Ethan Frome
s
10
m
100
v
_
=
FSICA 1
01. .Um velocista percorre uma distncia de 100 m em dez segundos. Quantos quilmetros ele percorreria em dez minutos, supondo que ele mantenha essa mesma velocidade mdia?
RESPOSTA: 6
Justificativa
=36 km/h em 10 min =
h
6
1
h
km
36
t
v
x
h
6
1
=
=
x = 6,0km
02. Um mergulhador deixa cair uma caixa hermeticamente fechada, a partir do repouso, quando esta se encontra a 1,0 m de profundidade em um lago profundo. No primeiro segundo de sua queda, a caixa afunda mais 2,0 m. Qual a acelerao da caixa, em m/s2?
RESPOSTA: 4
Justificativa
y = y0 +V0yt +
2
1
at2 ; y0 = 1,0 m, V0y = 0
y(t = 1s) = 3,0 = 1,0 +
2
1
. a . (1)2
a = 4,0 m/s2
03. Um jogador de vlei faz um saque com uma velocidade inicial de 108 km/h. Que altura, em metros, a bola atingiria se fosse lanada verticalmente para cima com essa velocidade? Despreze a resistncia do ar.
RESPOSTA: 45
Justificativa
V0 = 108 km/h =
3600
10
108
3
m/s = 30 m/s
v2 =
2
0
v
2gh = 0
h =
=
=
10
2
30
g
2
v
2
2
0
45 m
Um nadador quer atravessar um rio de 30 m de largura cuja correnteza tem uma velocidade de 4,0 m/s. Se ele deseja atingir a outra margem, num ponto exatamente em frente ao ponto de partida, quantos segundos ele levar para fazer a travessia, se for capaz de nadar com velocidade constante de 5,0 m/s em relao gua?
RESPOSTA: 10
Justificativa
A velocidade resultante ser v2 =
2
nadador
v
-
2
rio
v
= 5,02 4,02 = 9,0
v = 3,0 m/s
O tempo necessrio ser t =
0
,
3
30
= 10 s
04. Um motorista est viajando em uma estrada retilnea com velocidade constante de 20 m/s. Um cavalo entra na estrada a 50 m adiante e pra no caminho. Qual a desacelerao constante mnima, em m/s2, que far o carro parar imediatamente antes de atingir o cavalo?
RESPOSTA: 4
Justificativa
0 =
2
0
v
-2ax
a =
50
2
400
= 4,0 m/s2
Um tubaro de 100 kg est se deslocando a uma velocidade de 36 km/h, para a esquerda. Em um certo instante, ele engole um peixe de 10 kg que se deslocava em sua direo, a uma velocidade de 3,6 km/h, para a direita. Qual o mdulo da velocidade do tubaro, em m/s, imediatamente depois de engolir o peixe? Despreze a fora de atrito dos peixes com a gua.
RESPOSTA: 9
Justificativa
MV mv = (M + m)vf
vf =
110
1
10
10
100
-
= 9,0 m/s
Uma bola cai de uma altura de 1,0 m e, em cada coliso com o solo, perde 20 de sua energia mecnica. Qual a altura alcanada pela bola, em cm, aps a segunda coliso? Despreze o atrito com o ar.
RESPOSTA: 64
Justificativa
mg H2 = 0,8 x 0,8 x mg H0
\
H2 = (0,8)2 H0 = 0,64 x 1 = 0,64 m = 64 cm
Um bloco de 0,4 kg descreve uma trajetria circular de 0,5 m de raio, no tampo horizontal de uma mesa. O coeficiente de atrito cintico entre o bloco e a mesa = 0,24. Determine a energia mecnica dissipada pela fora de atrito, em J, quando o bloco d uma volta completa.
RESPOSTA: 3
Justificativa
W =
atrito
F
(2R) = mg(2R) = 0,24 x 0,4 x 10 x 2x 0,5 = 3 J
Um modelo simplificado do tomo de hidrognio consiste do eltron orbitando em torno do prton, do mesmo modo que um planeta gira em torno do Sol. Suponha que o eltron tenha uma rbita circular e que o prton permanea fixo no centro da rbita. Calcule a razo entre o mdulo da energia potencial eltrica do eltron e sua energia cintica.
RESPOSTA: 2
Justificativa
A fora coulombiana igual fora centrpeta: K
2
2
R
Q
= m
R
Q
K
mv
R
v
2
2
2
=
Portanto:
2
1
mv2 =
2
1
K
p
c
2
E
2
1
E
R
Q
=
. Temos ento
2
E
E
c
p
=
O grfico abaixo mostra o comprimento de duas barras A e B, de materiais diferentes, em funo da temperatura. Determine a razo B / A, entre os coeficientes de dilatao linear das barras.
B
A
L (cm)
T ( C)
50,8
50,6
50,4
50,2
50,0
10
30
50
70
RESPOSTA: 4
Justificativa
T = 70 30 = 40 0C; L0 = 50,0 cm.
T
D
e L0 so dados comuns s duas barras
00
,
4
0
,
50
2
,
50
0
,
50
8
,
50
)
L
(
)
L
(
T
L
L
A
B
A
B
0
=
-
-
=
D
D
=
a
a
D
D
=
a
\
A potncia mdia de um aquecedor eltrico 500 W. Quanto tempo, em segundos, o aquecedor demorar para esquentar 0,5 kg de gua, de 30 0C a 50 0C?
RESPOSTA: 84
Justificativa
20
30
50
T
=
-
=
D
0C ;
C
g
cal
0
,
1
gua
c
0
=
C
20
C
g
k
kJ
2
,
4
kg
5
,
0
T
mc
Q
0
0
=
D
=
D
= 4,2 x 104 J
Potncia =
tempo
Q
D
= 500 W
\
tempo =
W
500
J
10
2
,
4
4
= 84 segundos.
Quatro cargas eltricas pontuais esto em posies fixas e alinhadas conforme a figura. As cargas negativas so iguais e valem 4,0 C. Supondo que nula a fora eltrica resultante sobre cada uma das cargas positivas, determine o valor da carga +Q, em C?
RESPOSTA: 45
Justificativa
F+Q = 0
2
a
Q
4
-
2
)
a
2
(
Q
4
-
+
2
2
)
a
3
(
Q
= 0 (por simetria, isto vlido para as duas cargas +Q)
\
C
45
Q
5
9
Q
m
=
=
05. Determine a diferena de potencial, em volts, entre os pontos A e B no circuito abaixo.
RESPOSTA: 35
Justificativa
i =
A
15
4
20
80
=
-
\
VA VB = 80 3i = 80 45
\
VA VB = 35 V
Uma partcula, de massa 1,0 x 10-10 kg e carga 2,0 x 10-2 C, penetra em uma regio de campo magntico uniforme, de intensidade 1,0 x 10-3 T, com velocidade de 3,4 x 104 m/s perpendicular ao campo magntico. Calcule o raio da trajetria da carga, em cm.
RESPOSTA: 17
Justificativa
qvB = m
R
v
2
R =
cm
17
m
17
,
0
10
0
,
2
10
4
,
3
qB
mv
5
6
=
=
=
-
-
06. Uma onda senoidal se propaga ao longo de uma corda de 3,5 m de comprimento. Esta onda gerada por um oscilador mecnico que est ligado na extremidade esquerda da corda, de acordo com a figura. Sabendo-se que a freqncia de oscilao de 1000 Hz, qual o intervalo de tempo, em unidades de 10-3 s, que a onda leva para atingir a outra extremidade da corda?
RESPOSTA: 14
Justificativa
t =
s
10
14
25
,
0
10
5
,
3
f
L
v
L
3
3
-
=
=
l
=
07. A objetiva de uma mquina fotogrfica simples consiste de uma lente convergente de distncia focal igual a 10 cm. Para focalizar um objeto, fazendo, assim, com que sua imagem se forme nitidamente sobre o filme, podemos variar a distncia entre a lente e o filme. Qual deve ser essa distncia, em centmetros, para que se possa fotografar um objeto a 10 m de distncia da lente?
RESPOSTA: 10
Justificativa
Pede-se a distncia da imagem lente (DI).
Dados: f = 10 cm = 0,10 m
D0 = 10 m
f
D
f
D
D
D
1
D
1
f
1
0
0
I
I
0
-
=
+
=
= 0,10 m = 10 cm
FSICA 2
08. Um carro de testes de acelerao capaz de acelerar desde o repouso at 100 km/h em 3,5 s. Qual dever ser sua acelerao mdia, em m/s2, durante este intervalo de tempo?
RESPOSTA: 8
Justificativa
a =
2
3
m/s
7,9
5
,
3
3600
/
10
100
t
v
=
=
D
D
09. Um mergulhador deixa cair uma caixa hermeticamente fechada, a partir do repouso, quando esta se encontra a 1,0 m de profundidade em um lago profundo. No primeiro segundo de sua queda, a caixa afunda mais 2,0 m. Qual a profundidade do lago, em metros, se a caixa atinge o fundo do lago 4,0 s depois do incio de sua queda?
RESPOSTA: 33
Justificativa
y = y0 + V0y t +
,0
1
)
0
t
(
y
;
at
2
1
2
=
=
m ; y(t =1) = 3,0 m; V0y = 0
\
2,0 =
2
)
0
,
1
(
a
2
1
a = 4,0 m/s2.
Profundidade do lago = y(t=4s) = 1,0 +
m
33
)
0
,
4
(
0
,
4
2
1
2
=
.
010. Um corpo de massa 10 kg move-se sobre uma mesa com uma acelerao de 2,0 m/s2. Um segundo corpo de massa 2,0 kg escorrega sobre a face superior do primeiro com acelerao de 5,0 m/s2 e est submetido a uma fora horizontal F. O coeficiente de atrito cintico entre a superfcie da mesa e a superfcie do corpo mais pesado 0,2. Calcule o mdulo da fora F, em N.
RESPOSTA: 54
Justificativa
20
f
f
10
f
F
a
M
f
f
a
m
f
F
M
m
m
M
M
m
m
m
=
-
=
-
=
-
=
-
Somando membro a membro obtemos:
F fM = 30
F = 30 + c (M + m)g
F = 30 + 0,2 x 12 x 10
F = 54 N
Uma pequena esfera presa na extremidade de uma corda leve e de comprimento L = 2,0 m. A esfera gira numa circunferncia vertical de raio L, de modo que, quando ela passa pelo ponto mais alto da circunferncia (ponto A da figura), a tenso na corda nula. Com que velocidade, em m/s, a esfera passa pelo ponto mais baixo da circunferncia (ponto B)? Despreze a massa da corda e a resistncia do ar.
RESPOSTA: 10
Justificativa
m
mg
L
V
2
A
=
(pois TA = 0)
gL
V
2
A
=
Energia em B = Energia em A
2
B
mV
2
1
=
2
A
mV
2
1
+ mg (2L)
gL
4
V
V
2
A
2
B
+
=
\
2
B
V
= 5gL = 5 x 10 x 2 = 100
VB = 10 m/s
011. Um objeto de massa mA = 10 kg e velocidade vA = 0,1 m/s encontra um outro objeto de massa mB = 1,0 kg, que se desloca em sentido oposto com velocidade vB = 1,0 m/s. A coliso perfeitamente elstica e ambos os objetos continuam em movimento aps o choque. Qual o mdulo da velocidade final do objeto de massa mB , em m/s?
