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Modelagem Analítica

Capítulo I

Equações Diferenciais

I.1 – Introdução

As Equações Diferenciais são sentenças matemáticas

envolvendo derivadas ou diferenciais de funções. São denominadas

de equações diferenciais ordinárias quando contém derivadas em

uma única variável independente. São denominadas de equações

diferenciais parciais se incluem termos envolvendo derivadas

parciais de funções em múltiplas variáveis independentes.

Como exemplos de Equações Diferenciais Ordinárias

podem-se apresentar as sentenças matemáticas:

01xdx

dy 2 (I.1)

0dx)1y(dy)1x( 22 (I.2)

2

Exemplos de Equações Diferenciais Parciais, por sua vez,

seriam as sentenças matemáticas:

1yx)1t(t

zx

y

z

x

z 22

(I.3)

t

uc

z

u

y

u

x

u2

2

2

2

2

2

(I.4)

A modelagem de muitas leis físicas ligadas à aplicação da

Engenharia resulta em equações diferenciais. Dentre os exemplos

destacam-se: O fenômeno do escoamento em meio fluido; os

problemas da difusão química e de calor; a flambagem de colunas;

as deformações estruturais; o adensamento das argilas saturadas; a

propagação de ondas. . .

Este capítulo tratará essencialmente das equações

diferenciais ordinárias apresentando-se em seu conteúdo técnicas

de resolução aplicáveis aos tipos mais freqüentes de equações

dessa natureza.

Antes de dar prosseguimento à abordagem do presente

tema, convém, a priori, apresentar notações de derivadas utilizadas

nesse texto. Assim, por exemplo, “y(k)

” representa a derivada de

ordem “k” de uma função “y = f(x)”, em ralação à variável

independente “x”. “y(0)

” representa a derivada de ordem “zero” de

uma função “f(x)”, em ralação à variável independente “x”, e,

portanto, a própria função.

3

Uma equação da forma:

0)y,...,y,y,y,x(F )n()2()1( (I.5)

onde “y” e suas sucessivas derivadas “y(k)

” são funções,

exclusivamente, de uma única variável “x”, é denominada de

equação diferencial ordinária de ordem “n”.

A ordem de uma equação diferencial definida como sendo a

maior ordem das derivadas ou diferenciais que constam na referida

equação assim x2y )1( , é uma equação diferencial ordinária de

primeira ordem enquanto 0y15]y[xy 2)1(2)2( , é uma

equação diferencial ordinária de segunda ordem.

Se a função “F”, equação I.5, é uma função polinomial

então, o seu grau é o maior expoente associado à derivada ou

diferencial de maior ordem. Assim, a equação

x5)2(24)3( exy4]y[x]y[ é de quarto grau, ao passo que a

equação )1(32)4( yx1]y[ é de segundo grau.

Uma função “f” é solução de uma equação diferencial se,

uma vez substituindo “y = f(x)” nessa equação diferencial, resulta

uma identidade. Diante de tal definição, a função cx)x(f 2 , por

exemplo, é solução geral da equação diferencial 0x2y )1( . De

fato, substituindo f(x) na equação diferencial resulta:

4

0x2dx

)cx(d 2

000x2x2 ,

reduzindo-se, portanto, a uma identidade. Ou seja, 0 = 0.

Tal verificação poderia seguir seqüência de raciocínio

alternativa, como por exemplo:

0x2dx

)cx(d 2

x2dx

)cx(d 2

x2x2

Que, igualmente, reduziu-se à identidade 2x = 2x.

A função solução cx)x(f 2 , incluindo a constante “c” é

denominada solução geral da equação diferencial. A constante “c”

recebe a denominação de Constante de Integração ou Constante

Arbitrária. A função solução cx)x(f 2 , é representada

graficamente mediante uma família de parábolas, figura I.1, na qual

cada membro é caracterizado por um valor particular de “c”.

5

Figura III.1 – Representação gráfica da função solução

Fixando-se um valor específico para “c” a função “f(x)” se

transforma em uma solução particular.

A função x21 e)xcosCsenxC()x(fy é solução da

equação diferencial 0y2dx

dy2

dx

yd2

2

, pois:

x2121 e]xcos)CC(senx)CC[(

dx

dy e,

x122

2

e)xcosCsenxC(2dx

yd

Levando-se y = f(x) e estas expressões de sua primeira e

sua segunda derivada na equação diferencial resulta:

6

0e)xcosCsenxC(2

e]xcos)CC(senx)CC[(2e)xcosCsenxC(2

x21

x2121

x12

0e]xcos)CCCC(senx)CCCC[(2 x22111212

Uma vez que os termos no interior de ambos os parênteses

são nulos resulta:

00

que é uma identidade.

A função 2)x(fy , entretanto, não é solução da

equação diferencial 0y2dx

dy2

dx

yd2

2

, pois:

04)2(2dx

)2(d2

dx

)2(d2

2

-

Uma solução geral de uma equação diferencial deve conter

tantas constantes arbitrárias independentes quanto for a sua ordem.

Em assim sendo, as funções solução das equações diferenciais:

y(1)

= 2x; y(2)

= 25y; e, y(4)

= 100y + 1;

precisam apresentar, respectivamente, uma, duas, e quatro

constantes arbitrárias independentes para, desta forma,

constituírem, soluções gerais. Entenda-se que, as constantes

arbitrárias de uma função são independentes, quando não puderem

7

ser reduzidas a um total menor de constantes, sem induzir em

alteração do conteúdo matemático da função. Em outras palavras,

quando a função solução de uma equação diferencial de ordem “n”,

puder ser escrita mediante a forma de uma combinação linear do

tipo:

nn2211 yc . . . . ycycy (I.6)

sendo as funções y1, y2, . . ., yn, linearmente independentes, ou seja:

nk1ni1kiCyy ki (I.7)

então tal função é solução geral. Neste ponto, convém ressaltar,

inclusive, que, se um conjunto de funções y1, y2, . . ., yn são soluções

de certa equação diferencial, então, qualquer combinação linear

envolvendo tais funções também é solução da referida equação

diferencial.

Exercícios Propostos:

1 – Verificar se as funções são solução das equações diferenciais

ao lado apresentadas:

a - ) x22

x1 ecec)x(f 0y2

dx

dy3

dx

yd2

2

; e,

b - ) x3ce)x(f 0y3dx

dy .

8

I.2 - Equações Diferenciais Separáveis

Equações diferenciais separáveis são aquelas que se

apresentam sob a forma de sentenças matemáticas nas quais as

variáveis “x” e “y” podem ser isoladas em termos distintos, mediante

transformações algébricas elementares. Em suma, representa um

grupo especial de equações diferenciais que se apresentam

mediante a forma:

0y)y(N)x(M )1( (I.8)

onde “M” e “N” são funções contínuas.

Exercício I.1: Encontrar a solução geral da equação diferencial:

0xdx

dy

Para resolver esta equação, procede-se inicialmente à

separação de variáveis, isolando os termos na variável "y" no

primeiro membro, e, aqueles na variável "x" no segundo membro.

Desta forma, a equação diferencial poderia assumir a forma:

xdxdy

9

Em seguida, aplica-se à forma resultante, a integração

membro a membro, acompanhada da introdução da constante

arbitrária de integração. Assim procedendo ter-se-ia para solução

geral:

cx2

1y 2

Exercício I.2: Encontrar a solução geral da equação diferencial:

0y2dx

dy

Separando-se as variáveis tem-se:

dx2dyy

10y2

dx

dy

Integrando-se a segunda igualdade membro a membro e

introduzindo-se a constante arbitrária apropriadamente, resulta:

Cx2)ylog(

Observe-se que o objetivo é encontrar a função y = f(x) que

satisfaça a sentença matemática definida pela equação objeto de

resolução. A forma acima ainda não apresenta tal função de forma

explícita. Para obtê-la faz-se necessário neutralizar a função

logarítmica, o que se consegue a partir da aplicação da

exponenciação membro a membro. Assim procedendo-se a função

10

solução da equação diferencial objeto de resolução pode assumir a

forma:

Cx2)Cx2( e.eey

Uma vez que “c” é uma constante arbitrária “eC” também o

será, e, portanto:

x2Cx2)Cx2( e.e.eey

desde que “β = eC”. A constante “β” assim definida passa a

desempenhar o papel de constante arbitrária.

Se uma dada função “f” é solução da equação diferencial

(I.8), então:

0)x(f))x(f(N)x(M )1( (I.9)

Se “f(1)

(x)” é contínua a integração de (I.9) resulta em:

C)x(f))x(f(Ndx)x(M )1( (I.10)

“c” representa a constante de integração. A equação (I.10) pode ser

escrita alternativamente na forma:

Cdy)y(Ndx)x(M (I.11)

11

Exercícios propostos:

2 – Resolver as equações diferenciais:

a - ) 0ydxxdy ; e, b - ) 0xdxcosdy .

I.3 - Equações Diferenciais Redutíveis à Forma Separável

São equações que originalmente não são separáveis,

entretanto, mediante artifício especial podem ser transformadas em

equações dessa modalidade. Para o seu reconhecimento vale

ressaltar que elas apresentam, ou, mediante transformações

algébricas elementares pertinentes podem assumir, a forma especial

de expressão do tipo:

)x/y(gdx

dy (I.12)

Para sua resolução consideremos a parametrização

x/yu . Ou seja:

dx

duxu

dx

dyuxy (I.13)

Comparando-se (I.12) e (I.13) resulta:

dx

duxu)u(g (I.14)

12

que é uma equação diferencial separável, cuja solução é uma

função “u(x)”, resultando como solução final x)x(uy .

Exercício I.3: Obter a solução geral da equação diferencial

1x

y

dx

dy .

Observe-se que a equação objeto de resolução não é

separável, entretanto, mas pode ser transformada em:

)x/y(g1x

y

dx

dy

Forma esta que Indica tratar-se de equação redutível à

forma separável.

Fazendo-se x/yu tem-se:

1u1x

y

dx

dy (I.15)

Mas, se xyu / então:

dx

duxu

dx

dyuxy (I.16)

Comparando-se as equações (I.15) e I.16) resulta:

u1dx

duxu

13

que uma vez reordenada leva a:

dxx

1du

Integrando-se esta última expressão membro a membro e

introduzindo-se a constante arbitrária apropriada obtém-se:

B)xlog(u

Ao invés desta forma, por questões de facilidade de ordem

algébrica, é mais prático adotar-se a versão alternativa:

)Clog()xlog(u (I.17)

Tal opção é consistente na medida em que, se "C" é

constante arbitrária seu logaritmo também o será. Logo, o )Clog(

assume o papel da constante de integração.

Recorrendo-se às propriedades envolvendo operações com

logaritmos em (I.17), resulta:

)Cxlog()Clog()xlog(u

de modo que a solução geral procurada será:

)Cxlog(xuxy

14

Exercício I.4: Obter a solução geral da equação diferencial

1x

y

x

y

dx

dy2

.

