Equações Diferenciais Ordinárias
Semana 12
Professor Luiz Claudio Pereira
Departamento Acadêmico de Matemática
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Material Previsto para uma semana
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 1 / 41
Equações Diferenciais Ordinárias
1 Equações de ordem maior do que 1
Equação linear homogênea.
Equação linear não-homogênea
Algumas aplicações
2 Operador diferencial
Propriedades
Resolução de equações
Equação de Euler-Cauchy
3 Série de potências e equações diferenciais ordinárias
4 Sistema de equações diferenciais ordinárias
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 2 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes - Método dos operadores
Conceito
O conjunto dos elementos (x ,y) ∈ R2 tais
que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e
(x ,y) · (a,b) def= (xa− yb,xb+ ya) échamado corpo dos números complexos
e será denotado por C. Note que:
(x ,0) · (a,b) = (xa−0b,xb+0a)= (xa,xb) ∈ R2
≡ x(a,b)Desta forma, indica-se x ≡ (x ,0).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 3 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes - Método dos operadores
Conceito
O conjunto dos elementos (x ,y) ∈ R2 tais
que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e
(x ,y) · (a,b) def= (xa− yb,xb+ ya) échamado corpo dos números complexos
e será denotado por C. Note que:
(x ,0) · (a,b) = (xa−0b,xb+0a)= (xa,xb) ∈ R2
≡ x(a,b)Desta forma, indica-se x ≡ (x ,0).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 3 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes - Método dos operadores
Conceito
O conjunto dos elementos (x ,y) ∈ R2 tais
que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e
(x ,y) · (a,b) def= (xa− yb,xb+ ya) échamado corpo dos números complexos
e será denotado por C. Note que:
(0,1) · (0,1) = (0 ·0−1 ·1,0 ·1+1 ·0)= (−1,0) ∈ R2
≡ −1Indicando i = (0,1), tem-se −1= i · i = i2.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 4 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes - Método dos operadores
Conceito
O conjunto dos elementos (x ,y) ∈ R2 tais
que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e
(x ,y) · (a,b) def= (xa− yb,xb+ ya) échamado corpo dos números complexos
e será denotado por C. Note que:
b · i = (b,0) · (0,1)= (b ·0−0 ·1,b ·1+0 ·0)= (0,b)
Por conseguinte,
(a,b) = (a,0)+(0,b) = a+b · i .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 5 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes - Método dos operadores
Conceito
O conjunto dos elementos (x ,y) ∈ R2 tais
que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e
(x ,y) · (a,b) def= (xa− yb,xb+ ya) échamado corpo dos números complexos
e será denotado por C. Note que:
Dado z = (a,b) ∈ C, tem-se que
|z |=√a2+b2 = 〈z ,z〉1/2 é o comprimen-
to de z . Ademais,
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 6 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes - Método dos operadores
Conceito
O conjunto dos elementos (x ,y) ∈ R2 tais
que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e
(x ,y) · (a,b) def= (xa− yb,xb+ ya) échamado corpo dos números complexos
e será denotado por C. Note que:
sendo θ o ângulo orientado que o vetor
z = a+bi forma com o eixo real,
obtém-sez = |z |cosθ + i |z |senθ
= |z |(cosθ + i senθ)= |z | [cos(arg(z))+ i sen(arg(z))]
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 7 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes - Método dos operadores
Resumo
Um número complexo z = (a,b) admite
uma representação na forma algébrica
z = a+bi , i2 =−1
e uma forma trigonométrica
z = |z |(cosθ + i senθ)
De�nição
O número complexo a−bi , denotado
por z ou z∗, é chamado conjugado
complexo de z = (a,b).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 8 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes - Método dos operadores
Resumo
Um número complexo z = (a,b) admite
uma representação na forma algébrica
z = a+bi , i2 =−1
e uma forma trigonométrica
z = |z |(cosθ + i senθ)
De�nição
O número complexo a−bi , denotado
por z ou z∗, é chamado conjugado
complexo de z = (a,b).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 8 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes - Método dos operadores
Conceito
Dado z = (a,b) ∈ C, o número real a é chamado parte real de z e b parte
imaginária de z . Além disso,
z+ z∗ = (a+bi)+(a−bi) = 2a⇔ a =z+ z∗
2
e
z− z∗ = (a+bi)− (a−bi) = 2bi ⇔ b =z− z∗
2i
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 9 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes - Método dos operadores
Conceito
Seja X ⊂ C. Uma regra η que a cada z ∈ X associa o número w ∈ C é
chamada função complexa de variável complexa.
