7/22/2019 Dissertacao Irma Verri Bastian
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Irma Verri Bastian
O TEOREMA DE PITGORAS
Mestrado em Educao Matemtica
PUC-SP
2000
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Irma Verri Bastian
O TEOREMA DE PITGORAS
Dissertao apresentada como exigncia
parcial para obteno do ttulo de
MESTRE EM EDUCAO
MATEMTICA Comisso
Examinadora da Pontifcia Universidade
Catlica de So Paulo, sob orientao do
Professor Doutor Saddo Ag Almouloud
PUC-SP
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Autorizo, exclusivamente para fins acadmicos e cientficos, a reproduo total ou parcial desta
dissertao por processos de fotocopiadoras ou eletrnicos.
Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________
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BANCA EXAMINADORA
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RESUMO
O presente trabalho focaliza o ensino-aprendizagem do Teorema de Pitgoras
por meio de uma abordagem que visa enfatizar, inicialmente, o carter necessrio e
suficiente do Teorema, para chegar, posteriormente, forma da igualdade pitagrica.
O estudo histrico e epistemolgico levou, num segundo momento, a uma
anlise mais apurada do objeto matemtico em questo. Aps examinar como os livros
didticos lidam com uma parte da transposiodidtica do Teorema, fez-se o confronto
dessas abordagens com as propostas curriculares, especialmente os Parmetros
Curriculares Nacionais (PCNs).
A segunda fase do trabalho trata da elaborao e aplicao de uma seqnciadidtica, tendo como pblico-alvo alunos de 8asrie. A referida seqnciacompe-se
de duas partes: a primeira voltada para a abordagem do Teorema e a segunda para
aplicaes do mesmo em problemas.
Com essa experimentao foi possvel constatar a vantagem do enfoque adotado
em relao ao usualmente encontrado nos livros didticos.
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ABSTRACT
This paper focusses on the teaching-learning of the Pythagorass Theorem
through an approach that aims to emphasize, initially, the necessary and sufficient
character of the Theorem to get, subsequently, to the form of the Pythagorean equality.
The historical and epistemological study led, at a second moment, to a more
refined analysis of the mathematical object in question. After examining how the
textbooks deal with a part of the didactictransposition of the Theorem, these approaches
were confronted with the curricular proposals, especially the National Curricular
Parameters (PCNs).
The second phase of the paper consists in the elaboration and application of adidactic sequence, having eighth-grade students as a target audience. The sequence
referred to is composed of two parts: the first one concerning the approach of the
Theorem and the second, the applications of the latter on problems.
This experimentation made it possible to establish the advantage of the approach
adopted over the one commonly found in textbooks.
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AGRADECIMENTOS
Ao professor-doutor Saddo Ag Almouloud, pela orientao dedicada e amiga,
pelo incentivo e apoio constantes.
Aos professores-doutores da Banca Examinadora, Benedito Antonio da Silva,
Lilian Nasser e Tnia Maria Mendona Campos, pela ateno e sugestes.
coordenao, professores, colegas do mestrado em Educao Matemtica da
PUC-SP, funcionrios, bem como bibliotecrias, pelo convvio, apoio e compreenso.
Ao colega Ronaldo P. Saraiva, pela disponibilidade em ajudar e aplicao doquestionrio em Santos.
direo, coordenao, professores, especialmente Fussae, Joo e Tereza
Cristina, e funcionrios dos colgios Conde Jos Vicente de Azevedo, Afonso Pena e
Antonio Alcntara Machado, pela oportunidade da experimentao, e aos alunos que
dela participaram.
Ao professor-doutor Pedro A. Ruiz, jornalista, pela dedicada reviso dos textos e
editorao.
doutora Brigitte van Eyll, mdica, e doutor Siegfried J. Wehr, psiclogo, pela
sustentao nos momentos crticos.
Aos amigos, pelo apoio constante. amiga Setsuko, pelo incentivo e por me
convencer a ingressar no mestrado.
A meus familiares, pelo amor expresso de vrias formas: meu marido, Willy,
pela pacincia, compreenso, cooperao e apoio irrestrito; minha filha, Andrea, e meugenro, Pedro, pela pacincia e boa vontade, auxiliando na digitao do trabalho e na
construo das figuras. A meu filho, Marcello, e minha futura nora, Marcia, pelo
carinho e solidariedade. minha me, Cassia, pela importante presena. minha neta,
Sylvia, pela esperana no futuro.
A todos que, de algum modo, contriburam para a concretizao deste trabalho.
A Deus, por permitir que eu esteja agradecendo.
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SUMRIO
INTRODUO .................................................................................................................. 1
CAPTULO I PROBLEMTICA E METODOLOGIA............................................. 3
Problemtica ................................................................................................................. 3
Metodologia ................................................................................................................. 11
CAPTULO II ESTUDO HISTRICO E EPISTEMOLGICO ............................. 13
CAPTULO III O OBJETO MATEMTICO............................................................ 19
Sobre a importncia do Teorema de Pitgoras ........................................................ 19
Anlise do ponto de vista matemtico e didtico de algumas demonstraes do
Teorema de Pitgoras ............................................................................................... 22
Algumas aplicaes do Teorema de Pitgoras ........................................................ 60
Alguns problemas no convencionais envolvendo o Teorema de Pitgoras ........... 63
Sobre ternas pitagricas ........................................................................................... 68
CAPTULO IV ESTUDO DO TEOREMA DE PITGORAS NO ENSINO .......... 71
Anlise de livros didticos, comparao com Propostas Curriculares e Parmetros
Curriculares Nacionais (PCNs) ................................................................................ 71
Questionrio ............................................................................................................. 84
Anlise a priori do questionrio ............................................................................... 84
Aplicao do questionrio ....................................................................................... 91
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Anlise a posteriori do questionrio por meio de histogramas de barras e do
Software CHIC ................................................................................................... 92
CAPTULO V SEQNCIA DIDTICA ........................................................... 108
Anlise a priori das atividades, aplicao da seqncia didtica, anlise a
posteriori e discusso dos resultados ...... .... .... ................................. .... ... 110
Teste de avaliao ............................................................................................ 165
CAPTULO VI CONCLUSES ........................................................................... 179
BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................... 184
ANEXOS ........................................................................................................................ I
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INTRODUO
No decorrer de muitos anos de magistrio, no ensino de Matemtica para o
colegial, atualmente denominado nvel mdio, observamos a grande dificuldade dos
alunos no que se refere aplicao do Teorema de Pitgoras comoferramentatanto na
resoluo de problemas, como na aprendizagem de outros conceitos. Qual seria a causa
dessa dificuldade?
No momento da escolha do tema para nosso primeiro trabalho de Didtica em
ps-graduao, a questo ressurgiu em nossa mente e decidimos iniciar um estudo
horizontal sobre o Teorema, isto , averiguar as possveis utilizaes em Geometria,
Geometria Analtica e lgebra, no mbito do nvel mdio. Entretanto, medida que
tomvamos conhecimento de trabalhos, livros e pesquisas sobre o assunto, estas
notadamente francesas, nosso horizonte se ampliou e percebemos se tratar de um vasto
campo, compreendendo mltiplos aspectos. Poderamos focalizar a parte histrica e
epistemolgica, dada a importncia do Teorema de Pitgoras na discusso dos
incomensurveis; ou o objeto matemtico possuidor de quase 400 demonstraes; ou
ainda um aspecto didtico, da anlise de erros mais freqentes cometidos pelos alunos.
Ao iniciar o estudo dos trabalhos da pesquisadora Virginia Padilla sobre Anlise
Cognitiva e de Raymond Duval sobre Registros de Representao, nosso interesse se
voltou para a aplicao desses resultados em outras reas do conhecimento e
almejamos, por meio deste trabalho, poder chegar resposta, pelo menos de algumas,
de nossas indagaes.
O objetivo testar a seqncia didtica construda em alunos que ainda no
tenham conhecimento do Teorema de Pitgoras e verificar at que ponto possvel, com
ela, fazer com que o ensino-aprendizagem desse tpico ganhe mais significado para o
estudante.
Aps um captulo dedicado ao Estudo Histrico e Epistemolgico, nossa ateno
se voltou para a vasta gama de demonstraes existentes para o Teorema. Efetuamos, a
seguir, um estudo abrangendo a anlise de livros didticos, de Propostas Curriculares do
Estado de So Paulo e dos Parmetros Curriculares Nacionais (PCNs). Aplicamos
tambm um questionrio diagnstico, tendo como pblico-alvo alunos da 1a srie do
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nvel mdio (1 colegial), com o intuito de investigar-lhes as concepes sobre o
Teorema de Pitgoras.
Com base nos princpios da didtica francesa em Matemtica, em pesquisas
sobre o tema e em pesquisas no campo da Psicologia Cognitiva, interpretamos osresultados obtidos no teste diagnstico, estabelecemos nossa problemtica de pesquisa e
construmos a seqncia didtica.
A comparao entre as anlises a priori e a posteriori da seqncia didtica e a
aplicao de um teste final avaliatrio, acreditamos, permitiram decidir at que ponto
nossos objetivos foram ou no atingidos.
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CAPTULO I: PROBLEMTICA E METODOLOGIA
Problemtica
Dentre as pesquisas francesas sobre a aplicao do Teorema de Pitgoras,
destaca-se a de Annie Bert (1995), relacionando o ensino-aprendizagem do tpico e as
diferentes ordens de apresentao das primeiras noes de geometria mtrica no ensino
secundrio. A autora faz um levantamento diagnstico identificando os erros mais
freqentes apresentados por alunos franceses na utilizao do Teorema de Pitgoras. Os
erros citados so os seguintes:
1) utilizao do teorema para calcular o terceiro lado de um tringulo noretngulo;
2) sendo c o comprimento da hipotenusa e a e b catetos,
babac 22 +=+= , sem perceberem que essa concluso contradiz a condio de
existncia de tringulo;
3) ao calcular um dos catetos, alguns alunos escrevem que o quadrado desse
lado igual soma dos quadrados da hipotenusa e do outro cateto;4) os alunos escrevem essa relao corretamente (item 3), mas justificam
dizendo que aplicaram o recproco do Teorema;
5) na verificao para decidir se um tringulo ou no retngulo, muitos
alunos e mesmo alguns docentes (segundo Bert) afirmam ter aplicado o recproco
quando concluem que, se a relao no verificada, o tringulo no retngulo;
6) em classe do 3me (alunos com aproximadamente 14 anos, o
correspondente a nossa 8a srie do ensino fundamental), foi proposto o seguinte
exerccio: Dados AD, AB e BC, calcular DC. Erro encontrado: segundo o Teorema de
Pitgoras, 2222 BCABADDC ++= .
