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Exercícios de Matemática Progressão Geométrica
1) (FUVEST-2010) Os números a1, a2, a3 formam uma
progressão aritmética de razão r, de tal modo que a1 + 3, a2
– 3, a3 – 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda
que a1 > 0 e a2 = 2, conclui-se que r é igual a
a) 33
b) 2
33
c) 4
33
d) 2
33
e) 33
2) (VUNESP-2010) Desejo ter, para minha aposentadoria, 1
milhão de reais. Para isso, faço uma aplicação financeira,
que rende 1% de juros ao mês, já descontados o imposto de
renda e as taxas bancárias recorrentes. Se desejo me
aposentar após 30 anos com aplicações mensais fixas e
ininterruptas nesse investimento, o valor aproximado, em
reais, que devo disponibilizar mensalmente é:
Dado: 1,01361 36
a) 290,00.
b) 286,00.
c) 282,00.
d) 278,00.
e) 274,00.
3) (FUVEST-2009) A soma dos cinco primeiros termos de
uma PG, de razão negativa, é 2
1. Além disso, a diferença
entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3.
Nessas condições, determine:
a) A razão da PG.
b) A soma dos três primeiros termos da PG.
4) (VUNESP-2009) Em uma determinada região de floresta
na qual, a princípio, não havia nenhum desmatamento,
registrou-se, no período de um ano, uma área desmatada de
3 km2 e a partir daí, durante um determinado período, a
quantidade de área desmatada a cada ano cresceu em
progressão geométrica de razão 2. Assim, no segundo ano a
área total desmatada era de 3 + 2.3 = 9 km2. Se a área total
desmatada nessa região atingiu 381 km2 nos n anos em que
ocorreram desmatamentos, determine o valor de n.
5) (Mack-2007) Em uma seqüência de quatro números, o
primeiro é igual ao último; os três primeiros, em progressão
geométrica, têm soma 6, e os três últimos estão em
progressão aritmética. Um possível valor da soma dos
quatro termos dessa seqüência é
a) 10
b) 18
c) 12
d) 14
e) 20
6) (Mack-2007) cotg
...
1263 é igual a
a) 3
b) 3
c) 3
3
d) 3
3
e) 3
32
7) (FUVEST-2008) Sabe-se sobre a progressão geométrica
a1,a2,a3 , , , que a1 > a e a6 = –9 3 . Além disso, a
progressão geométrica a1, a5, a9, ...tem razão igual a 9.
Nessas condições, o produto a2a7 vale
a) –27 3
b) –3 3
c) – 3
d) 3 3
e) 27 3
8) (UFC-2007) A seqüência (an)n1 tem seus termos dados
pela fórmula an = 2
1n . Calcule a soma dos dez primeiros
termos da seqüência (bn)n1, onde bn = na2 para n 1.
9) (UFC-2007) O último algarismo da soma 1 + 6 + 6
2 + 6
3 +
... + 62006
é igual a:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
10) (UNICAMP-2007) Por norma, uma folha de papel A4
deve ter 210mm x 297mm. Considere que uma folha A4
com 0,1mm de espessura é seguidamente dobrada ao meio,
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de forma que a dobra é sempre perpendicular à maior
dimensão resultante até a dobra anterior.
a) Escreva a expressão do termo geral da progressão
geométrica que representa a espessura do papel dobrado em
função do número k de dobras feitas.
b) Considere que, idealmente, o papel dobrado tem o
formato de um paralelepípedo. Nesse caso, após dobrar o
papel seis vezes, quais serão as dimensões do
paralelepípedo?
11) (UFSCar-2007) O conjunto solução da equação sen
...
81
8
27
8
9
8= cos x, com x [0,2[, é
a) 3
4,3
2
b) 6
7,6
5
c) 4
5,4
3
d) 6
11,6
e) 3
5,3
12) (VUNESP-2007) Devido ao aquecimento das águas, a
ocorrência de furacões das categorias 4 e 5 — os mais
intensos da escala Saffir-Simpson — dobrou nos últimos 35
anos (Veja, 21.06.2006). Seja x o número de furacões
dessas categorias, ocorridos no período 1971-2005. Vamos
supor que a quantidade de furacões a cada 35 anos continue
dobrando em relação aos 35 anos anteriores, isto é, de 2006
a 2040 ocorrerão 2x furacões, de 2041 a 2075 ocorrerão 4x
furacões, e assim por diante. Baseado nesta suposição,
determine, em função de x, o número total de furacões que
terão ocorrido no período de 1971 a 2320.
