CAPITULO 1

SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS

1.1 SISTEMAS DISCRETOS. ESTRUCTURAS DE BARRAS

En numerosas ocasiones de la vida practica el tecnico se enfrenta con elproblema de analizar un sistema tipo malla compuesto de una serie de “elementos”diferentes, fısicamente diferenciables, conectados por sus extremidades o “nudos”y sometidos a un conjunto de “acciones”, en el sentido mas amplio de lapalabra, normalmente externas al sistema. Ejemplos de dichos sistemas,que denominaremos “discretos”, abundan en ingenierıa. Relacionados conlas estructuras, por ejemplo, podemos considerar sistemas discretos todas lasestructuras de barras, tales como porticos, simples y compuestos, celosıas,entramados de edificacion, forjados, etc. En otras areas de la ingenierıa tenemosejemplos de este tipo de sistemas en las redes hidraulicas y electricas, en losmetodos de optimizacion de la produccion (PERT, etc.), y en los sistemas deorganizacion del transporte. En la Figura 1.1 se han representado algunos dedichos sistemas discretos.

Figura 1.1 Diferentes sistemas discretos.

La mayorıa de los sistemas discretos pueden analizarse utilizando tecnicas decalculo matricial muy similares, y que a su vez guardan una estrecha relacioncon el metodo de elementos finitos. Concentrandonos en los problemas de

1.1

Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos

calculo de estructuras presentaremos seguidamente de forma sucinta las ideasbasicas del calculo matricial de estructuras de barras, que seran de gran utilidadcomo introduccion a la metodologıa del analisis de estructuras por el metodo deelementos finitos.

1.1.1 Conceptos basicos del analisis matricial de estructuras de barras

Los metodos de calculo de estructuras de barras mas potentes actualesutilizan tecnicas de analisis matricial [L2], [P8]. No obstante, en algunos casosparticulares es posible obtener una representacion analıtica del comportamientode la estructura. Aquı consideraremos solamente el planteamiento matricial porser el que se utilizara a lo largo de todo el curso.

Figura 1.2 Deformacion de una barra por fuerzas axiles.

Las ecuaciones matriciales de una estructura de barras se obtienen a partir delestudio del “equilibrio” de las diferentes barras que la componen. Por ejemplo,para una barra e de longitud l(e) sometida unicamente a fuerzas axiles como la dela Figura 1.2, se deduce de la Resistencia de Materiales [T4,7] que la deformacionen cualquier punto de la barra es igual al alargamiento relativo de la misma, esdecir

ε =∆l(e)

l(e)=

u(e)2 − u

(e)1

l(e)(1.1)

donde u(e)1 y u

(e)2 son los desplazamientos de los extremos 1 y 2 de la barra,

respectivamente.Por otra parte, la tension axial σ esta relacionada con la deformacion ε por la

ley de Hooke [T3,4] y

σ = E(e)ε = E(e)u(e)2 − u

(e)1

l(e)(1.2)

donde E(e) es el modulo de elasticidad del material de la barra. Por integracionde las tensiones sobre la seccion transversal de area A(e) se obtiene el esfuerzo axilN que se transmite a traves de los nudos a las barras adyacentes. Suponiendo queel material es homogeneo se tiene

N = A(e)σ = (EA)(e)u(e)2 − u

(e)1

l(e)(1.3)

1.2

SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS

Finalmente, estableciendo el equilibrio de las fuerzas axilesR(e)1 y R(e)2 actuantesen los extremos de la barra, se tiene (ver Figura 1.2)

R(e)2 = −R(e)1 = N = (EA)(e)

u(e)2 − u

(e)1

l(e)= k(e)(u(e)2 − u

(e)1 ) (1.4)

donde k(e) =(EAl

)(e). El ındice e indica que los valores se refieren a una barra

particular. La ec.(1.4) puede escribirse en forma matricial como†

q(e) =

R

(e)1

R(e)2

= k(e)

[ 1 −1−1 1

] u

(e)1

u(e)2

= K(e)a(e) (1.5)

donde K(e) se denomina matriz de rigidez de la barra y es funcion unicamente dela geometrıa de la misma (l(e), A(e)) y de sus propiedades mecanicas (E(e)), y a(e)

y q(e) son los vectores de desplazamientos y de fuerzas de los nudos de la barra,respectivamente. La ec.(1.5) es la expresion matricial de equilibrio de la barraaislada. Si ademas actuara sobre la barra una fuerza uniformemente distribuidapor unidad de longitud de intensidad b(e), la ec.(1.5) se modifica repartiendo elefecto total de dicha fuerza en partes iguales en cada nudo como

q(e) =

R(e)1

R(e)2

= k(e)

[1 −1−1 1

]u(e)1

u(e)2

− (bl)

(e)

2

{11

}= K(e)a(e)−f (e) (1.6)

donde f (e) = (bl)(e)2

{11

}es el vector de fuerzas que actuan en los nudos de la

barra debidas a la carga distribuida La expresion de equilibrio de una estructuracompuesta de barras se obtiene a partir de la sencilla regla que expresa que la sumade las fuerzas en un nudo, debidas a las diferentes barras que en el concurren, esigual a la fuerza exterior que actua en dicho nudo. En forma matematica

ne∑e=1

R(e)i = Rexterior

j (1.7)

donde la suma se extiende a todas las barras ne que concurren en el nudo denumeracion global j. Sustituyendo los valores de las fuerzas de extremo de cadabarra R(e)i en funcion de los desplazamientos de los nudos a traves de la ec.(1.6),se obtiene la ecuacion matricial de equilibrio global de la estructura

K11 K12 · · · · · · K1nK21 K22 · · · · · · K2n......

