GEOMETRIA DESCRITIVA

PASSO A PASSO

PROF. JAIR ROBERTO BÄCHTOLD UDESC

Sistemas de Projeções

Estudo do Ponto

Estudo da Reta

Métodos Descritivos

Plano Auxiliar Primário e Projeção Pontual da Reta

Direção de uma Reta

Inclinação de uma Reta

Pontos Colineares

Pontos Coplanares

Posição Relativa das Retas

ÍNDICE

Verdadeira Grandeza da Reta

Tópico 02

Tópico 05

Tópico 04

Tópico 03

Tópico 01

Tópico 06

Tópico 07

Tópico 08

Tópico 09

Tópico 10

Tópico 11

Interseção entre Planos (Visibilidade)

Ângulo entre Planos (Ângulo Diedro)

Interseção entre Planos

ÍNDICE

Estudo do Plano

Verdadeira Grandeza de um Plano

Inclinação de um Plano

Distância Perpendicular entre Ponto e Plano

Interseção entre Reta e Plano

Ângulo entre Reta e Plano

Interseção entre Reta e Plano (Visibilidade)

Posições Relativas das Retas no Espaço

Índice Geral

Tópico 13

Tópico 15

Tópico 16

Tópico 17

Tópico 14

Tópico 12

Tópico 22

Tópico 20

Tópico 18

Tópico 19

Tópico 21

Índice Geral

SISTEMAS DE PROJEÇÕES

/OBLÍQUA

SISTEMAS DE PROJEÇÕES

a1

a2

a3

a4 a7

a8

A B

C

B1 A1

C1

A B

C

B1 A1

C1

A B

C

A1 B1

C1

CENTRAL OU CÔNICA CILÍNDRICA: ORTOGONAL

O a6

a5

A

A projeção de um ponto sobre um plano

é a interseção de uma reta que passa

por um ponto (Reta Projetante) de

um plano de projeção.

Índice Geral

ESTUDO DO PONTO

Estudo do Ponto

Estudo da Representação do Ponto

Desenvolvimento dos Diedros

Projeções Ortográficas nos Diedros

Representação do Ponto

Posicionamento de Elementos num Espaço

Posições do Ponto em Relação aos Planos de Projeção

Posições do Ponto

Índice Geral

Índice Índice Geral

ESTUDO DO PONTO

ESTUDO DO PONTO

O ponto é o menor elemento da Geometria e dar

origem aos demais elementos Geométricos.

Apesar da sua importância não existe problemas

geométricos apenas com o ponto e sim quando

este estiver em conjunto com outros elementos.

Índice Índice Geral

ESTUDO DO PONTO

O ponto em relação aos planos de projeções, pode

está situado no 1o, 2o, 3o e 4o diedros, mas não é

interessante a representação no 2o e 4o diedros

tendo em vista a superposição de imagens após o

rebatimento dos planos de projeções sobre o plano

vertical.

O sistema de representação no 1o diedro é utilizado

nas normas DIN (DASS. INT. NORM) e o no 3o diedro

pelas normas ASA (American Standard Association).

Índice Índice Geral

No Brasil as representações podem ser feitas pelos

dois sistemas, com preferência para a projeção

ortogonal no 1o diedro.

Os diedros estão formados pela interseção de dois

planos, um vertical e outro horizontal, a reta

interseção entre os dois planos é chamada de Linha

de Terra e é comum aos quatro semi-planos:

PVS - Plano Vertical Superior

PVI - Plano Vertical Inferior

PHA Plano Horizontal Anterior

PHP - Plano Horizontal Posterior

Índice Índice Geral

ESTUDO DA REPRESENTAÇÃO DO PONTO

a' b' c'

a c b

a'

b' c'

Índice Índice Geral

DESENVOLVIMENTO DOS DIEDROS

(Gaspard Monge)

1o Diedro 2o Diedro

3o Diedro 4o Diedro

T

L

a'

a

Plano Vertical

Superior

Plano Horizontal

Anterior

Plano Horizontal Posterior

Pla

no

Vert

ical In

feri

or

A

Índice Índice Geral

Índice Índice Geral

PROJEÇÕES NOS DIEDROS

Z

Y

X

PH

PV

O

PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 1o DIEDRO

PH

PV

Índice Índice Geral

Z

Y

X

PH

PV

O

No 2o Diedro acontece superposição de imagem.

PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 2o DIEDRO

PV

PH

Índice Índice Geral

Z

Y

X

PH

PV

O

PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 3o DIEDRO

PH

PV

Índice Índice Geral

PH

PV

Z

Y

X

PH

PV

O

No 4o Diedro acontece superposição de imagem.

PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 4o DIEDRO

Índice Índice Geral

PH

PV

REPRESENTAÇÃO DO PONTO

PH

PV

L T

L

T

PH

a

a'

a

A a'

a

Índice Índice Geral

Para posicionar os elementos num espaço

tridimensional determina-se um ponto “O” chamado

ponto de referência que é o ponto comum aos três

planos principais de projeção.

A partir do ponto “O” de origem para localizar os

elementos usa-se o sistema de coordenadas

cartesianas: Abscissa (X), Afastamento (Y) e Cota (Z).

Sobre o eixo X marca-se a abscissa,

Sobre o eixo Y marca-se o afastamento,

Sobre o eixo Z marca-se a cota.

Todos os valores deverão ser sempre positivos e

escritos em milímetro.

POSICIONAMENTO DE ELEMENTOS NUM ESPAÇO:

Índice Índice Geral

PH

PH

PV

PV

Z

PP

Y

PH

X

Y

O

POSIÇÃO DO PONTO EM RELAÇÃO AOS

PLANOS DE PROJEÇÃO

Abscissa

a

a''

Afa

sta

men

to

Co

tas

a

a''

Abscissa Cota

ÉPURA

A(30, 15, 20)

Abscissa Afastamento

Cota

a'

a

PP

PP

a''

a

a'

a''

A

a'

PH

PV PP X

Z

Y

Y

O

Afastamento

Índice Índice Geral

1. Plano Vertical (A) (X e Z)

2. Plano Horizontal (B) (X e Y)

3. Plano de Perfil (C) (Y e Z)

4. Eixo X (D) (PH e PV)

5. Eixo Y (E) (PH e PP)

6. Eixo Z (F) (PV e PP)

7. Origem (G) (PV, PH e PP)

8. No espaço (H) (X, Y, Z - diferentes de zero)

O ponto em relação aos planos de projeções, pode

ocupar 8 (oito) pos ições distintas:

Índice Índice Geral

Quando um ponto pertence a um dos planos de

projeção, é representado em Épura através de suas

duas projeções e do próprio ponto.

O ponto pertencente a um dos eixos é representado

por este e por mais duas projeções, se coincidir com

o ponto “O” de origem a representação em Épura é

o próprio ponto e suas projeções.

A representação de um ponto no espaço é feita

através das três projeções, nos planos: vertical,

horizontal e de perfil.

POSIÇÕES DO PONTO

Índice Índice Geral

z

x

PV

y

PP

PH

POSIÇÕES DO PONTO EM RELAÇÃO

AOS PLANOS DE PROJEÇÃO

d''

H,h,h',h''

b'

b

b''

f f'' F

g' g'' G

B

e e' E

2. Plano Vertical (B) (X e Z)

4. Plano de Perfil (D) (Z e Y)

5. Eixo X (E) (Interseção PV e PH)

6. Eixo Y (F) (Interseção PH e PP)

3. Plano Horizontal (C) (X e Y) 7. Eixo Z (G) (Interseção PV e PP)

8. Origem (H) (PH, PV, PP)

1. No Espaço (A) (X, Y, Z - diferente de zero)

d

d'

A

a" a'

a

c''

C

D

PH

PV PH X

Z

Y

Y

h h'' h' H

ÉPURA

b''

b

b' B

c'' e e' E c'

c C

d'' D

a''

a'

a

g' g'' G

F f

F f''

d

d'

c

c'

Índice Índice Geral

Pontos Colineares

a'

b'

O

PP PV

PH

Z

X Y

Y

c'

a

b

c

a''

b''

c'' Três ou mais pontos

são Colineares se e se

somente se, por estes

pontos passar uma reta

imaginária.

