Download doc - Geometria Descritiva

Transcript

Geometria Descritiva.

Ementa: Introdução a geometria descritiva, ponto, recta e plano. Intersecção. Métodos descritivos. Superfícies elementares. Representação de sólidos e secção

Objectivo Geral – O aluno deverá ser capaz de visualizar no espaço e transpor para épura superfícies elementares interceptadas entre si e seccionadas por planos bem como seu desenvolvimento e sua planificação. Isto tudo trata-se de uma verdadeira ginástica mental espacial, que será utilizada futuramente em outras disciplinas, como cálculo, álgebra e desenho 2.

Metodologia – Consiste em aulas expositivas e práticas, nas quais, o formador deverá expor o conteúdo teórico do programa da disciplina e nas aulas praticas onde os alunos através de exercícios e/ou trabalhos, aplicarão os conhecimentos adquiridos nas aulas teóricas.

Avaliação

O aproveitamento dos alunos será avaliado em função dos resultados dos testes, trabalhos ou exercícios realizados durante a formação.

Bibliografia MACHADO, Ardevan. Geometria descritiva: McGraw-Hill, [s.d.].

PRINCIPE, Alfredo dos Reis. Geometria descritiva. Bertrand.

Conteúdo Programático e CronogramaUnidade Programa

Apresentação do programa da disciplinaFinalidades da Geometria DescritivaMateriais utilizados.Convenções Gráficas e notação

I Representação de sólidos elementares e PlanificaçãoDefinição Geração e classificação visibilidadeSólidos regulares - Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro

II Planificação de Sólidos Regulares e Irregulares

III PontoLocalização na épura

IV Tipos de rectasTraço de rectasPertinência de ponto e recta

V Tipos de Planos Plano representado pelos traços Planos representados por pontosPlanos representados por rectas Pertinência de recta e plano, e ponto em plano

VI Intersecção de planos entre planosde rectas e planosde sólidos e planosde sólidos e sólidos

VII Paralelismo de rectas de rectas e planos de planos.

VIII Perpendicularidade de rectas De rectas planos De planos.

IX Métodos descritivos:Mudança de planosRotaçãoRebatimento e Alçamento

X Secção Representação e VG.

MATERIAL UTILIZADO - Lápis ou lapiseira 2B, borracha macia, par de esquadros, e compasso.

Finalidade da GD - Representar no plano em projecções as figuras do espaço , de modo a podermos com auxílio da geometria plana estudar propriedades e resolver problemas. A ideia geral é : utilizar um sistema e projecção plano onde se consegue representar figuras e elementos (pontos rectas e planos) no espaço.

Importância - noções de espaço utilizado posteriormente para o planeamento de aplicações

SISTEMAS DE PROJEÇÃO

Central Cónica, ou Perspectiva - Observador (ponto próprio) finito.

Cilíndrica - observador (ponto impróprio) no infinitoOrtogonalOblíqua

SISTEMA MONGEANO (GASPARD MONGE)Emprega dois planos perpendiculares entre si 1 hor. e 2 vert.Intersecção - Linha de terraCom o giro do plano 1 tendo como eixo a LT no sentido horário chegamos a épura.Definições DIEDROS - subespaço obtido pela divisão do espaço através dos planos 1 e 2

Plano HorizontalTambém conhecido como 1

Plano VerticalTambém conhecido como 2

Primeiro Diedro Segundo

Diedro

Terceiro Diedro

Quarto DiedroLinha de Terra

Bissetor impar

NOTAÇÕES e REPRESENTAÇÃO

ponto Latina maiúscula A , sua projecção no plano A e A1 Plano Horizontal (PH). A2 Plano Vertical (PV). Lembrar que outros livros, utilizam outras notações

recta letra latina minúscula r , projecções r1 e r2

Observação :

O subescrito 1 e 2, indicam o plano (PV ou PH) na qual a projecção da recta ou ponto se encontram. Sendo o subescrito 1 para o PH, e o subscrito 2 para o plano vertical.

planos alfa beta phi sigma omega psi ro piAbreviaturas

V. G. verdadeira grandeza, L. T. Linha de terra.

CONVENÇÕES

OBSERVADOR no infinito

LINHA CHEIA, dados e resultados

PONTO E TRACEJADO, linha auxiliares de construção

PONTILHADO, linhas de chamada (usa-se linhas claras por conveniência).

TRACEJADO, rectas invisíveis.

LINHA DE CHAMADA - É a recta (tracejada ou fraca) na épura perpendicular a LT unindo as projecções verticais e horizontais.

Unidade II O Ponto

Tópicos - O Ponto coordenadas, representação na épura, e simetria de pontos em relação aos planos de projecções.

Já sabemos não é de hoje que o ponto não possui dimensão, “tamanho”, no entanto sabemos que pode ocupar qualquer posição no espaço n-dimencional, nesta unidade verificaremos as suas posições no espaço e como representamos estas situações no papel, ou seja, na épura.

DIEDRO – sistema para a projecção dos elementos geométricos (pontos rectas planos e sólidos). O diedro é formado pela divisão do espaço através dos planos 1 e 2, horizontal e vertical respectivamente.

Com o movimento indicado pelas setas, e executado somente pelo plano horizontal, obtemos a seguinte representação do famoso ponto A na épura.

A projeção HorizontalDo ponto A

Ponto A no espaço

Primeiro Diedro

Segundo Diedro

Terceiro Diedro

Quarto Diedro

A projeção de A no plano vertical

Plano horizontal

Observe o mais importante, você visualiza somente as projecções do ponto A horizontal e vertical, sabe que ele está no primeiro diedro mas não visualiza e nem escreve o ponto A na épura

Exer. Verifique se aprendeu através do exercício de localização dos pontos na épura dizendo em qual diedro ou semi-planos o ponto se encontra na épura .

COORDENADAS

Apesar de podermos já verificar qual o diedro em que o ponto se encontra, não podemos dar precisão a sua posição, para isso servem as coordenadas.

