Equaes Ordinrias de 1 Ordem
Conceitos bsicos: Uma EDO uma equao que contm uma ou mais
derivadas de uma funo desconhecida, a qual usualmente chamamos de
y(x). Essa equao pode contar com o prprio y, funes conhecidas de x
e constantes. O termo ordinria serve para ressaltar que s h uma
varivel independente, ou seja, no aparecem variveis parciais.
Exemplos: y = cos x y + 9y = 0 xyy + 2exy = (x +y)
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Conceitos bsicos: Nesta primeira parte do curso vamos considerar
apenas as EDOs de primeira ordem, ou seja, as EDOs que contm
somente a derivada y, podendo tambm conter y e funes quaisquer
dadas de x. Essas equaes so escritas na forma F(x, y, y) = 0 ou y=
f(x, y). Esta ltima chamada de explcita e a primeira de implcita.
Ex: x-y - 4y = 0 (implcita) => y = 4xy (explcita)
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Solues: Chama-se soluo particular de uma funo F (x, y, y,...,
yn) = 0 (1) uma funo y = f(x), a < x < b, com derivadas at
ordem n no intervalo e tal que (1) torna-se uma identidade quando y
e suas derivadas so substitudas por f(x) e suas derivadas. Ex:
considerando y + 3y +2y - 6ex = 0 (2), y = ex uma soluo particular
de (2).
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Solues: Para a maior parte das equaes diferenciais que sero
consideradas aqui, provaremos que todas as solues particulares
podem ser includas na frmula: y = f(x, c1,..., cn) (3), onde
c1,..., cn so constantes arbitrrias. Por exemplo, todas as solues
de (2) so dadas pela frmula y = c1e-x + c2e-2x +ex (3) e a soluo y
= ex obtida quando c1 = 0 e c2 = 0 Quando se obtm uma frmula como
(3), fornecendo todas as solues, ela se diz a soluo geral de
(1).
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Solues: As constantes arbitrrias aparecem mesmo nas equaes mais
simples: y = F(x) (4). Todas as solues de (4) so obtidas por
integrao: y = F(x) dx + C. (5) Nesse caso, c = C. Isso pode ser
generalizado para equaes de ordens mais altas. Ex: y = 20x (6).
Como y a derivada de y, conclui-se, integrando duas vezes (6), que
y = 5x + c, y = x + cx + c
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Solues: Na maioria dos casos, a soluo nica de um determinado
problema (soluo particular) obtida a partir de uma soluo geral, por
meio de uma condio inicial y(x) = y, com valores dados para x e y,
que so utilizados para se determinar um valor para a constante
arbitrria c. Geometricamente falando, isso signica que a curva de
soluo deve passar pelo ponto (x, y) no plano xy. Uma EDO
apresentada juntamente com uma condio inicial chamada de um
problema de valor inicial.
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Solues: Portanto, caso a EDO seja explcita, y = f(y, x), o
problema de valor inicial assume a forma y(x) = y. Ex: Seja o
problema achar uma soluo y = f(x) para (2) que satisfaa s condies:
f(0) = 0 e f(1) = 0. Isso nos leva a escrever as duas equaes: 0 = c
+ c + 1 e 0 = ce- + ce- + e
Estas tm uma soluo c= -1 - e - e, c = e + e, logo: y = (-1 - e -
e)e-x + (e + e)e-x + extera-feira, 6 de julho de 2010
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EDOs separveis: Muitas EDOs podem ser resolvidas forma g(y)y =
f(x). possvel integrar ambos os lados com relao x, o que nos d g(y)
y dx = f(x) dx + c Mudando para y a varivel de integrao do lado
esquerdo da igualdade acima, uma vez que sabemos que y = dy/dx,
teremos: g(y) dy = f(x) dx + c Esse mtodo de resoluo de EDOs
chamado de mtodo das variveis separveis.
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EDOs separveis - Reduo forma separvel: possvel tornar certas
EDOs no separveis em separveis, por meio de transformaes que
relacionam y a uma nova funo desconhecida. Tomando y = f(y/x), a
forma dessa EDO sugere que escrevamos y/x = u, portanto, y=ux e
derivando o produto, y = ux + u. Fazendo a substituio em y =
f(y/x), obtemos ux + u = f(u) ou ux = f(u) - u. Ento possvel
separar essa expresso: du/[f(u)-u] = dx/x
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EDOs separveis: Se uma funo u(x, y) possui derivadas parciais
contnuas, sua diferencial total ser dada por: du = u/x dx + u/y dy
Disso, segue que, se u(x, y) = c = cte., ento du = 0. Exemplo: Se u
= x + xy = c, ento du = (1+2xy)dx + 3xydy = 0, ou y = dy/dx =
-(1+2xy)/(3xy)
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EDOs exatas: Uma EDO de primeira ordem M(x, y) + N(x, y)y = 0,
escrita como M(x,y)dx +N(x,y)dy = 0 (7) chamada de uma equao
diferencial exata, se a forma diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy for
exata, ou seja, se essa forma for a diferencial du = (u/x)dx +
(u/y)dy (8) de alguma funo u(x, y). Dessa forma, (7) pode ser
escrita como du = 0. Integrando essa expresso, obtemos a soluo
geral de (7) na forma u(x,y) = c. Comparando-se (7) e (8), vemos
que (7) ser exata quando u/x = M e u/y = N.
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EDOs exatas: Supondo que M e N sejam contnuas, assim como suas
derivadas primeiras, ento M/y = u/ux = N/x = u/xy. Portanto, se uma
equao M dx + N dy = 0 exata, M/y = N/x. Exemplo: A equao
diferencial (3xy + 2xy)dx + (x + x + 2y)dy = 0 exata? Fazendo M =
3xy + 2xy e N = x + x + 2y, teremos que M/y = 3x + 2x e N/x = 3x +
2x, logo a EDO exata. Se quisermos a funo u, escrevemos u/x = M =
3xy + 2xy (de (8)). Integrando em relao a x, encontramos u = xy +
xy + C(y). Logo, a condio u/y = N estar satisfeita se x + x + C(y)
= x + x + 2y, o que d C(y) = 2y e C(y) = y. A funo u , pois, a funo
xy + xy + y.
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EDOs exatas - Fatores integrantes: A EDO -ydx + xdy=0 no exata,
mas se a multiplicarmos por 1/x ela se torna exata: (-ydx + xdy)/x
= -y/x dx + 1/x dy = d(y/x) = 0. Integrando a soluo, chegamos soluo
geral y/x = c = cte. O que zemos foi somente multiplicar uma dada
equao no-exata, que pode ser escrita como P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0
(9) por uma funo F, que ser uma funo tanto de x quanto de y, dada
por FP dx+ FQ dy = 0 (10), que exata, de modo que podemos resolv-la
como j discutido. Uma funo do tipo F(x,y) ento chamada de fator
integrante de (9).
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EDOs exatas - Fatores integrantes: Nem sempre simples encontrar
fatores integrantes, mas pode-se usar algumas ferramentas para
isso. Consideremos Mdx + Ndy = 0. A condio para que a equao seja
exata M/y = N/x. Portanto, em (10) teremos FPdx + FQdy = 0 e a
condio de exatido FP/y = FQ/x (11). Pela regra do produto e
resolvendo as derivadas parciais, teremos FyP + FPy = FxQ + FQx. A
soluo muito complexa, mas podemos procurar um fator integrante que
dependa apenas de uma varivel. Portanto, faamos F = F(x), o que d
Fy = 0 e Fx = F= dF/dx, o que torna (11) igual a FPy = FQ + FQx.
Dividindo essa equao por FQ e reordenando os termos, teremos 1/F
dF/dx = R, onde R = 1/Q (P/y - Q/x) (12)
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EDOs exatas - Fatores integrantes: R = 1/Q (P/y - Q/x) (12) De
(12) podemos escrever os seguintes teoremas
Teorema 1: Se (9) for tal que o lado direito de R de (12)
depende somente de x, ento (9) possui um fator integrante F = F(x),
que obtido por F(x) = exp R(x)dx.Similarmente, se F* = F*(y), 1/F*
dF/dy = R*, onde R = 1/P (Q/x - P/y) (13)
Teorema 2: Se (9) for tal que o lado direito de R* de (13)
depende somente de y, ento (9) possui um fator integrante F* =
F(y), que obtido por F*(y) = exp R*(y)dy.tera-feira, 6 de julho de
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EDOs lineares: Uma EDO linear se ela pode ser escrita como y
+p(x)y = r(x) (14). Se o primeiro termo da equao for f(x)y em vez
de y, devemos dividir a equao por f(x) para obtermos a forma padro
de (14), que tem y como o primeiro termo. Exemplo: y cosx + y senx
= x uma EDO linear e sua forma padro y + y tanx = x secx
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EDOs lineares - Homogneas: Vamos resolver (14) em algum
intervalo a < x < b, que chamaremos de J, comeando pelo
problema mais simples, em que r(x) = 0 para todo x em J. Dessa
forma, a EDO se torna y+ p(x)y = 0 (15) e chamada de homognea.
Separando as variveis e integrando, teremos: dy/y = -p(x)dx e
ln|y|= - p(x)dx + c*. Passando ambos os lados para a forma
exponencial, obtemos a soluo geral de (15) y(x) = ce-p(x)dx, onde c
= ec* quando y 0.
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EDOs lineares - No-Homogneas: Para o caso em que a funo r(x) em
(14) no nula para todo intervalo J considerado, a EDO (14)
no-homognea. No entanto, para esse caso, (14) tem uma propriedade
muito interessante: ela tem um fator integrante que depende somente
de x. Para achar F(x), reescrevemos (14): (py - r) dx + dy = 0.
Isso corresponde equao Pdx + Q dy = 0, onde P = py - r e Q = 1. Da,
(12) simplesmente 1(p-0) = p, de modo que (12) se torna 1/F dF/dx =
p(x). Separando as variveis e integrando, obtemos: dF/F = pdx e
ln|F|= pdx. Passando ambos os lados para a forma exponencial,
chegamos ao fator integrante F(x) desejado: F(x) = e pdx
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EDOs lineares - No-Homogneas: Multiplicando ambos os membros de
(14) por F(x) = e pdx, temos: e pdx (y+py) = (e pdxy) = e pdx r
Integrando ambos os membros com relao a x, obtemos e pdx y = e pdx
rdx + c. Dividindo por e pdx e representando o expoente pdx por h,
obtemos y(x) = e-h(ehr dx + c), com h = p(x)dx
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