Ensino Superior
Cálculo 1
5- Derivada da Função Implícita
Amintas Paiva Afonso
Derivada da função implícita
Algumas vezes você encontrará uma equação com mais de uma variável, sem que uma esteja em função da outra.
Neste caso você terá que isolar a variável.
Exemplo
Considere a equação dada por: , cujo gráfico passa pelo ponto . Calcule a derivada dessa função no
ponto x = -1/2.
Ao isolar uma variável em função da outra, explicitamos a sua expressão analítica.
Ao isolarmos o y em função de x, obtemos duas possibilidades:
122 yx
2
3,
2
1
21 xy 21 xy ou
Como a função passa pelo ponto , e neste ponto o y é
positivo, então a função correspondente é .
A derivada dessa função é:
Calculando a derivada no ponto xb=b-1/2, temos que:
21 xy
2
3,
2
1
22 1)2.(
1.2
1'
x
xx
xy
3
1
2321
21
1
21
2
1'
2
y
(u + v) = +
+
DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAÇÃO DE LAGRANGE
= 0 dk = 0 (k)´= 0
d(ku) = 0 (ku)´= 0
d(u+v) = du+dv (u+v)´= u´+ v´
d(u.v) = vdu + udv (uv)´= u´v+v´u
d(u/v) = (vdu –udv)/v2 (u/v)´= (u’v – v’u)/v2
d(un) = n.un-1.du (un)´= n.un-1.u´
d(eu) = eu.du (eu)´= eu.u´
DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAÇÃO DE LAGRANGE
d(au) = au.lna.du (au)’ = au.lna.u’
d(senu) = cosu.du (senu)’ = cosu.u’
d(cosu) = - senu.du (cosu)’ = -senu.u’
d(lnu) = (1/u).du (lnu)´= (1/u).u’
d(arctgu) = du/(1+u2)
(arctgu)’ = u’/(1+u2)