Instituto Superior de Ciências da Educação

ISCED-HUILA

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXACTAS

REPARTIÇÃO DE ENSINO E INVESTIGAÇÃO DE MATEMÁTICA

TRABALHO EM GRUPO DA CADEIRA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

TEMA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

2º GRUPO

3º ANO/MATEMÁTICA-REGULAR

O DOCENTE DA CADEIRA

------------------------------------------

DR. SAMUEL SUNGO

LUBANGO, SETEMBRO DE 2012

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

ISCED-HUILA/2012 1

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

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Conteúdo

0. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 4

0.1. Conceitos Fundamentais ............................................................................................................... 5

0.2. Classificação das EDP .................................................................................................................. 5

0.3. Tipos de EDP .................................................................................................................................. 6

Exercícios resolvidos. ................................................................................................................................ 7

Exercícios propostos. ............................................................................................................................ 7

1. Métodos de resolução das EDP ...................................................................................................... 8

1.0. Solução geral e solução particular .......................................................................................... 8

1.1. Método da integração básica directa ...................................................................................... 8

Exercícios resolvidos. ................................................................................................................................ 9

Exercícios propostos ............................................................................................................................. 9

1.2. Método de mudança de variáveis .......................................................................................... 10

Exemplo de equações características de uma EDP....................................................................... 10

Exercícios resolvidos. .......................................................................................................................... 13

Exercícios propostos. .......................................................................................................................... 15

1.3. Método de Separação de variáveis ....................................................................................... 15

Exercícios resolvidos. .............................................................................................................................. 16

1.4. PRINCIPIO DE SUPERPOSIÇÃO ........................................................................................ 18

Exercícios propostos. .......................................................................................................................... 19

2. SÉRIE DE FOURIER ................................................................................................................... 19

Exercícios resolvidos. .............................................................................................................................. 20

Exercícios propostos. .......................................................................................................................... 23

2.1. Funções pares e ímpares ....................................................................................................... 23

2.2. PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES PARES E ÍMPARES ................................................. 23

2.3. SÉRIE DE FOURIER DE COSSENOS E SÉRIE DE SENOS ......................................... 23

Exercícios resolvidos. .............................................................................................................................. 24

Exercícios propostos. .......................................................................................................................... 25

3. EQUAÇÃO DE OSCILACÃO DE UMA CORDA ......................................................................... 25

3.1. CONDIÇÕES COM VALORES DE CONTORNO DO PROBLEMA ................................. 26

Exercícios resolvidos. .............................................................................................................................. 26

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ISCED-HUILA/2012 3

3.2. SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DA CORDA PELOS MÉTODOS D´ALEMBERT E DE FOURIER .................................................................................................................................................. 29

3.2.1. Método de D´Alembert para solução da equação da onda .......................................... 29

3.2.1.1. Solução de d´Alembert que satisfaça as condições iniciais .................................... 30

Exercício resolvido. ................................................................................................................................. 31

Exercícios propostos. .......................................................................................................................... 32

3.2.2. Solução da equação da onda pelo método de Fourier .................................................. 32

Exercícios propostos. .......................................................................................................................... 32

CONCLUSÃO ........................................................................................................................................... 33

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: ..................................................................................................... 34

INTEGRANTES DO GRUPO ............................................................................................................. 35

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

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0. INTRODUÇÃO Neste trabalho com o tema Equações Diferenciais Parciais de tipo Hiperbólico e subtemas Equação de oscilação de uma corda, condições com valores de contorno do problema e solução da equação da corda pelos métodos d´ Alembert e de Fourier, procuramos fazer um estudo em primeira instância dos conceitos fundamentais, métodos de resolução de uma EDP e série de Fourier para podermos nos armar de condições prévias suficientes e também necessárias para o real entendimento do assunto em causa.

A confeção do mesmo representou para nós um grande desafio, foi como escalar o Monte Everest, tivemos muitas dificuldades por falta de materiais de consulta.

Este trabalho é resultado de um esforço conjunto na insistência em pensar e entender o tema proposto.

Partimos da ideia de que cada um de nós é uma ave com apenas uma asa e que para voar precisamos nos abraçar uns aos outros.

Como o conhecimento científico não é algo pronto, acabado e indiscutível, esperamos todas críticas positivas no sentido de melhorar o presente trabalho.

A todos os nossos leitores desejamos uma boa expedição e que não se deixem levar pelas avalanches.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

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0.1. Conceitos Fundamentais Chama-se Equação diferencial parcial (EDP) a uma equação diferencial cuja função incógnita depende de duas ou mais variáveis.

Consideremos 戟 como variável dependente, 捲 結 検 como variáveis independentes, temos os seguintes exemplos de EDP:

I. 戟掴 伐 戟槻 噺 ど

II. 擢鉄腸擢掴鉄 髪 ぬ 擢鉄腸擢槻鉄 噺 ど

III. 戟掴 髪 戟槻 噺 戟

IV. 擢鉄腸擢掴鉄 髪 擢鉄腸擢掴擢槻 髪 擢鉄腸擢槻鉄 噺 ど

V. 倦 擢鉄腸擢掴鉄 伐 戟 噺 擢鉄腸擢痛鉄 ┸ 倦 伴 ど

VI. 欠態 擢鉄腸擢掴鉄 噺 擢鉄腸擢痛鉄

VII. 戟掴掴 髪 戟槻槻 噺 戟

VIII. 捲態戟掴掴 髪 に捲戟掴 髪 戟槻槻 噺 ど

IX. 戟掴掴 髪 ね捲戟掴 髪 戟槻槻 噺 ど

X. 戟掴掴 伐 岫な 髪 検態岻戟掴槻 噺 ど

A ordem de uma EDP é a ordem da mais alta derivada que ocorre na equação, e o grau é o expoente da derivada mais alta, quando a equação está escrita em uma forma semelhante a uma função polinomial em que as potências fazem o papel das derivadas da ordem respectiva. Em função disso, dos exemplos anteriores tem-se:

As equações (I) e (III) são EDP de 1ª ordem. As equações (II), (IV), (V), (VI), (VII), (VIII), (IX), e (X) são EDP de 2ª ordem.