A abcissa, o afastamento e a cota de um ponto se constituem nas suas coordenadas.

A abcissa - é tomada considerando um ponto zero arbitrário na Linha de Terra. Quando positiva a abcissa é marcada para direita e quando negativa para esquerda.ABSCISSA- “é a distância de um ponto de origem situado na linha de terra até a linha de chamada da projecção do ponto na épura.

COTA- é a distância de um ponto ao plano horizontal de projecção. Quando positiva, caminhamos para cima, em relação ao plano horizontal de projecção e quando negativa para baixo. Note que isto é valido para todos os diedros.

AFASTAMENTO- é a distância de um ponto ao plano vertical de projecção.Quando positiva, caminhamos para direita, em relação ao plano vertical de projecção e quando negativa para esquerda. Note que isto é valido para todos os diedros.

C11

E1E2

F1F2

Apesar destas regras com bastante rigidez, na épura, em função do movimento do plano horizontal de projecção, existe uma dificuldade de se apresentar correctamente os pontos na épura em função das suas coordenadas.

Deve-se lembrar que a ordem de apresentação das coordenadas as vezes é alterada em função do autor. Coordenadas (abcissa, afast., cota)

Simetria de pontos Dois pontos são simétricos em relação a um plano (alfa) quando este plano é o mediador é o mediador do seguemento formado pelos dois pontos.

em relação P. Projecção H- o ponto A é simétrico a B em relação aos plano de projecção horizontal quando possui a mesma abcissa; mesmo afastamento em grandeza e sentindo; e mesma cota em grandeza e sentido contrário.

P. Projecção V- o ponto A é simétrico a B em relação aos plano de projecção vertical quando possui a mesma abcissa; mesmo cota em grandeza e sentindo; e mesmo afastamento em grandeza e sentido contrário.

em relação P. Bissectores Em relação ao Bissector impar (div. diedros 1 e 3) dois pontos são simétricos quando possuem a mesma abcissa a cota de um é igual ao afastamento de outro e vice-versa.

Em relação ao Bissector par (div. diedros 2 e 4) dois pontos são simétricos quando possuem a mesma abcissa a cota de um é simétrica ao afastamento de outro e vice-versa. Igual ao caso anterior.

em relação Linha de TerraAbcissa iguais e cota e afastamento simétricos.

Exercícios. Considere ( Abcissa, afastamento ,e cota).

1 ) dar a Épura dos pontos e determinar qual didro ou semi plano se encontram.A [-1; -2; -1] B [0; 2; -1]C [-3; 2; 0]D [2; -1; 0]

2) Traçar a épura do ponto A situada no bissector impar sabendo-se que A [ -2; 1.5; ? ]

3)Do ponto B [ 3;-1; 2] , traçar sua épura e seu ponto simétrico D em relação ao bissector. par

4)Do ponto B [2;-1;3 ] , traçar sua épura e seu ponto simétrico D em relação ao plano vertical

5) Verifique se os pontos A e B são simétricos em relação a algum plano.

D1≡ A2

D2 ≡ A1

UNIDADE III - Tipos de Rectas

RECTAS POSIÇÕES QUE UMA REcTA PODE OCUPAR NO ESPAÇO- Ou melhor tipos de rectas

Lembrando...Cota - Distância ortogonal do PH ao ponto (altura)Afastamento - Distancia horizontal do PV ao ponto

Para cada posição que uma recta pode ocupar no espaço em relação aos planos de projecção, ela recebe um nome em função de características de perpendicularidade ou paralelismo aos planos de projecção. Como será visto a seguir, alem dessas características outras também são importantes como o tamanho real da recta chamado de Verdadeira Grandeza VG.

Outra característica importante desta unidade é a definição de traço. O traço de uma recta não é como se pensa seu desenho ou sua projecção, mas sim um ponto específico da recta que indica que naquela posição (coordenada) a recta esta furando o plano horizontal ou vertical de projecção.

TRAÇOS DE UMA RETA - definição - são os pontos de intersecção da recta com os plano de projecçãoNOTAÇÃO - V (traço vertical) H (traço horizontal) + Subscritos 1 ou 2, de acordo com a intersecção. Isto é para intersecção da recta com plano vertical utiliza-se V2, e para a intersecção da recta com o plano H, utiliza-se H1.

Recta horizontal ou níveldefinição Paralela ao PH = PI 1, traço no PH é impróprio .Todos pts tem mesma cota, assim sua proj. vert é paralela a LTProj horizontal encontra-se em VGAng. da projecção em VG com a LTSeu traço vert é o ponto V V2

Recta frontal ou de frentedefinição Paralela ao PV = PI 2, traço vert. V Impróprio.mesmo Afastamento, proj. H. paralela a LT.Proj. V em VGAng. beta em VGTraço e horizontal H H2

Recta fronto-horizontal ou paralela a linha de terraTraço Vert. coincide com Traço Hor. H V

Projs. vert e hor. em VG e paralelasTodos pontos com cota e afastamentos iguais.

Recta topodefinição Perpendicular ao PV2 Proj. hor. é perpendicular a LT e esta em VGSeu traço Vert. é o ponto V V2

Recta vertical definição Perpendicular ao PH1 Proj. vert. é perpendicular a LT e esta em VGproj. hor. é um pontoSeu traço Vert. é o ponto V O2 Seu traço hor. é o ponto H H1

Recta perfil definição é a toda recta Ortogonal ou perp. a LT

Caso especiais Recta encontrado a LT - Possui seu traço na LT

Rectas Pertencentes ao Primeiro bissetor- Segundo bissector - Projecções coincidentes.

Rectas Muito especiaisVeremos futuramente

Recta de maior declive ( de um plano) -definição É aquela deste plano que forma com sua proj, H o maior ang.-é perpendicular as rectas horizontais do plano que a contém .- Ela é suficiente para determinar o plano que a contem.

Recta de maior inclinação - forma com sua projecção vert. o maior ang.- É perp. as rectas frontais do plano - É suficiente para determinar o plano.