RESPOSTA: 1
Justificativa
Cons. de momentum: mA vA mBvB =
'
B
B
'
A
A
v
m
v
m
+
.
Cons. de energia:
2
'
B
B
2
'
A
A
2
B
B
2
A
A
)
v
(
m
2
1
)
v
(
m
2
1
v
m
2
1
v
m
2
1
+
=
+
.
Cons. momentum: 10 x 0,1 1 x 1 = 10 vA + 1 vB
vA = -0,1 vB .
Cons. Energia: 10 x (0,1)2 + 1x 12 = 10 (vA)2 + (vB)2
\
1,1 = 10(0,1 vB)2 + (vB)2
\
vB = 1,0 m/s
Um garoto de 40 kg caminha sobre uma tbua homognea e uniforme de 3,0 m de comprimento e massa de 60 kg. A tbua colocada sobre dois apoios, A e B, separados por uma distncia de 2,0 m.Qual a menor distncia x, da extremidade livre, em cm, a que o garoto pode chegar sem que a tbua tombe?
RESPOSTA: 25
Justificativa
O somatrio dos torques nulo em relao ao ponto B.
B = 0
2 FA + mg(1-x) =
2
1
mg
No limiar do tombamento:
FA = 0
-
=
2
M
m
mg
g
x
\
m
25
,
0
80
60
1
m
M
2
1
1
x
=
-
=
-
=
= 25 cm
012. A escala X de um termmetro marca 10 0X e 90 0X, para as temperaturas de fuso e de ebulio da gua, respectivamente. Determine o valor da temperatura na escala Celsius que corresponde ao mesmo valor na escala X.
RESPOSTA: 50
Justificativa
4
5
10
90
0
100
10
t
0
t
x
c
=
-
-
=
-
-
\
4tc = 5tx =
\
4 = 5 - 50
= 50 0C
013. Uma quantidade de calor igual a 84 kJ fornecida a 0,5 kg de gua, inicialmente temperatura de 28 0C. Qual a temperatura final da gua, em 0C?
RESPOSTA: 68
Justificativa
Q = mcT
\
c =
C
kg
kJ
2
,
4
C
g
cal
0
,
1
0
0
=
\
Q =
C
40
C
kg
/
kJ
2
,
4
kg
5
,
0
kJ
84
0
0
=
\
Tfinal = 28 + 40 = 68 0C
O diagrama P V abaixo representa o ciclo de uma mquina trmica, cujo rendimento de 60. Determine a quantidade de calor que ela absorve da fonte quente, em unidades de 104 J.
RESPOSTA: 20
Justificativa
rendimento =
60
,
0
Q
W
AbS
=
; W = rea do retngulo
J
10
20
60
,
0
m
40
,
0
m
/
N
10
0
,
3
Q
4
3
2
5
AbS
=
=
Trs cargas pontuais positivas esto dispostas em posies fixas sobre uma circunferncia de raio R, de acordo com a figura. Qual a razo, Q/q, entre as cargas, para que o campo eltrico no centro da circunferncia seja nulo?
RESPOSTA: 1
Justificativa
0
2
2
60
cos
R
q
K
2
R
Q
K
=
\
1
60
cos
2
q
Q
0
=
=
No circuito abaixo, o capacitor de capacitncia C1 est carregado com uma carga de 143 C, e os outros dois capacitores C2 = 2C1 e C3 = 3C1 esto completamente descarregados. Fechando-se simultaneamente as chaves S1 e S2, qual a carga no capacitor C3, em unidades de C, aps se estabelecer o equilbrio eletrosttico?
RESPOSTA: 78
Justificativa
Q1 + Q2 = Q0
\
3
3
2
2
1
1
C
Q
C
Q
C
Q
+
=
(
3
Q
2
Q
Q
2
2
1
+
=
\
Q1 = (5/6)Q2
0
2
Q
Q
6
6
6
5
=
+
\
143
11
6
Q
11
6
Q
0
2
=
=
= 78,0 C
No trecho ab do circuito eltrico mostrado abaixo, a corrente I0 vale 22 mA. Qual o valor da corrente que passa na resistncia R, em mA?
RESPOSTA: 12
Justificativa
IR + I2R + I3R = I0 = 22 mA
IRR = I2R (2R) = I3R (3R)
I2R =
2
I
R
; I3R =
3
I
R
, portanto IR +
2
I
R
+
3
I
R
= 22 mA
+
+
6
3
2
6
I
R
= 22
\
IR = 12 mA
014. Uma onda senoidal se propaga em uma corda. O tempo transcorrido para um ponto da corda passar de uma situao de deslocamento mximo para a de deslocamento zero 1,25 x 10-2 s. Qual a freqncia, em Hz, dessa onda?
RESPOSTA: 20
Justificativa
O intervalo de tempo considerado igual a do perodo. A freqncia ser: f =
.
Hz
0
,
20
10
25
,
1
4
1
T
1
2
=
=
-
A figura ilustra uma experincia para determinao do ndice de refrao de um lquido. Quando o ngulo maior ou igual a 300, ocorre reflexo interna total do feixe de luz. Qual deve ser a razo entre o ndice de refrao do bloco de vidro e o ndice de refrao do lquido?
RESPOSTA: 2
Justificativa
.
lq
n
30
sen
vidro
n
=
2
5
,
0
1
.
lq
n
vidro
n
=
=
015. A figura mostra uma lente biconvexa e um anteparo plano que dista 20 cm da lente. Qual deve ser a distncia focal da lente, em cm, para que a imagem formada sobre o anteparo tenha o mesmo tamanho do objeto?
RESPOSTA: 10
Justificativa
Como a imagem deve se formar sobre o anteparo
s = 20 cm.
Para que o objeto e a imagem tenham mesmo tamanho
s = 20 cm
10
1
20
1
20
1
f
1
=
+
=
\
f = 10 cm
016. O olho humano contm uma lente convergente, denominada cristalino, e uma regio sensvel luz, onde se formam as imagens, denominada retina. Se a retina est localizada a 2,0 cm do cristalino, qual deve ser a distncia focal do cristalino, em mm, de modo que possamos enxergar nitidamente objetos que se encontram a 20 cm de distncia do olho?
RESPOSTA: 18
Justificativa
DI = 2,0 cm
D0 = 20 cm
I
0
D
1
D
1
f
1
+
=
\
22
40
D
D
D
D
f
0
I
0
I
=
+
=
= 1,8
FSICA 3
017. Um rio corre velocidade constante de 4,0 m/s. Um barco a motor sai de um determinado ancoradouro, descendo a correnteza. O grfico abaixo mostra a velocidade do barco, em relao correnteza, em funo do tempo. Qual o deslocamento total do barco, a partir do ancoradouro, em km, no intervalo de tempo de 0 a 60 minutos?
RESPOSTA: 18
Justificativa
=
D
Total
X
Deslocamento devido velocidade da correnteza + Deslocamento devido velocidade do barco.
= 4,0 x 3,6 x 103 +
km
18
2
10
8
,
1
0
,
4
3
=
018. Um mergulhador deixa cair uma caixa hermeticamente fechada, a partir do repouso, quando esta se encontra a 1,0 m de profundidade em um lago profundo. No primeiro segundo de sua queda, a caixa afunda mais 2,0 m. Sabendo que a massa da caixa 16 kg, calcule o empuxo que a gua exerce sobre ela, em N?
RESPOSTA: 96
Justificativa
F = ma =mg E
E = m(g-a)
y = y0 + V0yt +
2
at
2
1
; V0 = 0; y0 = 1,0 m; y(t=1) = 3,0 m
\
3,0 = 1,0+
2
)
1
(
a
2
1
a = 4,0 m/s2
E = 16(10 4,0) = 96 N
Um bloco de massa M = 2,0 kg e comprimento L = 1,0 m repousa sobre uma superfcie horizontal sem atrito. Um pequeno corpo, de massa m = 1,0 kg, est localizado na extremidade direita do bloco. O coeficiente de atrito cintico entre o bloco e o pequeno corpo c = 0,1. Aplicando-se uma fora horizontal F de intensidade 4,0 N no bloco, quanto tempo, em segundos, levar para o corpo cair na extremidade esquerda do bloco?
RESPOSTA: 2
Justificativa
2
c
c
m
s
/
m
0
,
1
g
m
mg
m
f
a
=
m
=
m
=
=
2
M
s
/
m
5
,
1
0
,
2
0
,
1
0
,
4
M
f
F
a
=
-
=
-
=
2
M
M
2
m
m
t
a
2
1
)
t
(
X
t
a
2
1
L
)
t
(
X
=
+
=
2
M
2
m
'
t
a
2
1
'
t
a
2
1
L
=
+
\
seg
0
,
2
L
4
'
t
'
t
4
1
L
2
=
=
=
019. A figura mostra uma montanha russa. O carro parte do repouso no ponto A e desloca-se com atrito desprezvel no trilho. Por segurana, necessrio que haja uma fora normal exercida pelos trilhos sobre o carro em todos os pontos da trajetria. Qual o menor raio de curvatura, em metros, que o trilho deve ter no ponto B para satisfazer o requisito de segurana?
RESPOSTA: 20
Justificativa
A fora centrpeta no ponto B deve ser igual ao peso do carro
Rg
v
mg
R
v
m
2
2
=
=
.
Conservao de energia:
mg hA = mg hB +
)
h
h
(
g
2
v
mv
2
1
B
A
2
2
-
=
. Portanto: Rg = 2g (hA hB)
\
R = 2(15,0 5,0) = 20 m
020. Uma pequena esfera, de massa m = 0,20 kg, presa na extremidade de uma corda. A esfera gira numa circunferncia vertical de raio L, de modo que quando ela passa pelo ponto mais alto da circunferncia (ponto A da figura), a tenso na corda nula. Determine a tenso, em N, quando a esfera passa pelo ponto mais baixo da circunferncia (ponto B). Despreze a massa da corda e a resistncia do ar.
RESPOSTA: 12
Justificativa
Em A: m
mg
L
V
2
A
=
(TA = 0)
gL
V
2
A
=
Em B: m
mg
T
L
V
B
2
B
-
=
+
=
L
V
g
m
T
2
B
B
Da conservao de energia
gL
5
gL
4
V
V
mgL
2
mV
2
1
mV
2
1
2
A
2
B
2
A
2
B
=
+
=
+
=
\
TB = m(g+5g) = 6mg
TB = 6 x 0,20 x 10 = 12 N
021. A figura mostra a vlvula de segurana de uma caldeira a vapor. A haste de comprimento 0,30 m articulada no ponto A e gira no sentido anti-horrio, abrindo a vlvula, quando a presso na caldeira ultrapassa um valor determinado. Supondo que a haste e o tampo T tm massas desprezveis em comparao com a massa do bloco M, calcule a fora mnima sobre o tampo, em N, a partir da qual a vlvula abrir.
RESPOSTA: 53
Justificativa
O torque em relao ao ponto A deve ser nulo
F x 0,03 = 0,53 x 10 x 0,30
\
F = 53 N
022. A figura representa a molcula de NO. O tomo de nitrognio tem massa atmica 14 e o tomo de oxignio tem massa atmica igual a 16. A distncia entre os dois tomos D = 1,5 x 10-8 cm. Qual a distncia entre o centro de massa da molcula e o tomo de nitrognio, em unidades de 10-10 cm?