Bert (1998, p. 119) questiona: um mau
emprego da analogia? Ou o aluno no viu o
tringulo retngulo porque a projeo de D nofigurava no desenho (...)?
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A seguir Bert acrescenta: Mas, no fundo, se o aluno produziu isso, porque
ele no est engajado na questo (...). No o resultado da ausncia de
problematizao? Alm de apontar os erros mais freqentes observados na Frana
relativos aplicao do Teorema de Pitgoras, sugere alternativas para a construo de
uma Engenharia Didtica abrangendo o referido tema. Ela afirma que ordens de
apresentao oriundas da filognese (ordens acadmicas resultantes da Histria e da
cultura) no so compatveis com a problemtica dos alunos (ontognese).
Para conjeturar a existncia da relao pitagrica, a pesquisadora sugere que os
alunos deveriam escolher ternas de nmeros satisfazendo a condio de existncia de
tringulo (ingalit triangulaire) e tentar traar tringulos retngulos cujos lados
tenham por medidas essas ternas (idem, p. 115). Assim, eles encontrariam vriostringulos, alguns retngulos e outros no, e poderiam perceber facilmente a
impossibilidade de uma escolha arbitrria (ibidem). Examinar os dados mnimos, sobre
lados e ngulos, para obter tringulos isomtricos poderia ser outro caminho para
problematizar o Teorema de Pitgoras.
Quanto forma da relao pitagrica, Bert critica o uso de puzzles (quebra-
cabeas), do modo como aparecem nos manuais franceses, e a organizao de tabelas,
em cujas colunas sejam solicitados os clculos da soma dos quadrados dos lados dongulo reto e do quadrado da hipotenusa. A pesquisadora prope que, apesar de a
duplicao do quadrado ser uma situao real para iniciar o ensino do Teorema de
Pitgoras, a mesma poderia ser pensada aps a institucionalizao do Teorema.
Na opinio de Bert, a ordem mais compatvel e esboada pela instituio seria:
mediatriz e simetria; determinao de uma circunferncia por trs pontos; casos de
igualdade de tringulos quaisquer e retngulos; posies relativas de duas
circunferncias; razes quadradas; reas; diagonal do quadrado; Teorema de Pitgoras(direto); recproco do Teorema de Pitgoras; e teorema geral sobre o tringulo. Pondera
ainda que, nessa ordem, a consistncia matemtica seria insuficiente devido ao
desaparecimento, nos programas franceses, dos casos de isometria de tringulos, do
item sobre posies relativas de duas circunferncias e das razes quadradas. A ordem
deveria incluir uma introduo translao, rotao e simetria ortogonal.
Aps comentar a escolha atual de admitir a condio de existncia de tringulo
e demonstrar, a partir desta ou do Teorema de Pitgoras, que o segmento perpendicular mais curto que o oblquo, Bert (apud, 1985, p. 116) cita Coquin-Viennot: H uma
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complexidade a priori que se fundamenta nas matemticas e uma complexidade a
posteriori a partir dos resultados dos alunos!
No questionrio que ser oportunamente apresentado neste trabalho visando
investigar as concepes dos alunos sobre o Teorema de Pitgoras, procurou-se detectarse alguns dos erros apontados por Bert seriam cometidos tambm por alunos
brasileiros. Fato que realmente ocorreu e ser comentado no Captulo IV, referente ao
Estudo do Teorema de Pitgoras no Ensino.
Como se pode inferir das ponderaes apresentadas, Bert, no estudo, ressalta os
entraves relativos aos encadeamentos das situaes e defasagem entre as diferentes
ordens. Para explicar as possveis causas dos erros enumerados, Bert analisa o
ambiente matemtico com base na transposio didtica. Poder-se-ia, entretanto, pensartambm numa relao entre os erros e alguns fenmenos estudados em Psicologia
Cognitiva por Duval (1988 e 1995) e por Padilla (1992).
Segundo Duval (1995), as atividades cognitivas envolvidas na aprendizagem da
Matemtica requerem a utilizao de sistemas de expresso e de representao que vo
alm da linguagem natural e das imagens. No caso da Geometria, destacam-se as figuras
geomtricas, os enunciados em linguagem corrente, as representaes em perspectiva e
as notaes simblicas. Na atividade matemtica, usual e freqente a passagem de umsistema de representao para outro, como, por exemplo, de enunciado para figura, ou a
mobilizao simultnea de diferentes sistemas de representao durante a resoluo de
um problema.
A passagem de um registro para outro envolve o que se denomina coordenao
entre os diferentes registros.Uma das dificuldades encontradas por muitos alunos nesse
processo tem origem nos fenmenos de no congruncia, pois para o pensamento
mais espontneo seguir a congruncia semntica.
De acordo com Duval (1995, p. 45), a converso das representaes semiticas
constitui para a maioria dos alunos uma atividade cognitiva nem simples, nem
espontnea. Duas representaes pertencentes, respectivamente, a dois registros
diferentes podem ser colocadas em correspondncia associativa entre as unidades
significantes elementares constitutivas de cada um dos registros. Desse modo, possvel
determinar se elas so ou no congruentes. Existe congruncia quando os trs critrios
seguintes so verificados:
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a) a possibilidade de uma correspondncia semntica entre os elementos
significantes, isto , a cada unidade significante simples de uma das representaes pode
ser associada uma unidade significante elementar;
b) a unicidade semntica terminal, isto , a associao para cada unidadesignificativa da representao de partida nica;
c) a ordem de apreenso no arranjo das unidades em cada uma das
representaes se conserva.
Exemplo de congruncia: Um nmero menor que outro converte-se em yx < .
Duval distingue quatro formas de apreenso, isto , de interpretao para as
figuras geomtricas: perceptiva, discursiva, operatria e seqencial. A ltima nooferece interesse para este trabalho, pois se refere a tarefas de construo de figuras, que
tm como objetivo a reproduo de uma figura dada.
A apreenso perceptiva imediata e automtica. A figura mostra objetos que se
destacam independentemente de qualquer enunciado. Ao contrrio do que ocorre com as
representaes por meio de grficos cartesianos, as figuras geomtricas no constituem
um registro de tratamento autnomo. Em outras palavras, as propriedades de uma figura
dependem do que enunciado como hiptese. No h figura sem legenda (idem, p.189). Acontece freqentemente que uma mesma figura, dependendo do enunciado das
hipteses, pode representar problemas completamente diferentes. A apreenso
perceptiva deve, portanto, estar subordinada apreenso discursiva, para levar a uma
resoluo correta do problema.
A apreenso discursiva desempenha um papel de neutralizao da apreenso
perceptiva, pois a figura pode tornar-se uma armadilha, acarretando falsas concluses. A
grande dificuldade dos alunos est essencialmente na defasagem entre apreensoperceptiva e uma interpretao comandada por hipteses.
A apreenso operatria est centrada nas possveis modificaes de uma figura
de partida. Quando um problema proposto, h as hipteses dadas e a questo a
resolver. Com base nos dados do problema possvel construir uma figura, com ou sem
instrumento. No caso de ela ser tambm dada, chamada figura de partida. A apreenso
operatria vai permitir ver na figura o caminho de soluo ou solues do problema.
Ou, dito de outra maneira, uma apreenso operatria solicitada cada vez que se esperada figura que ela realize uma funo heurstica, ou seja, uma funo intuitiva.
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Como j foi citado anteriormente, a apreenso operatria consiste na
modificao de uma figura de partida, que pode ser realizada tanto materialmente como
mentalmente.
Distinguem-se trs tipos de modificao:
mereolgica decomposio da figura dada em partes, que se faz em
funo da relao entre parte e todo;
tica consiste em aumentar, diminuir, deformar a figura inicial;
posicional corresponde a deslocamentos por rotao, translao etc.
A reconfigurao um tipo de apreenso operatria. Consiste em repartir uma
figura geomtrica em vrias subfiguras igualmente geomtricas e agrupar, isto ,
reorganizar todas ou algumas delas de modo a formar uma nova figura. Cada figura
pode funcionar como suporte de vrias reconfiguraes. A maior parte das
demonstraes do Teorema de Pitgoras corresponde a diferentes empregos da
reconfigurao.
Segundo Padilla, salienta-se sempre o papel intuitivo que as figuras tm em
Matemtica, mas poucos estudos tratam dos procedimentos cognitivos que permitem s
figuras desempenhar esse papel.
A reconfigurao pode ser espontnea e evidente ou difcil de enxergar na figura
de partida, o que ocorre em funo de fatores de complexidade ou visibilidade, que
facilitam ou inibem essa operao na percepo de uma figura. Padilla distingue sete
fatores:
o fato de o fracionamento da figura em partes elementares ser dado noincio ou necessitar ser encontrado (por meio de traados suplementares auxiliares).
Exemplo:
ABCD um quadrado dividido em seis retngulos iguais. Prove que as reas
AMED, MEF e MBCF so iguais.
Com o fracionamento no dado: Fazer a partio de um quadrado em trs partes
iguais a partir do ponto mdio M do lado AB. Devido no congruncia entre
enunciado e figura, o caminho de resoluo fica menos evidente;
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o fato de o reagrupamento das partes elementares formar uma
reconfigurao convexa ou no convexa (mais difcil de ser destacada da figura).
Exemplo:
Esta figura formada de cinco quadrados. Pode-se decomp-la em quatro
partes que se superpem? A no convexidade de cada pea torna menos visvel a
decomposio;
o nmero de modificaes posicionais (rotaes e translaes) efetuadas
na subfigura;
o fato de uma mesma parte elementar dever entrar simultaneamente em
dois reagrupamentos intermedirios a ser comparados, obstculo do desdobramento dos
objetos, constitui-se numa dificuldade para os alunos.
Exemplo: Sendo IO e OJ respectivamente bissetrizes dos ngulos AB e BC,
qual o valor do ngulo IJ? Por qu?
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O ngulo JB parte comum aos ngulos BC e IJ; o ngulo IB parte
comum a AB e IJ. Esse desdobramento de objetos aumenta a complexidade do
problema;
o fato de o reagrupamento pertinente exigir a substituio das parteselementares. Exemplo:
Mostrar que a soma dos ngulos internos de um tringulo vale 180o.
Substituies necessrias:
2 = 2 e 1 = 1;
o fato de a operao de reconfigurao levar em conta as caractersticas
do contorno.