Recta qualquer ...A recta qualquer não atende nenhuma das características anteriores mencionadas.

TEOREMAS (isto é muito importante)

1 Um ponto pertencendo a uma recta , suas projecções pertencem as projecções de igual nome da recta, ou melhor igual sub-indice

2 A projecção de uma recta sobre o plano não perpendicular a mesma , é uma recta.

3 A projecção de uma recta sobre o plano perpendicular a mesma , é um ponto.

4. A projecção de uma recta sobre o plano paralelo a mesma , é uma recta em VG.

Exercício Complete o quadro abaixo

Épura Nome da recta Planos que podem traços prop.ou imp. conter as rectas PH PV

POSIÇÃO RELATIVA DE DUAS RETAS – isto é posição de uma recta

em relação a outra

Rectas reversas ou Não coplanares -

Se duas rectas pertencerem a um mesmo plano (COPLANARES), ou seja definem um plano, estas ainda podem ser:Paralelas - não possuem ponto em comum (impróprio).Concorrentes - possuem ponto em comum (próprio).

CONCORRENTES

1 - Então o ponto de intersecção das rectas quando projectado nos planos V. e H. estarão na mesma linha de chamada.

2 - Também são concorrentes quando uma das projecções V. ou H. são coincidentes e ao outra H. ou V. se cortam.

3 - Ou ainda quando, uma das projecções das rectas se reduz a um ponto situado sobre a projecção de mesmo nome da outra recta.

PARALELAS

Paralelas - não possuem ponto em comum (impróprio).1- Suas projecções de mesmo nome são paralelas.

2 - Duas projecções de mesmo nome se confundem e as outras duas são paralelas. (mesmo plano projectante).

3- Quando suas projecções sobre um mesmo plano se reduzem cada uma a um ponto.É o caso das rectas verticais ou de topo

CASOS ESPECIAIS - Rectas de perfil Neste estudo das rectas de perfil utiliza-se o rotação da recta ate que esta fique coincidente com o plano vertical de projecção, auxiliando a verificar se rectas de perfil são paralelas ou a posição do traço V. e H. da(s) recta(s) em estudo.

A mesma operação também é conhecida como rebatimento que consiste em um giro de 90 graus no sentido contrário ao ponteiro dos relógio, até que fique em coincidência com o plano Vertical 2.

DETERMINAÇÃO DO TRAÇO DAS RETAS –

Lembrando das páginas anteriores, TRAÇOS DE UMA RETA - definição -

são os pontos de intersecção da recta com os plano de projecção

NOTAÇÃO - V (traço vertical) H (traço horizontal) + Subscritos 1 ou 2, de acordo

com a intersecção. Isto é para intersecção da recta com plano vertical utiliza-se

V2, e para a intersecção da recta com o plano H, utiliza-se H1.

Determinação dos traços de rectas quaisquer com os plano de projecção.Definição. Traços de uma recta são seus pontos de intersecção da mesma com os planos de projecção 1 e 2.

A intersecção de uma recta com o Plano . Horizontal. 1 é o traço horizontal denominado H , e suas projecções H1 no Plano horizontal de projecção e H2.no Plano vertical de projecção

Eixo de rotação

Retas de perfil a ser rotacionada

A intersecção de uma recta com o Plano Vertical de projecção . 2 é o traço vertical denominado V , e suas projecções V1 representam a projecção do ponto V no plano horizontal de projecção e V2 a sua projecção no Plano .Vertical de projecção.

Regras para determinação de traços qualquer.1- O ponto comum à projecção vertical r2 da recta à LT é a projecção vertical H2 do traço horizontal. O ponto formado pela linha de chamada de H2 até a projecção r1 determinará o traço H1.

2- O ponto comum à projecção horizontal r1 da recta e a LT é a projecção horizontal do ponto V1 do traço vertical. O ponto formado pela linha de chamada de V1 ate r2 determinará V2.Exercícios 1 e 2 pag 49 do nosso amigo Ardevam Machado.

Determinação dos traços da recta de perfil.CASOS ESPECIAIS 2- Rectas de perfil.Neste estudo das rectas de perfil utiliza-se o rebatimento ou como vimos anteriormente rotação do plano de perfil que contém a recta auxiliando as projecções V. e H. da(s) recta(s) em estudo.

O rebatimento consiste em um giro de 90 graus no sentido contrário ao ponteiro dos relógio, até que fique em coincidência com o plano Vertical 2.O eixo neste caso particular é uma recta vertical de mesma abcissa da recta de perfil a ser rotacionada.

Notação - pontos rebatidos ou rotacionados Ar, Br, Hr e Vr...

Sequência para determinação dos traços da recta de perfil.1- Consideramos o plano auxiliar (perfil) que contem a recta (A2 B2, A1 B1) .2 - Rebatemos este Plano de perfil sobre o plano PV, em torno de t2, obtendo a recta Ar Br rebatida.3 - O ponto Vr comum à recta Ar Br e ao traço t2 é o traço vert. Vr V2 da mesma ( v1 esta na linha de terra).4 - O ponto comum à recta Ar Br e à Lt é o traco hor. Hr rebatido.

Desfazendo o rebatimento obtem-se H1 (H2 esta na LT)

NOTAR QUE: esta técnica de rebatimentos serve também para verificar se rectas de perfil são paralelas ou concorrentes.

Ponto pertencente a uma recta de perfil

Apenas com a observação da épura, não podemos concluir se um ponto determinado ponto, cujas projecções estão sobre as projecções da recta de perfil. Isto porque existem pontos no plano de perfil que contem a recta AB, que se confundem quando representados em épura.Assim para concluir se um ponto pertence ou não a uma recta de perfil é necessário efectuar o rebatimento do plano de perfil que contem a recta e o ponto.

EXERCICIO Agora que conhecemos as rectas e suas posições e também a as possíveis posições que o ponto pode ocupar na épura, verifique nas épuras

abaixo se o ponto pertence a recta dada. Faça também a situação da épura no diedro ao lado e identifique o nome da recta em cada épura.

