Física 3 Resumo e Exercícios P2

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Resumo Teórico Parte 1 Corrente Elétrica Definição:

𝑖 =𝑑𝑄𝑑𝑡

Convenção: Sentido das cargas positivas Corrente Média:

𝐼 =∆𝑄∆𝑡

= 𝑛. 𝑣. 𝐴

Onde: • n: densidade de partículas portadoras de carga • v: velocidade (de arraste) das partículas • A: Área por onde passa corrente

Vetor Densidade de Corrente Seu módulo é dado por:

𝐽 =𝐼𝐴

Sentido e direção: os mesmos do campo elétrico Lei de Ohm:

𝐽 = 𝜎𝐸 Onde σ é a condutividade do material. A Lei de Ohm dá origem à duas outras expressões muito utilizadas:

𝑅 =𝜌𝑙𝐴 1 𝑒𝑉 = 𝑅. 𝑖(2)

Onde 𝜌 é a resistividade do material, dada por: 1/𝜎 (inverso da condutividade) Resistência Cálculo de Resistências:

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• Corpos de área constante - Basta aplicar a fórmula (1) • Corpos com algumas áreas diferentes – Dividir o corpo em partes de área

constante e aplicar a fórmula (1) para cada uma delas. • Corpos com infinitas áreas distintas - Integrar a expressão (1) – Exemplo: Resistor

cilíndrico com corrente radial

**Detalhe: o termo “área” utilizado acima refere-se à área atravessada pela corrente

Efeitos de um campo magnético

I. Efeito sobre uma carga puntiforme

Suponha uma carga q com velocidade 𝑣 na presença de um campo magnético 𝐵. A carga sofrerá a ação de uma força dada por:

𝐹< = 𝑞𝑣×𝐵 ATENÇÃO: - A força magnética só age em condutores EM MOVIMENTO

- A força magnética não realiza trabalho: 𝐹 ⊥ 𝑣 Como encontrar a direção dos vetores? Regra da mão direita!

II. Efeito sobre uma corrente Suponha um fio condutor, por onde esteja passando corrente I, e que esteja sujeito a um campo magnético 𝐵. A força magnética no fio é dada por:

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𝐹< = 𝐼 𝑑𝑙×𝐵

Observação:

Se 𝐵 for uniforme, a expressão da força magnética no condutor se reduz à:

𝐹< = 𝐼𝑙×𝐵 Onde 𝑙 é vetor em linha reta entre as extremidades do fio e cujo sentido é o mesmo da corrente. III) Efeito sobre uma espira Considere uma espira (fio fechado) por onde passa uma corrente I, e que esteja

sujeita a um campo magnético 𝐵 uniforme.

Se o fio é fechado (definição de espira) -> 𝑙 = 0 -> 𝐹< = 0 Deste modo, não há movimento de translação para a espira! Mas, pode haver ROTAÇÃO! O torque gerado sobre a espira é dado por:

𝜏 = 𝐼𝐴×𝐵 Onde 𝐴 é o vetor perpendicular à área da espira. Como achar o sentido de A? “Regra do Saca Rolha”

Definição importante:

- Momento de dipolo magnético da espira: 𝜇 = 𝐼𝐴

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- Utilizando a expressão acima, o torque se reduz à: 𝜏 = 𝜇×𝐵 OBS: “Dipolo Magnético” é outra forma de dizer “Espira”

Exercícios Parte 1 1. (P2 2016 – Questão 1)

Uma casca cilíndrica é feita de um material condutor de condutividade σ uniforme. As dimensões do cilindro estão indicadas na figura, onde L>>b>a. As superfícies interna e externa da casca com raios r=a e r=b, onde r é a distância da casca cilíndrica, são duas equipotenciais mantidas a uma ddp igual a V por uma bateria, conforme a figura.

a. Devido à simetria, a densidade de corrente é dada por 𝐽 = 𝐽 𝑟 𝑟.Calcule J(r) como função de J(a), suposta conhecida.

b. Calcule 𝐸 𝑟 no interior da casca (a<r<b) como função de J(a). c. Calcule a resistência da casca. d. Calcule J(a) em função de V, σ, a e b.

2. (P2 2013 – Questão 1)

Considere dois eletrodos esféricos concêntricos de raios a e b, conforme a figura. O meio resistivo entre os eletrodos é homogêneo com condutividade σ. Uma corrente I flui do eletrodo interno de raio a para o eletrodo externo de raio b através do meio resistivo.

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a. Calcule em função da corrente I o vetor densidade de corrente no meio resistivo a uma distância r do centro dos eletrodos (a<r<b). b. Calcule a resistência do sistema ôhmico em função de a, b e σ. c. Qual o valor da diferença de potencial entre os eletrodos em função de a, b, σ e I.

3. (P1 2016 – Questão 3)

Uma espira é formada por dois segmentos de reta de comprimento a e um trecho semicircular de raio a, conforme ilustrado na figura. A espira está sujeita a um campo magnético uniforme dado por 𝐵 = 𝐶𝚤 e a corrente I percorre a espira no sentido indicado na figura.

a. Calcule o vetor força magnética sobre os segmentos retilíneos horizontal e

vertical. b. Calcule o vetor força magnética sobre o trecho circular. c. Determine o torque sobre a espira.

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4. (P2 2011 – Questão 2) Uma partícula carregada com Q >0 e massa M é acelerada paralelamente ao eixo x, no sentido de x crescente, a partir do repouso, por uma diferença de potencial 𝑉F.

a. Determine o vetor velocidade final 𝑣da partícula após a aceleração pela diferença de potencial 𝑉F. b. A partícula carregada adentra a seguir numa região de campo magnético uniforme 𝐵 = 𝐵F𝚥. Determine o vetor força magnética que atua sobre a partícula em função de 𝑉F, 𝑀, 𝑄𝑒𝐵F. c. Faça um esquema do movimento dessa partícula na região de campo 𝐵. Calcule o raio da trajetória na região com campo magnético e o tempo gasto nesta região.

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Gabarito Parte 1 1)

a. 𝐽(𝑟) = J K KL

b. 𝐸 = J K KLML

c. 𝑅 = NOPQM

𝑙𝑛 <K

d. 𝐽 𝑎 = SM

K TUVW

2) a. 𝐽 = X

YPLZ𝑟

b. 𝑅 = <[KYPMK<

c. 𝑉 = <[KYPMK<

𝐼

3) a. 𝐹\ = 𝐼. 𝑎. 𝐶𝑘; 𝐹 = 0

b. 𝐹< = −𝐼. 𝑎. 𝐶𝑘

c. 𝜏 = −𝐼𝑎O𝐶 1 − PY𝚥

4)

a. 𝑣 = O`Sab

𝚤

b. 𝐹< =O`cSab

𝐵F𝑘

c. R = Nea

Ofgah

; 𝑇 = Pbja`

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Resumo Parte 2 Cálculo do campo magnético Já vimos os efeitos de um campo magnético! Mas, o que gera esse campo? Como calculá-lo? - Cargas em movimento geram campos magnéticos! Há duas formas de calcular: Lei de Ampère e Lei de Biot-Savart.

I) Lei de Biot-Savart:

- Utilidade: Calcular campos gerados por fios e espiras Essa lei nos diz que:

𝐵 =𝜇F4𝜋

𝐼𝑑𝑙×𝑟𝑟O

Onde µF é a permeabilidade magnética do vácuo (µF = 4π. 10o T.m/A) Exemplo 1: Fio Reto

Nesta configuração, temos que:

𝑑𝑙 = 𝑑𝑥. 𝚤 e 𝑟 = [qrsKt

qZsKZ

**Lembrete: dl possui o sentido da corrente! Retomando a equação fornecida pela Lei de Biot-Savart:

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𝐵 =𝜇F4𝜋

𝐼𝑑𝑥. 𝚤×−𝑥𝚤 + 𝑎𝚥

𝑥O + 𝑎OvO

→ 𝐵 =𝜇F4𝜋

𝐼𝑎. 𝑑𝑥. 𝑘

𝑥O + 𝑎OvO

<

[<

Integrando a expressão acima temos que:

𝐵 =𝜇F𝐼𝑎4𝜋

2𝑏𝑏O + 𝑎O

𝑘

Exemplo 2) Espira

**Detalhe: O vetor B tem a direção dada por: 𝑑𝑙×𝑟 Assim, devido à simetria da espira, as parcelas verticais do campo B se anulam! Isto é, só temos campo na direção 𝚤! Sendo assim, para obter apenas a componente vertical do nosso campo, vamos multiplicar a expressão da Lei de Biot-Savart por cos 𝜃. Temos então:

𝐵q =𝜇F𝐼4𝜋

𝑑𝑠×𝑟𝑟O

𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝚤

Repare que, pela definição de produto vetorial:

𝑑𝑠×𝑟 = 𝑑𝑠 . 𝑟 sin 𝛽 𝑜𝑛𝑑𝑒𝛽éoânguloentre𝑑𝑠e𝑟

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No caso desta espira, 𝛽 = 𝜋/2 e 𝑟 = 1! Assim, 𝑑𝑠×𝑟 = 𝑑𝑠 Retomando a equação, temos:

𝐵q =𝜇F𝐼 cos 𝜃4𝜋𝑟O

𝑑𝑠. 𝚤OP�

F→ 𝐵q =

𝜇F𝐼𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝜃2𝑟O

𝚤

II) Lei de Ampère:

Utilidade: Cálculo de campos em casos em que há simetria (ex: cilíndrica, esférica) e em fios/planos infinitos. A Lei de Ampère nos diz que, tomando uma CURVA FECHADA C e uma SUPERFÍCIE S com bordo C, temos:

𝐵 ∙ 𝑑𝑙 = 𝜇F𝐼

Onde I é a corrente que atravessa S. Exemplo 1) Fio Infinito

Qual é o sentido da curva C? Regra do Saca Rolha! Além disso, sabemos que, num fio, as linhas de campo magnético são circulares ao seu redor. Assim, 𝐵 será tangente à curva C. Vamos começar resolvendo a integral:

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𝐵 ∙ 𝑑𝑙 = 𝐵. 𝑑𝑙 = 𝐵 𝑑𝑙 = 𝐵. 2𝜋𝑟

Obs: 𝐵 ∥ 𝑑𝑙 e 𝐵 = 𝑐𝑡𝑒 em S. i) Campo fora do fio

Supondo a curva C fora do fio (escolhe-se onde ela vai estar conforme o que eu quero calcular), temos que:

𝐵. 2𝜋𝑟 = 𝜇F𝐼 → 𝐵 =𝜇F𝐼2𝜋𝑟

𝜃**Lembrete: A direção do campo é tangente à curva C -> +𝜃 (anti-horário)

ii) Campo dentro do fio Neste caso, coloca-se a curva C dentro do fio!

Logo, a corrente que passa por S (área delimitada por C), não será mais I! Será só uma parte de I! Para calcular que parte é essa, vamos usar densidade de corrente!

𝐽 =𝐼𝐴=

𝐼𝜋𝑅O

Assim, a corrente que atravessa S é dada por: 𝐼´ = 𝐽. 𝐴� =

XP�Z

𝜋𝑟O Retomando a Lei de Ampère, temos:

𝐵. 2𝜋𝑟 =𝐼𝑟O𝜇F𝑅O

→ 𝐵 =𝐼𝑟𝜇F2𝜋𝑅O

𝜃

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Exemplo 2) Solenoide

Sabe-se que, num solenoide, temos a seguinte distribuição de campos:

Assim, em seu interior, os campos se somam e em seu exterior, os campos de anulam! Ou seja, só temos campo dentro do solenoide! Para aplicar a Lei de Ampère, vamos considerar a seguinte curva C:

Vamos resolver primeiro a integral!

𝐵 ∙ 𝑑𝑙 = 𝐵 ∙ 𝑑𝑙<

K+ 𝐵 ∙ 𝑑𝑙

�

<+ 𝐵 ∙ 𝑑𝑙

�

�+ 𝐵 ∙ 𝑑𝑙

K

�

Repare que, pela definição de produto escalar:

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𝐵 ∙ 𝑑𝑙�

<= 𝐵 ∙ 𝑑𝑙

K

�= 0(𝐵 ⊥ 𝑑𝑙)

Além disso, o trecho bc está fora do solenoide, logo:

𝐵 ∙ 𝑑𝑙�

<= 0

Assim, só sobra uma integral:

𝐵 ∙ 𝑑𝑙<

K= 𝐵. 𝑑𝑙

<

K= 𝐵 𝑑𝑙

<

K= 𝐵. ℎ𝐵 ∥ 𝑑𝑙; 𝐵 = 𝑐𝑡𝑒

Além disso, a corrente que atravessa S é dada por:

𝐼´ = 𝑛𝐼ℎ

Onde: n: número de espiras por comprimento h: comprimento horizontal da curva C

Por fim, temos que: 𝐵. ℎ = 𝑛𝐼ℎ𝜇F → 𝐵 = 𝑛𝐼𝜇F𝚤

Exemplo 3) Toroide

Assim como no solenoide, o campo no toroide concentra-se em seu interior e sua direção é dada pela Regra do Saca Rolha!

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Portanto, vamos adotar uma curva C dentro do toroide!

Primeiro, vamos resolver a integral:

𝐵 ∙ 𝑑𝑙 = 𝐵. 𝑑𝑙 = 𝐵 𝑑𝑙 = 𝐵. 2𝜋𝑟

Além disso, sabemos que a corrente que atravessa S é dada por NI onde N é o número de espiras do toroide. Assim,

𝐵. 2𝜋𝑟 = 𝜇F𝑁𝐼 → 𝐵 =𝜇F𝑁𝐼2𝜋𝑟

−𝜃 (𝑆𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜)

MateriaisMagnéticosNapresençadealgunsmateriais,ocamposeintensifica.Temosentão:

𝐵¡¢¡KT = 𝐵F + 𝐵£𝑜𝑢

𝐵¡¢¡KT = (1 + 𝜒£)𝐵F

Ondeχ¨éasusceptibilidademagnéticadomaterial.

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Existem3tiposdemateriaismagnéticos:1. Paramagnéticos(𝜒£>0):Oalinhamentodosdipoloscomocampoéimperfeito,porissointensificapoucoocampooriginal.

2. Ferromagnéticos(𝜒£>>0):Intensificamuitoocampo.3. Diamagnéticos(𝜒£<0):Diminuiocampooriginalporqueoalinhamentodosdipoloséemsentidoopostoaodocampo.

Alémdisso,existeoutraequaçãopararepresentarocampototal:

𝐵¡¢¡KT = 𝜇F𝐻 + 𝜇F𝑀

• 𝑀:vetormagnetização(𝑀 = 𝜒£𝐻)• 𝐻:vetorintensidadedecampomagnético(𝐻 = j

¹a)

Porfim,sedefinirmosapermeabilidaderelativadomaterial:𝐾£ = 1 + 𝜒£ Assim,𝐵¡¢¡KT = 𝐾£𝐵F.Fórmulaimportante:𝐾£ = ¼

¹a

Resumindo:UmmaterialmagnéticoéummaterialqueintensificaocampodeumfatorKm!Ocampototalpodesercalculadoapartirdasexpressõesacimaoumultiplicando𝐾£𝐵Foulembrandoqueeleseráasomadocampooriginalcomocampogeradopelomaterial!

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Exercícios Parte 2 1) (P2 2016 – Questão 2)

Uma corrente elétrica I percorre um fio infinito que está alinhado com o eixo x. Ao atingir a origem do sistema de coordenadas, o fio dá uma volta completa em torno do ponto P.

a. Considerando apenas as partes retilíneas do fio, determine o vetor campo magnético no ponto P.

b. Calcule o vetor campo magnético produzido pelo trecho circular no ponto P. c. Determine o vetor campo magnético total no ponto P.

2) (P2 2016 – Questão 4)

Um solenoide toroidal, mostrado na figura 1 e em corte transversal na figura 2, contém N espiras e é percorrido por uma corrente I. O núcleo do solenoide está preenchido por ar (𝜇KL = 𝜇F).

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a. Calcule o vetor campo magnético 𝐵 0, 𝑦, 0 em coordenadas cartesianas (isto é,

na forma 𝐵 = 𝐵q𝚤 + 𝐵Â𝚥 +𝐵Ã𝑘,ao longo do eixo y para y ≥0. b. Constrói-se um outro solenoide toroidal com as dimensões do solenoide da figura, mas com um núcleo de aço inoxidável de permeabilidade 𝜇 = 80𝜇F. Passando a mesma corrente pelos dois solenoides, calcule a relação entre o número de espiras 𝑁Kç¢𝑒𝑁KLno solenoide com núcleo de aço e com núcleo de ar, respectivamente, para produzir o mesmo campo magnético B nos núcleos dos dois solenoides.

3) (P2 2015 – Questão 4)

Um fio condutor cilíndrico muito longo e de seção reta de raio a está envolto por uma casca cilíndrica condutora fina e de raio b, formando um cabo coaxial. Pelo fio passa uma corrente I, na direção positiva do eixo z, uniformemente distribuída através de sua seção reta. Na casca cilíndrica passa uma corrente total I, na direção negativa do eixo z, conforme a figura.

a. Calcule o campo magnético nos pontos onde 0 <r < a (r é a distância do ponto até o eixo z). b. Calcule o campo magnético na região a < r < b.

c. Calcule a integral 𝐵 ∙ 𝑑𝑙 ao longo do quadrado de lado c > b coaxial com o eixo z, conforme a figura.

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Gabarito Parte 2 1)

a. B(P) = ¼aÇOÈÉ

k

b. 𝐵 = X¹aOK𝑘

c. 𝐵 = X¹aOK(1 + N

P)𝑘

2)

a. 𝐵 = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑦 < 𝑏𝑒𝑦 > 𝑏 + 2𝑎¹aÌXOPÂ

−𝜃 ,𝑐𝑎𝑠𝑜𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜

b. ÌWçÍÌWÎ

= NÏF

3) a. 𝐵 = XL¹a

OPKZ𝜃

b. 𝐵 = ¹aXOPL

𝜃

c. 𝐵 ∙ 𝑑𝑙 = 0