Kn1 Kn2 · · · · · · Knn

u1u2......un

=

f1f2......fn

(1.8a)

† Las matrices y los vectores columna se representaran por letras mayusculas y minusculas en negrita,

respectivamente. El ındice T aplicando una matriz o un vector (ej. BT o qT ) indica “transpuesta”.

1.3

Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos

Ka = f (1.8b)

donde K es la matriz de rigidez de la estructura y a y f son, respectivamente,los vectores de desplazamientos y de fuerzas exteriores de todos los nudos de laestructura. El proceso de obtencion de las ecuaciones (1.8) recibe el nombrede ensamblaje. La resolucion de las mismas proporciona los valores de losdesplazamientos en todos los nudos de la estructura a partir de los cuales se puedenconocer los esfuerzos internos en las barras.

1.1.2 Analogıa con el analisis matricial de otros sistemas discretos

Los pasos explicados entre las ecs.(1.1) y (1.8) son muy similares para la mayorıade los sistemas discretos. Ası, por ejemplo, en el caso de una malla electrica, elestudio de un elemento aislado (resistencia) proporciona, de acuerdo con la ley deOhm, la siguiente relacion entre los voltajes y las intensidades que entran por cadanudo (Figura 1.3.a)

I(e)1 = −I(e)2 =

1R(e)

(V (e)1 − V(e)2 ) = k(e)(V (e)1 − V

(e)2 ) (1.9)

Se observa que dicha ecuacion es analoga a la (1.4) para la barra, sin mas queintercambiar los conceptos de intensidad y voltaje por fuerza y desplazamiento y el

inverso de la resistencia R(e) por(EAl

)(e). La “regla de ensamblaje” es la conocida

ley de Kirchhoff que establece que la suma de las intensidades de corriente queconcurren en un nudo es igual a cero:

ne∑e=1

I(e)i = Iexterior

j (1.10)

donde Iexteriorj es la intensidad que entra en el nudo de numeracion global j desde

el exterior de la red. Puede comprobarse la analogıa de dicha ecuacion con la (1.7)para barras.

Figura 1.3 a) Resistencia electrica. b) Tramo de tuberıa.Ecuaciones de equilibrio local.

1.4

SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS

Las mismas analogıas se encuentran en el estudio de redes de tuberıas. Laecuacion de equilibrio entre caudales q y alturas piezometricas h en los nudos deuna tuberıa se puede escribir como ( Figura 1.3b)

q(e)1 = −q(e)2 = k(e)(h(e)1 − h

(e)2 ) (1.11)

donde k(e) es un coeficiente que depende de la rugosidad de la tuberıa y de lasalturas piezometricas de los nudos, lo que implica que las matrices K(e) de laec.(1.5) no estan formadas por constantes sino por funciones conocidas de a(e).Por otra parte, la ec.(1.6) se escribe de manera identica para este caso, siendo lafuerza b(e) equivalente a una aportacion de caudal uniforme por unidad de longitudde tuberıa.La regla de ensamblaje se obtiene por la simple condicion de equilibrio entre

los caudales que concurren en un nudo y el caudal aportado desde el exterior alnudo, es decir

ne∑e=1

q(e)i = qexterior

j (1.12)

Se puede deducir facilmente la analogıa de las expresiones anteriores con lascorrespondientes para estructuras de barras y mallas electricas. Las ecuaciones deequilibrio global de una red hidraulica son por tanto identicas a las (1.8), teniendoen cuenta que la matrizK es de naturaleza no lineal y para su solucion es necesarioutilizar metodos iterativos [R2], [Z3].

1.1.3 Etapas basicas del analisis matricial de un sistema discreto

De todo lo anterior se deduce que en el analisis de un sistema discreto(estructura de barras) intervienen las siguientes etapas:

a) Definicion de una malla de elementos discretos (barras) conectados entre sıpor nudos todos ellos convenientemente numerados. Cada elemento e tieneasignadas unas propiedades geometricas y mecanicas conocidas. Todas estascaracterısticas constituyen los datos del problema y conviene definirlos de lamanera mas automatica posible (Etapa de preproceso).

b) Calculo de las matrices de rigidez K(e) y los vectores de fuerzas nodales f (e)

de cada elemento del sistema.c) Ensamblaje y resolucion de la ecuacion matricial de equilibrio global (Ka = f)para calcular los valores de las incognitas (desplazamientos) en los nudos a.

d) A partir de los valores de las incognitas en los nudos obtener informacion sobreotros parametros de interes del sistema (ej. tensiones y deformaciones en lasbarras, voltajes, caudales, etc.).

