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Formulação
Vorticidade e
Função Corrente
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Fluido incompressível;
O transporte de vorticidade é modelado tomando-se o rotacional da
eq. N-S.
A pressão está desacoplada do campo de vorticidade. Uma vez
conhecida pode-se determinar a pressão.
Por definição a função corrente, , satisfaz a equação da massa.
Formulação Vorticidade-Função Corrente
Vantagens escoamentos 2D e axi-simetricos
O vetor vorticidade reduz para um único componente não nulo,
portanto uma equação escalar!
O campo de velocidade vindo da função corrente elimina a eq. da
massa pois satisfaz automaticamente a massa.
O uso de - reduz um sistema de 3 Eq. (massa, 2 Q. mov) para uma
EDO em
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Plano da Aula
1. Relação entre circulação e vorticidade média;
2. A equação da vorticidade;
3. Apresentar a equação da pressão;
4. Definir circulação e o teorema de Kelvin;
5. Apresentar a definição de Função Corrente;
6. Apresentar a formulação da função corrente;
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Circulação e vorticidade médiaA vorticidade definida por é igual a duas vezes a rotação
do elemento de fluido.
Uma medida da vorticidade média numa área limitada por uma curva C é igual a circulação, , como definida pelo Teorema de Stokes:
V
A circulação = -U.L
A vorticidade média é A= = -U.L = - U/H .
A vorticidade média num circuito é proporcional a vorticidade média na área circunscrita pelo circuito!
C A
V ds V ndA A C
H
Por exemplo, vamos escolher um escoamento numa Camada Limite. A curva C coincide com a parede e com escoamento externo à C.L. .
é circulação (anti-horária) em C é a vorticidade médiaA = L.H é a área limitada por C
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Transporte de Vorticidade e a Equação da Pressão
Veja dedução da Eq. Transporte de
Voriticidade em: Formulação Diferencial
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Equação da Vorticidade Vamos ver que a eq. vorticidade não possui a variável Pressão! Todo odesenvolvimento a seguir aplica-se para escoamento incompressível com e constantes. A eq. N-S passa a ser:
2V PVV V gz
t
Abrindo o termo -x(Vx) = V.(.) - .(.V) - V.() + .(V) e reconhecendo que . = x.V0 para fluido incompressível, então:
2 2DV V ou V
t Dt
(1) x 0 (veja LE#1),
(2) . xV = . 0 (veja LE#1),
(3) .VV = (V2/2) – Vx
Aplicando o operador (x) e as identidades na eq. N-S :
2
0
0 0
V V V PV V gz
t 2
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Equação da Vorticidade (cont.)
O termo .V não possui correspondente na Eq. N-S. Ele é um termo de geração ou destruição de ; depende se .V > 0 ou < 0.
O tensor V é decomposto em S e R. Como S = ST e R =-RT então: .V = .S, assim:
Na forma conservativa, a equação da vorticidade fica sendo:
A equação de transporte de vorticidade
Não possui termo de pressão;
Não possui termo gravitacional;
Possui um termo de produção ou destruição de vorticidade, .S;
(acesse Formulação Diferencial )
j2 ii, j
j i
uu1V onde S
t 2 x x
S
2Vt
S
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A Equação da PressãoNum processo similar ao realizado para a eq. da vorticidade, ao
aplicar o operador (.) na eq. N-S (acesse Formulação Diferencial ) chega-se a:
j2 2 i
i j
u u1 1P : ou P
x x
S S
Observe que a pressão é definida por uma equação de Poisson e não depende da viscosidade!
A eq acima define o acoplamento entre o campo de pressão e de velocidades via tensor deformação e vetor vorticidade. Uma vez conhecido o campo de vorticidade pode-se determinar o campo de pressão!