RESPOSTA: 80
Justificativa
Escolhendo a origem coincidente com a posio do tomo de N
0
N
0
CM
m
m
D
m
x
+
=
10
8
CM
10
80
14
16
10
5
,
1
16
x
-
-
=
+
=
cm
023. O grfico abaixo representa a variao da temperatura de 100 gramas de gua, em funo da quantidade de calor fornecida Q. Qual a quantidade de calor fornecida no processo de A ( D, em unidades de 103 cal?
RESPOSTA: 11
Justificativa
cal
10
x
11
20
100
1
80
100
20
100
5
,
0
gua
)
T
mc
(
mL
gelo
)
T
mc
(
Total
Q
3
=
+
+
=
D
+
+
D
=
O diagrama P V abaixo representa o ciclo de uma mquina trmica. O calor absorvido da fonte quente, em um ciclo, igual a 1,0 x 105 J. Qual o rendimento trmico dessa mquina, em ?
RESPOSTA: 45
Justificativa
AbS
5
AbS
Q
/
W
R
ento
dim
ren
J
10
0
,
1
Q
=
=
=
\
W = rea do tringulo =
2
5
3
m
/
N
10
0
,
3
m
30
,
0
2
1
J
10
45
,
0
W
5
=
45
,
0
10
0
,
1
10
45
,
0
R
5
5
=
=
45%
A unidade de carga eltrica chamada faraday a carga correspondente ao nmero de Avogadro de prtons. Converta em coulomb uma carga de 0,001 faraday.
RESPOSTA: 96
Justificativa
Q = qp NA = 1,6 x 10-19 x 6,0 x 1023 portanto 1 Faraday = 9,6 x 104C
0,001 Faraday = 0,001 x 9,6 x 104 = 96 C
Duas esferas condutoras A e B, de raios rA = R e rB = 2R, esto inicialmente carregadas com cargas qA = 150 C e qB = 24 C, respectivamente. As esferas encontram-se afastadas por uma grande distncia e so em seguida conectadas por um longo fio condutor de espessura desprezvel. Aps estabelecido o equilbrio eletrosttico, qual o valor da carga na esfera B, em C?
RESPOSTA:
84
Justificativa
Aps estabelecido o equilbrio eletrosttico as duas esferas estaro no mesmo potencial com cargas
A
'
q
e
B
'
q
.
2
'
q
'
q
R
2
'
q
R
'
q
q
q
'
q
'
q
B
A
B
A
B
A
B
A
=
=
+
=
+
B
A
B
q
q
2
1
1
'
q
+
=
+
\
)
126
(
3
2
)
q
q
(
3
2
'
q
B
A
B
=
+
=
\
C
84
'
q
B
m
=
Na recarga de uma bateria de 12,0 V e resistncia interna de 0,4 , liga-se em srie com a bateria um resistor de 9,0 para limitar a corrente. Determine a corrente atravs da bateria, em ampres, quando se utiliza um gerador de 220 V e resistncia interna de 1,0 , conforme indicado no circuito.
RESPOSTA: 20
Justificativa
(
)
A
20
)
4
,
0
0
,
1
0
,
9
(
)
0
,
12
220
(
i
i
R
=
+
+
-
=
=
e
Um capacitor de placas paralelas carregado e mantido ligado a uma bateria. A carga no capacitor ento 50 x 10-10 C. Duplica-se em seguida a separao entre as placas sem desligar a bateria e com isto muda-se a carga no capacitor. Qual o valor da carga final em unidades de 10-10 C?
RESPOSTA: 25
Justificativa
C =
f
i
0
C
2
C
d
A
=
e
\
2
q
q
V
C
q
;
V
C
q
i
f
f
f
i
i
=
=
=
C
10
25
2
10
50
q
10
10
f
-
-
=
=
Uma espira quadrada de lado 0,1 m formada de um fio condutor cuja resistncia eltrica total 1,0 Essa espira est submetida a um campo magntico espacialmente uniforme e varivel no tempo, de acordo com o grfico abaixo. Calcule o mdulo da corrente eltrica que circula na espira, em unidades de 10-3A.
RESPOSTA: 35
Justificativa
A
10
35
1
,
0
35
,
0
0
,
1
01
,
0
t
B
R
A
t
R
1
R
|
|
i
3
-
=
=
D
D
=
D
f
D
=
e
=
024. Uma corda est presa nas duas extremidades e tem uma ressonncia para o comprimento de onda de 18 cm, com o harmnico n, e uma outra, para o comprimento de onda de 16 cm, com o harmnico n+1. Qual o comprimento da corda, em cm?
RESPOSTA: 72
Justificativa
Para uma corda fixa nas duas extremidades
n
L
2
n
=
l
. Temos:
cm
18
n
L
2
=
e
cm
16
1
n
L
2
=
+
8
9
16
18
n
1
n
=
=
+
\
n = 8
cm
18
8
L
2
n
=
=
l
L = 72 cm
Um raio de luz, ao passar da gua (ndice de refrao igual a 1,33) para o vidro (ndice de refrao igual a 1,6), refrata-se como indicado na figura. Determine o valor do ngulo de refrao v, em graus.
RESPOSTA: 30
Justificativa
nV sen V = n sen i ;
6
,
0
)
0
,
3
(
)
0
,
4
(
0
,
3
sen
2
2
i
=
+
=
q
1,6 sen V = 1,33 x 0,6 = 0,8
sen V = 0,5
V = 300
MATEMTICA - 1
025. Em 2000 o consumo mdio mensal de energia eltrica em Pernambuco ser de 1.050 MW. O aumento mdio do consumo de energia eltrica de 5% ao ano. Usando a aproximao 1,054
@
1,22, calcule a estimativa (em MW) para o consumo mdio mensal em 2004 e indique a soma dos seus dgitos.
RESPOSTA: 12
Justificativa
O consumo mdio mensal em 2004 ser de 1050
1,054
@
1050
1,22 = 1281, que tem soma dos dgitos 12.
026. No segundo trimestre deste ano a economia norte-americana cresceu 5,2%. O consumo privado e o de servios, que juntos movimentam dois teros da economia, cresceram apenas 3% no mesmo perodo. Denote por C o quanto cresceu percentualmente o tero restante da economia (que corresponde a aumento nos investimentos das empresas e gastos do governo). Marque 10C.
RESPOSTA: 96
Justificativa
Temos: 2/3 x 3+1/3 x C = 5,2 e da C = 3
3,2 = 9,6, portanto, 10C = 96.
027. O cdigo de barras para comercializao de produtos consiste de dois blocos consecutivos, cada um com 6 dgitos ordenados. O primeiro bloco classifica o fabricante e o segundo classifica o produto. Seja N o nmero de produtos que podem ser assim classificados (segundo fabricante e produto). Indique o nmero de zeros de N (na notao decimal).
RESPOSTA: 12
Justificativa
O nmero de produtos que podem ser classificados N = 106
106 = 1012 , que tem 12 zeros na notao decimal.
028. Na conta de telefone, deveriam ser cobrados os custos das ligaes acrescidos de 25% de impostos. Contudo, uma companhia telefnica resolveu cobrar de impostos 25% do valor efetivamente pago pelo usurio. Se P a diferena entre o percentual sobre o preo de custo cobrado pela telefnica e o percentual de impostos que deveria ser pago, marque 3P.
RESPOSTA: 25
Justificativa
Se x o valor cobrado pela telefnica e y o custo das ligaes temos 0,75x = y e da x = 1/0.75y = 4/3y.
Da P = (4/3 - 1)100 - 25 e 3P = 25.
029. A loja de tecidos F promove a seguinte liquidao: pague x metros de linho e leve (2x+0,3) metros. Imediatamente, a loja concorrente J realiza a seguinte promoo: pague x metros de linho e leve (3x+0,2) metros. Considerando estes dados, analise as afirmaes seguintes:
0-0) Se o preo do metro de linho o mesmo nas duas lojas, ento paga-se mais na loja F sempre que se deseje levar mais que meio metro de linho.
1-1) Se o preo do metro de linho o mesmo nas duas lojas, ento pagando-se o mesmo preo que na loja F, sempre se leva uma pea maior comprando na loja J.
1-2) Se o preo do metro de linho na loja J for 1,5 vezes o preo da loja F, ento nunca se pagar o mesmo preo nas duas lojas pela mesma pea de linho.
1-3) Se o preo do metro de linho na loja J for 1,5 vezes o preo da loja F, ento o preo na loja F sempre ser menor que na loja J para a mesma pea de linho.
1-4) Se o preo do metro de linho na loja F for maior que 2/3 vezes o preo da loja J, ento o preo da loja F sempre ser maior que o da loja J para a mesma pea de linho.
RESPOSTA: V F V V F
Justificativa
Caso se deseje comprar y metros de linho paga-se (y - 0,3)/2, (y - 0,2)/3 metros nas lojas F e J, respectivamente.
0-0) Verdadeiro. (y - 0,3)/2 > (y - 0,2)/3 se e somente se 3y - 0,9 > 2y - 0,4 se e somente se y > 0,5.
1-1) Falso. 3x + 0,2 > 2x + 0,3 se e somente se x > 0,1.
1-2) Verdadeiro. (y - 0,3)/2 = 1,5(y - 0,2)/3 se e somente se -0,3 = -0,2.
1-3) Verdadeiro. (y - 0,3)/2 < 1,5(y - 0,2)/3 se e somente se -0,3 < -0,2.
1-4) Falso. Se p a razo entre os preos das lojas F e J temos: p(y - 0,3)/2 > (y - 0,2)/3 se e somente se y > (0,9p - 0,4)/(3p - 2). Logo, y > 0,3+0,2/(3p-2)>0,3 se p > 2/3.
030. Uma barra de chocolate tem a forma de um prisma reto de altura 175 mm tendo por base um trapzio issceles de bases 8 mm e 32 mm e altura 16 mm (veja a ilustrao abaixo). Calcule o nmero A de milmetros quadrados de papel que so necessrios para cobrir uma barra deste tipo de chocolate. Indique a soma dos dgitos de A.
RESPOSTA: 15
Justificativa
Os retngulos das faces laterais tm base (122+162)1/2 = 4 x 5 = 20 (milmetros). A rea total
(20 + 32 + 20 + 8) x 175 + (32 + 8) x 16/2 x 2 = 80 x 175+40 x 16 = (350 + 16) x 40 = 14640 (milmetros quadrados),
que tem soma dos dgitos 15.
031. Um armazm pretende encomendar os itens X e Y que custam R$ 2,00 e R$ 1,00 a unidade, respectivamente. Considerando a demanda destes itens, o nmero de unidades de X e Y a serem encomendadas no ultrapassa 300 e 500 respectivamente. Restries de espao para estoque dos itens exigem que o nmero total de itens encomendados seja no mximo 600. Alm disso, restries financeiras impem que o gasto total com a encomenda no ultrapasse R$ 800,00. Suponha que o lucro do armazm com a venda de cada item de X R$ 0,70 e de cada item de Y R$ 0,50. Denote por x o nmero de itens de X e por y o nmero de itens de Y. Considerando estes dados, analise as afirmaes:
0-0) As desigualdades que expressam as condies acima so
0
x
300, 0
y
500, x + y 600
0 e 800 2x y
0
1-1) Em um sistema cartesiano ortogonal com x no eixo das abscissas e y no eixo das ordenadas a regio contendo os possveis valores de (x,y) satisfazendo todas as condies apresentadas a regio colorida abaixo.
