INTRODUO AO ELEMENTOS FINITOSProf. Dr. Elcio CassimiroAlvesHistricoFormulao de Elementos de BarraTreliaVigaPrticoFormulao de Elementos Finitos IsoparamtricoElementos TriangularesElementos de QuadrangularesAplicaes e!er"ncias Bi#liogr$%casVa&' (ui& Elo) * +todo dos Elementos Finitos em An$lise de Estruturas' Ed, -ampus' ./00Bat1e' 2, 3,' 4 Finite Elements Procedures5' Prentice Hall' 0667-oo8' +, ' 4 +et1od o! Finite Elements 4' 06679otas de Aula,Programa da :isciplinaHistricoProblemas de Engenharia Mecnica do ContnuoEquaes Diferenciais. Modelagemdo Problema atores que !nfluenciam de forma rele"ante#Escolha adequada dos $rinc$ios fsicos#%ari&"eis de$endentes e inde$endentes# M'todo de (olu)o (olu)o E*ata +s "e,es difcil ou im$oss"el#(olues a$ro*imadas#Diferenas initas#Elementos initos#Elementos de Contorno.HistricoM'todo dos Elementos initos -Clough ./01 2omeclatura3Courant ./4. $rimeiro a $ro$or o ME como ele ' conhecido 5aseado no Princ$io da Energia Potencial e funes de inter$ola)o. 6rigemnos M'todos de +n&lise Estrutural -+n&lise Matricial 3 D'cada de 71#ator !m$ortante Desen"ol"imento dos com$utadores digitaisP8rticos9relias./7: engenheiros formulam equaes de rigide,na forma matricial resol"endo sistema de .11 graus de liberdade.HistricoCom o $assar dos tem$os e necessidades!ndustria +eron&utica2a"alDesen"ol"imento dos M'todos 2um'ricosPioneirosTipos de ElementosE;emplos de Aplicaoonte; . (. = Machado= +. (. = Ma,,iero= E. 9.= eaes de a$oioSuperposio dos Elementos de Barra e VigaSuperposio dos Elementos de Barra e VigaFormulao de +atri& de igide& de Barra Prtico =LEILEILEILEILEILEILEILEILEALEALEILEILEILEILEILEILEILEILEALEAKz z z zz z z zz z z zz z z ze4 602 606 1206 1200 0 0 02 604 606 1206 1200 0 0 0] [2 22 3 2 32 22 3 2 3=1 0 00 cos0 cos sin -sinRT k T keTg =(eria a +di)o da Matri, de 9relia e Matri, de %iga=R 00 RT] [bTgF F T =E;emplo * Portico Plano.1E2Jm10m5m274 1 -2mkN2,0.10 Em 0,5.10 Jm 0,2 A ===0 .?.GMatriz de Rigidez da Barra 1[K]1 = A///// / / DA///// / // 0./// 7//// / D0./// 7///// 7//// A///// / D7//// ./////DA///// / / A///// / // D0./// D7//// / 0./// D7///// 7//// .///// / D7//// A/////Matriz de Rotaao da Barra 1[T]1 = 0'/// /'/// /'/// /'/// /'/// /'////'/// 0'/// /'/// /'/// /'/// /'////'/// /'/// 0'/// /'/// /'/// /'////'/// /'/// /'/// 0'/// /'/// /'////'/// /'/// /'/// /'/// 0'/// /'////'/// /'/// /'/// /'/// /'/// 0'///Matriz de Rotaao da Barra 1 - Transposta[T]1T = 0'/// /'/// /'/// /'/// /'/// /'////'/// 0'/// /'/// /'/// /'/// /'////'/// /'/// 0'/// /'/// /'/// /'////'/// /'/// /'/// 0'/// /'/// /'////'/// /'/// /'/// /'/// 0'/// /'////'/// /'/// /'/// /'/// /'/// 0'///[T]1T.[K]1 = A///// / / DA///// / // 0./// 7//// / D0./// 7///// 7//// A///// / D7//// ./////DA///// / / A///// / // D0./// D7//// / 0./// D7///// 7//// .///// / D7//// A/////[T]1T.[K]1.[T]1 = A///// / / DA///// / // 0./// 7//// / D0./// 7///// 7//// A///// / D7//// ./////DA///// / / A///// / // D0./// D7//// / 0./// D7///// 7//// .///// / D7//// A/////+atri& de igide& das Barras D PrticoMatriz de Rigidez da Barra 2[K]2= =///// / / D=///// / // 67/// .A//// / D67/// .A///// .A//// =///// / D.A//// A/////D=///// / / =///// / // D67/// D.A//// / 67/// D.A///// .A//// A///// / D.A//// =/////Matriz de Rotaao da Barra 2[T]2 = /'/// D0'/// /'/// /'/// /'/// /'///0'/// /'/// /'/// /'/// /'/// /'////'/// /'/// 0'/// /'/// /'/// /'////'/// /'/// /'/// /'/// D0'/// /'////'/// /'/// /'/// 0'/// /'/// /'////'/// /'/// /'/// /'/// /'/// 0'///Matriz de Rotaao da Barra 2- Transposta[T]2T = /'/// 0'/// /'/// /'/// /'/// /'///D0'/// /'/// /'/// /'/// /'/// /'////'/// /'/// 0'/// /'/// /'/// /'////'/// /'/// /'/// /'/// 0'/// /'////'/// /'/// /'/// D0'/// /'/// /'////'/// /'/// /'/// /'/// /'/// 0'///[T2T.