Na representação em épura dos pontos em cada plano de projeção, também ficam numa mesma linha reta.

Índice Geral

Pontos Coplanares

a'

b'

c'

a

b

c

a''

b''

c''

O

PP PV

PH

Z

X Y

Y

Pontos Coplanares são

três ou mais pontos por

onde se pode passar

um plano imaginário. Se

por dois pontos se pode

passar infinitos planos,

por um conjunto de

pontos Coplanares

composto de pelo

menos três pontos

pode-se passar apenas

um e um único plano.

Índice Geral

ESTUDO DA RETA

Estudo da Reta

Posições Relativas das Retas

Identificação das Retas

Propriedades: Retas do Primeiro Grupo

Propriedades: Retas do Segundo Grupo

Propriedades: Retas do Terceiro Grupo

Índice Geral

Índice Índice Geral

ESTUDO DA RETA

ESTUDO DA RETA

A projeção de uma reta sobre um plano de projeção,

é o lugar geométrico das projeções de todos os seus

pontos sobre este plano. De um modo geral a

posição de uma reta no espaço fica bem determinada

quando são conhecidas as posições dessa reta,

sobre dois ou mais planos ortogonais. (Planos de

Projeção).

Índice Índice Geral

ESTUDO DA RETA

POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS

Em relação aos planos de projeção as retas

podem ocupar várias posições em relação aos

planos de projeção, posições estas que

determinam propriedades e identidades. As retas

estão divididas em três grupos distintos, devido

o posicionamento destas com os planos de

projeção.

Índice Índice Geral

ESTUDO DA RETA

IDENTIFICAÇÃO DAS RETAS

Retas do 1o GRUPO

1. Ao PH - Reta Vertical

2. Ao PV - Reta de Topo

3. Ao PP - Reta Fronto-Horizontal

Retas do 2o GRUPO

1. Ao PH - Reta Horizontal

2. Ao PV - Reta Frontal

3. Ao PP - Reta Perfil

1. Ao PV, PH e PP - Reta Qualquer Retas do 3o GRUPO

Índice Índice Geral

ESTUDO DA RETA

PROPRIEDADES:

Retas do 1o Grupo: São retas perpendiculares a um

dos planos principais de projeção. Neste plano

principal a projeção da reta se reduz a um PONTO, o

qual chamamos de projeção pontual da reta.

Sendo a reta perpendicular a um plano é paralela aos

outros dois planos adjacentes, nestes planos as retas

se apresentam em suas dimensões reais, que

chamamos de VG, ou seja, Verdadeira Grandeza da

reta.

Índice Índice Geral

RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM

DOS PLANOS DE PROJEÇÃO

PV

Y

PH

X

Z

PP

PV

RETA VERTICAL

Z

Y X

Y

PV

PH

PP o

b''

a'' a'

b'

b a

VG VG

a''

b''

A

a

B b'

a'

b

VG

VG

Índice Índice Geral

Y

PH

PP

X

Z

PV

c'' d'' d'

c

d

RETA DE TOPO

Z

Y

Y X

PV

PH

PP o

RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM

DOS PLANOS DE PROJEÇÃO

c'

VG

VG d''

c' d'

c''

C

d

D

c VG

VG

Índice Índice Geral

Y

PH

PP

X

Z

PV

e' f'

e f

RETA FRONTO-HORIZONTAL

Z

Y X

Y

PV

PH

PP o

RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM

DOS PLANOS DE PROJEÇÃO

f'' e''

E

F

e'

f

f'

e

e'' f''