Examinando-se a equação diferencial objeto de resolução

constata-se que ela não é separável. Entretanto, pode ser

transformada em:

)x/y(g1x

y

x

y

dx

dy2

Em sendo assim, a equação diferencial é redutível à forma

separável.

Fazendo-se xyu / tem-se:

1uu1x

y

x

y

dx

dy 22

(I.18)

Uma vez que x/yu então:

dx

duxu

dx

dyuxy (I.19)

Comparando-se as equações (I.18) e I.19) resulta:

1uudx

duxu 2

15

que pode assumir a forma:

22 )1u(1u2udx

dux

Reordenando-se esta última expressão obtém-se:

dxx

1du

)1u(

12

A Integração membro a membro desta última expressão

seguida da introdução da constante arbitrária apropriada resulta

permite escrevê-la na forma:

)Cxlog()Clog()xlog(1u

1

E, após transformações algébricas pertinentes obtém-se:

)Cxlog(

11u

A solução geral será então:

)Cxlog(

11.xu.xy

16

Exercícios propostos:

3 – Resolver a equação diferencial:

a - ) 0yxdx

dyx ; e, b - ) 01

x

y

dx

dy

y

x

I.4 - Equações Diferenciais Exatas

Uma equação diferencial que pode ser escrita sob a forma:

0dy)y,x(Ndx)y,x(M (I.20)

constitui uma equação diferencial exata se o seu primeiro membro

representar uma diferencial total ou exata de uma função “u(x,y)”.

Ou seja, se:

dyy

udx

x

ududy)y,x(Ndx)y,x(M

(I.21)

Uma vez que du = M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, então, u(x,y) = c,

onde “c” é uma constante real.

Comparando-se (I.20) e (I.21) conclui-se que:

)y,x(Ny

u)y,x(M

x

u

(I.22)

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Se “M” e “N” são definidas e admitem derivadas parciais de

primeira ordem:

xy

u

x

N

yx

u

y

M 22

Admitindo-se a continuidade:

xy

u

yx

u 22

x

N

y

M

que representa condição necessária e suficiente para que a

equação (I.20) seja uma equação diferencial exata.

Para sua resolução obtém-se a função “u(x,y)” a partir da

integração em relação a “x” da primeira das equações (I.22). Assim:

)y(kdx)y,x(M)y,x(u (I.23)

para a equação I.23 “k” é constante em “x” podendo ser variável em

“y”. Derivando-se a equação (I.23) em relação a “y” e considerando-

se a segunda das equações (I.22), então:

)y,x(N

dy

)y(kddx)y,x(M

dy

d

y

u

Ou:

18

dx)y,x(M

dy

d)y,x(N

dy

)y(kd

e, finalmente:

Cdydx)y,x(M

dy

d)y,x(N)y(k

Exercício I.5: Resolver a equação diferencial 0xdx

dy .

Mediante transformações algébricas elementares esta

equação pode assumir a forma:

0dyxdx

que é da forma 0dy)y,x(Ndx)y,x(M , desde que se faça

1)y,x(Nx)y,x(M .

0y

x

y

M

e 0

x

)1(

x

N

De modo que x

N

y

M

, e, portanto a equação diferencial é

exata. Para resolvê-la deveremos considerar que:

)y,x(Ny

u)y,x(M

x

u

(I.24)

19

Da primeira dessas identidades resulta:

xxuxx

ux)y,x(M

x

u

Integrando-se esta última identidade membro a membro e

introduzindo-se a constante arbitrária fica:

)y(kx2

1u 2 (I.25)

Como já mencionado, “k” é constante em “x” podendo ser

variável em “y”. Derivando-se a expressão (I.25) em "y" e

considerando-se a segunda das identidades da expressão (I.24),

tem-se:

1)y,x(Ndy

)y(dk0

y

)y(kx2

1

y

u

2

De modo que 1dy

)y(dk .

Temos assim uma noa equação diferencial que é na variável

"y" e separável. Resolvendo-a mediante a técnica de separação de

variáveis obtém-se:

Dykdy)y(dk1dy

)y(dk

20

sendo "D" uma constante arbitrária. Substituindo-se esta expressão

para "k" na equação (I,25), e, lembrando-se que u(x,y) = c, onde “c”

é uma constante real, resulta:

cDx2

1ycDyx

2

1u 22

Considerando-se que tanto "c" quanto "D" são constantes

arbitrárias, então cDE também o será, logo:

Ex2

1y 2

representa a solução da equação diferencial objeto de resolução.

Observe-se que a presente equação diferencial já foi resolvida na

seção I.2, de modo que a solução ali obtida é idêntica à encontrada

nesta seção. Do ponto de vista prático, sua resolução a partir da

presente técnica não teria muito vantagem, pois, o procedimento ora

apresentado é bem mais trabalhoso. Entretanto, utilizou-se esta

técnica nesta seção, simplesmente, como exercício de sua

aplicação. Considerando-se que em problemas de Engenharia,

assim como acontece com problemas afetos a outros segmentos

profissionais, é oportuna a aplicação das técnicas mais simples

possíveis, quando da resolução de um problema envolvendo

equações diferenciais, a primeira providência a tomar é identificar o

seu tipo. Caso seja separável, deve-se resolvê-la mediante o

emprego desta técnica. Constatando-se que ela não é separável,

deve-se verificar se ela é redutível à forma separável, e, em assim

sendo, empregar o procedimento correspondente. Em se

21

constatando que a equação não é separável nem redutível à forma

separável, deve-se transformá-la para a expressão do tipo:

0dy)y,x(Ndx)y,x(M (I.26)

e tentar resolvê-la mediante a técnica concernente à resolução de

equações diferenciais exatas.

