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Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”Universidade de Sao Paulo

Medidas de Posicao

Professora Renata Alcarde Sermarini

Piracicabamarco 2017

Renata Alcarde Sermarini Estatıstica Geral 20 de Marco de 2017 1 / 28

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Medidas de Posicao

Medida de posicao

Medida de posicao e o valor ao redor do qual os dados se distribuem.

Principais:

media;

mediana;

moda.

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Media Aritmetica

Media aritmetica:A media aritmetica e dada por:

µ = x =

∑ni=1 xin

em que n corresponde ao tamanho da amostra e xi ao i-esimo valorobservado.

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Media Aritmetica

Exemplo:

Com o objetivo de avaliar a producao de leite, em kg, foram observadas asproducoes medias diarias de 10 produtores rurais atendidos por um planogovernamental, cujos valores sao apresentados a seguir:

9,80 9,90 9,95 10,00 8,789,90 9,34 10,34 11,75 15,00

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Media Aritmetica

9,80 9,90 9,95 10,00 8,789,90 9,34 10,34 11,75 15,00

A media observada de producao de leite e dada por:

x =9, 80 + 9, 90 + . . .+ 15, 00

=104, 76

10= 10, 48kg.

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Media Aritmetica

Observacoes:Media sem considerarmos o maior valor observado (15,00):

x =9, 80 + 9, 90 + . . .+ 11, 75

89, 76

9= 9, 97 kg.

A media e bastante afetada por valores extremos;

nao deve ser utilizada quando a distribuicao dos dados e assimetrica.

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Media Aritmetica

Observacoes:Media sem considerarmos o maior valor observado (15,00):

x =9, 80 + 9, 90 + . . .+ 11, 75

89, 76

9= 9, 97 kg.

A media e bastante afetada por valores extremos;

nao deve ser utilizada quando a distribuicao dos dados e assimetrica.

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Media Aritmetica Ponderada

A media ponderada dos numeros x1, x2, . . . , xn, com pesos p1, p2, . . . , pn,representada por xp, e definida por

xp =p1x1 + p2x2 + . . .+ pnxn

p1 + p2 + . . .+ pn=

∑ni=1 pixi∑ni=1 pi

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Media Aritmetica Ponderada

Exemplo: Precipitacao media em uma bacia higrografica

Precipitacao Area do polıgono(mm) (km2)Xi pi90 6

110 7120 5100 12112 1195 8

108 1,5

Total 50,5 xp =

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Media

Dados agrupados em tabelas de frequencias

Xi fix1 f1x2 f2...

...xk fk

Total n

n =k∑

i=1

µ = x =f1x1 + f2x2 + . . .+ fkxk

f1 + f2 + . . .+ fk.

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Media

Exemplo: Em um estudo realizado para avaliar o numero de insetoscapturados durante um determinado perıodo, foram utilizadas 50armadilhas. Os resultados sao apresentados na Tabela a seguir.

Tabela 2: Distribuicao defrequencias para o conjunto dedados de insetos capturados

Xi fi0 11 82 133 204 45 4

Total 50

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Media

Dados agrupados em tabelas de classes de frequencias

Xi mi fic1 ` c2 m1 f1c2 ` c3 m2 f2

......

...ck ` ck+1 mk fk

Total n

mi =ci + ci+1

µ = x =

∑ki=1 mi fi∑ki=1 fi

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Media

Exemplo: A distribuicao de frequencias dos pesos dos colmos decana-de-acucar, considerando-se uma amostra de tamanho 50, eapresentada a seguir:

Tabela 3: Distribuicao de frequencias dospesos dos colmos de cana-de-acucar

Xi mi fi10,46 ` 11,55 211,55 ` 12,64 712,64 ` 13,73 413,73 ` 14,82 814,82 ` 15,91 715,91 ` 17,00 1017,00 ` 18,09 718,09 ` 19,18 5

Total 50

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Mediana

MedianaA mediana e o valor que ocupa a posicao central em um conjunto dedados ordenado em ordem crescente (Rol).