VG

VG

VG

VG

Índice Índice Geral

Y

PH

PP

X

Z

PV

Y

PH

PP

X

Z

PV

Y

PH

PP

X

Z

PV

RETAS PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO

RETA VERTICAL RETA DE TOPO RETA FRONTO- HORIZONTAL

A

a’’

a

B b'

a'

b

b''

VG

VG

c' d'

c'' d''

C

d

D

c

VG

VG

E

F

e'

f

f'

e

e'' f''

VG

VG

Z

Y X

Y

PV

PH

PP

o

b''

a''

b a

a'

b'

VG VG

Z

Y X

Y

PV

PH

PP

c'' d'' c' d'

o

c

d

VG

VG

e' f'

e f

e'' f''

o

Z

Y X

Y

PV

PH

PP

VG

VG

Índice Índice Geral

ESTUDO DA RETA

PROPRIEDADES:

Retas do 2o Grupo: São retas paralelas a um dos

planos principais de projeção, neste plano principal

de projeção a reta se apresenta em V.G. (Verdadeira

Grandeza) e nos outros dois planos se apresentam

oblíquas, portanto, em projeção reduzidas.

Índice Índice Geral

Y

PH

PP

X

Z

PV

RETA HORIZONTAL

b''

a

b

a'' b' a'

RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM

DOS PLANOS DE PROJEÇÃO

Y

Y X

PV

PH

PP

Z

o

a

a'

a''

B b'

b''

b

A

VG

VG

Índice Índice Geral

Y

PH

PP

X

Z

PV

c

c''

d

d'' d'

c'

RETA FRONTAL

RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM

DOS PLANOS DE PROJEÇÃO

Y

Y X

PV

PH

PP

Z

o

d'

c''

d''

C d

D

c

c'

VG

VG

Índice Índice Geral

Y

PH

PP

X

Z

PV

e''

f''

e'

f'

e

f

Y

Y X

PV

PH

PP

Z

o

RETA DE PERFIL

RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM

DOS PLANOS DE PROJEÇÃO

PV

e''

F

f e

f''

e'

f'

E VG VG

Índice Índice Geral

Y

PH

PP

X

Z

PV

Y

PH

PP

X

Z

PV

Y

PH

PP

X

Z

PV

RETAS PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO

RETA HORIZONTAL RETA FRONTAL RETA DE PERFIL

a' A

a’’

a

B b'

b''

b VG

d'

c''

d''

C d

D

c

c'

VG

f''

f

E

F

e'

f'

e''

e

VG

e''

f''

e'

f'

e

f

X PP

Y

Y

Z

o PV

PH

VG

X PP

Y

Y

Z

o PV

PH

c

c''

d

d'' d'

c'

VG b''

PV

PH X

PP

Y

Y

Z

o

a

b

a'' b' a'

VG

Índice Índice Geral

ESTUDO DA RETA

PROPRIEDADES:

Retas do 3o Grupo: São retas oblíquas aos três

planos principais de projeção.

Não apresentam projeção em V. G. (Verdadeira

Grandeza).

Índice Índice Geral

Y

PH

PP

X

Z

PV b'

a' a''

b''

a

b

RETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃO

RETA QUALQUER

b'

A a''

a

B

a' b''

b Y

Y X

PV

PH

PP

Z

o

Índice Índice Geral

POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO

o

Y

Z PV

PH X

RETAS PARALELAS RETAS COINCIDENTES

d

d'

b

b'

a

a'

c

c'

o

Y

Z PV

PH X

b

a

b'

a'

d

c

d'

c'

Índice Geral

RETAS CONCORRENTES E REVERSAS

Duas retas são concorrentes quando em Épura as

projeções do ponto de concorrência estiverem sobre

uma mesma perpendicular

c

c'

a

a' d'

d

b'

b p

p'

o

Y

Z PV

PH X

RETAS CONCORRENTES RETAS REVERSAS

o

Y

Z PV

PH X

c

d'

c'

d a

a'

b'

b

POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO

Índice Índice Geral

MÉTODOS DESCRITIVOS

Métodos Descritivos

Mudança de Plano de Projeção

Método de Rotação

Método de Rebatimento

Índice Geral

ESTUDO DA RETA

MÉTODOS DESCRITIVOS:

Para resolvermos problemas espaciais,

recorremos aos métodos descritivos, que são:

1. Mudanças de Planos de Projeção

2. Rotação

3. Rebatimento

Índice Índice Geral

MÉTODOS DESCRITIVOS:

Mudanças de Planos de Projeção: Consiste em

considerar a figura fixa e determinar uma nova

projeção sobre um plano auxiliar perpendicular a

um plano de projeção. Este deve ser paralelo à

figura no espaço.

Índice Índice Geral

MÉTODOS DESCRITIVOS:

Método de Rotação: Consiste em fazer girar a

figura em torno de um eixo de rotação conveniente,

até que ela venha ocupar uma posição desejada.

Índice Índice Geral

MÉTODOS DESCRITIVOS:

Método de Rebatimento: Este método conduz a

traçados simples, é utilizado em muitos problemas,

cujo tratamento descritivo exigirá a rigor, apenas uma

mudança de plano e uma única rotação.

Índice Índice Geral

POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO

Retas Paralelas

Distâncias entre Retas Paralelas

Retas Concorrentes e Reversas

Retas Perpendiculares

Pertinência Ponto-Reta

Distância Perpendicular entre Ponto e Reta

Distância Perpendicular entre Retas Reversas

Retas Paralelas e Coincidentes

Índice Geral

Plano Auxiliar Secundário

POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO

o

Y

Z PV

PH X

RETAS PARALELAS RETAS COINCIDENTES

d

d'

b

b'

a

a'

c

c'

o

Y

Z PV

PH X

b

a

b'

a'

d

c

d'

c'

Índice Índice Geral

RETAS CONCORRENTES E REVERSAS

Duas retas são concorrentes quando em Épura as

projeções do ponto de concorrência estiverem sobre

uma mesma perpendicular

c

c'

a

a' d'

d

b'

b p

p'

o

Y

Z PV

PH X

RETAS CONCORRENTES RETAS REVERSAS

o

Y

Z PV

PH X

c

d'

c'

d a

a'

b'

b

POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO

Índice Índice Geral

RETAS PERPENDICULARES

Duas retas concorrentes são perpendiculares

quando num plano de projeção as duas retas

aparecem perpendiculares entre si e pelo menos

uma delas aparece em V.G., neste plano.

Para as retas do 1o e 2o Grupos esta

perpendicularidade é vista em um dos planos

principais. No caso de duas retas quaisquer, a

perpendicularidade deverá ser determinada onde

encontrarmos a V.G. de pelo menos uma das retas,

isto poderá ser determinado no P.A.1.

Índice Índice Geral

POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO

o

Y

Z PV

PH X

RETAS PERPENDICULARES

o

Y

Z PV

PH X

d

b'

b

d'

c

c'

a

a'

e'

e

a

b'

b

c'

c d

a'

d'

e'

e

e1

VG

Índice Índice Geral

POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO

Duas retas são paralelas quando suas projeções

de mesmo nome sobre pelo menos dois planos

são paralelas. Com exceção as retas de perfil, que

necessita da projeção no plano de perfil.

RETAS PARALELAS

Índice Índice Geral

Um ponto pertence a uma reta, quando as

projeções desse ponto estão sobre as projeções de

mesmo nome da reta, isto é, a projeção horizontal

do ponto sobre a projeção horizontal da reta, a

projeção vertical do ponto sobre a projeção vertical

da reta e a projeção de perfil do ponto sobre a

projeção de perfil da reta.

PERTINÊNCIA PONTO E RETA

Índice Índice Geral

Y

o

Z

Y X

PV

PH

PP b''

a'' a'

b'

c' c''

b a c

PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA

o

Z

Y X

PV

PH

PP

b'

a' a''

b''

a

b

c

c'' c'

Y

b''

o

Z

Y X

PV

PH

PP

a

b

a'' b' a'

c

c'' c'

Y

Índice Índice Geral

ESTUDO DO PLANO

Estudo do Plano

Elementos que definem um Plano

Identificação dos Planos

Propriedades: Planos do Primeiro Grupo

Propriedades: Planos do Segundo Grupo

Propriedades: Planos do Terceiro Grupo

Índice Geral

Índice Índice Geral

ESTUDO DO PLANO

Plano, também chamado de superfície, é uma extensão expressa em duas dimensões: Comprimento e Largura. A superfície plana (Plano) é uma superfície tal que toda reta que une dois quaisquer de seus pontos, está inteiramente compreendida nesta superfície. Sabemos que: um plano pode ser definido por três ou mais pontos não alinhados (Coplanares), por duas retas paralelas, por duas retas concorrentes ou ainda, por uma reta e um ponto não pertencente a esta.

O plano pode ser: Ilimitado e Limitado

O plano Ilimitado é imensurável

O limite do plano é a linha, assim podemos

distinguir linhas retas e curvas.

Os planos limitados por linhas retas (lados), são chamados de polígonos. Já os planos limitados por linhas curvas, tem denominação própria, como sejam, círculo, circunferência, elipse, etc...

ESTUDO DO PLANO

Índice Índice Geral

ESTUDO DO PLANO Elementos que definem um plano:

o

Y

Z PV

PH X

o

Y

Z PV

PH X

o

Y

Z PV

PH X

o

Y

Z PV

PH X

c

c'

a

a'

b

b'

d

d'

c

c'

b

b'

a

a'

c

c'

a

a' d'

d

b'

b

a'

a

b'

b c

c'

Três Pontos não Alinhados

Duas Retas Paralelas

Duas Retas

Concorrentes

Uma Reta e

Um Ponto

Índice Índice Geral

ESTUDO DO PLANO

IDENTIFICAÇÃO DOS PLANOS

1. Ao PH - Plano Vertical

Planos do 2o GRUPO 2. Ao PV - Plano de Topo

3. Ao PP - Plano de Rampa

Planos do 1o GRUPO

1. Ao PH - Plano Horizontal

2. Ao PV - Plano Frontal

3. Ao PP - Plano de Perfil

1. Ao PV, PH e PP - Plano Qualquer Planos do 3o GRUPO

Índice Índice Geral

ESTUDO DO PLANO

PROPRIEDADES:

Planos do 1o Grupo: São Planos paralelos a um dos

planos principais de projeção, neste plano é

mostrada a sua V.G., as projeções nos outros

planos são perpendiculares e são chamadas de

projeções lineares.

• Plano Horizontal paralelo ao Plano Horizontal

• Plano Frontal paralelo ao Plano Vertical

• Plano de Perfil paralelo ao Plano de Perfil

Índice Índice Geral

Y

PH

PP

X

Z

PV

PLANOS DO 1O GRUPO: PARALELO A UM DOS

PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO HORIZONTAL

b'' a'

a

b'

b

c'

c

c'' a''

Y

Y X

PV

PH

PP

Z

PLANO HORIZONTAL

b''

c

A a'

b' c'

a'' c''

b

B C

a

VG

VG

Índice Índice Geral

Y

PH

PP

X

Z

PV f'

f

Y

Y X

PV

PH

PP

Z

PLANO FRONTAL

e''

d'' f'' d'

d

e'

e

PLANOS DO 1O GRUPO: PARALELO A UM DOS

PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO VERTICAL

d'' f''

e'

f'

d'

d

e

E

f

F

D

e'

VG

VG

Índice Índice Geral

Y

PH

PP

X

Z

PV

g''

h'' i'' h'

Y

Y X

PV

PH

PP

Z

PLANO DE PERFIL

h

g

i

g'

i'

PLANOS DO 1O GRUPO: PARALELO A UM DOS

PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO DE PERFIL

g''

h'' i'' g'

h' i'

h g i

G

I H

VG VG

Índice Índice Geral

Y

PH

PP

X

Z

PV

A a'

b' c'

a'' c'' b''

b c

B C

a

VG

PLANOS PARALELOS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO

PLANO HORIZONTAL PLANO FRONTAL PLANO DE PERFIL

Y

PH

PP

X

Z

PV

d''

e'

f'

d' e

E

f

F

D

VG

f''

d

X PV PP

Y

Y

Z

PH o

a' b' c' c'' b''

a

b

c

a''

VG

Y

Y

X

Z

PV

PH

PP

o

g''

h'' i''

g'

h' i'

i

g

h

VG

Y

PH

PP

X

Z

PV

g''

h'' i'' g'

h' i'

h g i

G

I H

VG

f

Y

Y

X

Z

PV

PH

PP o

e''

d'' f''

e'

f' d'

d e

VG

Índice Índice Geral

ESTUDO DO PLANO

PROPRIEDADES:

Planos do 2o Grupo: São Planos perpendiculares a

um dos planos principais de projeção, neste plano é

mostrada a sua projeção linear, as projeções nos

outros planos são oblíquas e são chamadas de

projeções reduzidas.

• Plano Vertical perpendicular ao Plano Horizontal

• Plano de Topo perpendicular ao Plano Vertical

• Plano de Rampa perpendicular ao Plano de Perfil

Índice Índice Geral

Y

PH

PP

X

Z

PV

c'

a' b'

c

A

b

b

c''

B

a''

b''

C

c'

a'

a

c''

a''

b''

b

Y

Y X

PV

PH

PP

Z

PLANO VERTICAL

b'

PLANOS DO 2O GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS

PLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO HORIZONTAL

c

Índice Índice Geral

Y

PH

PP

X

Z

PV

a'

c' b'

a

c''

a''

b''

b

Y

Y X

PV

PH

PP

Z

PLANO DE TOPO

c'

a'

b'

c''

A

b c

B

a''

b''

C a

c

PLANOS DO 2O GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS

PLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO VERTICAL

Índice Índice Geral

Y

PH

PP

X

Z

PV c'

a'

b'

c

a

b'' c''

a''

b

Y

Y X

PV

PH

PP

Z

PLANO DE RAMPA

c'

a'

b'

c

A

a

c''

B

a''

b''

C b

PLANOS DO 2O GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS

PLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO DE PERFIL

Índice Índice Geral

PLANOS PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO

PLANO VERTICAL PLANO DE TOPO PLANO DE RAMPA

Y

PH

PP

X

Z

PV

c'

a' b'

c

A

b

b

c''

B

a''

b''

C

Y

Y

X

Z

PV

PH

PP

o

c'

a'

b'

c

a

c''

a''

b''

b

Y

Y

X

Z

PV

PH

PP o

c'

a'

b'

c a

c''

a''

b''

b

X PV PP

Y

Y

Z

PH o

c'

a'

b'

c

a

c''

a''

b''

b

Y

PH

PP

X

Z

PV

c'

a'

b'

c

A

b c

B

a''

b''

C a Y

PH

PP

X

Z

PV

c'

a'

b'

c

A

a

c''

B

a''

b''

C b

Índice Índice Geral

ESTUDO DO PLANO

PROPRIEDADES:

Planos do 3o Grupo: São Planos oblíquos aos três

planos principais de projeção, nestes planos não

apresentam projeção em V.G. nem projeção linear e

sim projeções reduzidas sobre os três planos.

• Plano Qualquer, oblíquo aos três Planos Principais

de projeção

Índice Índice Geral

Y

PH

PP

X

Z

PV

Y

Y X

PV

PH

PP

Z

a'

c' b'

a

c''

a''

b''

b

PLANO QUALQUER

c

PLANOS DO 3O GRUPO: OBLÍQUOS AOS TRÊS

PLANOS DE PROJEÇÃO – PH, PV e PP

a''

c'

a'

b

c

b''

a

b'

A

c''

B

C

c

Índice Índice Geral