Exercício I.6: Resolver a equação diferencial

0xdydx)ye( x

A equação objeto de resolução é da forma:

0dy)y,x(Ndx)y,x(M

desde que se faça x)y,x(Nye)y,x(M x ∧ . Neste

caso:

1y

M

∂ e 1

x

N

De modo que x

N

y

M

, e, portanto a equação diferencial é

exata. Para resolvê-la deveremos considerar que:

)y,x(Ny

u)y,x(M

x

u

(I.27)

22

Da primeira dessas identidades resulta:

xe(uex

ue)y,x(M

x

u xxx y)∂+=∂y+=∂

∂∧y+==

Integrando-se esta última identidade membro a membro e

introduzindo-se a constante arbitrária fica:

)y(kxyeu x ++= (I.28)

sendo “k” constante em “x”, podendo ser variável em “y”.

Derivando-se a expressão (I.28) em "y" e considerando-se a

segunda das identidades da expressão (I.27), tem-se:

0dy

)y(dk)y,x(N

dy

)y(dkx0

y

u x

E assim, “k” também é constante na variável “y”.

Lembrando-se que u(x,y) = c, onde “c” é uma constante real,

resulta:

xyeckxyeu xx

Desde que β = c – k. Assim:

x/)e(y x

representa a solução da equação diferencial objeto de resolução.

23

Exercícios propostos:

4 – Mostrar que as equações diferenciais são exatas e resolvê-las:

a - ) 0xydy2dxy2 ; e, b - ) 0ydyxdxcos

I.5 - Equações Diferenciais Redutíveis à Forma Exata

Equações diferenciais não exatas podem ser transformadas

em equações diferenciais exatas mediante a sua multiplicação por

uma função particular, denominada fator integrante.

Se a equação diferencial:

0dy)y,x(Qdx)y,x(P (I.29)

não é exata e “F” é um fator integrante para ela então a equação:

0dy)y,x(Qdx)y,x(P).x(F (I.30)

passa a ser uma equação diferencial exata, de forma que:

0dyy

udx

x

udu

dy)y,x(Ndx)y,x(Mdy)y,x(Q)x(Fdx)y,x(P).x(F

24

sendo:

)y,x(Q)x(F)y,x(N)y,x(P).x(F)y,x(M (I.31)

tendo-se, du = 0, e, conseqüentemente u(x,y) = c, “c” constante

real, e:

)y,x(Ny

u)y,x(M

x

u

com

x

N

y

M

.

Pode-se provar que )x(ge)x(F desde que:

dx)x(h)x(g e Q

x

Q

y

P

)x(h

(I.32)

Uma vez tendo sido determinado o fator integrante, a nova

equação diferencial:

0dy)y,x(Ndx)y,x(M (I.33)

pode ser resolvida recorrendo-se ao procedimento resolutivo

aplicado às equações diferencias exatas, apresentado na seção I.4.

A solução “y = f(x)” obtida também é solução da equação diferencial

objeto de resolução:

0dy)y,x(Qdx)y,x(P (I.34)

25

pois, se para y = f(x):

dy)y,x(Ndx)y,x(M 0dy)y,x(Q)x(Fdx)y,x(P).x(F (I.35)

então:

0dy)y,x(Qdx)y,x(P).x(F (I.36)

Como “F(x)” tem de ser uma função não identicamente nula,

então, realmente, para y = f(x), tem-se:

0dy)y,x(Qdx)y,x(P (I.37)

O que comprova que f(x) também é solução da equação

diferencial objeto de resolução.

Exercício I.7: Resolver a equação diferencial:

0dyxdx)yx1( 32

Observe-se que ela é da forma 0dy)y,x(Qdx)y,x(P ,

desde que se considere )yx1()y,x(P 2 e 3x)y,x(Q . Para

saber se a equação diferencial é exata basta verificar se:

x

Q

y

P

26

22

xy

)yx1(

y

P

e 2

3

x3x

x

x

Q

E, portanto:

x

Q

y

P

então, a equação diferencial não é exata, necessitando-se, portanto,

determinar um fator integrante "F" o qual representa função que,

uma vez multiplicada por uma equação diferencial não exata, a

transforma-a em uma equação diferencial exata. Para este caso:

x

2

x

x3x

Q

x

Q

y

P

)x(h3

22

)xlog()xlog(2dxx

2dx)x(h)x(g 2

2)2xlog(

)2xlog()x(g

x

1

e

1ee)x(F

Para verificar se "F(x)" é fator integrante basta multiplicá-lo

pela equação objetivo de resolução e verificar se a equação

resultante é exata. Multiplicando-se “F(x)” pela equação diferencial

objeto de resolução obtém-se:

27

0xdydx)yx

1(

dyxx

1dx)yx1.(

x

1dyxdx)yx1(.

x

1

2

3

2

2

2

32

2

Observe-se que, se x)y,x(N)yx

1()y,x(M

2 , a

equação 0xdydx)yx

1(

2 é da forma:

0dy)y,x(Ndx)y,x(M

Para o presente caso:

1y

)yx

1(

y

M 2

e 1

x

)x(

x

N

de modo que

x

N

y

M

, e,

portanto, a equação diferencial 0xdydx)yx

1(

2 é exata, e,

consequentemente, 2x

1)x(F , é, na verdade um fator integrante,

para a equação objeto de resolução.