Todos los resultados deben presentarse con la mayor claridad, y de forma graficasi es posible para facilitar la toma de decisiones sobre el diseno. Esta presentacionconstituye la etapa de postproceso que, al igual que la de preproceso, debe estarpreparada para poder adaptarse a todas las posibles opciones de cada tipo deproblema.

1.5

Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos

♣ Ejemplo 1.1 Calcular los desplazamientos y esfuerzos en la estructura de tresbarras de la Figura 1.4 sometida a una fuerza horizontal P en el extremo.

– SolucionSolucion

De acuerdo con la ec.(1.5) la ecuacion de equilibrio de cada barra es la siguiente:

Barra 1

{R

(1)1

R(1)2

}= k(1)

[1 −1−1 1

]{u

(1)1

u(1)2

}

Barra 2

{R

(2)1

R(2)2

}= k(2)

[1 −1−1 1

]{u

(2)1

u(2)2

}

Barra 3

{R

(3)1

R(3)2

}= k(3)

[1 −1−1 1

]{u

(3)1

u(3)2

}

con k(1) = k(2) = EAl y k(3) = 2EA

l .

Por otra parte, las ecuaciones de compatibilidad entre desplazamientos locales yglobales en cada nudo son

u(1)1 = u1 ; u

(1)2 = u3 ; u

(2)1 = u2

u(2)2 = u3 ; u

(3)1 = u3 ; u

(3)2 = u4

Figura 1.4 Analisis de una sencilla estructura de tres barras trabajando atraccion.

Aplicando la ecuacion de ensamblaje a cada uno de los cuatro nudos de la estructurase tiene

nudo 13∑

e=1

R(e)i = −R1

nudo 23∑

e=1

R(e)i = −R2

nudo 33∑

e=1

R(e)i = 0

nudo 43∑

e=1

R(e)i = P

1.6

SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS

Sustituyendo los valores de R(e)i obtenidos de las ecuaciones de equilibrio de cada

barra se llega a las ecuaciones siguientes:

nudo 1 : k(1)(u(1)1 − u

(1)2 ) = −R1

nudo 2 : k(2)(u(2)1 − u

(2)2 ) = −R2

nudo 3 : k(1)(−u(1)1 + u

(1)2 ) + k(2)(−u(2)

1 + u(2)2 ) + k(3)(u(3)

1 − u(3)2 ) = 0

nudo 4 : k(3)(−u(3)1 + u

(1)2 ) = P

que pueden escribirse en forma matricial utilizando las condiciones decompatibilidad de desplazamientos como

1 2 3 4

1234

k(1) 0 −k(1) 00 k(2) −k(2) 0

−k(1) −k(2) (k(1) + k(2) + k(3)) −k(3)

0 0 −k(3) k(3)

u1

u2

u3

u4

=

−R1

−R2

0P

Sustituyendo los valores de las rigideces de cada barra k(e) e imponiendo lascondiciones de contorno u1 = u2 = 0 se encuentra, resolviendo el sistema anterior

u3 =Pl

2EA; u4 =

Pl

EA; R1 = R2 =

P

2

y los esfuerzos axiles en cada barra

Barra 1 : N (1) =EA

l(u3 − u1) =

P

2

Barra 2 : N (2) =EA

l(u3 − u2) =

P

2

Barra 3 : N (3) =2EAl(u4 − u3) = P

1.1.4 Metodo directo de obtencion de la matriz de rigidez global

Observando detenidamente la matriz de rigidez global de la estructura sepuede deducir la siguiente regla general mediante la cual se puede ensamblar lacontribucion de la rigidez de una barra individual. Para una barra e que conectalos nudos de numeracion global i y m, cada elemento (i,m) de la matriz de rigidezde la barra ocupa la misma posicion (i,m) en la matriz de rigidez global de laestructura (ver Figura 1.5). Ası, pues, para ensamblar la matriz de rigidez globalse pueden ir colocando y anadiendo directamente los coeficientes de rigidez de cadabarra. La mecanica de este metodo hace que su programacion en ordenador seamuy sencilla [H4].

1.7

Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos

Figura 1.5 Contribuciones de una barra aislada a la matriz de rigidez global deuna estructura de barras articuladas.

1.2 OBTENCION DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO DELA BARRA POR EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIR-TUALES

Una de las etapas fundamentales del calculo matricial de estructuras de barrases la obtencion de la ecuacion del equilibrio de la barra aislada que relaciona lasfuerzas actuantes en los nudos con los desplazamientos de dichos nudos (ecs.(1.5)).Para el sencillo caso de la barra a traccion dicha ecuacion se obtiene de maneradirecta a partir de conceptos intuitivos de la Resistencia de Materiales. En el casode estructuras mas complejas hay que utilizar procedimientos mas generales. Unode los mas populares se basa en la aplicacion del Principio de los Trabajos Virtuales(PTV) que se enuncia como sigue: “Una estructura esta en equilibrio bajo la accionde un sistema de fuerzas exteriores si al imponer a la misma unos desplazamientosarbitrarios (virtuales) compatibles con las condiciones en los apoyos, el trabajorealizado por las fuerzas exteriores sobre los desplazamientos virtuales es igual altrabajo que realizan las tensiones en la barra sobre las deformaciones producidaspor los desplazamientos virtuales”.Como es bien sabido el PTV es condicion necesaria y suficiente para el equilibrio

de toda la estructura o de cualquiera de sus partes [T4], [Z3]. Aplicaremos ahoradicha tecnica a la sencilla barra a traccion de la Figura 1.2. El PTV se escribe endicho caso como ∫ ∫ ∫