Como η(z) = w , as partes real e imaginária de w devem ser funções de z .
Assim, existem funções reais f e g tais que η(z) = f (z)+ i ·g(z). Emparticular,
f (z) =η(z)+η(z)
2e g(z) =
η(z)−η(z)
2i
As funções complexas de variável complexa são definidas de modo a
generalizar funções reais de variável real conhecidas. Noutras palavras,
de�ne-se η(z) = w de modo que η(x+0i) = w ∈ R seja uma função real
de variável real conhecida.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 10 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes - Método dos operadores
Conceito
Seja X ⊂ C. Uma regra η que a cada z ∈ X associa o número w ∈ C é
chamada função complexa de variável complexa.
Como η(z) = w , as partes real e imaginária de w devem ser funções de z .
Assim, existem funções reais f e g tais que η(z) = f (z)+ i ·g(z). Emparticular,
f (z) =η(z)+η(z)
2e g(z) =
η(z)−η(z)
2i
As funções complexas de variável complexa são definidas de modo a
generalizar funções reais de variável real conhecidas. Noutras palavras,
de�ne-se η(z) = w de modo que η(x+0i) = w ∈ R seja uma função real
de variável real conhecida.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 10 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes - Método dos operadores
Conceito
Seja X ⊂ C. Uma regra η que a cada z ∈ X associa o número w ∈ C é
chamada função complexa de variável complexa.
Como η(z) = w , as partes real e imaginária de w devem ser funções de z .
Assim, existem funções reais f e g tais que η(z) = f (z)+ i ·g(z). Emparticular,
f (z) =η(z)+η(z)
2e g(z) =
η(z)−η(z)
2i
As funções complexas de variável complexa são definidas de modo a
generalizar funções reais de variável real conhecidas. Noutras palavras,
de�ne-se η(z) = w de modo que η(x+0i) = w ∈ R seja uma função real
de variável real conhecida.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 10 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes - Método dos operadores
Exemplo
Sabe-se que et =+∞
∑n=0
tn
n!para todo t ∈ R. Supondo que esse
desenvolvimento em série de potências seja válido para um número
imaginário puro t = ix , segue que
e ix = 1+ ix+(ix)2
2!+
(ix)3
3!+
(ix)4
4!+ . . .
=
(1− x2
2!+
x4
4!+ . . .
)+ i
(x− x3
3!+
x5
5!− . . .
)
=+∞
∑n=0
(−1)n x2n
(2n)!+ i ·
+∞
∑n=0
(−1)n x2n+1
(2n+1)!= f (x) +i · g(x)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 11 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes - Método dos operadores
Exemplo
Note que f (x)≡+∞
∑n=0
(−1)n x2n
(2n)!= 1− x2
2!+
x4
4!− . . . é tal que f (0) = 1 e
f ′(x) =−x+ x3
3!− x5
5!+ . . .=−g(x)
Ademais, g(x)≡+∞
∑n=0
(−1)n x2n+1
(2n+1)!= x− x3
3!+
x5
5!− . . . é tal que g(0) = 0
e
g ′(x) = 1− x2
2!+
x4
4!− . . .= f (x)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 12 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes - Método dos operadores
Exemplo
Note que f (x)≡+∞
∑n=0
(−1)n x2n
(2n)!= 1− x2
2!+
x4
4!− . . . é tal que f (0) = 1 e
f ′(x) =−x+ x3
3!− x5
5!+ . . .=−g(x)
Ademais, g(x)≡+∞
∑n=0
(−1)n x2n+1
(2n+1)!= x− x3
3!+
x5
5!− . . . é tal que g(0) = 0
e
g ′(x) = 1− x2
2!+
x4
4!− . . .= f (x)
Deste modo, f (x) = cosx , g(x) = senx e
e ix = cosx+ i senx = cos(arg(e ix)
)+ i sen
(arg(e ix)
)EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 13 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes - Método dos operadores
Observação
Da Fórmula de Euler
e ix = cosx+ i senx = cos(arg(e ix)
)+ i sen
(arg(e ix)
)tem-se que e−ix = cos(−x)+ i sen(−x) = cosx− i senx . Ademais,
cosx =e ix + e−ix
2
e
senx =e ix − e−ix
2i=−ie ix + ie−ix
2
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 14 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes - Método dos operadores
Exemplo
Sendo z = α + iβ ∈ C, a função complexa exponencial, indicada por exp(z)ou ez , é de�nida por
exp(z) = eα+iβ
= eα · e iβ= eα (cosβ + i senβ )
= eα[cos(arg(e iβ )
)+ i sen
(arg(e iβ )
)]Observação
As leis usuais da álgebra e do cálculo elementar são válidas para a função
complexa exponencial, do mesmo modo que para as funções reais
exponenciais. Em particular, por exemplo,d
dz
(eλz)= λeλz .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 15 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes - Método dos operadores
A função complexa logaritmo, denotada por log(z), é de�nida de modo a
ser a inversa da função exponencial. Deste modo,
log(z)def= ln |z |+ i arg(z)
uma vez que
exp(log(z)) = e log(z) = e ln|z | · e i arg(z) = |z |(cos(arg(z))+ i sen(arg(z))) = z
e
log(ez) = ln |ez |+ i arg(ez) = ln(eα)+ i arg(eα · eβ i ) = α + iβ = z
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 16 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes contantes - Método dos operadores
De�nição
Sejam z ,k ∈ C. A função expoente complexo, denotada por zk , é de�nida
por
zk = exp(k · log(z))= ek·log(z)
= ek·[ln|z |+i arg(z)]
Em particular, se x ∈ R, então
xα+iβ = xα · x iβ = xα exp(iβ · log(x)) = xα [cos(β ln |x |)+ i sen(β ln |x |)]
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 17 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Retomando o caso de raízes complexas
Da edo any(n)+an−1y
(n−1)+ . . .+a2y′′+a1y
′+a0y = 0, obtém-se a
equação característica anλ n+an−1λ n−1+ . . .+a2λ 2+a1λ +a0 = 0,
admitindo uma solução da forma y(x) = eλx .
Uma possibilidade é que ocorram: (iii) raízes complexas (e possivelmente
raízes reais).
Neste caso, obtém-se duas soluções complexas
y1(x) = e(α+iβ)x = eαx · e iβx = eαx (cosβx+ i senβx)
y2(x) = e(α−iβ)x = eαx · e−iβx = eαx (cosβx− i senβx) = y∗1 (x)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 18 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Retomando o caso de raízes complexas
Da edo any(n)+an−1y
(n−1)+ . . .+a2y′′+a1y
′+a0y = 0, obtém-se a
equação característica anλ n+an−1λ n−1+ . . .+a2λ 2+a1λ +a0 = 0,
admitindo uma solução da forma y(x) = eλx .
Uma possibilidade é que ocorram: (iii) raízes complexas (e possivelmente
raízes reais).
Neste caso, obtém-se duas soluções complexas
y1(x) = e(α+iβ)x = eαx · e iβx = eαx (cosβx+ i senβx)
y2(x) = e(α−iβ)x = eαx · e−iβx = eαx (cosβx− i senβx) = y∗1 (x)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 18 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Retomando o caso de raízes complexas
Da edo any(n)+an−1y
(n−1)+ . . .+a2y′′+a1y
′+a0y = 0, obtém-se a
equação característica anλ n+an−1λ n−1+ . . .+a2λ 2+a1λ +a0 = 0,
admitindo uma solução da forma y(x) = eλx .
Uma possibilidade é que ocorram: (iii) raízes complexas (e possivelmente
raízes reais).
Neste caso, obtém-se duas soluções complexas
y1(x) = e(α+iβ)x = eαx · e iβx = eαx (cosβx+ i senβx)
y2(x) = e(α−iβ)x = eαx · e−iβx = eαx (cosβx− i senβx) = y∗1 (x)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 18 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Retomando o caso de raízes complexas
Da edo any(n)+an−1y
(n−1)+ . . .+a2y′′+a1y
′+a0y = 0, obtém-se a
equação característica anλ n+an−1λ n−1+ . . .+a2λ 2+a1λ +a0 = 0,
admitindo uma solução da forma y(x) = eλx .
Uma possibilidade é que ocorram: (iii) raízes complexas (e possivelmente
raízes reais).
De acordo com o princípio da superposição, as funções
y1(x) =y1(x)+ y2(x)
2= eαx cosβx e y2(x) =
y1(x)− y2(x)
2i= eαx senβx
serão duas soluções reais da edo linear, homogênea, com coe�cientes
constantes dada.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 19 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Retomando o caso de raízes complexas
Se λ1,λ2, . . . ,λk ∈ C são raízes da equação característican
∑j=0
ajλj = 0,
então as funções complexas yj = eλjx são soluções da edon
∑j=0
ajDjy = 0 e
W (y1, . . . , yk) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
eλ1x eλ2x . . . eλkx
λ1eλ1x λ2e
λ2x . . . λkeλkx
......
...
λk−21 eλ1x λ
k−22 eλ2x . . . λ
k−2k
eλkx
λk−11 eλ1x λ
k−12 eλ2x . . . λ
k−1k
eλkx
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 20 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Retomando o caso de raízes complexas
Se λ1,λ2, . . . ,λk ∈ C são raízes da equação característican
∑j=0
ajλj = 0,
então as funções complexas yj = eλjx são soluções da edon
∑j=0
ajDjy = 0 e
W (y1, . . . , yk) = eλ1xeλ2x . . .eλkx
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 . . . 1
λ1 λ2 . . . λk...
......
λk−21 λ
k−22 . . . λ
k−2k
λn−11 λ
k−12 . . . λ
k−1k
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣6= 0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 21 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Corolário 1
Sejam λ1,λ2, . . . ,λk ∈ C raízes da equação característican
∑j=0
ajλj = 0. O
conjunto{eλ1x ,eλ2x , . . . ,eλkx
}, formado por soluções complexas da edo
n
∑j=0
ajDjy = 0, é linearmente independente (LI).
Porque os coe�cientes aj ∈ R, se a função complexa φ(x) = eλsx , λs ∈ C, é
solução da edon
∑j=0
ajDjy = 0, então
n
∑j=0
ajλsj=
n
∑j=0
ajλjs =
n
∑j=0
ajλjs = 0= 0.
Provou-se assim o seguinte
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 22 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Corolário 1
Sejam λ1,λ2, . . . ,λk ∈ C raízes da equação característican
∑j=0
ajλj = 0. O
conjunto{eλ1x ,eλ2x , . . . ,eλkx
}, formado por soluções complexas da edo
n
∑j=0
ajDjy = 0, é linearmente independente (LI).
Porque os coe�cientes aj ∈ R, se a função complexa φ(x) = eλsx , λs ∈ C, é
solução da edon
∑j=0
ajDjy = 0, então
n
∑j=0
ajλsj=
n
∑j=0
ajλjs =
n
∑j=0
ajλjs = 0= 0.
Provou-se assim o seguinte
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 22 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Lema
O conjunto{eλ1x ,eλ2x , . . . ,eλkx
}, formado pelas soluções complexas da
edon
∑j=0
ajDjy = 0, possui um número par de elementos, sendo λj = λ ∗s para
algum s 6= j .
Corolário 2
Sejam λs = αs + iβs ∈ C, s = 1,2, . . . ,k/2, raízes da equação característican
∑j=0
ajλj = 0, tais que λs 6= λ ∗j sempre que s 6= j ∈ {1,2, . . . ,k/2}. O
conjunto{eα1x cosβ1x ,e
α1x senβ1x , . . . ,eαk/2x cosβk/2x ,e
αk/2x senβk/2x},
formado por k soluções reais da edon
∑j=0
ajDjy = 0, é LI.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 23 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Lema
O conjunto{eλ1x ,eλ2x , . . . ,eλkx
}, formado pelas soluções complexas da
edon
∑j=0
ajDjy = 0, possui um número par de elementos, sendo λj = λ ∗s para
algum s 6= j .