Para obtenção da solução geral da equação diferencial

basta aplicar a técnica tratada na seção I.4. Assim procedendo, tem-

se:

x)yx

1(u)y

x

1(

x

u)y

x

1()y,x(M

x

u222

28

Integrando-se esta última identidade membro a membro e

introduzindo-se a constante arbitrária fica:

)y(kxyx

1u

onde “k” é constante na variável “x”, mas, pode não o ser na variável

“y”. Derivando-se esta expressão em "y" e considerando-se que

)y,x(Ny

u

vem:

x)y,x(Ndy

)y(dkx

y

)y(kxyx

1

y

u

e, assim, 0dy

)y(dkx

dy

)y(dkx , de modo que “k” também é

constante na variável “y”, resultando:

kxyx

1u

Uma vez que u(x,y) = c, onde “c” é uma constante real,

resulta:

ckxyx

u 1

29

Desta última equação pode-se deduzir que:

kcxyx

1ckxy

x

1

Logo:

xxyxy

x

111

Assim x

1

x

1y

representa a solução geral procurada.

Exercícios Propostos:

5 - ) Determinar o fator integrante e utilizar a técnica de resolução de

equações diferenciais exatas para resolver as equações diferenciais:

a - ) 0xdyydx2 ; e, b - ) 0dydx)yx2(

I.6 - Equações Diferenciais Ordinárias Lineares

As Equações Diferenciais Ordinárias Lineares são equações

diferenciais ordinárias que são lineares na respectiva função solução

e em suas derivadas.

30

Diante desta definição conclui-se que equações diferenciais

deste tipo podem ser escritas mediante a forma:

)x(hy)x(gdx

dy)x(g

dx

yd)x(g

dx

yd121n

1n

nn

n

(I.38)

onde as funções “gk(x)” são os coeficientes da equação diferencial.

Se k 0dx

)x(dgk então a equação diferencial é de

coeficientes constantes.

Se 0)x(h então a equação diferencial é homogênea.

Caso contrário ela é não-homogênea.

I.6.1 - Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Primeira

Ordem Homogêneas

As Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Primeira

Ordem Homogêneas são aquelas que podem ser escritas na forma:

0y)x(gdx

dy1 (I.39)

Sua solução e obtida mediante o procedimento resolutivo de

separação de variáveis. Se g1(x) for constante, então sua função

solução é da forma xe)x(fy , onde “ ” representa uma

constante do universo dos números reais.

31

Exercícios propostos:

6 - ) Resolver as equações diferenciais:

a - ) 0 ydx

dy; b - ) 0 ye

dx

dy x;

I.6.2 - Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Segunda

Ordem Homogêneas

As Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Segunda

Ordem Homogêneas São aquelas que podem ser escritas sob a

forma:

0y)x(gdx

dy)x(g

dx

yd122

2

(I.40)

Sendo de coeficientes constantes assumem a forma:

0ydx

dy

dx

yd122

2

(I.41)

Sua resolução basear-se-á em procedimento que toma

proveito de funções similares àquelas que são solução das

equações diferenciais ordinárias lineares de primeira ordem

32

homogêneas de coeficientes constantes. Diante desta proposta tais

soluções seriam funções da forma:

xe)x(fy

Uma vez que “ ” é constante as derivadas pertinentes da

função xe)x(fy serão:

xe.dx

dy e x2

2

2

e.dx

yd

Substituindo-se tais derivadas na equação diferencial a

resolver, obtém-se:

0e.e.e. x1

x2

x2

e, conseqüentemente:

0e. x12

2 .

00e 122x (I.42)

A equação I.42 é denominada equação característica da

equação diferencial. Observe que tal sentença matemática

representa uma equação de grau igual à ordem da equação

diferencial objeto de resolução, neste caso de segunda ordem, e,

portanto, do segundo grau. Além do mais, ela apresenta os mesmos

coeficientes de tal equação diferencial. Ou seja, o coeficiente do

33

termo de grau “k” da equação característica é o mesmo coeficiente

da derivada de ordem “k” da equação diferencial objeto de

resolução.

Da resolução da equação característica obtém-se os valores

de “ ” para os quais a função xe)x(fy representa solução da

equação diferencial a resolver.

Em se tratando de uma equação do segundo grau, a

equação característica pode apresentar três tipos de solução. Em

um primeiro tipo teríamos o caso em que a equação característica

admite duas raízes do universo dos números reais. Em um segundo

tipo teríamos o caso em que a equação característica admite raiz

real. E, finalmente, Em um terceiro caso a equação característica

admite duas raízes do universo dos números complexos. É evidente

que, conforme o caso, a equação diferencial correspondente

apresentará tipo próprio de solução de modo que as próximas

seções trataram de cada um desses casos, separadamente.

I.6.2.1 – A Equação Característica Admite Duas Raízes Reais

Para o caso no qual a equação característica admite duas

raízes reais “ 1 ” e “ 2 ”, x11 ey e x2

2 ey são as soluções

procuradas e representam a base da solução geral da equação

diferencial a resolver. A solução geral é obtida a partir de uma

combinação linear envolvendo estas duas funções, e pode ser

escrita mediante a forma:

34

2211 ycycy (I.43)

onde “c1” e “c2” são constantes arbitrárias independentes, pois,

x1

1ey

e x

22ey

são funções linearmente independentes.

