Estática dos fluidos
1. Teorema de Stevin
A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em
repouso é igual ao produto do peso específico do fluido pela
diferença de cotas dos dois pontos.
Demonstração: Considere um recipiente que contém um fluido e dois pontos genéricos M e N. Por esses pontos, considere um cilindro, cuja área da base é dA, em torno do eixo MN.
Oriente o eixo de MN de N para M, e considere 𝛼 o ângulo formado com a horizontal. Sejam 𝑧𝑁 𝑒 𝑧𝑀 as cotas dos pontos N e M, respectivamente. Assim,
ℎ = 𝑧𝑀 − 𝑧𝑁 = 𝑙 sen(𝛼)
Por hipótese o fluido está em repouso, logo a resultante das forças
que atuam no cilindro em qualquer direção deve ser nula (2º Lei de
Newton). As forças que agem são:
𝑑𝐹𝑁 = 𝑃𝑁𝑑𝐴 no ponto N;
𝑑𝐹𝑀 = 𝑃𝑀𝑑𝐴 no ponto M;
𝐹 = 𝐹 𝑑𝐴 na superfície lateral;
𝑑𝐺 = Peso do fluido contido no cilindro = Volume de fluido ×Peso específico = 𝑙 × 𝑑𝐴 × 𝛾;
Vamos projetar todas as forças na direção do eixo NM. As forças
que agem na superfície lateral terão componentes nulas sobre o
eixo NM.
𝐹 = 0 (fluido em repouso)
𝑃𝑁𝑑𝐴 − 𝑃𝑀𝑑𝐴 − 𝑑𝐺 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 0
𝑃𝑁𝑑𝐴 − 𝑃𝑀𝑑𝐴 − 𝛾 𝑙 𝑑𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 0
𝑃𝑁 − 𝑃𝑀 − 𝛾 𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑑𝐴 = 0
𝑃𝑁 − 𝑃𝑀 − 𝛾 𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 0
𝑃𝑁 − 𝑃𝑀 = 𝛾 𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑷𝑵 − 𝑷𝑴 = 𝜸. 𝒉 = 𝜸. 𝒉𝒎 − 𝒉𝒏
É importante destacar que:
(i) Na diferença de pressão entre dois pontos não
interessa a distância entre eles, mas a diferença de
cotas;
(ii) A pressão dos pontos num mesmo plano ou nível
horizontal é a mesma;
(iii) O formato do recipiente não é importante para o
cálculo da pressão em algum ponto
(iv) Se a pressão na superfície livre de um líquido contido num
recipiente for nula, a pressão num ponto à profundidade h dentro
do líquido será dada por:
𝑃 = 𝛾 ℎ
(v) Nos gases, como o peso específico é pequeno, se a diferença
de cota entre dois pontos não é muito grande, pode-se desprezar
a diferença de pressão entre eles.
Exemplo 1: Um reservatório aberto em sua superfície possui 8 m
de profundidade e contém água, determine a pressão hidrostática
no fundo do mesmo.
Exemplo 2: As estruturas apresentadas abaixo estão cheias de
água. As áreas das seções transversais indicadas (metade da
altura) são 2 m2, 10 m2 e 12 m2, para as estruturas I, II e III,
respectivamente. Sabendo-se que a pressão relativa no ponto MI
é 2000 Pa, determine as pressões relativas, em Pa, nos pontos
MII e MIII.
2. Lei de Pascal
A pressão aplicada num ponto de um fluido em repouso
transmite-se integralmente a todos os pontos do fluido.
Em (a), o fluido apresenta uma superfície livre à
atmosfera e supõe-se que as pressões nos pontos indicados sejam: 𝑃1 = 1 𝑁/𝑐𝑚2 , 𝑃2 = 2 𝑁/𝑐𝑚2 , 𝑃3 = 3 𝑁/𝑐𝑚2 e 𝑃4 =4 𝑁/𝑐𝑚2.
