1) Dimensionar, para o maior momento e cortantes absolutos, a viga de madeira laminada colada (MLC) que está submetida a ação de três cargas uniformemente distribuídas, Figura, em relação aos estados limites últimos e de utilização, considerando:
- G = 60daN/m (ação permanente de grande variabilidade);
- Q = 20daN/m (cargas acidentais);
- W = 35daN/m (pressão dinâmica do vento);
- Local sem a presença de equipamentos fixos e sem elevada concentração de pessoas;
- Ambiente abrigado, dicotiledônea C30 e contenções laterais a cada 3m;
- Adotar b = 10cm e h múltiplos de 10.
12 3
G, Q e W
Kmod=Kmod 1 . Kmod 2 .K mod 3=0,7 .1,0 .1,0=0,7
F c0 , d=Kmod
Fc0 ,k
γwt=0,7 . 30
1,4=15MPa=150daN /cm ²
F v 0 ,d=Kmod
Fv 0 , k
γwt
=0,7 . 51,8
=1,94MPa=19,4daN /cm²
Ec 0 , ef=Kmod .Ec0 , m=0,7 .14500=10150MPa=101500daN /cm²
Solicitação de Cálculo
n
1i
m
2jk,Qjj0k,1QQk,GiGd
FFFF
Fd=1,4 .60+1,4 [20+0,5 .35 ]
Fd=136,5daN /m
∑ Fv=0 → Ra+Rb=2047,5
∑M a=0 → Rb .12−2047,5 .7,5=0
Rb=1279,69DaN
Ra=767,81DaN
Diagrama do esforço cortante
767,81−136,5 .12=−870,19
−870,19+1279,69=409,5
409,5−136,5 .3=0
Distancia de momento Máx
767,81−136,5 . x=0
x=5,62m
Momento na Seção S1 Vão (0 < x < 12)
M (x)=767,81 . x−136,5.x2
2
MMáx (5,62)=767,81 .5,62−136,5 .5,622
2
MMáx (5,62)=2159,46DaN .m
Momento na Seção S2 Balanço (0 < x < 3)
M (x)=−136,5 .x2
2
M (3)=−136,5 .32
2
M (3)=−614,25DaN .m
Condição de Segurança (momento)
W=b .h ²6
=¿ 10 . h ²6
=1,66h ²
2159461,66 .h ²
≤150→h≥29,44=30cm
I=b .h ³12
=¿ 10 .30³12
=22500
Condição de Segurança (instabilidade)
d,0c
sd
d,td,cf
W
M
55,17
63,030140
30140
4,1
4
26,0
1
63,0bh
bh
26,0
1
2
1
2
3
2
1
2
3
wc
E
M
βM=1
0,26 π.41,4
.( 3010 )
32
( 3010−0,63)1 /2=11,80
λb=30010
=30≤ λ0=1015011,80 .15
=57,35OK !
Condição de Segurança (Cortante)
d,0vdf
τ d=32.V d
b .h=32.870,1910 .30
=4,35 daNcm2 ≤ F v0 , d=19,4
daNcm2 OK !
Estados Limites de Utilização (longa duração - estruturas correntes).
m
1jk,Qjj2
n
1ik,Giutil,d
FFF
¿qd=60+0,4 .20+0,5 .35=85,5daN /m
¿ Fd ,Vão=5qd L
4
384 . Ec 0 , ef . I= 50,85512004
384 .101500 .22500=10,10cm
¿ Fd , Bal.=5qd L
4
384 . Ec 0 ,ef . I= 50,8553004
384 .101500 .22500=0,039cm
¿ Fd ,Vão=10,10≤ Flim ¿= L
200=1200200
=6cm Nãoatende !¿
¿ Fd , bal=0,039≤ Flim ¿= L
100=300200
=3cmOK ! ¿
2) A viga bi-apoiada que sustenta um mezanino de uma oficina está sob ação de duas cargas uniformemente distribuídas e uma concentrada,
d0cM
ef,0c
0
1
b f
E
bL
Figura. Pede-se dimensionar a viga para atender aos estados limites últimos e de utilização, considerando:
- G = 50 daN/m (ação permanente de grande variabilidade);
- Q = 20 daN/m (sobrecarga em piso de oficina);
- P = 200 daN (sobrecarga máxima movida por um trilho para deslocamento de equipamentos);
- Ambiente seco, dicotiledônea C30 (MLC) e classificada visual e mecanicamente;
- Contenções laterais a cada 5m e contra flecha de fábrica de 7,5cm;
- Adotar b = 12cm e h múltiplos de 5.
