Curso de Física Módulo VI Prof. Adivaldo
Gravitação Universal prof. Adivaldo 1
Gravitação Universal
1. Introdução. A gênese da teoria
Vários fatores e a conjugação de todos
eles tornou possível a elaboração, por Newton da
teoria da gravitação universal.
Vejamos:
Em primeiro lugar, desde Galileu, sabia-
se como fazer pergunta a natureza, e que
tipo de perguntas era relevante. Sabia-se,
se não explicitamente; pelo menos
operacionalmente, construir modelos.
Novos instrumentos matemáticos (o
cálculo diferencial e integral) nasciam com
o próprio Newton e com Leibniz.
Havia enunciadas por Newton, definições
e leis que construíam uma doutrina
coerente do movimento relacionado com
as causas (forças) das suas mudanças
(acelerações).
Na Inglaterra, na Itália e na França
sociedades científicas se formavam: a mais
célebre era a Royal Society, em Londres.
Nessas sociedades homens de ciência
reuniam-se para discutir os problemas que
desde Aristóteles atormentavam os
estúdios: movimentos dos objetos celestes,
Geocentrismos versus Heliocentrismos...
Assunto aos quais se somavam as recentes
descobertas de Kepler e de Galileu.
Finalmente, graças aos esforços daqueles
homens, entre os quais se encontravam físicos
(Newton, Hooke, Wallis,...) e astrônomos
(Halley,...) a física e a astronomia, separadas
desde Ptolomeu iriam juntar-se de novo. Essa
teoria iria finalmente dar as respostas aos
problemas sobre os quais havia dois mil anos
tropeçava o pensamento científico do mundo
ocidental.
2. Leis Cinemáticas da Gravitação
2.1 Primeira lei de Kepler.
Os planetas giram em torno do sol em
orbitas elípticas com o sol ocupando um dos
focos.
sol
vF2F1
Planeta eixo menor
b
eixo maior
a
2a
c
rmina
rmax
2b
Excentricidade
Definição:
e =ca
a2=b
2+c
2a
2 = b
2 + a
2e
2
2.2 Segunda lei de Kepler:
O raio vetor que liga o sol ao planeta
varre áreas iguais em tempos iguais
A
B
D
C
Planetav1
v2
A1A2 Dt1Dt2
sol
Como Dt2Dt1= Temos A1 A2=
De acordo com a segunda lei de Kepler, o arco
CD é maior do que o arco AB então:
CD > AB → V2.Dt > V1 DT → V2 > V1
No caso do planeta terra a velocidade no afélio é 29 km/s e no periélio e 30 Km/s
aproximadamente.
Quando o planeta sai do afélio e se
direciona ao periélio sua velocidade aumenta,
sua energia cinética aumenta e sua energia
potencial diminui.
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Afélio
v
sol
Planeta
periélio
Quando o planeta sai do periélio e se
direciona ao afélio sua velocidade diminui, sua
energia cinética diminui e sua energia potencial
aumenta.
Afélio
v
sol
Planeta
periélio
2.3 Terceira lei de Kepler.
Após um período de quatorze anos do
lançamento das duas primeiras leis, Kepler
lançou sua terceira lei que trata do intervalo de
tempo gasto para o planeta executar uma volta
em torno (período) e do raio da órbita. Depois de
analisar cuidadosamente os dados de seu mestre
Tycho Brahe Kepler concluiu:
O quadrado do período de revolução
do planeta em torno do sol é diretamente
proporcional ao cubo do raio médio de sua
órbita.
sol
rmin rmax
planeta
r semi-eixo maior
r
É necessário que a relação acima seja usada
quando o corpo central for o mesmo, por
Exemplo:
r1
r2
M
m1
m2
V2
V1
Aplicando a terceira lei de Kepler ao sistema de
corpos acima temos:
Já para os sistemas abaixo não vale o resultado
encontrado por Kepler, ou seja.
r1M1
m1
V1
r2
m2
V2
M2
2. Newton e a lei da Gravitação
Universal.
Origem da força
Isaac Newton nasceu em 1642 no dia de
natal, filho póstumo de um fazendeiro teve de
custear seus estudos trabalhando e foi graças à
ajuda de um tio que conseguiu entrar em
Cambridge Em 1661. Quatro anos depois em
1665 bacharelou-se e encorajado pelo seu
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professor Isaac Barrow permaneceu em
Cambridge.
No verão de 1665 a peste se alastrou
rapidamente por Londres dizimando cerca de
70000 pessoas, a universidade fechou e Newton
refugiou-se em Woolshorpe entre 1665 e 1666
produziu vários trabalhos entre os quais
destacamos. Achou o binômio de Newton e a
serie binomial, a formula de interpolação de
Newton, o calculo diferencial, o calculo integral,
a teoria das cores e a partir da 3ª lei de Kepler
deduziu que as forças que mantem os planetas
em suas órbitas varia inversamente com o
quadrado de suas distâncias aos centros em torno
dos quais giram. Todos esses resultados foram
obtidos por Newton em sua fazenda, entre 23 e
24 anos de idade.