Deste exercício conclua.QUANDO UM PONTO PERTENCE A RETA

__________________________________________________________________________________________________________________________________

UNIDADE IV REPRESENTAÇÃO DE POLIEDROS

Adervam Machado cap XX, Príncipe Júnior V2 cap III

O que é um poliedro?É um sólido limitado por um número finito de faces poligonais planas, cujas

intersecções determinam as arestas do poliedro e cujas intersecções (das arestas) determinam os vértices dos poliedros

Poliedros regulares - Existem cinco poliedros regulares1 - Tetraedros - Formado por 4 faces (triângulos equiláteros).2 - Hexaedro Regular ou cubo - formado por seis faces.3 - Octaedro - formado por 4 faces (triângulos equiláteros).4 - Dodecaedro - formado por 12 faces (pentágonos regulares).5 - Icosaedro - formado por 20 faces (triângulos equiláteros).

V + F = A + 2

Neste estudo serão apenas utilizados poliedros convexos, lembrando que:

1 - Sua representação é obtida pela representação de seus vértices e suas arestas.2 - Uma recta que não pertence ao poliedro convexo pode encontrar o mesmo em um ponto ou em dois pontos somente.3 - A secção plana de um poliedro convexo é sempre um polígono convexo

Mas o que é mesmo um polígono?.

Contorno aparente de um poliedroÉ o polígono convexo de maior perímetro que se pode formar com as projecções dos vértices de um poliedro, verifique no desenho ao lado o contorno aparente ABCD

Vértices

Contorno aparente

Arestas

Aresta invisível

projeção Aresta invisível

Visibilidade de arestas dos poliedros em projecção.

1- O contorno aparente do poliedro é sempre visível.2- se duas, arestas do poliedro, em projecção, se cruzam dentro do contorno aparente, sendo uma delas visível, a outra será invisível.3 - Se duas ou mais arestas do poliedro, em projecção, se encontram em um ponto dentro do contorno aparente , se uma delas for visível, todas serão visíveis. se uma delas é invisível, todas serão invisíveis.Então definindo-se se um vértice é formado por arestas é invisível ou não, determinamos a visibilidade das aresta que convergem àquele vértice.

Visibilidade de arestas em projecção no Plano Horizontal ProjecçãoSabemos que o contorno aparente e sempre visível.Na épura abaixo de um tetraedro irregular verificamos que AS e CB são arestas (rectas) cujas projecções se cruzam dentro do contorno aparente.Assim procedemos da seguinte maneira:1- Do ponto hipotético D (na projecção hor.)traça-se uma linha de chamada vertical cruzando A2 S2 e C2 B2 , formando dois pontos D2" e D2'. 2- Como um ponto de maior cota oculta o ponto de menor cota, o ponto D2" é o visível (maior cota) o qual pertence a aresta BC, determinando a visibilidade de BC no plano horizontal.3 - Consequentemente a invisibilidade de SA no plano Horizontal.

Visibilidade no Plano Vertical.Para a determinação da visibilidade de arestas no plano vertical, utiliza-se a mesma regra considerando que o ponto de maior afastamento oculta o ponto de menor afastamento. (verifique no desenho)

S1D1

S2D2'D2'

Determine a visibilidade de AC e BD.

Representar por suas projecções o prisma recto de base hexagonal regular pertencente ao PH de projecção com centro O e de altura h.dada.

h altura

Representando o Tetraedro regular

Das características do tetraedro facilmente reconhecidas por nós são suas quatro faces iguais, triângulos equiláteros. Assim cabe a seguinte pergunta Qual a diferença entre uma pirâmide de base triangular equilátera e um tetraedro? Responda:

Determinação da altura do tetraedro.

Exercício: Sendo dado uma aresta da base de um tetraedro no plano paralelo ao horizontal de projecção, construa o tetraedro, e verifique a visibilidade de suas arestas.

A2 B2

Representação do Hexaedro Regular

O Hexaedro regular como sabemos é um poliedro de seis lados iguais, este sólido é comummente chamado de cubo, e sua face formado por um quadrado.

Curiosamente se pegarmos dois tetraedros e colarmos a base de um com a de outro também temos um hexaedro regular, muito pouco conhecido.Vamos a construção do hexaedro (cubo)

Representação do Octaedro regular Cap. XXII Ardevan Machado

Octaedro Regular - É o poliedro regular com oito faces, triângulos equiláteros iguais, doze arestas, seis vértices e seis ângulos sólidos iguais.

Os triângulos ABE, BCE, CDE, DAE, ABF, BCF,CDF, e DAF formam as faces do poliedro.

A B

A2 B2

Os planos que contem os vértices ABCD, AFCE e DFBE são quadrados iguais. Estes planoscontem as diagonais (AC, BD), ( AC, EF) e(DB, FE).

As diagonais do octaedro são perpendiculares entre si, tem igual grandeza entre elas e pertencemao centro geométrico. O.Sendo OA= OC= OB= OD= OF= OEe EF perpendicular ao plano ABCDDB perpendicular ao plano AFCEAC perpendicular ao plano DFBE.

Planos de simetriaOs planos de diagonaisOs planos que contem uma diagonal e o ponto médio da aresta ortogonal.

Problema - Dada a recta AC, a diagonal do quadrado horizontal ABCD, e sabendo-se que seu vértice B tem o maior afastamento do octaedro regular pede-se:1 Representa-lo na épura.2 Determine a visibilidade de todas as suas arestas

C2A2

UNIDADE V TIPOS DE PLANOS

TRAÇOS DO PLANOSão suas intersecções com os planos de projecção 1 e 2.

NOTAÇÕES – Em nossa referência (Ardevan Machado) é utilizado letras gregas minúsculas com a indicação t e s para traço vertical e Horizontal respectivamente.