15
G, Q
P
Kmod=Kmod 1 . Kmod 2 .K mod 3=0,7 .1,0 .1,0=0,7
F c0 , d=Kmod
Fc0 ,k
γwt=0,7 . 30
1,4=15MPa=150daN /cm ²
F v 0 ,d=Kmod
Fv 0 , k
γwt
=0,7 . 51,8
=1,94MPa=19,4daN /cm²
Ec 0 , ef=Kmod .Ec0 , m=0,7 .14500=10150MPa=101500daN /cm²
Solicitação de Cálculo
n
1i
m
2jk,Qjj0k,1QQk,GiGd
FFFF
Fd=1,4 .750+1,4 [200 .0,75+0,8 .300 ]
Fd=1596 daN
∑ Fv=0 → Ra=Rb=15962
=798DaN
MMáx=Q .l2
8=106,4 .15
2
8=2992,5DaN .m
Condição de Segurança (momento)
d,0c
sd
d,td,cf
W
M
W=b .h ²6
=¿ 12.h ²6
=2h ²
2992502 . h ²
≤150→h≥31,58=35 cm
I=b .h ³12
=¿ 12.35³12
=42875
Condição de Segurança (instabilidade)
βM=1
0,26 π.41,4
.( 3512 )
32
( 3512−0,63)1 /2=11,52
λb=50012
=41,66≤ λ0=1015011,52 .15
=58,73OK !
Condição de Segurança (Cortante)
d,0vdf
τ d=32.V d
b .h=32.79812 .35
=2,85 daNcm2 ≤Fv 0 , d=19,4
daNcm2 OK !
Estados Limites de Utilização (longa duração - estruturas correntes).
m
1jk,Qjj2
n
1ik,Giutil,d
FFF
¿qd=50+0,6 .20+0,7 .13,33=71,33daN /m
55,17
63,030140
30140
4,1
4
26,0
1
63,0bh
bh
26,0
1
2
1
2
3
2
1
2
3
wc
E
M
d0cM
ef,0c
0
1
b f
E
bL
¿ Fd ,Vão=5qd L
4
384 . Ec 0 , ef . I= 50,713315004
384 .101500 .42875=10,80cm
¿ Fd ,Vão=10,10−cf=10−7,5=2,5cm≤Flim ¿= L
200¿
Flim ¿=1500
200=7,5 cmOK !¿
3) A terça de uma estrutura de cobertura está sob ação de duas cargas uniformemente distribuídas, figura. Pede-se verificar se a peça de 7,5cm x 15cm é suficiente para atender a NBR 7190/97 em relação aos estados limites últimos e de utilização, considerando:
- G = 30 daN/m (ação permanente);
- Q = 20 daN/m (sobrecarga do vento normal ao plano do telhado);
- Ambiente seco, dicotiledônea C60 classificada mecanicamente;
- Contenções laterais nos apoios com rigidez suficiente para absorver esforços.
A=7,5 .15=112,5cm ²
I x=b .h ³12
=¿ 7,5 .15³12
=2109,375cm4
I y=b ³ . h12
=¿ 7 ,5³ .1512
=527,34 cm4
W x=b .h ²6
=¿ 7,5 .15²6
=281,25cm3
W y=b ² . h6
=¿ 7 ,5² .156
=140,62cm3
Resistências e rigidez de cálculo
Kmod=Kmod 1 . Kmod 2 .K mod 3=0,7 .1,0 .1,0=0,7
F c0 , d=Kmod
Fc0 ,k
γwt=0,7 . 60
1,4=30MPa=3000daN /cm ²
GQ
x
y5
G, Q
F v 0 ,d=Kmod
Fv 0 , k
γwt
=0,7 . 81,8
=3,11MPa=31,1daN /cm ²
Ec 0 , ef=Kmod .Ec0 , m=0,7 .24500=17150MPa=171500daN /cm ²
Cargas
Eixo x
Carga permanente
M=Q .L2
8=30.cos (25) .52
8=84,93DaN .m
V=Q .L8
=30. cos (25).5
2=67,95DaN
Vento
M=Q .L2
8=20 .5
2
8=84,93DaN .m
V=Q .L8
=20 .52
=67,95DaN
Eixo y
Carga permanente
M=Q .L2
8=30.sin (25).52
8=39,59DaN .m
V=Q .L8
=30. sin (25) .5
2=31,67DaN
Solicitações de cálculo
- x-x.
