Universidade Federal do Rio de Janeiro

EEE 335 Eletromagnetismo II

Prof. Antonio Carlos Siqueira de Lima

0 2 4 6 8 10

!0.2

0

0.2

0.4

0.6J0

J1J2 J3

Domínio da Frequência & Fasores❖ Transformadas de Fourier & Laplace!

❖ Frequência real ou frequência complexa!!

Matemática para Engenheiros

• Sem grandes perturbações: lema, teorema, caveat, etc e tal, não nos interessa... sad but true!

• Lidamos com sistemas físicos, convergências e problemas de existência, também vão para segundo plano!

• Se funciona não importa muito ser aproximado!

• Infinito já não é abstração 11 ⇡ 1.0

Ferramentas para Análise

❖ Soluções de equações diferenciais ordinárias a partir do Domínio das Transformadas!

❖ Laplace, Fourier!

❖ Soluções de equações parciais diferencias a partir de transformadas multi-dimensionais!

❖ uso de funções especiais!

❖ cálculo numérico

Série de FourierJean Baptiste Joseph Fourier!

Foi aluno de Lagrange, ganhou prêmio em 1811 com citação sobre falta de generalidade e rigor. Estudou na École Normale Supérieure e mais tarde atuou na ENS e na École Polytechnique!

Desenvolveu a série e transformada a partir de uma idéia de Bernoulli!

Não apresentou prova formal — anos mais tarde Dirichlet o fez!

!f(t) ⇡

1X

n=0

⇥a0p cos

�!nt+ 'np

�+ a0i sin (!nt+ 'ni)

⇤

f(t) ⇡1X

n=0

Cn exp (j!nt+ �n)

Série de Fourier❖ Função periódica!

❖ limites reais!

❖ pode ser complexa ou real

f(t+ T ) = f(t) T = 2⇡

an =

1

⇡

Z 2⇡

0f(t) cos(nt) dt

bn =

1

⇡

Z 2⇡

0f(t) sin(nt) dt

cn =

1

2⇡

Z 2⇡

0f(t) exp(�jnt) dt n = 0,±1,±2, . . .

cn =

1

T

Z T/2

�T/2f(t) exp(�j

n2⇡

Tt) dt n = 0,±1,±2, . . .

Série de Fourier• Função aperiódica - T torna-se infinito!

• da Série chegamos à Transformada

2⇡

T! !

f(t) =1

T

1X

k=�1exp(jk!t)

"Z T/2

�T/2f(t) exp(�j

n2⇡

Tt) dt

#

=

1

2⇡

1X

k=�1!

Z 1

�1f(⇠) exp (jk!(t� ⇠)) d⇠

=

1

2⇡

Z 1

�1exp(j!t)d!

Z 1

�1f(⇠) exp (�j!⇠) d⇠

=

1

2⇡

Z 1

�1F (!) exp(j!t) d!

Transformada de FourierSurge ao se aplicar a série de Fourier para funções aperiódicas!

F (!) =

Z 1

�1f(t) exp(�j!t)dt

f(t) =1

2⇡

Z 1

�1F (!) exp(j!t)d!

Definições clássicas !usadas na engenharia

F (!) =1p2⇡

Z 1

�1f(t) exp(�j!t)dt

f(t) =1p2⇡

Z 1

�1F (!) exp(j!t)d!

Definições usadas na física

Transformada de Fourier - PropriedadesZ 1

�1|f(t)|2 dt =

Z 1

�1|F (!)|2 d!

A mesma “quantidade de energia” para o sinal existe no

domínio do tempo e no domínio da frequência

F [af(t) + bg(t)] = aF (!) + bG(!) Linearidade

F [f(t+ a)] = exp(j!a)F (!)

F [f(at)] =1

aF (!/a)

Fdf(t)

dt

�= j!F (!) F

Zf(t) dt

�=

F (!)

j!

Discrete Fourier Transform• Na maioria dos casos só é possível obter

uma aproximação numérica!

• No mundo digital - tempo discreto e frequência discreta!

• Considere uma janela de amostragem T com passo

�t =T

NN = #de amostras

tk = k�t k = 0, 1, . . . , N � 1

fk = f(tk)

!n = 2⇡n

T!0 =

2⇡

T

Discrete Fourier Transform• As integrais são transformadas em somatórios!

• Para “resolver” as funções são necessários uma grande quantidade de amostras!

• Lenta convergência era um desafio para aplicação da DFT!

• Se N=2^n FFT pode ser usada

F (!n) =

N�1X

k=0

f(tk) exp(�j!ntk) n = 0, 1, . . . , N � 1

f(tk) =1

N

N�1X

k=0

F (!n) exp(j!ntk) k = 0, 1, 2, . . . , N � 1

Fast Fourier Transform - FFT• Algoritmo da borboleta - 1965!

• eficiente para o cálculo da DFT!

• reduz o tempo de computação para N pontos de N^2 para N*log2(N)!

• no caso de N diferente de 2^n - programas adicionam zeros no vetor de entrada até atingir 2^n!• matlab - fft e ifft!

• Mathematica - Fourier e InverseFourier

32

DFT x FFT - Exemplo• Considere o sinal x(t) = sin(1.5⇡ t) + 0.5 sin(3⇡ t)

Para 32 amostras!Cálculo da DFT =0.012355s!Cálculo da FFT =0.000063s!

||DFT-FFT || = 9.2e-15!Para 512 amostras!

FFT = 0.0000065s

512

32

DFT x FFT - Exemplo• Efeito do zero-padding

0 100 200 300 400 5000

50

100

150

200

250

Algumas Transformadas• impulso - delta de Dirac!

• degrau!

• seno !

• cosseno!

• cosseno*degrau!

• dupla exponencial

�(t) ) 1

u(t) =

Z�(t) dt ) 1

j!

sin(!0t) )!0

(j!)2 + !0

cos(!0t) )j!

(j!)2 + !0

exp(�at)� exp(�bt) ) 1

j! + a� 1

j! + b

Algumas Transformadasu(t) ) 1

j!u(t) exp(�t/2) ) 1

12 + j!

Algumas Transformadask (exp(�at)� exp(�bt)) ) 1

j! + a� 1

j! + b

Problemas da Discretização• Banda de frequência finita !

• problemas nos pontos de descontinuidade!

• Efeito Gibbs - necessidade de filtros (janelamento)!

• Impulso & Degrau

eF (!) =

Z ⌦

�⌦f(t) exp(�j!t) dt

ef =

Z ⌦

�⌦

eF (!) exp(j!t) d!

Efeito Gibbs

Problemas da Discretização - Exemplo• Considere o sinal

x(t) = x0(t) + x1(t) + x2(t)

x0(t) = sin(45⇡t) exp(�45 |t� 0.2|)x1(t) = sin(45⇡t) cos(180⇡t) exp(�50 |t� 0.2|)x2(t) = sin(180⇡t) exp(�45 |t� 0.8|)

Problemas da Discretização - Exemplo• Transformando obtemos uma expressão gigante, aqui vai

apenas um parte e a resposta gráfica do conjunto

X2(!) =565.487e�36.+(0.�0.8i)!

�!2

��e(0.+0.8i)!

�+ (0. + 90.i)!e(0.+0.8i)! � (0. + 7.76022⇥ 1017i)! + 321800.e(0.+0.8i)!

�

(�(0. + 90.i)! � !2 + 321800.) ((0. + 90.i)! � !2 + 321800.)

Problemas da Discretização - Exemplo• Amostrando a resposta temporal entre 0 e 1s com 1024 pontos

e aplicando a FFT no sinal temporal

Laplace & Fourier

• Laplace é uma versão extendida de Fourier usando uma frequência complexa!

• Obtenção da resposta numérica empregando exponenciais e FFT