O contorno e o fundo quadriculado favorecem a visibilidade da reconfigurao;
o fato de que todas as subfiguras devam ser removidas para o prprio
interior da figura de partida ou, ao contrrio, que algumas subfiguras devam sair do
contorno da figura de partida. Exemplo:
Calcular a rea da Figura 1 (tringulo EMF) e da Figura 2:
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Fig. 1 Fig. 2
No primeiro caso, o deslocamento das subfiguras foi feito para o interior da
figura de partida; no segundo, para o exterior. Em ambos, a reconfigurao resultou em
retngulos, cujas reas podem ser facilmente calculadas.
Assim, com base nas hipteses de Bert, nas concluses de Duval e Padilla, em
pesquisas, nos resultados colhidos com o questionrio e na anlise de manuais didticos,
foi possvel estabelecer as seguintes indagaes:
Os manuais preocupam-se em estabelecer a forma do Teorema de Pitgoras,
omitindo a importncia de seu carter necessrio e suficiente. At que ponto esse tipo de
abordagem interfere na compreenso do significado do Teorema pelos alunos e na sua
posterior recontextualizao como ferramenta na resoluo de problemas?
Os tipos de erros observados na aplicao do Teorema decorrem da
abordagem e/ou se constituem numa dificuldade, de carter mais geral, relativa
apreenso da figura?
Tendo em vistas essas questes, colocou-se como objetivo de trabalho a
elaborao de uma seqncia didtica em duas fases. Primeiramente, realizao de
atividades que permitissem ao aluno conjeturar a existncia da relao pitagrica; seu
carter necessrio/suficiente (se um tringulo retngulo, ento vale a igualdade
pitagrica: O quadrado da medida da hipotenusa igual soma dos quadrados das
medidas dos catetos condio necessria ; e, reciprocamente, se vale a referida
igualdade, o tringulo retngulo condio suficiente); e a forma dessa relao. Numasegunda etapa, realizao de atividades de complexidade crescente fazendo-se
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sucessivas aproximaes com o Teorema, com o intuito de desenvolver no aluno
condies para o emprego adequado do Teorema como ferramenta.
Como ponto de partida foram assumidas as seguintes hipteses:
para o aluno perceber a importncia do Teorema de Pitgoras conveniente trabalhar previamente com a condio de existncia de tringulo, a qual
propiciar condies para o entendimento do carter necessrio e suficiente da
igualdade pitagrica;
alguns dos erros praticados pelos alunos quando da aplicao do
Teorema de Pitgoras podem ser provocados por fatores prprios da interpretao de
problemas geomtricos concernentes apreenso operatria, tais como: fenmeno da
no congruncia entre enunciado figura ou figura Teorema de Pitgoras; obstculo
do desdobramento de objetos; interferncia da rotao do tringulo retngulo no
reconhecimento das unidades elementares (catetos e hipotenusa); fundo reticulado
mascarando o caminho de resoluo do problema.
Metodologia
Seguindo alguns preceitos da Engenharia Didtica, fundamentou-se ametodologia desta pesquisa.
A engenharia didtica, vista como metodologia de pesquisa, caracteriza-se em primeiro lugar
por um esquema experimental baseado em realizaes didticas em classe, ou seja, sobre a
concepo, a realizao, a observao e a anlise de seqncias de ensino (Artigue, 1988, pp.
285-286).
A metodologia da engenharia didtica compreende quatro fases: anlise prvia,
construo e anlise das situaes didticas da engenharia, experimentao, anlise a
posteriori e validao. A validao processa-se internamente, com base na confrontao
entre anlise a priori e anlise a posteriori (idem, p. 286).
Assim, numa primeira fase de anlises prvias, foi feito um estudo histrico e
epistemolgico do Teorema de Pitgoras, visando buscar sua gnese histrica e tambmidentificar obstculos epistemolgicos. Investigou-se, ainda nessa etapa, o Teorema de
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importncia e auxiliou na tomada de deciso no que se refere demonstrao usada na
abordagem.
Efetuou-se, a seguir, a anlise de livros didticos nacionais de 7 e 8 srie, em
confronto com a proposta curricular vigente, tentando-se extrair uma eventual ligaoentre as variveis didticas utilizadas nos mesmos e a ocorrncia de obstculos
didticos. conveniente ressaltar que, para este trabalho, obstculo no significa
dificuldade, mas um conhecimento que produz respostas adaptadas num certo contexto
e falsas fora dele. Conhecimento que resiste s contradies com as quais confrontado
e ao estabelecimento de um conhecimento novo.
Simultaneamente, realizou-se a pesquisa bibliogrfica sobre o tema, a qual se
constituiria na base terica para o presente trabalho.
Para detectar as concepes dos alunos sobre o Teorema de Pitgoras, preparou-
se um questionrio que incluiu questes inspiradas em pesquisas francesas, publicadas
pelo Instituto de Pesquisa sobre o Ensino de Matemtica (Irem) de Orlans e de Poitiers.
Numa segunda fase, a partir dos resultados obtidos, definiu-se a estrutura da
seqncia didtica. A seguir, as atividades foram elaboradas e analisadas a priori,
levando-se em conta as variveis didticas empregadas, a problemtica e as hipteses
da pesquisa.
As fases seguintes compreendem a aplicao da seqncia didtica, a anlise a
posteriori e validao. Entretanto, a descrio dessas fases, apesar de se iniciarem no
prximo Captulo, com o Estudo Histrico e Epistemolgico, no pressupe uma ordem
hermtica, pois, no que se refere seqncia didtica, preciso explicitar, ocorreram
idas e vindas com constantes retornos fundamentao terica e pesquisas sobre o
tema.
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CAPTULO II: ESTUDO HISTRICO E EPISTEMOLGICO
O estudo histrico e epistemolgico teve como finalidade caracterizar o
Teorema de Pitgoras em sua gnese histrica e identificar obstculos. Conforme
Artigue (1990, p. 244), a anlise epistemolgica permite evidenciar diferenas que
ocorrem durante o que chama de transposio didtica, distanciando o saber sbio
do saber ensinado.
A relao pitagrica, segundo Boyer (1974), Eves (1995) e Singh (1998), havia
sido testada, em determinados tringulos retngulos, por diversas culturas antigas, mas
como afirmar sua veracidade para uma infinidade de tringulos retngulos? Isso s se
tornou possvel quando Pitgoras lanou mo de uma demonstrao matemtica. Essa
idia, de partir do particular/concreto e chegar ao geral/abstrato, foi utilizada neste
trabalho, como ser visto no captulo referente seqncia didtica.
Pitgoras nasceu por volta de 572 a.C., na ilha egia de Samos, na Grcia, no
longe de Mileto, lugar do nascimento de Thales. Sua figura est envolta em mitos e
lendas, uma vez que no existem relatos originais sobre sua vida e trabalhos. O grande
mrito de Pitgoras teria sido a percepo de que os nmeros existem
independentemente do mundo concreto. Desse modo, ele poderia descobrir verdades
que ficariam acima de preconceitos ou opinies.
Parece ter viajado pelo Egito e Babilnia, possivelmente indo at a ndia.
Observou que os egpcios e babilnios calculavam por meio de receitas, que
produziam respostas corretas e eram passadas de gerao a gerao, sem que ningum
questionasse o porqu delas. Para ele era importante entender os nmeros, suas relaes
e no meramente utiliz-los.Durante as peregrinaes, ele absorveu no s informao matemtica e
astronmica, como tambm muitas idias religiosas. Ao retornar, encontrou Samos sob
domnio persa e decidiu ento emigrar para o porto martimo de Crotona, uma colnia
grega situada no sul da Itlia. L, fundou a famosa escola pitagrica, que, alm de ser
um centro de estudos de filosofia, matemtica e cincias naturais, era tambm uma
irmandade estreitamente unida por rituais secretos.
A filosofia pitagrica baseava-se na suposio de que a causa ltima das vrias
caractersticas do homem e da matria so os nmeros inteiros. Isso levava ao estudo
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das propriedades dos nmeros, juntamente com a Geometria, a Msica e a Astronomia,
que constituam as artes bsicas do programa pitagrico de estudos.
O lema da escola pitagrica, Tudo nmero, deixa transparecer uma forte
afinidade com a Mesopotmia. Segundo os historiadores, mesmo o Teorema, ao qual onome de Pitgoras est tradicionalmente ligado, j era conhecido dos babilnios, havia
mais de um milnio antes. Porm foram os pitagricos os primeiros a demonstr-lo, o
que justificaria a denominao de Teorema de Pitgoras, como ficou conhecido.
Uma tableta do perodo babilnio antigo, a classificada Plimpton 322, contm
colunas de nmeros inteiros relacionados com ternas pitagricas (Boyer, 1974, p. 26).
A partir de dois inteiros p e q (com p > q) foram formadas ternas de nmeros:
22 qp ; 2pq; p2 + q2
Os trs inteiros assim obtidos podem ser usados como dimenses do tringulo
retngulo ABC, com:
22 qpa = ; b = 2pq; e c = p2 + q2, em que c2= a2 + b2.
Num texto babilnio antigo aparece um problema (Boyer, 1974, p. 29) em que
uma escada ou prancha de comprimento 0,30 unidade est apoiada a uma parede. A
questo : quanto a extremidade inferior se afastar da parede se a superior escorregar
para baixo uma distncia de 0,06 unidade?
A resposta encontrada corretamente usando-se o Teorema de Pitgoras.
Cerca de 1500 anos depois, problemas semelhantes ainda estavam sendo
resolvidos no vale mesopotmico: Uma vara est apoiada a uma parede, se o topo
escorrega 3 unidades quando a extremidade inferior se afasta da parede 9 unidades, qual
o comprimento da vara? A resposta dada corretamente como sendo 15 unidades.
Atribui-se aos pitagricos a regra para a obteno das ternas pitagricas, dada
por:2
1m 2 ; m; e
2
1m 2 +, em que m um nmero inteiro mpar.
Como essa regra se assemelha aos exemplos babilnicos, isso faz pensar que
talvez ela no seja uma descoberta independente (Boyer, 1974, p. 42).
Para os agrimensores egpcios antigos, do tempo dos faras, a construo detringulos 3,4,5 com uma corda dividida em 12 partes iguais por 11 ns servia na
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conhecessem o Teorema de Pitgoras. Ento surge para os estudiosos um problema de
natureza terica: como se pode mostrar, sem utilizar o Teorema, que o tringulo 3,4,5
retngulo?
Em 1962, foi investigado o chamado papiro matemtico Cairo (desenterrado em1938), que data de 300 a.C. aproximadamente. Foram encontrados quarenta problemas
de Matemtica, nove dos quais se relacionavam exclusivamente com o Teorema de
Pitgoras. Isso mostra que os egpcios dessa poca no s sabiam que o tringulo
3,4,5 retngulo, mas que tambm acontecia o mesmo para os tringulos 5,12,13 e
20,21,29.
Eis trs problemas encontrados no papiro matemtico de Cairo (Eves, 1995, p.
87):
1. Uma escada de 10 cbitos est com os ps a 6 cbitos da parede. Que
distncia a escada alcana?
2. Um retngulo de rea 60 cbitos quadrados tem diagonal de 13 cbitos.
Determine os lados do retngulo.
3. Um retngulo de rea 60 cbitos quadrados tem diagonal de 15 cbitos.
Determine os lados do retngulos.
A seguir, o mtodo usado pelo escriba para resolver o item 2 e o 3. Designando
os lados por x e y; a diagonal por d; e a rea do retngulo por A, tem-se:
x2+ y2= d2e xy = A
que fornecem:
x2+ 2xy + y2= d2+ 2A e x2 2xy + y2= d 2 2A, isto :
(x + y)2= d2+ 2A e (x y)2= d2 2A
a) No problema 2, d2+ 2A e d 2 2A so quadrados perfeitos e se podem
encontrar imediatamente valores para (x + y) e (x y).
b) No problema 3, d2+ 2A e d2 2A no so quadrados perfeitos e o escriba
usa a frmula de aproximao:
x
y
d
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a2
baba 2 ++ chegando-se a
12
1
2
118
36
21182118345 2 ++=++= e
4
110
20
510510105 2 +=++=
Quanto aos documentos matemticos da antiga China, no h unanimidade dos
historiadores no que se refere s possveis datas. O Chou Pei Suang Ching (1200 a.C. ou
300 a.C.) parece ser o mais antigo dos clssicos matemticos. Esse tratado indica que na
China, como tambm Herdoto dissera do Egito, a Geometria derivou da mensurao.
No Chou Pei h problemas sobre tringulos retngulos, alguns dos quais
reaparecem mais tarde na ndia e na Europa. Um dos mais conhecidos o do bambu
quebrado (Boyer, 1974, p. 144):
H um bambu de 10 ps de altura cuja extremidade superior, ao ser quebrada,
atinge o cho a 3 ps da haste. Achar a altura da quebra.
No tratado consta uma discusso do Teorema de Pitgoras, baseada na seguinte
figura, porm sem nenhuma demonstrao (Eves, 1995, p. 244).
A ndia antiga, como o Egito, tinha estiradores de corda, os detentores das
primitivas noes geomtricas, adquiridas em conexo com o traado dos templos e a
construo de altares. Esses conhecimentos foram reunidos nos chamados Sulvasutras
ou Regras de Corda (Sulva refere-se s cordas usadas nas medidas).
A mais conhecida das trs verses da obra de Apastamba, que data talvez da
poca de Pitgoras Nela se encontram regras para a construo de ngulos retos por
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meio de ternas de cordas, cujos comprimentos formam tradas pitagricas como 3,4,5;
5,12,13; 8,15,17; e 12,35,37 (Boyer, 1974, p. 151).
No improvvel que houvesse influncia mesopotmica nos Sulvasutras. As
regras, que a aparecem, implicam no conhecimento da relao pitagrica, mas no setem informao de que os hindus tivessem alguma idia da natureza de sua
demonstrao.
Na idade Mdia (sculo XII), o matemtico hindu Bhaskara publicou em seu
tratadoLilavatio problema do bambu quebrado, utilizando para altura do bambu 32
cvados (ou cbitos) e para a distncia da extremidade cada at o p da haste 16
cvados (Boyer, 1974, p. 162).
Tambm usando o Teorema de Pitgoras, h um outro problema: Um pavo
est sobre o topo de uma coluna em cuja base h um buraco de cobra. Vendo a cobra a
uma distncia da coluna igual a trs vezes a altura da coluna, o pavo avanou em linha
reta alcanando a cobra antes que ela chegasse a sua cova. Se o pavo e a cobra
percorreram distncias iguais, a quantos cbitos da cova eles se encontraram?
A demonstrao de Bhaskara para o Teorema de Pitgoras bastante conhecida
e ser apresentada posteriormente.
No livro I dos Elementos de Euclides de Alexandria (300 a.C.), a Proposio
(47, I) o teorema pitagrico, com uma demonstrao atribuda universalmente ao
prprio Euclides; e a Proposio final (48, I) o recproco desse teorema.
possvel que Pitgoras tenha dado uma demonstrao do Teorema baseada na
proporcionalidade das medidas dos lados de figuras semelhantes. Posteriormente, com a
constatao de que nem todos os segmentos so necessariamente comensurveis, essa
prova perdeu sua validade. A descoberta da existncia de nmeros irracionais foisurpreendente e perturbadora para os pitagricos, pois abalava sua filosofia, segundo a
qual tudo dependia dos nmeros inteiros.
A prova do Teorema dada por Euclides no utiliza as propores, o que pode ter
sido uma estratgia para evitar a questo da incomensurabilidade. As circunstncias que
desencadearam a primeira percepo desse obstculo constituem tema bastante
polmico. Poderiam estar em conexo com a aplicao do Teorema de Pitgoras ao
tringulo retngulo issceles; com o clculo da diagonal de um quadrado em funo dolado ou com as diagonais de um pentgono.
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No prximo captulo, referente ao Objeto Matemtico, Teorema de Pitgoras,
sero apresentadas algumas demonstraes, dentre as centenas existentes, do Teorema.
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CAPTULO III: O OBJETO MATEMTICO
Aqui se versar sobre a importncia do Teorema de Pitgoras no somente sob o
ponto de vista histrico, mas tambm como caso particular da lei dos cossenos. Alm
disso, ser apresentada a anlise do ponto de vista matemtico e a anlise didtica de
algumas demonstraes do mesmo, com o intuito de fundamentar a opo feita
relativamente demonstrao utilizada na abordagem do tema.
Por outro lado, o uso do Teorema de Pitgoras, em tpicos de 7 srie, 8 e
subseqentes, representa economia em termos de memorizao de frmulas, alm de se
constituir numa ferramenta eficaz para a resoluo de muitos problemas envolvendo
configuraes e subfiguras. Em vista disso, sero apresentadas algumas aplicaes do
Teorema e exemplos ilustrativos de problemas no convencionais, nos quais ele pode
ser utilizado.
Para finalizar, ser exposto um interessante fato relativo s ternas pitagricas, a
partir do seguinte teorema: Se m e n so valores inteiros obedecendo s seguintes
condies:i) m >n >0;
ii) m e n so primos entre si; e
iii) m e n no so ambos mpares;
ento as expresses 22 nmx = ; mn2y= ; e 22 nmz += fornecem todas as
ternas pitagricas reduzidas (os componentes no tm divisores comuns), e cada terna
somente uma vez.
Sobre a importncia do Teorema de Pitgoras
A relao pitagrica despertou interesse de muitos povos antigos, tais como
babilnios, egpcios, gregos, hindus e chineses. Modernamente, parece ter servido de
inspirao para um problema que desafiaria matemticos durante 358 anos: o chamadoltimo Teorema de Fermat, segundo o qual no existe soluo inteira para a equao
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nnn zyx =+ na qual n natural maior que 2. A demonstrao, de 1995, que
constituiu um marco para a histria da Matemtica, de autoria de Andrew Wiles
(Singh, 1998).
Todavia, a importncia do Teorema de Pitgoras, simples caso particular de um
teorema mais geral, a lei dos cossenos, segundo Bert (1995, p.109), no se reduz a
razes histricas nem simplicidade de seu enunciado. Existe uma funcionalidade
especfica do Teorema, pois este caso particular pode ser demonstrado pela frmula
geral, mas de tal forma poderoso que a partir dele possvel demonstrar sua
generalizao e seu recproco.
Pela lei dos cossenos, dadas as medidas de dois lados de um tringulo qualquer e
a medida do ngulo compreendido entre eles, possvel calcular a medida do terceiro
lado. Isto significa que, desse modo, um tringulo qualquer fica determinado.
Reciprocamente, a lei dos cossenos permite tambm calcular as medidas dos ngulos de
um tringulo a partir das medidas dos lados, sendo suficiente que os nmeros dados
verifiquem a condio de existncia de tringulo. Entretanto, dados dois lados de um
tringulo qualquer e um ngulo no compreendido entre eles, isso no suficiente para
determin-lo, a menos que o ngulo seja reto. O Teorema de Pitgoras permite, neste
caso, encontrar o terceiro lado. Decorre ento que um tringulo retngulo ficadeterminado pela hipotenusa e um dos catetos.
Bert prossegue utilizando uma mudana de quadros (Douady, 1984, p. 110),
do quadro geomtrico, das construes de tringulos com rgua e compasso, para o
quadro algbricodiscusso da interseco de uma circunferncia com uma semi-reta
ou com uma reta se o ngulo dado reto.
Sejam a e b as medidas de dois lados de um tringulo, a medida do ngulo
oposto ao lado a (0
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Logo o sinal de dado pelo sinal de a bsen. Desse modo:
I) < 0 a bsen a (no h soluo)
II) > 0 i) bsen< a < b (duas solues positivas, dois tringulos)
ii) bsen< b < a (duas solues de sinais contrrios,
tringulo ABC)
iii) sen= 1 (duas solues opostas, tringulos ABC e ABC)
III) = 0 bsen= a (uma nica soluo dupla)
I) IIi)
IIii) IIiii)
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III)
Como pondera Annie Bert, o Teorema de Pitgoras no nada evidente.
Portanto, a simples apresentao de sua frmula no teria significado para o aluno; seria
algo mais para memorizar. Por outro lado, fazer a verificao utilizando somente
puzzles e colocando os resultados para a classe pode dar ao professor a falsa impressode que ele proporcionou aos alunos uma chance para agir. Mas, na verdade, isso seria
uma institucionalizao prematura.
Essas observaes foram levadas em considerao, no presente trabalho, no
momento da elaborao da seqncia didtica.
Anlise do ponto de vista matemtico e Anlise do ponto de vista didtico de
algumas demonstraes do Teorema de Pitgoras
As demonstraes do Teorema, conhecido como a 47a Proposio de Euclides e
tambm como o teorema do carpinteiro", podem ser classificadas em quatro grandes
grupos:
algbricas baseadas nas relaes mtricas nos tringulos retngulos;
geomtricas baseadas em comparaes de reas;.
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vetoriais baseadas em operaes com vetores e empregando o conceito de
direo;
dinmicas baseadas em massa e velocidade.
Segundo Loomis (1972, p. viii.), o nmero de demonstraes algbricas
ilimitado, o mesmo ocorrendo no campo geomtrico, e existem apenas dez tipos de
figura geomtrica, dos quais uma demonstrao pode ser deduzida. Qualquer que seja
ela, a classificao vai depender do critrio escolhido.
Para Padilla (1992, p. 12) as demonstraes podem ser reagrupadas em trs
tipos, segundo o tratamento matemtico empregado:
em que as reas dos quadrilteros permanecem invariantes;
por transposio de elementos;
algbricas.
Na verdade, os cerca de 400 tipos de demonstrao do Teorema so
caracterizados por meio dos recursos matemticos utilizados, tais como: igualdade dasreas dos quadrilteros (mtodo de Euclides), figuras geomtricas nas quais as reas se
mantm (mtodo geomtrico), princpio da igualdade da decomposio, princpio da
igualdade do completamento, operaes algbricas, relaes de semelhana, mtodos
vetoriais, mtodos da Geometria Analtica etc.
Sero apresentadas a seguir algumas demonstraes, visando ilustrar o emprego
desses diferentes mtodos. Os critrios utilizados na seleo das mesmas foram a
importncia histrica e a viabilidade de uso em sala de aula.
Na anlise didtica ser includa, sempre que se fizer interessante, uma anlise
cognitiva baseada e/ou inspirada em Padilla (1992), pois a maior parte das
demonstraes, mesmo as consideradas algbricas, fundamenta-se na aplicao da
operao de reconfigurao.
Com os comentrios efetuados aps algumas demonstraes no se tem a
pretenso de sugerir caminhos. Eles atestam as reflexes pessoais que antecederam as
escolhas feitas para a abordagem.
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Demonstraes utilizando-se semelhana de tringulos, razo de projeo
ortogonal ou cosseno
Demonstr ao 1 (a mais conhecida; do tipo algbrico, usando-se semelhana de
tringulos)
Anlise do ponto de vista matemtico
Seja ABC um tringulo retngulo em A
AH a altura relativa hipotenusa.
( indica tringulo e ~ indica semelhante)
I) HBA ~ ABCBC
BA
AC
HA
AB
HB==
ouac
bh
cm ==
c2= am e ah = bc
II) HBA ~AC
BA
HC
HA
HA
HBHAC ==
oub
a
n
h
h
m==
h2= mn
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III)BC
AC
AC
HC
AB
HAABC~HAC ==
oua
b
b
n
c
h==
b2= anIV)De c2= am e b2= na decorre que
b2+ c2= an + am b2+ c2= a(n + m)
mas como m + n = a ento b2+ c2= a2
Anlise do ponto de vista didtico
Demonstrao que aparece na totalidade dos manuais didticos examinados e
usa a semelhana de tringulos como ferramenta.
Como conhecimentos disponveis ela pressupe: semelhana de tringulos,
propriedades das propores, clculo algbrico e projeo ortogonal.
Quanto anlise cognitiva, convm observar que, apesar de essa demonstrao
utilizar comprimentos e no reas, ela requer duas reconfiguraes diferentes da figura
base (itens I e II):
o fracionamento da figura dado, desde o incio;
as subfiguras so convexas (tringulos);
cada reconfigurao exige dois desdobramentos de partes elementares, pois
os tringulos HBA e HAC esto tambm no ABC;
caractersticas de contorno favorveis;
no h substituio de partes elementares auxiliares;
no h modificaes posicionais;
no h tratamentos auxiliares a efetuar.
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A demonstrao no muito complexa, porm os itens (I) e (II) diminuem o grau de
visibilidade para a aplicao da operao de reconfigurao intermediria.
Demonstrao 2(atribuda a W. Rupert,1900; do tipo algbrico, utilizando-se
uma circunferncia)
Anlise do ponto de vista matemtico
Seja o tringulo AHB
retngulo em H.
Com centro em B e raio
AB, traa-se a circunferncia.
Pelo Teorema das Cordas:
HE.HC = AH.HD
mas HE = h a AH = b
HC = h + a HD = b
(h a) (h + a) = bbh2 a2= b2
h2= a2+ b2
Anlise do ponto de vista didtico
Esta demonstrao poderia ser usada como exerccio de aplicao do Teorema
das Cordas, porm no como demonstrao inicial do Teorema de Pitgoras. Seria ao
mesmo tempo uma oportunidade para mudana do ponto de vista, no que se refere ao
Teorema de Pitgoras, ainda no quadro geomtrico, e tambm como uma escolha de
variveis, na utilizao do Teorema das Cordas. Supondo o Teorema de Pitgoras j
como conhecimento disponvel, interessante para o aluno perceber que se pode chegar
a um mesmo resultado por mtodos diferentes
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Como conhecimentos disponveis ela exige: o Teorema das Cordas, operaes
com segmentos e clculo algbrico.
Quanto anlise cognitiva, dado o tringulo AHB, retngulo em H:
so necessrios tratamentos auxiliares, que consistem em traar acircunferncia de centro O = B e raio AB, o prolongamento de BH para obter os pontos
E e C sobre a mesma e o prolongamento de AH a fim de obter o ponto D;
h o obstculo do desdobramento de objetos, pois o segmento AH ,
simultaneamente, um lado do tringulo AHB e a corda HA; o mesmo ocorrendo com o
segmento HB, o qual figura como cateto e como parte da corda HC;
o reagrupamento pertinente das partes elementares HD,AH,OC,HO,HEforma umasubfiguraconvexa (dois pares de ngulos opostos pelo vrtice);
no h substituio de partes elementares;
no h modificaes posicionais.
O primeiro dos fatores mencionados e o obstculo do desdobramento das partes
elementares contribuem para o aumento do grau de complexidade para a aplicao da
operao de reconfigurao, mas as caractersticas do contorno facilitam a visibilidade
para o emprego do Teorema das Cordas.
Demonstr ao 3(do tipo algbrico, por meio do uso de uma circunferncia)
Anlise do ponto de vista matemtico
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Seja o tringulo AHB retngulo em H; AB = h. Com centro em A, traa-se a
circunferncia de raio AH=b. Tem-se: BDH~BHC pois m( CHB!
) = (arcCH)
e m ( HDB!
) = (arcCH) entoDH
HC
BH
BC
BD
BH==
a
bh
bh
a =
+
a2= h2 b2 h2= a2+ b2
Anlise do ponto de vista didtico
Como conhecimentos disponveis dentre outros, pressupe-se: ngulos na
circunferncia, semelhana de tringulos, clculo algbrico e propores.
A demonstrao acima constitui uma oportunidade para reinvestir em tpicos de
sries anteriores (como, por exemplo, propriedade do ngulo inscrito; propriedade do
ngulo de segmento, isto , ngulo tendo vrtice na circunferncia, um lado tangente e o
outro secante mesma; propriedades das propores) e tambm um modo de construir o
conhecimento. Segundo Piaget, o sujeito constri o conhecimento por meio de inmeras
interaes com o objeto, isto , por meio de sucessivas aproximaes com o objeto, nas
suas vrias atividades. O conhecimento, na teoria de Piaget, nunca um estado (...)
uma atividade. Pode ser visualizado como a estruturao do sujeito numa interao viva
com o meio (Furth, 1974, p. 38).
Dado o tringulo AHB, retngulo em H, por meio da anlise cognitiva, observa-
se:
a demonstrao exige traados suplementares, tais como a circunferncia
de centro O = A e raio AH; o prolongamento de AB para determinao do ponto D
sobre a mesma; e os segmentos HC e DH;
o segmento HC comum ao ngulo BHC e ao tringulo CHD; o
segmento AB comum ao tringulo AHB e ao ngulo BDH; o arco CH determinado
pelos ngulos inscritos BHC e BDH; o tringulo BHC parte comum aos tringulos
AHB e BHC, fatos que provocam o obstculo do desdobramento das partes
elementares;
os reagrupamentos pertinentes das partes elementares formam
subfiguras convexas (segmentos, ngulos e tringulos);
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Para visualizar a semelhana dos tringulos e os comprimentos dos lados BD =
(h + b) e HC = (h b) preciso superar o obstculo do desdobramento dos objetos,
acima apontado, o que dificulta a visibilidade para a aplicao da operao de
reconfigurao. O obstculo e os tratamentos auxiliares a ser feitos aumentam o grau de
complexidade da demonstrao.
Demonstrao 4(do tipo algbrico, por meio de razo entre reas)
Anlise do ponto de vista matemtico
Seja HC AB
Tem-se ABH ~ AHC ~ HBC 222 a
)yz(2
1
b
)z.x(2
1
h
z)yx(2
1
==+
(pois reas de figuras semelhantes so proporcionais ao quadrado da razo de
semelhana), sendo:
AB = h AC = x
HB = a CB = y
H = b HC = z
Mas222 ab
)yz(2
1)xz(
2
1
h
z)yx(2
1
+
+=
+
(A soma dos antecedentes est para a soma dos conseqentes, assim como cada
antecedente est para seu conseqente propriedade das propores.)
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Ento,222 ab
z)yx(2
1
h
z)yx(2
1
+
+=
+
h2= a2+ b2
(do fato de os antecedentes serem iguais, conclui-se a igualdade dos
conseqentes).
Anlise do ponto de vista didtico
O objetivo principal, neste caso, seria reinvestir na propriedade da razo de reas
entre figuras semelhantes e tambm no tpico propores.
Sugesto: As demonstraes 2 e 3 apresentadas, caso fossem utilizadas em sala
de aula, deveriam ser transformadas em atividades. A colocao em forma expositiva
poderia ser montona e desmotivadora para o aluno. No caso da demonstrao 4, cada
grupo, ou dupla de alunos, receberia a demonstrao, sem os detalhes que esto entre
parnteses. A atividade seria ento discutir e justificar, com base nos conhecimentos
disponveis, passagem por passagem da demonstrao.
Quanto anlise cognitiva, valem os comentrios feitos para a demonstrao 1deste trabalho.
Demonstrao 5(do tipo algbrico, utilizando-se cosseno)
Anlise do ponto de vista matemtico
Usando os tringulos retngulos AHC e ABC tem-se: CcosCACH !
==
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Nos tringulos retngulos AHB e ABC valem:
BcosBC
BA
BA
BH !==
Ento (CA)2= CB.CH e (BA)2= BC.BH
logo (AB)2+ (AC)2= BC(BH + HC)
(AB)2+ (AC)2= (BC)2
Anlise do ponto de vista didtico
Para esta demonstrao, as relaes trigonomtricas no tringulo retngulo so,
obviamente, imprescindveis como conhecimento disponvel, mas a semelhana de
tringulos, no caso, no foi um conhecimento mobilizado. A anlise cognitiva aponta
caractersticas anlogas s observadas na demonstrao 1 deste trabalho.
Demonstrao 6 (feita pelo presidente Garfield dos Estados Unidos; do tipo
algbrico ou geomtrico, por meio de comparao de reas)
Anlise do ponto de vista matemtico
A rea do trapzio
retngulo de bases b e c e altura
(b + c) igual a2
)cb)(bc( ++
Por outro lado, a mesma rea tambm igual soma das reas de trs tringulos
retngulos:
2
a2
bc2
bc 2++
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Ento2
a
2
bc2
2
)cb( 22+=
+
i.. b2+ 2bc + c2= 2bc + a2
b2+ c2= a2
Anlise do ponto de vista didtico
Seria importante que os alunos pensassem num modo de demonstrar que o tringulo
CBE tambm retngulo, o que decorre imediatamente do fato de a soma das medidas
de CBA!
, EBC!
e DBE!
ser igual a 180.
Quanto anlise cognitiva, pode-se dizer que a demonstrao fundamentada em
dois tipos de reconfigurao: um oriundo de uma apreenso analtica, e outro global
(Padilla, 1992, p. 35). Este privilegia a figura total, exterior, isto , o trapzio; enquanto
no primeiro a figura vista como uma reunio de trs tringulos retngulos.
o fracionamento da figura em partes elementares dado no incio;
o reagrupamento pertinente dos dois tringulos retngulos forma uma
subfigura no convexa, constituda pelos dois tringulos congruentes. Encontrar a
reconfigurao adequada, entre todas as possveis, no muito evidente;
o nico tratamento auxiliar necessrio, para formar a figura de Garfield,
o traado do segmento CE;
uma modificao posicional da subfigura chave, ou seja, do tringulo
retngulo, deve ser feita uma rotao;
as caractersticas do contorno so favorveis. fcil perceber que se trata
de um trapzio;
no h desdobramento das partes elementares;
no h substituio das partes elementares.
A demonstrao possui uma reconfigurao bastante visvel, depois de formada a
figura de Garfield, com baixo grau de complexidade. Pelo fato de se apoiar em clculo
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de reas, uma excelente oportunidade para reinvestir nesse tpico e tambm em
clculo algbrico.
As demonstraes do tipo geomtrico tm como base a comparao de
reas, por meio de superposio de figuras.
Demonstrao 7 Bhaskara, sc. X I I d.C.
Segundo os historiadores, Bhaskara desenhou apenas a figura com o comentrio
Veja! Entretanto, no fica muito claro se a figura compreende o quadrado inicial
(Fig. 2) e tambm a reconfigurao (Fig. 3). Se somente a Fig. 2 for considerada, a
demonstrao pode ser pensada como sendo do tipo algbrico, mas a incluso da Fig. 3,
a qual uma reconfigurao da Fig. 2, leva a crer numa demonstrao do tipo
geomtrico.
Para Loomis E. (1972), o lacnico comentrio seria justificado pela tendncia,comum naquela poca, de manter em segredo a descoberta de verdades relativas a
algumas proposies.
Anlise do ponto de vista matemtico
Esta demonstrao pode ser considerada do tipo geomtrico ou do tipo
algbrico, dependendo da estratgia utilizada, conforme comentrio anterior.
O quadrado sobre a hipotenusa (Fig. 2) decomposto em quatro tringulos, cada
um deles congruente ao tringulo dado, mais um quadrado cuja medida de lado b c.
Dispondo as partes como mostra a Fig 3 obtm se dois quadrados justapostos
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Mas rea da Fig.2 = rea da Fig.3
Como rea da Fig.2 = a2 rea da Fig.3 = b2+ c2
Ento: a2= b2+ c2
Algebricamente, para a Fig. 2:
22 a)cb(2
bc4 =+ ento: 2bc + b2 2bc + c2= a2
b2+ c2= a2
Anlise do ponto de vista didtico
Essa verificao, em sala de aula, pode ser feita por meio de uma atividade:
oito tringulos congruentes feitos de cartolina;
dois quadrados de lados (b c).
Aps ser formada a figura 2, a demonstrao baseia-se em dois tipos diferentes
de apreenso da figura: analtica e global. A apreenso analtica privilegia as diferentes
partes elementares; a figura vista como a reunio das cinco peas. A apreenso global
privilegia a figura total a figura como um quadrado de lado a.
Considerando-se apenas dada a Fig. 2, observa-se que:
o fracionamento da figura em partes elementares dado no incio;
no h tratamento auxiliar a ser efetuado;
para formar a Fig. 2 so necessrias quatro modificaes da subfigura-chave
(o tringulo): uma translao e trs rotaes, de modo que as hipotenusas se tornem
lados do quadrado;
o reagrupamento pertinente dos quatro tringulos forma uma subfigura no
convexa;
as caractersticas do contorno favorecem ver o pequeno quadrado (5;
Fig.2);
a dificuldade consiste em perceber que os lados do quadrado (5) so partes
dos segmentos que formam os lados dos tringulos. Para observar esse detalhe preciso
superar o obstculo do desdobramento dos objetos, porm, como se trata de umquadrado, o desdobramento de um dos segmentos suficiente para fazer a
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Trata-se, portanto, de uma demonstrao, cuja reconfigurao intermediria
bastante visvel e pouco complexa, se efetuada algebricamente, por meio das figuras 1 e
2. Porm, se a opo for comparao de reas, por meio da Fig. 3, surgem fatores que
aumentam o grau de complexidade e comprometem a visibilidade para a aplicao da
operao de reconfigurao intermediria, os quais sero analisados a seguir:
para formar a Fig.2, como j foi visto, so necessrias uma translao e
trs rotaes. A reconfigurao para obter a Fig. 3 requer mais cinco modificaes
posicionais (quatro para os tringulos e uma para o quadrado central);
necessrio um traado suplementar para obter os quadrados contguos
de lados respectivamente c e b;
a Fig.3 formada por um reagrupamento no convexo de trs figuras
convexas: os dois retngulos, cada um formado por dois tringulos, e o quadrado. No
evidente a reconfigurao conveniente, dentre todas as possveis, o que provoca
diminuio do grau de visibilidade da aplicao da operao de reconfigurao
intermediria;
o obstculo do desdobramento ocasionado pelo pequeno retngulo
(parte do retngulo horizontal), cujo lado maior comum aos dois quadrados contguos,
fato que pode dificultar avaliar os comprimentos dos lados dos quadrados.
O grande nmero de modificaes posicionais, o tratamento auxiliar efetuado
(traados suplementares), o obstculo do desdobramento dos objetos mais a dificuldade
em encontrar a reconfigurao conveniente so fatores que aumentam o grau de
complexidade e prejudicam a visibilidade para a operao de reconfigurao.
Demonstrao 8 - hindu (apresentada em alguns manuais didticos mais recentes.
Geomtrica, por transposio de elementos, por meio de equivalncia)
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Anlise do ponto de vista matemtico
Retirando-se os quatro tringulos hachurados de cada uma das figuras obtm-se:
na Fig. 1, um quadrado de lado a e na Fig. 2, um quadrado de lado b e um
quadrado de lado c.
Em outras palavras, o complementar dos quatros tringulos, na Fig. 1, o
quadrado que tem como lado a hipotenusa do tringulo retngulo. Reconfigurando-se de
modo conveniente os quatro tringulos, o complementar deles, em relao ao quadrado
maior, a reunio dos quadrados cujos lados so os catetos.
Logo, a rea do quadrado de lado a a soma das reas dos quadrados cujos ladosmedem b e c, ou seja: a2= b2+ c2
Algebricamente:
para a Fig. 1:2
bc4a)cb( 22 +=+
para a Fig. 2: 2bc4cb)cb(222 ++=+
a2+ 2bc = b2+ c2+ 2bca2= b2+ c2
Rigorosamente, o que ocorre o seguinte (Fig. 3):
a partir do tringulo ABC, retngulo em A, traa-se o quadrado APQR, tomando
PC = MQ = NR = AB e
PM = QN = BR = AC.
Quando os quatro tringulos retngulos, que tm respectivamente as mesmas
medidas para os catetos, so recortados, est sendo admitido implicitamente o fato de
que as hipotenusas e os ngulos agudos tm tambm, respectivamente, as mesmas
medidas, pois os tringulos so os mesmos.
necessrio utilizar o caso L.A.L. de congruncia de tringulos para justificar
que BCMN um quadrado. Em detalhes:
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ABC PCM QMN RNB
Ento CM = MN = NB = BC;
Resta mostrar que os ngulos do
quadriltero BCMN so retos.
Das congruncias do item anterior,
decorrem:
m ( MCP!
) = x e m ( CMP!
) = y
Mas x + m ( BCM!
) + y = 180
(formam um ngulo raso)
Como x + y = 90, segue-se que BCM!
reto (analogamente para os outros
tringulos).
Anlise do ponto de vista didtico
Pelo exposto, pode-se observar a variedade de abordagens que a demonstrao
propicia. Numa primeira fase pode ser explorada a reconfigurao, pois:
o fracionamento da figura em partes elementares dado no incio;
para formar a Fig. 1, o tringulo-chave sofre trs rotaes, e para a Fig.2
trs translaes;
a Fig. 1 formada pelo reagrupamento no convexo de quatro tringulos;
a Fig. 2 o reagrupamento no convexo de duas figuras convexas (os
retngulos, cada um formado por dois tringulos). Reconhecer a reconfigurao
conveniente, dentre todas as possveis, no um fato muito evidente, devido no
contigidade das partes elementares;
as caractersticas do contorno da subfigura contida na Fig. 2, formada pela
reunio dos quatro retngulos, favorecem a visibilidade, ajudando a encontrar, no
quadrado maior, os dois quadrados complementares;
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para obter os dois quadrados (Fig.2), so necessrios quatro traados
suplementares;
no h superposio de partes elementares;
no h substituies das partes elementares iniciais.
As seis modificaes posicionais, os tratamentos auxiliares a ser efetuados e a
no convexidade das subfiguras so fatores que dificultam a aplicao da operao da
reconfigurao intermediria, porm o fato de no apresentar o obstculo do
desdobramento e o contorno favorvel compensam essa desvantagem, aumentando o
grau de visibilidade para a aplicao da operao.
Numa segunda fase, o professor poder aproveitar a oportunidade para reinvestir
em tpicos anteriores, como congruncia de tringulos e produtos notveis, pois o aluno
deve entender que preciso, nas demonstraes rigorosas, usar definies, propriedades
e teoremas j institucionalizados, sem o que h o risco de se ficar apenas no figural.
Demonstrao 9 Liu Hui, 270 d.C. (geomtrica por transposio de
elementos)
Um quadrado formado pelo reagrupamento de peas obtidas de dois
quadrados, isto , o quadrado da hipotenusa reconstitudo por meio dos quadrados dos
catetos.
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Anlise do ponto de vista matemtico
Forma-se, primeiramente, um quadrado com quatro exemplares de tringulo
retngulo dispostos convenientemente.
Pelo ponto M, traa-se MS // AP ; pelo ponto C, CT MS ; e por N, NV MS .
Rigorosamente, seria necessrio adotar um procedimento anlogo ao realizado na
demonstrao 8 para garantir que o quadriltero BCMN um quadrado.
Anlise do ponto de vista didtico
Como conhecimentos disponveis, esta demonstrao exige noo de rea de
polgonos e congruncia de tringulos. Alguma habilidade em montagem de quebra-
cabeas desejvel, pois o quadrado sobre a hipotenusa deve ser reconstitudo por meio
dos quadrados cujos lados so respectivamente os catetos do tringulo inicial. Em outraspalavras, deve ser feita uma reconfigurao da Fig. 1, operao que ser a seguir
analisada.
O reagrupamento pertinente dos tringulos retngulos da Fig. 1 forma uma
subfigura no convexa, o que dificulta efetuar a operao de reconfigurao
intermediria:
o fracionamento da Fig. 1 em partes elementares no vem dado no incio;
a Fig. 1 exige tratamentos auxiliares (traados de segmentos ou retas) a
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so necessrias cinco modificaes posicionais (trs modificaes no
tringulo inicial, mais duas translaes de dois tringulos retngulos para a
reconfigurao);
o contorno possui caractersticas que no favorecem a aplicao daoperao de reconfigurao intermediria;
o obstculo do desdobramento de uma parte comum a dois
reagrupamentos diferentes a ser comparados ocorre duas vezes, para o quadriltero (7) e
para o tringulo (6), que esto contidos no quadrado relativo hipotenusa e nos
quadrados relativos aos catetos;
as subfiguras so deslocadas para o interior da figura inicial.
Os fatores acima mencionados aumentam o grau de complexidade e diminuem o
grau de visibilidade para a aplicao da operao de reconfigurao intermediria.
Demonstrao 10 Ozanan (geomtrica, por transposio de elementos)
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Anlise do ponto de vista matemtico
Os tratamentos auxiliares a ser efetuados sero detalhados mais adiante, na
Anlise Cognitiva da demonstrao. Rigorosamente, algumas congruncias devem ser
provadas. Assim,
FBPABC, pois: BFPBAC !! (retos)
FBPCBA (ngulos de lados perpendiculares)
BFAB (lados de um quadrado)
NCB XDC, pois: CN DX (por construo)
BCN
!
XDC!
(retos) e BC CD
Ento,
CSB PFB, pois BPFBCS !!
SBC!
FBP!
e CB PB
DTX CAN, pois: NCAXDT !! , logo DT = CA e CN = DX (construo).
Da, usando CB como eixo de simetria, tem-se:
P E (isto , E o simtrico de P), pois BP = CB = BE
A S (isto , S simtrico de A), pois BA = BS e CBA!
CBS!
O X (isto , X simtrico de O), devido aos ngulos retos.
Portanto, quadriltero AOPB quadriltero SXEB.
Como CN = DY, por construo, fazendo-se uma translao do quadriltero
HNCI de modo que o lado CN coincida com o segmento DY e lembrando que:
DT = CA = CI e, tambm, TDYICN
conclui-se que o quadriltero transladado simtrico de SYDT em relao ao
eixo CD. Logo, quadriltero SYDT quadriltero HNCI.
Como conseqncia, sendo XE = DE DX e XE = OP, tem-se:
YC = DC DY = DE DX = OP
pois, CN = DY = DX
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YRC OGP, pois YC OP
CRY!
PGO!
(retos) e RCY!
GPO!
Anlise do ponto de vista didtico
Trata-se de uma demonstrao bastante complexa do ponto de vista geomtrico,
exigindo como conhecimentos disponveis congruncia de polgonos e transformaes
(simetria, rotao e translao).
A reconstituio do quadrado da hipotenusa feita a partir das cinco peas
obtidas com os quadrados dos lados do ngulo reto do tringulo ABC:
o fracionamento da figura em partes elementares no dado inicialmente;
os tratamentos auxiliares a ser efetuados so o prolongamento de EB
determinando o ponto P em GF , o prolongamento de DC at encontrar AH em N e o
traado de PO // BC .
Assim, obtm-se cinco peas, m, n, o, p e q, que reagrupadas formaro o
quadrado de lado a = BC. De fato, tomando-se DX = DY = CN, traando-se CX e de Y,D e B conduzindo-se perpendiculares YR , DT e BS , os cinco elementos resultantes
so congruentes, respectivamente, s cinco peas, m, n, o, p e q.
So necessrios, portanto, sete traados suplementares (trs sobre os quadrados
dos catetos e quatro sobre o quadrado da hipotenusa).
os reagrupamentos das partes elementares formam subfiguras convexas;
as subfiguras so deslocadas para o exterior da figura inicial; no h desdobramento de partes elementares auxiliares;
no h substituio de partes elementares auxiliares;
para reconstituir, com as cinco peas, o quadrado da hipotenusa so
necessrias dez modificaes posicionais:
pea m uma translao e uma simetria (de eixo CD);
pea n uma translao e uma simetria (de eixo DB);
i t i (d i BC)
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pea p uma rotao (de centro B) e uma simetria (de eixo BC);
pea q uma rotao (centro G), uma translao (direo OA e uma simetria
(eixo CY).
Trata-se de uma demonstrao demasiadamente complicada, pelo fato de ser
necessrio efetuar o fracionamento da figura em partes elementares e, tambm, pela
multiplicidade de modificaes posicionais. So fatores que contribuem para o aumento
do grau de complexidade e diminuem o grau de visibilidade no que se refere
reconfigurao. Talvez pudesse ser reconstruda por alunos com razovel domnio da
Geometria, como curiosidade histrica ou oportunidade de reinvestir em tpicos
anteriores, por meio de passos guiados pelo professor.
Demonstrao 11 Eucl ides, do l ivro Elementos,300 a.C. , Proposio 47I
Tambm aparece sculos depois na obra de Tbit Ibn Qorra (826-901).
(Geomtrica, por transformao, deixando a rea dos quadrilteros invariante. Prova-se
a equivalncia de pares de partes decompostas)
A figura utilizada por Euclides para demonstrar o Teorema de Pitgoras , s
vezes, descrita como moinho de vento, cauda de pavo ou cadeira de noiva.
Anlise do ponto de vista matemtico
I) Seja ABC um tringulo retngulo em A.
Constri-se, sobre o lado BC ,
o quadrado BDEC, e sobre os lados
AB e AC , os quadrados BAGF e
CAHK, respectivamente.
Traa-se BD//AL
ABDFBC (caso L.A.L),
pois AB = FB e BD = BC (lados de
um quadrado) e m ( CBF!
) = m ( DBA!
)
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II) Chamando de A1 a rea do quadrado 1 e de A2 a do quadrado 2, tem-se:
A1 = 2. rea (FBC) pois rea (FBC) =22
. 2cFGFB=
A1 = 2rea (ABD), pois os dois tringulos so congruentes.
III) Mas: rea (ABD) =2
)BPLD(rea
2
DL.BD=
Ento: A1 = c2= 2rea (FBC) = rea (BPLD)
Analogamente: A2 = b2= 2rea (BCK) = rea (HCEL)
IV) Portanto, a rea do quadrado (BCED), formado pelos retngulos (BPLD) e
(PCEL), igual soma das reas b2+ c2, portanto, a2= b2+ c2
Na demonstrao aqui apresentada, constam detalhes que normalmente no
aparecem nos livros que tratam da histria da Matemtica. A inteno foi evidenciar os
conhecimentos disponveis que seriam necessrios para viabilizar seu emprego em
alguma atividade dentro da sala de aula:
congruncia de tringulos;
clculo de reas de tringulos, com as variveis didticas (posio da figura)numa forma bem diferente da usual, como, por exemplo, tringulo ABD e tringulo
FBC.
Admitindo-se essa possibilidade, a situao-problema poderia ser colocada em
etapas e o objetivo seria reinvestir em tpicos anteriores.
Sob o aspecto figural convm observar que:
o fracionamento da figura em partes elementares no dado no incio;
ele deve ser encontrado;
a figura demanda tratamentos auxiliares, ou seja, traado de segmentos
que daro origem a tringulos e a retngulos. So necessrios cinco traados
suplementares segmentos AL, AD, FC, BK e AE.
h um grande nmero de substituies das partes elementares, num total
de doze, seis para passar do quadrado 1 para o retngulo BPLD e seis do quadrado 2
para o retngulo PCEL;
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as caractersticas do contorno no ajudam aplicao da operao de
reconfigurao intermediria;
os reagrupamentos pertinentes formam subfiguras convexas;
aparece seis vezes o obstculo do desdobramento dos objetos, trs para
cada substituio FBC e ABD tm uma parte comum, o mesmo ocorrendo com
FBC e o quadrado 1 e ABD e retngulo BPLD. Analogamente, para o quadrado 2.
Os fatores acima mencionados ocasionam acentuado aumento no grau de
complexidade e reduo no grau de visibilidade para aplicao da operao de
reconfigurao, havendo ainda a dificuldade em perceber a equivalncia entre os
diferentes agrupamentos.
Demonstrao 12 Nassir-ed-Din, sc. XI I I d.C. (geomtrica, rea dos quadrilteros,
invariante)
Seja ABC um tringulo retngulo em A. So construdos sobre seus catetos e
hipotenusa, respectivamente, os quadrados ACIH, ABFG e BCDE.
A
C
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Seja L a interseco de FG e HI . Traa-se o segmento AL e, a seguir, AK
perpendicular a DE .
Anlise do ponto de vista matemtico
Os tringulos LGA e ABC so congruentes (tm os catetos respectivamente
congruentes).
Ento LA BC e LAG!
CBA!
JAC!
,
logo L, A, J, K so colineares (pois os ngulos opostos pelo vrtice so
congruentes).