Corolário 2
Sejam λs = αs + iβs ∈ C, s = 1,2, . . . ,k/2, raízes da equação característican
∑j=0
ajλj = 0, tais que λs 6= λ ∗j sempre que s 6= j ∈ {1,2, . . . ,k/2}. O
conjunto{eα1x cosβ1x ,e
α1x senβ1x , . . . ,eαk/2x cosβk/2x ,e
αk/2x senβk/2x},
formado por k soluções reais da edon
∑j=0
ajDjy = 0, é LI.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 23 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Corolário 2
Sejam λs = αs + iβs ∈ C, s = 1,2, . . . ,k/2, raízes da equação característican
∑j=0
ajλj = 0, tais que λs 6= λ ∗j sempre que s 6= j ∈ {1,2, . . . ,k/2}. O
conjunto{eα1x cosβ1x ,e
α1x senβ1x , . . . ,eαk/2x cosβk/2x ,e
αk/2x senβk/2x},
formado por k soluções reais da edon
∑j=0
ajDjy = 0, é LI.
Prova
Considere a equaçãok/2
∑s=0
Aseαsx cosβsx+
k/2
∑s=0
Bseαsx senβsx = 0
Porque cosβsx =(e iβsx + e−iβsx
)/2 e senβsx =
(−ie iβsx + ie−iβsx
)/2
segue que 0 =k/2
∑s=0
eαsx
(e iβsx
As − iBs
2+ e−iβsx
As + iBs
2
)EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 24 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Corolário 2
Sejam λs = αs + iβs ∈ C, s = 1,2, . . . ,k/2, raízes da equação característican
∑j=0
ajλj = 0, tais que λs 6= λ ∗j sempre que s 6= j ∈ {1,2, . . . ,k/2}. O
conjunto{eα1x cosβ1x ,e
α1x senβ1x , . . . ,eαk/2x cosβk/2x ,e
αk/2x senβk/2x},
formado por k soluções reais da edon
∑j=0
ajDjy = 0, é LI.
Prova
Considere a equaçãok/2
∑s=0
Aseαsx cosβsx+
k/2
∑s=0
Bseαsx senβsx = 0
Porque cosβsx =(e iβsx + e−iβsx
)/2 e senβsx =
(−ie iβsx + ie−iβsx
)/2
segue que 0 =k/2
∑j=0
(e(αs+iβs)x
As − iBs
2+ e(αs−iβs)x
As + iBs
2
)EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 25 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Corolário 2
Sejam λs = αs + iβs ∈ C, s = 1,2, . . . ,k/2, raízes da equação característican
∑j=0
ajλj = 0, tais que λs 6= λ ∗j sempre que s 6= j ∈ {1,2, . . . ,k/2}. O
conjunto{eα1x cosβ1x ,e
α1x senβ1x , . . . ,eαk/2x cosβk/2x ,e
αk/2x senβk/2x},
formado por k soluções reais da edon
∑j=0
ajDjy = 0, é LI.
Prova
Considere a equaçãok/2
∑s=0
Aseαsx cosβsx+
k/2
∑s=0
Bseαsx senβsx = 0
Porque cosβsx =(e iβsx + e−iβsx
)/2 e senβsx =
(−ie iβsx + ie−iβsx
)/2
segue que 0 =k
∑j=0
eλjxaj .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 26 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Corolário 2
Sejam λs = αs + iβs ∈ C, s = 1,2, . . . ,k/2, raízes da equação característican
∑j=0
ajλj = 0, tais que λs 6= λ ∗j sempre que s 6= j ∈ {1,2, . . . ,k/2}. O
conjunto{eα1x cosβ1x ,e
α1x senβ1x , . . . ,eαk/2x cosβk/2x ,e
αk/2x senβk/2x},
formado por k soluções reais da edon
∑j=0
ajDjy = 0, é LI.
