INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA
CAPÍTULO III
Esforços Elementares em Peças Lineares
SEMESTRE VERÃO 2004/2005
Manuela Gonçalves Maria Idália Gomes 1/13
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Capitulo III – Esforços Elementares em Peças Lineares
3.1 Definição dos esforços elementares
Uma estrutura sujeita a um sistema de cargas mantém-se em equilíbrio devido à correcta
distribuição dos apoios.
As forças reactivas dependem das forças activas e todas em conjunto determinam as forças de
ligação entre as diversas partículas que constituem a estrutura.
O corpo representado na figura está em equilíbrio submetido a um conjunto de forças, activas e
reactivas.
Figura 1
S
A B
P
G
Considerando uma qualquer secção S que separa o corpo em duas partes A e B, as acções
moleculares exercidas pela parte A sobre a parte B equilibram as forças externas que actuam na
parte B.
Fazendo-se a redução deste sistema de forças interiores ao centro de gravidade G da secção S
por intermédio das forças externas que actuam na parte B obtém-se R e RM .
Figura 2 Ry Mt
Rz
B
My
Mz
Rx
z
y
x
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Apenas com sentidos opostos obtinha-se a redução do sistema de forças interiores sobre a outra
parte. Assim, a força R que actua na parte esquerda é a resultante das forças exteriores que
fcam à direita e reciprocamente. O momento M que actua na parte esquerda é o momento
resultante das forças exteriores que ficam à direita, e reciprocamente.
O conjunto de forças estaticamente equivalente à acção de uma parte do corpo sobre a outra,
através da secção qua as separa, é o esforço na secção.
Decompondo as resultantes R e –R e os momentos MR e –MR em componentes normais e
tangenciais ao plano da secção considerada, obtêm-se os esforços elementares ou também
designados por esforços simples.
x y z y zR R i R j R k R Ni V j V k= + + ⇔ = + +
sendo:
N ⇒ Esforço normal ou axial
Vy ⇒ Esforço transverso segundo y
Vz ⇒ Esforço transverso segundo z
e x y z t y zM M i M j M k M M i M j M k= + + ⇔ = + +
sendo:
Mt ⇒ Momento torsor ou momento de torsão
My ⇒ Momento flector segundo y
Mz ⇒ Momento flector segundo z
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Quando as estruturas admitem um plano de simetria e as forças estão todas nesse plano a
análise dos esforços elementares ou simples é feita nesse plano (Figura 3 e 4).
Figura 3
Figura 4 Se o plano de simetria for o plano xy obtém-se:
zR Ni Vj e M M k= + = Na figura 5 estão indicados os esforços elementares convencionais para positivos.
Figura 5
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3.1.1 Esforço Normal (N)
A componente N é designada por esforço normal ou esforço axial e o seu efeito é de
aproximar, esforço de compressão, ou afastar, esforço de tracção, secções imediatamente
próximas.
Compressão
Ocorre quando há duas forças, na mesma
direcção, empurrando em sentidos opostos.
Exemplo: pisar uma bola
Tracção
Ocorre quando há duas forças, na mesma
direcção, e estas estão em sentidos opostos.
Exemplo: O jogo da corda
Sinal ( - )
Esforço normal é a soma algébrica das projecções sobre a
situadas de um mesmo lado da secção.
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Sinal ( + )
normal à secção das forças exteriores
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3.1.2 Esforço Transverso ou Cortante (V)
A componente V é designada por esforço transverso e tende a fazer com que a secção deslize
sobre a secção imediatamente a seguir.
Corte
Ocorre quando há o deslizamento entre secções
paralelas devido à forças paralelas.
Exemplo:
acontece quando uma tesoura corta um pedaço de papel
Sinal ( - )
Sinal ( + )
Esforço transverso é a soma algébrica das projecções sobre o plano da secção das forças
exteriores situadas de um mesmo lado da secção.
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3.1.3 Momento Flector (M)
A componente M é designada por momento flector e tende a fazer com que a secção gire em
torno de um eixo localizado no seu próprio plano.
Flexão
Ocorre quando há carregamento transversal
entre os apoios
Exemplo:
acontece quando algumas pessoas se põe no meio de um banco (antes deste quebrar)
Sinal ( + )
Sinal ( - )
Momento flector é a soma vectorial das projecções
forças, situadas de um mesmo lado da secção, em r
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sobre o plano da secção dos momentos das
elação ao seu centro de gravidade.
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3.1.4 Momento Torsor (T)
A componente T é designada por momento torsor ou momento de torsão e o seu efeito é o de
torcer a secção em torno da normal.
Torção
Ocorre quando há rotação das extremidades
em direcções opostas.
Exemplo: acontece quando se torce a roupa molhada para deixá-la mais enxuta
Momento torsor é a soma algébrica dos momentos, em relação a um eixo perpendicular ao
plano da secção e passando pelo seu centro de gravidade, das forças exteriores situadas de um
mesmo lado da secção.