Traço Vertical - t2

Traço Horiz. - s1

Em aulas usarem somente, 2 1

TEOREMAS IMPORTANTESPode ser representado por: Seus traços, Três pontos não colineares Um ponto e uma recta (onde o ponto não pertence a recta) Duas rectas que se encontram Duas recta paralelas Por sua recta de maior declive ou inclinação.

Traço de plano qualquer alfa- a recta t2S é o traço Vert. do plano alfa com o plano 2S- a recta t2I é o traço Vert. do plano alfa com o plano 2I

Plano Horizontal

É todo plano paralelo ao plano horiz. de proj. Designado por . tem traço próprio, paralelo a LT designado por t2 na épura, e seu traço horizontal, é uma recta imprópria.

Plano FrontalÉ todo plano paralelo ao plano de projecção vertical (2). Designado por Tem somente traço horizontal. próprio s paralelo a LT, designado s1 na épura. Traço vertical. impróprio.

Plano de topo É todo plano perpendicular ao plano de projecção vertical. Designado por - O traço horizontal. s1 do plano de topo é perpendicular a LT- Figuras pertencentes ao plano de topo tem sua proj. vert sobre a mesma.

Plano verticalÉ todo plano perpendicular ao plano de projecção horizontal.. Designado por .- Prop. - O traço t2 do plano vertical é perpendicular LT. Podendo ser representado somente pelo seu traço horizontal, assim como o plano de topo. - figuras contidas neste plano tem sua projecção. horizontal. sobre seu traço horizontal s1.- O ang. formado com este plano com o plano PV projecta-se em VG no PH.

Plano de perfil.É todo plano perp. a LT.- Todo fig. contida neste plano, tem suas proj. no traço do plano de perf. (alfa)

Plano paralelo a LT ou de ângulos complementares (complementar pois os ang. formados com PV e PH somam 90 graus)Seus traços vert t e hor. s são paralelos a linha de terra.

Planos bissectoresÉ o plano que divide os diedros em partes iguais.Denominados Pl. Biss IMPAR div. 1 e 3 diedros biss. designados IO PAR o que divide o 2 e 4 diedros, designado P.Todo ponto nestes planos possuem cota e afastamento iguais

ESTES SÃO OS “MANDAMENTOS DA GEOMETRIA DESCRITIVA ”

Um ponto pertence a uma recta quando _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Um ponto pertence a um plano quando____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Uma recta pertence a um plano quando_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Planos Contendo Rectas; Rectas Pertencentes a um Plano.

Teorema É condição necessária e suficiente p/ que uma recta r pertença ao plano alfa que os traços da mesma pertençam aos traços de igual nome do plano. O traço horizontal H da recta deve pertencer ao traço S-alfa do plano e o traço vert. V da recta pertencente ao traço vert. do plano t-alfa.

Condição necessáriaCondição suficiente - Todos os pontos da recta pertencem a um só plano, assim o traço da recta também pertencerá ao traço do plano que a contem.

Planos Contendo uma Recta de Topo B

Por uma recta de topo pode-se passar:- Um plano Horizontal - Um plano de perfil - Um número infinito de planos de topo

Planos Contendo uma Recta de vertical ABPor uma recta vertical pode-se passar:- Um número infinito de planos Verticais

- Um plano Frontal - Um plano de perfil

Recta Frontal de Plano QualquerUm recta frontal pertence a um plano qualquer quando:- S1 contém H1

- A projecção vertical da recta r2 é paralela a t2

- A projecção r1 é paralela a LT.- O segmento A2B2 da recta esta em VG- Só tem o traço Horizontal H H1

(próprio)

Recta Horizontal de um plano QualquerUm recta frontal pertence a um plano qualquer quando:- t2 contém V2

- A projecção vertical da recta r2 é paralela a LT.

- A projecção r1 da recta é paralela a s1

- O segmento A1B1 da recta esta em VG.- Só tem o traço Vertical V V2

Plano Qualquer Contendo a Recta Qualquer Problemas: Representar pelos seus traços, um plano que contenha a recta (b2, b1 )

Exerc. Dado as principais RETAS (recta horizontal e vertical) de um plano ALFA, determine os traços do plano.

Determinar no plano alfa qualquer o ponto A que de cota 3U e afastamento 2U, onde U e uma unidade qualquer.

Neste exercício acima verifica-se um teorema importante da Geometria Descritiva:Quando um ponto pertence ao plano.Quando o ponto pertence a uma recta do plano. Assim para nos certificarmos deste teorema é preciso criarmos a situação, recta do plano e em seguida ponto da recta.

UNIDADE VI INTERSEÇÃOIntersecção de planos determinados pelos traços.

A intersecção de dois planos quaisquer é uma recta comum a estes planos. Se estes planos são determinados pelos seus traços, a intersecção sendo uma recta pertencente aos planos. Então os traços da recta deverão pertencer aos traços do plano mesmo nome (subindice).

Exerc. Determinar a intersecção de dois planos Quaisquer.

Determinar da intersecção de um plano qualquer com um plano Horizontal

Determinar da intersecção de um plano qualquer com um plano Frontal .

Determinar a intersecção de dois planos verticais e *

Determinar a intersecção de dos planos de topo * e .

t*2 t2

s*1s1

t*2

t*1t1

Determinar a intersecção de dos planos de topo com um plano vertical .

Determinar a intersecção do plano vertical com o plano Horizontal.

B Determinar a intersecção de um plano qualquer com um plano paralelo a LT.A- Determinar a intersecção de um plano de perfil com um plano paralelo a LT.

Determinar a intersecção de dois planos paralelos a linha de terra.

Determinar a intersecção de um plano beta paralelo a LT e um plano horizontal

Determinar a intersecção de dois planos alfa e beta cujos traços se encontram na LT.

M1 M2

Outro abordagem

Determinar a intersecção de um plano de topo dado pelos seus traços com o primeiro bissector.

Intersecção de planos determinados pelos traços, com planos determinados por rectas concorrentes ou paralelas Adervan Machado Cap.VIII p.89

Lembrando.... A intersecção de duas rectas determina um ponto e,Um plano pode ser definido por:

Pode ser representado por seus traços,três pontos não colinearesUm ponto e uma recta (onde o ponto não pertence a recta)Duas rectas que se encontramDuas recta paralelasPor sua recta de maior declive ou inclinação.

O objectivo geral do capítulo é determinar a intersecção do plano formado por duas rectas e um plano conhecido

1- Determine a intersecção de plano de topo com um plano beta determinado por duas concorrentes.

2- Determine a intersecção de plano de horizontal com um plano beta determinado por duas concorrentes a e b

3 Determine a intersecção de plano determinado por duas concorrentes a e b com um plano vertical.

5 - Determine a intersecção de plano determinado por duas concorrentes a e b com um plano de perfil

6 - determinar a intersecção de um plano dado por duas rectas paralelas a e b com um plano horizontal .

7 - determinar a intersecção de um plano dado por duas rectas paralelas a e b com um plano de perfil.

9- Determinar a intersecção de um plano dado por duas rectas concorrentes a e b com um plano de topo cujo traço vertical é paralelo à projecção da recta b.

10 -Determinar a intersecção de um plano de topo t2 com um plano dado por duas rectas concorrentes a e b, sendo que a recta b não encontra o plano de topo t2 no limite da épura.

INTERSEÇÃO ENTRE PONTO E RETA OU...PONTO ONDE UMA RETA FURA O PLANO

Inicialmente Lembrar que: um ponto pertence a uma recta quando as projecções desse ponto pertencem as projecções da recta de mesmo nome.

O PONTO QUE ESTAMOS FALANDO AGORA É UM PONTO COMUM A RETA EO PLANO, PONTO DE INTERSEÇÃO.

1 Casos Imediatos (Qd. frontal, topo, vert., perfil e segundo bissector)

Achar o ponto onde a recta r fura o plano horizontal

Raciocínio idêntico para o plano frontal.Achar o ponto F onde a recta r fura o plano de topo Raciocínio idêntico para o plano vertical.

Achar o ponto F onde a recta r fura o plano de perfil

Achar o ponto F onde a recta r fura o segundo bissector

Achar o ponto F onde a recta r fura o primeiro plano bissector

2 Casos não Imediatos- Deve-se passar pela recta um dos planos que a contenha (preferencialmente planos projectantes da recta).- Em seguida, determina-se a intersecção i deste plano auxiliar com o plano dado.

Achar o traço F da recta r com o plano paralelo a LT dados pelos sues traços t2 e s1

Achar o traço F da recta r com o plano qualquer dados pelos sues traços t2 e s1

Achar o traço F da recta r com o plano dado por duas rectas concorrentes.

Achar o ponto onde a recta r dada por suas projecções (r1, r2) fura o plano do triângulo formado pelos pontos A,B e C doados por suas projecções (A1B1C1, A2B2C2).

Enunciado igual ao anterior

C1 C2 B2

Achar o ponto F onde a recta de perfil CD fura o plano dado pelos seus traços.

Achar o ponto F onde a recta de perfil CD fura o plano determinado pelas rectas concorrentes m e n dadas por suas projecções.

O mesmo procedimento efectuado no problema anterior resolve: determinar o ponto onde uma recta r de perfil fura o plano determinado por duas rectas paralelas.

Achar o ponto onde a recta vertical MH, dada por suas projecções, fura o plano determinado por duas rectas concorrentes c e d, e suas projecções

d2 M2

c1 H1M1

Este problema pode ser resolvido por três procedimentos diferentes:Com um plano auxiliar frontalCom um plano auxiliar verticalcom um plano auxiliar de perfil.

Achar o ponto onde a recta de topo MV dada por suas projecções, fura o plano determinado pelas rectas c e d concorrentes dadas por suas projecções.Este problema TAMBÉM pode ser resolvido por três procedimentos diferentes:Com um plano auxiliar horizontalCom um plano auxiliar topocom um plano auxiliar de perfil.

Determinar no plano alfa qualquer o ponto A que de cota 3U e afastamento 2U, onde U e uma unidade qualquer.

V2M2

UNIDADE VI INTERSEÇÃOIntersecção de planos determinados pelos traços.

Exerc. Determinar a intersecção de dois planos Quaisquer.

Determinar da intersecção de um plano qualquer com um plano Horizontal

Determinar da intersecção de um plano qualquer com um plano Frontal .

Determinar a intersecção de dois planos verticais e *

Determinar a intersecção de dos planos de topo * e .

Determinar a intersecção de dos planos de topo com um plano vertical .

t*2 t2

s*1s1

t*2

t*1t1

Determinar a intersecção do plano vertical com o plano Horizontal.

B Determinar a intersecção de um plano qualquer com um plano paralelo a LT.A- Determinar a intersecção de um plano de perfil com um plano paralelo a LT.

Determinar a intersecção de dois planos paralelos a linha de terra.

Determinar a intersecção de um plano beta paralelo a LT e um plano horizontal

Determinar a intersecção de dois planos alfa e beta cujos traços se encontram na LT.

Outro abordagem

M1 M2

Determinar a intersecção de um plano de topo dado pelos seus traços com o primeiro bissector.

Intersecção de planos determinados pelos traços, com planos determinados por rectas concorrentes ou paralelas Adervan Machado Cap.VIII p.89

Lembrando.... A intersecção de duas rectas determina um ponto e,Um plano pode ser definido por:

Pode ser representado por seus traços,três pontos não colinearesUm ponto e uma recta (onde o ponto não pertence a recta)Duas rectas que se encontramDuas recta paralelas

Por sua recta de maior declive ou inclinação.

O objectivo geral do capítulo é determinar a intersecção do plano formado por duas rectas e um plano conhecido

1- Determine a intersecção de plano de topo com um plano beta determinado por duas concorrentes.