V (e)δεσdV = δu

(e)1 R

(e)1 + δu

(e)2 R

(e)2 (1.13)

1.8

SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS

donde δu(e)1 y δu

(e)2 son, respectivamente, los desplazamientos virtuales de los

extremos 1 y 2 de la barra de volumen V (e), y δε la correspondiente deformacionvirtual que puede calcularse en funcion de δu(e)1 y δu(e)2 por (1.1) como

δε =δu(e)2 − δu

(e)1

l(e)(1.14)

Sustituyendo los valores de σ y δε de las ecs. (1.2) y (1.14) en (1.13) e integrandolas tensiones sobre la seccion transversal de la barra se tiene

∫l(e)

1l(e)

[δu(e)2 − δu

(e)1

](EA)(e)

1l(e)

[u(e)2 − u

(e)1

]dx = δu

(e)1 R

(e)1 + δu

(e)2 R

(e)2

(1.15)

e integrando sobre la longitud de la barra, considerando E(e) y A(e) constantes

(EA

l

)(e) [u(e)1 − u

(e)2

]δuE)2

E

, e(u

εuE

Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos

1.3 ESTRUCTURAS ARTICULADAS Y RETICULADAS PLANAS

1.3.1 Estructuras articuladas planas

Trataremos brevemente el caso de estructuras articuladas planas comoampliacion de los conceptos anteriores. Ahora cada nudo tiene dos grados delibertad correspondientes a los desplazamientos en dos direcciones ortogonales.La ec.(1.4) que relaciona en ejes locales de la barra los desplazamientos en susextremos con las fuerzas correspondientes sigue siendo valida. Sin embargo, parapoder sumar las fuerzas de extremo de las diferentes barras que concurren en unnudo es necesario expresar la relacion entre fuerzas y desplazamientos nodales conrespecto a unos ejes globales x, y.

Figura 1.6 Fuerzas y desplazamientos en los nudos de una barra de una estructuraarticulada plana.

Si consideramos una barra 1-2 inclinada con respecto al eje global x, se deducepara el nudo 1 que (Figura 1.6)

R(e)x1 = R

′(e)1 cosα ; R

(e)y1 = R

′(e)1 sen α

u′(e)1 = u

(e)1 cosα + v

(e)1 sen α (1.18)

donde las primas indican componentes en la direccion del eje local de la barra x′.En forma matricial

q(e)1 =

R

(e)x1

R(e)y1

=

[cosαsenα

]R′1 = [L

(e)]TR′1

u′(e)1 = [cosα, sen α]

{u1v1

}(e)= L(e)u(e)1 (1.19)

donde u(e)1 y q(e)1 contienen los dos desplazamientos y fuerzas en el nudo 1 segunlas direcciones cartesianas globales x e y, respectivamente, y L(e) = [cosα, sen α].

1.10

SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS

Para el nudo 2 se obtienen expresiones analogas

q(e)2 = [L(e)]TR′2 y u

′(e)2 = L(e)u(e)2 (1.20)

con

q(e)2 =[R(e)x2 , R

(e)y2

]T

y u(e)2 =[u(e)2 , v

(e)2

]T

Por otra parte, de la Figura 1.6 se deduce que, por equilibrio,

R′(e)1 = −R′(e)

2 = k(e)[u′(e)1 − u

′(e)2

]con k(e) =

(EA

l

)(e)(1.21)

Combinando las ecs.(1.19), (1.20) y (1.21) se obtienen las dos relacionessiguientes

q(e)1 =[L(e)

]Tk(e)L(e)u(e)1 −

[L(e)

]Tk(e)L(e)u(e)2

q(e)2 = −[L(e)

]Tk(e)L(e)u(e)1 +

[L(e)

]Tk(e)L(e)u(e)2 (1.22)

o, en forma matricial

q(e)1

q(e)2

=

K(e)

11 K(e)12

K(e)21 K(e)

22

u(e)1

u(e)2

(1.23)

en la que

K(e)11 = K(e)

22 = −K(e)12 = −K(e)

21 =[L(e)

]Tk(e)L(e) =

= k(e)[

cos2 α sen α cosαsen α cosα sen2 α

](1.24)

El ensamblaje de las matrices de rigidez de las barras para formar lamatriz de rigidez global se efectua por el mismo procedimiento de suma defuerzas nodales descrito en el Apartado 1.1.4, teniendo en cuenta que en cadanudo el desplazamiento tiene ahora dos componentes, en las direcciones x e y,respectivamente. Comparando (1.23) con (1.5) se deduce que el proceso delensamblaje es identico en ambos casos. La regla practica para el ensamblajese muestra en la Figura 1.7, donde se puede apreciar la analogıa con la regla dela Figura 1.5. Como se puede observar cada contribucion nodal a la matriz derigidez global es ahora la submatriz de tamano 2 × 2, Kij , en lugar del simplevalor numerico de la rigidez k(e). El proceso de ensamblaje se ilustra con un breveejemplo de una estructura articulada de dos barras en la Figura 1.8.

1.11

Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos

K(e) =

K(e)

11 K(e)12

K(e)21 K(e)

22

K(e)11 = K(e)

22 = −K(e)12 = −K(e)

21 =(EA

l

)(e) [ cos2 α senα cosαsenα cosα sen2α

]

i m

i K(e)11 K(e)

12

m K(e)21 K(e)

22

uiviumvm

=

Rxi

Ryi

Rxm

Rym

Figura 1.7. Contribuciones de una barra aislada a la matriz de rigidez global deuna estructura de barras articulada plana.

1.3.2 Estructuras reticuladas planas

Finalizaremos este breve recordatorio sobre los conceptos basicos del calculomatricial de estructuras ampliando las ideas presentadas sobre estructurasarticuladas para el caso en que los nudos esten conectados rıgidamente. Enla Figura 1.9 se muestra una barra de una estructura reticulada plana conlos movimientos y fuerzas actuantes en los extremos. Ahora se tienen trescomponentes de movimiento (dos desplazamientos y un giro) y de fuerzas (dosfuerzas y un momento flector) en cada nudo que pueden escribirse en formavectorial como

q′(e)i =

Rx′iRy′imi

(e)

; u′(e)i =

u′iv′iθi

; i = 1, 2 (1.25)

donde R(e)x′i, R(e)y′i y u

′(e)i , v′(e)i son, respectivamente, las componentes de las fuerzas

y desplazamientos del nudo i de la barra e, en las direcciones locales x′, y′

1.12

SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS

K(1) =

1 2

K(1)11 K(1)

12

K(1)21 K(1)

22

12

; K(2) =

2 3

K(2)11 K(2)

12

K(2)21 K(2)

22

23

Ka =

1 2 31 K(1)

11 K(1)12 0

2 K(1)21 K(1)

22 +K(2)11 K(2)

12

3 0 K(2)21 K(2)

22

a1

−−−a2

−−−a3

=

f (e)1

−−−f (e)2

−−−f (e)3

= f

ai = [ui, vi]T , f (e)i = [Rxi , Ryi ]T , K(e)

ij como en ec.(1.24)

Figura 1.8 Estructura articulada plana. Ecuacion de equilibrio global.

orientadas como se muestra en la Figura 1.9, y m(e)i y θ(e)i el momento y el girodel nudo (tomados positivos en sentido antihorario).La deformacion axial de la barra es identica al caso de la barra articulada

y viene definida por la ec.(1.1). Las restantes relaciones entre los esfuerzos enlos extremos y los correspondientes desplazamientos se obtienen de las ecuacioneselasticas de la barra bajo la hipotesis de pequenos desplazamientos, que son [T7]

m(e)1 = 2k(e)

2θ(e)1 + θ

(e)2 +

3(v′(e)1 − v′(e)2 )

l(e)

m(e)2 = 2k(e)

2θ(e)2 + θ

(e)1 +

3(v′(e)1 − v′(e)2 )

l(e)

(1.26)

1.13

Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos

Figura 1.9 Barra de una estructura reticulada. Fuerzas y movimientos de losnudos en ejes locales x′, y′.

Tomando momentos con respecto a uno cualquiera de los extremos se obtienela ecuacion de equilibrio

R(e)y′1

= −R(e)y′2

=(m(e)1 +m

(e)2 )

l(e)=

=(12EI

l3

)(e)(v′(e)1 − v

′(e)2 ) +

(6EIl2

)(e)(θ(e)1 + θ

(e)2 ) (1.27)

donde I(e) es el modulo de inercia de la seccion transversal.Las ecuaciones de equilibrio entre las fuerzas y los movimientos de los nudos

pueden escribirse en forma matricial como

q′(e) ={

q′1q′2

}(e)=

K′(e)

11 K′(e)12

K′(e)21 K′(e)

22

{u′

1u′2

}= K′(e)u′(e) (1.28)

La matriz K′(e) se denomina matriz de rigidez de la barra en ejes locales. Lassubmatrices K′(e)

ij se deducen de las ecs.(1.5), (1.26) y (1.27) como

K′(e)11 =

EAl 0 00 12EI

l36EIl2

0 6EIl2

4EIl

(e)

; K′(e)12 =

−EAl 0 00 −12EI

l36EIl2

0 −6EIl2

2EIl

(e)

K′(e)21 =

−EAl 0 00 −12EI

l3−6EI

l2

0 6EIl2

2EIl

(e)

; K′(e)22 =

EAl 0 00 12EI

l3−6EI

l2

0 −6EIl2

4EIl

(e)

(1.29)