n
1i
m
2jk,Qjj0k,1QQk,GiGd
FFFF
M x , d=1,4 .84,93+1,4 [0,5 .62,5 ]
M x , d=126,65daN .m
V y , d=1,4 .67,95+1,4 [0,5 .50 ]
V y , d=130,13daN
- y-y.
n
1i
m
2jk,Qjj0k,1QQk,GiGd
FFFF
M y ,d=1,4 .39,59
M y ,d=55,42daN .m
V x, d=1,4 .31,67
V x, d=44,33daN
Condição de segurança (momentos)
1f
σk
f
σ
wd
dMy,
M
wd
dMx,
σMx ,d=M x ,d
W x
= 12665281,25
=45daN /cm ²
σMy ,d=M y ,d
W y
= 5542140,62
=39,41daN /cm ²
45300
+0,5 39,41300
=0,21≤1
0,545300
+ 39,41300
=0,17≤1OK !
Condição de Segurança (instabilidade)
βM=1
0,26 π.41,4
.( 157,5 )
32
( 157,5−0,63)1 /2=8,45
λb=5007,5
=66,66≤ λ0=171508,45 .30
=67,65OK !
1f
σ
f
σk
wd
dMy,
wd
dMx,
M
55,17
63,030140
30140
4,1
4
26,0
1
63,0bh
bh
26,0
1
2
1
2
3
2
1
2
3
wc
E
M
d0cM
ef,0c
0
1
b f
E
bL
Condição de Segurança (Cortante)
d,0vdf
τ x ,d=32.V d
b .h=32.130,137,5 .15
=1,15 daNcm2
τ y ,d=32.V d
b .h=32.44,337,5 .15
=0,59 daNcm2
τ d=√τ x ,d2+τ y ,d
2=√1,152+0,592=1,29 daNcm2
≤ Fv 0 ,d=31,1daN
cm2
Estados Limites de Utilização (longa duração - estruturas correntes).
m
1jk,Qjj2
n
1ik,Giutil,d
FFF
¿qd=30=30daN /m
¿ Fx ,d=5G .cos (25 )L4
384 . Ec 0 ,ef . I x
= 50,27105004
384 .171500 .2109=0,61cm≤ F lim ¿=2,5cmOK !¿
¿ F y ,d=5G .sen (25)L4
384 .Ec 0 ,ef . I y
= 50,12675004
384 .171500 .527,34=1,14 cm≤ F lim ¿=2,5cmOK !¿
4. Verifique se a barra comprimida de uma treliça de 150 cm de comprimento e de seção 15 cm x 25 cm, é suficiente para resistir às solicitações de – 19.000 daN devido à ação permanente, - 12.000 devido a ação do vento, considerando:
• Ação permanente de grande variabilidade;
• Ação variável normal;
• O efeito acumulado do vento é de longa duração;
• Classe de umidade 2 e madeira de 1a categoria;
• Dicotiledônea Classe C40.
A=15 .25=375cm ²
Imín=h .b ³12
=¿ 25 .15³12
=7031,25cm4
rmín=√ ImínA =√ 7031,25375=4,33cm
Combinações
n
1i
m
2jk,Qjj0k,1QQk,GiGd
FFFF
Fd=1,4 .(−19000)+1,4(−12000)
Fd=−43400daN
Resistência e rigidez de cálculo
Kmod=Kmod 1 . Kmod 2 .K mod 3=0,7 .1,0 .1,0=0,7
F c0 , d=Kmod
Fc0 ,k
γwt=0,7 . 40
1,4=20MPa=2KN /cm ²
F v 0 ,d=Kmod
Fv 0 , k
γwt
=0,7 . 61,8
=2,33MPa=0,233KN /cm²
Ec 0 , ef=Kmod .Ec0 , m=0,7 .19500=13650MPa=1365KN /cm ²
Índice de Esbeltez
λ= Lrmín
= 1504,33
=34,64 peça curta
σ Nd=N sd
A=434375
≤1,15KNcm2 ≤Fcd=2
KNcm2OK !
Estado Limite de Utilização
L=150cm≤40 .15=600cmOK !