Ao aplicar a força de 100N, por meio do êmbolo, tem-se
um acréscimo de pressão de 20 𝑁/𝑐𝑚2 e passamos a ter os
seguintes valores:
𝑃1 = 21 𝑁/𝑐𝑚2
𝑃2 = 22 𝑁/𝑐𝑚2
𝑃3 = 23 𝑁/𝑐𝑚2
𝑃4 = 24 𝑁/𝑐𝑚2.
Exemplo 3: A figura mostra, esquematicamente, uma prensa
hidráulica. Os dois êmbolos têm, respectivamente, as áreas de
𝐴1 = 10 𝑐𝑚2e 𝐴2 = 100 𝑐𝑚2. Se for aplicada uma força de 200 N
no êmbolo (1), qual será a força transmitida em (2)?
3. Carga de pressão
Segue do Teorema de Stevin que a altura e a
pressão mantêm uma relação constante para um mesmo
fluido: 𝑃
𝛾= ℎ
Essa altura, que, multiplicada pelo peso específico
do fluido, reproduz a pressão num certo ponto e é chamada
de “carga de pressão”.
Segue, para o recipiente acima, que:
𝑃𝐴 = 𝛾. ℎ𝐴
𝑃𝐵 = 𝛾. ℎ𝐵
No caso de um conduto fechado, como
apresentado abaixo:
Abrindo-se um orifício no contudo, verifica-se que, se a
pressão interna for maior que a externa, um jato de líquido será
lançada para cima.
Se esse jato for canalizado por meio de um tubo de vidro,
verifica-se que o mesmo subirá até uma altura h. Essa coluna de
líquido deverá equilibrar exatamente a pressão P do conduto.
Assim,
𝐏𝐜𝐨𝐧𝐝𝐮𝐭𝐨 = 𝛄𝐟𝐥𝐮𝐢𝐝𝐨 × 𝐡𝐜𝐨𝐥𝐮𝐧𝐚
4. Escalas de pressão
Pressão absoluta: medida em relação ao vácuo ou
zero absoluto;
Pressão efetiva: medida adotando-se a pressão
atmosférica como referência;
Pabs = Patm + Pef
5. O barômetro
A pressão atmosférica é medida pelo barômetro. Se
um tubo cheio de líquido, fechado na extremidade inferior e
aberto na superior, for virado dentro de uma vasilha do
mesmo líquido, ele descerá até certa posição e nela
permanecerá em equilíbrio.
Como as pressões no ponto A e no ponto 0 são iguais,
segue que: 𝐏𝟎 = 𝐏𝐚 = 𝐏𝐚𝐭𝐦
Experimento de Torricelli
Exemplo 4: (CESPE – UnB) Um manômetro diferencial de
mercúrio (𝜌 = 13.600 kg/m3), como o esquematizado na
figura abaixo, foi conectado a uma tubulação por onde flui ar
para a medição da pressão interna. Considerando que a
pressão atmosférica local é de 100 kPa e que a diferença de
nível de mercúrio observada é de 25 mm e adotando g = 10
m/s2, a pressão absoluta na tubulação, em kPa, é igual a
(A) 101.
(B) 102,3.
(C) 103,4.
(D) 104,5.
(E) 105.
6. Fluidos incompressíveis e imiscíveis superpostos
Em situação de equilíbrio estável, o fluido mais
denso irá para o fundo do recipiente. Assim, o cálculo da
pressão no interior de um desses fluidos deve levar em
conta a presença dos outros existentes sobre ele.
𝐏𝐄 = 𝐏𝟎 + 𝛄𝟏𝐡𝟏 + 𝛄𝟐(𝐡𝟐+𝐡𝟑) + 𝛄𝟑𝐡𝟒
Exemplo 5: Um tanque fechado contém três líquidos
imiscíveis, de densidades relativas como apresentados na
figura abaixo. Desprezando o peso específico do ar,
determine a pressão na superfície livre (A), sabendo que no
fundo (D) a pressão é 10 kgf/cm2. Considere os líquidos
incompressíveis.