Exercício I.8: Resolver a equação diferencial:

0y6dx

dy5

dx

yd2

2

Para resolver tal equação diferencial deve-se, a princípio, escrever a

equação característica que, conforme definida, seria uma equação

de grau igual à ordem da equação diferencial objeto de resolução.

Assim sendo ter-se-ia para equação característica:

0652

Que apresenta as raízes:

32 21

Logo, a base da solução geral é o conjunto formado pelo par de

funções:

x3x22

x2x11 eeyeey

35

Assim, a solução geral é obtida a partir de uma combinação linear

envolvendo estas duas funções da base, de modo que pode ser

escrita mediante a forma:

x32

x212211 ececycycy

Exercício I.9: Resolver a equação diferencial:

0y3dx

dy4

dx

yd2

2

Sua equação característica será:

0342

Cujas raízes são:

31 21

A base da solução geral será então o par de funções:

x3x22

x1x11 eeyeey

Logo, a solução geral será a combinação linear escrita mediante a

forma:

x32

x112211 ececycycy

36

Exercícios propostos:

7 – Resolver as equações diferenciais

a - ) 0y2dx

dy3

dx

yd2

2

; e, b - ) 0y4dx

dy5

dx

yd2

2

I.6.2.2 - Equação Característica Admite Uma Só Raiz Real

Uma vez que a equação característica da equação

diferencial:

0ydx

dy

dx

yd212

2

será 0212 (I.44)

Se tal equação admite uma só raiz real ela será:

21

1

(I.45)

E, conseqüentemente teremos:

212

4

1 (I.46)

Assim a equação diferencial assume a forma:

0y4

1

dx

dy

dx

yd 2112

2

(I.47)

37

Para a qual:

2/x11 ey (I.48)

é uma solução. Faz-se necessário uma segunda solução para

compor a base da solução geral. Poderemos verificar se uma função

da forma 12 y).x(uy é solução. Ou seja. Verificar se:

0y4

1

dx

dy

dx

yd2

21

212

22

(I.49)

ou se:

0]y)x(u[4

1

dx

]y)x(u[d

dx

]y)x(u[d1

21

112

12

(I.50)

Desenvolvendo as derivadas e re-agrupando-se os termos

da expressão I.50, obtém-se:

0ydx

)x(ud

ydx

dy2

dx

)x(duy

4

1

dx

dy

dx

yd)x(u

12

2

111

121

112

12

(I.51)

Como “y1” é solução da equação diferencial a expressão no

interior do primeiro colchetes é nula. Se:

e2dx

dy e ey 2/x1112/x1

1

(I.52)

38

então:

0e e2

2ydx

dy2 2/x1

12/x11

111

(I.53)

ou seja, a expressão existente no interior do segundo colchetes

também é nula. Assim sendo resta, apenas, a expressão:

0ydx

)x(ud12

2

(I.54)

Uma vez que 0y1 , então 0dx

)x(ud2

2

, e, a função “u(x)”

que satisfaz tal identidade é qualquer função linear do tipo

bax)x(u sendo “a” e “b” constantes reais. Fazendo-se “a = 1” e

“b = 0”, resulta:

x)x(u e 12 y.xy (I.55)

A solução geral será então a combinação linear envolvendo

“y1” e “y2”:

12112112211 y)xCC(y.xCyCyCyCy

ou:

2/x1

21 e)xCC(y (I.56)

39

Exercício I.10: Resolver a equação diferencial:

0ydx

dy2

dx

yd2

2

Sua equação característica será:

0122

Que apresenta a raiz única:

11

Logo, a base da solução geral é o conjunto formado pelo par de

funções:

x12

xx11 xexyyeey

Sua solução geral será:

x2

x12211 xececycycy

ou:

x21 e)xcc(y

Exercício I.11: Resolver a equação diferencial:

0y9dx

dy6

dx

yd2

2

40

Sua equação característica será:

0962

Que apresenta a raiz única:

31

Logo, a base da solução geral é o conjunto formado pelo par de

funções:

x312

x3x11 xexyyeey

Sua solução geral será:

x32

x312211 xececycycy

ou:

x321 e)xcc(y

Exercícios propostos

8 - Resolver as equações:

a - 0y4

1

dx

dy

dx

yd2

2

; b - 0y4dx

dy4

dx

yd2

2

;

41

I.6.2.3 - Equação característica admite raízes complexas

Neste caso, as raízes apresentam-se mediante as formas:

0q R,q e p onde iqp e iqp 21 (I.57)

A base da solução geral seria então composta pelas

funções:

xiqp2

xiqp1 ey e ey (I.58)

Observe-se que essas funções incluem o número imaginário

"i", que não interessa aos tipos de problema que a equação

diferencial modelará, de modo que deve-se recorrer a artifícios

voltados para a determinação de funções reais para representar a

base da solução geral. Com tal finalidade pode-se aplicar as

fórmulas de Euler referentes às funções hiperbólicas:

)qx(isen)qxcos(e e )qx(isen)qxcos(e iqxiqx (I.59)

obtendo-se:

)qx(isen)qxcos(ee.eey

e )qx(isen)qxcos(ee.eey

pxiqxpxxiqp2

pxiqxpxxiqp1

(I.60)

42

As combinações lineares envolvendo “y1” e “y2”:

)qx(seneyyi2

1y e cos(qx)eyy

2

1y px

214px

213 (I.61)

Também são soluções da equação diferencial, e, são linearmente

independentes de modo que representam uma nova base da

solução geral. Diante do exposto a função:

)qx(seneK)qxcos(eKyCyCy px2

px14433 (I.62)

é uma solução geral, e, pode ser reescrita na forma:

px21 e)]qx(senK)qxcos(K[y (I.63)

Exercício I.12: Resolver a equação diferencial:

0y2dx

dy2

dx

yd2

2

Sua equação característica será:

0222

43

Que admite como raízes os números complexos

i1 e i1 21 . Comparando-se essas raízes com as formas

iqp e iqp 21 conclui-se que para o presente caso:

1qp

Logo, a base da solução geral é o conjunto formado pelo par de

funções:

senxe)qx(seneyxcose)qxcos(ey xpx2

xpx1

Sua solução geral será:

senxecxcosecycycy x2

x12211

ou:

x21 e)senxcxcosc(y

Exercício I.13: Resolver a equação diferencial:

0y5dx

dy4

dx

yd2

2

Sua equação característica será:

0542

44

Que admite como raízes os números complexos

i2 e i2 21 . Comparando-se essas raízes com as formas

iqp e iqp 21 conclui-se que para o presente caso:

1q2p

Logo, a base da solução geral é o conjunto formado pelo par de

funções:

senxe)qx(seneyxcose)qxcos(ey x2px2

x2px1

Sua solução geral será:

senxecxcosecycycy x22

x212211

ou:

x221 e)senxcxcosc(y

Exercícios propostos

9 - Resolver as equações:

a - 0y8dx

dy4

dx

yd

2

2

; b - 0y10dx

dy6

dx

yd

2

2

45

I.6.3 - Equações Diferenciais Ordinárias Lineares não

Homogêneas

Assim como já foi definido neste texto a equação escrita

mediante a forma:

0)x(r )x(ry)x(gdx

dy)x(f

dx

yd2

2

(I.64)

constitui uma Equação Diferencial Ordinária Linear de Segunda

Ordem não Homogênea. Pode-se associar a ela uma Equação

Diferencial Homogênea Correspondente definida mediante a

expressão:

0y)x(gdx

dy)x(f

dx

ydh

h2h

2

(I.65)

A solução da Equação Diferencial não Homogênea, equação

I.64, pode ser obtida a partir da soma envolvendo uma Solução

Particular sua qualquer e a solução da Equação Diferencial

Homogênea Correspondente. Assim sendo, se a função “y = h(x)” é

a solução procurada então pode ser dada por:

ph yyy (I.66)

46

onde “yh” e “yp” constituem a solução da Equação Diferencial

Homogênea Correspondente e uma Solução Particular qualquer,

respectivamente, da equação diferencial objeto de resolução.

A função “y” assim definida representa uma solução geral da

equação diferencial, uma vez que herda as constantes de integração

da função solução da equação diferencial homogênea

correspondente.

Para comprovação da validade da função solução na forma

da equação I.66, basta substituí-la na equação I.64 e verificar se

resulta uma identidade. Assim procedendo obtém-se:

)x(r)yy)(x(gdx

)yy(d)x(f

dx

)yy(dph

ph

2

ph2

(I.67)

A partir de transformações algébricas pertinentes obtém-se:

)x(ry)x(gdx

dy)x(f

dx

yd

y)x(gdx

dy)x(f

dx

yd

pp

2

p2

hh

2

h2

(I.68)

A função “yh” sendo solução da equação diferencial

homogênea correspondente torna a expressão no interior do

primeiro colchetes nula. A função “yp” como solução particular torna

a expressão, no interior do segundo colchetes, igual a “r(x)”,

resultando para a equação I.68 “r(x) = r(x)” que é uma identidade.

47

Uma vez utilizando-se do conteúdo apresentado até este

parágrafo pode-se encontrar a função solução da Equação

Diferencial Homogênea Correspondente. Para obtenção da solução

particular qualquer pode-se recorrer ao Método dos Coeficientes a

Determinar descrito a seguir.

Determinação da Solução Particular - Método dos Coeficientes

a Determinar

O método dos coeficientes a determinar constitui

procedimento sistemático para determinação da solução particular

destinada a compor a solução geral de uma equação diferencial

ordinária linear não homogênea, sendo aplicado aos casos em que

a equação diferencial a resolver é de coeficientes constantes, e, a

função “r(x)” apresenta-se sob a forma de certas funções peculiares.

O método consiste em atribuir à solução particular, “yp”, uma

forma que se assemelhe à forma da função “r(x)”, escrita, porém,

em termos de coeficientes constantes, a princípio, desconhecidos.

Tal forma será substituída na equação objeto de resolução, após o

que, efetuando-se as derivadas pertinentes e igualando-se os

termos semelhantes, fica definido um sistema de equações cuja

solução é um conjunto formado pelos coeficientes de “yp” até então

desconhecidos.

Para a escolha inicial da função “yp” pode-se tomar como

referência as orientações constantes do quadro I.1, apresentado a

48

seguir. Observe-se que as formas então consideradas para as

funções “r(x)” incluem as funções em termos de potencias da

variável “x”, a função exponencial bem como as funções

trigonométricas elementares, a saber, a função seno e a função

cosseno.