Logo,

Md =

{x[ n+1

2], se n for ımpar

x[n/2]+x[n/2+1]

2 , se n for par

Observacao: A Mediana e pouco afetada por valores extremos oudiscrepantes!

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Mediana

Exemplo: Para os valores observados de producao media diaria de leite,tem-se o seguinte rol:

8,78 9,34 9,80 9,90 9,90 9,95 10,00 10,34 11,75 15,00

Como n e par...

Md =x[5] + x[6]

9, 90 + 9, 95

19, 85

2= 9, 925kg

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Mediana

Exemplo: Para os valores observados de producao media diaria de leite,tem-se o seguinte rol:

8,78 9,34 9,80 9,90 9,90 9,95 10,00 10,34 11,75 15,00

Como n e par...

Md =x[5] + x[6]

9, 90 + 9, 95

19, 85

2= 9, 925kg

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Mediana

Dados agrupados em tabelas de frequencias

Para o exemplo realizado com insetos, para o qual foi observado o numeroinsetos capturados por armadilha.

Tabela 3: Distribuicao defrequencias para o conjunto dedados numero de insetos capturados

Xi fi f ′i Fi F ′i0 11 82 133 204 45 4

Total 50

Observar F ′i ≥ 0, 50

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Mediana

Dados agrupados em tabelas de classes de frequencias

Para o exemplo referente ao peso de colmos de cana-de-acucar, tem-se:

Tabela 3: Distribuicao defrequencias dos pesos dos colmos

Xi mi fi f ′i Fi F ′i

10,46 ` 11,55 11,01 2 0,04 2 0,0411,55 ` 12,64 12,10 7 0,14 9 0,1812,64 ` 13,73 13,19 4 0,08 13 0,2613,73 ` 14,82 14,28 8 0,16 21 0,4214,82 ` 15,91 15,37 7 0,14 28 0,5615,91 ` 17,00 16,46 10 0,20 38 0,7617,00 ` 18,09 17,55 7 0,14 45 0,9018,09 ` 19,18 18,64 5 0,10 50 1,00

Total 50 1,00

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Mediana

{15, 91− 14, 82 −− 0, 14Md− 14, 82 −− 0, 08

Md =15, 91− 14, 82

0, 14×0, 08+14, 82

= 15, 44 g.

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Mediana

{15, 91− 14, 82 −− 0, 14Md− 14, 82 −− 0, 08

Md =15, 91− 14, 82

0, 14×0, 08+14, 82

= 15, 44 g.

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Quartis e Percentis

Quartil: generalizacao da mediana.

Quartil ⇒ 4 partes

Percentil de ordem 100p

P100p =

{x[np]+x[np+1]

2 , se np for inteirox[int(np)+1], se np for nao inteiro

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Quartis e Percentis

Quartil: generalizacao da mediana.

Quartil ⇒ 4 partes

Percentil de ordem 100p

P100p =

{x[np]+x[np+1]

2 , se np for inteirox[int(np)+1], se np for nao inteiro

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Quartis e Percentis

Exemplo: Para os valores observados de producao media diaria de leite,tem-se:

8,78 9,34 9,80 9,90 9,909,95 10,00 10,34 11,75 15,00

n = 10

Obter P75 = Q3 e P20

P75 ⇒ np = 10× 0, 75 = 7, 5P75 = Q3 = x

[int(7,5)+1]= x[7+1] = x[8]

= 10, 34kg

P20 ⇒ np = 10× 0, 20 = 2P20 =

x[2]+x[3]

= 9,34+9,802

= 9, 57kg

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Quartis e Percentis

Exemplo: Para os valores observados de producao media diaria de leite,tem-se:

8,78 9,34 9,80 9,90 9,909,95 10,00 10,34 11,75 15,00

n = 10

Obter P75 = Q3 e P20

P75 ⇒ np = 10× 0, 75 = 7, 5P75 = Q3 = x

[int(7,5)+1]= x[7+1] = x[8]