Prolongando-se DC at encontrar IH em D, tem-se:
! rea do paralelogramo ACDL = b 2 (base AC = b e altura LG = b);
! paralelogramo ACDL equivalente ao retngulo CJKD
(mesma base, LA = BC = CD, e mesma altura, CJ);
! portanto, retngulo CJKD tem rea igual a b 2 .
Analogamente, prolongando-se EB at encontrar FG em E, tem-se:
! rea do paralelogramo ABEL = c 2 ;
! paralelogramo ABEL equivalente ao retngulo BEKJ;
! portanto, retngulo BEKJ tem rea c 2 .
Logo, a 2 = b 2 + c 2
interessante observar que, com a demonstrao, ficam ainda estabelecidas asseguintes relaes:
2AC = CJ.CB e 2AB = JB.CB , pois 2b = CD.CJ e 2c = BE.JB
Anlise do ponto de vista didtico
A demonstrao exige, como conhecimentos disponveis, clculo de reas de
figuras planas, congruncia de tringulos e conceito de equivalncia de figuras planas.Quanto anlise cognitiva, observa-se que:
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a figura exige tratamentos auxiliares a efetuar. De fato, so necessrios seis
traados suplementares as retas FG, HI, AL, AK, DC e EB;
as caractersticas do contorno no favorecem a aplicao da operao de
reconfigurao intermediria;
os reagrupamentos pertinentes das partes elementares formam subfiguras
convexas (paralelogramos e retngulos);
o reagrupmento pertinente exige que sejam feitas seis substituies de partes
elementares, trs para cada quadrado, para a reconstituio do quadrado de lado a, por
meio dos quadrados de lados b e c;
o obstculo do desdobramento de objetos aparece duas vezes, pois oparalelogramo ACDL e o quadrado de lado b tm uma parte comum, o mesmo
ocorrendo com o paralelogramo ABEL e o quadrado de lado c.
importante ainda comentar que os paralelogramos ACDL e ABEL devem ser
observados em duas posies diferentes, pois, quando comparados aos retngulos CJKD
e BEKJ, respectivamente, a base considerada LA para ambos e as alturas, CJ e BJ;
porm, quando comparados aos quadrados, construdos sobre os catetos, as bases
favorveis so AC e AB e as alturas LG e FB, respectivamente.
O fato de ser necessrio descobrir o fracionamento da figura em partes
elementares, fazer seis traados suplementares, de o contorno ser neutro para a operao
de reconfigurao, alm da multiplicidade de substituies e do obstculo do
desdobramento duas vezes presente, aumenta o grau de complexidade e diminui o grau
de visibilidade para a aplicao da operao de reconfigurao intermediria.
Demonstrao 13 - I rem de Strasbourg (geomtrica, com rea dos quadrilteros
invariante)
Sua originalidade em relao s demais reside no fato de utilizar o recurso das
transformaes (simetria e translao).
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Anlise do ponto de vista matemtico
1) Estudo da figura:
Os dois quadrados construdos sobre os lados do tringulo ABC tm um eixo de
simetria comum, determinado pelas diagonais dos quadrados. Denominamos:
D o simtrico de B e E o simtrico de C. Assim, DE = BC e .BCAAED !!
Completando o retngulo DAEF, obtm-se, por simetria do retngulo,
AF = DE e EF DA
Seja H o ponto de interseo da reta FA com o lado BC.
Assim, BH EF (ngulos opostos pelo vrtice).
O tringulo ABH tem, portanto, os mesmos ngulos do tringulo ABC, logo ele
retngulo em H, pois o tringulo ABC retngulo em A.
Resumindo: AF = BC e a AF BC
2) Obteno da relao pitagrica, em dois movimentos:
cada quadrado se transforma num paralelogramo de mesma rea;
cada paralelogramo se transforma em um retngulo de mesma rea;
a figura final tem dois lados paralelos reta AF, portanto perpendiculares a
BC e com o mesmo comprimento de AF , que igual ao de BC . Trata-se, portanto, de
um quadrado de lado BC .
H
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Logo: 222 ACABBC +=
e ainda: 2AB = BC.BH e 2AC = BC.CH
Anlise do ponto de vista didtico
Como conhecimentos disponveis, surgem obviamente as transformaes, o que
constitui uma oportunidade de reinvestir nesse tpico. Quanto anlise cognitiva,
destacam-se os seguintes fatores:
o fracionamento da figura em partes elementares no dado inicialmente; so necessrios cinco tratamentos auxiliares (traados de FE, DF, eixo de
simetria, DE e FH;
as caractersticas do contorno no favorecem a aplicao da operao de
reconfigurao intermediria;
os reagrupamentos das partes elementares formam subfiguras convexas
(tringulos e retngulos).
o reagrupamento pertinente exige que se efetuem seis substituies de partes
elementares (trs para cada quadrado);
o desdobramento das partes elementares aparece cinco vezes, pois no
primeiro movimento o quadrado de lado c e o paralelogramo resultante da
transformao efetuada tm uma parte comum. Analogamente para o de lado b. No
segundo movimento, quando cada paralelogramo se transforma em um retngulo, o
obstculo do desdobramento surge duas vezes, porque, em cada transformao, a figuraresultante tem uma parte comum com a figura inicial. Finalmente, o quadrado sobre a
hipotenusa (reconstitudo com os quadrados dos catetos) apresenta novamente o referido
obstculo, porque contm o tringulo ABC.
O fato de ser necessrio descobrir o fracionamento da figura em partes
elementares, fazer cinco traados suplementares, haver um contorno neutro para essa
operao, alm da multiplicidade de substituies e do obstculo do desdobramento
cinco vezes presente, aumenta o grau de complexidade e diminue o grau de visibilidade
para a aplicao da operao de reconfigurao intermediria
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Demonstrao 14 General izao do Teorema de Pitgoras(Pappus e
Friedelmeyer, geomtrica, rea dos quadrilteros, invariante)
No h entre os pesquisadores de Histria da Matemtica unanimidade quanto
figura original relativa demonstrao de Pappus. Existem duas verses, que sero
apresentadas e analisadas a seguir.
Seja um tringulo retngulo qualquer ABC; ABDE e BCFG so dois
paralelogramos quaisquer construdos sobre os lados AB e BC respectivamente. Seja
H o ponto de encontro de ED e FG . Traando-se por A e C as paralelas a BH , que
cortam ED e FG respectivamente em L e K, ento o quadriltero ALKC umparalelogramo equivalente soma dos paralelogramos ABDE e BCFG. Na figura de
Pappus, o paralelogramo ALKC construdo exteriormente ao tringulo ABC,
tomando-se sobre a reta HB, IJ = HB e 'K'L paralela a ACpor J.
(fig. Pappus)
Anlise do ponto de vista matemtico
O paralelogramo BCFG equivalente ao paralelogramo BCKH (mesma base e
mesma altura), o qual por sua vez equivalente ao paralelogramo ICKJ, pois HB = IJ
por construo. Analogamente, ALJI equivalente a HBDE. Como a rea de ACKJ
a soma das reas de ICKJ e de ALJI, tem-se que ALKC equivalente reunio de
ABDE e BCFG.
7/22/2019 Dissertacao Irma Verri Bastian
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Para a figura de Friedelmeyer tem-se: HB = CK e HB = AL (lados de
paralelogramo). Logo, CK = HB = AL e, portanto, ACKL um paralelogramo.
Mas os paralelogramos BCFG e BCKH so equivalentes, pois tm mesma base,
BC , e mesma altura. Por outro lado, BCKH e ICKN so equivalentes (mesma base,
CK , e mesma altura). Logo BCFG e ICKN so tambm equivalentes.
Analogamente, ABDE equivalente ao paralelogramo AINL.
Como ACKL = ICKN " AINL, conclui-se que ACKL = BCFG " ABDE.
Anlise do ponto de vista didtico
Para a ltima srie do 1ograu, talvez fosse interessante tratar essa generalizao
como uma curiosidade. O fato de utilizar equivalncia de reas como conhecimento
disponvel propicia reinvestir nesse tpico, pois as variveis didticas (posio dos
paralelogramos) so bem diversas daquelas normalmente escolhidas para os exerccios
de clculo de reas dessas figuras.
Quanto anlise cognitiva, convm observar que:
o fracionamento da figura em partes elementares no dado inicialmente, ele
deve ser encontrado;
N
I
(Fig. Friedelmeyer)
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a demonstrao exige tratamentos auxiliares a efetuar; pois so necessrios
seis traados suplementares para a fig. Pappus (DH, HG, HB, AL, CK, LK)
e seis para a fig. Friedelmeyer (DH, HG, HB, AL, CK, LK);
as caractersticas do contorno no favorecem a aplicao da operao dereconfigurao intermediria, pois o mesmo no fornece indcios do que
deva ser feito;
os reagrupamentos das partes elementares formam subfiguras convexas
(paralelogramos);
o reagrupamento pertinente exige, tanto para a fig. Pappus como para a fig.
Friedelmeyer, seis substituies (trs para cada paralelogramo; ABDE por
ABHL, este por ALJI respectivamente AINL e BCFG por BCJK por
ICKJ respectivamente ICKN);
o obstculo do desdobramento aparece duas vezes na fig. Pappus (os
paralelogramos ABDE e ABHL tm em comum o trapzio ABDL; os
paralelogramos BCFG e BCKH, o trapzio BCKG). Para a figura de
Friedelmeyer o desdobramento das partes elementares atinge tambm o
paralelogramo ACKL, o que complica bastante a visualizao da figura,
dando a impresso de que a mesma se encontra no num mesmo plano e sim
no espao.
O fracionamento da figura em partes elementares no sendo dado, a exigncia de
seis traados suplementares, o contorno neutro, alm da multiplicidade de substituies
e do obstculo do desdobramento de objetos, aumentam o grau de complexidade e
diminuem o grau de visibilidade para a aplicao da operao de reconfigurao
intermediria.
Demonstrao 15 Leonardo da Vinci (1452-1519)
So dados um tringulo EFG retngulo em G e sobre seus lados os quadrados
FEJH, EDCG e FGBA. A partir dessa figura so feitas as seguintes construes
auxiliares: segmentos AD, GI, BC.
7/22/2019 Dissertacao Irma Verri Bastian
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Anlise do ponto de vista matemtico
Os hexgonos ABCDEF e GEJIHF tm mesma rea, pois:
rea do quadrado FEJH + 2 rea do tringulo FEG = rea do hexgono GEJIHF
rea do hexgono GEJIHF = 2. rea do quadriltero BCDA = rea do hexgono
ABCDEF
Mas a rea do hexgono ABCDEF = rea do quadrado CDEG + rea do quadrado
ABGF + 2 rea do tringulo
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