13) (FUVEST-2007) Um biólogo está analisando a
reprodução de uma população de bactérias, que se iniciou
com 100 indivíduos. Admite- se que a taxa de mortalidade
das bactérias é nula. Os resultados obtidos, na primeira
hora, são:
Tempo decorrido (minutos) Número de bactérias
0 100
20 200
40 400
60 800
Supondo-se que as condições de reprodução continuem
válidas nas horas que se seguem, após 4 horas do início do
experimento, a população de bactérias será de
a) 51.200
b) 102.400
c) 409.600
d) 819.200
e) 1.638.400
14) (Mack-2006) Dada a matriz A =
3
10
02
1
, considere a
seqüência formada por todas as potências inteiras e
positivas de A, isto é, A, A2, A3, ... An, ... . Somando-se
todas as matrizes desta seqüência obtemos uma matriz, cujo
determinante é
a) 3
1
b) 4
1
c) 6
1
d) 5
1
e) 2
1
15) (Vunesp-2006) Dado x0 = 1, uma seqüência de números
x1, x2, x3, ... satisfaz a condição xn = axn-1, para todo inteiro
n1, em que a é uma constante não nula.
a) Quando a = 2, obtenha o termo x11 dessa seqüência.
b) Quando a = 3, calcule o valor da soma x1 + x2 + ... + x8.
16) (Mack-2006) Se (1 - senx, 1 - cos x, 1 + sen x), 0 < x <
2
, é uma progressão geométrica, cos2x vale
a) 2
1
b) 2
3
c) - 2
1
d) - 2
3
e) - 2
2
17) (UFPB-2006) Socorro, apaixonada por Matemática,
propôs para seu filho, João: “Você ganhará uma viagem de
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presente, no final do ano, se suas notas, em todas as
disciplinas, forem maiores ou iguais à quantidade de termos
comuns nas progressões geométricas (1,2,4, ... ,4096) e
(1,4,16, ... ,4096)”. De acordo com a proposta, João
ganhará a viagem se não tiver nota inferior a:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
18) (UNIFESP-2004) Um objeto parte do ponto A, no
instante t = 0, em direção ao ponto B, percorrendo, a cada
minuto, a metade da distância que o separa do ponto B,
conforme figura. Considere como sendo de 800 metros a
distância entre A e B. Deste modo, ao final do primeiro
minuto (1º período) ele deverá se encontrar no ponto A1; ao
final do segundo minuto (2º período), no ponto A2; ao final
do terceiro minuto (3º período), no ponto A3, e, assim,
sucessivamente. Suponhamos que a velocidade se reduza
linearmente em cada período considerado.
a) Calcule a distância percorrida pelo objeto ao final dos 10
primeiros minutos. Constate que, nesse instante, sua
distância ao ponto B é inferior a 1 metro.
b) Construa o gráfico da função definida por “f(t) =
distância percorrida pelo objeto em t minutos”, a partir do
instante t = 0.
19) (UFV-2005) O interior de uma jarra é um cilindro
circular reto e contém V litros de água. Se fosse retirado 1
litro desta água, o raio, o diâmetro e a altura da água, nesta
ordem, formariam uma progressão aritmética. Se, ao
contrário, fosse adicionado 1 litro de água na jarra, essas
grandezas, na mesma ordem, formariam uma progressão
geométrica. O valor de V é:
a) 6
b) 4
c) 9
d) 7
e) 5
20) (UFSCar-2006) Selecionando alguns termos da PA (0, 2,
4, 6, 8, ..., n), formamos a PG (2, 8, 32, 128, ..., p). Se a PG
formada possui 100 termos, o número mínimo de termos da
PA é
a) 2197
.
b) 2198
- 1.
c) 2198
.
d) 2198
+ 1.
e) 2199
.
21) (Vunesp-2006) No início de janeiro de 2004, Fábio
montou uma página na internet sobre questões de vestibulares. No ano de 2004, houve 756 visitas à página.
Supondo que o número de visitas à página, durante o ano,
dobrou a cada bimestre, o número de visitas à página de
Fábio no primeiro bimestre de 2004 foi
a) 36.
b) 24.
c) 18.
d) 16.
e) 12.
22) (FUVEST-2006) Três números positivos, cuja soma é 30,
estão em progressão aritmética. Somando-se,
respectivamente, 4, -4 e -9 aos primeiro, segundo e terceiro
termos dessa progressão aritmética, obtemos três números
em progressão geométrica. Então, um dos termos da
progressão aritmética é
a) 9
b) 11
c) 12
d) 13
e) 15
23) (IBMEC-2005) O departamento de arqueologia da
Universidade de Oxford mantém em sua biblioteca uma
coleção de aproximadamente 500.000 papiros, todos com
mais de 1000 anos de idade, cujo conteúdo começou a ser
desvendado a partir de 2002, utilizando-se uma técnica
chamada de imagem multiespectral, desenvolvida pela
Nasa. Se um computador, munido de um sistema de
inteligência artificial, conseguir decifrar o contéudo de cada
um destes papiros, sempre gastando a metade do tempo que
precisou para decifrar o papiro anterior e, considerando que
o primeiro papiro seja decifrado por este computador em 10
anos, então toda a coleção de papiros citada será decifrada
em
a) aproximadamente 20 anos.
b) aproximadamente 40 anos.
c) aproximadamente 50 anos.
d) aproximadamente 80 anos.
e) aproximadamente 100 anos.
24) (Vunesp-2005) Considere um triângulo eqüilátero T1 de
área 16 3 cm2 Unindo-se os pontos médios dos lados
desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo eqüilátero
T2, que tem os pontos médios dos lados de T1 como
vértices. Unindo-se os pontos médios dos lados desse novo
triângulo obtém-se um terceiro triângulo eqüilátero T3, e
assim por diante, indefinidamente. Determine:
a) as medidas do lado e da altura do triângulo T1, em
centímetros;
b) as áreas dos triângulos T2 e T7, em cm2.
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25) (Vunesp-2005) Considere um triângulo eqüilátero cuja
medida do lado é 4cm. Um segundo triângulo eqüilátero é
construído, unindo-se os pontos médios dos lados do
triângulo original. Novamente, unindo-se os pontos médios
dos lados do segundo triângulo, obtém-se um terceiro
triângulo eqüilátero, e assim por diante, infinitas vezes. A
soma dos perímetros da infinidade de triângulos formados
na seqüência, incluindo o triângulo original, é igual a
a) 16cm.
b) 18cm.
c) 20cm.
d) 24cm.
e) 32cm.
26) (FMTM-2005) A soma dos infinitos termos de uma
progressão geométrica crescente é igual a 13,5 e a soma dos
dois primeiros termos é igual a 12. Nessas condições, o
termo numericamente igual à razão da seqüência é o
a) quarto.
b) quinto.
c) sexto.
d) sétimo.
e) oitavo.
27) (Fuvest-2005) Uma seqüência de números reais a1, a2,
a3, … satisfaz à lei de formação
an + 1 = 6an, se n é ímpar,
an + 1 = 3
1 an, se n é par.
Sabendo-se que a1 = 2
a) escreva os oito primeiros termos da seqüência.
b) determine a37 e a38.
28) (Mack-2005) Um programa computacional, cada vez
que é executado, reduz à metade o número de linhas
verticais e de linhas horizontais que formam uma imagem
digital. Uma imagem com 2048 linhas verticais e 1024
linhas horizontais sofreu uma redução para 256 linhas
verticais e 128 linhas horizontais. Para que essa redução
ocorresse, o programa foi executado k vezes. O valor de k
é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
29) (FGV-2005) A figura indica infinitos triângulos
isósceles, cujas bases medem, em centímetros, 8, 4, 2, 1, ...
Sabendo que a soma da área dos infinitos triângulos
hachurados na figura é igual a 51, pode-se afirmar que a
área do retângulo de lados h e d é igual a
a) 68.
b) 102.
c) 136.
d) 153.
e) 192.
30) (UFRJ-1999) Uma progressão geométrica de 8 termos
tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do
produto de seus termos vale 36. Ache a razão da
progressão.
31) (Fatec-1996) Num certo jogo de azar, apostando-se uma
quantia X, tem-se uma das duas possibilidades seguintes:
1) perde-se a quantia X apostada;
2) recebe-se a quantia 2X.
Uma pessoa jogou 21 vezes da seguinte maneira: na
primeira vez, apostou 1 centavo; na segunda vez, apostou 2
centavos, na terceira vez, apostou 4 centavos e assim por
diante, apostando em cada vez o dobro do que havia
apostado na vez anterior. Nas 20 primeiras vezes, ela
perdeu. Na 21ª vez, ela ganhou. Comparando-se a quantia
total T por ela desembolsada e a quantia Q recebida na 21ª
jogada, tem-se que Q é igual a:
a) 2
T
b) T
c) 2T
d) T-1
e) T+1
33) (UDESC-1996) Se o primeiro termo vale 2 e a razão é 3,
então os termos gerais da Progressão Aritmética e da
Progressão Geométrica correspondentes são:
a) 2 + 3n e 3
2.3n
b) 2 + 3n e 2
3 1n
c) 3n - 1 e 2.3n
d) 3 + 2n e 3.2n
e) 3n - 1 e 3
2.3n
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34) (PUC-SP-1997) O terceiro e o sétimo termos de uma
progressão geométrica valem, respectivamente, 10 e 18. O
quinto termo dessa progressão é:
a) 14
b) 30
c) 2 7
d) 6 5
e) 30
35) (FGV-2004) Dois amigos, Alfredo e Bruno, combinam
disputar a posse de um objeto num jogo de "cara ou coroa".
Alfredo lança 3 moedas e Bruno 2 moedas,
simultaneamente. Vence o jogo e, conseqüentemente, fica
com o objeto, aquele que conseguir o maior número de
caras. Ocorrendo empate, a experiência será repetida, tantas
vezes quantas forem necessárias, até que haja um vencedor.
Calcule:
a) a probabilidade de que Alfredo vença a disputa na
primeira experiência.
b) a probabilidade de que Alfredo vença a disputa.
36) (Vunesp-2004) Considere os números complexos w = 2i
e z = (1 + i).
Determine:
a) z2 e (w
2 z + w), onde z indica o conjugado de z.
b) |z| e |w|. Mostre que a seqüência (1, |z|, |w|, |zw|, |w2|) é
uma progressão geométrica, determinando todos os seus
termos e a sua razão.
37) (Unicamp-2004) Suponha que, em uma prova, um aluno
gaste para resolver cada questão, a partir da segunda, o
dobro de tempo gasto para resolver a questão anterior.
Suponha ainda que, para resolver todas as questões, exceto
a última, ele tenha gasto 63,5 minutos e para resolver todas
as questões, exceto as duas últimas, ele tenha gasto 31,5
minutos. Calcule:
a) O número total de questões da referida prova.
b) O tempo necessário para que aquele aluno resolva todas
as questões da prova.
38) (FGV-2003) a) O 1º termo de uma progressão
geométrica é A, a razão é q e o último termo é B. Obtenha o
número de termos n desta progressão, em função de A, B e
q.
b) Um empréstimo de R$27.500,00 deve ser pago sem juros
em parcelas mensais. A 1ª parcela vale R$500,00 e, cada
parcela a partir da 2ª é R$50,00 superior à anterior. Quantas
parcelas são necessárias para pagar a dívida?
39) (CPCAR-2002) Uma bola é abandonada de uma certa
altura. Até que o movimento pare, a bola atinge o solo e
volta a subir repetidas vezes. Em cada subida, alcança 2
1
da altura em que se encontrava anteriormente. Se, depois do
terceiro choque com o solo, ela sobe 100 cm, a altura em
que foi abandonada a bola é, em metros, igual a
a) 0,8
b) 1
c) 8
d) 0,5
40) (CPCAR-2003) Um candidato do CPCAR 2003,
preparando-se para o teste de aptidão física, exercita-se
numa esteira percorrendo 3,8 km por dia. Para um
treinamento menos cansativo, ele inicia correndo a uma
velocidade de 12 km/h e a cada 10 minutos ele reduz a
velocidade pela metade. É correto afirmar que
a) o candidato completa o percurso de 3,8 km em menos de
45 minutos.
b) para percorrer a metade do percurso de 3,8 km ele gasta
mais de 10 minutos.
c) após 30 minutos, a velocidade atingida é de 6 km/h no
mínimo.
d) aos 40 minutos ele percorreu 3,5 km exatamente.
41) (UEL-2002) A figura construída segundo a seqüência
abaixo é denominada Esponja de Sierpinski ou Esponja de
Menger. Representa um fractal gerado a partir de um cubo.
Partindo-se do cubo inicial, obtêm-se outros cubos
menores, com arestas iguais a 3
1da aresta deste. O cubo
central e os cubos do centro de cada face são removidos. O
procedimento se repete em cada um dos cubos menores
restantes. O processo é iterado infinitas vezes, gerando a
Esponja. Supondo que a medida da aresta do cubo inicial
seja igual a 1 m, qual é a área, em m2, de uma face da figura
30?
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a)
30
9
8
b)
29
9
8
c)
30
8
9
d)
19
27
20
e)
19
20
27
42) (UFSCar-2001) Uma bola cai de uma altura de 30m e
salta, cada vez que toca o chão, dois terços da altura da qual
caiu. Seja h(n) a altura da bola no salto de número n. A
expressão matemática para h(n) é:
a) 30
n
3
2
b)
n(30)3
2
c) 20.n
d) .n
3
2
e)
n
3
2
43) (Mack-2002) Se construímos um seqüência infinita de
quadrados, sendo o primeiro de lado 1 e cada um dos outros
com lado igual à metade do lado do quadrado anterior,
então a soma das áreas desses quadrados é:
a) 2
b) 4
3
c) 5
4
d) 4
5
e) 3
4
44) (UFSCar-2003) Numa progressão geométrica, o primeiro
termo é 5x e a razão é 5. Se a soma dos quatro primeiros
termos é 3 900, pode-se afirmar que 5
5 2x
, é igual a
a) 25
1
b) 5
1
c) 1
d) 5
e) 25.
45) (UFES-1997) Em um rebanho de 15.000 reses, uma foi
infectada pelo vírus "mc1". Cada animal infectado vive dois
dias, ao final dos quais infecciona outros três animais. Se
cada rês é infectada uma única vez, em quanto tempo o
"mc1" exterminará a metade do rebanho?
46) (Vunesp-2003) Várias tábuas iguais estão em uma
madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5cm. Forma-se
uma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira
vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já
houveram sido colocadas anteriormente.
Determine, ao final de 9 dessas operações,
a) quantas tábuas terá a pilha.
b) a altura, em metros, da pilha.
47) (FGV-2003) a) calcule
60
1j
1)(2j
.
b) Obtenha o 20o termo da progressão geométrica
,...
4
x,
2
x1,
2
.
48) (Unicamp-1994) Seja -1 um número complexo tal
que n = 1, onde n é um número inteiro positivo. Prove que,
se n for par, a expressão 1 - + 2
-
3 + ... + (-)
n é igual a
1; e, se n for ímpar, essa expressão é igual a
1
1
.
49) (Fuvest-2003) No plano cartesiano, os comprimentos de
segmentos consecutivos da poligonal, que começa na
origem 0 e termina em B (ver figura), formam uma
progressão geométrica de razão p, com 0 < p < 1. Dois
segmentos consecutivos são sempre perpendiculares. Então,
se OA = 1, a abscissa x do ponto B = (x, y) vale:
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a) 4
12
p1
p1
b) 2
12
p1
p1
c) 2
16
p1
p1
d) 2
16
p1
p1
e) 4
20
p1
p1
50) (Mauá-2001) Determine x para que 4, x e 9 formem,
nessa ordem, uma progressão geométrica.
51) (AFA-1998) Seja f uma função real que satisfaz as
seguintes propriedades:
I. f(0) = 1;
II. 0 < f(1) < 1; e
III. f(x + y) = f(x).f(y) x, yR.
Então, a expressão f(0) + f(1) + f(2) + f(3) +...+ f(9) é
equivalente a
a) 1f(1)
1[f(1)]9
b) 1f(1)
1[f(1)]10
c) 1f(1)
f(1)[f(1)]9
d) 1f(1)
f(1)[f(1)]10
52) (ESPM-1995) O sétimo e o nono termos de uma
progressão geométrica de razão positiva valem
respectivamente 320 e 20. O oitavo termo dessa PG é:
a) 170
b) 2 85
c) 80
d) 40
e) 4
53) (AFA-1999) Uma bola é solta de uma altura de 128
metros em relação ao solo, e, ao atingir o mesmo, ela sobe a
metade da altura anterior. Esse movimento se repete até
atingir o solo pela décima vez. Nesse momento, quanto a
bola terá percorrido, em metros?
a) 255,50
b) 383,00
c) 383,50
d) 383,63
54) (AFA-1999) Se a seqüência de inteiros positivos (2, x, y)
é uma Progressão Geométrica e (x+1, y, 11) uma
Progressão Aritmética, então, o valor de x + y é
a) 11.
b) 12.
c) 13.
d) 14.
55) (UFRN-2002) As áreas dos quadrados abaixo estão em
progressão geométrica de razão 2.
Podemos afirmar que os lados dos quadrados estão em
a) progressão aritmética de razão 2.
b) progressão geométrica de razão 2.
c) progressão aritmética de razão 2 .
d) progressão geométrica de razão 2 .
56) (Unicamp-1998) Considere uma progressão geométrica
de termos não-nulos, na qual cada termo, a partir do
terceiro, é igual à soma dos dois termos imediatamente
anteriores.
a) Calcule os dois valores possíveis para a razão q dessa
progressão.
b) Supondo que o primeiro termo seja 251
e q > 0,
calcule a soma dos três primeiros
termos dessa progressão.
57) (FMTM-2002) Dentre as seqüências dadas, aquela que
forma uma progressão geométrica é a seqüência
a) sen 6
, sen 4
, sen 3
b) sen2 6
, sen2 4
, sen2 3
.
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c) tg 6
, tg 4
, tg 3
d) cos 6
, cos 4
, cos 3
e) cos2 6
, cos2 4
, cos2 3
.
58) (Vunesp-2000) No dia 1 de dezembro, uma pessoa
enviou pela internet uma mensagem para x pessoas. No dia
2, cada uma das x pessoas que recebeu a mensagem no dia
1 enviou a mesma para outras duas novas pessoas. No dia 3,
cada pessoa que recebeu a mensagem no dia 2 também
enviou a mesma para outras duas novas pessoas. E, assim,
sucessivamente. Se, do dia 1 até o final do dia 6 de
dezembro, 756 pessoas haviam recebido a mensagem, o
valor de x é:
a) 12.
b) 24.
c) 52.
d) 63.
e) 126.
59) (UFC-2002) Considere a função real de variável real
definida por f(x) = 2-x
. Calcule o valor de
f(0) - f(1) + f(2) - f(3) + f(4) - f(5) + ...
60) (Unicamp-1990) Construir "fractais” no computador
corresponde a um procedimento como o descrito a seguir.
A partir de um triângulo eqüilátero, de área A,
acrescentamos no meio de cada lado um outro triângulo
eqüilátero de lado igual á um terço do anterior; aos lados
livres destes triângulos acrescentamos triângulos de lados
iguais a um terço dos anteriores e assim sucessivamente
construímos uma figura com uma infinidade de triângulos
(veja o desenho). Calcule a área, em termos de A, da região
determinada por esse processo.
61) (Mack-1996) Num paralelepípedo retângulo a soma das
medidas de todas as arestas é 52 e a diagonal mede 91 .
Se as medidas das arestas estão em progressão geométrica,
então o seu volume é:
a) 216.
b) 108.
c) 81.
d) 64.
e) 27.
62) (Mack-1999) Seja a seqüência geométrica, de n termos
positivos, que se obtém inserindo-se k meios geométricos
entre 21
e 8. Se o produto de todos os termos é 32, então n
vale:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
63) (UFPR-2002) Uma cidade cuja população vem
diminuindo sistematicamente tem hoje 30000 habitantes. Se
o ritmo de diminuição se mantiver, então o número de
habitantes daqui a t anos, P(t), é calculado aplicando-se a
fórmula: P(t) = 30000(0,9)t. Supondo que o ritmo de
diminuição se mantenha, é correto afirmar: - Daqui a 2 anos, a população será menor que 24000.
- Os números P(1), P(2), P(3), ... , nesta ordem, formam
uma progressão geométrica.
- O tempo necessário, em anos, para que a população se
reduza à metade da atual é log0,9
log2log1
- P(20) = 0.
- Em cada período de um ano a população diminui
10%.
64) (Unicamp-modificada-1990) Construir "fractais” no
computador corresponde a um procedimento como o
descrito a seguir. A partir de um triângulo eqüilátero, de
área A, acrescentamos no meio de cada lado um outro
triângulo eqüilátero de lado igual á um terço do anterior;
aos segmentos livres destes triângulos acrescentamos
triângulos de lados iguais a um terço dos anteriores e assim
sucessivamente construímos uma figura com uma
infinidade de triângulos (veja o desenho). Calcule a área,
em termos de A, da região determinada por esse processo.