2- Determine a intersecção de plano de horizontal com um plano beta determinado por duas concorrentes a e b

3 Determine a intersecção de plano determinado por duas concorrentes a e b com um plano vertical.

4 - Determine a intersecção de plano determinado por duas concorrentes a e b com um plano de perfil

5 - determinar a intersecção de um plano dado por duas rectas paralelas a e b com um plano horizontal .

6 - determinar a intersecção de um plano dado por duas rectas paralelas a e b com um plano de perfil.

7- Determinar a intersecção de um plano dado por duas rectas concorrentes a e b com um plano de topo cujo traço vertical é paralelo à projecção da recta b.

8 -Determinar a intersecção de um plano de topo t2 com um plano dado por duas rectas concorrentes a e b, sendo que a recta b não encontra o plano de topo t2 no limite da épura.

INTERSEÇÃO ENTRE PONTO E RETA OU...PONTO ONDE UMA RETA FURA O PLANO (CAP. IX. Adervam Machado)

Inicialmente Lembrar que: um ponto pertence a uma recta quando as projecções desse ponto pertencem as projecções da recta de mesmo nome.

O PONTO QUE ESTAMOS FALANDO AGORA É UM PONTO COMUM A RECTA E O PLANO, PONTO DE INTERSEÇÃO.

1 Casos Imediatos (Qd. frontal, topo, vert., perfil e

segundo bissector)

Achar o ponto onde a recta r fura o plano horizontal

Raciocínio idêntico para o plano frontal.Achar o ponto F onde a recta r fura o plano de topo Raciocínio idêntico para o plano vertical.

Achar o ponto F onde a recta r fura o plano de perfil

Achar o ponto F onde a recta r fura o segundo bissector

Achar o ponto F onde a recta r fura o primeiro plano bissector

Achar o traço F da recta r com o plano paralelo a LT dados pelos sues traços t2 e s1

Achar o traço F da recta r com o plano qualquer dados pelos sues traços t2 e s1

Achar o traço F da recta r com o plano dado por duas rectas concorrentes.

Achar o ponto onde a recta r dada por suas projecções (r1, r2) fura o plano do triângulo formado pelos pontos A,B e C doados por suas projecções (A1B1C1, A2B2C2).

Enunciado igual ao anterior

Achar o ponto F onde a recta de perfil CD fura o plano dado pelos seus traços.

C1 C2 B2

Achar o ponto F onde a recta de perfil CD fura o plano determinado pelas rectas concorrentes m e n dadas por suas projecções.

O mesmo procedimento efectuado no problema anterior resolve: determinar o ponto onde uma recta r de perfil fura o plano determinado por duas rectas paralelas.

Achar o ponto onde a recta vertical MH, dada por suas projecções, fura o plano determinado por duas rectas concorrentes c e d, e suas projecções

Este problema pode ser resolvido por três procedimentos diferentes:Com um plano auxiliar frontal

d2 M2

c1 H1M1

Com um plano auxiliar verticalcom um plano auxiliar de perfil.

Rebatimento - Verdadeira Grandeza.Capítulo XIV - Ardevan Machado

Objetivo- O objectivo do rebatimento é obter a verdadeira grandeza de figuras pertencentes a um plano.

Teorema Toda figura plana, paralela a um plano de projecção, projecta-se em V. G. sobre esse plano na projecção cilíndrica ortogonal.

V2M2

Existem três processos auxiliares na resolução de problemas gráficos, conhecidos como deslocamentos:1-Rebatimento2-Mudança de plano de projecção3-Rotação

1 Rebatimento: (a técnica)O rebatimento de um plano consiste em fazer o plano girar em torno de uma de suas rectas (geralmente frontal ou horizontal), até que este fique paralelo a um dos planos de projecção.

(O que é o rebatimento...) Dizemos que um plano rebate sobre outro, quando fazemos coincidir o primeiro plano com o segundo plano (horizontal), girando em torno da recta de intersecção dos planos.

Este eixo (recta de intersecção) chama-se de eixo de rebatimento, charneira de rebatimento ou somente charneira. Habitualmente o plano rebatido é um plano horizontal e a charneira uma recta horizontal que pertence aquele plano.

Regras para o Rebatimento

1) Determinação da charneira, este eixo (recta horizontal ) no caso de pontos ou rectas a serem rebatidas pode ser colocado em qualquer posição no espaço.

Em caso de rectas a charneira deve ser uma recta horizontal e concorrente a recta a ser rebatida.

Em caso de uma figura plana (triângulos, quadrados etc) a charneira deve ser a intersecção do plano horizontal onde será rebatido a figura e o plano da figura.

Para o caso mais simples do rebatimento de um ponto temos:

Da projecção A1 do ponto A tiramos o seguinte.2 ) Uma perpendicular à projecção horizontal de h1 da charneira, determinando-se o ponto I1 IR onde h1 = (recta horizontal contida em um plano horizontal auxiliar para efectuarmos o rebatimento)

3) Traça-se uma paralela a charneira passando por A1. Nesta paralela marcamos a cota do ponto A em relação ao plano horizontal que contém a charneira, obtendo-se o ponto AR*. Sendo AA1=cota=A2Ao=A1AR*.

4 ) I1A1AR*é o triângulo de rebatimento procurado. A hipotenusa desse, é o raio de rebatimento, e AR o ponto rebatido.

60A1

Problema 1 - Achar a V. G. da distância entre dois ponto C e D, dados sua projecções (C1, C2) e (D1, D2).

2- rebater o plano dado pelos seus traços sobre o P.H.

3 - Rebater o plano de topo , sobre o P. H.

4 - Achar a VG do triângulo ABC em torno de uma horizontal de seu plano, sobre o plano horizontal que a contém, a fim de obtermos a sua VG.

5 - Achar a VG do triângulo ABC dado pela projecção de suas vértices.

h2 t2

A2 C2

h2 t2

6 - Achar a VG do triângulo ABC dado pela projecção de suas vértices. Considerar a charneira horizontal de rebatimento passando pelo vértice A.

