FiltrodeKalman
Adaptadode:Aguirre,Cap.9- IntroduçãoàIndentificação deSistemas,
Ed.UFMG,3ªedição
IdentificaçãodeSistemasDinâmicos
Introdução
• ModeloLinearDiscreto
mk
rk mediçõeseentradadesequência
PxIniciaisCondições
ÂÎÂÎ yu00 ,ˆ
FunçãodeProbabilidade
FunçãodedensidadedeProbabilidadeGaussiana
Combinaçãode2sensores
Medidasdeummesmoinstrumento
NovaNomenclatura
OCasoDinâmico
MovimentodoObjeto:e.g.AproximaçãodeEuler
OFiltrodeKalman Discreto
LeideMovimento– propagaçãodovetordeestadosestimado:
NovaNomenclatura
Predição
Correção
MatrizdeCovariância
• Errodeestimaçãonapropagação
Matrizdecovariânciade
...
EquaçõesdeFiltrodeKalman DiscretoPredição
Correção
11
Acesso às variáveis deestado:• Asvariáveis deestado não podem ser medidas diretamente• Qualamelhor estimativa - “ótima”apartir dasmedidas?
MeasuringDevices Estimator
MeasurementErrorSources
SystemState(desiredbutnotknown)
ExternalControls
ObservedMeasurements
OptimalEstimateofSystemState
SystemErrorSources
System
BlackBox
Abordagens:i)derivar y,ii)Modelo Malha aberta,iii)Observador,iv)Filtro deKalman
http://www.mudancasabruptas.com.br/Filtro%20de%20Kalman_Iniciantes.pdf
Gaussiana
http://www.mudancasabruptas.com.br/Filtro%20de%20Kalman_Iniciantes.pdf
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http://www.mudancasabruptas.com.br/Filtro%20de%20Kalman_Iniciantes.pdf
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Exemplo:Apenas moodelo dePosition
Moving Still
[Welch&Bishop]
Exemplo:ModelPosição eVelocidade
[Welch&Bishop]
Moving Still
Filtro Multi-modelo
[Welch&Bishop]
[Welch&Bishop]
FiltroMulti-modelo
Results:MultipleModels
[Welch&Bishop]
Filtro deKalman
https://en.wikipedia.org/wiki/Kalman_filter
EquaçõesdeFiltrodeKalman DiscretoPredição
Correção
EstimaçãodeParâmetros- FiltrodeKalmanFiltro deKalman
ïïî
ïïí
ì
-=
-+=
+=
--
--
---
1'
1
1'
1
11
'1
]ˆ[ˆˆ][
kkkkk
kkkkkk
kkkkkkk
PKPP
yK
RPPK
y
qyqq
yyy
îíì
+=+G+F=
-
-
kkk
kkkk
vHxywuxx
1
1
Parâmetros
Sinaisïî
ïí
ì
FF-FF=
G+F-+G+F=
+FFFF=
--
----
---
'1
'1
1111
1''1
''1
)]ˆ([ˆˆ][
kkkk
kkkkkkk
kkkk
PHKPP
uxHyKuxxRHPHHPK y
ïî
ïíì
+=
=
-
-
kkTkk
kk
ey 1
1
qy
ModelonoEspaçodeEstados
EstimaçãodasMatrizesdeEstado
!𝒙$%&= Φ𝒙$+Γ𝒖$ + 𝒘$ 𝒚$ = 𝐻𝒙$+𝒗$
Parâmetros
ïïî
ïïí
ì
-=
-+=
+=
--
--
---
1'
1
1'
1
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]ˆ[ˆˆ][
kkkkk
kkkkkk
kkkkkkk
PKPP
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RPPK
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yyyïî
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+=
=
-
-
kkTkk
kk
ey 1
1
qy
VariantesdoFiltrodeKalman
Variáveis
Matrizes Est.
a)
b)
c)
Estimaçãoconjuntadeestadoseparâmetros
Matrizaumentada:
Dificuldade:
- Dimensão daMatriz deCovariância P– Estabilidade!!
OFiltrodeKalman EstendidoModelonão-linear
Jacobianas: