Escoamento em leitos porososEscoamento em leitos porosos
• Equação de Ergun
• Lei de Darcy • Porosidade, Diâmetro equivalente
• Leitos fixos e fluidizados
• Equação de Blake-Kozeny• Equação de Burke-Plummer
TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS ITA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I
Aula 20: 01/06/2012
1
1. Lei de Darcy1. Lei de Darcy
Henry Darcy em 1856 demonstrou que a velocidade média (v) de um fluido newtoniano quando escoa em regime laminar dentro de um leito poroso é proporcional ao gradiente de pressão e inversamente proporcional à distância percorrida.
L
PKv leitof
)(
v = velocidade média do fluido no leito poroso
K = constante que depende das propriedades do fluído e do leito poroso
(-P) = queda de pressão através do leito
L = percurso realizado no leito poroso 2
3
L
PBv
fleitof
)(
A equação de Darcy também pode ser escrita da seguinte maneira:
B = coeficiente de permeabilidade, que depende apenas das propriedades físicas do leito poroso
μf = viscosidade do fluído.
2. Equação de Poiseuille2. Equação de PoiseuilleExplica o escoamento em regime laminar de um fluido newtoniano dentro de um tubo.
2
32
D
v
L
P
L
PDv
)(
32
2 Colocando a equação em termos da
velocidade média do fluido no tubo:
Onde:∆p é a o gradiente de pressão (N/m2)v é a velocidade do fluido no tubo (m/s) D é o diâmetro do tubo (m)L é o comprimento do tubo (m)µ é a viscosidade do fluido (Pa.s)
4
L
PBv
tortuosocanal
)(
Comparando as equações:
L
PDv tubono
)(
32
2
22
D32
DB k
Considerando o “canal tortuoso” como um tubo, relaciona-se as duas equações e obtém-se uma expressão para “B” :
Darcy modificadaPoiseuille
k = f(, Dp, Φp, etc.) Logo, é necessário uma equação “mais robusta”. 5
Quais são as variáveis que atuam no escoamento de um fluido newtoniano em um leito de partículas sólidas rígidas?
Precisamos de uma equação para descrever como varia a velocidade do fluido com a pressão aplicada, a distância percorrida (altura do leito), a viscosidade e a densidade do fluido, o diâmetro das partículas e sua esfericidade, a porosidade do leito.
3. Dedução de um modelo para descrever a passagem de um fluido em um leito particulado
6
Primeiro para leitos fixos e depois em leitos móveis(ou fluidizados)
),,,,,)(
( pptortuosocanal D
L
Pfv
Considerações para as equações que serão desenvolvidas a seguir:
• Fluido Newtoniano
• As partículas se distribuem de forma homogênea, o que permite a formação de canais de escoamento contínuos, uniformes e em paralelo
• Um leito de percurso curto (L pequeno)
7
v0
3.1. Porosidade
Lembrando que em um leito poroso existem espaços vazios (zonas sem partículas).
leitodototalVolume
vazioVolumeε
A porosidade () é definida comoa razão entre o volume do leito que não está ocupado com material sólido e o volume total do leito.
8
v0
No caso do fluxo através do leito de partículas:
Vazio Sólido
Fração
Volume
Massa
ε ε)(1
sb )ρ(SLε)(1
9
)(SLε)(1 b
fb )ρ(SLε
)(SLε b
leitodototalVolume
vazioVolume
s = densidade da partícula sólida
f = densidade do fluido
Vm
v0
Equação pra correlacionar a porosidade com as densidades do leito, das partículas e do fluido:
btotal SLV
total
total
V
mleito
fs )1(leito
fbsb )(SLε)(SLε)1(m total
)(leito sfs sf
s
leito
massa total = massa de sólidos + massa de fluido
Substituindo os termos, tem-se:
(densidade aparente)
[1]
10
3.2. Volumes no leito
leitodototalvolumebSL
sólidasparticulaspelasocupadovolume bSL)1(
vazios) de (volume fluxoo paradisponívelvolumebSL
Volume total do
leito
Leito particulado
Conjunto de partículas
Volume = soma dos volumes unitários
Volume total de vazios
Volume total de sólidos
11
v0
A vazão mássica do fluido fora do leito é igual a vazão dentro do leito:
SvSv
mm
leitoff
leitofforaf
leitofora
0
Balanço de massa
3.3. Relação entre “velocidade superficial” (fora do leito) do fluido e velocidade média do fluido no leito
0vvleito 5,0
1Quando o leito não tem partículas:
02 vvleito Se a porosidade for 50%:
[2]Área de vazios
12
leitovv 0
v0
3.4. Diâmetro equivalenteComo não se trata do escoamento em uma tubulação cilíndrica (pois tem-se um canal tortuoso), devemos usar o conceito de diâmetro equivalente e de raio hidráulico, cuja definição é:
molhadoperimetro
fluxodeltransversaárea44 Heq RD
sólidas partículas as e fluido o entre atritodeárea
fluido do fluxooparadisponívelvolume4eqD
Multiplicando por (Lb/Lb) tem-se:
13
A área de atrito entre o fluido e as partículas sólida corresponde a área externa das partículas sólidas.
sb
beq aSL
SLD
14
sólidapartícula uma de volume
sólidapartícula uma deexterna área
partículas den
partículas deno
o
sa
s
eq aD
14
sólidas partículas as e fluido o entre atritodeárea
fluido do fluxooparadisponívelvolume4eqD
sólidasparticulaspelasocupadovolume bSL)1( vazios) de (volume fluxoparadisponívelvolumebSL
Sabemos que:
Se as é a área superficial por unidade de volume sólido:
Substituindo essas relações no “Deq” acima tem-se:
14
Área de atrito = volume ocupado pelas partículas sólidas x as
pp
ps DD
Da
6
63
2
Para partículas esféricas tem-se:
peq DD
16
4
s
eq aD
14
[3]
sólidodo volume
sólidodolsuperficia áreasa
15
v0
3.5. Leito particulado fixo
f
fleitocanaleqF vD
f
.
16
Re
16
^22
22
21
11
2
ˆ
2 g
E
g
vz
g
P
g
W
g
vz
g
P f
ff
2
.
^
2 leitocanaleq
Ff
f
vD
LfE
P
A perda de pressão no leito particuladoé obtida com o Balanço de Energia:
fcanaleq
fleito
f D
LvP
2.
32
Substituindo fF para fluido Newtoniano em regime laminar tem-se:
[5]
[4]
16
Substituindo [3] e [6] em [2], obtém-se:
L
PDv
fcanaleqleito
)(
32
1 2.
peq DD
16
4
L
PDv
f
p
)(
)1(72 2
32
0
3
2
2
172
p
of
D
LvP
fcanaleq
fleito
f D
LvP
2.
32
[6]
leitovv 0 [2] [3]
ou
[7]
[8]
Equações [7] e [8] válidas para partículas partículas
esféricas, fluido esféricas, fluido Newtoniano em Newtoniano em regime laminarregime laminar.
17
Regimes de escoamento
f
canaleqleitoff Dv
...
Re Número de Reynolds
Definição do regime do fluxo de fluido:Definição do regime do fluxo de fluido: Laminar quando Re < 10Laminar quando Re < 10
Turbulento quando Re > 100Turbulento quando Re > 100
f
fpvDRe
)1(6
4 0
Substituindo Deq [3] e vleito [2] em Re tem-se:
[9]
18
peq DD
16
4 leitovv 0
Os dados experimentais revelam que o valor da constante (72) em [8] geralmente é maior, como mostra a equação abaixo:
3
2
20 1150
pD
LvP
Equação de Blake-Kozeny; válida para <0,5 e Re<10
3
2
2
172
p
o
D
LvPDe [8]
3.5.1. Regime Laminar
19
2kfF
Re
k1Ff
Fat
or d
e F
anni
ng
Re
Laminar
Turbulento
20
Para o regime turbulento pode propor-se:
3
20 13
p
f
D
LvkP
Equação de Burke-Plummer (k=0,583)
3
20 175,1
p
f
D
LvP
kfF 3.5.2. Regime Turbulento
Agora, substituindo [2] e [3] em [4] tem-se:
peq DD
16
4
leitovv 0 [2][4]
2
.