1.14

SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS

Adviertase que la matriz de rigidez localK′(e) es de nuevo simetrica. El procesomediante el cual dicha matriz se transforma al sistema de coordenadas global x, y,para ensamblar las contribuciones de las diferentes barras en la matriz de rigidezglobal, es identico al descrito en el Apartado 1.3.1. Ası, los vectores de fuerzasy movimientos locales de cada nodo se expresan en funcion de sus componentesglobales por

q′(e)i = L(e)i q(e)i y u′(e)i = L(e)i u(e)i (1.30)

donde

q(e) =[R(e)xi , R

(e)yi ,m

(e)i

]T

; u(e)i =[u(e)i , v

(e)i , θ

(e)i

]T(1.31)

y L(e)i es la matriz de transformacion de fuerzas y movimientos globales a locales

del nudo i. Debido a que la barra es recta, L(e)i = L(e)j = L(e), con (ver Figura1.9)

L(e) =

cosα sen α 0−sen α cosα 00 0 1

(1.32)

De las ecs.(1.28) y (1.30) se deduce

q(e) =[[L(e)]T 0

0 [L(e)]T

]q′(e) =

[T(e)

]TK′(e)u′(e) =

=[T(e)

]TK′(e)T(e)u(e) = K(e)u(e) (1.33)

donde

T(e) =[L(e) 00 L(e)

](1.34)

yK(e) =

[T(e)

]TK′(e)T(e) (1.35)

es la matriz de rigidez de la barra en ejes globales.La ec.(1.33) puede escribirse en forma ampliada por

{q1q2

}(e)=

K(e)

11 K(e)12

K(e)21 K(e)

22

{

u1u2

}(e)(1.36)

De las ecuaciones (1.28), (1.34) y (1.35) se deduce que una submatriz de rigidez

global tıpica K(e)ij viene dada por

K(e)ij =

[L(e)

]TK′(e)ij L(e) (1.37)

El procedimiento para ensamblar automaticamente las matrices de rigidez decada barra en la matriz de rigidez global es exactamente identico al descrito en losApartados 1.1.4 y 1.3.1.

1.15

Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos

1.4 TRATAMIENTO DE LOS DESPLAZAMIENTOS PRESCRITOSY CALCULO DE REACCIONES

No vamos a entrar aquı en detalles sobre el proceso de solucion del sistema deecuaciones Ka = f , pues este es exclusivamente un problema de calculo numericoque puede resolverse utilizando cualquiera de los multiples procedimientos queexisten, y de los que incluso esta disponible su programacion en ordenador(metodos de reduccion de Gauss, Choleski y Choleski modificado, metodo Frontal,etc.) [H3], [P7], [R2]. No obstante, sı haremos una breve introduccion sobre eltratamiento de los desplazamientos prescritos y el calculo de reacciones, pues esun tema de interes general.Consideremos el sistema de ecuaciones:

k11u1 + k12u2 + k13u3 + . . . + k1nun = f1k21u1 + k22u2 + k23u3 + . . . + k2nun = f2k31u1 + k32u2 + k33u3 + . . . + k3nun = f3...

......

......

kn1u1 + kn2u2 + kn3u3 + . . . + knnun = fn

(1.38)

donde fi son fuerzas exteriores (nulas o no nulas) o reacciones en puntos condesplazamiento prescrito.Supongamos que un desplazamiento cualquiera, por ejemplo u2, esta prescrito

al valor u2, es decir

u2 = u2 (1.39)

Existen dos procedimientos clasicos para introducir dicha condicion en elsistema de ecuaciones (1.38):

a) Se eliminan la fila y la columna segunda y se sustituyen las fi del segundomiembro de (1.38) por fi − ki2u2, es decir, el sistema de n ecuaciones con nincognitas se reduce en una ecuacion y en una incognita como sigue:

k11u1 + k13u3 + . . . + k1nun = f1 − k12u2k31u1 + k33u3 + . . . + k3nun = f3 − k32u2...

......

......

kn1u1 + kn3u3 + . . . + knnun = fn − kn2u2

(1.40)

Una vez calculados los u1, u3, . . . , un, el valor de la reaccion f2 (en el caso deque no exista una fuerza exterior aplicada en el nudo 2) se obtiene por

f2 = k21u1 + k22u2 + k23u3 + . . . + k2nun (1.41)

Si el valor prescrito de u2 es cero, el procedimiento es el mismo, pero entonceslos valores de las fi quedan inalterados y el valor de f2 se obtiene por (1.41)prescindiendo del termino que afecta a u2.

1.16

SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS

b) Otro procedimiento bastante utilizado y que no precisa modificar apenas elsistema de ecuaciones original, consiste en anadir un coeficiente de valor altoal termino de la diagonal principal de la fila correspondiente al desplazamientoprescrito, y reemplazar el segundo miembro de la ecuacion de dicha fila por elvalor del desplazamiento prescrito multiplicado por dicho coeficiente. Es decir,si de nuevo u2 = u2, sustituirıamos k22 por k22 + 1015k22 (por ejemplo), y elvalor de f2 por 1015k22×u2, quedando el sistema de ecuaciones de la siguienteforma

k11u1 + k12u2 + k13u3 + . . . + k1nun = f1

k21u2 + (1 + 1015)k22u2 + k23u3 + . . . + k2nun = 1015k22u2

k31u1 + k32u2 + k33u3 + . . . + k3nun = f3...

......

......

kn1u1 + kn2u2 + kn3u3 + . . . + knnun = fn

(1.42)

De esta manera, la segunda ecuacion, al ser 1015k22 mucho mayor que el restode los coeficientes, equivale a

1015k22u2 = 1015k22u2 o u2 = u2 (1.43)

que es la condicion prescrita.Con este procedimiento la condicion se impone de forma natural en la soluciondel sistema de ecuaciones con modificaciones mınimas.El valor de la reaccion f2 se calcula “a posteriori” por la ec.(1.41).

1.5 INTRODUCCION AL METODO DE LOS ELEMENTOSFINITOS PARA CALCULO DE ESTRUCTURAS

Con excepcion de las estructuras de barras, la mayor parte de las estructurasen ingenierıa son de naturaleza continua y, por tanto, su comportamiento nopuede expresarse en forma precisa en funcion de un numero pequeno de variablesdiscretas. Un analisis riguroso de dichas estructuras precisa la integracion delas ecuaciones diferenciales que expresan el equilibrio de un elemento diferencialgenerico de las mismas. Ejemplos de estas estructuras “continuas” son comunes enlas ingenieras civil, mecanica, aeronautica y naval, y entre las mas usuales podemoscitar las placas, depositos, cubiertas, puentes, presas, carrocerıas de vehıculos,fuselajes de aviones, cascos de barcos, etc., (Figura 1.10).Aunque las estructuras continuas son inherentemente tridimensionales en

algunos casos su comportamiento puede describirse adecuadamente por modelosmatematicos uni o bidimensionales. Ası ocurre, por ejemplo, con los problemas deflexion de placas, en los que el analisis se limita al estudio de la deformacion delplano medio de la placa, y con todas las estructuras en las que puede hacerse usode las hipotesis simplificativas de la elasticidad bidimensional o de revolucion (ej.presas, tuneles, depositos, etc.).El metodo de los elementos finitos es hoy en dıa el procedimiento mas potente

para el analisis de estructuras de caracter uni, bi o tridimensional sometidas a las

1.17

Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos

Figura 1.10 Algunas estructuras continuas: a) Presas. b) Laminas. c) Puentes.d) Placas.

acciones exteriores mas diversas. La gran analogıa existente entre los conceptosdel analisis matricial de estructuras de barras y los del metodo de los elementosfinitos facilitan en gran manera el estudio de este a los tecnicos con dominio de lasideas sobre calculo matricial de estructuras tratadas en apartados anteriores.Es importante destacar desde un principio las analogıas entre las etapas basicas

del analisis matricial de estructuras de barras y el de una estructura cualquierapor el metodo de los elementos finitos. Dichas analogıas se evidencian claramenteconsiderando un ejemplo, como el analisis del puente de la Figura 1.11 porelementos finitos. Sin entrar en excesivos detalles, las etapas basicas de dichoanalisis serıan las siguientes:

Etapa 1 : A partir de la realidad fısica del puente, sus apoyos y tipos decargas que sobre el actuen, es necesario primeramente seleccionar un modelomatematico apropiado para describir el comportamiento de la estructura. Porejemplo, podrıa utilizarse la teorıa de laminas planas, laminas curvas, o la deelasticidad tridimensional. Tambien hay que definir con detalle las propiedadesmecanicas de los materiales del puente y el caracter de la deformacion del mismo(pequenos o grandes movimientos, analisis estatico o dinamico, etc.). En estecurso estudiaremos unicamente problemas de equilibrio estatico de estructurascon pequenos desplazamientos y comportamiento elastico lineal de los materiales .Asimismo, para el planteamiento de las ecuaciones de equilibrio haremos usosiempre del Principio de los Trabajos Virtuales (PTV).

1.18

SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS

Figura 1.11 Analisis de un puente por el metodo de los elementos finitos.

Etapa 2 : Una vez seleccionado el modelo matematico se procede a discretizarla estructura en porciones no intersectantes entre sı, denominadas “elementosfinitos”, dentro de los cuales se interpolan las variables principales en funcionde sus valores en una serie de puntos discretos del elemento denominados “nodos”.Los elementos se conectan entre sı por los nodos situados en sus contornos.No obstante, los nodos no tienen, en general, un significado fısico tan evidentecomo los “nudos” de union de dos elementos en los sistemas discretos, de ahısu diferente denominacion. La malla de elementos finitos puede, por ejemplo,estar constituıda por elementos de diferente geometrıa, tales como elementosbidimensionales acoplados con otros unidimensionales tipo viga. La etapa dediscretizacion constituye una parte esencial de la fase de preproceso que sueleincluir tambien la representacion grafica de la malla de elementos finitos.

Etapa 3 : A partir de la expresion del PTV se obtienen las matrices de rigidezK(e) y el vector de cargas f (e) para cada elemento. El calculo de K(e) y f (e) es

1.19

Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos

mas complejo que en estructuras de barras al intervenir integrales sobre el dominiouni, bi o tridimensional del elemento.

Etapa 4 : Se procede al ensamblaje de las matrices de rigidez y el vector decarga elementales en la matriz de rigidez global de toda la malla de elementosfinitos K y el vector de cargas sobre los nodos f , respectivamente.

Etapa 5 : El sistema de ecuaciones resultante Ka = f se resuelve para calcularlas variables incognitas (movimientos de todos los nodos de la malla) a, utilizandouno cualquiera de los metodos conocidos para solucion de ecuaciones algebraicassimultaneas lineales.

Etapa 6 : Una vez calculados los movimientos nodales a se pueden calcularlas deformaciones y, seguidamente, las tensiones en cada elemento, ası como lasreacciones en los nodos con movimientos prescritos.

Para obtener la solucion en las etapas 3-6 es necesario proceder a unaimplementacion en ordenador del metodo de los elementos finitos. Ello puedehacerse a partir de un programa comercial o bien de uno desarrollado al respecto.

Etapa 7 : Obtenidos los resultados numericos, la etapa siguiente es lainterpretacion y presentacion de los mismos . Para ello suele hacerse uso detecnicas graficas que facilitan dicha labor (Postproceso).

Etapa 8 : Una vez estudiados los resultados, el tecnico analista puede plantearseefectuar varias modificaciones en cualquiera de las etapas anteriores. Ası, porejemplo, puede encontrar que la teorıa de calculo de estructuras inicialmenteadoptada es inapropiada y consiguientemente debe modificarse. Por otro lado, lamalla de elementos finitos utilizada en el analisis puede ser demasiado grosera parareproducir la distribucion de desplazamientos o tensiones correctas y, por tanto,debe refinarse o alternativamente utilizar otro tipo de elemento finito mas preciso.Otras clases de dificultades pueden deberse a problemas de precision asociados almetodo de solucion del sistema de ecuaciones utilizado, al mal condicionamientode las mismas , o a la maxima longitud de las palabras que permita el ordenadorempleado, lo que puede exigir el uso de doble precision u otras medidas masdrasticas. Como es natural, frecuentemente ocurriran tambien errores de entradade datos que deben corregirse.

Las etapas anteriores se muestran esquematicamente en la Figura 1.12.

1.20

SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS

Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos

Desde el punto de vista del ingeniero de estructuras el metodo de elementosfinitos puede, pues, considerarse como una extrapolacion de los metodos decalculo matricial para estructuras de barras al analisis de estructuras de tipocontinuo. De hecho, a principios de los anos 1940 surgen los primeros intentos deresolver problemas de elasticidad bidimensional con tecnicas matriciales mediantela division del contınuo en elementos de barra [H7, M3]. En 1943 Courant [C6]introdujo por primera vez el concepto de “elemento continuo” al resolver problemaselasticidad plana mediante la division del dominio de analisis en “elementos”triangulares sobre los que suponıa una variacion polinomica de la solucion. Lairrupcion masiva de los ordenadores digitales en la decada de 1960 propicio unavance espectacular de todos los metodos basados en tecnicas matriciales , libresya de las limitaciones que suponıa hasta la fecha la solucion de grandes sistemasde ecuaciones. Es en esta epoca cuando el metodo de los elementos finitos seconsolida rapidamente como un procedimiento apropiado para solucion de todauna variedad de problemas de ingenierıa y de la fısica. Es importante advertir queen este contexto, sus primeras aplicaciones surgen en relacion con problemas decalculo de estructuras y, en particular, con aplicaciones estructurales en ingenierıaaeronautica [A6], [T9]. De hecho fue Clough quien en 1960 y en relacion con lasolucion de problemas de elasticidad plana sugirio por primera vez la denominacion“elementos finitos” [C1]. Desde esas fechas hasta la actualidad el metodo de loselementos finitos ha tenido un desarrollo espectacular en su aplicacion a otroscampos. Ası, apoyado por el avance de los ordenadores digitales y la crecientecomplejidad de muchas areas de la ciencia y la tecnologıa disfruta hoy en dıa deuna posicion unica como una tecnica de solucion potente de los problemas masdiversos y complejos en innumerables campos de la ingenierıa.Listar aquı las referencias de los trabajos mas significativos a lo largo de la

evolucion del metodo de los elementos finitos serıa una tarea improba si se tieneen cuenta que solamente en 2001 el numero de publicaciones cientıficas sobre eltema se estima en mas de 30.000. Los interesados en los aspectos historicos delmetodo de los elementos finitos deben consultar las referencias del clasico librode Zienkiewicz y Taylor [Z3,8]. Al final de estos apuntes se presenta una lista depublicaciones que se referencian en cada uno de los capıtulos.Desde el punto de vista practico del calculo de estructuras, la caracterıstica mas

atractiva del metodo de los elementos finitos, y quizas tambien la mas peligrosa,estriba en el hecho de que es un metodo aproximado. En las manos de un tecnicocuidadoso y experto es un procedimiento muy util para obtener informacion sobreel comportamiento de estructuras complejas, para los que no existen solucionesanalıticas disponibles. No obstante, su mismo caracter aproximado le confiere uncierto riesgo, y su utilizacion, si no se posee una experiencia previa, debe efectuarsecon precaucion.

1.22