Quadro I.1 – Formas propostas para solução particular

px321p

px321

px32

px31

21p

21

n

0k

kk

qx2

px1p

n

0k

kk

qx2

px1

qx2

px1p

qx2

px1

pxp

px

n

0k

kkp

n

0k

kk

e.CqxcosCsenqxCy

e.ksenqxkqxcosk)x(r

e.ksenqxk)x(r ;e.kqxcosk)x(r

qxcosCsenqxCy

senqxkqxcosk)x(rksenqx)x(r ;qxcosk)x(r

xe.Ce.Cyxe.ke.k)x(r

e.Ce.Cye.ke.k)x(r

e.Cye.k)x(r

xyx)x(r

Exercício I.14: Resolver a equação diferencial:

9y9dx

dy

49

A solução geral da equação diferencial objeto de resolução deve ser

expressa na forma:

ph yyy

Para resolvê-la, pode-se, primeiramente, resolver a Equação

Diferencial Homogênea Correspondente, a qual, para o presente

caso é:

0y9dx

dyh

h

Tal equação é separável e apresenta como solução a função:

x9h e.Cy

Em seguida, deve-se obter uma solução particular para a equação

diferencial objeto de resolução, a qual, conforme quadro I.1 poderá

ser escrita na forma:

py

onde “β” é uma constante, inicialmente, desconhecida que não deve

ser confundida com a constante arbitrária de integração, e deve ser

determinada substituindo-se a forma de “yp” na equação diferencial

objeto de resolução. Assim procedendo-se resulta:

199099dx

d9y9

dx

dyp

p

50

Logo:

1yp

A solução geral da equação diferencial não homogênea será então:

1e.Cyyy x9ph

Exercício I.15: Resolver a equação diferencial:

x4

2

2

e2y6dx

dy5

dx

yd

A Equação Diferencial Homogênea Correspondente será:

0y6dx

dy5

dx

ydh

h2h

2

Cuja solução, conforme Exercício I.8, é:

x32

x21h ececy

Uma solução particular para a equação diferencial objeto de

resolução, conforme quadro I.1, poderá ser escrita na forma:

x4p e.Cy

51

onde “C” é constante, inicialmente, desconhecida. Substituindo-se a

forma de “yp” na equação diferencial objeto de resolução resulta:

x4p

p

2

p2

e2y6dx

dy5

dx

yd

Que uma vez considerando-se então a forma de “yp” se torna:

x4x4x4

2

x42

e2)e.C(6dx

)e.C(d5

dx

)e.C(d

Efetuando-se as derivadas tem-se:

1Ce2)e.C(6e4.C.5e16.C x4x4x4x4

x4x4x4p ee.1e.Cy

A solução geral da equação diferencial objeto de resolução será

então:

x4x32

x21ph eececyyy

Exercício I.16: Resolver a equação diferencial:

xydx

dy2

dx

yd2

2

52

A Equação Diferencial Homogênea Correspondente será:

0ydx

dy2

dx

ydh

h2h

2

Cuja solução, conforme Exercício I.10, é:

x21h e)xcc(y

Uma solução particular para a equação diferencial objeto de

resolução, conforme quadro I.1, poderá ser escrita na forma:

BAxyp

onde “A” e “B” representam constantes, inicialmente,

desconhecidas. Substituindo-se a forma de “yp” na equação

diferencial objeto de resolução resulta:

x)BAx(dx

)BAx(2

dx

)BAx(dxy

dx

dy2

dx

yd

2

2

pp

2

p2

Efetuando-se as derivadas tem-se:

0x1)A2B(Axx)BAx(A20

Comparando-se os coeficientes dos termos semelhantes dos dois

membros da segunda igualdade obtém-se:

2A2B1A0A2B1A

53

Desta forma:

2xBAxyp

A solução geral da equação diferencial objeto de resolução será

então:

2xe)xcc(yyy x21ph

Exercício I.17: Resolver a equação diferencial:

)x(seny5dx

dy4

dx

yd2

2

A Equação Diferencial Homogênea Correspondente será:

0y5dx

dy4

dx

ydh

h2h

2

Cuja solução, conforme Exercício I.13, é:

x221h e)]x(senc)xcos(c[y

Uma solução particular para a equação diferencial objeto de

resolução, conforme quadro I.1, poderá ser escrita na forma:

)x(Bsen)xcos(Ayp

54

sendo “A” e “B” as constantes, inicialmente, desconhecidas.

Substituindo-se “yp” assim definida na equação diferencial objeto de

resolução resulta:

)x(seny5dx

dy4

dx

ydp

p

2

p2

Mas:

)]x(Bsen)xcos(A[dx

)]x(Bsen)xcos(A[d

dx

yd

2

2

2

p2

; e,

)]xcos(B)x(Asen[dx

)]x(Bsen)xcos(A[d

dx

dyp

.

Logo, ter-se-á:

)x(sen)]x(Bsen)xcos(A[5

)]xcos(B)x(Asen[4)]x(Bsen)xcos(A[

Que reduzindo-se os termos semelhantes torna-se:

)x(sen.1)xcos(.0)x(sen]BA[4)xcos(]BA[4

Comparando-se os coeficientes dos termos semelhantes dos dois

membros da igualdade obtém-se o sistema de equações:

1)BA(40)BA(4

55

Do qual, uma vez resolvido, resulta:

8

1BA

Assim:

)]x(sen)x[cos(8

1

)x(sen8

1)xcos(

8

1)x(Bsen)xcos(Ayp

E, a solução geral da equação diferencial objeto de resolução será:

)]x(sen)x[cos(8

1e)]x(senc)xcos(c[yyy x2

21ph

Exercícios Propostos

10 - Resolver as equações:

a - xcosy9dx

dy ; b - 2xy

dx

dy2

dx

yd2

2

; e,

c - 3x4xy3dx

dy4

dx

yd 2

2

2