Física 2 – Aula 1 – Conceitos: Estática e Dinamica do corpo rígido
Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori
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F’isica 2 Objetivos: Fornecer aos alunos os conhecimentos que o
capacitem a compreender e manipular os conceitos da mecânica clássica, para a aplicação das propriedades físicas, aos projetos de
equipamentos ou peças em geral. Proporcionar ao aluno
desenvolvimento dos procedimentos práticos da física.
Ementa: Equilíbrio Estático de um Corpo Rígido.
Sistemas de Partículas e Conservação do Momento. Cinemática dos Corpos Rígidos. Estática: Baricentro. Treliças Planas e Espaciais.
Rotação dos Corpos Rígidos. Dinâmica do Movimento de Rotação.
Vibrações Mecânicas.
Bibliografia Básica:
RESNICK, R; HALLIDAY D; WALKER, J. Fundamentos da Física,
V 1 - Mecânica. LTC, 2009.
TIPLER, Pl A; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. V 1. LTC, 2009.
TIPLER, Pl A; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. V 2.
LTC, 2009.
Bibl;iografia complementar:
BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Mecânica vetorial para
engenheiros: cinemática e dinâmica 5ª ed. 2v. São Paulo:
Makron, 1994. HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para Engenharia. 8.ed.
Rio de Janeiro Prentice Hall Brasil, 2004.
KRAIGE,L.G.;MERIAN,J.L. Mecânica: dinâmica. Rio de Janeiro: LTC,2004.
Resumo: Vetores
Propriedades:
1ˆˆ ii 0ˆˆˆˆ ijji
1ˆˆ jj 0ˆˆˆˆ ikki
1ˆˆ kk 0ˆˆˆˆ jkkj
CABACBA
vv
vn
AB
ˆ ; onde ABABv
(Normalização de um vetor).
kBABAjBABAiBABABA xyyxzxxzyzzyˆˆˆ
Mostre que: kjin zyxAB
ˆcosˆcosˆcosˆ
Operações com Vetores no Espaço R3:
Determinação dos ângulos x, y, z:
v
v
v
v x
x
x
x arccoscos
v
v
v
v y
y
y
y arccoscos
v
v
v
v zx
zz arccoscos
Representação dos ângulos no espaço R3:
Representação:
kvjvivv zyxˆˆˆ
ou
),,( zyx vvvv
ou OAAOv
xv : Componente x do vetor v
na direção Ox .
yv : Componente y do vetor v
na direção Oy.
zv : Componente z do vetor v
na direção Oz.
v
A
z
y
x
0 vy y
x vx
Versores:
0,0,1ˆ i 0,1,0ˆ j 1,0,0ˆ k
Módulo do vetor:
222
zyx vvvv
Exercícios
1. Encontre a decomposição de cada força
indicada, escrevendo na forma ˆ ˆx yF F i F j
. Em
seguida encontre a força resultante que atua no
corpo A.
2. Um muro está sustentado pelos cabos na
figura. Se as tensões nos cabos AB e AC forem 1200N e
1600N, respectivamente, escreva os vetores que
representam essas tensões e determine a resultante no
mancal A.
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3. Seja a estrutura abaixo:
C
(a) Encontre os pontos A, B, C.
(b) Ache os vetores:
AB B A
CB B C
(c) Normalize os vetores:
ˆAB
ABn
AB
; ˆ
BC
BCn
BC
(d) Encontre as forças que atuam na
direção AB, sabendo que seus módulos são
2500AB
F N
e ˆAB AB AB
F F n
(e) Encontre os ângulos que essa força faz
com os eixos.
Momento ou torque de uma força:
Definição: Definimos o momento de uma força em
relação a O como sendo o produto vetorial de F e r:
Figura 1: Momento de uma força Mo em relação a O,
O oM r F r F
ˆˆ ˆr xi yj zk
ˆˆ ˆx y zF F i F j F k
OM r F sen Fd
ˆˆ ˆO x y zM M i M j M k
x z yM yF zF
y x zM zF xF
z y xM xF yF
ˆˆ ˆ
O
x y z
i j k
M x y z
F F F
Exemplo 1 – Uma força vertical de 500N é
aplicada na extremidade de uma manivela fixada a
um eixo em O. Determinar:
(a) O momento da força de 500N em relação a O
(b) a intensidade da força horizontal aplicada em A
que produz o mesmo momento em relação a O.
(c) a menor força aplicada em A que produz o
mesmo momento em relação a O.
(d) a distância a que uma força vertical de 1200N
deverá estar do eixo para gerar o mesmo momento em
relação a O.
(e) se alguma das forças obtidas nos itens anteriores
é equivalente a força original.
i k
j
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Exemplo 2 – Uma força de 800N é aplicada como
ilustrado. Determine o momento da força em relação a
B.
Exemplo 3 – Uma força de 150N atua na
extremidade de uma alavanca de 0.9m, como ilustrado.
Determinar o momento da força em relação a O.
Exemplo 4 – Uma placa retangular é sustentada por
suportes em A e em B e por um fio CD. Sabendo que a
tração no cabo é de 200N, determine o momento da
força exercida pelo fio na placa, em relação ao ponto A.
Solução:
A CAM r F
CAr
: vetor que liga de A a C.
ˆˆ0.3 0.08CAr AC i k
ˆCDF F n
ˆ
CD
CDn
CD
Exemplo 5 – Calcule o torque (módulo, direção e
sentido) em torno de um ponto O de uma força F
em
cada uma das situações esquematizadas na Figura 4. Em
cada caso, a força F
e a barra estão no plano da página,
o comprimento da barra é igual a 4.00 m e a força
possui módulo de valor F = 10.0 N.
Figura 4
Exemplo 6 – Calcule o torque resultante em
torno de um ponto O para as duas forças aplicadas
mostradas na Figura 5.
Figura 5
Exemplo 7 – Uma placa metálica quadrda de
lado igual a 0.180 m possui o eixo pivotado
perpendicularmente ao plano da página passando pelo
seu centro O (Figura 6). Calcule o torque resultante em
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torno desse eixo produzido pelas três forças mostradas
na figura, sabendo que F1 = 18.0 N, F2 = 26.0 N e F3 =
14.0 N. O plano da placa e de todas as forças é o plano
da página.
Figura 6
Exemplo 8 – As forças F1 = 7.50 N e F2 = 5.30
N são aplicadas tangencialmente a uma roda com raio
igual a 0.330 m, conforme mostra a figura 7. Qual é o
torque resultante da roda produzido por estas duas
forças em relação a um eixo perpendicular à roda
passando através de seu centro? Resolva o caso (b).
Figura 7 (a)
(b)
Exemplo 9 – Uma força atuando sobre uma
parte de uma máquina é dada pela expressão:
ˆ ˆ5.00 4.00F N i N j
O vetor da origem ao ponto onde a força é
aplicada e dado por:
ˆ ˆ0.45 0.15r m i m j
(a) Faça um diagrama mostrando r
F
e a
origem.
(b) Use a regra da mão direita para determinar
a direção e o sentido do torque.
(c) Determine algebricamente o vetor torque
produzido por essa torça. Verifique se a direção e o
sentido do torque são iguais aos obtidos no item (b).
Figura 8 - Regra da mão direita.
Em cada problema, esboce o diagrama de corpo livre.
1. Encontre as reações de apoio na barra mostrada.
Suponha peso da barra desprezível.
2. Determine a tensão na corda supondo que
não haja atrito e a polia seja ideal.
3. A peça da figura está conectada no pono A
e apoiada em B. Determine as reações de apoio e forças
de contato.
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4. Determine a força de apoio na barra da figura:
5. Um caminhão possui uma rampa de 400 lb de
peso conforme mostrado. Determine a tensão no fio que
a segura.
6. Determine as forças nos apoios A e B.
7. Compare as forças exercidas sobre os
pontos A e B do solo quando uma mulher de 120 lb
utiliza um sapato normal e um sapato de salto alto.
8. Determinar a tensão T no cabo de
sustentação da barra da figura, de massa 95 kg.
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9. O centro de gravidade G do carro mostrado
está indicado. A massa do carro vale 1400 kg.
Determine as forças normais em cada ponto de contato.
10. Determine as forças nos apoios A e B que
a barra de 12 lb de peso faz sobre o carregador.
11. A barra de 450 kg suporta o barril na
posição indicada. Determine as forças nos apoios
indicados.
12. Uma barra prismática AB bi-apoiada,
encontra-se em equilíbrio conforme ilustrado. Pedem-se
as reações de apoio em A e B.
3.0 m 2.0 m 2.0m
210N 140N
A B
Repita o problema 1 considerando o peso da
Barra de 150N.
13. Na figura o peso do bloco vale P = 200N. A
densidade linear da barra é = 5 kg/m. Determine o
comprimento da barra L para que fique em equilíbrio na
posição horizontal.
14. Na figura:
50 200ABP kgf Q kgf
Determine as reações no apoio A e a tensão no
fio.
15. Uma barra prismática AB bi-apoiada,
encontra-se em equilíbrio conforme ilustrado. Se o peso
da barra for 200N, encontre as reações de apoio em A e
B.
4.0 m 3.0 m 3.0m
320N 260N
A B
16. Uma força de 30 lb atua na extremidade de
uma alavanca de 3 ft, como ilustrado. Determinar o
momento da força em relação a O.
P
B C
L
3.0 m
A
300
B
Q
3.0 m 2.0 m
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17. Na estrutura indicada, a torre está amarrada
em dois suportes fixos no solo. A tensão no cabo AB é
2100 N; no cabo AC é 1800N e no cabo AD é 2300N.
Determine a força resultante no ponto A da estrutura.
18. Determine o centroide da figura plana com
densidade superficial de massa constante.
19. Determine o momento da força de 200N
aplicada no ponto C da dobradiça em relação ao ponto
A.
Dados: Estática do corpo rígido:
BA A B
e ˆBA
BAn
BA
.
2 2 2ˆˆ ˆx y z x y zF F i F j F k F F F F
arccos arccos arccosyx z
x y z
FF F
F F F
Momento de uma força BF
aplicada no ponto B
de um sólido em relação ao ponto O:
O BOB F
OB B O
20. Uma esfera homogênea e lisa repousa sobre
a inclinação A e apoia-se contra a parede B. verticais
lisas. Calcular as forças de contato em A e B.
FA = 566 N, FB = 283 N
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21. O peso da bicicleta é 29 lb com o
centro de gravidade em G. Determine as forças
normais em A e B, quando a bicicleta está em
equilíbrio.
NA = 15.91 lb, NB = 13.09 lb
22. O feixe uniforme tem uma massa de 50
kg por metro de comprimento. Determinar as
reacções nos apoios.
Ay =1864 N, By = 2840 N
23. O feixe uniforme de 500 kg é
submetido às três cargas externas mostrados.
Calcule as reacções no ponto de apoio O. O plano
xy é vertical.
Ox = 1500 N, Oy = 6100 N
MO = 7560 N.m CCW
24. Determinar a magnitude de T a tensão
no cabo de suporte e a magnitude da força exercida
sobre o pino em A para a lança da grua mostrado.
A viga AB possui 5 m com uma massa de 95 kg
por metro de comprimento.
Ax = 17.77 kN; Ay = 6.37 kN; A = 18.88 kN
T = 19.61 kN
25. Calcular as forças de reações no ponto
O de base aparafusada do conjunto de sinais de
trânsito em cima. Cada sinal de trânsito tem uma
massa de 36 kg, enquanto as massas de membros
OC e AC são de 50 kg e 55 kg, respectivamente. O
centro de massa do membro AC está em G.
