Transcript
Page 1: Examen resuelto metodos numericos

Anjo de Deus, meu querido amigo, a quem o amor de Deus me destina aqui; sempre neste dia esteja comigo para iluminar e guardar, governar e guiar…

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

CURSO: METODOS NUMERICOS

ALUMNO:

ROQUE CHARCA, Rosand

DOCENTE:

Lic. Faustino Murillo Mamani

SOLUCIÓN DEL EXAMEN CON MATLAB

Page 2: Examen resuelto metodos numericos

UNA - PUNO 2012

Rosand Roque Charca – V Semestre 1

1º EXAMEN PARCIAL (TIEMPO: 120min)

1. Obtenga el polinomio de Taylor de tercer grado para alrededor de y use el

polinomio para aproximar . Encuentre el valor exacto y halle el error absoluto y relativo.

SOLUCIÓN: Puesto que podemos aplicar el teorema de Taylor de grado 3, además:

donde:

Para y tenemos:

donde:

( )

( )

donde: entonces cuando x= podemos evaluar con Taylor:

Hallamos una cota para el error: | | |

| el cual es un valor aceptable, ahora hallamos

error relativo |

| para hacer comparaciones estos resultados

evaluamos y hallamos las posibles raíces con un programa desarrollado en matlab utilizando un algoritmo

para esta aproximación:

1º GRAFICAMOS

Dedicado al alma mater de mi formación académico -

científico…Universidad Nacional del Altiplano - Puno

Page 3: Examen resuelto metodos numericos

UNA - PUNO 2012

Rosand Roque Charca – V Semestre 2

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120GRAFICO Nº 1 EN MATLAB

EJE X

EJE

Y

De este grafico nos damos cuenta que existe una

posible raíz en el punto o a partir del punto

puesto que ⟨ ⟩ además se ve que en el punto

no existe raíz pues es una asíntota vertical;

luego utilizamos un algoritmo de un programa

desarrollado en matlab que para este caso

utilizaremos newton raphson.

Como estamos viendo en el programa en 3

iteraciones ya hacemos una posible

aproximación de la raíz que sería de

2.54376, aunque el problema no nos pide la

raíz ya entendemos cómo funciona el

polinomio de aproximación de Taylor.

2. Sea F(x)= ∫

. Usando el polinomio de Taylor de tercer grado para ,

expandido alrededor de , Aproxime F(0.1)

SOLUCIÓN: Puesto que aplicamos el teorema de Taylor de grado 3 para calcular la

aproximación, además:

2 31) 3 (( 2 4 )n

P x x x Rx x

2( ) (1 )f x x

Page 4: Examen resuelto metodos numericos

UNA - PUNO 2012

Rosand Roque Charca – V Semestre 3

Donde:

Para y tenemos:

donde:

( )

( )

Dónde: entonces cuando x= podemos aproximar la integral con el polinomio de

Taylor:

∫ ∫

Por tanto: ̂ Una cota para el error en esta aproximación se determina con la integral del

residuo de Taylor y el hecho de que

∫ ( )

El error de esta aproximación se halla dentro de la cota, siendo el valor verdadero de esta integral:

3. Use el algoritmo de bisección para encontrar soluciones de:

a) para

b) para

c) para

SOLUCIÓN: Analizamos cada ejercicio primero gráficamente luego utilizaremos el algoritmo de bisección

con nuestro programa.

a) Sea la ecuación donde obtenemos la función asociada despejando tenemos:

Luego: , de la grafica Nº 2 podemos claramente que es continua en

Sabiendo que nuestra raíz se halla entre , nuestro programa desarrollado en matlab arroja el

resultado de , visto de dos formas en matlab:

-6 -4 -2 0 2 4 6-10

0

10

20

30

40

50

60

70

EJE X

EJE

Y

GRAFICA Nº 2 EN MATLAB

2( ) 2 xf x

1( )f x x

Page 5: Examen resuelto metodos numericos

UNA - PUNO 2012

Rosand Roque Charca – V Semestre 4

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

x

GRAFICO Nº 3 EN MATLAB

b) Sea la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 3” podemos ver

claramente que es continua en dos intervalos pero nos piden la raíz aproximada en el intervalo