Achar a VG da distância do ponto A, dado por suas projecções, ao plano .Solução 1- Determinar a perpendicular passando por A em relação ao plano .2 - Achar o ponto onde a perpendicular fura o plano usando um plano aux. de topo.3 - considerar a charneira horizontal , passando pelo ponto onde a perpendicular fura o plano, e rebater o ponto A1. A distancia AR até F1 é a solução do problema

h2 t2

Mudança de Planos de Projecção - Ardevam Machado cap. XVII

A mudança de planos consiste em: dadas as projecções de uma figura sobre o PH e PV, achar a nova projecção desta figura sobre um terceiro plano perpendicular ao PV ou ao PH.

SE O PLANO FOR PERPENDICULAR AO PH EFETUAREMOS A UMA MUDANÇA DE PLANO VERTICAL SE O PLANO FOR PERPENDICULAR AO PV EFETUAREMOS A UMA MUDANÇA DE PLANO HORTIZONTAL

Mudança vertical

Passos para mudança vertical 1 Da projecção horizontal do ponto baixamos a perpendicular à nova LT.2 Sobre esta perpendicular marcamos, a partir da nova Linha de Terra, a cota primitiva do ponto.

Mudança horizontal

Observação: Quando se cria uma nova projecção vertical (X2) fizemos uma mudança de plano vertical.Quando se cria uma nova projecção horizontal (X1) fizemos uma mudança de plano horizontal

Passos para mudança horizontal. 1 Da projecção vertical do ponto baixamos a perpendicular à nova LT.2 Sobre esta perpendicular marcamos, a partir da nova Linha de Terra o afastamento primitiva do ponto.

ExercícioDada a recta AB por suas projecções torna-la uma recta (frontal e horizontal em cada uma das épuras) por meio de uma mudança de plano.

Simplificação - admitir que a nova linha de terra e coincidente com uma das projecções originais, vertical ou horizontal dependendo do caso..

Dada recta AB e suas projecções, por meio de uma dupla mudança de plano torna-la uma recta de topo e uma vertical.

vertical

topo

MAPA P/ MUDANÇAS novo PH recta horizontal novo PV recta de toporecta qualquer novo PV recta frontal novo PH recta vertical

Problema - Achar a VG do ângulo alfa que o plano dado forma com o PH.Dica - o ângulo que o plano forma com PH estará em VG quando o plano for de topo. Então torne uma recta horizontal deste plano uma recta de topo para o novo plano considerando a nova LT perpendicular a s1

Assim como no exercício anterior verifique a VG do ângulo formado entre e PV.

Problema Determinar a VG do triângulo através de mudança de planos.ABC. e determine a verdadeira grandeza do ângulo alfa do plano que contem o triângulo ABC forma com o PH

Dicas o ângulo formado pelo plano de topo com o plano vertical encontra-se em VGDicas 1 fazer o plano do triangulo ABC um plano de topo 2 Fazer a mudança de plano tornando o plano de topo horizontal.

ROTAÇÃOA rotação é um procedimento que consiste em girar a figura em torno de um eixo conveniente, de modo que a figura venha a ocupar uma posição particular desejada.

Ao efectuar-se a rotação de uma figura em torno de um eixo, todos seus pontos descrevem arcos de circunferência de ângulo centrais iguais, cujos planos são perpendiculares ao eixo e cujos centros estão sobre o eixo ( eixo - geralmente uma recta de topo ou vertical).Lembrar que o OBJETIVO DESTE PROCEDIMENTO É AUXILIAR A DETERMINAÇÃO DA VG.Rotação de um ponto em torno de um eixo vertical

A2 t2

Rotação de um ponto em torno de um eixo de topo

Exemplo: dados ponto a girar (B2, B1), o eixo de rotação (Z1O1, Z2O2) de topo e alfa o ângulo de rotação do ponto B

Rotação de rectas (existem três processos)

1 - Girar o ponto A e o ponto B de uma ângulo alfa e traçar a recta que une os pontos na nova posição.

2 - Na rotação de uma recta ou figura todos os pontos descrevem ângulo iguais. Assim, a distancia entre dois pontos da figura utilizando-se um plano de projecção horizontal é a mesma, isto é, plano de projecção horizontal projectando-se no vertical.Passo1 - Traçar de Z1O1 uma perpendicular a A1 B1 determinando um ponto

C1sobre a projecção A1B1. Determine também a projecção C2 sobre a projecção A2 B2.

Passo 2 - Gire o ponto C1 de um ângulo alfa determinando um ponto C1'. De C2 trace uma perpendicular ao eixo OZ de rotação e determine C2'.

Passo 3 - De C1' trace a tangente ao arco de rotação determinando a recta que conterá os ponto A1' e B1'.

Passo 4 - Do eixo de rotação Z1 O1 faça a rotação do pontos A1 e B1 até a tangente traçada no passo anterior. Trace as perpendiculares a LT (linha de chamada) determinando os pontos A2'e B2' na projecção que contem C2'.

1 processo 2 processo

B1 s1

Z2 O2

Problema Girar a recta AB em torno do eixo vertical OZ de modo que AB torne-se um recta frontal.

O1Z1

Problema Girar a recta AB em torno do eixo vertical OZ de modo que AB torne-se uma recta horizontal e uma frontal.

Frontal Horizontal

Tornar a recta AB em uma recta de topo e vertical.

Topo Vertical

O1 A1Z1

A2 B2

Tornar de topo a recta AB qualquer dada por suas projecções.

Rotação de planos A rotação de um plano em torno de um eixo obtém-se efectuando a rotação de elementos geométricos que definem o plano (pontos e ou rectas). Assim se queremos girar um plano em torno de um eixo, é suficiente fazer a rotação de :três pontos não colineares,ou um ponto e uma recta (onde o ponto não pertence a recta), ou duas rectas que se encontram ou duas recta paralelas (definições de planos).Facilitando considera-se uma recta horizontal do plano e o traço horizontal do plano (para o plano qualquer).

72s1