[K]2 = / 67/// .A//// / D67/// .A////D=///// / / =///// / // .A//// =///// / D.A//// A////// D67/// D.A//// / 67/// D.A////=///// / / D=///// / // .A//// A///// / D.A//// =/////[T]2T.[K]2.[T]2 = 67/// / .A//// D67/// / .A///// =///// / / D=///// /.A//// / =///// D.A//// / A/////D67/// / D.A//// 67/// / D.A///// D=///// / / =///// /.A//// / A///// D.A//// / =/////+atri& de igide& das Barras D Prtico+atri& Elo#alMatriz de Rigidez lo!al da Estr"t"ra[K] = A///// / / DA///// / / / / // 0./// 7//// / D0./// 7//// / / // 7//// A///// / D7//// .///// / / /DA///// / / A67/// / .A//// D67/// / .A///// D0./// D7//// / =0./// D7//// / D=///// // 7//// .///// .A//// D7////0./////D.A//// / A////// / / D67/// / D.A//// 67/// / D.A///// / / / D=///// / / =///// // / / .A//// / A///// D.A//// / =/////+atri& Elo#al -om condies de contornoMatriz de Rigidez lo!al da Estr"t"ra #di$ionada de Rigidez in%nita[K] = A/////FG/ / DA///// / / / / // 0.//FG 7//// / D0./// 7//// / / // 7////A/////FG/ D7//// .///// / / /DA///// / / A67/// / .A//// D67/// / .A///// D0./// D7//// / =0./// D7//// / D=///// // 7//// .///// .A//// D7////0./////D.A//// / A////// / / D67/// / D.A//// 67///FG/ D.A///// / / / D=///// / / =/////FG // / / .A//// / A///// D.A//// /=/////FGTABELA DE CARGAS&etor de 'argas Barra 1 2 Total(ire)o 0 /'//. D@/'//? D=?'??A /'//@ D@/'//7 =?'??C = 6 Matriz de Rotaao da Barra 1 - Transposta[T]1T = 0'/// /'/// /'/// /'/// /'/// /'////'/// 0'/// /'/// /'/// /'/// /'////'/// /'/// 0'/// /'/// /'/// /'////'/// /'/// /'/// 0'/// /'/// /'////'/// /'/// /'/// /'/// 0'/// /'////'/// /'/// /'/// /'/// /'/// 0'///[T]1T Fb= [T]2T Fb= Matriz de Rotaao da Barra *- Transposta[T]2T = /'/// 0'/// /'/// /'/// /'/// /'///D0'/// /'/// /'/// /'/// /'/// /'////'/// /'/// 0'/// /'/// /'/// /'////'/// /'/// /'/// /'/// 0'/// /'////'/// /'/// /'/// D0'/// /'/// /'////'/// /'/// /'/// /'/// /'/// 0'///Barra 2(ire)o Fb A /@ D.@7 D./'=?C /= D.@6 ./'=?Barra 2(ire)o Fb,G A D.@@ /7 D./'=?C D.@= /6 ./'=?Vetor de -argas Elo#ais Barra 1 (ire)o 0 / /. D@/ D@/? D=?'?? D=?'?A / D.@ D.@@ D@/ / D@/7 =?'?? D./'=? 7.'@C D.@ D.@= / /6 ./'=? ./'=?esultados da +n&liseEquao do MovimentoA equao de movimento de um sistema mecnico no-amortecido :IPara ilustrar a a$lica)o das equaes a$resentadas nas sees anteriores=considere o elemento de barra $lana ilustrado abai*o Este elemento resiste a$enas a cargas a*iais sendo des$re,"el o $eso $r8$rio da barra. Desta forma= as foras de su$erfcie e de "olume s)o nulas e a equa)o de mo"imento se redu, a e*$ress)o;Equao do Movimento+ssumindo um com$ortamento linear do deslocamento a*ial do elemento de barra$aralogoEm forma matricialDeforma)o es$ecficaElemento de barraEquao do MovimentoPara se obter a matri, de rigide, M HeN do elemento de barra= segundo o sistema de referDncia local= basta substituir as matri,es MDN e M5N na e*$ress)o dedu,ida anteriormented% K +d*= $ois a &rea da se)o trans"ersal ' constante. Portanto=2o caso da matri, de massa= substituiBse M2N = ou seOa=Equao do Movimento2este caso= reali,aBse a seguinte mudana de "ari&"el