Ox = 0, Oy = 1736 N,
MO = 7460 N.m CW
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26. Três cabos estão ligados ao anel de
junção C. Determinar as tensões nos cabos de AC e
BC causada pelo peso do cilindro de 30 kg .
TAC = 215 N, TBC = 264 N
27. A localização do centro de gravidade
da caminhonete de 3600-lb está indicado para o
veículo sem carga. Se uma carga cujo centro de
gravidade se encontra atrás do eixo traseiro é
adicionado ao caminhão, determinar o peso da
carga para que as forças normais e sob as rodas
dianteiras e traseiras sejam iguais.
WL = 550 lb.
28. Um bloco colocado sob a cabeça do
martelo como mostrado facilita muito a extração
do prego. Se uma força de 50 lb é necessária para
puxar o prego, calcular a força de tensão T no
prego e a magnitude da força A exercida pela
cabeça de martelo sobre o bloco. As superfícies de
contato em A são suficientemente áspera para
evitar escorregamento.
T = 200 lb, A= 188.8 lb
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Cinemática da Partícula (Revisão)
Vetor Posição: ˆˆ ˆr x i y j z k
Vetor velocidade média mv
:
m
rv
t
Vetor Velocidade instantânea: dr
vdt
Vetor aceleração média: m
va
t
Vetor Aceleração instantânea: dv
adt
Aplicação: Lançamento Oblíquo:
Eixo x: MU: 0 0xx x v t
Eixo y: MUV: 2
0 02y
ty y v t g
0yyv v g t
Decomposição da velocidade inicial 0v
:
0 0 0 0cosx y
v v v v sen
Tempo de subida: 0y
s
vt
g
Alcance: 2
0 2m
vx sen
g
Altura máxima: 0
2
2
y
vh
g
Movimentos curvilíneos e MCU
Movimento
Curvilíneos
MCU
e v a
perpendiculares
Aceleração resultante
2 2
R cp Ta a a
R cpa a
Aceleração tangencial
T
dva
dt
0Ta
Aceleração centrípeta e Força centrípeta 2
2
cp cp cp
va a R F m a
R
Cinemática dos Corpos Rígidos
Movimentos:
Translação.
Rotação sobre um eixo fixo.
Movimento Geral sobre um plano
Movimento sobre um ponto fixo
Movimento Geral qualquer.
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Translação
B A BAr r r
B Av v
B Aa a
Rotação sobre um eixo fixo
01 2 360rev rad
dr
vdt
dsv s BP BP r sen
dt
dv r sen
dt
v r sen
Velocidade angular: k
Como o ângulo entre r
e
é , lembrando da
propriedade do módulo do produto vetorial:
r r sen r sen v
v r
dv d d dr
a a r rdt dt dt dt
da r v
dt
Aceleração angular: d
dt
ˆ ˆ ˆk k k
a r r
Rotação de um corpo rígido
Sendo k
ˆv r v k r
Como k r v r
a r r
ˆ ˆ ˆa k r k k r
2ˆ ˆ ˆa k r k k r
ˆ ˆk k r
u v w u w v u v w
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆk k r k r k k k r
ˆ ˆk k r r
2ˆa k r r
Aceleração tangencial:
ˆT Ta k r a r
Aceleração normal 2 2
N Na r a r
Exercícios 1. Uma polia está conectada por cabos
inextensíveis conforme mostra a figura. O movimento
da polia é controlado pelo cabo C o qual tem uma
aceleração constante de 9 in/s2 e uma velocidade
inicial de 12 in/s, ambas para a direita.Determine:
(a) o número de revoluções executados pela
polia em 2 s.
(b) a velocidade e a mudança na posição do
corpo B após 2s.
(c) a aceleração do ponto D da polia interior no
instante t = 0s.
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Solução:
2. O movimento de um corpo é dado por:
3 29 15t t t t SI .
Determine a posição angular, a velocidade
angular e a aceleração angular nos instantes:
(a) t = 0 s (b) t =3s.
3. No problema anterior, determine a posição
angular e a aceleração nos instantes em que a
velocidade angular se anula.