1-2) O lucro com a venda de X e Y dado por L(x,y) = 0,7x + 0,5y e para um nmero real c L(x,y) = c representa uma reta de inclinao 7/5.
1-3) O lucro com a venda dos itens X e Y ser mximo quando x=300 e y=200 (supondo que todos os itens encomendados sero vendidos).
1-4) O lucro mximo que o armazm pode obter com a comercializao destes itens de R$ 340,00 (supondo que todos os itens encomendados sero vendidos).
RESPOSTA: F V V F V
Justificativa
0-0) Falso. 800-2x-y
0.
1-1) Verdadeiro. A regio colorida o grfico de:
0
x
300, 0
y
500, x + y 600
0 e 800 2x y
0 (basta verficar nos pontos: (100,500), (200,400) e (300,200))
1-2) Verdadeiro. y = -7/5x + 2c, que tem inclinao 7/5.
1-3) Falso. O lucro ser mximo quando x = 200, y = 400 j que a inclinao de y = -7/5x + 2c est entre as inclinaes de y = 800 - 2x e y = 600 x .
1-4) Verdadeiro. O lucro mximo ser 0,7 x 200 + 0,5 x 400 = 340 reais.
032. As notas de 15 estudantes foram agrupadas em trs conjuntos disjuntos A, B e C. As mdias aritmticas das notas em
C
A
,
B
A
e
C
B
foram 45, 54 e 60 respectivamente. Sabendo que A possui 3 notas e B possui 5 notas, calcule a mdia aritmtica dos 15 estudantes.
RESPOSTA: 54
Justificativa
Somadas as notas de A e B, A e C, B e C obtm-se 45 x 8, 54 x 10, 60 x 12 e, portanto, a mdia de todos os estudantes (45 x 8+ 54 x 10+60 x 12)/(2 x 15) = 12+18+24 = 54.
033. Trs candidatos R, J e C concorrem a uma eleio. Numa pesquisa sobre inteno de voto, em que os consultados escolheram os candidatos em ordem crescente de preferncia, obteve-se o seguinte resultado:
47% escolheram C-J-R
32% escolheram R-C-J
21% escolheram R-J-C
Supondo que estas intenes de voto foram confirmadas nas eleies onde cada eleitor escolhe um nico candidato e vence o candidato com o maior nmero de votos, analise as afirmaes seguintes:
0-0) R ganhou as eleies com mais da metade dos votos.
1-1) Na pesquisa, mais da metade dos eleitores escolheu R como a ltima opo.
1-2) O segundo colocado nas eleies foi J com 32% dos votos.
1-3) Na pesquisa, 53% dos eleitores preferem J a R.
1-4) Na pesquisa, 79% dos eleitores preferem J a C.
RESPOSTA: F V V V V
Justificativa
0-0) Falso. R ganhou as eleies com 47% dos votos.
1-1) Verdadeiro. (32+21)% = 53% escolheram R como a ltima opo.
1-2) Verdadeiro. 32% votaram em J.
1-3) Verdadeiro. (32+21)% = 53% preferem J a R.
1-4) Verdadeiro. (47+32)% = 79% preferem J a C.
034. Inicialmente, uma abelha est no vrtice A de um tetraedro regular ABCD. A cada 5 segundos ela voa aleatoriamente para outro vrtice do tetraedro. Seja P a probabilidade de a abelha estar de volta ao vrtice A passados 15 segundos. Assinale 90P.
Observao: Ignore o tamanho da abelha e o tempo de vo de um vrtice a outro.
RESPOSTA: 20
Justificativa
Os casos provveis so 3.2 e o total de casos 3.3.3 portanto a probabilidade 3.2/3.3.3 = 2/9 e 2/9.90 = 20.
As informaes seguintes referem-se s questes 27 e 28.
Uma economia consiste de trs setores: transporte, energia e indstria. Suponha que para a produo de cada real
o setor de transportes requer o uso de 10 centavos de transporte, 20 centavos de energia e 20 centavos da indstria.
o setor de energia requer o uso de 20 centavos de transporte, 10 centavos de energia e 20 centavos da indstria.
o setor da indstria requer o uso de 20 centavos de transporte, 20 centavos de energia e 10 centavos da indstria.
Estas informaes podem ser resumidas na matriz 3
3 seguinte onde as linhas contm o que cada setor (transporte, energia e indstria, nesta ordem) precisa de transporte, energia e indstria para a produo de cada real :
1
,
0
2
,
0
2
,
0
2
,
0
1
,
0
2
,
0
2
,
0
2
,
0
1
,
0
EMBED Equation.3
035. Se a produo em certo perodo foi de 30 milhes em transporte, 40 milhes em energia e 16 milhes na indstria, calcule a quantidade (em milhes de reais) que foi consumida por transporte, energia e indstria para a obteno desta produo.
RESPOSTA: 43
Justificativa
Foram consumidos 0,1.30+0,2.40+0,2.16+0,2.30+0,1.40+0,2.16+0,2.30+0,2.40+0,1.16 = 0,5.30+0,5.40+0,5.16 = 43 milhes.
036. Suponha que a estimativa de demanda (alm do consumido por cada setor) para transporte, energia e indstria seja de 21, 23, e 33 milhes de reais, respectivamente. Indique a produo total da indstria (em milhes de reais) necessria para atender esta demanda.
RESPOSTA: 58
Justificativa
Se X a matriz 3 x 1 do que deve ser produzido (trabalho, energia e indstria), Y a matriz 3 x 1 com coordenadas 21, 23 e 33 e P a matriz dada, temos PX+Y = X ou (I-P)X = Y ou X = (I-P)-1Y. Como s estamos interessados na indstria, basta calcularmos a ltima linha da matriz (I-P)-1.
Ora, I-P tem determinante
-0,2.(0,04+0,18)+0,2(-0,18-0,04)+0,9(0,81-0,04) = -0,088+0,693 = 0,605
e sua ltima linha (0,22/0,605; 0,22/0,605; 0,77/0,605) = (4/11;4/11;14/11).
A indstria dever produzir 4/11.21+4/11.23+14/11.33 = 58 milhes.
037. A figura abaixo ilustra parte do grfico de um polinmio cbico com coeficientes reais p(x) que passa pelos pontos (-1,0), (0,8), (2,0) e (3,-4).
Considerando estes dados, analise as afirmaes seguintes:
0-0) Existe um nmero real a tal que
10
)
a
(
p
10
>
1-1) Existe um nmero real b tal
10
)
b
(
p
10
-
/pp class="2-2)_alternativa"1-2) A soma das razes de p(x) 5 /pp class="3-3)_alternativa"1-3) div class="embedded" id="_1034779174"/p)/p
p4/p
px/p
p4/p
px/p
px/p
p(/p
p2/p
p)/p
px/p
p(/p
pp/p
p2/p
p3/p
p-/p
p-/p
p+/p
p-/p
p=/p
/pp class="4-4)_alternativa"1-4) p(x) possui exatamente duas razes reais. /ppRESPOSTA: V V V F F/ppJustificativa/pp class="0-0)_alternativa"0-0) Verdadeiro. Escrevendo p(x) = c(x+1)(x-2)(x+a) temos -2ac = 8 e c.4.(3+a) = -4. Da ac = -4 e /pp class="0-0)_alternativa"3c+ac =-1 e c = 1, a = -4. Logo p(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 4) = x3 5x2 + 2x + 8. p(a) > 1010 se,
por exemplo, a > 104.
1-1) Verdadeiro. p(b) < -1010 se por exemplo, b < -104 .
1-2) Verdadeiro. As razes de p(x) so -1,2 e 4.
1-3) Falso. p(x) = x3 5x2 + 2x + 8.
1-4) Falso. p(x) possui trs razes reais.
038. Jnior tomou um emprstimo de R$ 10.000,00 para comprar um carro. Este emprstimo ser pago em prestaes mensais fixas de R$ 300,00 excetuando-se a ltima que ser de menor valor. Sobre o valor devido incidiro juros mensais de 1%, que so incorporados ao dbito no dia anterior ao pagamento da prestao. A primeira prestao ser paga um ms aps o emprstimo. Denote por Dn o valor devido, em centenas de reais, aps o pagamento de n prestaes. Consideradas as informaes acima, analise as afirmaes seguintes:
Dado: use a aproximao
7
,
39
485
,
1
log
1,01
@
.
0-0) D1 = 98
1-1) Dn = Dn-1 3 desde que Dn > 0
1-2) Dn = 1,01 Dn-1 3 desde que Dn > 0
1-3) Se Dn = 300 202 x 1,01n-1 ento
Dn+1 = 1,01(300202 x 1,01n-1)3 = 300202 x 1,01n desde que Dn+1 >0.
1-4) O pagamento total do emprstimo se far em 40 meses.
RESPOSTA: V F V V V
Justificativa
0-0) Verdadeiro. D1 = 1,01 x 100-3 = 98.
1-1) Falso. Dn = 1,01Dn-1-3.
2-2) Verdadeiro. Dn = 1,01Dn-1-3.
1-3) Verdadeiro. Basta verificar que 1,01(300 202 x 1,01n-1) 3 = 300 202 x 1,01n. Consequentemente, por induo Dn = 300 202 x 1,01n-1
1-4) Verdadeiro. Dn+1 = 0 se s se 1,01n = 300/202 = 1,485 que acontece quando n = log1,01 1,485 = 39,7. Portanto, o pagamento do emprstimo se far em 40 prestaes.
039. Sejam B = (2,0) e C = (0,-10). Dentre os pontos A = (x,y) da parbola y = x2 calcule a rea
a
do tringulo ABC de rea mnima e marque 4
a
.
RESPOSTA: 15
Justificativa
A reta passando por A = (a,a2) e C = (0,-10) tem equao y+10 = (a2+10)/a x que intercepta o eixo das abscissas em x = 10a/(a2+10). Logo a rea ser dada por 1/2(a2+10)(2-10a/(a2+10)) = a2+10-5a que tem mnimo em a = 5/2 = 2,5 e valor mnimo
a
= -(52-4.10)/4 = (-25+40)/4 = 15/4 portanto, 4
a
= 15.
040. Para um jogo de futebol so vendidos ingressos para a geral, a arquibancada e as cadeiras ao preo unitrio de R$ 5,00, R$ 10,00 e R$ 20,00 respectivamente. Foram postos venda 25.000 ingressos e foram arrecadados R$ 275.000,00 com a venda dos ingressos. Sabendo que o nmero de ingressos vendidos para a geral excedeu em 1.000 o nmero de ingressos vendidos para a arquibancada, determine o nmero mnimo N de ingressos vendidos para as cadeiras. Marque N/100.
RESPOSTA: 72
Justificativa
Sejam g,a,c o nmero de ingressos vendidos para a geral, arquibancadas e cadeiras respectivamente.
Temos g + a + c
25000, 5g + 10a + 20c = 275000, g = a + 1000. Substituindo, obtemos 2a + c
24000, 3a + 4c = 54000. Portanto, 2a + c + 5/3c = 36000 e 5/3c
12000 ou c
7200.
MATEMTICA - 2
041. Num cubo ABCDEFGH de aresta 12 o ponto X est na aresta EF e XF mede 3 e o ponto Y est na aresta CD e YD mede 4 (veja a ilustrao a seguir) . Assinale o inteiro mais prximo da medida de XY.
