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Cap. 5.0 FLEXAO PURA 5.1 INTRODUO As peas longas, quando submetidas flexo, apresentam tenses normais elevadas (por exemplo, para se quebrar um lpis, com as mos, jamais se cogitaria tracion-lo, comprimi-lo, torc-lo ou cisalh-lo; um momento fletor de pequeno valor seria suficiente para produzir tenses de ruptura no material). Da a importncia do presente estudo. 5.2 MOMENTO FLETOR (M) Recordando estudos de Isosttica, quando da anlise das relaes entre os esforos solicitantes em uma viga sob carregamento transversal q(x), temos que:q(x) y

Fy = 0 Q = q (x) dx + (Q + dQ) dQ/dx = - q(x) ........... (5.2.1)

M x

Q

O

Q+dQ

M+dM

(sendo > 1, tornando o termo desprezvel em presena das demais) e

Mo=0 M+Qdx=q(x)dx.dx/ + M+dM

dx

dM/dx = Q ...................... (5.2.2)

Fig. 5.2.1 Relaes entre q(x), Q e M em uma viga

A relao 5.2.2 denota que, quando a fora cortante Q nula ao longo de uma extenso x da viga, o momento fletor M ser constante (FLEXO PURA). Da mesma forma, nas sees onde o momento fletor extremo (mximo [+] ou mnimo [-]) a fora cortante ser nula, sendo aplicvel para tais casos (de especial importncia) o estudo da flexo como sendo pura.2,0 tf 2,0 tf 1,0 tf / m 4,0 tf

2,0 1,5 4,0 m tf + 2,0 Q=0 - 2,0

1,5

1,5

4,0 m

1,5

3,5 m

3,5 m

+ 2,0

+ 2,0 - 2,0 Q=0 - 2,0

2,0 tf Q (tf)

Q=0

+3,0 tf.m +5,0 tf.m +7,0 tf.mFig. 5.2.2 Diagramas de esforos solicitantes (Q e M) de vigas sob carregamento transversal (exemplos)1

M

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5.3 TENSES NORMAIS NA FLEXO RETA (SIMTRICA) E ELSTICA. No caso comum de vigas com seo transversal simtrica em relao ao plano do carregamento, verifica-se que a distribuio das tenses normais nos diversos pontos da seo s depende da distncia y em relao linha que a divide nas partes tracionada e comprimida (linha neutra LN Fig. 5.3.1 a e b). Admitindo que a seo transversal permanece plana aps girar em torno da LN em decorrncia da deformao das fibras longitudinais, concluiremos que a linha neutra ser reta e que as deformaes variaro linearmente com relao a seu afastamento y em relao LN (Fig. 5.3 .1 c).

LN

M

LN

y

LN

y

(a)

(b)

dA

(c)

Fig.5.3.1 (a) Flexo de vigas simtricas. (b) tenses normais. (c) deformaes manuteno da seo plana (Obs: o eixo y foi orientado para baixo para se adequar conveno de sinais do momento fletor - positivo quando traciona as fibras inferiores e comprime as superiores)

Computando a resultante dos momentos, em relao linha neutra, das foras elementares atuantes nos diversos pontos da seo podemos escrever (Fig. 5.3.1 b):

dA.y = M.............................(5.3.1)Adotando a hiptese da manuteno da seo plana (Fig. 5.3.1 c), e admitindo que o material da viga trabalha na fase elstica podemos escrever sucessivamente: = c. y .......... = E .............. = k y .....(distribuio linear das tenses) e

k y dA.y = M k = M / y2 dA ,sendo y2 dA = ILN (momento de inrcia da rea da seo transversal em relao linha neutra). Portanto:

= (M / ILN) y .................. (5.3.2)

+

equao estabelecida por Euler, para determinao da tenso normal atuante em um ponto qualquer de uma dada seo de uma viga, onde atua um momento fletor M e que2

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tem um momento de inrcia ILN em relao linha neutra, sendo y a distncia do ponto citado, em relao mencionada LN. Resta precisar a posio em que se encontra a linha neutra. Como na flexo pura a fora normal nula, teremos, necessariamente:

dA = N = 0 e ( / LN ) y dA = 0, portanto, y dA = 0,ou seja, o momento esttico (de 1 ordem) da rea da seo em relao Linha Neutra sendo nulo, indica que a LN contm o centride da rea. 5.4 VRIAS FORMAS DE SEO. MDULO DE RESISTNCIA (W). Para as formas mais comuns das sees das vigas (retangular, circular, tubular ou composies destas), o cmputo dos respectivos momentos de inrcia I em relao a eixo central que contm o centride da rea nos fornece, por exemplo (com e >> = k0 + k1 y + k2 z , sendo ki constantes a determinar.