Entonces para hallar la raíz que se halla entre ,

nuestro programa desarrollado en matlab muestra el

resultado de , visto de las dos formas en

matlab:

( ) 2 2cos 6x xf x e x

Page 6: Examen resuelto metodos numericos

UNA - PUNO 2012

Rosand Roque Charca – V Semestre 5

-6 -4 -2 0 2 4 6

-50

0

50

100

150

200

x

GRAFICO Nº 4 EN MATLAB

c) Sea la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 4” podemos ver

claramente que es continua en el intervalo

Entonces para hallar la raíz por el método de

bisección entre , nuestro programa desarrollado

en matlab muestra el resultado de ,

visto de las dos formas en matlab:

4. Use el método de Newton para aproximar las soluciones de las siguientes ecuaciones:

a)

b)

c)

d)

SOLUCIÓN: Analizamos cada ejercicio observando su gráfico para que de manera inmediata hallemos el

punto de inicio o valor inicial utilizando para ello el algoritmo de Newton Raphson de nuestro programa.

a) Sea

la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 5”

podemos ver claramente que es continua en el intervalo de donde nuestro valor inicial más

próximo a la raíz sería: ”

2( ) 3 2xf x e x x

Page 7: Examen resuelto metodos numericos

UNA - PUNO 2012

Rosand Roque Charca – V Semestre 6

-6 -4 -2 0 2 4 6

-200

-150

-100

-50

0

50

x

GRAFICO Nº 5 EN MATLAB

-6 -4 -2 0 2 4 6

-150

-100

-50

0

50

100

x

GRAFICO Nº 6 MATLAB

Entonces para hallar la raíz por el método de

Newton raphson con un , nuestro

programa desarrollado en matlab muestra el

resultado de , lo cual es un valor

aceptable, seguidamente se muestra las dos formas

en matlab,

b) Sea la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 6” podemos ver claramente

que es continua en varios intervalos, primero en , segundo intervalo , etc., entonces solo

vamos a mostrar el comportamiento en el primer intervalo por cuestiones de tiempo, dando un valor inicial

más próximo a la raíz de: ”

Entonces para hallar la raíz por el método de

Newton raphson con un , nuestro

programa desarrollado en matlab muestra el

resultado de , lo cual es un valor

aceptable, seguidamente se muestra las dos formas

en matlab,

2( ) 3 2xf x x e x

2( ) 3 xf x x e

Page 8: Examen resuelto metodos numericos

UNA - PUNO 2012

Rosand Roque Charca – V Semestre 7

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

x

GRAFICO Nº 7 EN MATLAB

c) Sea la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 7” podemos ver

claramente que es continua en dos intervalos, primero en , segundo intervalo ,

entonces solo vamos a mostrar el comportamiento en el segundo intervalo por cuestiones de tiempo, dando

un valor inicial más próximo a la raíz de: ”

Entonces para hallar la raíz por el método de Newton

raphson con un , nuestro programa

desarrollado en matlab muestra el resultado de

, lo cual es un valor aceptable,

seguidamente se muestra las dos formas en matlab,

( ) 2 2cos 6x xf x e x

Page 9: Examen resuelto metodos numericos

UNA - PUNO 2012

Rosand Roque Charca – V Semestre 8

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

10

20

30

40

50

x

GRAFICO Nº 8 EN MATLAB

d) Sea la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 8” podemos ver claramente

que es continua en varios intervalos, de los cuales trabajamos en el intervalo , entonces solo

vamos a mostrar el comportamiento en este intervalo por cuestiones de tiempo, dando un valor inicial más

próximo a la raíz de: ”