RESPOSTA: 18
Justificativa:
Construa perpendicular a AB passando por X e interceptando AB em Z. O tringulo XZY retngulo em Z e ZY2 = 52 + 122 = 169 e XY2 = 122 + 169 = 313 e o inteiro mais prximo de XY 18.
042. A CPMF o imposto sobre movimentao financeira. Se a alquota da CPMF aumentar de 0,30% para 0,38% o governo prev um aumento de 940 milhes de reais na sua arrecadao trimestral. Seja x a arrecadao trimestral atual obtida com a CPMF. Assinale a soma dos dgitos de x.
RESPOSTA: 15
Justificativa:
(0,38-0,30)% = 0,08% corresponde a 940 milhes de reais. A arrecadao trimestral 940.0,30/0,08 = 3.525 milhes de reais. A resposta 3+5+2+5=15.
043. Na ilustrao a seguir, CD um dimetro da circunferncia com centro em O e raio 8, AC e BD so perpendiculares a AB e AB tangente circunferncia em T. Se AB = 12, calcule OA.
RESPOSTA: 10
Justificativa:
Como AC, TO e BC so paralelas e OD = OC temos, pelo teorema de Tales, que TA = TB = 6.
Portanto AO =
10
100
8
6
2
2
=
=
+
044. Sejam
n
2
n
x
x
x
1
(x)
G
+
+
+
+
=
L
e
L
L
+
+
+
+
+
=
n
2
x
x
x
1
G(x)
para x verificando
1
x
1
p/p
p-/p
. Calcule o menor inteiro n satisfazendo /ppdiv class="embedded" id="_1037228386"/p6/p
pn/p
p10/p
p1/p
p5/p
p1/p
pG/p
p5/p
p1/p
pG/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p-/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
/ppRESPOSTA: 8 /ppJustificativa: /ppTemos Gn(x) = (1-xn+1)/(1-x) e G(x) = 1/(1-x) e, portanto, G(x)-Gn(x) = xn+1/(1-x) e fazendo x = 1/5, obtemos 1/(4. 5n)1/106 ou 5n-624 que verdadeira se e s se div class="embedded" id="_1037689180"/p8/p
pn/p
p/p
./pp class="1.questo"045. Quantos so os paralelogramos com lados sobre os segmentos da figura seguinte, onde os segmentos que no se interceptam so paralelos./pp/p
pRESPOSTA: 90/ppJustificativa:/ppPodemos escolher dois lados horizontais, entre os 4 existentes, de 4.3/2=6 formas diferentes. Para a escolha dos lados inclinados temos 6.5/2=15 possibilidades. Logo, existem 15.6 = 90 paralelogramos na figura dada./pp class="1.questo"046. Na figura a seguir ABCDEFGH um paraleleppedo reto retngulo. Supondo que a medida de AB maior que a de BC, analise as afirmaes seguintes:/pp/p
p class="0-0)_alternativa"0-0) A medida do ngulo AHB maior que a do ngulo ACB/pp class="1-1)_alternativa"1-1) A medida do ngulo HAB menor que a do ngulo CAB/pp class="2-2)_alternativa"1-2) A diagonal AG tem medida maior que a da diagonal BH /pp class="3-3)_alternativa"1-3) A medida do ngulo ACB igual soma das medidas dos ngulos AHB e HAC/pp class="4-4)_alternativa"1-4) Os ngulos AHB e CAB so congruentes se e somente se a medida de AB a mdia geomtrica das medidas de BH e BC./ppRESPOSTA: F F V F V/ppJustificativa: /pp class="0-0)_alternativa"0-0) Falso. Construa uma cpia do tringulo ABH no plano do tringulo ABC, mantendo AB fixado; temos que o ngulo ACB externo ao tringulo AHC e a medida de ACB maior que a de AHB. /pp class="1-1)_alternativa"1-1) Falso. Na construo de 0-0), AB lado comum dos tringulos ABC e ABH e a medida de BC menor que a de BH./pp class="2-2)_alternativa"1-2) Verdadeiro. Segue imediatamente do Teorema de Pitgoras e da desigualdade entre os lados./pp class="3-3)_alternativa"1-3) Falso. Basta fixar a base ABCD e escolher H de forma que o ngulo HAC seja de medida maior que a do ngulo ACB./pp class="4-4)_alternativa"1-4) Verdadeiro. As tangentes dos ngulos AHB e CAB valem, respectivamente, AB/BH e BC/AB e sero iguais se e somente se AB2 = BC.BH./ppSeja a medida do ngulo entre as faces de um tetraedro regular. Assinale div class="embedded" id="_1037231757"/p30cos/p
./pp/p
pRESPOSTA: 10/ppJustificativa:/ppA altura do tringulo equiltero de lado 1 div class="embedded" id="_1037721272"/p2/p
p//p
p3/p
e da 1 = 3/4+3/4-2.3/4.div class="embedded" id="_1037721347"/pa/p
pcos/p
e div class="embedded" id="_1037692717"/p3/p
p//p
p1/p
pcos/p
p=/p
pa/p
./pp class="1.questo"047. Em um exame a mdia aritmtica de todos os alunos foi 4,5, enquanto a mdia dos alunos aprovados foi 5,3 e a dos reprovados foi 3,9. Indique o inteiro mais prximo do percentual dos alunos reprovados./ppRESPOSTA: 57/ppJustificativa:/ppSejam a e r o nmero de alunos aprovados e reprovados, respectivamente. Temos que a soma de todas as notas igual a 4,5(a+r) e tambm igual a 5,3a+3,9r. Da, 0,6r = 0,8a ou a = 3r/4. O percentual de reprovados foi div class="embedded" id="_1037713473"/pr/p
p4/p
p//p
pr/p
p3/p
pr/p
p100/p
pr/p
pa/p
pr/p
p100/p
p+/p
p=/p
p+/p
= 400/7 = 57,1./pp class="1.questo"048. Seja div class="embedded" id="_1037224097"/pQ/p
p+/p
o conjunto dos nmeros racionais positivos e div class="embedded" id="_1037224140"/pN/p
p*/p
o conjunto dos inteiros positivos. Defina div class="embedded" id="_1037224156"/pN/p
p*/p
pQ/p
p/p
p+/p
p:/p
pf/p
por div class="embedded" id="_1037534257"/p1)/p
p(2b/p
p2/p
pf(a/b)/p
p1/p
pa/p
p-/p
p=/p
p-/p
para uma frao irredutvel div class="embedded" id="_1037224399"/p0/p
pa/p
p,/p
pb/p
pa/p
p/p
. Analise as afirmaes seguintes acerca de f:/pp class="0-0)_alternativa"0-0) div class="embedded" id="_1037059790"/pf/p
sobrejetora /pp class="1-1)_alternativa"1-1) div class="embedded" id="_1037059794"/pf/p
injetora/pp class="2-2)_alternativa"1-2) div class="embedded" id="_1037059798"/pf/p
crescente/pp class="3-3)_alternativa"1-3) Se div class="embedded" id="_1037059815"/pN/p
p*/p
pa/p
p/p
ento div class="embedded" id="_1037552947"/p2/p
p1/p
pa/p
p)/p
pa/p
p(/p
pf/p
p-/p
p=/p
/pp class="4-4)_alternativa"1-4) Se div class="embedded" id="_1037059821"/pN/p
p*/p
pb/p
p/p
ento div class="embedded" id="_1037059825"/p1/p
pb/p
p2/p
p)/p
pb/p
p1/p
p(/p
pf/p
p-/p
p=/p
/ppRESPOSTA: V V F V V /ppJustificativa:/pp class="0-0)_alternativa"0-0) Verdadeiro. Todo natural multiplicao de uma potncia de 2 por um mpar./pp class="1-1)_alternativa"1-1) Verdadeiro. A fatorao mencionada em 0-0) nica a menos da ordem dos fatores./pp class="2-2)_alternativa"1-2) Falso. f(1/2) = 31 = f(1)./pp class="3-3)_alternativa"1-3) Verdadeiro. Segue imediatamente da definio da funo com b = 1/pp class="4-4)_alternativa"1-4) Verdadeiro. Segue imediatamente da definio da funo com a = 1/pp class="1.questo"049. As bases ABC e A1B1C1 do slido div class="embedded" id="_1037223962"/pABC/p
A1B1C1 ilustrado a seguir so tringulos congruentes e esto em planos paralelos. A projeo ortogonal de A1B1C1 sobre o plano contendo ABC coincide com a rotao de div class="embedded" id="_1037059519"/p30/p
po/p
do tringulo ABC no sentido A-B-C que no move o centro de ABC. Todas as faces do slido so triangulares. Analise as seguintes afirmaes referentes a este slido: /pp/p
p class="0-0)_alternativa"0-0) O slido possui 12 arestas/pp class="1-1)_alternativa"1-1) O slido possui 8 faces/pp class="2-2)_alternativa"1-2) O slido no convexo /pp class="3-3)_alternativa"1-3) Os segmentos AC1, BA1 e CB1 no contm pontos do interior do slido/pp class="4-4)_alternativa"1-4) O slido no unio de tetraedros com vrtices nos vrtices do slido./ppRESPOSTA: V V V V V/ppJustificativa:/pp class="0-0)_alternativa"0-0) Verdadeiro. As arestas so AC, AB, AB1, AA1, BC, BC1, BB1, CA1, CC1, A1B1,A1C1,B1C1./pp class="1-1)_alternativa"1-1) Verdadeiro. As faces do slido so ABC, ABB1, ACA1, AA1B1, BCC1, BB1C1, CA1C1,A1B1C1./pp class="2-2)_alternativa"1-2) Verdadeiro. O slido no fica inteiramente contido em nenhum dos semi-planos de qualquer plano contendo uma face diferente das bases ABC e A1B1C1./pp class="3-3)_alternativa"1-3) Verdadeiro. imediato da construo do slido./pp class="4-4)_alternativa"1-4) Verdadeiro. Um tetraedro com vrtices nos vrtices do slido ter um dos pares A, C1 ou B, A1 ou C, B1 como vrtices e os pares so extremos de segmentos sem ponto interior comum com o slido, portanto, este tetraedro no est contido no slido./pp class="1.questo"050. Na ilustrao abaixo, o quadrado ABCD de lado 13 dividido em dois tringulos retngulos (BFA e EAF) e dois trapzios (CHGF e EGHD) de forma que AE, BF, GE e HC medem 5. A seguir, recortamos estes polgonos e juntamos BFA com CHGF fazendo coincidir B com C e F com H obtendo o polgono com vrtices entre os pontos A, F, G e H (denotado por A-F-G-H). Analogamente, juntamos EAF e EGHD fazendo coincidir E com E e A com G obtendo um polgono contendo os pontos D, F, G e H (denotado por D-F-G-H). Analise as afirmaes seguintes referentes a estes polgonos: /pp/p
p class="0-0)_alternativa"0-0) A-F-G-H um tringulo retngulo /pp class="1-1)_alternativa"1-1) A, H e G esto no mesmo lado de A-F-G-H/pp class="2-2)_alternativa"1-2) Os polgonos A-F-G-H e D-F-G-H so congruentes/pp class="3-3)_alternativa"1-3) Fazendo coincidir no plano dos polgonos os vrtices A e G de A-F-G-H com os vrtices (respectivos) H e F de D-F-G-H obtemos um retngulo cuja rea a soma das reas de A-F-G-H e D-F-G-H /pp class="4-4)_alternativa"1-4) A rea de A-F-G-H 84./ppRESPOSTA: F F V F F/ppJustificativa:/pp class="0-0)_alternativa"0-0) Falso. G,H e A no so colineares: AH tem inclinao 5/13 e GH tem inclinao 3/8 (relativas horizontal)./pp class="1-1)_alternativa"1-1) Falso. Pela mesma razo de 0-0)./pp class="2-2)_alternativa"1-2) Verdadeiro. Estes polgonos possuem lados e ngulos correspondentes congruentes./pp class="3-3)_alternativa"1-3) Falso. As reas de A-F-G-H e D-F-G-H so iguais e somam 13.13 = 169 enquanto a rea do retngulo 8.21 = 168./pp class="4-4)_alternativa"1-4) Falso. A rea de A-F-G-H 84,5/pp class="1.questo"051. Imagine os grficos das parbolas com equaes div class="embedded" id="_1037228827"/p0/p
pa/p
p /p
p1,/p
p2x/p
px/p
pa/p
py/p
p2/p
p/p
p+/p
p-/p
p=/p
esboados em um mesmo sistema de coordenadas cartesianas. Os vrtices destas parbolas esto sobre uma reta de equao div class="embedded" id="_1037228700"/pn/p
pmx/p
py/p
p+/p
p=/p
. Assinale div class="embedded" id="_1037228685"/pn/p
pm/p
p2/p
p2/p
p+/p
./ppRESPOSTA: 2/ppJustificativa:/ppOs vrtices das parbolas so os pontos (1/a,1-1/a) que esto sobre a reta y = 1-x./pp class="1.questo"052. Seja ABCDEF um hexgono que tem seus pares de lados opostos AB e DE, BC e EF, CD e FA paralelos. Na ilustrao abaixo tambm so paralelos os segmentos AB e GC, BC e AI e CD e EH. Consideradas estas informaes, analise as afirmaes seguintes: /pp/p
p class="0-0)_alternativa"0-0) AIEF um paralelogramo/pp class="1-1)_alternativa"1-1) A rea de EHC igual rea de EDC/pp class="2-2)_alternativa"1-2) A medida de GH igual diferena das medidas dos lados AB e ED /pp class="3-3)_alternativa"1-3) Subtraindo-se a rea de GHI do dobro da rea de ACE obtm-se a rea de ABCDEF/pp class="4-4)_alternativa"1-4) ACE e BDF tm mesma rea/ppRESPOSTA: V V V V V/ppJustificativa:/pp class="0-0)_alternativa"0-0) Verdadeiro. AI, EF so paralelos a BC e IE, FA so paralelos a CD./pp class="1-1)_alternativa"1-1) Verdadeiro. EDC e CHE so tringulos congruentes./pp class="2-2)_alternativa"1-2) Verdadeiro. Os lados opostos de paralelogramos so congruentes e GH = |GC-HC| = |AB-ED|./pp class="3-3)_alternativa"1-3) Verdadeiro. As reas de ABC, CDE e EFA so respectivamente iguais s reas de CGA, HEC, e AIE e da, a soma das reas de ABC, CDE e EFA igual rea de ACE subtrada da rea de GHI./pp class="4-4)_alternativa"1-4) Verdadeiro. Repetindo o argumento de 3-3) para o tringulo BDF./pp class="1.questo"053. Calcule as inclinaes das retas que passam por (5,0) e interceptam a elipse div class="embedded" id="_1037228905"/p1/p
p4/p
py/p
p9/p
px/p
p2/p
p2/p
p=/p
p+/p
em um nico ponto. Assinale a soma dos valores absolutos das inclinaes./ppRESPOSTA: 1/ppJustificativa: /ppAs retas passando por (5,0) tm equao y=m(x-5). As intersees da reta e da elipse tm abscissas que so razes de x2/9+(mx-5m)2/4 = 1 que se simplifica como (4+9m2)x2-90m2x+225m2-36=0. Como cada reta intercepta a elipse em um nico ponto temos que o discriminante da equao zero, da 2025m4-(4+9m2)(225m2-36) = 0 ou 576m2 - 144 = 0 ou m2 = 1/4 e m = (1/2./pp class="1.questo"054. Uma galeria de arte tem planta ilustrada a seguir. O interior da galeria deve ser monitorado por um sistema de vigilncia utilizando cmeras de vdeo. Cada cmera possui um dispositivo que permite monitorar toda a regio que lhe circunda. Qual o nmero mnimo de cmeras necessrias para monitorar a galeria?/pp class="analtico_1"/p
pRESPOSTA: 4/ppJustificativa:/ppCada retngulo transversal ao retngulo horizontal precisa de uma cmera de vdeo para ser monitorado./pp class="1.questo"055. Cinco candidatos a prefeito participam de um debate. De uma urna contendo os nomes dos cinco candidatos o organizador do debate sorteia um candidato que far uma pergunta e a seguir sorteia (de uma segunda urna tambm contendo os nomes dos candidatos) um candidato para responder a pergunta. Determine a probabilidade (percentual) de um mesmo candidato ser escolhido nos dois sorteios./ppRESPOSTA: 20/ppJustificativa:/ppO nmero de retiradas possveis 5.5 e o nmero de retiradas com o mesmo candidato 5. Logo a probabilidade percentual 100.5/(5.5)% = 20%. /pp class="1.questo"056. As cidades A,B e C esto situadas numa regio plana e a distncia entre A e B 4 km, a distncia entre A e C 10 km e o ngulo BAC mede div class="embedded" id="_1037229430"/p60/p
po/p
. Pretende-se construir uma escola num ponto da regio plana situado mesma distncia d km de A, B e C. Indique 3d2./pp/p
pRESPOSTA: 76/ppJustificativa:/ppSeja O o ponto eqidistante de A,B,C (circuncentro do tringulo) e div class="embedded" id="_1037690966"/pb/p
pa/p
p,/p
os ngulos BAO e OAC. Temos div class="embedded" id="_1037691028"/pd/p
p//p
p2/p
pcos/p
p=/p
pa/p
, div class="embedded" id="_1037714614"/pd/p
p//p
p5/p
pcos/p
p=/p
pb/p
e da /ppdiv class="embedded" id="_1037691149"/pd/p
p//p
p25/p
pd/p
psen/p
p,/p
pd/p
p//p
p4/p
pd/p
psen/p
p2/p
p2/p
p-/p
p=/p
pb/p
p-/p
p=/p
pa/p
/ppDe div class="embedded" id="_1037714638"/p0/p
p60/p
p=/p
pb/p
p-/p
pa/p
temos /ppdiv class="embedded" id="_1037714659"/p2/p
p//p
p1/p
pd/p
p//p
p25/p
pd/p
p4/p
pd/p
pd/p
p//p
p10/p
p2/p
p2/p
p2/p
p2/p
p=/p
p-/p
p-/p
p+/p
/pp(usando a frmula do cosseno da diferena). Simplificando, temos /ppdiv class="embedded" id="_1037691444"/p2/p
p2/p
p2/p
pd/p
p20/p
p25/p
pd/p
p4/p
pd/p
p2/p
p-/p
p=/p
p-/p
p-/p
/ppe quadrando fica (20 - d2)2 = 4(d2 - 4)(d2 - 25) ou 3d4 - 76d2 = 0 e 3d2 = 76./pp class="1.questo"057. Calcule as solues de div class="embedded" id="_1037553181"/p3/p
p1)/p
p5x/p
p6x/p
p(/p
p2/p
p1)/p
px/p
p6x/p
p(/p
p2/p
p2/p
p+/p
p-/p
p=/p
p-/p
p+/p
e assinale o triplo da menor raiz./ppRESPOSTA: 1/ppJustificativa:/ppFatorando, obtemos 6x2+x-1 = (2x+1)(3x-1) e 6x2-5x+1 = (3x-1)(2x-1). Logo, uma das razes da equao x = 1/3. Se xdiv class="embedded" id="_1037691636"/p/p
1/3 temos 22x+1 = 32x-1 ou (9/4)x = 6 e x = log9/46 que maior que 1/3./pp class="1.questo"058. O tringulo issceles ABC da figura a seguir retngulo em A. Se AB = 12, D e F so os pontos mdios respectivos dos lados AB e AC, assinale a rea do quadriltero ADEF. /pp/p
pRESPOSTA: 24/ppJustificativa:/pp class="corpo_de_texto_2"A rea de ADEF a diferena entre as reas de ABF e DBE. Construa perpendiculares a AB, AC por E que interceptam estes lados em G,H, respectivamente. Como os tringulos EHF e EGD so congruentes (dois ngulos congruentes e mesma hipotenusa j que DEB e FEC tambm so congruentes) temos EG = EH. Usando a semelhana de EGB e FAB, temos EG/6 = (12-EG)/12 e EG = 4. A rea de ADEF vale 12.6/2-6.4/2 = 24./pp class="1.questo"059. O tetraedro ABCD abaixo tem os ngulos ADB, ADC e CDB retos. Se os tringulos ADC, CDB e BDA tm reas 7, 4, 14 respectivamente, calcule o quadrado da rea do tringulo ABC e marque a soma dos seus dgitos. /pp/p
pRESPOSTA: 9/ppJustificativa:/ppSejam a,b e c as medidas respectivas de AD,BD e CD.Temos ab = 28, bc = 8 e ac = 14/ppe segue que (abc)2 = 82.72 e abc = 8.7. Portanto a = 7, b = 4, c = 2 e AB = div class="embedded" id="_1037691937"/p65/p
, AC = div class="embedded" id="_1037691975"/p53/p
, BC = 2div class="embedded" id="_1037890343"/p5/p
. Temos 65 = 53+20-2.2. div class="embedded" id="_1037715585"/p5/p
p./p
p53/p
cosdiv class="embedded" id="_1037692058"/pq/p
e div class="embedded" id="_1037715598"/p265/p
p//p
p2/p
pcos/p
p=/p
pq/p
onde div class="embedded" id="_1037692058"/pq/p
o ngulo ACB. Temos div class="embedded" id="_1037715614"/p265/p
p//p
p261/p
psen/p
p=/p
pq/p
e a rea de ABC AC.BC.div class="embedded" id="_1037715638"/p261/p
p2/p
p//p
psen/p
p=/p
pq/p
./pp class="1.questo"060. A mquina X executa certo servio em 5h. Trabalhando em conjunto com a mquina Y o mesmo servio executado em 3h. Quantos minutos alm de 7 horas so necessrios para a mquina Y, trabalhando sozinha, executar este servio? /ppRESPOSTA: 30/ppJustificativa:/ppEm uma hora a mquina X executa 1/5 do servio e as duas juntas executam 1/3 do servio. Portanto, em uma hora, a mquina Y executa 1/3-1/5 = 2/15 do servio e todo o servio em 15/2h = 7,5h = 7h30min./pp class="1.questo"061. Um satlite encontra-se em rbita estacionria da terra a uma altura de 260 km. Este emite sinais utilizando raios laser (que navegam em linha reta). Sendo d km a distncia mxima entre duas estaes terrestres que podem receber sinais do satlite, determine a soma dos dgitos de 10d. Suponha que a superfcie terrestre perfeitamente esfrica e utilize as seguintes aproximaes: /ppDados: raio da terra div class="embedded" id="_1037553811"/p@/p
6240 km, cos (0,27) div class="embedded" id="_1037553830"/p@/p
0,96/ppRESPOSTA: 27/ppJustificativa:/pp class="corpo_de_texto_2"Suponha que o satlite ocupe a posio O e que as estaes estejam nos pontos P e Q. Como a distncia de P a Q mxima, o plano contendo O,P e Q intercepta a superfcie da Terra em uma circunferncia de raio mximo e as retas passando por O e P e por O e Q so tangentes circunferncia. Se C o centro da Terra, temos que o cosseno do ngulo PCO vale 6240/(6240+260) = 0,96 e, portanto, PCO mede 0,27 radianos. O ngulo PCQ mede 2 x 0,27 = 0,54 radianos. A distncia de P a Q na superfcie da Terra ser d = 0,54 x 6240 = 3369,6 quilmetros. /pp class="1.questo"062. Um sanduche constitudo de 50% de po, 30% de salada e 20% de atum. Se o po aumentar 20%, a salada diminuir 20% e o atum aumentar 15%, qual ser o aumento percentual do preo de custo do sanduche ?/ppRESPOSTA: 7/ppJustificativa:/ppO aumento percentual do custo do sanduche ser de (0,2.50-0,2.30+0,15.20)% = (10-6+3)% = 7%./pp class="1.questo"063. Um paraleleppedo reto retngulo tem rea total da superfcie 22 e diagonal div class="embedded" id="_1037061524"/p14/p