Prova
Considere a equaçãok/2
∑s=0
Aseαsx cosβsx+
k/2
∑s=0
Bseαsx senβsx = 0
Porque cosβsx =(e iβsx + e−iβsx
)/2 e senβsx =
(−ie iβsx + ie−iβsx
)/2
segue que 0 =k
∑j=0
eλjxaj . Como aj = 0 para todo j ∈ {1,2, . . . ,k},
tem-se As− iBs = 0 e As + iBs = 0 ⇔ As = 0= Bs para todo s = 1, . . . ,k/2.EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 27 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Pergunta
O que se deve fazer no caso de λs = αs + iβs ∈ C ser uma raiz de
multiplicidade ns da equação característican
∑j=0
ajλj = 0 da equação
diferencialn
∑j=0
ajDjy = 0 ?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 28 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Pergunta
O que se deve fazer no caso de λs = αs + iβs ∈ C ser uma raiz de
multiplicidade ns da equação característican
∑j=0
ajλj = 0 da equação
diferencialn
∑j=0
ajDjy = 0 ?
Resposta
Neste caso, também valed
dx
(eλsx
)= λse
λsx . Daí, para resolver a
equação diferencialn
∑j=0
ajDjy = Q(D) · (D−λs)
nsy = 0, pode-se usar a
regra do deslocamento exponencial P(D)eλxu = eλxP(D+λ )u, para obter
um conjunto fundamental de soluções de (D−λs)nsy = 0 para cada s.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 29 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Exercício 1
Encontre a solução geral da equação (D2+2D+5)y = 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 30 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Exercício 1
Encontre a solução geral da equação (D2+2D+5)y = 0.
Solução
Porque 0= (D2+2D+5)y = (D+1−2i)(D+1+2i)y , duas soluçõescomplexas, da forma y = eλx , da equação dada são
e(−1+2i)x = e−x · e2xi = e−x (cos2x+ i sen2x)≡ y1
e
e(−1−2i)x = e−x · e−2xi = e−x (cos2x− i sen2x)≡ y∗1
Pelo princípio da superposição, são também soluções da equação dada as
duas funções reais
y1 = (y1+ y∗1 )/2= e−x cos2x e y2 = (y1− y∗1 )/2i = e−x sen2x
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 31 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Exercício 1
Encontre a solução geral da equação (D2+2D+5)y = 0.
Solução
Porque 0= (D2+2D+5)y = (D+1−2i)(D+1+2i)y , duas soluçõescomplexas, da forma y = eλx , da equação dada são
e(−1+2i)x = e−x · e2xi = e−x (cos2x+ i sen2x)≡ y1
e
e(−1−2i)x = e−x · e−2xi = e−x (cos2x− i sen2x)≡ y∗1
Pelo princípio da superposição, são também soluções da equação dada as
duas funções reais
y1 = (y1+ y∗1 )/2= e−x cos2x e y2 = (y1− y∗1 )/2i = e−x sen2x
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 31 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Exercício 1
Encontre a solução geral da equação (D2+2D+5)y = 0.
Solução
Ademais,{e(−1+2i)x ,e(−1−2i)x
}é um conjunto fundamental de soluções
complexas e, por conseguinte,{e−x cos2x ,e−x sen2x
}é um conjunto fundamental de soluções reais. Logo, a solução geral da
equação é
y(x) = c1e−x cos2x+ c2e
−x sen2x = (c1 cos2x+ c2 sen2x)e−x
com c1,c2 ∈ R.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 32 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Exercício 2
Encontre a solução geral da equação y (4)+8y ′′+16y = 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 33 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Exercício 2
Encontre a solução geral da equação y (4)+8y ′′+16y = 0.
Solução
O operador diferencial D =d
dx, permite reescrever a equação na forma
(D4+8D2+16
)y = 0⇔
(D2+4
)2y = 0⇔ (D+2i)2 (D−2i)2 y = 0
De imediato, tem-se que duas soluções complexas, da forma y = eλx , da
equação dada são
e2ix = cos2x+ i sen2x
e
e−2ix = cos2x− i sen2x
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 34 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Exercício 2
Encontre a solução geral da equação y (4)+8y ′′+16y = 0.
