EST 15 - ESTRUTURAS AEROESPACIAIS
ESTABILIDADE DE PLACAS
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Placas RetangularesPlacas Retangulares
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Placas – CaracterísticasPlacas – Características
Colunas: Flexão pode ser considerada num único plano M, w, etc – Funções de uma única variável (x) Equações diferenciais ordinárias Carga de flambagem é a carga de falha
Placas: Flexão em dois planos M, w, etc – Funções de duas variáveis (x, y) Equações diferenciais parciais Carga de Flambagem não é a carga de falha
É necessário analisar o comportamento de placas após a flambagem para a determinação da carga de falha
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Teorias de PlacasTeorias de Placas
Placas Espessas: se a espessura é considerável, deformações de cisalhamento são da mesma ordem de grandeza das deformações de flexão devendo, portanto, ser consideradas na análise.
Placas Finas: quando a espessura é pequena se comparada às outras dimensões, as deformações de cisalhamento podem ser desprezadas na análise.
Membranas: quando a placa é muito fina, a rigidez em flexão tende a zero e cargas transversais têm de ser resistida quase que exclusivamente pela ação de membrana.
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Placas Finas - Teoria de Pequenas DeflexõesPlacas Finas - Teoria de Pequenas Deflexões
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Teoria de Placas Finas - HipótesesTeoria de Placas Finas - Hipóteses 1. As deformações de cisalhamento xz e yz são desprezíveis, a linhas
normais à superfície média antes da flexão permanecem retas e normais à superfície média durante a flexão.
2. A tensão normal z e a deformação correspondente z são
desprezíveis e, portanto, a deflexão transversal de qualquer ponto (x, y, z) é igual à deflexão transversal do ponto correspondente (x, y, 0) na superfície média.
3. As deflexões transversais da placa são pequenas quando comparadas à espessura. Em consequência, a extensibilidade da superfície média pode ser desprezada; isto é, a ação de membrana resultante da flexão é desprezível quando comparada com a ação da flexão propriamente dita.
4. O material da placa é homogêneo, isotrópico e segue a lei de Hooke.
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Forças no Plano de um Elemento de PlacaForças no Plano de um Elemento de Placa
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Momentos e Forças TransversaisMomentos e Forças Transversais
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Equilíbrio de um Elemento de PlacaEquilíbrio de um Elemento de Placa
022
2
2
2
2
yxw
Nyw
Nxw
Ny
Q
x
Qxyyx
yx
0
yxyy Qx
M
y
M0
xxyx Qy
M
x
M
0222
2
2
2
2
2
22
2
2
yxw
Nyw
Nxw
Ny
M
yx
M
x
Mxyyx
yxyx
Uma equação e 4 incógnitas
Mx, My, Mxy e w
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Relações entre Momentos e DeslocamentosRelações entre Momentos e Deslocamentos
2
2
t
t
xx zdzM
2
2
t
t
yy zdzM
2
2
t
t
yxxy zdzM
yxx
E
21 xyy
E
21 xyxy
E
12
2
2
xw
zx
2
2
yw
zy
yxw
zxy
2
2
2
2
2
2
yw
xw
DM x
2
2
2
2
xw
yw
DM y yxw
DM xy
2
1
2
3
112 Et
D
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Equação de Equilíbrio para o Estudo da EstabilidadeEquação de Equilíbrio para o Estudo da Estabilidade
0222
2
2
2
2
2
22
2
2
yxw
Nyw
Nxw
Ny
M
yx
M
xM
xyyxyxyx
2
2
2
2
yw
xw
DM x
2
2
2
2
xw
yw
DM y yxw
DM xy
2
1
2
3
112 Et
D
yxw
Nyw
Nxw
Nyw
yxw
xw
D xyyx
2
2
2
2
2
4
2
22
4
4
4
22
Estabilidade
021
22
2
2
2
2
4
4
22
4
4
4
yxw
Nyw
Nxw
NDy
wyxw
xw
xyyx
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Condições de Contorno (borda x = constante)Condições de Contorno (borda x = constante)
00 xw
w ;
00 2
2
2
2
yw
xw
w ;
012 ; 02
3
3
3
2
2
2
2
x
w
D
N
y
w
D
N
yx
w
x
w
y
w
x
w xyy
a) engaste – deslocamento e rotação nulas:
b) apoio simples – deslocamento e momento fletor Mx nulos,
c) livre – momento fletor e cisalhamento efetivo nulos:
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Compressão Axial Uniforme – Carga CríticaCompressão Axial Uniforme – Carga Crítica
00 2
2
2
2
yw
xw
w ;
em x = 0, a
00 2
2
2
2
xw
yw
w ;
em y = 0, b
Tendo em vista a condição de que a deflexão ao longo de cada uma das bordas é nula, é evidente que
em x = 0 , a e em y = 0 , b 02
2
yw
02
2
xw
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Compressão Axial Uniforme – Carga CríticaCompressão Axial Uniforme – Carga Crítica
02 2
2
4
4
22
4
4
4
xw
D
N
yw
yxw
xw x
02
2
xw
w 02
2
yw
w em x = 0 , a em y = 0 , b
, m = 1, 2, 3, ... n = 1, 2, 3, ... sensen),(1 1 b
ynaxm
Ayxwm n
mn
0 sensen224224
1 1
byn
axm
am
D
N
bn
bn
am
am
A x
m nmn
0
2
2
22
2
2
2
24
am
DN
bn
am
A xmn
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Compressão Uniforme – Coeficiente de FlambagemCompressão Uniforme – Coeficiente de Flambagem
, onde
2
2
bDk
N x
22
mban
amb
k
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Flambagem de Placas - Fórmula GeralFlambagem de Placas - Fórmula Geral
22
2
2
112
bt
KEbtkE
ecr
2
2
112 e
kK
a) Regime Elástico
k (ou K) disponível em gráficos ou tabelas em função de:
a) tipo de carregamento
b) condições de contorno
c) alongamento a/b
tbDk
t
N crxcr 2
2
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Compressão UniformeCompressão UniformeBordas Carregadas Simplesmente Apoiadas
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Placa Coluna – Tensão CríticaPlaca Coluna – Tensão Crítica
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Placa Coluna – Tensão CríticaPlaca Coluna – Tensão Crítica
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Flange – Coeficiente de FlambagemFlange – Coeficiente de Flambagem
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Compressão Axial – Várias Condições de ContornoCompressão Axial – Várias Condições de Contorno
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Compressão Axial – Restrição ElásticaCompressão Axial – Restrição Elástica
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Compressão Axial – Restrição ElásticaCompressão Axial – Restrição Elástica
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Compressão Axial – Restrição ElásticaCompressão Axial – Restrição Elástica
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Compressão Axial – Restrição ElásticaCompressão Axial – Restrição Elástica
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ExemploExemplo
O revestimento de 0.080 in de espessura, manufaturado de liga de magnésio HK31A-H24 (E = 6500 ksi, F0.7 = 17,3 ksi, n = 6,2, e = 0,3) de
uma fuselagem é dividido, por reforçadores de seção transversal em Z, em painéis longos de 4 in de largura. Determine a tensão de flambagem em compressão destes painéis.
Solução:
Tendo sido dado que o painel está apoiado em reforçadores com seção transversal em Z, pode-se utilizar a Fig. 5.13 para a obtenção de um valor mais preciso do coeficiente de flambagem em comparação com o valor conservativo, k = 4, correspondente à placa simplesmente apoiada nos bordos descarregados. Para b/t = 4,0 / 0,08 = 50 a curva inferior da Fig. 5.13 fornece k = 5,2 .
ksi 2,110,4
08,091,012
65002,5)1(12
222
2
2
btEk
Fe
cr
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Coeficiente de Flambagem - Carga Axial VariávelCoeficiente de Flambagem - Carga Axial Variável
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Placa em FlexãoPlaca em Flexão
2
2
2
112
btEk
e
b
cr
fbx tyffc 1
= b/c.
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Coeficientes de Flambagem - FlexãoCoeficientes de Flambagem - Flexão
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Coeficientes de Flambagem - FlexãoCoeficientes de Flambagem - Flexão
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ExemploExemplo Uma placa 6 x 3 x 0,06 in , simplesmente apoiada nos quatro bordos, manufaturada de liga de alumínio 7075-T6 a temperatura ambiente (E = 10500 ksi) está sujeita a tensões de compressão longitudinal, fc, e de flexão no plano da placa, fb, na razão fc / fb = 0,5 . (a) Qual a tensão de compressão na flambagem? (b) se fc = 13ksi, fb = 26 ksi, qual é a margem de segurança?A questão será resolvida através do uso da Fig. 5-19. Esta figura fornece curvas para o coeficiente de flambagem em flexão, kb, em função de a/b e , onde = b/c, c = (1 + fc / fb) , onde é a distância do bordo descarregado da placa ao eixo elástico. Neste caso, = b/2. Desta forma, c = (1 + 0,5)b / 2 , de modo que = 2 / 1,5 = 1,33. Para este valor de e a/b = 6/3 =2, a Fig. 15-19 fornece kb = 11.
yy y
ksi 8,41306,0
91,0121050011
)1(12
222
2
2
0
btEk
fe
bcr
ksi 9,133/8,41 3
21
0
0
crcc
cccbcbc
Fff
ffffffff 07,01-139,13
1
ccrc fFMS
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Coeficientes de Flambagem - FlexãoCoeficientes de Flambagem - Flexão
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Coeficientes de Flambagem - FlexãoCoeficientes de Flambagem - Flexão
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Coeficiente de Flambagem - CisalhamentoCoeficiente de Flambagem - Cisalhamento
2
2
2
112
btEk
e
s
cr