= k1 y + k2 z ................................................ (5.6.2) Levando em 5.6.1 obtemos: Mz =

(k1 y2 + k2 zy) dA

e e

Mz =

(k1 yz + k2 z2) dA , ou

M z = k1

y2 dA + k2 zy dA

Mz = k1 yz dA + k2

z2 dA .

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Considerando que:

y2 dA = Iz ;

z2 dA = Iy ;

yz dA = Pyz *

* - Pyz - Produto de Inrcia da rea da seo em relao ao par de eixos yz. Finalmente teremos: Mz = k1 Iz + k2 Pyz ................................... (5.6.3). My = k1 Pyz + k2 Iy Conhecido o carregamento e determinado o momento fletor, obtemos suas componentes nos eixos y (para baixo) e z escolhidos (cuidado com o sinal de Mz, positivo quando no sentido negativo do eixo z). Conhecidas as caractersticas geomtricas da seo, podemos determinar os momentos e produto de inrcia em relao aos eixos. Tais valores (Mz , My , Iz , Iy e Pyz ), levados em 5.6.3, nos permitem obter um sistema de duas equaes com as duas incgnitas k1 e k2. Resolvido o sistema e utilizando 5.6.2, obteremos o valor da tenso normal, bastando conhecer as coordenadas do ponto correspondente da seo. A posio da linha neutra ser determinada considerando que nela as tenses sero nulas (fazendo = 0 em 5.6.2, obtendo-se a equao da L.N.).

Exemplo n 5.6.1 - O perfil de abas desiguais esquematizado ao lado submetido a um carregamento vertical e, em determinada seo, a flexo pura, com momento fletor de 10,0 kN.m, tracionando a aba superior. Pede-se determinar: 1) as tenses normais nos pontos A, B e C assinalados; 2) a posio da linha neutra; 3) as mximas tenses de trao e de compresso na seo.

80

A

B20

140

M = 10,0 kN.m

C20 52

22

CG Soluo Estabelecendo os eixos y z com origem no centride da rea da seo:yc = (60 x20 x10 + 140 x20 x70) / (60 x20 + 140 x20) = 52 mm zc = (60 x20 x50 + 140 x20 x 10) / (60 x20 + 140 x20) = 22 mm

z

No clculo dos momentos de inrcia obtem-se:Iz = 60 x203/12 + 60 x20(52 10)2 + 20 x 1403/12 + 140 x 20(70 52)2 = = 7,637 x 106 mm4 = 7,637 x 10 6 m4 3 Iy = 140 x20 /12 + 140 x20(22 10)2 + 20 x 603/12 + 60 x 20(50 22)2 = = 1,797 x 106 mm4 = 1,797 x 10 6 m4 y

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No cmputo do PRODUTO DE INERCIA Pyz levaremos em conta que nulo o seu valor quando um dos eixos for de simetria para a seo. Portanto, os produtos de inrcia baricntricos para cada uma das abas retangulares sero nulos, bastando apenas acrescentar os produtos de transporte para o baricentro da figura, conforme estabelece o teorema de Steiner (eixos paralelos). Importante ser levar em conta que, ao contrrio dos momentos de inrcia (grandeza sempre positiva), o produto de inrcia pode ser positivo ou negativo (conforme o quadrante em que a figura esteja posicionada) Assim, para a rea da cantoneira em anlise (em sua maior parte contida nos 2 e 4 quadrantes) teremos: Pyz = [ - 60 x 20 x (50 22) x (52 10)] + [ - 140 x 20 x (70 52) x (22 10) == - 2,016 x 106 mm4 = - 2,016 x 10 6 m4

Levando em 5.6.3 os resultados obtidos para as propriedades geomtricas da seo e considerando que o momento fletor M tem como componentes: My = 0 e Mz = - 10 kN.m (o sinal negativo corresponde conveno usual para momentos que tracionam as fibras superiores, embora esteja orientado no sentido positivo do eixo z cuidado ! segundo o eixo y a incoerncia no ocorre ):- 10 x 103 = [ 7,637 k1 + (- 2,016) k2] x 10 6 0 = [(- 2,016) k1 + 1,797 k2] x 10 -6 Resolvido o sistema obtemos: k1 = - 1.860 x 106 ; k2 = - 2.087 x 106 (Pa/m) e, levando em

5.12, teremos finalmente:

= (- 1.860) y + (- 2.087) z ..............................(a)

Para os pontos A(-52; -22); B(-52; +58) e C(+84; -2) coordenadas (y; z) em mm, teremos: A = + 143 MPa (trao); B = - 24,3 MPa (compresso !! *); C = 152 MPa (compresso). * o resultado, inesperado em princpio, de uma tenso de compresso em ponto da aba superior do perfil, ficar compreendido ao analisarmos a posio da linha neutra. A linha neutra (que separa as regies tracionada e comprimida) o lugar geomtrico dos pontos da seo onde a tenso nula, permitindo obter-se a sua equao zLN = f (yLN) fazendo = 0 em (a): 0 = 1.860 y + 2.087 z >>>> zLN = - 0,8912 yLN (eq. da LN) indicando que a LN forma um ngulo com o eixo y tal que a sua tg = - 0,8915 ou seja = - 41,7 = + 138,3. Portanto, a linha neutra no coincide com a linha de ao do vetor momento na seo (ao contrrio do que ocorre na flexo reta). O ponto B, realmente, est no lado comprimido do perfil. As tenses mximas ocorrero nos pontos mais afastados da linha neutra. No caso em apreciao:52

A + + + ++ + + + + +

-

B

41,9

Linha Neutra

- 41,7

max

Trao

= 143 MPa (ponto A); max

Comp.

= 152 MPa (ponto A)

C y

58

z

Nota: se a equao de Euler (5.4) fosse empregada para o caso (soluo incabvel) as tenses extremas seriam calculadas como: A = B = (10.000 / 7,637 x 10-6) x 0,052 = 68,1 MPa (errado !) C = (10.000 / 7,637 x 10-6) x 0,088 = 115 MPa (errado !)

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No caso de vigas cuja seo transversal possui um eixo de simetria, porm o plano do carregamento no coincide com o seu plano de simetria (FLEXAO OBLIQUA), a determinao das tenses se realiza de maneira mais simples escolhendo-se, como um dos eixos, o eixo citado de simetria da seo. Assim, teremos a condio simplificada de Pyz = 0 que, levada em 5.6.3 nos fornece:

k1 = MZ / IZ

e

k2 = MY / IY.

Considerando 5.6.2, termos finalmente:

= (MZ / IZ) Y + (MY / IY) Z ................ (5.6.4)Mindicando que a soluo seria a composio de duas flexes retas, cada uma computada em relao a um dos eixos principais da seo (representados em letras maisculas como Y e Z). Obs.: mesmo que a seo no admita um eixo de simetria, haver dois eixos perpendiculares em relao aos quais o produto de inrcia ser nulo (eixos principais de inrcia), e para os quais os momentos de inrcia sero extremos (um mximo e outro mnimo). Seus valores so dados por: I1,2 = (Iy + Iz) + [ (Iy Iz)2 + (Pyz)2 Exemplo n 5.6.2 A viga em T, posicionada obliquamente A 80 em relao ao plano do carregamento vertical, com a alma formando um ngulo de 30, est submetida, em determinada seo, a flexo pura com um momento fletor de intensidade M = 2,5 kN.m, tracionando as fibras inferiores. Pede-se determinar M as mximas tenses de trao e de compresso, indicando os B pontos da seo onde ocorrem. 30 LN Soluo: 30 O centride da seo fica em: Z YC YC = (80x30x15 + 100x24x80) / (80x30 + 100x24) = 47,5 mm Os momentos de inrcia principais valero: 24 IZ =80x303/12 + 80x30(47,5 15)2 + 24x1003/12 + 100x24(80 47,5)2 100 Y C IZ = 7,250 x 10-6 m4 IY = 30 x 803/ 12 + 100 x 243 / 12 = 1,395 x 10-6 mm4 IY = 1,395 x 10-6 m4 As componentes do momento fletor nos eixos principais sero: MZ = 2,5 x cos 30 = + 2,165 kN.m; MY = 2,5 x cos 60 = + 1,250 kN.m; Levando em 2.14 teremos: A equao da linha neutra ( = 0) ser: ZLN = - 0,3332 YLN. Portanto, a LN forma com o eixo Y um ngulo tal que tg = - 0,3332 e = -18,43. Os pontos onde ocorrem as tenses extremas so aqueles mais afastados da LN. Para a compresso, no h dvida, ser a quina A da mesa:

ZPlano do carregamento

Y

= (2.165 / 7,250x10-6) Y + (1.250 / 1,395x10-6) Z; = ( 298,6 Y + 896,1 Z )x106 .

= [298,6 x (-0,0475) + 896,1 (-0,040)] x 106 = - 50,0 MPa (compresso mxima).Para a trao, dois seriam os candidatos: (a quina B da mesa e a quina C da alma):

= [298,6 x (-0,0475 + 0,030) + 896,1 (+0,040)] x 106 = + 30,6 MPa. C = [298,6 x (0,130 - 0,0475) + 896,1 (+0,012)] x 106 = + 35,4 MPa (trao mxima).

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h M

Exerccio Proposto n 5.6.3 Para a viga retangular (b x h), submetida a um carregamento vertical direcionado segundo uma de suas diagonais, pede-se: 1) mostrar que a linha neutra estar direcionada segundo a outra diagonal, e 2) determinar as mximas tenses de trao e compresso em funo do momento M e das dimenses da seo.

b

5.7 DEFORMAES NA FLEXO PURA SIMTRICA E ELSTICA. O momento fletor o esforo solicitante que, atuando em duas sees contguas paralelas de uma viga reta, separadas de dx, provoca um ngulo d entre elas de sorte a se poder escrever (ver Fig. 5.7.1 abaixo): d = dx / yd

sendo a deformao especfica longitudinal de uma fibra situada a uma distncia y do plano neutro. Admitindo que o material trabalha na fase elstica, teremos:x x y z

= / E = (M / E ILN) y portanto: d = dx / E ILN .......(5.7.1) No caso da flexo pura, com M constante, seo uniforme e material continuo, ao longo da extenso L0 da viga obteremos, para o pequeno ngulo formado entre as sees extremas:

dx

y

(1+ )dx Fig. 5.7.1 Deformaes na flexo pura simtrica

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= L0 / E ILN .......(5.7.2) (compare com as equaes 1.7.2, 3.1.1 e 4.2.8). O raio de curvatura do plano neutro pode ser calculado observando (ainda na Fig. 5.7.1) que: d = dx; portanto d / dx = 1 / 1 / = / L ...................................... (5.7.3)2 mm

D = 2,0 m

35

Exemplo n 5.7.1 Uma fita de ao (E = 210 GPa), com 2 mm de espessura e 20 mm de largura, encurvada para formar um aro 20 circular com 2,0m de dimetro, sendo suas extremidades unidas atravs de um pino cravado conforme mostra a figura ao lado. Pede-se estimar: 1) o valor mximo das tenses normais na fita; 2) o valor da fora de trao no pino da unio.Obs.: h uma superposio entre as fitas da ordem de 35 mm.

Soluo: A equao 5.16 nos fornece: 1 / = / L = 1 / 1,0 = 12 M / 210x109 x 20 x (2)3 x 10-12 de onde tiramos M = 2,8 N.m Fpino35

As tenses mximas (tanto de trao como de compresso) valero: =[12 x 2,8 / 20 x (2)3 x 10-12] x (1,0 x 10-3 ) = 210 MPa

O momento fletor aplicado na extremidade da fita, atravs da ao do pino e do encosto com a outra extremidade da fita, ser dado por: Fpino x (2/3) 0,035 = 2,8 e, portanto: Fpino = 120 N.(valor aproximado, admitindo que a ao de encosto entre as fitas se caracterizasse por uma distribuio linear de esforos, desde zero, na altura do pino, at o valor mximo, na extremidade).

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