentes
Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes
que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)
E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de
funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgt
jj(~k t t)
](70)
onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish
(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de
contorno
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ tprime) (71)
onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos
das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier
Ggtjj(~k t tprime) =
i
1minus eminusβεk[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(
~k t)χj(~k tprime)]
(72)
onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se
escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas
para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo
dχ2(~k t)
dt+
(~k2
2m+ g | ϕ0 |2
)χ1(~k t) = 0
dχ1(~k t)
dtminus
(~k2
2mminus g | ϕ0 |2
)χ2(~k t) = 0 (73)
Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes
〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus exp(minusβεk)
[χj(~k t)χ
lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)
](74)
A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
36
tados fora do condensado como
nexc(t) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
]coth
(βεk2
)(75)
A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0
Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic
2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic
2N
com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar
Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao
condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado
nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e
nexc = n =1
2Nπ2
intd~kk2 coth
(βεk2
)(76)
A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)
determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-
ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas
normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2
como sendo (BARCI 2000)
| ϕ0(t) |2=1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~k~k2[1minusN
(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2
)]nk (77)
onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto
χ1(~k t) =1
2
(β
βc
)34
eiεkt
χ2(~k t) =i
2
(β
βc
)34
eiεkt (78)
Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um
conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a
evolucao do condensado
Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos
de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado
condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes
Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
37
34 Integracao numerica
Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as
equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma
equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial
de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter
um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor
nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura
3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo
para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente
dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da
populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto
a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar
que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma
fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema
Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como
era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-
tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
38
Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao
do tempo
Legenda Para na3 = 001 e
T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e
τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e
ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional
Fonte BARCI 2002 p6
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
39
Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura
finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-
mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para
uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o
formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal
fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o
mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora
do equilıbrio
Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao
nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes
para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-
poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes
microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para
a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para
o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de
temperatura final
Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre
as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel
Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o
acoplamento
Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-
imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos
com gases atomicos de Bose
Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em
uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
40
4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE
Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-
mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio
termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica
de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-
pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas
densidades
LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸ ︷︷ ︸Lφ1+φ2
+Li(φ1φ2) (79)
onde
Li = φlowasti
(id
dt+
1
2mnabla2
)φi + microiφ
lowastiφi minus
1
2gi(φ
lowastiφi)
2 (80)
com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por
LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)
O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante
de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de
um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma
transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma
interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado
da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta
analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o
estudo da dinamica deste sistema
Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-
densada dependente do tempo e as flutuacoes
φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)
φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)
onde ϕ01(t) ϕ0
2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e
ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)
Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
41
de condensado como sendo
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)
41 Flutuacoes
Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de
interacao como
LI = g[
(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [
(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)
](84)
Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-
Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes
L = ϕlowast1
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ1 + ϕlowast1
(minus1
2g1(ϕ0
1)2
)ϕlowast1 + ϕ1
(minus1
2g1(ϕlowast01 )2
)ϕ1
+ ϕlowast2
[id
dt+
1
2mnabla2
]ϕ2 + ϕlowast2
(minus1
2g2(ϕ0
2)2
)ϕlowast2 + ϕ2
(minus1
2g2(ϕlowast02 )2
)ϕ2
+ g[| ϕ0
1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ
02
)(ϕ1ϕ
lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)
(ϕ0
1ϕlowast02
)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0
2 |2]
(85)
Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-
mento que devem satisfazer as flutuacoes
ipartϕ1
partt=
(1
2mnabla2
)ϕ1 +
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕlowast2
ipartϕlowast1partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast1 minus
(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g
(ϕlowast01 ϕ
02
)ϕ2 (86)
ipartϕ2
dt=
(1
2mnabla2
)ϕ2 +
(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕlowast1
ipartϕlowast2partt
=
(minus 1
2mnabla2
)ϕlowast2 minus
(g2 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g
(ϕlowast02 ϕ
01
)ϕ1 (87)
Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos
muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar
flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo
termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma
flutuacoes de especies diferentes
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
42
42 Equacoes auto-consistentes
Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal
dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os
condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que
por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos
escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes
n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)
n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)
onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes
nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1
1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2
1(t)〉
nexc(2) = 〈ϕlowast2ϕ2〉 = 〈ϕ12(t)ϕ1
2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2
2(t)〉 (89)
As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-
mentos como sendo
〈ϕij(t)ϕ
ij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
[minusiGgtii
jj (~k t t)]
(90)
com (i = 1 2 j = 1 2)
Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria
das flutuacoes vamos obter
〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =
intd3~k
(2π)3
i
1minus e(minusβεk)
[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi
j(~k tprime)
](91)
onde os modos obedecem as equacoes de movimento
dχ21
dt+
[~k2
2m+(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1
1 + g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ1
2 = 0 (92)
dχ22
dt+
[~k2
2m+(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1
2 + g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ1
1 = 0 (93)
dχ11
dtminus
[~k2
2mminus(g1 | ϕ0
1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2
1 minus g(ϕlowast01 ϕ
02
)χ2
2 = 0 (94)
dχ12
dtminus
[~k2
2mminus(g2 | ϕ0
2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2
2 minus g(ϕlowast02 ϕ
01
)χ2
1 = 0 (95)
A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
REFERENCIAS
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48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
43
cada uma das especies do gas como sendo
nexc(1) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
]nk(β) (96)
nexc(2) =
intd3~k
(2π)3
[| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
]nk(β) (97)
Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma
| ϕ01(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2
)](98)
| ϕ02(t) |2 =
1
2π2
(β
βc
)32 intkltkc
d~kk2[1minusN
(| χ1
2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2
)](99)
onde N e a constante de normalizacao
Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-
mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente
para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser
assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que
a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0
2(t) |2sim 0 e as
funcoes χji sao puramente oscilatorias