Poderemos centralizar as nossas atenções a última classificação pois consideramos serem as mais importantes para o nosso Estudo.

0.2. Classificação das EDP Em função da forma, as EDP classificam-se em:

a) EDP Quase Linear; quando pode ser posta na forma: 畦岫捲┸ 検岻戟掴掴 髪 稽岫捲┸ 検岻戟掴槻 髪 系岫捲┸ 検岻戟槻槻 髪 罫盤捲┸ 検┸ 戟┸ 戟掴 ┸ 戟槻匪 噺 ど

Onde os coeficientes A, B, e C das derivadas duplas de 傑 somente dependem das variáveis independentes 捲 結 検, isto é: 畦 噺 畦岫捲┸ 検岻┹ 稽 噺 稽岫捲┸ 検岻┹ 系 噺 系岫捲┸ 検岻 em que pelo menos um dos coeficientes A,B, C é não nulo.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

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b) EDP Linear; quando pode ser posta na forma: 畦戟掴掴 髪 稽戟掴槻 髪 系戟槻槻 髪経戟掴 髪 継戟槻 髪 繋戟 髪 罫 噺 ど

Onde todos os coeficientes A, B, C, D, E e F somente dependem das variáveis 捲 結 検 em que pelo menos um dos coeficientes A, B, C é não nulo.

c) EDP não Linear; quando não pode ser posta numa das formas

anteriormente referenciadas.

1.1. Exemplos de EDP Lineares (b) e não Lineares (C):

(b) 1) 戟掴掴 髪 戟 髪 戟 噺 ど

2) 擢鉄腸 擢掴鉄 髪 捲 擢鉄腸擢槻鉄 髪 捲 噺 ど

3) 戟掴掴 髪 結掴戟槻槻 髪 は 噺 ど

(C) 1) 戟戟掴掴 髪 戟槻槻 噺 ど

2)捲 擢鉄腸擢掴鉄 髪 検 擢鉄腸擢槻鉄 髪 戟態 噺 ど

3)戟 擢腸擢掴 髪 擢鉄腸擢槻鉄 噺 ど

As EDP Lineares de 2ª ordem podem ser: a) Não Homogéneas; quando têm a forma: 畦戟掴掴 髪 稽戟掴槻 髪 系戟槻槻 髪経戟掴 髪 継戟槻 髪 繋戟 髪 罫 噺 ど

Onde A, B, C, D, E, F, e G podem depender das variáveis 捲 結 検 ou das derivadas de 1ª ordem, alem disso 罫岫捲┸ 検岻 塙 ど┻

b) Homogéneas; Se na forma apresentada em a) 罫岫捲┸ 検岻 噺 ど

0.3. Tipos de EDP Do anterior exposto, dada uma EDP na forma: 畦戟掴掴 髪 稽戟掴槻 髪 系戟槻槻 髪経戟掴 髪 継戟槻 髪 繋戟 髪 罫 噺 ど

Onde todos os coeficientes A, B, C, D, E e F somente dependem das variáveis 捲 結 検 em que pelo menos um dos coeficientes A, B, C é não nulo. A EDP é do Tipo:

Hiperbólico se ッ噺 稽態 伐 ね畦系 伴 ど

Elíptico se ッ噺 稽態 伐 ね畦系 隼 ど

Parabólico se ッ噺 稽態 伐 ね畦系 噺 ど

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Exercícios resolvidos.

1. Classificar as seguintes equações diferenciais:

y

uua

x

2

2

3)

yx

uub

2

2

2

2

)

0)2

2

2

2

yx

uuc

Solução:

y

uua

x

2

2

3)

Identificando primeiro os coeficientes temos, A=3, B=o e C=0

00.3.44 022 ACB , então a equação é uma equação diferencial

parabólica.

10,10)2

2

2

2

2

2

2

2

CBAuuuu

b

yxyx

04)1.(1.44 022 ACB , então a equação é hiperbólica.

10,10)2

2

2

2

CBAuu

c

yx,

,041.1.44 022 ACB logo a equação é elíptica.

Exercícios propostos. 1. Classificar as seguintes equações:

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

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053)

0)

0,2)

0,2

)

)

0)

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

yx

yxx

tx

x

yx

u

yx

uuf

uue

kt

uk

uuad

kt

uu

ukc

y

u

x

ub

u

yx

uua

1. Métodos de resolução das EDP

1.0. Solução geral e solução particular

A solução ),( yxfu de uma EDP sobre um conjunto é a solução que engloba todas

as soluções válidas sobre este conjunto, enquanto uma solução particular é uma função especifica que satisfaz a EDP dada sob uma condição particular.

Exemplo:

)()( yxgyxfw é a solução geral da equação da equação diferencial parcial

0uu yyxx, enquanto 0),(,,

22 ueuyxsenuxyuu eyx

yx são

soluções particulares

Há vários métodos que podem aplicar-se para encontrar as soluções particulares de uma equação diferencial.

1.1. Método da integração básica directa No método de integração básica directa procede-se como nas EDO´s exactas , quando integramos em ordem a uma das variáveis , consideramos as outras como constantes, ou seja, considerando uma função arbitrária nas outras variáveis como uma constante .

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Exercícios resolvidos.

1. Sabendo que u é uma função de x e de y , determinar as soluções gerais das equações diferenciais parciais seguintes:

a) 0),( yxux

b) 0),( yxuxx

c) 0),( yxuxy

Solução:

a) 0),( yxux

0

x

u, integrando ambos os membros em ordem a x, como u é uma

função de x e y , então considera-se como constante uma função em ordem a y. Assim vem:

)(),( yfyxu , que é neste caso a solução geral.

b) 0),( yxuxx

, procedendo-se da mesma forma que no exercício anterior

temos:

02

2

x

u, integrando a primeira vez em ordem a x vem )(yf

x

u

e

integrando a segunda vez de novo em ordem a x, temos como solução geral )()(),( ygyxfyxu , onde f(y) e g(y) são funções com respeito a y.

c) 0),( yxuxy

, integrando primeiro em ordem a x vem )(),( yfyxuy e

integrando agora em ordem a y temos como solução geral

)()(),( xhdyyfyxu .

Exercícios propostos. Obter as soluções gerais das equações diferenciais parciais seguintes:

1. 0),( yxuy

2. 3),( yxuxx

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

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3. 0),( xuyy

4. yyxux

cos),(

5. 12),( xyyxuy

6. yyxu xxy

3

8),(

7. 2),,( zyxuxyz

8. uu xxy

9. 0uu xxy

10. 01 yxuu xxy

11. 04 uuxx

12. 02 yuuy

1.2. Método de mudança de variáveis

Equação característica

Para a EDP

0),(),(),( uuu yyxyxxyxCyxByxA ,

Definimos a equação diferencial característica associada como:

0),())()(,(),( )()(22

dydx yxCdydxyxByxA as curvas características associadas

são as soluções da equação diferencial (ordinária) característica.

Exemplo de equações características de uma EDP

A equação 0uu yyxx, definida em IR

2, tem a equação característica

)()(22

dydx

A solução desta EDO característica, fornece duas curvas características:

cc yxeyx21

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

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É muito útil realizar mudanças de variáveis para simplificar uma EDP com o objectivo de obter formas mais simples para resolver esta equação parcial e o mecanismo que oferece mudança de variáveis para simplificar uma EDP é a equação característica associada.

Dada uma EDP de segunda ordem (ou equação de Euler)

0 ZZZ yyxyxx

Onde e, são números reais. Usando as mudanças de variáveis:

dycxvebyaxu e a regar da cadeia poderemos escrever :

x

v

v

Z

x

u

u

Z

x

Z

e

y

v

v

Z

y

u

u

Z

y

Z

E assim temos:

v

Zd

u

Zb

y

Z

ev

Zc

u

Za

x

Z

Neste caso a solução geral é dada por )()(),( vgufvuZ

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

ISCED-HUILA/2012 12

De forma análoga temos:

x

v

v

Zc

u

Za

vx

u

v

Zc

u

Za

u

Z

v

Zc

u

Za

x

Z

x

x

)()(

)(

2

2

2

2

Assim )()(2

222

2

2

2

2

vux

Zc

vu

Zac

vu

Zc

Zaa

Z

Ou seja

u

cu

ax

Z

vu

Zac

ZZ2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Ou em uma notação mais simples:

1222

ZcZZaZ vvuvuuxxac

Analogamente:

)()(

2

v

Zd

u

Zb

xy

Z

xyx

Z

x

v

v

Zd

u

Zb

vx

u

v

Zd

u

Zb

uyx

Z

)()(

2

vuvu

Zcd

vu

Zbcad

Zab

Zcd

vu

Zbc

vu

Zad

Zab

yx

Z2

22

2

2

2

222

2

22

Ou mais simplesmente:

2ZZZZ vvuvuuxycdbcadab

Do mesmo modo:

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

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y

v

v

Zd

u

Zb

vy

u

v

Zd

u

Zb

uv

Zd

u

Zb

yy

Z

y

Z

y

2

2

vd

ub

y

Z

vu

Zbd

vu

Zbd

ZZ2

2

2

22

2

2

2

2

2

Ou seja

vd

ub

y

Z

vu

Zbd

ZZ2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Ou ainda

3222

ZdZZbZ vvuvuuyybd

Exercícios resolvidos. Determinar as soluções gerais para cada uma das equações:

1. 0uu yyxx

2. 0456 ZZZ yyxyxx

Solução:

1. 0uu yyxx

Determinando primeiro a equação característica ordinária vem

000))((0)()(22

dydxdydxdydxdydxdydx

Integrando cada uma das equações temos

cc yxeyx21

, fazendo yxveyxu

1,1

1,1

y

v

x

v

y

u

x

u

Fazendo também Zu . Então

v

Z

u

Z

x

v

v

Z

x

u

u

Z

x

Z

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

ISCED-HUILA/2012 14

v

Z

u

Z

xx

Z

x

Z

x2

2

vux

Z

vu

Z

vu

ZZ

x

v

v

Z

u

Z

vx

u

v

Z

u

Z

u

Z2

222

2

2

2

2

vux

Z

vu

ZZZ2

22

2

2

2

2

2

,

Ou simplesmente ZZZZ vvuvuuxx 2

Analogamente:

v

Z

u

Z

y

v

v

Z

y

u

u

Z

y

Z

v

Z

u

Z

yy

Z

y

Z

y2

2

vuy

Z

vu

Z

vu

ZZ

y

v

v

Z

u

Z

vy

u

v

Z

u

Z

u

Z2

222

2

2

2

2

vuy

Z

vu

ZZZ2

22

2

2

2

2

2

Ou apenas:

ZZZZ vvuvuuyy 2

Substituindo as derivadas de segunda ordem na equação dada temos:

02022

022

0

ZZZZZZZ

ZZZZZZ

ZZ

uvvvuvuuvvuvuu

vvuvuuvvuvuu

yyxx

0Zuv, aplicando o método da integração básica directa temos que:

vgufvuZ ), que é solução da equação 0Zuv

Com as variáveis originais obtemos a solução: yxgyxfyxZ , que é a solução geral.

b) 0456 ZZZ yyxyxx

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

ISCED-HUILA/2012 15

Fazendo byaxm e admitindo que ebyax

yxZ, seja a solução

da EDP dada dessa forma

ebZeZeaZbyax

yy

byax

xy

byax

xxeab

22,

Substituindo estas expressões na EDP dada , temos:

045622

ebabyax

ab que terá como soluções se existirem

valores reais ou complexos bea satisfazendo a relação

045622 ba ab

Com a fórmula quadrática podemos decompor esta expressão na forma 0)2)(43( baba

Assim 02043 baba

Na primeira relação para evitar a presença de fracções tomamos 34 bea . Na segunda tomamos 21 bea

Dessa forma, as nossas mudanças de variáveis serão indicadas por yxneyxm 234 com estas substituições na EDP ,

teremos simplesmente 0Zmn, cuja solução é

)()(),( ngmfnmZ

Retornando às variáveis originais obtemos a solução )2()34(),( yxgyxfyxZ

Exercícios propostos.

1. Usando as transformações indicadas , resolver as seguintes equações:

a) yxzxvuu yyxy ,0

b) xyzxvyx uuu yyyxy ,

c) yxzyxvuuu yyxyxx 3,034

d) yxzxvuuu yyxyxx ,02

e) yxzyxvuuu yyxyxy 2,02

1.3. Método de Separação de variáveis Quando se busca uma solução particular em forma de um produto de uma função de x por uma função de y, como

),()(),( yYxXyxu

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As vezes é possível converter uma equação em derivadas parciais, linear com duas variáveis em uma equação ordinária. Para fazê-lo notemos que :

yXx

u´

, xYy

u´

,

E que yXu

x´´

2

2

, xY

u

y´´

2

2

Exercícios resolvidos.

Determine a solução produto de :

a) y

uu

x

4

2

2

b) uu yx =0

Solução:

a) y

uu

x

4

2

2

y

Y

x

XxYyX

´

4

´´´4´´

visto que o membro esquerdo é independente de y e o membro direito também é independente de x, chegamos a conclusão que ambos os membros são independentes de x como de y. em outras palavras cada lado da equação deve ser uma constante. Na prática se costuma escrever esta constante de separação

como 2 ou 2 .

Desta forma distinguimos os três casos seguintes: CASO I :

Se 20 as duas igualdades

2´

4

´´

y

Y

x

X, então temos:

X´´=4x 2 Y´=y 2

0´0 4´´22 yYxX , assim temos as

respectivas equações auxiliares seguintes:

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

ISCED-HUILA/2012 17

004222 rr , onde para x r=2 e para y r= 2

dessa forma temos

as soluções seguintes:

ecccy

YxsenhxX 2

32122cosh , assim uma solução particular da EDP

dada é: U =XY

u= ecccy

xsenhx 2

321)22cosh(

u= xsenhx eBeAyy 22cosh

22

11

, onde ccBccA 321311

Caso II

Se 02 , as igualdades

2´

4

´´

y

Y

x

X X´´+4x 2

=0 Y´+y 2=0, onde para x ir 2 e para y

temos que r= 2 assim as soluções respectivas são:

ecccy

YxsenxX 2

65422cos

, a solução particular correspondente é:

ecccy

xsenxu 2

654)22cos(

xsenxu eBeAyy 22cos

22

22

, onde ccBccA 652642

CASO III

Se 02 , as igualdades

BAccc xuyxX

YX

33987

00´´

onde ccBccA 983973

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1.4. PRINCIPIO DE SUPERPOSIÇÃO

Se uuuu k,...,,,

321, são soluções particulares de uma equação diferencial em derivadas

parciais linear e homogénea, então a combinação linear

ucucucuc kku ...

332211 também é uma solução, em que ck

são constantes e

INk0

.

Assim é também solução da equação anterior a expressão:

u= xsenhx eBeAyy 22cosh

22

11 + xsenx eBeA

yy 22cos22

22

+ BA x33

.

b) uu yx =0

y

Y

x

XxYyXxYyX

y

u

x

u ´´´´0´´0

,

2´´

y

Y

x

X então

X´= 2x Y´= 2

x

2´X =0 0´

2 Y , pelas equações auxiliares 02 r temos que

2r , então vem:

X=c1 e

x 2

e yeY c

2

2 , assim a solução produto

XYyxu ),(

u(x,y)= c1

xe 2

.c2

ye 2

U(x,y)= A 2)()(,

2

ke eyxkyx

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Exercícios propostos.

1. Calcule uma solução produto de cada uma das equações seguintes, aplicando o método de separação de variáveis:

0)1()

04)

02)

02)

)

)

0,)

0)

)

)

)

)

03)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

uyu

uuu

uuux

uuu

uutx

a

x

yx

uu

uu

xyxx

yyxxx

yyxxx

yxxx

yyxx

yx

yx

m

xl

xk

j

ui

uuh

kt

uu

ukg

u

yx

uuf

y

ux

x

uye

ud

uc

y

uy

x

uxb

y

u

x

ua

.

2. SÉRIE DE FOURIER

A série de Fourier de uma função f definida em um intervalo ),( pp é

1

0 )cos(2

)(n

nn p

xnsen

p

xnxf ba

a

onde

p

p

dxxfp

a )(1

0

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

ISCED-HUILA/2012 20

p

pndx

p

xnxf

pa

cos)(

1

p

pndx

p

xnsenxf

pb

)(

1

...3,2,1,0n

Exercícios resolvidos.

Determine as séries de Fourier das funções no intervalo dado:

x

xxfa

0,1

0,0)()

10,

01,1)()

xx

xxfb

20,

02,)()

xx

xxxfc

Solução:

x

xxfa

0,1

0,0)()

A série de Fourier de função )(xf é dada por

1

0 )cos(2

)(n

nn p

xnsen

p

xnxf ba

a

,

determinando os coeficientes temos:

p

p

dxxfp

a )(1

0

neste caso

p

1

1)(

1

00dxdxxfa

p

pndx

p

xnxf

pa

cos)(

1

0cos1

cos1

cos)(1

0 0

nxdxdx

xndx

xnxfa n

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

ISCED-HUILA/2012 21

)1(

1)cos1(

1

1)(

1)(

1)(

1

)1(

cos0

0

n

n

p

pn

nn

n

ndxnxsendx

xnsenxfdx

p

xnsenxf

p

b

nxb

,

então a série de Fourier para a função dada é

sennx

nxf

n

n

1

111

2

1)(

10,

01,1)()

xx

xxfb

2

3

2

112

2

1)(

1

0

0

1

0

1

1

0

1

1

0

xxa xdxdxdxxf

1

1

0

1

1

0

coscoscos)( xdxnxxdxnxdxnxfa n , integrando por partes a segunda

parcela temos que

1

1

2

11

)(

cos)( 22

1

0

0

1

n

n

nn

xn

n

xnxsenxnsena

n

n

xnx

n

xnsenxnb

nxdxxsennxdxsennxdxsennxf

n

cos

)(cos

2

1)(

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

nbn

1 , logo a série correspondente é:

122

)1

cos11

(4

3)( )1(

n

n

xsennn

xnxf

n

20,

02,)()

xx

xxxfc

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

ISCED-HUILA/2012 22

211224

1

2

1

2

1)(

2

1

4

12

0

0

2

2

2

0

2

2

0

0

xxa xdxxdxxf

2

2

2

0

0

22

cos2

cos2

1

2cos)(

2

1dx

xnxdx

xnxdx

xnxfa n

n

xnxsen

n

xn

n

xnxsen

n

xn

a n

22

2cos

4222cos

4222

1

222

1

2

0

0

2

1cos4

1cos2

cos1222

22

2222

2

0

22

0

2

22

2cos

2cos

n

nn

na

nn

xn

n

xn

na

n

n

0

2

2

0

2

222

1

22

1

2)(

2

1dx

xnxsendx

xnxsendx

xnsenxfbn

2

cos2

2

4

2cos

2

2

4222

1

222

1

2

0

0

2

xnx

n

xnsen

n

xnx

n

xnsen

nbn

011

2cos

2cos

2

0

0

2

xnx

xnxb

nnn

,

A série correspondente a função é

1

22 2cos)1(cos

141)(

n

xnnxf

n

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

ISCED-HUILA/2012 23

Exercícios propostos. 1. Determine a série de Fourier de cada função no intervalo dado:

a)

x

xxf

0,1

0,1)( b)

50,1

05,1)(

xx

xxf

c)

31,0

11,1

13,0

)(

x

x

x

xf d)

101

01,1)(

xx

xxxf

2.1. Funções pares e ímpares A função seno e cosseno são funções impar e par respectivamente, ou seja , uma função é par se )()( xfxf e é ímpar se )()( xfxf .

Vemos que xx cos)cos( e senxxsen )(

2.2. PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES PARES E ÍMPARES a) O produto de duas funções pares é par b) O produto de duas funções ímpares é par c) O produto de uma função impar por uma função par é uma função ímpar d) A soma ou diferença de duas funções pares é par e) A soma ou diferença de duas funções ímpares é ímpar

f) Se f é par,

a

o

a

adxxfdxxf )(2)(

g) Se é ímpar, 0)( a

adxxf

2.3. SÉRIE DE FOURIER DE COSSENOS E SÉRIE DE SENOS I) A série de Fourier de uma função par num intervalo ),( pp é a série de

cossenos

1

0 cos2

)(n

n p

xnxf a

a

Em que p

dxxfp

a 00)(

2 e

p

ndx

p

xnxf

pa 0

cos)(2

II) A série de Fourier de uma função ímpar num intervalo ),( pp é a série de

senos

1

)(n

n p

xnsenxf b

,

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

ISCED-HUILA/2012 24

Onde p

ndx

p

xnsenxf

pb 0

)(2

Exercícios resolvidos.

1. Desenvolver em série de Fourier as seguintes funções: a) 22,)( xxxf

b) 11,)(2

xxf x

Solução: a) 22,)( xxxf

Verificando primeiro se a função é par ou ímpar vem: ),()(),()( xfxfmasxfxf logo a função é ímpar,

assim podemos desenvolver em série de Fourier de senos.

1

)(n

n p

xnsenxf b

dxxn

senxfp

p

nb 0

2)(

2

2

0

2

02

cos2

2

42222

2 xnx

n

xnsen

nb dx

xnxsen

n

nn

bncos

4 , a série correspondente é:

1 2

)(cos14

)(n

xnsenn

nxf

b) 11,)(2

xxf x

xxfxf2

)()( , então a função é par

Como a função é par se desenvolve em série de Fourier de cosseno.

1

0 cos2

)(n

n p

xnxf a

a

p

dxxfp

a0

0)(

2

3

168.

3

233

22

1

0

2

0

2

0 xxa dx

p

ndx

p

xnxf

pa

0

cos)(2

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

ISCED-HUILA/2012 25

n

na n

cos4

22

1

22coscos

14

3

8)(

n

xnnxf

.

Exercícios propostos. Desenvolver em série de Fourier as seguintes funções: a) 33,)( xxxf

b) 11,1)( xxxf

c) 22

,cos)(

xxxf

d) xsenxxf ,)(

3. EQUAÇÃO DE OSCILACÃO DE UMA CORDA

A equação x

at

uu2

2

2

2

2

ou uau xxtt

2 se chama equação de oscilação de uma corda

(equação da corda vibrante), onde a2 é considerado como uma constante positiva, a

menos que se especifique o contrário.

1

0

1

0

2

33

2

222cos2

2cos

2xnsen

nn

xxnx

nxa xdxn

n

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

ISCED-HUILA/2012 26

3.1. CONDIÇÕES COM VALORES DE CONTORNO DO PROBLEMA O problema da corda vibrante com extremidades fixas, consiste em determinar uma função ),( txu , para 00 teLx , que satisfaça a

equação das ondas, as condições de fronteira e as condições iniciais. Um problema desse tipo é conhecido como um problema de valores inicial e de fronteira, ou abreviadamente, um PVIF. Suponhamos que a corda tenha um comprimento L, e que, quando em sua posição de repouso, ela ocupe a porção do eixo dos x (no plano x ,u) entre 0 e L. Assim, a hipótese de extremidades fixas implica que

0,0),(),0( tparatLutu ,

que são chamadas condições de fronteiras. Sob o ponto de vista matemático não interessa a natureza do processo que provoca o início das vibrações. O que importa, e isso ficará claro mais adiante, é o deslocamento inicial da corda, representado por )0,(xu e o modo como a corda é

abandonada nesta posição, o que é traduzido pela velocidade inicial ).0,(xut

Assim devem ser dados

Lxparaxgx

Lxparaxfxu

ut

0),()0,(

0),()0,(, que são chamadas condições iniciais.

Exercícios resolvidos.

1. Resolva a equação da onda sujeita as condições citadas:

a) .0),(),()0,(

0,0),(,0),0(

0

Lxxgxfxu

ttLutu

t

u

t

b) 0),(

4

1)0,(

0),(,0),0(

0

t

u

t

xLxxu

tLutu

Solução:

a) .0),(),()0,(

0,0),(,0),0(

0

Lxxgxfxu

ttLutu

t

u

t

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

ISCED-HUILA/2012 27

Sabe-se que a equação da onda é x

at

uu2

2

2

2

2

, resolvendo pelo

método de separação de variáveis vem:

tXu

xTu

xt´´´´

2

2

2

2

xXtT

x

X

t

TtXxT

a

aa

222

2

2

2

´´´´

´´´´´´´´

0´´0´´222 xXtT a , as equações auxiliares respectivas

são

:,0022222

temosresolvendorar

irair , então temos: atsenatT cc 21

cos e

xsenxX cc 43

cos

Atendendo as condições de fronteira temos 0)(0)0( LXX

Assim vemos que 0043

Lsencc .

Esta última equação define os valores próprios L

n , onde

,3,2,1n

As funções próprias respectivas são ,3,2,1,4

nL

xnsenX c

As soluções da equação da onda que satisfazem as condições na

fronteira são xL

nsent

L

ansent

L

anBAu nnn

cos

1

cos),(n

nnx

L

nsent

L

ansent

L

antxue BA

Como 0t nesta última expressão, obtemos então

1

)()0,(n

nx

L

nsenxfxu A

, que é um desenvolvimento de )(xf em forma

de série de senos de Fourier. Definindo BA nn

L

nxdx

L

nsenxf

LA

0

.)(2

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

ISCED-HUILA/2012 28

Para determinar Bn, derivamos a expressão ),( txu com respeito a t e

fazemos 0t :

xL

nsent

L

an

L

ant

L

nsen

L

an

t

u

nnn BA

1

cos

1

0

)()(n

n

t

xL

nsen

L

anxg B

t

u .

Para que a última série seja desenvolvida de g em senos da metade do

intervalo no intervalo, o coeficiente total

L

anBn

deve estar na forma

L

nxdx

L

nsenxg

LL

anB

0

)(2

onde obtemos

L

o

nxdx

L

nsenxg

anB

)(2

A solução do problema está formada por série, com BA nne definidos

respectivamente. Observe que quando a corda se solta partindo de repouso, 0)( xg , para

todo x em Lx 0 e , em consequência , .0Bn

b) 0),(

4

1)0,(

0),(,0),0(

0

t

u

t

xLxxu

tLutu

Já sabemos do exercício anterior que resolvendo a equação da

onda pelo método de separação de variáveis obtem-se

atsenatTexsenxX cccc 4321

coscos

, então atendendo as condições de fronteira e iniciais vem:

0)(0)0(21

LsenLXX cc em que as funções próprias

correspondentes são

,3,2,1

cos432

npara

tL

ansent

L

anTex

L

nsenX ccc

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

ISCED-HUILA/2012 29

Então xL

nsent

L

ansent

L

anu

nnn BA

1

cos

Impondo

14

1)0,(

nn

xL

nsenxLxxu A

,

xL

nsent

L

an

L

ant

L

nsen

L

an

t

u

nnn BA

1

cos

00)0,(1

BBu n

nnt L

ansen

L

anx

,3,2,1cos,1

nxL

nsent

L

antxu

nnA

3.2. SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DA CORDA PELOS MÉTODOS D´ALEMBERT E DE FOURIER

3.2.1. Método de D´Alembert para solução da equação da onda Vimos que a equação da onda é dada por: 擢鉄通擢痛鉄 噺 欠態 擢鉄通擢掴鉄 (1), 欠態 噺 脹諦 , Transformando (1) de uma maneira adequada, a

saber, introduzindo as novas varáveis independentes. 懸 噺 捲 髪 欠建┸ 権 噺 捲 伐 欠建 (2), Vemos que de (2) 懸掴 噺 な 結 権掴 噺 な, portanto: 憲掴 噺 憲塚懸掴 髪 憲佃権掴 噺 憲塚 髪 憲佃 , Aplicando a regra da derivação por cadeia no segundo menbro obtemos: 憲掴掴 噺 岫憲塚 髪 憲佃岻掴 噺 岫憲塚 髪 憲佃岻塚懸掴 髪 岫憲塚 髪 憲佃岻佃権掴, Como 懸掴 噺 な 結 権掴 噺 な esta expressão transforma-se em: 憲掴掴 噺 憲塚塚 髪 に憲塚佃 髪 憲佃佃. A outra derivada em (1) é transformada pelo mesmo processo e o resultado é: 憲痛痛 噺 欠態岫憲塚塚 伐 に憲塚佃 髪 憲佃佃岻. Substituindo estes dois resultados em (1) obtemos: 憲塚佃 岩 擢鉄通擢塚擢佃 噺 ど (3) integrando esta equação em relação a 権┸ obtendo

擢通擢塚 噺 月岫懸岻, Onde 月岫懸岻 é uma função arbitrária de 懸 integrando em relação

a 懸 obtemos 憲 噺 完 月岫懸岻穴懸 髪 閤岫権岻 onde 閤岫権岻

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

ISCED-HUILA/2012 30

É uma função arbitraria de 権┻ como a integral é uma função de 懸┸ digamos 剛岫懸岻, a solução possui a forma: 憲 噺 剛岫懸岻 髪 閤岫権岻 em vista de (2) ele toma a forma: 憲岫捲┸ 建岻 噺 剛岫捲 髪 欠建岻 髪 閤岫捲 伐 欠建岻 (4) esta é conhecida como a Solução de D´Alembert das ondas (1). As funções 剛 結 閤 podem ser determinadas a partir das condições iniciais. Vamos ilustrar este facto no caso da velocidade inicial nula e de deflexão inicial dada 憲岫捲┸ ど岻 噺 血岫捲岻┻ Derivando (4) obtemos: 擢通擢痛 噺 欠剛 ┸岫捲 髪 欠建岻 伐 欠閤┸岫捲 伐 欠建岻 (5) Onde representam derivadas em

relação aos argumentos totais 捲 髪 欠建 結 捲 伐 欠建, respectivamente. De (4), (5) e das condições iniciais decorre que 憲岫捲┸ ど岻 噺 剛岫捲岻 髪 閤岫捲岻 噺 血岫捲岻 憲痛岫捲┸ ど岻 噺 欠剛┸岫捲岻 伐 欠閤 ┸岫捲岻 噺 ど da última equação, 閤┸ 噺 剛┸ . Assim 閤 噺 剛 髪 倦, e daí e da primaira equação, に剛 髪 倦 噺 血, ou 剛 噺 捗貸賃態 . Com as

estas duas funções 剛 結 閤 a solução (4) se torna: 憲岫捲┸ 建岻 噺 怠態 岷血岫捲 髪 欠建岻 髪 血岫捲 伐 欠建岻峅 (7) Os resultados mostram que as duas

condições iniciais e as condições no contorno determinam a solução de maneira única.

3.2.1.1. Solução de d´Alembert que satisfaça as condições iniciais Dadas as condições

)()0,(

)()0,(

xgx

xfxu

ut

A partir da solução 4 憲岫捲┸ ど岻 噺 剛岫捲岻 髪 閤岫捲岻 噺 血岫捲岻 8 擢通擢痛 噺 欠剛 ┸岫捲岻 伐 欠閤┸岫捲岻 噺 訣岫捲岻 9 , dividindo por a e integrando com

respeito a x esta expressão obtemos:

x

x

kdssga

kxx xxxx0

)()()(,)(1

)()()(0000

10

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

ISCED-HUILA/2012 31

Somando termo a termo a expressão (8) com a expressão (10) vem: 剛岫捲岻 髪 閤岫捲岻 噺 血岫捲岻

x

x

kdssga

kxx xxxx0

)()()(,)(1

)()()(0000

,

Vemos se cancela e ao dividir por 2 se obtem

11)(2

1)(

2

1)(

2

1)(

0

0 x

x

kdssga

xfx x

, de maneira similar trabalhando com as mesmas expressões 108 e

, mas desta vez eliminando )(x , se obtem

12)(2

1)(

2

1)(

2

1)(

0

0 x

x

kdssga

xfx x

Em (11) se substitui atxporx ; se obtem assim uma integral de

atxax 0

. Em (12) se substitui atxporx ; se obtem assim uma

integral de atxax 0

. Ao somar as expressões resultantes ,obtemos a

expressão seguinte:

a tx

a tx

dssga

atxfatxftxu 13)(2

1)()(

2

1),(

Exercício resolvido.

Empregar a solução de d´Alembert para o problema inicial sujeita as condições iniciais dada: a) 1)(,)( xgsenxxf

Solução :

a tx

a tx

dsa

atxsenatxsentxu2

1

2

1),(

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

ISCED-HUILA/2012 32

tatsenxa

xsenatatsenxxsenatatsenxtxu satx

a tx

cos

2

1coscoscoscos

2

1),( , que é

uma solução da equação da onda.

Exercícios propostos. 1. Usando a fórmula de d´Alembert , resolver os seguintes exercícios :

a) xxsenxxu uuau txxttcos)0,(,)0,(

2

b) xsenxgxf 2)(,0)(

3.2.2. Solução da equação da onda pelo método de Fourier Para resolver a equação pelo método de Fourier , inicialmente ,usamos o método de separação de variáveis para obter uma solução da forma

)()(),( tTxXtxu que satisfaça a equação das ondas e as condições de

fronteira. Isso feito , usamos essas funções para compor uma função que satisfaça , também , às condições iniciais. O passo seguinte do método de Fourier é a determinação das constantes

ba nne , de modo que a solução ),( txu do PVIF seja dada por

1

cos),(n

nnt

L

ansen

L

xnsent

L

an

L

xnsentxu ba

.

Exemplo: a alínea a) e b) do subtema, condições com valores de contorno do problema presente neste

trabalho.

Exercícios propostos. 1. Resolver a equação da onda pelo método de Fourier de modo que satisfaça as

condições citadas:

a) L

xsenxuxtLutou ut

)0,(,0)0,(),(),(

b) xsenxuxtutu ut5)0,(,0)0,(),(),0(

c) xsenxxututou ut9)0,(,0)0,(),(),(

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

ISCED-HUILA/2012 33

CONCLUSÃO

Do anterior exposto, pensamos ser necessário um estudo profundo dos assuntos ora abordados dada a complexidade do mesmo com mais calma e com bastante desejo em aprender, porque ao confeccionar o mesmo conhecemos as nossas limitações e conseguimos superá-las após colocar em evidência as condições prévias de que procuramos nos munir, como o estudo das EDO e dos assuntos expostos conforme a introdução.

Da cogitação feita, tivemos como resultado a feitura do presente trabalho, o que nos permite dizer que precisamos estudar, estudar, estudar cada vez mais porque falar de Equações Diferenciais Parciais de tipo Hiperbólico é falar de muito mais.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

ISCED-HUILA/2012 34

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

BOYCE, William E., DIPRIMA, Richard C., Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, John Wiley and sons ,Inc., (2001), 7th ed, USA.

BRONSON, Richard, COSTA, Gabriel, Equações Diferenciais , Coleção Schaum, McGraw-Hill do Brasil, (2006), 3ªed, São Paulo.

FARLOW, Stanley J. , Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Dover Publications Inc., (1993), New York, USA.

FIGUEIREDO, Djairo Guedes, Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, coleção Euclides, IMPA/CNPq, (1986), Rio de Janeiro , Brasil.

KAPLAN, wilfred, Cálculo Avançado , vol 1 e 2, Edgard Blucher Editora e EDUSP, (1972), São Paulo , Brasil.

KREYSZIG, Erwin., Matemáticas Avanzadas Para Ingeniería vol 2, Limusa Wiley, (2003),

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SOLDRÉ ,Ulysses, Equações Diferenciais Parciais, 2003.

SPIEGEL, Murray R. , Equaciones Diferenciales Aplicadas, Prentice-Hall Hispanoamericana, S. A, (1983), México.

ZILL, Dennis G., Equaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado,International Thomson Editores, (1997) ,6ª ed, México.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO

ISCED-HUILA/2012 35

INTEGRANTES DO GRUPO

1. Elias Dumildes Sacusseia 2. Evaristo José das Mangas 3. Faustino Mande Tchimuku Luhaco 4. João Quintas da Silva 5. João Tchilanda Domingos 6. Paulo Macala Cassiano Manuel