Para um sistema cartesiano no plano (x,y), = (0,0, z) e usando a equação da massa: u/ x+ v/ y =0, chega-se a:
y
v
x
u2
x
v
y
u2p
1 2
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Produção de vorticidade na parede, plano (x,z)
• Parede, plano x,z;
• Fluido incompressível;
• u(x,0,z) = 0 – não deslizamento;
• v(x,0,z) = 0 – sem sucção/injeção;
• w(x,0,z) = 0 – não deslizamento;
• v/ y|y=0 = 0 – continuidade;
Componentes de na parede Relação na parede
yz xy 0y 0
yx zy 0y 0
w y
u y
2V
tS
A vorticidade criada na parede é difundida e transportada peloescoamento conforme sugere os termos da equação de transporte de ;a parede passa a ser uma fonte ou sorvedouro de vorticidade!
x y 0 y 0 y 0w y v z w y
y y 0 y 0u z w x 0
z y 0 y 0 y 0v x u y u y
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.S e alongamento do vetor vorticidade - I(vortex stretching)
x xx y yx z zx x xy y yy z zy x xz y yz z zzS S S i S S S j S S S k S
O termo de .S existe somente para escoamentos 3D. .S redistribui a vorticidade nas três direções! Este mecanismo é explorado no estudo de turbulência.
Produção (>0) ou extinção (<0) de vorticidade ocorre devido a .S :
Se a vorticidade está restrita a um plano, por ex. (xy), verifique que .S é sempre nulo!
x y z
x y z
x y z
u 1 v u 1 w ui
x 2 x y 2 x z
1 u v v 1 w vj
2 y x y 2 y z
1 u w 1 v w wk
2 z x 2 z y z
Sou
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.S e alongamento do vetor vorticidade II(vortex stretching)
x xx y yx z zx x y zi
u 1 v u 1 w uS S S
x 2 x y 2 x z
S
A componente .Si possui três parcelas, por exemplo i = x :
• Uma parcela é normal ao plano onde atua S e coincide com (xSxx).
• As 2 parcelas outras S atuam num plano ortogonal a .
• Isto mostra que a produção/extinção de i recebe contribuições do campo 3D de e S , veja representação abaixo.
x
y
z
x xxS
x
xxSx
y
z
y yxS
yxS
y x
y
z
z
zxS
z zxS
[.S]i gera ou destroi e também redistribui nos outros planos. Este mecanismo só existe em escoamentos tri-dimensionais. Escoamentos 2D, [.S]0.
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Manifestação de .S na
produção/destruição de
vorticidade
São apresentados casos ‘qualitativos’ onde:
i. O estiramento da linha de vorticidade está alinhado com a direção principal do escoamento;
ii. O estiramento da linha de vorticidade está, inicialmente normal a direção principal do escoamento.
iii. Todos os escoamentos exemplos são facilmente explicados pelo termo .S mas dificilmente explicáveis por P e u,v,w; observerm!
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Escoamento com ‘swirl’ num tubo com contração de área
A velocidade do fluido tem três componentes (vr, v, vz). A direção principal é vz > 0. O fluido com rotação axial (swirl) possui vorticidade também na direção z.
Se houvesse uma expansão de área, vz/z <0 haveria uma destruição de vorticidade pois zvz/z < 0!
V SRegime permanente e próximo contração, o efeito visc. não tem tempo p/ difundir, a eq. reduz p/:
A B
A < B
r
z
O efeito da contração de área faz com que vz/z aumente.
O termo dominante do lado direito é .S = zvz/z , observa-se que (.S)A < (.S)B .
A equação pode ser aproximada por:
z zz z B B
z z
z zA A
Vd dVV 1
dz dz V
Estiramento (streching) paralelo a velocidade principal
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Fluido em rotação
Tanque cilíndrico possui fluido em rotação.
Em vermelho estão representadas a linhas de
vorticidade próximo a parede.
No fundo do tanque é aberta uma saída; o
fluido é acelerado próximo da saída, há um
estiramento de linhas similar ao exempo
anterior.
Após alguns instantes é estabelecido um tubo
de vórtice na vertical devido a produção de
vorticidade devido ao termo .S .
Veja filmeTornado numa garrafa PET
c
Estiramento paralelo a velocidade principal
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Vórtice Ferradura (Horseshoe Vortex)
Antes do obstáculo, há linhas de
vorticidade ortogonal ao
escoamento livre.
O obstáculo força que estas linhas
de vorticidade se curvem e se
alinhem com a direção principal do
escoamento intensificando a
vorticidades.
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Video Intake Turbine Vortex
Intake Turbine Vortex
Similar ao vórtice
‘ferradura’. O escoamento
livre vem de frente ao avião.