= 10, 34kg

P20 ⇒ np = 10× 0, 20 = 2P20 =

x[2]+x[3]

= 9,34+9,802

= 9, 57kg

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Quartis e Percentis

Exemplo: Para os valores observados de producao media diaria de leite,tem-se:

8,78 9,34 9,80 9,90 9,909,95 10,00 10,34 11,75 15,00

n = 10

Obter P75 = Q3 e P20

P75 ⇒ np = 10× 0, 75 = 7, 5P75 = Q3 = x

[int(7,5)+1]= x[7+1] = x[8]

= 10, 34kg

P20 ⇒ np = 10× 0, 20 = 2P20 =

x[2]+x[3]

= 9,34+9,802

= 9, 57kg

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Quartis e Percentis

Dados agrupados em tabelas de frequencias

Tabela 3: Distribuicao defrequencias para o conjunto dedados numero de insetos capturados

Xi fi f ′i Fi F ′i0 1 0,02 1 0,021 8 0,16 9 0,182 13 0,26 22 0,443 20 0,40 42 0,844 4 0,08 46 0,925 4 0,08 50 1,00

Total 50 1,00Obter P25 = Q1, P90 e P97,5

Observar F ′i ≥ 0, 25

P25 = Q1 = 2

Observar F ′i ≥ 0, 90

P90 = 4

Observar F ′i ≥ 0, 975

P97,5 = 5

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Quartis e Percentis

Dados agrupados em tabelas de frequencias

Tabela 3: Distribuicao defrequencias para o conjunto dedados numero de insetos capturados

Xi fi f ′i Fi F ′i0 1 0,02 1 0,021 8 0,16 9 0,182 13 0,26 22 0,443 20 0,40 42 0,844 4 0,08 46 0,925 4 0,08 50 1,00

Total 50 1,00Obter P25 = Q1, P90 e P97,5

Observar F ′i ≥ 0, 25

P25 = Q1 = 2

Observar F ′i ≥ 0, 90

P90 = 4

Observar F ′i ≥ 0, 975

P97,5 = 5

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Quartis e Percentis

Dados agrupados em tabelas de frequencias

Tabela 3: Distribuicao defrequencias para o conjunto dedados numero de insetos capturados

Xi fi f ′i Fi F ′i0 1 0,02 1 0,021 8 0,16 9 0,182 13 0,26 22 0,443 20 0,40 42 0,844 4 0,08 46 0,925 4 0,08 50 1,00

Total 50 1,00Obter P25 = Q1, P90 e P97,5

Observar F ′i ≥ 0, 25

P25 = Q1 = 2

Observar F ′i ≥ 0, 90

P90 = 4

Observar F ′i ≥ 0, 975

P97,5 = 5

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Quartis e Percentis

Dados agrupados em tabelas de frequencias

Tabela 3: Distribuicao defrequencias para o conjunto dedados numero de insetos capturados

Xi fi f ′i Fi F ′i0 1 0,02 1 0,021 8 0,16 9 0,182 13 0,26 22 0,443 20 0,40 42 0,844 4 0,08 46 0,925 4 0,08 50 1,00

Total 50 1,00Obter P25 = Q1, P90 e P97,5

Observar F ′i ≥ 0, 25

P25 = Q1 = 2

Observar F ′i ≥ 0, 90

P90 = 4

Observar F ′i ≥ 0, 975

P97,5 = 5

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Quartis e Percentis

Dados agrupados em tabelas de frequencias

Tabela 3: Distribuicao defrequencias para o conjunto dedados numero de insetos capturados

Xi fi f ′i Fi F ′i0 1 0,02 1 0,021 8 0,16 9 0,182 13 0,26 22 0,443 20 0,40 42 0,844 4 0,08 46 0,925 4 0,08 50 1,00