Exemplo 6: (CESPE – UnB) Considere que a Lagoa
Rodrigo de Freitas, no Rio de Janeiro, tenha uma
profundidade máxima de 20 m e esteja submetida a uma
pressão atmosférica média de 90 kPa. Nessa situação, e
assumindo que o peso específico da água igual seja 10.000
N/m3 e que 105Pa = 1 bar, o valor da pressão absoluta em
kPa na profundidade máxima é igual a:
(A) 250
(B) 270
(C) 280
(D) 290
(E)300
Exemplo 7: (CESGRANRIO) A figura abaixo ilustra um
recipiente cilíndrico totalmente fechado, contendo gás e
óleo. A, B e C são pontos no interior do recipiente, estando A
no seu tampo, C na sua base e B na interface gás-óleo. As
densidades do óleo e do gás valem, respectivamente, 0,8
g/cm3 e 0,01 g/cm3. Sabendo-se que a pressão no ponto A
vale 6 kPa e que a gravidade local vale 10 m/s2, conclui-se
que a pressão no ponto C, em kPa, vale
(A) 4,0
(B) 6,0
(C) 6,4
(D) 10,0
(E) 10,4
Exemplo 8: Calcular, em N/m2, a pressão que exerce uma
determinada quantidade de petróleo sobre o fundo de um
poço, se a altura do petróleo no poço for igual a 10m e a
sua densidade 800 kg/m3.
Exemplo 9: No tubo em U da figura abaixo, tem-se água e
óleo em equilíbrio. Sendo hA = 10cm a altura da água,
determine a altura hB do óleo, sendo dados: dágua = 1 e dóleo =
0,8.
Exemplo 10: (CESGRANRIO) Em um recipiente contendo um
líquido de massa específica constante 𝜌, faz-se um orifício no
ponto A e outro mais embaixo, no ponto B, por onde o líquido
escapa. Sabe-se que, no ponto B, o líquido sai com maior
velocidade do que no ponto A.
Em relação a esse fenômeno, conclui-se que
(A) a pressão, no ponto A, é maior do que no ponto B e, por essa
razão, a velocidade de escape é menor.
(B) o fluido sai com maior velocidade no ponto B porque a energia
potencial nesse ponto é maior.
(C) o fluido sai com maior velocidade no orifício B por estar mais
próximo do fundo do recipiente e sofrer interferência da reação
normal.
(D) esse é um fenômeno que a Física ainda não consegue
descrever corretamente.
(E) esse fenômeno é uma evidência de que a pressão hidrostática
num líquido aumenta linearmente com a profundidade.
7. Manômetros
Manômetros são instrumentos que usam colunas de
líquido para medir pressão. As figuras abaixo apresentam
manômetros em U.
O fluido manométrico empregado, em geral, é o mercúrio,
por apresentar alto peso específico. Os manômetros em U ligados
a dois reservatórios, ao invés de abertos a atmosfera, são
denominados manômetros diferenciais.
A equação manométrica é uma expressão
matemática na qual determina a pressão em um reservatório
ou a diferença de pressão entre dois reservatórios.
(i) Pressão no fundo do ramo esquerdo
Pfundo esquerdo = PA + γA h1 − h2 + h2γM
(ii) Pressão no fundo do ramo direito
Pfundo direito = PB + γB h4 − h3 + h3γM
Do Teorema de Stevin a pressão no plano horizontal do
fundo é a mesma e, ainda, temos o sistema está em equilíbrio.
Logo,
𝑃fundo esquerdo = 𝑃fundo direito
PA + γA h1 − h2 + h2γM = PB + γB h4 − h3 + h3γM
PB = PA + γA h1 − h2 − γB h4 − h3 − (h3 −ℎ2)γM
Regra prática
Começando do lado esquerdo, soma-se à pressão
PA a pressão das colunas descentes e subtrai-se aquela das
colunas ascendentes.
𝐏𝐀 + 𝛄𝟏𝐡𝟏 + 𝛄𝟐𝐡𝟐 − 𝛄𝟑𝐡𝟑 + 𝛄𝟒𝐡𝟒 − 𝛄𝟓𝐡𝟓 − 𝛄𝟔𝐡𝟔 = 𝐏𝐁
Exemplo 11: (CESGRANRIO)
A figura acima ilustra um manômetro com tubo em U, muito
utilizado para medir diferenças de pressão. Considerando que os
pesos específicos dos três fluidos envolvidos estão indicados na
figura por γ1, γ2, e γ3, a diferença de pressão 𝑃𝐴 − 𝑃𝐵corresponde a
Exemplo 12: Considere o esquema apresentado na figura
abaixo.