Entonces para hallar la raíz por el método de Newton

raphson con un , nuestro programa

desarrollado en matlab muestra el resultado de

, lo cual es un valor aceptable,

seguidamente se muestra las dos formas en matlab,

5. La función

tiene un cero en . Use el método de Newton con las siguientes

aproximaciones lineales y explique los resultados gráficamente:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

SOLUCIÓN: La ecuación

tiene una asíntota vertical en donde la función no es continua en

este punto, entonces ahora vamos analizar la función en los respectivos puntos, el grafico general de la

función se muestra en el gráfico Nº 9 donde podemos apreciar los posibles intervalos de continuidad

2( ) 10cosf x x x

Page 10: Examen resuelto metodos numericos

UNA - PUNO 2012

Rosand Roque Charca – V Semestre 9

-6 -4 -2 0 2 4 6

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

x

GRAFICO Nº 9 EN MATLAB

Entonces vamos evaluar todos los puntos usando el

método de Newton raphson, nuestro programa

desarrollado en matlab muestra los siguientes

resultados en matlab

1. Para la primera aproximación de 1.625 que la raíz

calculada por newton Raphson muestra un valor de

1.750000000 con un error de 0.000002 lo cual es

bastante aproximado a la raíz real y es un valor

aceptado.

2. Para la segunda aproximación de 1.875 la raíz

calculada por newton Raphson muestra un valor de

1.750000000 con un error de 0.000002, que es igual

al anterior punto, esto ocurre debido a que newton

Raphson trabaja en función a intervalos y por ejemplo

un intervalo es

3. Para la tercera aproximación de 1. 5 la raíz

calculada por newton Raphson muestra un valor no

admitido o no existe respuesta, esto ocurre debido a

que newton Raphson trabaja en función a intervalos y

por ejemplo la asíntota vertical genera un vecindad

donde no es posibles calcular raíces.

4. Para la cuarta aproximación de 1. 95 la raíz

calculada por newton Raphson muestra un valor de

1.750000000 con un error de 0.000113 lo cual se va

alejando de la raíz real y aun así sigue mostrando un

valor aceptado.

4 7( )

2

xf x

x

Page 11: Examen resuelto metodos numericos

UNA - PUNO 2012

Rosand Roque Charca – V Semestre 10

5. Para la quinta aproximación de 3 la raíz calculada

por newton Raphson muestra un valor de infinito con

un error muy grande de 0.998382 lo que significa que

la raíz real está muy lejos del intervalo de

continuidad.

6. Para la sexta aproximación de 7 la raíz calculada

por newton Raphson muestra un valor de infinito como

en el caso anterior, con un error muy grande de

0.997697 lo que significa que la raíz real está muy

lejos del intervalo de continuidad.

6. El valor acumulado en una cuenta de ahorros basada en pagos periódicos regulares puede

determinarse de la ecuación de vencimiento anual,

, en esta ecuación A es la

cantidad en la cuenta, P es la cantidad depositada regularmente, e, i, es la tasa de interés por

periodo para los n periodos de depósito.

A un ingeniero le gustaría tener una cantidad de $75,000 en una cuenta de ahorros cuando se retire

en 20 años y puede, para este fin, depositar $150 al mes. Cuál es la tasa de interés mínima a la

cual esta cantidad puede ser depositada, suponiendo que el interés se compone cada trimestre. Cuál

es la tasa de interés mínima si el interés es compuesto diariamente

SOLUCIÓN: Se sabe que el interés que genera un capital prestado se acumula al capital, al final cada

intervalo de tiempo especificado. Entonces tenemos para>

a) La tasa de interés mínima a la cual esta cantidad puede ser depositada, suponiendo que el interés se

compone de cada trimestre.

en 20 años si deposita $150 al mes tendría $36000

Entonces evaluando en la ecuación de vencimiento anual que:

b) La tasa de interés mínima a la cual esta cantidad puede ser depositada, suponiendo que el interés se

compone diariamente.

en 20 años si deposita $150 al mes tendría $36000

Entonces evaluando en la ecuación de vencimiento anual tenemos que: