Equações Diferenciais Ordinárias
Prof. Guilherme Jahnecke Weymar
AULA 03
Equações diferenciais de primeira ordem
Equações separáveis
Fonte:
Material Daniela Buske, Boyce, Bronson, Zill,
diversos internet
1
Equações separáveis
2
As equações diferenciais ordinárias separáveis são equações que podem ser escritas na forma (1) Seja Então Substituindo-se g(y) por dh/dy na equação (1) obtemos (2)
)()( xfdx
dyyg
dyygyh )()(
)(ygdy
dh
)(xfdx
dy
dy
dh
Mas pela regra da cadeia O que implica que (2) pode ser escrita como: (3) A eq. (3) é do tipo (1.3) ( , vista na aula 02), ou seja, é da forma Em que Y(x) = h(y(x)). Assim, integrando-se (3) dos dois lados obtemos que a solução geral de (1) é dada implicitamente por
Equações separáveis
3
dx
dy
dy
dhxyh
dx
d))((
)(tqdt
dy
)())(( xfxyhdx
d
)(xfdx
dY
Cdxxfxyh )())((
Equações separáveis
4
Também podemos obter a solução anterior da seguinte maneira: Integrando-se em relação a x ambos os membros de (1) obtemos Que pode ser reescrita como Fazendo a substituição y’dx = dy obtemos Observação: As curvas que são soluções de uma equação separável podem ser vistas como curvas de nível da função
Cdxxfdxdx
dyyg )()(
Cdxxfdxyyg )(')(
Cdxxfdyyg )()(
dxxfxyhyxFz )())((),(
Exemplo 1: Modo de resolução 1
Encontrar a solução geral da EDO:
A EDO pode ser reescrita como:
ou pela regra da cadeia:
Assim a solução geral é dada implicitamente por:
As soluções são elipses (ver fig. 1) que são curvas de nível da função
O gráfico da função F(x,y) dada é um parabolóide elíptico (ver fig. 2)
Equações separáveis
5
xdx
dyy 42
xdx
dyy
dy
d4)( 2
xydx
d4)( 2
Cxdxxy 22 2)4(
22 2),( xyyxFz
Equações separáveis
6
Exemplo 1: Modo de resolução 2
Encontrar a solução geral da EDO:
Integrando-se em relação a x ambos os membros obtemos:
Fazendo a substituição y’dx = dy obtemos:
Assim a solução geral é dada implicitamente por
As soluções são elipses (ver fig. 1) que são curvas de nível da função
O gráfico da função F(x,y) dada é um parabolóide elíptico (ver fig. 2)
xyyxdx
dyy 4'2ou 42
Cxy 22 2
22 2),( xyyxFz
Cdxxdxyy 4'2
Cdxxydy 42
Equações separáveis
7
Figura 1: Soluções da equação diferencial do exemplo 1
Equações separáveis
8
Figura 2: Soluções da equação diferencial do exemplo 1 como curvas de nível do parabolóide elíptico z = F(x,y) = 2x2+y2.
Equações separáveis
9
Exemplo 2: a) Encontre a solução do PVI
b) Determine o intervalo de validade da solução, ou seja, o maior intervalo contendo x0=1 para o qual a solução y(x) e sua derivada dy/dx estão definidas.
c) Determine os pontos onde a solução tem um máximo local.
d) Faça um esboço do gráfico da solução.
0)1(33
122
yy
x
dx
dy
Equações separáveis
10 Exercício: Fazer pela primeira metodologia para verificar
Equações separáveis
11
Equações separáveis
12
Equações separáveis
13
Equações separáveis
14
Figura 3: Solução do PVI do exemplo 2.
Equações separáveis
15
Figura 4: Soluções da EDO e do PVI do exemplo 2.
Equações separáveis
16
Figura 5: Soluções da EDO do exemplo 2 como curvas de nível de uma função de duas variáveis z=f(x,y)=y3-3y-x2+x.
17
Soluções por Substituições
Muitas Equações Diferenciais, o primeiro passo para resolvê-la é
transformar em outra E.D. “conhecida” por meio de uma substituição.
Equações Homogêneas;
Equações de Bernoulli;
Equações de Riccati;
Equações Homogêneas
18
Definição: Função homogênea
Se uma função f satisfaz
Para algum número real n, então dizemos que f é uma função
homogênea de grau n .
),(),( yxfyxf n
Equações Homogêneas
19
Exemplo 1: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑦2
),()(),(
),(
22222222
22
yxfyxyxyxf
yxyxf
f é homogênea de grau 2
Exemplo 2: : 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 − 𝑥𝑦2 + 1
),(13),(
13),(
32233
23
yxfyxxyxf
xyxyxf
f não é homogênea
Equações Homogêneas
20
Exemplo 3: : 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥
𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑦
),()/()/(),(
)/(),(
0//
/
yxfyxseneyxseneyxf
yxseneyxf
yxyx
yx
f é homogênea de grau zero
OBS: 1. Nos exemplos 2 e 3 observamos que uma constante adicionada à
função destrói a homogeneidade, a menos que a função seja homogênea de grau zero.
2. Uma função homogênea pode ser reconhecida examinado o grau de cada termo
Equações Homogêneas
21
Definição: Equação homogênea
Uma equação diferencial da forma
é chamada de homogênea se ambos os coeficientes M e N
são funções homogêneas do mesmo grau.
0),(),( dyyxNdxyxM
Equações Homogêneas
22
Método de solução: Equação homogênea
Uma equação diferencial homogênea
pode ser resolvida por meio de uma substituição algébrica. Neste
caso a substituição:
transformará a equação em uma equação diferencial de 1ª ordem
separável.
0),(),( dyyxNdxyxM
vxy
xdvvdxdyvxy ;Lembrando:
Equações Homogêneas
23
Exemplo 1:
0)( 22
22
dyyxxydx
yx
xy
dx
dy
xdvvdxdyvxy ;Substituição:
fç homog. de mesmo grau
ccv
vx
v
dvv
x
dx
v
dvv
x
dxx
dvvxdxxv
dvvxdxxv
dvxvxdxxvvxvx
xdvvdxxvxxvxdx
2
2y/xv
2
3
2
3
2
3
2
2323
2323
3232322
222
2y
xlny
2
1lnln
)1()1(
)1(
)separáveis (variáveis 0)1(
0)()(
0))((
Exercícios
• Resolva as equações diferenciais homogêneas: 1) 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥𝑦𝑦′ = 0 Sol. Geral: 𝑦2 − 𝑥² = 𝐶𝑥
2) 𝑥2 + 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 Sol. Geral: ln 𝑥 + 𝑦 +𝑥
𝑥+𝑦= 𝐶
3) 𝑥𝑦′ cos𝑦
𝑥= 𝑦 cos
𝑦
𝑥− 𝑥 Sol. Geral: 𝑠𝑒𝑛
𝑥
𝑦= ln
𝐶
𝑥
4) 𝑦𝑦′ = 2𝑦 − 𝑥 Sol. Geral: 𝑦 − 𝑥 = 𝐶𝑒𝑥/(𝑦−𝑥)
5) 𝑦 − 𝑥𝑦′ = 𝑥 + 𝑦𝑦′ Sol. Geral: ln 𝑥² + 𝑦² +arctan(𝑦/𝑥) = 𝐶
6) 𝑦′ = 4 +𝑦
𝑥+
𝑦
𝑥
2; 𝑦 1 = 2
Sol. Particular: arctan(𝑦/2𝑥) = ln 𝑥 + 𝜋/4 24
Equações Homogêneas
25
Observações: Caso M(x,y) e N(x,y) sejam funções de trinômios lineares
em x e y, ou seja
(1)
Teremos de analisar se os coeficientes a1, a2, b1 e b2 são proporcionais
ou não.
0)()( 222111 dycybxadxcybxa
Equações Homogêneas
26
1º caso:
Os coeficientes a1, a2, b1 e b2 são proporcionais , ie,
Substituindo em (1):
(2)
A transformação
reduz (2) à forma de uma equação de variáveis separáveis.
0)(])([ 222122 dycybxadxcybxaR
022
11
ba
ba
21212
1
2
1 e RbbRaaRb
b
a
a
2
222 ;
b
dxadtdyybxat
Equações Homogêneas
27
Exemplo 1º caso:
−𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟏 𝒅𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟓 𝒅𝒚 = 𝟎
Equações Homogêneas
28
2º caso:
Os coeficientes a1, a2, b1 e b2 não são proporcionais , ie,
A transformação
onde h e k são coordenadas da solução do sistema
reduz (1) à forma de uma equação homogênea.
022
11
ba
ba
dYdy
dXdx
kYy
hXx
0
0
222
111
cybxa
cybxa
Equações Homogêneas
29
Exemplo 2º caso:
𝒙 − 𝒚 + 𝟒 𝒅𝒚 + −𝒙 − 𝒚 + 𝟐 𝒅𝒙 = 𝟎
Transformação:
h e k são coordenadas da solução do sistema
𝑘 = 3; ℎ = −1
reduz à forma de uma equação homogênea.
