DEPARTAMENTODEMATEMÁTICAS Ing.CarlosE.Bastidas–Lic.WilliamCantor

GEOMETRÍAGUÍANo1Lic.EstherBlanco

CONCEPTOSBÁSICOS

ITIFRANCISCOJOSEDECALDASGrado:SEXTO–PRIMERPERÍODO

NOMBRE CURSO:_

GEOMETRÍA

1. HISTORIADELAGEOMETRÍA

Copie el siguienteenlaceen su computador y veael vídeoquehaceun recorridopor la historia de la

geometría.

https://www.youtube.com/watch?v=7igj10nvXyI

RepresentargráficamentelahistoriadelaGeometría

2. GEOMETRÍA

2.1 ¿QuéeslaGeometría?

GeometríaesunaramadelasMatemáticasqueestudialaspropiedadesylascaracterísticasdelasfiguras

enunplanooenelespacioysusrelaciones,nospermitemedirperímetros,áreasyvolúmenes,esútilenla

elaboracióndediseños,fabricacióndeartesanías.

2.2 ¿ParaquéaprenderGeometría?

Una primera razón para aprender Geometría, la encontramos en nuestro entorno, basta conmirarlo y

descubrirqueenél seencuentranmuchas relacionesyconceptosgeométricos: laGeometríamodelael

espacioquepercibimos,esdecir,laGeometríaeslaMatemáticadelespacio.Porejemplo,unahabitación.,

esmuy probable que tenga las paredes y los techos generalmente son rectangulares; las paredes son

perpendicularesaltechoyesteesparaleloalpiso;sihayalgunaventanalomásseguroesquetengaforma

de una figura geométrica con lados que son segmentos de recta; al abrir y cerrar la puerta se forman

diferentesángulos.

LaGeometría:

• Seaplicaen lavidacotidiana(laarquitectura, lapintura, laescultura, laastronomía,deportes, la

carpintería,entreotros).

• Seusaenellenguajecotidiano(porejemplo,sedice:callesparalelas,,laescaleraenespiral).

• SirveenelestudiodeotrostemasdelasMatemáticas(porejemplo,AlgebraapartirdelaGeometría)

• Permitedesarrollarpercepcióndelespacio,capacidaddevisualizaciónyabstracción.

• Desarrollahabilidadesdelpensamiento

2.3 Actividad

• Dibujarunpaisajeutilizandoúnicamentefigurasgeométricas.

• Escribirenelcuadernoelsignificadodelasfigurasutilizadas.

3. CONCEPTOSBÁSICOS

Losconceptosbásicosdelageometríason:punto,rectayplano.

3.1 Elpunto.

Eselelementogeométricomássimple,sóloindicauna

posición.Laideadepuntosepuedeentendercomola

marcaquedejaunlápizsobreunahojadepapel.

Los puntos se simbolizan con letras mayúsculas del

alfabeto.Enelcasodelafiguraestánrepresentadoslos

puntosA,ByC

3.2 LaRecta.

Está formada por una sucesión de puntos que se

prolongan indefinidamente en dos sentidos

opuestos.Laideaderectasepuedeentendercomo

lamarcaquedejaun lápizalpasarloa lo largodel

bordedeunaregla.

Cuandoserepresentaunarectasedibujan flechas

en cada extremo para indicar que se prolonga

indefinidamente en ambos sentidos. La recta se

simboliza usando dos de sus puntos, o con letras

minúsculas.EnelcasodelafiguraestánrepresentadaslasrectasABylarectal,cualquieradelasdosformas

dedefinirlarectasesválida.

3.3 ElPlano.

Estáformadoporunconjuntoinfinitode

puntos y se prolonga en todas las

direcciones.Unahojadepapel,unapared

oelpisopermitencomprenderlaideade

plano.

Pararepresentarelplanoseutilizantres

desuspuntosquenoesténen lamisma

recta.Sepuedesimbolizarmedianteestos

trespuntosomedianteunaletramayúscula.EnelcasodelacorrespondealplanoABCoelplanoE.

3.4 Relaciónentrepuntos,rectasyplanos

Lospuntosserelacionanconlasrectasylosplanosylasrectasserelacionanconlosplanosdelasiguientemanera:

• PUNTOSCOLINEALES:Sonlospuntosquepertenecenaunamismarecta.Enlasiguientefigurala

cual representaelplanoK sonpuntoscolineales {A,E,B} loscualespertenecena larectaty los

puntos{C,D,H}quepertenecenalarectan.

• PUNTOSCOPLANARES:Lospuntosqueestánenunmismoplano.Enlafiguratodoslospuntosson

coplanaresmenoslospuntos{H,J}queseencuentranporfueradelplanoK.

• RECTASCOPLANARES:Rectasqueestánenunmismoplano.Sonrectascoplanarestyn,mientrasla

rectamestáporfueradelplanoK,porlotanto,noescoplanar.

3.5 Actividades

1. Consultarlossiguienteconceptosycomoderepresentan:

a. Segmento

b. Semirecta

2. Observarlafiguraynombrar

a. Trespuntos

b. Tresrectas

c. Unplano

d. DossegmentosconextremoC

e. CuatrosegmentosconextremoA

f. DosrectasquepasanporelpuntoC

g. DossemirrectasconextremoB

3. Construya una figura geométrica donde se representen cinco puntos coplanares y no haya tres

puntoscolineales.

4. POSICIONESRELATIVASENTRERECTAS

Dosrectascoplanaressepuedenclasificarenparalelas,secantesoperpendiculares.

4.1 RectasParalelas

Dosrectassonparalelassialprolongarseenambasdireccionesnotienenpuntosencomún.Simesparalela

4.2 ConstruccióndeRectasParalelasconEscuadras

SequiereconstruirunarectaparalelaalarectarquepaseporelpuntoP.

SeApoyaunodeloscatetosdeunaescuadraenlarectar.

Sobreelotrocatetoseapoyaunareglaolaotraescuadra,comosemuestraenlasiguientefigura.

SeDeslizalaescuadrasobrelaregla(escuadra),hastaqueelcatetoqueseencontrabasobrelarectaquede

sobreelpuntoP.Versiguientefigura.

SeTrazalarectassparalelaar.

4.3 RectasSecantes.

Dosrectassecruzanenunsolopunto.

4.4 RectasPerpendiculares.

Sonrectassecantesqueformanángulosrectos,simesperpendicularan,seescribe,

4.5 ConstruccióndeRectasPerpendicularesconEscuadras

Sequiereconstruirunarectaperpendicularaunarectadadaquepaseporunpuntodeterminado.Secoloca

laescuadrade45°demaneraquesuhipotenusacoincidaconlarectadada.

Mientras se sostiene laescuadracon lamanoderecha, con la izquierdaseacerca laescuadrade60°hastahacer

coincidirsuhipotenusaconelcatetoizquierdodelaescuadrade45°.

Se sujeta la escuadra de 60° con la mano izquierda, se gira la escuadra de 45° hasta que su hipotenusa sea

perpendicularalarectadadaysedesplazahastaéstapaseporelpuntodado.

4.6 Actividades

1. Determinarsicadaafirmaciónesverdaderaofalsa.Expliqueconunejemploencadacaso:

2. ¿Cómosedistinguendosrectasparalelas?

3. ¿Cómoseidentificandosrectasperpendiculares?

4. Consulte como se trazan rectas paralelas y perpendiculares con escuadra y compas. Haga dos

ejemplosencadacaso.

5. Observe el siguiente vídeo y haga el ejercicio hecho en el:

https://www.youtube.com/watch?v=okjnJuAzG84

6. TracerectasparalelasalarectafquepasenporlospuntosC,D,EyF.

7. TracerectasparalelasalarectafquepasenporlospuntosC,D,EyF.

5. ÁNGULOS

La noción de ángulo, que procede del

vocablolatinoangŭlus,hacereferenciaa

unafiguradelageometríaqueseforma

apartirdedosrectasquesecortanentre

sí en una misma superficie. También

puede decirse que un ángulo está

formado por dos semirrectas que

compartenunmismovértice.

Los ángulos se pueden nombra de

diferentes formas,medianteuna legradelalfabetogriego, lasmásutilizadas sonϕ,α,β,γ entreotras,

nombradoelvértice,esdecirconunaletramayúscula(A,C,O,P),ohaciendounacombinacióndelnombre

delassemirrectasquegeneranelángulocolocandoelnombredelvérticesiempreenelcentro(AOB,BOA,

CDE).

5.1 MedidadeÁngulos

Launidaddemedidadelaamplituddeunánguloes

el grado. El instrumento de medida es el

transportador. Para medir un ángulo se hace

coincidirelcentrodeltransportadorconelvértice

delánguloyelceroconunodesuslados.

Dos ángulos son congruentes si tienen la misma

medida.

5.2 Construcción de Ángulos con Escuadra y

transportador.

Se traza una semirecta (lado inicial) en cualquier

sentidoresaltandoelorigende lasemirecta,este

correspondealvérticedelángulo:

Sehacecoincidirelcentrodeltransportadorcon

elorigen(vértice)delasemirectaylalecturade

0°conLasemirecta(loadoinicial)comomuestra

lafigura.

COMPONENTES DE UN ÁNGULOS

Losángulosestánformadospordossemirrectas

llamadas lados, que corresponden a los lados

inicial y final, un punto en común de donde

parten dichas semirrectas llamado vértice y la

región comprendida entre las dos semirrectas

llamadaaberturaoángulo.

NOMBRES DE LOS ÁNGULOS

Algunostextosdenotanlosángulosconelsigno

≮ . Tres formas de dar nombre a los ángulos

segúnesteejemploson:

ÁnguloBAC,𝐵𝐴𝐶,CAB,𝐶𝐴𝐵,≮ 𝑩𝑨𝑪

Sehaceunamarcasobrelahojaenlalecturadeángulo(apertura)quesequieragraficar,130°enelcaso

delejemployluegosetrazaunarecta(ladofinal)queunaelorigendelasemirectaconelmarcarealizada.

5.3 Actividades

1. Trazarángulosdelassiguientesmedidas:55°,47°,15°, 28°, 70°,90°,120°,174°250°y330°

2. Medirlossiguientesángulos

5.4 ClasificaciónyRelacionesentreÁngulos

Los ángulos se clasifican de diferentes formas de acuerdo a la característica que se esté analizando de ellos. La

característicamáscomúnparahacerlaclasificaciónesteniendoencuentasumedidaoapertura,perotambiénse

puedenclasificardeacuerdoaotrascaracterísticas,según:suposición,sudirección,lasumadesusmedidas,según

suposiciónendosrectascortadasporuntransversal.

CLASIFICACIÓNDEÁNGULOS

5.5 Actividades

1. Complete cada uno de los siguientes mapas conceptuales de acuerdo a las siguientes

clasificaciones: Según su medida, su posición y su dirección. En cada caso escriba el

nombre correspondiente y haga un dibujo de acuerdo a la clasificación.

SEGÚNSUMEDIDA

2. Nombreyclasifiquelosángulosdelafigura.

3. Deacuerdoconlafigura,nombreunpardeángulosquecumplanlacondicióndada.

4. Calcular(C=Complementario,S=Suplementario)decadaunodelossiguientesángulosyrealizarel

dibujodelaparejadeángulos:

a. C(65°):...............................................

b. S(105°):.............................................

SEGÚNSUPOSICIÓN

SEGÚNSUDIRECCIÓN

c. C(53°):..............................................

d. S(120°):: ...............................................

5. Construirunánguloqueseaelcomplemento75°yunánguloqueseasuplementode135°.

5.6 ángulosformadospordosrectasparalelas

Dos rectas ℓ y m cortadas por una transversal t forman ocho ángulos. Cuatro llamados internos: ∠3, ∠4, ∠5 y ∠6, y cuatro llamados externos: ∠1, ∠2, ∠7 y ∠8.

Parejas de ángulos correspondientes: Son dos ángulos noadyacentessituadosdelmismoladodelatransversal,unointernoyelotroexterno.Haycuatroparejasdeánguloscorrespondientes:∠1con∠5,∠4con∠8,∠2con∠6y∠3con∠7.

Parejas de ángulos alternos internos: Son ángulos internos noadyacentescolocadosendistintosladosdelatransversal.Haydosparejasdeángulosalternosinternos:∠3y∠5,∠4y∠6.

Parejas de ángulos alternos externos: Son ángulos externos noadyacentescolocadosendistintosladosdelatransversal.Haydosparejasdeángulosalternosexternos:∠1y∠7,∠2y∠8.

Parejasde ángulos colaterales internos: Sonángulos internosnoadyacentescolocadosenelmismoladodelatransversal.Haydosparejasdeánguloscolateralesinternos:∠4y∠5,∠3y∠6.

5.7 Actividades

1. Teniendo en cuenta las definiciones anteriores y la figura de la derecha, complete la

siguiente tabla:

ÁNGULOS PAREJAS DE ANGULOS

Opuestos por el vértice Correspondientes Alternos Internos Alternos Externos Colaterales Internos

2. 𝑆𝑖 ≮ 𝑐 = 102°, 𝐽 ∥ 𝐾𝑦𝑀 ∥ 𝑁.𝐻𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙𝑎𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 ≮ 𝑎,≮

𝑑,≮ 𝑚,≮ 𝑝.

3. 𝑆𝑖𝐽 ∥ 𝐾, 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑎𝑟𝑐𝑖𝑛𝑐𝑜𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠𝑑𝑒á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

4. Use las propiedades de líneas paralelas para encontrar la medida de cada

ángulo.

5. Use las propiedades de líneas paralelas para encontrar la medida de cada ángulo.