Total 50 1,00Obter P25 = Q1, P90 e P97,5

Observar F ′i ≥ 0, 25

P25 = Q1 = 2

Observar F ′i ≥ 0, 90

P90 = 4

Observar F ′i ≥ 0, 975

P97,5 = 5

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Quartis e Percentis

Dados agrupados em tabelas de classes de frequencias

Para o exemplo referente ao peso de colmos de cana-de-acucar, tem-se:

Tabela 3: Distribuicao defrequencias dos pesos dos colmos decana-de-acucar

Xi mi fi f ′i Fi F ′i

Total 50

Obter P20 e P75 = Q3

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Quartis e Percentis

P20 ⇒ classe: 12, 64 ` 13, 73

{13, 73− 12, 64 −− 0, 08P20 − 12, 64 −− 0, 02

P20 = 13,73−12,640,08 × 0, 02 + 12, 64P20 = 12, 91g.

P75 ⇒ classe: 15, 91 ` 17, 00

{17, 00− 15, 91 −− 0, 20P75 − 15, 91 −− 0, 19

P75 = 17,00−15,910,20 × 0, 19 + 15, 91P20 = 16, 95g.

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Quartis e Percentis

P20 ⇒ classe: 12, 64 ` 13, 73{13, 73− 12, 64 −− 0, 08P20 − 12, 64 −− 0, 02

P20 = 13,73−12,640,08 × 0, 02 + 12, 64P20 = 12, 91g.

P75 ⇒ classe: 15, 91 ` 17, 00

{17, 00− 15, 91 −− 0, 20P75 − 15, 91 −− 0, 19

P75 = 17,00−15,910,20 × 0, 19 + 15, 91P20 = 16, 95g.

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Quartis e Percentis

P20 ⇒ classe: 12, 64 ` 13, 73{13, 73− 12, 64 −− 0, 08P20 − 12, 64 −− 0, 02

P20 = 13,73−12,640,08 × 0, 02 + 12, 64P20 = 12, 91g.

P75 ⇒ classe: 15, 91 ` 17, 00{17, 00− 15, 91 −− 0, 20P75 − 15, 91 −− 0, 19

P75 = 17,00−15,910,20 × 0, 19 + 15, 91P20 = 16, 95g.

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Moda

Moda: corresponde ao valor observado de maior frequencia

Tambem pode ser obtida para variaveis qualitativas

Exemplo: Para os valores observados de producao media diaria deleite, tem-se:

8,78 9,34 9,80 9,90 9,909,95 10,00 10,34 11,75 15,00

Mo = 9, 90 kg

Renata Alcarde Sermarini Estatıstica Geral 20 de Marco de 2017 23 / 28

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Moda

Moda: corresponde ao valor observado de maior frequencia

Tambem pode ser obtida para variaveis qualitativas

Exemplo: Para os valores observados de producao media diaria deleite, tem-se:

8,78 9,34 9,80 9,90 9,909,95 10,00 10,34 11,75 15,00

Mo = 9, 90 kg

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Moda

Moda: corresponde ao valor observado de maior frequencia

Tambem pode ser obtida para variaveis qualitativas

Exemplo: Para os valores observados de producao media diaria deleite, tem-se:

8,78 9,34 9,80 9,90 9,909,95 10,00 10,34 11,75 15,00

Mo = 9, 90 kg

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Moda

Dados agrupados em tabelas de frequencias

Para o exemplo realizado com insetos

Tabela 3: Distribuicao defrequencias para o conjunto dedados numero de insetos capturados

Xi fi f ′i Fi F ′i0 1 0,02 1 0,021 8 0,16 9 0,182 13 0,26 22 0,443 20 0,40 42 0,844 4 0,08 46 0,925 4 0,08 50 1,00

Total 50 1,00

Mo = 3 insetos

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Moda

Dados agrupados em tabelas de frequencias

Para o exemplo realizado com insetos

Tabela 3: Distribuicao defrequencias para o conjunto dedados numero de insetos capturados