1 11 1 2 0
1 1
dYdy
dXdx
kYy
hXx
2 0
4 0
h k
h k
𝑋 − 𝑌 𝑑𝑌 + −𝑋 − 𝑌 𝑑𝑋 = 0
Equações Homogêneas
30
Exemplo 2º caso:
𝑋 − 𝑌 𝑑𝑌 + −𝑋 − 𝑌 𝑑𝑋 = 0 Eq. Homogênea de Grau 1
𝑌 = 𝑣𝑋; 𝑑𝑌 = 𝑣𝑑𝑋 + 𝑋𝑑𝑣 Substituição:
𝑋 − 𝑣𝑋 (𝑣𝑑𝑋 + 𝑋𝑑𝑣) + −𝑋 − 𝑣𝑋 𝑑𝑋 = 0
1 − 𝑣 𝑋2𝑑𝑣 + 𝑣𝑋 − 𝑣2𝑋 − 𝑋 − 𝑣𝑋 𝑑𝑋 = 0
𝑣−1
𝑣2+1𝑑𝑣 +
𝑑𝑋
𝑋= 0 −tan−1 𝑣 +
1
2ln |𝑣2 + 1| + ln |𝑋| = 𝐶
−tan−1 𝑌
𝑋+
1
2ln |
𝑌2+𝑋2
𝑋2 | + ln |𝑋| = 𝐶 −tan−1 𝑦−3
𝑥+1+ ln | (𝑦 − 3)2+(𝑥 + 1)2| = 𝐶
Equações de Bernoulli
31
Seja a equação diferencial:
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑦𝑛, (1)
Onde 𝑛 ∈ ℝ
E.D. Não linear
Note que: 𝑛 = 0 𝑒 𝑛 = 1 a equação se torna linear. Para 𝑛 ≠ 0 𝑒 𝑛 ≠ 1, a substituição 𝑢 = 𝑦1−𝑛 reduz qualquer equação
da forma (1) a uma equação diferencial linear.
Equações de Bernoulli
32
Seja a E.D. na forma (1):
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑦𝑛, (1)
Metodologia para resolver Equações de Bernoulli:
1. Dividir a eq. (1) por 𝑦𝑛;
2. Substituir 𝑢 = 𝑦1−𝑛 e d𝑢
𝑑𝑥= (1 − 𝑛)𝑦−𝑛𝑑𝑦
𝑑𝑥
3. Pelos passos 1 e 2, obtém-se a seguinte equação:
1
1−𝑛
𝑑𝑢
𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑢 = 𝑓 𝑥 (2)
Note que a eq. (2) é uma Equação Linear de 1ª Ordem na função
incógnita 𝑢 (Pode ser resolvida multiplicando pelo Fator Integrante!)
Equações de Bernoulli
33
𝑑𝑦
𝑑𝑥− 𝑦 = 𝑒𝑥𝑦2
Exemplo:
Exercícios: Resolva a equação diferencial dada utilizando uma substituição apropriada.
a) 𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥− −(1 + 𝑥)𝑦 = 𝑥𝑦2
b) 𝑡2 𝑑𝑦
𝑑𝑡+ 𝑦2 = 𝑡𝑦
c) 𝑥2 𝑑𝑦
𝑑𝑥− 2𝑥𝑦 = 3𝑦4
Equações de Riccati
34
Uma E.D. na forma (3):
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑃 𝑥 𝑦2 + 𝑄 𝑥 𝑦 + 𝑅(𝑥) (3)
é chamada de uma eq. de Riccati.
Obs: Se 𝑃 𝑥 = 0 ⇒ Eq. é Linear! Se 𝑃 𝑥 ≠ 0 e conseguirmos de alguma forma obter uma solução particular da Equação Diferencial de Riccati (E.D.R.) 𝑦𝑝(𝑥), então fazemos a seguinte troca de variável:
𝑦 = 𝑦𝑝 𝑥 +1
𝑧
Note que esta troca de variável transforma a E.D.R. em uma equação
diferencial linear em x e z.
Se não for dada a sol. Particular testar: 𝑦𝑝 𝑥 =
𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠: 𝑐𝑡𝑒; 𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑒𝑠;
𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠; etc
Equações de Riccati
35
Exemplo:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
𝑥𝑦2 +
1
𝑥𝑦 −
2
𝑥
𝑦𝑝 𝑥 = 1 ⇒ 𝑦 = 1 +1
𝑧
Obs: Eq. de Bernoulli X Eq. de Riccati
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑦𝑛
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑃 𝑥 𝑦2 + 𝑄 𝑥 𝑦 + 𝑅(𝑥)
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