. Qual a soma das arestas do paraleleppedo?/ppRESPOSTA: 24/ppJustificativa:/ppSejam a,b,c as dimenses do paraleleppedo. Temos 2ab+2ac+2bc = 22 e a2+b2+c2 = 14. Segue que (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=14+22 = 36 e a+b+c = 6. A soma das arestas do paraleleppedo 4.6 = 24. /pp class="1.questo"064. Seja f: R ( R uma funo tal que f(tx) = t2 f(x) para todos os nmeros reais t e x. Analise as afirmaes abaixo:/pp class="0-0)_alternativa"0-0) f uma funo par/pp class="1-1)_alternativa"1-1) div class="embedded" id="_1036340001"/p0/p
p)/p
px/p
p(/p
pf/p
p/p
para todo nmero real x./pp class="2-2)_alternativa"1-2) ou f a funo nula, ou f no limitada/pp class="3-3)_alternativa"1-3) f(0) = 0/pp class="4-4)_alternativa"1-4) se f impar, ento f a funo nula/ppRESPOSTA: V F V V V/ppJustificativa:/pp class="0-0)_alternativa"0-0) Verdadeiro. Fazendo x = 1 obtemos f(t) = t2f(1) que uma funo par./pp class="1-1)_alternativa"1-1) Falso. Escolha f(1) < 0./pp class="2-2)_alternativa"1-2) Verdadeiro. Se f no a funo nula ento |f(t)| = t2|f(1)| , f(1)div class="embedded" id="_1037711124"/p/p
0 que no limitada para t real./pp class="3-3)_alternativa"1-3) Verdadeiro. f(0) = 02f(1) = 0/pp class="4-4)_alternativa"1-4) Verdadeiro. Se f(-t) = -f(t) ento t2 f(1)= - t2 f(1) e da f(1) = 0 forando f(t) = 0 para todo t real./pp class="1.questo"065. Um modelo para o crescimento da AIDS a partir da dcada de 80 nos EUA foi o seguinte: o nmero de infectados com o vrus na data x, div class="embedded" id="_1037229016"/pR(x)/p
, dado por div class="embedded" id="_1037229031"/p274/p
p1981)/p
p(x/p
p3/p
p187/p
pR(x)/p
p-/p
p-/p
p=/p
para div class="embedded" id="_1037229043"/p1983/p
px/p
p/p
/ppAnalise as afirmaes seguintes, referentes a este modelo:/pp class="0-0)_alternativa"0-0) div class="embedded" id="_1037229061"/p)/p
px/p
p(/p
pR/p
uma funo crescente de x/pp class="1-1)_alternativa"1-1) O grfico de div class="embedded" id="_1037229066"/p)/p
px/p
p(/p
pR/p
em termos da data x est ilustrado na figura abaixo:/pp/p
p class="2-2)_alternativa"1-2) Se o modelo for vlido em 2001, o nmero de infectados nesta data nos EUA ser superior a div class="embedded" id="_1036859381"/p10/p
p6/p
pessoas/pp class="3-3)_alternativa"1-3) O nmero de infectados nos EUA em 1996 era inferior a 500.000 pessoas/pp class="4-4)_alternativa"1-4) Entre 1990 e 1994, mais de 100.000 pessoas foram contaminadas pelo vrus nos EUA. /ppRESPOSTA: V V V F V/ppJustificativa:/pp class="0-0)_alternativa"0-0) Verdadeiro. A funo f(x) = x3 crescente seguindo que 187.f ( x-1981)-274 tambm crescente./pp class="1-1)_alternativa"1-1) Verdadeiro. Bastando comprovar a ordem de grandeza de R em alguns anos x./pp class="2-2)_alternativa"1-2) Verdadeiro. R(2001) = 187.203-274 div class="embedded" id="_1037709000"/p@/p
1,5.106./pp class="3-3)_alternativa"1-3) Falso. R(1996) = 187.153-274 div class="embedded" id="_1037709072"/p@/p
6,3.105. /pp class="4-4)_alternativa"1-4) Verdadeiro. R(1994)-R(1990) = 187(133-93)div class="embedded" id="_1037709112"/p@/p
2,7.105./pp class="1.questo"066. Qual o inteiro mais prximo do volume do slido obtido pela rotao de um tringulo equiltero de lado 5 em torno de um eixo contendo um dos lados do tringulo (veja a ilustrao a seguir). /pp/p
pRESPOSTA: 98/ppJustificativa:/ppO volume o dobro do volume de um cone de raio da base div class="embedded" id="_1037709230"/p2/p
p//p
p3/p
p5/p
e altura 5/2, portanto, vale 2.1/3. div class="embedded" id="_1037709369"/p2/p
p)/p
p2/p
p//p
p3/p
p5/p
p(/p
.5/2 = 125/4 div class="embedded" id="_1037709368"/p@/p
98,12. /ppUm fio de 20m de comprimento ser dividido em duas partes que sero usadas como permetros de um quadrado e de uma crculo. Se a soma das reas do quadrado e do crculo assim construdos deve ser a menor possvel, assinale o inteiro mais prximo da rea (em metros quadrados) do quadrado./ppRESPOSTA: 8/ppJustificativa:/ppSeja x o lado do quadrado, a circunferncia ter raio (20-4x)/(2) = (10-2x)/ e a soma das reas ser x2+(10-2x)2/= [(+4)x2-40x+100]/ e ser mnima para x = 20/(+4) div class="embedded" id="_1037709540"/p@/p
2,80. A rea do quadrado vale 2,82 = 7,84. /ppO tringulo ABC tem coordenadas nos pontos A = (1,0), B = (-1,0) e C = (6,9) de um sistema de coordenadas cartesianas no plano. Determine as coordenadas do ponto P = (x,y) do plano tal que a soma dos quadrados das distncias de P a A, B e C seja a menor possvel. Assinale x+y./ppRESPOSTA: 5/ppJustificativa:/ppA soma dos quadrados das distncias de P a A,B,C (x-1)2+y2+(x+1)2+y2+(x-6)2+(y-9)2 = 3x2-12x+3y2-18y+119 Completando quadrados, obtemos 3(x-2)2+3(y-3)2+80 que assume valor mnimo para x = 2, y = 3. /pp class="1.questo"067. Esto esboados abaixo os tringulos equilteros ABC, CDE e EFG que tm os lados AC, CE e EG na mesma reta. Os lados de ABC e CDE medem 5 e 3, respectivamente, e o ngulo BDF mede 1200. Indique o dobro do permetro de EFG. /pp/p
pRESPOSTA: 45/ppJustificativa:/ppUsando a lei dos cossenos, calcularemos BD,DF e BF em termos de x = EF. Temos BD2 =52+32-5.3 = 19, FD2 = 9+x2-3x e estendendo BC e FE at se encontrarem em G, temos que CGE equiltero e BF2 = 82+(3+x)2-8(3+x) = 49-2x+x2. No tringulo BDF temos BF2 = BD2+DF2+BD.DF e substituindo fica 49-2x+x2 = 19+9+x2-3x+BD.DF. Simplificando e quadrando, temos: (21+x)2=19(9+x2-3x) ou 2x2-11x-30 = 0 que tem razes x = (11 div class="embedded" id="_1037711728"/p/p
19)/4 e o valor positivo 7,5./pp class="1.questo"068. Na figura a seguir, a semicircunferncia tem raio 2 e centro no ponto (2,0), A = (0,1) e o segmento AB tangente semicircunferncia em B. Assinale div class="embedded" id="_1037716492"/p2/p
pAB/p
p10/p
, onde div class="embedded" id="_1037229649"/pAB/p
a medida de AB./pp class="analtico_1"/p
pRESPOSTA: 10/ppJustificativa:/ppSeja O a origem do sistema de coordenadas e C o centro da semicircunferncia. Temos que os tringulos ABC e AOC so congruentes. Segue que AB2 = AO2 =1./pp class="1.questo"069. A figura seguinte ilustra um hexgono regular ABCDEF com centro no ponto O e lado medindo 4 e um tringulo equiltero OGH tendo lado medindo 8 que intercepta o hexgono nos pontos I e J. Assinale o inteiro mais prximo da rea de OJCI./pp/p
pRESPOSTA: 7/ppJustificativa:/ppOs tringulos OIB e OJC so congruentes, pois tm OB e OC congruentes, os ngulos OBI e OCJ medem 60 graus e os ngulos BOI e COJ medem 600 - (medida de IOC). A rea de OICJ igual a de OBC que vale 42div class="embedded" id="_1037711966"/p@/p
p4/p
p//p
p3/p
6,93. /pp class="ttulo_2"MATEMTICA - 3/pp class="1.questo"070. Estima-se que no final deste ano o nmero de brasileiros usando a Internet pelo telefone seja de 700.000 e que este nmero saltar para 22.400.000, no final de 2005. Supondo constante o crescimento percentual anual do nmero de brasileiros usando a Internet pelo telefone, calcule o valor deste percentual e indique a soma de seus dgitos. /ppResposta: 1/ppJustificativa/ppSe i a taxa de crescimento anual, temos 700000(1+i/100)5 = 22400000 e da (1+i/100)5 = 32 ou i = 100. /pp class="1.questo"071. Entre 1996 e 2000, os planos de sade aumentaram suas mensalidades em 92,8%. No mesmo perodo, os custos destas empresas com consultas aumentaram 28%, com hospitais aumentaram 15%, com exames diminuram 4% e os demais custos no sofreram nenhuma variao. Suponha que 40% dos custos destas empresas so com consultas, 20% com hospitais e 10% com exames. Assinale a diferena entre o aumento percentual das mensalidades dos planos de sade e o aumento percentual dos custos destas empresas neste perodo./ppResposta: 79/ppJustificativa/ppO aumento percentual dos custos da empresa foi de 0,28x40+0,15x20-0,04x10 = 11,2+3-0,4 = 13,8 e a diferena /pp92,8-13,8 = 79./pp class="1.questo"072. A figura abaixo ilustra parte do grfico de um polinmio p(x) de grau 4, com coeficientes reais e que passa pelos pontos div class="embedded" id="_1036892606"/p)/p
p0/p
p,/p
p3/p
p(/p
, div class="embedded" id="_1036892675"/p)/p
p0/p
p,/p
p3/p
p(/p
p-/p
, (0,9), div class="embedded" id="_1036892843"/p)/p
p1/p
p,/p
p2/p
p(/p
p-/p
p-/p
e (1, 2). /pp/p
pConsideradas estas informaes, analise as afirmaes seguintes:/pp class="0-0)_alternativa"0-0) p(x) divisvel por div class="embedded" id="_1036495491"/p3/p
px/p
p2/p
p-/p
/pp class="1-1)_alternativa"1-1) p(x) possui exatamente trs razes reais/pp class="2-2)_alternativa"1-2) p(x) = (div class="embedded" id="_1036861662"/p3/p
px/p
p2/p
p-/p
)div class="embedded" id="_1036495502"/p)/p
p3/p
px/p
p3/p
px/p
p2/p
p(/p
p2/p
p-/p
p+/p
/pp class="3-3)_alternativa"1-3) p(x) < 10 para todo x real/pp class="4-4)_alternativa"1-4) Existe x < -3 tal que p(x) < 0/ppResposta: V F F F F/pp class="analtico_1"Justificativa/pp class="0-0)_alternativa"0-0) Verdadeiro. Como o polinmio tem razes div class="embedded" id="_1037621101"/p3/p
p/p
ele divisvel por (x+div class="embedded" id="_1036908039"/p3/p
)(x-div class="embedded" id="_1036908052"/p3/p
) = x2 -3. /pp class="1-1)_alternativa"1-1) Falso. Sabemos de 0-0) que p(x) = (x2-3)(ax2+bx+c) com a,b,c reais; como 9 = p(0) = -3c temos c = -3 e de /pp class="1-1)_alternativa"1 = p(-2) = 4a-2b-3 obtemos 2a-b = 1. Segue de 2 = p(1) = -2(a+b-3) que a+b=2. Somando as equaes/pp class="1-1)_alternativa"obtemos a = 1 e b = 1 e p(x) = (x2-3)(x2+x-3). Portanto, p(x) possui 4 razes reais./pp class="2-2)_alternativa"1-2) Falso. p(x)=(x2-3)(x2+x-3)./pp class="3-3)_alternativa"1-3) Falso. Se x>3 temos p(x)>54.
1-4) Falso. Se x18.
073. Enfileirando-se aleatoriamente sete crianas de idades diferentes, qual a probabilidade (P) de que cada uma das trs crianas com idades menores fique intercalada entre duas das quatro crianas de idades maiores? Marque 35P.
Resposta: 1
Justificativa
O nmero de enfileiramentos com as trs crianas menores entre as quatro maiores 3!4! e o nmero total de enfileiramentos 7!. Logo P = 3!4!/7! = 3.2/(7.6.5) = 1/35 e 35P = 1.
074. Na ilustrao abaixo, AEFC um quadrado e os retngulos ABDC, EBHG e HDFG so semelhantes (isto , AB/AC = EB/EG = HD/HG). Suponha que AC mede 1 e denote as medidas de CD e HD por x e y, respectivamente.
Supondo estas condies, analise as afirmaes seguintes:
0-0)
1
xy
=
1-1)
0
1
x
x
3
=
-
-
EMBED Equation.3
1-2)
0
1
y
y
3
=
+
-
1-3) x e y so racionais
1-4) 1 < x < 2
Resposta: V F F F V
Justificativa
0-0) Verdadeiro. Da semelhana entre ABDC e EBHG temos x/(x-1) = 1/(1-y) que o mesmo que xy = 1.
1-1) Falso. Da semelhana entre ABDC e HDFG temos x/y = 1/(1-x) ou x2 = 1/(1-x) e da x3-x2-1=0.
1-2) Falso. Substituindo xy=1 na equao satisfeita por x obtemos y3+y-1=0.
1-3) Falso.
1 so os candidatos a razes racionais das equaes e no satisfazem s equaes.
1-4) Verdadeiro. Se x
2 temos x3 x2 1=x2(x-1)-1
3.
Suponha que uma calculadora esteja defeituosa e s consiga calcular soma, diferena e inverso multiplicativo de nmeros no nulos. Ou seja, dados x, y e z pode-se calcular x y, x y e 1/z (para z
0). Analise as afirmaes seguintes, na ordem que esto apresentadas, sobre clculos que podem ser executados com esta calculadora.
0-0) Pode-se calcular a metade de um nmero dado x
0, pois
2
x
x
1
x
1
1
=
+
1-1) Para
1
x
pode-se calcular
x
2
usando que
x
1
1
x
1
1
x
1
2
2
=
+
+
-
-
1-2) Se x
EMBED Equation.3
y e x
y
EMBED Equation.3
2 ento pode-se calcular
xy
usando que
(
)
(
)
xy
2
y
x
2
y
x
2
2
=
-
-
+
1-3) Se x
y
EMBED Equation.3
2 pode-se calcular
xy
usando que
xy
2
y
x
1
2
y
x
1
1
2
y
x
1
2
y
x
1
1
=
+
-
-
-
-
-
+
+
-
-
+
4-4) No possvel calcular
x
3
para
2
x
>
dado.
Resposta: V V V V F
Justificativa
0-0) Verdadeiro. Basta verificar a identidade apresentada.
1-1) Verdadeiro. Segue de 0-0) e da verificao da identidade apresentada.
1-2) Verdadeiro. conseqncia da veracidade de 0-0), 1-1) e da verificao da identidade apresentada.
1-3) Verdadeiro. Basta verificar a identidade apresentada.
1-4) Falso. Podemos calcular x3 =x2 .x para x>2 usando 2-2) ou 3-3).
075. Estude as afirmaes a seguir, referentes s razes complexas
b
a
,
de
0
1
x
5
=
-
:
0-0)
b
a
raiz de
0
1
x
5
=
-
1-1) Se
1
a
ento
0
1
1
1
2
=
-
a
+
a
+
a
+
a
1-2)
=
a
=
a
-
4
1
EMBED Equation.3
a
onde
a
o conjugado de
a
1-3) Se
1
a
ento
2
5
1
1
+
-
=
a
+
a
ou
2
5
1
1
-
-
=
a
+
a
1-4) No plano de Argand-Gauss, as razes de
0
1
x
5
=
-
formam um pentgono regular com diagonal medindo
2
5
5
+
.
Resposta: V V V V V
Justificativa
0-0) Verdadeiro. (
a
/
b
)5 =
5
a
/
5
b
= 1
1-1) Verdadeiro. De
5
a
=1 obtemos (
a
-1)(
4
a
+
3
a
+
2
a
+
a
+1) = 0 e como
a
1 segue que
4
a
+
3
a
+
2
a
+
a
+1 = 0. Dividindo esta igualdade por
2
a
e completando os quadrados obtemos (
a
+1/
a
)2+(
a
+1/
a
)-1 = 0.
1-2) Verdadeiro. |
a
|5 = 1 e da |
a
| = 1. Portanto
a
=
1
-
a
=
4
a
.
1-3) Verdadeiro. Segue imediatamente de 1-1) resolvendo a equao quadrtica em
a
+1/
a
.
1-4) Verdadeiro. O quadrado da diagonal (
2
a
-1)(
2
-
a
-1)=2-
2
a
-
2
-
a
= 4-(
a
+1/
a
)2 = 4-(3-
5
)/2 = (5+
5
)/2.
076. Para cada inteiro n
0, seja Sn uma esfera de raio 1/2n . Estas esferas tm centros colineares e esto localizadas da seguinte forma:
S1 tangencia internamente S0
S2 tangencia externamente S1 e est no interior de S0
Sn tangencia externamente Sn-1 e no intercepta Sn-2 para todo n > 2
Consideradas estas condies, analise as afirmaes seguintes:
0-0) Sn
S0 para todo n > 0
1-1) A soma dos dimetros das esferas Sn para todo n > 0 2
1-2) A soma das reas das superfcies das esferas Sn para todo n > 0 um tero da rea da superfcie S0
1-3) A soma dos volumes das esferas Sn para todo n > 0 um stimo do volume de S0
1-4) O volume da regio contida em S0 e exterior a todas as esferas Sn para todo
n > 0
3
8
p
.
Resposta: V V V V F
Justificativa
0-0) Verdadeiro. A soma dos dimetros das esferas Sn para n>0 vale 1+1/2+...+1/2n+...=1/(1-1/2) = 2 e portanto todas elas esto contidas em S0.
1-1) Verdadeiro. Pela mesma justificativa apresentada em 0-0).
Verdadeiro. A soma das reas das superfcies 4
p
(1/4 + 1/16 + ... +1/22n + ...) = 4(1/4)/(1-1/4) = 4/3.
1-3) Verdadeiro. A soma dos volumes das esferas Sn para n > 0
4/3(1/8+1/64+...+1/23n+...) = 4/3.(1/8)/(1-1/8)=4/3.1/7.
1-4) Falso. O volume de S0 no ocupado pelas Sn 4/3-4/3.1/7=8/7.
Um mtodo para enviar mensagens codificadas e de difcil decifrao o seguinte. A cada letra do alfabeto associa-se um nmero, como na tabela abaixo.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Para codificar uma palavra de seis letras, dividimos a palavra em dois grupos de trs letras, preservando a ordem, e substitumos as letras pelos nmeros correspondentes na tabela, obtendo uma matriz 3
1 para cada grupo. Em seguida, multiplicamos esta matriz pela matriz seguinte
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Finalmente, substitumos os inteiros da matriz obtida pelas letras correspondentes na tabela e esta a codificao do grupo de trs letras. Por exemplo, se o grupo ordenado de letras for BEM temos que a matriz correspondente
13
5
2
que, quando multiplicada pela matriz acima, resulta
7
15
20
que corresponde codificao TOG.
Suponha que a codificao de certa palavra foi ZUWTNO. Encontre a palavra original e indique a soma dos valores correspondentes a cada uma das letras da palavra original na tabela acima.
Resposta: 46
Justificativa
A matriz dada tem determinante -1+1-1 = -1 (desenvolvendo pela primeira linha) e sua inversa dada por
-
-
-
1
0
1
0
1
1
1
1
1
.
As matrizes 3x1, correspondentes a ZUWTNO, so
23
21
26
e
15
14
20
que se originam de
3
5
18
e
5
6
9
que correspondem aos dois grupos da palavra RECIFE. A resposta 18+5+3+9+6+5=46.
077. Os pontos mdios dos segmentos com extremos nas intersees de cada uma das retas de equao y = 3x+k com a elipse x2/4 + y2/9 = 1 esto sobre a reta de equao ax+by = c com a,b inteiros primos entre si. Assinale |a|+|b|.
Resposta: 7
Justificativa
As intersees da reta com a elipse tm abscissas que so as razes de 9x2+4(3x+k)2 = 36 e a soma das razes -24k/45 = -8k/15. Logo, o ponto mdio da interseo tem abscissa -4k/15 e ordenada 3(-4k/15)+k=k/5 e est na reta y = -3x/4.
078. Seja x a medida em radianos de um ngulo satisfazendo 0 < x < 2, como indicado na ilustrao abaixo:
Considerando as reas das diferentes regies da figura, analise as afirmaes seguintes:
sen x < x < tg x
1-1)
x
x
cos
1
x
sen
x
cos
1
2
2