Escola Secundária de AlcocheteEscola Secundária de Alcochete11.º Ano – Matemática A
Geometria no Plano e no Espaço II
Sejam I um intervalo e f uma função definida em I. Diz-se que f é injectiva em I
sse dados quaisquer a,b∈I:
Definição (Função Injectiva)
f é injectiva se o for em todo o seu domínio
!Em termos concretos, a definição traduz que uma função f será
injectiva se a objectos diferentes atribuir sempre imagens diferentes.
A B
1
2
3
a
b
c
fA B
1
2
3
a
b
c
g
Exemplos
c
f é injectiva
c
g não é injectiva
!Equivalentemente, é possível definir a injectividade do seguinte
modo:
Sejam I um intervalo e f uma função definida em I. Diz-se que f é injectiva em I
sse dados a,b∈I:
( ) ( ) babfaf =⇒=
f é injectiva se o for em todo o seu domínio
( ) ( ) babfaf =⇒=
Em termos concretos, diz-se que uma função f será injectiva se sempre que se
tenham imagens iguais estas obrigatoriamente provenham do mesmo objecto.
Exemplo
A função f dada por
( ) xxf2
=
não é injectiva, pois tem-se
11 −≠
e, contudo,
( ) ( ) ( )111 1122
−==== − ff
Exemplo
A função f dada por
( ) 12 += xxf
é injectiva, pois tem-se dados a e b tais que f(a) =f(b)
Sejam I um intervalo e f uma função definida em I em J. Diz-se que f é
sobrejectiva em I sobre J sse dado b∈J qualquer exista a∈I tal que f(a)=b, ou seja,
Definição (Função Sobrejectiva)
!Em termos concretos, a definição traduz que uma função f será
!Em termos concretos, a definição traduz que uma função f será
sobrejectiva se todos os elementos do conjunto de chegada forem
imagem de algum objectivo (não obrigatoriamente único)
!Pelas definições de contradomínio e de conjunto de chegada, tem-se
que uma função f é sobrejectiva quando estes dois conjuntos
coincidem.
A B
1
2
3
a
b
fA B
1
2
3
a
b
c
g
Exemplos
f é sobrejectiva
c
g não é sobrejectiva
Exemplo
A função f dada por
não é uma sobrejecção pois não existem objectos cujas imagens sejam números
negativosnegativos
Exemplo
A função f dada por
( ) 12 += xxf
é sobrejectiva, pois considerando-se b∈ qualquer
Fazendo a como acima, tem-se que existe um elemento x do domínio tal que f(x)=b.
Sejam I um intervalo e f uma função definida em I em J. Diz-se que f é bijectiva
(ou uma bijecção) de I em J sse f for injectiva e sobrejectiva
Definição (Função Bijectiva)
Exemplo
A função f dada por
( ) 12 += xxf
é, de acordo com o que se viu anteriormente, uma bijecção.
!Dado um conjunto A, a função identidade de A é uma função
definida de A em A tal que a cada elemento x de A faz corresponder
esse mesmo elemento.
representa função identidade do conjunto A.
Sejam A e B conjuntos, f definida de A em B. f é invertível sse existir uma função
g definida de B em A tal que
Definição (Função Invertível)
e
Tal g nestas condições designa-se por função inversa de f, denotando-se por f-1
!g é inversa de f sse f é, ela própria, inversa de g.
!Teorema
Uma função f é invertível sse for bijectiva.
A demonstração deste facto é feita em duas etapas:
a partir da bijectividade, constrói-se uma função inversa nas condições exigidas;
a partir da existência de inversa, provam-se injectividade e sobrejectividade.
!Teorema
Uma função f invertível admite, a menos de igualdade, uma única
função inversa.
A demonstração deste facto é feita supondo que existem duas funções inversas, A demonstração deste facto é feita supondo que existem duas funções inversas,
provando, a partir da definição, a sua igualdade.