Xi fi f ′i Fi F ′i0 1 0,02 1 0,021 8 0,16 9 0,182 13 0,26 22 0,443 20 0,40 42 0,844 4 0,08 46 0,925 4 0,08 50 1,00

Total 50 1,00

Mo = 3 insetos

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Moda

Dados agrupados em tabelas de classes de frequencias

Moda bruta: ponto medio da classe com maior frequencia

Moda: metodo de Czuber ⇒ semelhanca de triangulos

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Moda

Dados agrupados em tabelas de classes de frequenciasModa bruta: ponto medio da classe com maior frequencia

Moda: metodo de Czuber ⇒ semelhanca de triangulos

Renata Alcarde Sermarini Estatıstica Geral 20 de Marco de 2017 25 / 28

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Moda

Dados agrupados em tabelas de classes de frequenciasModa bruta: ponto medio da classe com maior frequencia

Moda: metodo de Czuber ⇒ semelhanca de triangulos

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Moda

Para o exemplo referente ao peso dos colmos de cana-de-acucar, tem-se:

Tabela 3: Distribuicao defrequencias dos pesos dos colmos decana-de-acucar

Xi mi fi f ′i Fi F ′i

Total 50 1,00

Moda bruta

Mo =17, 00 + 15, 91

2= 16, 46 g

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Moda

Para o exemplo referente ao peso dos colmos de cana-de-acucar, tem-se:

Tabela 3: Distribuicao defrequencias dos pesos dos colmos decana-de-acucar

Xi mi fi f ′i Fi F ′i

Total 50 1,00

Moda bruta

Mo =17, 00 + 15, 91

2= 16, 46 g

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Moda

{10− 7 −− 10− 7Mo− 15, 91 −− 17−Mo

17, 00−Mo = Mo− 15, 91

Mo = 16, 46g

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Moda

Supondo o seguinte histograma para uma variavel X qualquer.

Classe correspondente a moda:80 ` 90

Moda bruta: Mo = 85

{40− 30 −− 40− 20Mo− 80 −− 90−Mo

(40−30)(90−Mo) = (40−20)(Mo−80)

Mo =(40− 30)× 90 + (40− 20)× 80

(40− 30) + (40− 20)

= 83, 33

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Moda

Supondo o seguinte histograma para uma variavel X qualquer.

Classe correspondente a moda:80 ` 90

Moda bruta: Mo = 85

{40− 30 −− 40− 20Mo− 80 −− 90−Mo

(40−30)(90−Mo) = (40−20)(Mo−80)

Mo =(40− 30)× 90 + (40− 20)× 80

(40− 30) + (40− 20)

= 83, 33

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Moda

Supondo o seguinte histograma para uma variavel X qualquer.

Classe correspondente a moda:80 ` 90

Moda bruta: Mo = 85

{40− 30 −− 40− 20Mo− 80 −− 90−Mo

(40−30)(90−Mo) = (40−20)(Mo−80)

Mo =(40− 30)× 90 + (40− 20)× 80

(40− 30) + (40− 20)

= 83, 33

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Moda

Supondo o seguinte histograma para uma variavel X qualquer.

Classe correspondente a moda:80 ` 90

Moda bruta: Mo = 85

{40− 30 −− 40− 20Mo− 80 −− 90−Mo

(40−30)(90−Mo) = (40−20)(Mo−80)

Mo =(40− 30)× 90 + (40− 20)× 80

(40− 30) + (40− 20)

= 83, 33

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Referencias

ANDRADE, D.F.; OGLIARI, P.J. Estatıstica para as cienciasagrarias e biologicas com nocoes de experimentacao. Editora daUFSC, Florianopolis, 2007.

ZOCCHI, S.S.; LEANDRO, R.A. Notas para acompanhar adisciplina LCE-211-Estatıstica Geral. ESALQ-USP, Piracicaba,S.P. 1999.

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