65) (Una-2001) Um funcionário de uma repartição pública
inicia um trabalho. Conseguindo despachar no primeiro dia
320 documentos, percebe que seu trabalho no dia seguinte
tem um rendimento de 90% em relação ao dia anterior,
repetindo-se este fato dia após dia. Se, para terminar o
trabalho, tem de despachar 3200 documentos, pode-se
concluir que:
a) O trabalho estará terminado em menos de 20 dias.
b) O trabalho estará terminado em menos de 26 dias.
c) O trabalho estará terminado em 58 dias.
d) O funcionário nunca terminará o trabalho.
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66) (desconhecida-0) Um funcionário de uma repartição
pública inicia um trabalho. Consegue despachar, no
primeiro dia, 210 documentos e percebe que seu trabalho,
no dia seguinte, tem um rendimento de 90% em relação ao
dia anterior, repetindo-se esse fato dia após dia. Se para
terminar o trabalho tem de despachar 2100 documentos,
pode-se concluir que:
a) o trabalho estará terminado em menos de 20 dias;
b) o trabalho estará terminado em menos de 26 dias;
c) o trabalho estará terminado em 58 dias
d) o funcionário nunca terminará o trabalho;
e) o trabalho estará terminado em 60 dias;
67) (Fuvest-2002) Em um bloco retangular (isto é,
paralelepípedo reto retângulo) de volume 8
27, as medidas
das arestas concorrentes em um mesmo vértice estão em
progressão geométrica. Se a medida da aresta maior é 2, a
medida da aresta menor é:
a) 8
7
b) 8
8
c) 8
9
d) 8
10
e) 8
11
68) (UFSCar-0) A condição para que três números a,b e c
estejam, simultaneamente em progressão aritmética e
progressão geométrica é que:
a) ac = b2
b) a+c = 2b
c) a + c =b2
d) a = b = c
e) ac = 2b
69) (Fuvest-1977) O quinto e o sétimo termos de uma PG
valem, respectivamente, 10 e 16. O sexto termo dessa PG é:
a) 14
b) 10 6
c) 4
d) 4 10
e) 10
70) (Cesgranrio-0) Adicionando-se uma mesma constante a
cada um dos números 6, 10 e 15, nessa ordem, obtemos
uma PG de razão
a) 4
5
b) 2
3
c) 3
2
d) 4
e) 31
71) (Fuvest-1999) Seja (an) uma progressão geométrica de
1o termo a1 = 1 e razão q
2, onde q é um número inteiro
maior que 1. Seja (bn) uma progressão geométrica cuja
razão é q. Sabe-se que a11 = b17. Neste caso:
a) Determine o primeiro termo b1 em função de q.
b) Existe algum valor de n para o qual na = bn ?
c) Que condição n e m devem satisfazer para que an = bm ?
72) (Mack-2002) Numa seqüência infinita de círculos, cada
círculo, a partir do segundo, tem raio igual à metade do raio
do círculo anterior. Se o primeiro círculo tem raio 4, então a
soma das áreas de todos os círculos é:
a) 12
b) 15/4
c) 64/3
d) 32
e) 32/3
73) (Fuvest-1994) Na figura a seguir , A1B1=3, B1A2=2.
Calcule a soma dos infinitos segmentos:
A1B1+B1A2+A2B2+B2A3+...
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Gabarito
1) Alternativa: E
2) Alternativa: B
3) a) -2
b) 22
3
4) Resposta: 7
5) Alternativa: D
6) Alternativa: D
7) Alternativa: A
Como ),,( 951 aaa estão em PG de razão 9, logo:
9.15 aa .
Da PG teremos:
33..9.39. 21156 aqaqaqaa
3.339. 44
26 qqqaa , pois
01 a e 02 a .
.27)3.(39. 7767 aaqaa
Logo: 327. 72 aa .
8)
S10 = 62 ( 2 + 1)
9) Alternativa: C
10) a) (0,1) 2kmm
b) 37,125mm; 26,25mm e 6,4mm.
11) Alternativa: B
12) Resp: 1023x.