^
2 leitocanaleq
Ff
f
vD
LfE
P
[3]
[10]
21
Somando os dois regimes (laminar de Blake-Kozeny e turbulento de
Burke-Plummer ), tem-se a equação geral de a equação geral de ErgunErgun que descreve a queda de pressão de um fluido deslocando-se em um leito poroso fixo:
Rearranjando tem-se:
75,1150
1
3
20
ReL
D
v
P p
f
3
20
3
2
2
0 175,11150
p
f
p
f
D
Lv
D
LvP [11]
[12]
22
3.6. Partículas não esféricas
A equação de Ergun [11] inclui a esfericidade quando as partículas não são esféricas. Para isso, o diâmetro da partícula é multiplicado pela esfericidade (phi):
3
20
3
2
22
0 175,11150
pp
f
pp
f
D
Lv
D
LvP [13]
23
4. Resposta ao fluxo superficial (velocidade v0 do fluido)
O fluido não possui uma força de arraste suficiente para se sobrepor a força
da gravidade e fazer com que as partículas se movimentem: Leito fixo.
Se o fluido tem alta força cinética, as forças de arraste e empuxo superam
a da gravidade e o leito se expande e se movimenta: Leito fluidizado.
Baixa velocidade
Alta Velocidade
P e o aumento da velocidade superficial v0
Enquanto se estabelece a fluidização o P cresce, depois se mantém constante.
Comprimento do leito quando aumenta v0
A altura (L) é constante até que se atinge o estado de fluidização depois começa a crescer. 24
5. FluidizaçãoA fluidização ocorre quando um fluxo ascendente de fluido escoa através de um leito de partículas e adquire velocidade suficiente para manter as partículas em suspensão, sem que sejam sem que sejam arrastadas junto com o arrastadas junto com o fluido.fluido. Sem fluxo Com fluxo
L1
L2
1
2
25
http://www.youtube.com/watch?v=e5u9oW-PSy0&feature=related
http://www.youtube.com/watch?feature=fvwp&NR=1&v=3_ILu2Ye8gQ
A fluidização é empregada
em:
• Secagem• Mistura • Revestimento de
partículas • Aglomeração de pós • Aquecimento e
resfriamento de sólidos• Congelamento• Torrefação de café• Pirólise
Alta mistura dos sólidos (homogeneização rápida) A área superficial das partículas sólidas fica
completamente disponível para transferência de calor e de massa
Vantagens da Fluidização:
26
OA: Aumento da velocidade e da queda de pressão do fluído; AB: O leito está iniciando a fluidização; BC: Com o aumento da velocidade, há uma queda leve da pressão
devido à mudança repentina da porosidade do leito;CD: O log(-∆P) varia linearmente com log(v) até o ponto D. D∞: Após o ponto D, as partículas começam a ser carregadas pelo
fluído e perde-se a funcionalidade do sistema.
vmf = velocidade mínima de fluidização
va = velocidade de arraste
Leito fluidizado
Transporte pneumático
5.1. Etapas da fluidização
27
Leito fixo
Exemplo da aplicação de fluidização em resfriamento de sólidos
Entrada de sólidos quentes
Entrada de ar
Entrada de ar
Leito fluidizado
Água fria
Saída de ar
Saída de sólidos frios distribuidor
28http://www.youtube.com/watch?v=CGXr_GKhksE&feature=related
Água quente
5.2. Tipos de fluidização
(A) Fluidização particulada:
Ocorre quando a densidade das partículas é parecida com a do fluido e o diâmetro das partículas é pequeno.