Para ele determine:
a) A pressão lida no manômetro metálico.
b) A força que age sobre o topo do reservatório.
Exemplo 13: A figura abaixo mostra um manômetro
diferencial colocado entre as seções P e Q de um tubo
horizontal no qual escoa água (peso específico igual a 10
kN/m3). A deflexão do mercúrio (peso específico igual a 136
kN/m3) no manômetro é de 500 mm, sendo o mais baixo dos
níveis o mais próximo de P. Com base nestas informações,
resolva os itens abaixo:
a) Determine a diferença de pressão entre os pontos P e Q.
b) Determine o sentido do escoamento.
Exemplo 14: (CESGRANRIO) Considerando que no
manômetro diferencial, ilustrado na figura, o fluido 1 possui
peso específico de 10.000 N/m3, o fluido 2, de 136.000 N/m3,
e o fluido 3, de 7.000 N/m3, o módulo da diferença de
pressão, Pa − Pb, em kPa, é
(A) 5,6
(B) 17,0
(C) 98,6
(D) 133,4
(E) 153,0
Exemplo 15: No manômetro da figura abaixo, o fluido A é
água é o fluido B, mercúrio. Determine a pressão efetiva no
ponto 1.
Exemplo 16: Considere o esquema a seguir. Considerando
que a densidade do óleo é 0,85, determine a pressão efetiva
do ar.
Exemplo 17: Para o exercício 15, determine a pressão
efetiva no ponto M. Determine a pressão absoluta em M.
Exemplo 18: No manômetro a seguir, sabe-se que, quando
a força é 55,6 kN, a leitura na régua é 100 cm. Determine o
valor da nova leitura quando a força for dobrada.
Exemplo 19: No manômetro diferencial representado na
figura, os recipientes A e B contêm água sob pressões de
300 kPa e 68 kPa, respectivamente. A aceleração local da
gravidade é considerada igual a 10 m/s2. Para esta situação,
determine a deflexão (h) do mercúrio (13600 kg/m3) no
manômetro diferencial, em m.
Exemplo 20: A figura representa um manômetro conectado a um reservatório que contém um determinado gás. Determine o valor da pressão do gás no interior do reservatório. Dados: massa específica do mercúrio = 13,6 x 103 kg/m3
pressão atmosférica = 1,01 x 105 N/m2
aceleração da gravidade = 10,0 m/s2
Exemplo 21: Para a configuração a seguir, resolver os itens
abaixo:
a) Determinar a pressão efetiva do gás.
b) Determinar a pressão absoluta do gás para o caso da pressão
atmosférica igual a 662 mmHg.
c) Determinar o valor da cota z.
Dados:
Peso específico do mercúrio: 136.000 N m-3
Peso específico da água: 10.000 N m-3.
Exemplo 22: O medidor de pressão B deve medir a pressão
no ponto A em um escoamento de água. Se a pressão em B
é 87 kPa, calcule a pressão em A, em kPa. Admita que
esses fluidos estejam a 20ºC.
Exemplo 23: Na figura abaixo, todos os fluidos estão a
20ºC. Determine a diferença de pressão entre os pontos A e
B. Dados: 𝛾𝑎𝑟 = 16,3 𝑁𝑚−3 e g = 10 𝑚. 𝑠−2.
Exemplo 24: Na figura, o tanque e o tubo estão abertos à
atmosfera. Se L = 2,13 m, qual é o ângulo de inclinação 𝜃
do tubo?
Exemplo 25:O sistema da figura abaixo está a 20 °C.
Calcule a pressão absoluta no ponto A em Pa.
Exemplo 26: O sistema da figura abaixo está aberto a 1 atm
no lado direito.
(a)Se L= 120 cm, qual é a pressão do ar no recipiente A?
(b)PA = 135 kPa, qual é o comprimento L?
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