13) Alternativa: C
14) Alternativa: E
15) a) 2048
b) 9840
16) Alternativa: C
17) Alternativa: B
18) a) 799,2 metros portanto a distância que o separa de B é
inferior a 1m.
b)
19) Alternativa: D
20) Alternativa: D
21) Alternativa: E
22) Alternativa: C
23) Alternativa: A
24) a) O lado mede 8cm e a altura mede 4 3 cm.
b) As áreas dos triângulos T2 e T7, em cm2, são
respectivamente iguais a 4 3 e 256
3
25) Alternativa: D
26) Alternativa: A
27) a) 2 , 6 2 , 2 2 , 12 2 ,4 2 ,24 2 ,8 2 e 48
2
b)a37= 218
. 2 e a38 = 6.218
2
28) Alternativa: A
29) Alternativa: C
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30) Razão = 10
31) Alternativa: E
33) Alternativa: E
34) Alternativa: D
35) a) 8
1 +
8
3 .
4
3 +
8
3.4
1 =
2
1
b) 2
1+
32
10.
2
1+ (
32
10)
2.2
1+ ... (soma infinita de PG) =
11
8
36) a) 2i e -4 + 6i
b) |z| = 2 ,|w| = 2 e a seqüência é (1, 2 , 2, 2 2 , 4),
que é uma progressão geométrica de razão 2 . 37) a) 8 questões.
b) 127,5 minutos.
38) a) Supondo que seja possível determinar n, ou seja,
supondo que q0, A0 e q1, então temos que n = 1 +
A
Blogq .
b) 25 parcelas.
39) Alternativa: C
40) Alternativa: A
41) Alternativa: B
42) Alternativa: A
43) Alternativa: E
44) Alternativa: B
45) A sequência de animais mortos segue uma PG de razão
3: 1, 3, 9, 27,...
A soma dos n primeiros termos dessa PG é
S = 13
1)1(3n
> 7500 3
n > 15001 n > log315001 n
> 8,75
Então, S é maior que 7500 para 9 termos, de modo que em
18 dias (9 x 2) mais da metade do rebanho terá morrido.
Para 8 termos (16 dias) ainda não teremos metade do
rebanho morto.
46) a) 256 tábuas
b) 1,28m
47) a) S = 1 + 3 + ... + 119 = 3600
b) 19
19
2
x
48) 1 - + 2
-
3 + ... + (-)
n é a soma dos n+1 primeiros
termos da PG de a1 = 1 e q = -, portanto
1 - + 2 -
3 + ... + (-)
n =
1
11n
= 1
1()( n
)
Assim, se n for par, 1
1()( n
) = 1
1()( n
)
=
1
1
= 1 e
se n for ímpar, 1
1()( n
) = 1
1()( n
)
= 1
1
=
1
1
49) Alternativa: D
50) Resposta: x = 6 ou x = -6
51) Alternativa: B
52) Alternativa: C
53) Alternativa: C
54) Alternativa: B
55) Alternativa: D
56) a) q = 251
ou q = 251
b) S3 = -1- 5 57) Alternativa: C
58) Alternativa: A
59) R: S = q1
a1
=
)21(1
1
=
.32
60) Excetuando-se o 1
o triângulo (de área A), as áreas dos
demais formam uma PG infinita de razão 2/9 e cuja soma
infinita é 3A/7. Desta forma, a soma total das áreas é A+
3A/7 = 10A/7
61) Alternativa: E
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62) Alternativa: A
63) F – V – V – F – V
64) Excetuando-se o 1
o triângulo (de área A), as áreas dos
demais formam uma PG infinita de razão 9
4 e cuja soma
infinita é 35
A. Desta forma, a soma total das áreas é A+ 3
5
A = 8
5
A.
65) Alternativa: D
66) Alternativa: D
67) Alternativa: C
Sejam x/q, x e xq as 3 arestas. Assim, o volume é x/q.x.xq
= x3 =
8
27 x =
2
3 . Como x é a aresta intermediária
entre a maior e a menor, ela é a média geométrica dessas
duas. Então, (2
3 )
2 = 2.m m =
8
9
68) Alternativa: D
69) Alternativa: D
70) Alternativa: A
71) a) b1 = q
4 b) sim, n = 5
c) 2n – m = 5
72) Alternativa: C
73) Temos 2 PGs infinitas de razão 4/9, uma iniciando em
A1B1 = 3 e englobando apenas os segmentos verticais e
outra iniciando em B1A2 = 2 englobando os inclinados. A
soma das duas PGs resulta em S = 9.