Video sobre fluidização particulada:
http://www.youtube.com/watch?v=waohqAsKCxU&feature=related29
(B) Fluidização agregativa:
Ocorre quando as densidades das partículas e do fluído são muito diferentes ou quando o diâmetro das partículas é grande.
http://www.youtube.com/watch?v=NXJhjhQFBNk&NR=1
Video sobre fluidização agregativa:
30http://www.youtube.com/watch?v=8n78CDI3GoU&feature=related
Quando inicia-se a fluidização, há um aumento da porosidade e da altura do leito. Essa relação é dada pela seguinte expressão:
Sem fluxo Com fluxo
L1
L2
1
2
)1()1( 2211 LSLS
5.3. Altura do leito poroso
volume de sólidos no leito fixo
volume de sólidos no leito
fluidizado
S S
[14]
31
)1(
)1(
2
1
1
2
L
L
5.4. Velocidade mínima de fluidização
Fg
Fp
O leito somente fluidizará a partir de um certo valor de velocidade do fluido ascendente. Essa velocidade é definida como a velocidade mínima de fluidização (vmf).
Quando atinge-se vmf , a força da
pressão (Fp) e a de empuxo (Fe) se igualam a força do peso das partículas do leito (Fg).
Logo, Fp + Fe = Fg
Fe
http://www.youtube.com/watch?v=nGovDPNvSDI&feature=related32
Fg
Fp
gSLgmFg psólidos )1(
SPFp .Sabe-se que
Fazendo tem-se:
gL
Pfp )1)((
[15]
gSLgmFe fdeslocadofluido )1(
L
Fe
Fp + Fe = Fg
33
5.4.1. vmf para regime laminar
Para esse regime, a parte final da equação de Ergun [13] é insignificante em relação à primeira, logo temos:
232
.)1(
)(
150
1Dpgv
f
fp
mf
mfpmf
2030232
2 )1(75,1
)1(150 v
Dpv
DpL
P
p
f
p
f
Rearranjando com a equação [15] tem-se:
[16]
34
Para esse regime, a parte inicial da equação de Ergun [13] é insignificante em relação à segunda, logo temos:
2/1
3)(756,0
Dpgv mfp
f
fpmf
5.4.2. vmf para regime turbulento
[17]
2030232
2 )1(75,1
)1(150 v
Dpv
DpL
P
p
f
p
f
Rearranjando com a equação [15] tem-se:
35
Para determiná-la, usam-se as seguintes relações:
mfleito
sólidaspartículasdetotalmfleito
mfleito
mfvaziosmf V
VV
V
V
14
1. 3 mfp
Experimentalmente:
5.5. Porosidade mínima de fluidização
36
Exercícios de
Fluidização
37
Ex. 1: Um leito fluidizado possui 80 kg de partículas de diâmetro 60 µm ( = 0,8) e densidade 2500 kg/m3. O diâmetro do leito é 40 cm e a altura mínima de fluidização é 50 cm. O fluido ascendente é ar ( = 0,62 kg/m3), que flui em regime turbulento no leito. Calcule:
(a) A porosidade mínima de fluidização.(b) A perda de carga na altura mínima de fluidização.(c) A velocidade mínima de fluidização
(a) Volume de sólidos = 80kg / 2500 kg/m3 = 0,032 m3. Para uma porosidade de 0 (1= zero), a altura do leito considerando apenas sólidos seria de: L1=Volume/Área=0,032m3/0,1256m2=0,2548 mUsando [14] tem-se:
)1(5,0)01(2548,0)1()1( 22211 mmLSLS
No início da fluidização, o leito possui 49% de seu volume ocupado com ar e os 51% restantes com partículas sólidas
49,02
mfleito
sólidaspartículasdetotalmfleito
mfleito
mfvaziosmf V
VV
V
V
Também poderia ser resolvido por:
38
(b) gL
Pmffp
mf
)1)((
De [15] tem-se:
PaP 62468,9)49,01)(62,02550(50,0 Na altura mínima de fluidização, a perda de carga no leito poroso será de 6,3kPa
(c) De [13] tem-se:
smvmf /_______
Quando o fluido atingir Vmf se iniciará a fluidização do leito.
39
3
2
3
2
22
175,11150
mfpp
mfmff
mfpp
mfmff
D
Lv
D
LvP
40
ff
pD
mfv
175,00 mfvv
f
fpvDRe
)1(6
4 0
?Re Tipo de escoamento Consistência?
Exercício 2: Velocidade mínima de fluidizaçãoPartículas sólidas possuindo diâmetro de 0,12mm, esfericidade de 0,88 e densidade de 1000kg/m3 irão ser fluidizadas com ar a 2 atm e 25ºC (=1,84.10-5 Pa.s; =2,37kg/m3). A porosidade mínima de fluidização é 0,42. Com essas informações encontre:(a)A altura mínima de fluidização considerando a seção transversal do leito vazio de 0,30m2 e que o leito contém 300kg de sólidos.(b)Encontre a queda de pressão nas condições de fluidização mínima.(c)Encontre a velocidade mínima de fluidização
(a) Volume de sólidos = 300kg / 1000 kg/m3 = 0,3 m3
Para uma porosidade de 0 (1= zero), a altura do leito considerando apenas sólidos seria de: L1=0,3m3/0,3m2=1mUsando [14] tem-se:
mm
LLSLS 72,1)42,01(
)01(1)1()1( 22211
No início da
fluidização, o leito terá 1,72m
41
(b)g
L
Pmffp
mf
)1)((
De [15] tem-se:
PaP 97538,9)42,01)(37,21000(72,1
(c)
Na altura mínima de fluidização, a perda de carga no leito será 9,7kPa
De [15](condições de mínima fluidização) em [13] (Ergun) tem-se:
3
2
3
2
22
175,111509753
mf
mf
pp
mfmff
mf
mf
pp
mfmff
D
Lv
D
LvPa
3
2
3
2
22
5
42,0
42,01
)00012,0(88,0
)72,1()37,2(75,1
42,0
42,01
)00012,0()88,0(
)72,1()10.84,1(1509753
mfmf vv
Pa
Resolvendo tem-se: vmf = 0,00504 m/s
Quando o fluido atingir 0,00504 m/s, a fluidização do leito será iniciada. 42
Exercício 3: Velocidade mínima de fluidização e expansão do leitoPartículas sólidas possuindo diâmetro de 0,10mm, esfericidade de 0,86 e densidade de 1200kg/m3 irão ser fluidizadas com ar a 2atm e 25ºC (=1,84.10-5 Pa.s; =2,37kg/m3). A porosidade mínima de fluidização é 0,43. O diâmetro do leito é de 0,60m e contém 350kg de sólidos. Com essas informações encontre:(a)A altura mínima de fluidização.(b)Encontre a queda de pressão nas condições de fluidização mínima.(c)Encontre a velocidade mínima de fluidização.(d)Utilizando 4 vezes a velocidade mínima, estime a porosidade do leito.
Itens (a), (b) e (c) são resolvidos da mesma maneira que o exercício anterior. Respostas: (a) 1,81m; (b) 12120Pa; (c) 0,004374m/s. 43
(d) De [15] em [13] (Ergun) tem-se:
3
2
3
2
22
175,11150)1)((
pp
f
pp
ffp D
v
D
vg
3
2
3
2
22
5 1
)0001,0(86,0
)004374,0*4)(37,2(75,11
)0001,0()86,0(
)004374,0*4)(10.84,1(150)1)(37,21200(
g
Resolvendo tem-se: = 0,605
Quando o fluido atingir quatro vezes a velocidade mínima de fluidização, a porosidade do leito será de 0,605, ou seja, 60,5% do volume do leito ocupado com fluido e 39,5% do volume do leito ocupado com as partículas sólidas.
44
Exercício 4: Fluidização em um filtro de areiaPara limpar um filtro de areia, ele é fluidizado à condições mínimas utilizando água a 24ºC. As partículas arredondadas de areia possuem densidade de 2550 kg/m3 e um tamanho médio de 0,40mm. A areai possui as seguintes propriedades: esfericidade de 0,86 e porosidade mínima de fluidização de 0,42.(a)O diâmetro do leito é 0,40m e a altura desejada do leito para as condições mínimas de fluidização é 1,75m. Calcule a quantidade de sólidos necessários (massa de areia).(b)Encontre a queda de pressão nessas condições, e a velocidade mínima de fluidização.(c)Utilizando 4 vezes a velocidade mínima de fluidização, estime a porosidade e altura do leito expandido.
(a) 325,08kg
(b) 15418Pa; 0,00096 m/s
(b) = 0,536; 2,16m
Respostas:
45