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3.2 Diagramas de Esforços Elementares
Podem-se conhecer os valores dos esforços elementares em qualquer secção de uma peça
linear, pela via analítica – leis dos esforços elementares – ou pela via gráfica – diagrama dos
esforços elementares.
Para tal, adoptam-se para eixos de referência o eixo da peça (x) e o que lhe é perpendicular (y),
sendo xy o plano das cargas. Define-se a posição da secção genérica pela sua abcissa x e
exprime-se cada esforço elementar em função dessa abcissa.
3.2.1 Regras básicas para o traçado dos diagramas de esforços elementares
O diagrama dos momentos flectores é sempre representado do lado das fibras traccionadas,
pelo que, de acordo com a convenção de sinais adoptada, os valores positivos ficam marcados
do lado de baixo do eixo da peça e os negativos do lado de cima desse mesmo eixo.
Os restantes esforços elementares são marcados do lado de acima do eixo os valores positivos e
do lado abaixo do eixo da peça os valores negativos.
Para se fazer o traçado dos diagramas é conveniente conhecer as relações que existem entre a
carga, esforço transverso e momento flector.
Vamos supor que uma carga distribuída de ordenada p actua uma dada secção S sujeita ao
esforço transverso V e ao momento flector M, ambos positivos.
p
V + dV M + dM
S dx
VM
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Para a secção infinitamente próxima verifica-se uma variação infinitésimal daqueles esforços
de
dV q dx e dM Vdx= − =
A partir da equação diferencial dVpdx
− = pode concluir-se:
- a ordenada de carga p numa secção, mede a tangente à curva que define o
diagrama dos esforços transversos , V. Se na vizinhança de uma secção p=0, a tangente
à curva dos V nessa secção é zero, isto é, é horizontal;
- entre as secções A e B não existem cargas concentradas aplicadas e a lei das cargas
distribuídas (equação da curva que limita o diagrama de cargas ) é p(x), então, se entre as
secções A e B:
p(x) > 0, o esforço transverso decresce;
p(x) < 0, o esforço transverso cresce;
p(x) = 0, o esforço transverso é constante;
- e porque se
caminha no eixo x de A para B no sentido positivo do eixo a variação do esforço
transverso entre as secções A e B igual à área do diagrama das cargas entre essas secções.
( ) ( ) ( )VB xB xB
B AVA xA xA
dV p x dx dV p x dx V V p x dx= − ⇒ = − ⇒ − = −∫ ∫ ∫
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A partir da equação diferencial dMdx
=V pode concluir-se:
- o valor do esforço transverso V, numa secção, é igual à tangente à curva que
limita o diagrama de momentos flectores, M. Se na vizinhança de uma secção V=0, então
nessa secção a tangente à curva dos M é nula, e M será máximo ou mínimo;
- entre as secções A e B não existem cargas concentradas nem momentos aplicados e
a equação que limita o diagrama dos esforços transversos é V(x), então, se entre as
secções A e B:
V(x) > 0, o momento flector cresce;
V(x) < 0, o momento flector decresce;
V(x) = 0, o momento flector é constante;
- , porque se caminha
no eixo x de A para no sentido positivo do eixo. A variação do momento flector entre as
secções A e B igual à área do diagrama dos esforços transversos entre as secções.
( ) ( ) M ( )MB xB xB
B AMA xA xA
dM V x dx dM V x dx M V x dx= ⇒ = ⇒ − =∫ ∫ ∫
Porque se verifica 2
2
( )d M xpdx
= − , pode concluir-se:
- para cargas positivas, p(x) > 0, a curva que limita o diagrama dos M é côncava (∪)
p(x) > 0 p
x
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e para cargas negativas, p(x) < 0, a curva que limita o diagrama dos M é convexa (∩).
p
x
p(x) < 0
As cargas distribuídas, os esforços transversos e os momentos flectores variam ao
longo do eixo x da peça sendo definidos por equações polinomiais. Se:
o grau de p(x) é n então
o grau de V(x) é n + 1 e
o grau de M(x) é n + 2.
Resumo das convenções de sinais
Convenção (+) Convenção (-)
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Exercício de Aplicação
Enunciado
a) Trace os diagramas de esforços, assinalando os pontos notáveis, graus das curvas e cálculos
b) escreva as leis de variação dos esforços no troço EF
c) faça o “diagrama de corpo livre” no troço BC.
Exercício de Aplicação
Enunciado Figura
Para a estrutura, com:
p = 25 kN/m e
q = 60 kN/m:
a) trace os diagramas dos esforços, assinalando os pontos notáveis, graus das curvas e cálculos
b) escreva as leis de variação daqueles esforços na barra ACE
c) faça o diagrama de Corpo Livre da barra DE.
3,0
m4,
0 m
D
C
E
A
45 kN.mF G
p B
40 kN