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
REFERENCIAS
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Janeiro Rio de Janeiro 2006
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47
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SVAITER N F Finite size effect in thermal field theory Jornal of mathematical USA
v45 p 4521 2004
48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
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Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
44
CONCLUSAO
Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio
de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas
especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado
facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes
Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio
nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro
a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos
condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)
O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um
pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma
a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise
das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de
implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera
apresentado em breve
45
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SMERZI A et al Quntum coherent atomic tunneling between two trapped Bose-Einstein
condensates Phys Rev Lett New York v79 p 4950 December 1997
SVAITER N F Finite size effect in thermal field theory Jornal of mathematical USA
v45 p 4521 2004
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APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
45
REFERENCIAS
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APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
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〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
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onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
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A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
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A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
46
KAPUSTA J I Finite temperature field theory New York Cambridge University Press
1989 225 p
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SVAITER N F Finite size effect in thermal field theory Jornal of mathematical USA
v45 p 4521 2004
48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
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SMERZI A et al Quntum coherent atomic tunneling between two trapped Bose-Einstein
condensates Phys Rev Lett New York v79 p 4950 December 1997
SVAITER N F Finite size effect in thermal field theory Jornal of mathematical USA
v45 p 4521 2004
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APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
48
APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio
Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos
no decorrer dessa dissertacao
Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura
como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido
por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha
no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo
real
Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal
de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo
de quantidades dependente do tempo
Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter
as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario
isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo
do tempo real
A1 Introducao sobre o formalismo
Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como
sendo
ρ(β) = exp(minusβH) (100)
onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio
De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como
sendo
Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)
onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer
observavel A
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
49
〈A〉 =1
Z(β)Trρ(β)A
〈A〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)A
〈A〉 =1
Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)
Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para
quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma
〈AB〉 =1
Z(β)Trρ(β)AB (103)
Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos
os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e
AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos
AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)
AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)
onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1
Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de
Heisenberg AH(t1) e BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸ ︷︷ ︸BH(t2)
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸
()
BH(t2) (105)
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
50
onde
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸ ︷︷ ︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸ ︷︷ ︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)
= exp
[ıH(tminus β
ı
)]AS exp
[minusıH
(tminus β
ı
)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)
temos entao
exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)
Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos
〈AH(t1)BH(t2)〉 =1
Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸ ︷︷ ︸ exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)
=1
Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))
= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)
Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do
traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos
que da relcao KMS temos
〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)
Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de
Green de dois pontos a temperatura finita
Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo
inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha
certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa
propriedade de KMS nas secoes subsequentes
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
51
A2 Funcao de Green como propagador
A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e
o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J
Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias
O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger
Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos
em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]
φ(~x) =
intd3~k
(2π)3
1
2wk(ak + adaggerk)e
i~k~x (110)
onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para
bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1
Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o
valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos
entao
iG =langφ(t)φ(tprime)
rang=
δ2Z[J ]
δJ(~x)δJ(~xprime)
=1
Z(β)Tr[eminusβHT
(φ(t)φ(tprime)
)](111)
onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou
propagador)
Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a
esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores
Tφ(t)φ(tprime)
= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)
onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside
θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0
A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se
todas as funcoes de correlacao de dois pontos
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
52
A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh
Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao
Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos
que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis
de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de
campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental
de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo
de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o
desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio
A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa
densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de
integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma
temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o
funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por
Z[J ] =
intc
DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)
A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as
funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o
que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real
Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do
equilıbrio
A acao classica e dada por
S[φ φlowast J ] =
intc
d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)
Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo
de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou
seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente
do tempo)
Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano
complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos
decrescentes
Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do
tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
53
Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh
Fonte MIZHER 2006 f48
passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto
inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)
Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria
Z[J+ Jminus] =
intDφDφlowast
(i
intd4~x
L[φ+ φ
lowast+ J
+]minus L[φminus φlowastminus J
minus])
(115)
Z[J+ Jminus] = exp
(i
intd4x
[Lint
(minusi
δ
δJ+j
)minus Lint
(iδ
δJminusj
)])
times exp
i
2
intd4xd4yJaj (x)Gab
jj(x y)J bj (y)
(116)
onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2
Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao
caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj
G++jj (~k t tprime) = Ggt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)
Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt
jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)
G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt
jj(~k ttprime)
Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt
jj(~k t tprime) (117)
Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa
54
para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja
T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t
prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)
Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo
θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0
θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)
Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria
quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G
minus+jj G
minusminusjj
aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado
de propagadores auxiliares
As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada
respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
Gltjj(~k t tprime) = Ggt
jj(k tminus iβ minus tprime) (120)
A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos
comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T
)
e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como
consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal
complexa