Solução
O operador diferencial D =d
dx, permite reescrever a equação na forma
(D4+8D2+16
)y = 0⇔
(D2+4
)2y = 0⇔ (D+2i)2 (D−2i)2 y = 0
De imediato, tem-se que duas soluções complexas, da forma y = eλx , da
equação dada são
e2ix = cos2x+ i sen2x
e
e−2ix = cos2x− i sen2x
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 34 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Exercício 2
Encontre a solução geral da equação y (4)+8y ′′+16y = 0.
Solução
De (D−2i)2 (D+2i)2 y = 0 segue que
(i) (D−2i)2 y = 0 e (ii) (D+2i)2 y = 0
No primeiro caso, sendo P(D) = (D−2i)2, assumindo uma solução da
forma y = u · e2ix , decorre, pela Regra do Deslocamento Exponencial, que
0= P(D)y = P(D)u · e2ix = e2ixP (D+2i)u = e2ixD2u⇒ D2u = 0
Assim, u ∈ {1,x} e duas soluções complexas da equação são y1 = e2ix e
y2 = xe2ix .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 35 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Exercício 2
Encontre a solução geral da equação y (4)+8y ′′+16y = 0.
Solução
De (D−2i)2 (D+2i)2 y = 0 segue que
(i) (D−2i)2 y = 0 e (ii) (D+2i)2 y = 0
No primeiro caso, sendo P(D) = (D−2i)2, assumindo uma solução da
forma y = u · e2ix , decorre, pela Regra do Deslocamento Exponencial, que
0= P(D)y = P(D)u · e2ix = e2ixP (D+2i)u = e2ixD2u⇒ D2u = 0
Assim, u ∈ {1,x} e duas soluções complexas da equação são y1 = e2ix e
y2 = xe2ix . Analogamente, de (ii), obtém-se as soluções e−2ix e xe−2ix .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 36 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Exercício 2
Encontre a solução geral da equação y (4)+8y ′′+16y = 0.
Solução
Em resumo, são soluções da equação as quatro funções complexas
e2xi = cos2x+ i sen2x
y∗1 = e−2xi = cos2x− i sen2x
xe2xi =x cos2x+ ix sen2x
y∗2 =xe−2xi =x cos2x− ix sen2x
Pelo princípio da superposição, são também soluções da equação as quatro
funções reais
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 37 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Exercício 2
Encontre a solução geral da equação y (4)+8y ′′+16y = 0.
Solução
y1 = (y1+ y∗1 )/2= cos2x
y2 =(y1− y∗1 )/2i = sen2x
y3 = (y2+ y∗2 )/2=x cos2x
y4 =(y2− y∗2 )/2i =x sen2x
Ademais, porque {y1, y∗1 , y2, y∗2} é um conjunto fundamental de soluções
complexas, {y1,y2,y3,y4} é um conjunto fundamental de soluções reais.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 38 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Exercício 2
Encontre a solução geral da equação y (4)+8y ′′+16y = 0.
Solução
Portanto, a solução geral da edo dada é
y(x) = Acos2x+Bx cos2x+C sen2x+Dx sen2x
= (A+Bx)cos2x+(C +Dx)sen2x
com A,B,C ,D ∈ R.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 39 / 41
Equação Diferencial Ordináriade ordem n > 1, linear, homogênea, com coe�cientes constantes
Exercício 3
Encontre a solução geral da equação y (4)−8y ′′+16y = 0.
Exercício 4
Encontre a solução geral da equação (D+1)(D−2)2(D2+2D+2)2y = 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 40 / 41
Leitura Recomendada I
Abunahman, S. A.
Equações diferenciais.
Rio de Janeiro: EDC, 1989.
Boyce, W. E. e Diprima, R. C.
Equações diferenciais elementare e problemas de valores de contorno.
Rio de Janeiro: LTC, 2002.
Edwards, C. H. e Penney, D. E.
Equações diferenciais elementares com problemas de contorno.
Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 1995.
Zill, D. G.
Equações diferenciais: com aplicações em modelagem.
São Paulo: Pioneira Thomson, 2003.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 41 / 41
Recommended