Longe do avião as linhas de
vórtices são ortogonais a
direção principal do
escoamento.
Próximo da turbina há
estiramento (.S ) devido a
sucção.
Similar ocorre na fuselagem
do avião.
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Escoamento numa bifurcação, uma fração do
volume segue adiante e outra é succionada no ramo
O ramo da bifurcação cria uma região dentro do tubo que define se ele irá para o ramo ou seguirá em frente. As linhas de vorticidade, longe da sucção, são anéis concentricos. A medida que estes anéis aproximam-se do ramo eles começam a ser deformados, alinhando-se com a direção principal do escoamento (similar ao vórtice ferradura).
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Circulação e o teorema de Kelvin
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Variação da vorticidade média numa curva
Um dos empregos desta equação é identificar os mecanismos que produzem vorticidade no escoamento quando substituir DV/Dt pela eq. N-S na expressão acima:
C C
D D DVV ds ds
Dt Dt Dt
C C C C C C
D D DV Ds DV DVV ds ds V d ds V dV ds
Dt Dt Dt Dt Dt Dt
0
2
C C
D DV Pds V U ds; onde U gz
Dt Dt
C
n
sdsA circulação dá uma medida da vorticidade média
enquanto que a D /dt dá a taxa de variação da vorticidade média seguindo o circuito C;
Prova do lado esquerdo da eq. acima:
Por que ZERO? O caminho é fechado, portanto a integral é nula
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Variação da vorticidade média que cruza uma área
Avaliando cada termo eq. acima e aplicando teorema Stokes chega-se:
2
C C
D DV Pds V U ds; onde U gz
Dt Dt
C A A A
2 2 2 2
C A A A
C A
P P 1 1 1ds dA P P dA P dA
V ds V dA V dA dA
U ds U dA 0
Substituindo em D/Dt chega-se a:
2
A A
D 1 P dA dA
Dt
ou
2
2
A A
D 1 P dA dA
Dt
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Quando D/Dt = 0, = constante:
condições necessárias
2
2
A A
D 1 P dA dA
Dt
Não haverá variação em desde que ρ e P sejam paralelos, ou fluido barotrópico ρ = f(P).
Se o escoamento for irrotacional ou se vorticidade produzida na parede, ou em uma camada cisalhante (shear flow) é não é transportada por difusão; neste caso =0!
2
A
1P dA 0
2
A
dA 0
D/Dt = 0 é também conhecido por teorema de Kelvin. Válido para escoamentos irrotacionais, sem viscosidade e para fluidos barotrópicos,
Derivada total da circulação
Se D/Dt = 0 a circulação é constante portanto o produto da vorticidade média e a área contida na curva C também é constante.
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Vórtice de partida de asa, D/Dt 0Asa infinita (2D)
Asa finita (3D)
Se o fluido está parado, não há vorticidade. Se uma asa desloca num fluido estacionário, observa-se o surgimento de uma circulação na asa (que dá sustentação na asa) e um segundo vórtice, com circulação igual e contrário ao da asa de modo que D/Dt = 0 (Teorema de Kelvin).
Uma asa finita possui vórtices de ponta de asa mas ainda assim D/Dt = 0. A presença do vórtice criado no início do movimento fica na pista do aeroporto. Precisa que ele seja dissipado até o próximo avião decolar.
Os vórtices de ponta criam uma corrente descendente na região da asa e fora da asa uma corrente ascendente. Pássaros em migração e aviões em formação de esquadrilhas usam estes vórtices para ganhar mais sustentação e reduzir consumo combustível.
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Escoamento com variação de área, D/Dt 0
O escoamento com contração de área leva a um aumento da vorticidade após a contração devido a produção de vorticidade pelo alongamento das linhas de vorticidade
Na ausência de viscosidade e de transferência de calor,então o teorema de Kelvin expõe que:
Portanto:
A
B
A < B
r
z
D0 constante
Dt
DA
DB
A (DA2/4) = B (DB
2/4)
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Quando D/Dt 0, não é constante
2
2
A A
D 1 P dA dA
Dt
2
A
1P dA 0
2
A
dA 0
Não haverá variação em desde que ρ e P sejam paralelos, ou seja, barotrópicosρ=f(P). Entretanto para aquecimento / resfriamento frequentemente ρ e P não são paralelos, veja figura.
Se houver haverá difusão de vorticidade gerada na parede pela tensão cisalhamento ou também em camadas cisalhantes. No entanto a vorticidade pode ficar confinada na camada limite se Re for elevado.
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SumárioA partir da eq. N-S para fluido incompressível e viscosidade constantes
foram obtidas as equações da vorticidade e da pressão de forma
desacopladas.
2Vt
S
21P :
S S
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Linha de Corrente e
Função Corrente para Regime
Permanente, /t = 0
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dx
u
dy
v
dz
w
x
yV
dy
dxds
Recapitulação: as linhas de corrente são, por definição, tangentes
ao vetor velocidade a todo instante, e são expressas por:
Linha de Corrente: Conceito Cinemático
linha de corrente
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Função Corrente para EscoamentoIncompressível e Bi-Dimensional
A função corrente, , é um conceito matemático, Lagrange (1731).
A hipótese de escoamento bi-dimensional reduz eq. massa para:
Definição de função corrente:
Cartesiano Polar
Mostre que a função corrente SEMPRE satisfaz a Eq. da Massa!
Uma definição mais geral de função corrente é apresentada no apêndice I. Ela
se aplica para sistemas de coordenadas cilíndricas, esféricas
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Função Corrente: Propriedades
Uma linha definida por = cte coincide com a linha de corrente
A função depende de (x,y) ou (r,). A variação de é dada por:
d dx dy vdx udyx y
Para constante, então d = 0 e dy/dx = v/u, isto é, as linhas com
constante coincidem com a definição de linha de corrente.
Da definição acima chega-se
que a variação valor de
entre A e B é dado por:
B
A
vdx udy
dx
u
dy
v
dz
w
x
yV
dy
dxds
Linha corrente, = cte.(A)
(B)
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Função Corrente: Propriedades
diferença 2 - 0 resulta na vazão Q entre as linhas de corrente
Duas linhas de corrente, 2 e 0,
definem um tubo de corrente, pois
não há velocidade normal para
linhas com constante!
1 y 1 0
2 x 2 1
Q v dA dxx
Q u dA dyy
A vazão Q que passa através de 2 e 0 pode ser calculada fazendo
um caminho e 0 1 2 de forma que criam superfícies
ortogonais a x e y, assim:
A vazão Q que passa através de 2 e 0 : 1 2 2 0Q Q
B
A
vdx udy
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Nos próximos slides será abordado a relação entre função corrente e
vorticidade.
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Relação função corrente e vorticidade
O conceito desenvolvido aplica para escoamentos 2D, axi-
simetricos e com simetria esférica. Será usado um campo 2D para
demonstrar a relação entre e
u e vy x
2
z
v u
x y
O campo de velocidades expresso pela função corrente:
A vorticidade:
A vorticidade é expressa pelo Laplaciano de para os casos
mencionados acima.
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Formulação Vorticidade - Função Corrente
Várias soluções analíticas (ou exatas) de N-S foram obtidas usando a função corrente em escoamentos bi-dimensionais ou axi-simétricos
O uso da vorticidade elimina a variável Pressão, por sua vez a vorticidade também pode ser expressa por meio da função corrente, .
Esta substituição não só elimina a equação da massa mas também reduz a equação da vorticidade a uma única EDP não linear!
Isto possibilita em alguns casos uma solução analítica. Se não for possível ela permite simples integração utilizando Runge Kutta.
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Por que Função Corrente?
A função corrente sempre satisfaz a equação da massa.
Ela é útil em cálculos analíticos e numéricos aplicados em escoamentos por reduzir o número de variáveis independentes do escoamento.
Se eu tiver um campo de velocidades expresso por uma função corrente eu não preciso resolver a equação da conservação da massa!
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Formulação -, regime permanente; ex. 2D
1. O campo de velocidades (x,y), (u,v)
2. O campo de vorticidades (escalar):
3. Equação vorticidade 2D:
4. A componente z da vorticidade:
u e vy x
2
z
v u
x y
2V.
2z z
zu vx y
Resolve (4) e (2) iterativamente
2z zz
y x x y
2
z
4
2 24 2 2 2 2
2 2
4 4 4
4 2 2 4
onde é operador biharmônico;
x y
2x x y y
2 2 4
y x x y
Substitui (2) em (4) p/ obter
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A solução caso 2D requer solução simultânea de 3 EDP não-linear
A formulação da função corrente reduz o sistema de equaçõesdiferenciais parciais acima para uma única EDP, não linear, em .
Redução EDPs c/ formulação
2 2 4
y x x y
2 2
2 2
2 2
2 2
u v0
x y
u u 1 P u uu v
x x x x y
v v 1 P v vu v
x x y x y
- Eq. massa
- Eq. q. mov. (x)
- Eq. q. mov. (y)
A eq. acima aplica p/ escoamentos 2D ou com axi simetria (polar, cilindrico-polar ou esférica).
Expressar a eq. N-S em função corrente é uma das formas para obter soluções exatas da eq. N-S.
Em escoamentos 3D não é possível a redução das EDPs usando a função corrente.
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FIM
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Apêndice I
Definições de Linha de Corrente e de Função Corrente
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Existem várias maneiras de se descrever uma curva no espaço.
Para nossos propósitos, é conveniente tratar uma curva com a
intersecção de duas superfícies independentes, f e g:
Função corrente: uma linha no espaço
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O vetor tangente H à linha formada pela intersecção dos planos f e g
é:
Associação:
linha da interseção: vetor tangente fxg = V linha de
corrente: V é um vetor tangente a linha de corrente
Função densidade
Função corrente: conceito matemático
H x,y,z f g
H V
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A vazão mássica através de um tubo de corrente constituído por
duas superfícies f e g é expressa por:
Função corrente: conceito matemático
1 2 1 2m f f g g
V
V
V
ou através da simples relação aos valores das funções f e g nestas
superfícies.
m V n dA
dA
Veja demonstração desta propriedade
na pg 20 do doc no link assim como
referências sobre o assunto
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Para escoamentos com simetria, é possível escolher g como um
conjunto de planos definidos pela variável de simetria. Isto reduz o
problema à determinação da superfície f denominada por função
corrente, f = .
Escoamentos com aplicação direta são:
• Escoamentos planos em coordenadas cartesianas ou polares e
• Escoamentos axi-simétricos em coordenadas cilíndricas ou
esféricas.
• Há outros sistemas também mas não serão tratados aqui!
Função corrente : conceito matemático
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Função Corrente para Escoamento 2-D
Incompressível: Coordenadas Cartesianas
x
yz
g = z
f =
Superfícies:
Velocidade:
Vazão:
x yf x, y g = z = , ,0 g = 0,0,1
0= w; yx,v= v; yx,u=u ; gfV
uy x
; v = - ; w = 0
g z g z1 1 2 2 10 1 ; ; Q = 2
u v0
x y
definição satisfaz
eq. massa
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Função Corrente para Escoamento 2-D
Incompressível: Coordenadas Polares
z
r
Vr
V
g = z
Superfícies:
Velocidade:
Vazão:
1
f r, g=z = , ,0 g= 0,0,1r r
r r zV f g ; v =v r, ; v =v r, ; v =0
u ; v = - ; w=0r r
g z g z1 1 2 2 10 1 ; ; Q = 2
definição satisfaz
eq. massa
rrV1 V0
r r r
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Função Corrente para Escoamento Axi-simétrico
Incompressível: Coordenadas Esféricas
g g1 1 2 2 10 2 ; ; Q = 2 ( ou2 )
Superfícies:
Velocidade:
Vazão:
1 1
f r,z g= = , , g= 0, ,0r r z r
r r z z
vV f g ; v = v r,z ; =0 ; v = v r,z
vr z r r
r 1 1
; v
= 0 ; v = z
Q = 22 se 1= 0 é o eixo = 0
21
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Coordenadas Esféricas e a Função Corrente de
Stokes (simetria Azimutal ), veja Panton
Superfícies
r, e g=
Os gradientes das superfícies
1 1, , e
r r rSin
1g 0,0,
rSin
r r
r 2
Velocidades :v
V g; v v r, ; v v r, ; 0
1 1 v ; v
r Sin rSin r
• Note que esta definição de
automaticamente satisfaz a massa:
2
r
2
r v Sin v1 1V 0
r r rSin
r,
g
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FIM APÊNDICE