2.1 3ª lei de Kepler e as órbitas
circulares:
Em primeira aproximação, admitamos
que os planetas tenham órbitas circulares:
r
r
r =r
r
Sol
P
FF
m
r vetor unitário
vetor posição
r
Como a 2ª lei de Kepler em orbitas
circulares implica que o movimento é uniforme,
podemos delinear todo o raciocínio de Newton
de forma bem simples vejamos:
A aceleração centrípeta no movimento
circular uniforme é dado por:
( )
(
)
A força sobre o planeta é dado pela segunda lei
de Newton
Pela terceira lei de Kepler temos:
A equação abaixo foi o resultado anunciado por
Newton
A força sobre um corpo em orbita em torno
do sol é inversamente proporcional ao inverso
do quadrado da distancia entre eles.
2.2 A maça e lua
Newton quer agora saber se a força que
mantém os planetas nas suas órbitas
presumivelmente a lua na sua órbita, é a
“mesma” força que atrai os corpos na superfície
da terra.
Se a força for a mesma (entendendo-se
de mesma natureza), então a aceleração da lua na
sua órbita e a aceleração de um corpo que cai na
superfície da terra devem estar entre si na razão
inversa dos quadrados das respectivas distâncias
da lua ao centro da terra e do corpo ao centro da
terra.
A aceleração da gravidade da maçã na
superfície da terra como de qualquer outro corpo
em queda sem nenhuma resistência já era
conhecida desde Galileu e vale:
am=g=9,8m/s2
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Em se tratando da aceleração da lua na sua órbita
temos:
Substituindo o raio da órbita da lua que já
era conhecido desde Hiparco de rodes, veja mais
abaixo, e o tempo para ela dar uma volta em
torno da terra temos:
( )
( )
⁄
Calculando o raio da terra:
Erastóstenes século III A.C
R
Ds
q
A
B
q
As cidades A e B indicadas na figura acima são
respectivamente Alexandria e Siene, atual
Aswan no Egito. O dia escolhido por
Erastóstenes foi ao solstício de verão (dias mais
longo do ano). O valor de q é igual a 7,2o
ângulo formado com a vertical do lugar.
Conhecendo a distância D entre as duas cidades
temos:
q D
D
q
Calculando a distância terra lua
Hiparco de rodes 130 A.C
Hiparco baseou-se em observações da
duração de um eclipse total da lua. Essa duração
é o tempo decorrido entre a entrada (em A) e a
saída (em B) da lua no cone de sombra projetado
pela terra veja figura abaixo.
Lua
A
B
Sol
Terra
a qRL
RT
La
a/2
a/2
Hiparco conclui que q=2,5a aproximadamente,
sendo a
Como RL é bem maior que o raio da terra
podemos fazer a seguinte aproximação:
2RTa
L+ RL
A
B
x
RL
q
( )
( )
( a ) a
a
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Há consequentemente fortes indícios de
que “a gravidade (terrestre) se estenda até a
órbita da lua” ou ainda, como Galileu o tinha
pressentido que a física terrestre se aplica
também aos “céus”, ou pelo menos, ao sistema
solar.
r
Sol
P
FF
m
M
Pela segunda lei de Newton temos:
F M eq: 2
Combinando as equações 1 e 2 temos
Na forma vetorial
0r1
r2
r12
F12
F21
m1
m2
Ù
r12
r12
Então temos:
3. O Campo Gravitacional
Um procedimento experimental para
medirmos o campo gravitacional em um dado
ponto do espaço deve obedecer as seguintes
etapas:
1. Utilizamos um corpo de prova (massa m)
2. Abandonamos a massa m no campo
gravitacional.
3. A aceleração adquirida pela massa m num
dado ponto do campo é igual em modulo direção
e sentido ao campo gravitacional nesse mesmo
ponto.
g
g
g
g
g
Fm
Definição:
=Fm kg
N
M
Antes do conceito de campo se tornar
largamente aceito, imaginava-se que a força que
atua entre corpos que gravitam fosse uma
interação direta e instantânea. Esse modelo,
chamado de ação à distância, foi usado também
para descrever as forças eletromagnéticas. No
caso da gravitação, ele pode ser representado
esquematicamente como:
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⏟ ( )
⏟ ( )
Indicando que as duas massas interagem
diretamente uma com a outra de acordo com este
modelo, o efeito do movimento de um corpo é
instantaneamente transmitido ao outro corpo.
Esta interpretação viola teoria da relatividade
especial. Uma interpretação mais moderna
baseada no conceito de campo e que atualmente
é parte essencial da teoria da relatividade geral,
pode ser representada na forma:
⏟ ( )
⏟ ( )
Onde uma massa não interage
diretamente com a outra, mas M gera um campo
gravitacional que interage com m aplicando nela
uma força F, por sua vez m gera seu campo
gravitacional que interage com M aplicando nela
uma força F, veja.
M
m
-F
FF=mgM
F=Mgm
De modo que podemos interpretar o
campo gravitacional como uma entidade que
desempenha o papel de mediador nas
interações entre massas.
As mudanças na localização de uma das
massas causam alterações no seu campo
gravitacional; essas variações no campo se
transmitem à velocidade da luz, de modo que o
conceito de campo é compatível om as restrições
impostas pela relatividade especial.
Especula-se que a atração gravitacional,
ocorre através da troca de partículas, os
grávitons. Entretanto, diferentemente do caso
elétrico, no caso gravitacional ainda não foi
possível verificar experimentalmente esta
suposição. Os grávitons foram postulados em
virtude do grande sucesso da teoria quântica em
descrever o comportamento de todas as demais
forças conhecidas na natureza, como
transmitidas por partículas elementares. O
gráviton se existir, deve ser um bóson de spin
igual a 2 e deve ter uma massa de repouso igual
a zero.
5. Campo Gravitacional de uma Massa
Puntiforme
A força gravitacional entre duas massa
puntiformes é expressa por:
M
m
F
r
r
O campo gravitacional de M sobre m é
dado por:
Para uma distribuição continua de massa m
temos:
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v
r
r
r’
m
dv’
( )
( )
∫ ∫
∫ ( )
Em módulo:
∫
∫
( )
Exemplo 01.
Uma barra uniforme de massa M e comprimento
L é centrada na origem e apoia-se ao longo do
eixo x. Determine o campo gravitacional devido
a barra em todos os pontos do eixo x para x >
L/2.
Solução:
L/2-L/2dg
dm
dx’ r
x
x’
0 x
∫ ∫
∫
∫
∫
⁄
∫
( )
∫
( )
∫
[
]
[
( )
( )
]
[
(
)
[ ( )
]
]
( )
Caso tenhamos x>>L temos:
(
)
Campo de uma massa puntiforme
6. Campo Gravitacional de uma casa
esférica e de uma esfera maciça.
I. Casca esférica pontos internos e
externos
Vamos agora obter o campo gravitacional
de uma casca esférica em duas etapas:
1. Calcula-se o campo gravitacional sobre o
eixo de um anel de massa uniforme.
2. Aplica-se o resultado a uma casca
esférica
a
dg.cos(a)
dgs
r
R
dm
dg.sen(a)
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Devido à simetria na distribuição de massa no
anel as componentes verticais se anulam
restando somente as componentes horizontais
que somadas dão o campo resultante ao longo do
eixo do anel.
∫ (a) ∫
(a)
(a)
Agora vamos aplicar esse resultado na
casca esférica de massa M e raio R. Primeiro
construímos um anel ao longo da superfície da
esfera e aplicamos o resultado encontrado no
anel de massa conforme figura acima.
s
r
aq
R
dm
dq
Rdq
dg
Podemos escrever um diferencial de campo de
gravidade produzido pelo elemento anelar de
massa dm conforme equação abaixo.
(a)
sabendo que a distribuição de massa na casca
esferica é uniforme e usando o conceito de
densidade superficial de massa podemos
escrever.
Destacando o triguangulo retangulo de lados R, s
e r temos:
s
r
aq
R
Rsen(q)
Rsen(q)
Raio do anel
anel
Calculando a área do elemento de área anelar
vem.
Rdq2 Rsen(q)
(q) q
Substituindo o elemento de área na equação
anterior temos:
(q) q
(q) q
(q) q
∫ ∫
(a)
∫
(q) q
(a)
∫
(q) q
(a)
lei dos cossenos no triângulo de lados R, s e r
temos:
(q)
Como r e R permanecem constante para
qualquer posição do elemento de área s é função
apenas de q. Então diferenciando a equação
acima temos:
2sds=2rRsen(q)dq
lei dos cossenos no triângulo de lados R, s e r
temos:
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(a)
(a) ( )
Substituindo os resultados acima na
integral de g temos:
∫
(q) q
(a)
∫
( )
∫
( )
∫
( )
∫[
( )
]
vejamos no triângulo de lados R, r e s acima os
limites de integração:
s
r
q=0o
R
S=r-R
s
r
q=180o
R
S=r+R
∫ [
( )( )
]
[
( )( )
]
[( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )]
[( ) ( ) ( )
( )]
[ ]
Consideremos um ponto p no interior da casca
esférica r < R.
r
q
R
dM
dq
Rdq
p
Isolando o triangulo de lados R, s e r interno a
esfera temos:
s
a
R
r
q p
Rsen(q)
Raio do anel
R
Vejamos no triângulo de lados R, r e s acima os
limites de integração:
s
R
q=0o
r
S=R-r
s
r
q=180o
R
S=R+r
p
p
R
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[
( )( )
]
[( ) ( ) ( )
( )]
[ ]
II. Campo de uma esfera maciça para r
< R.
Para calcular calcular o campo de
gravidade no interior de uma esfera (planeta) nos
iremos considerar uma distribuição de massa
uniforme e homegenea.
R
r
M’
M
Aplicando o conceito de densidade
absoluta de massa temos:
o campo de gravidade a uma distância r
do centro é dada por:
para 0< r < R
III. Campo de uma esfera maciça para
r > R.
1º Modo
Um dos problemas mais importantes da
teoria da gravitação universal está relacionada ao
cálculo da força gravitacional devido a uma
esfera homogênea.
A questão aqui é como deve ser o campo
gravitacional fora de uma esfera homogênea de
raio R responsável pela força gravitacional.
Vejamos:
q
dq
r
sr’
R
dr’
pa
dg.cos(a)
dg dg.sen(a)
O campo de gravidade produzido pelo
elemento de massa em p conforme figura acima
é dado por:
Somando os dg sobre todo o volume esférico e
sabendo que por simetria as componentes
verticais se cancelam temos:
∫ (a) ∫
(a)
aplicando o conceito de densidade
absoluta de massa temos:
( )
( )
o elemento de volume dv’ em
coordenadas esféricas é dado por:
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Substituindo dm e dv’ em g acima temos:
∫ ∫ ( )
(a)
Assumindo a densidade constante temos:
∫
(a)
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo abaixo
temos:
r
sr’
qa
(q)
Diferenciando a equação acima para um
dado r’ temos:
(q) q
(q) q
Calculando o cosseno de a veja figura
acima tem-se.
(a)
(a) ( )
Substituindo os resultados acima na integral de g
e integrando inicialmente em tem-se:
∫
( )
∫ ∫
( )
∫ ∫
( )
s
r
q=0o
r’
S=r-r’
s
r
q=180o
r’
S=r+r’
∫
∫ [ ( )
]
∫
[ ( )
]
∫
[( ) ( )
( )
( ) ( )
( )]
∫
[( ) ( ) ( )
( )]
∫
∫
[
]
2º Modo
Um dos problemas importantes da teoria
da gravitação universal está relacionada ao
cálculo da força gravitacional devido a esfera
homogênea. A questão é qual é o campo
gravitacional fora de uma esfera homogênea de
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raio R responsável pela força gravitacional.
Vejamos:
q
dq
r
sr’
R
dr’
pa
dg.cos(a)
dg dg.sen(a)
O campo de gravidade produzido pelo
elemento de massa em p conforme figura acima
é dado por:
Somando os dg sobre todo o volume esférico e
sabendo que por simetria as componentes
verticais se cancelam temos:
∫ (a) ∫
(a)
aplicando o conceito de densidade
absoluta de massa temos:
( )
( )
o elemento de volume dv’ em
coordenadas esféricas é dado por:
Substituindo dm e dv’ em g acima temos:
∫ ∫ ( )
(a)
Assumindo a densidade constante temos:
∫
(a)
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo abaixo
temos:
r
sr’
qar-r’cos(q)
(q)
Calculando o cosseno de a veja figura
acima temos.
(a) ( )
Substituindo os resultados acima na integral de g
e integrando inicialmente em temos:
∫ ( )
∫ ∫ ( )
[ (q)]
calculando a derivada de cos(q) temos:
[ (q)] (q) q
Substituindo na integral acima temos:
∫ ∫( ) [ (q)]
[ (q)]
derivando s em r temos:
[ ]
[ (q)]
[ (q)]
[ (q)]
( )
[ (q)] ( )
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( )
[ (q)]
Podemos então substituir esse resultado na
integral abaixo:
∫ ∫( ) [ (q)]
[ (q)]
∫ ∫
[
(q)]
[ (q)]
calculando a integral em d[ (q)]
∫
[ (q)]
[ (q)]
Usando substituição temos:
(q)
[ (q)] [ (q)]
Substituindo na itegral temos:
[∫
[ ]
[
] ] [
] [
]
Aplicando a derivada em r temos:
[∫
[ ]
[
] ]
[
]
[[ (q)]
]
[[ ]
[ ] ]
[[( ) ]
[( ) ]
]
[( ) ( )]
(
)
(
)
(
)
Voltando a integral de g temos:
∫
[
]
O gràfico de g em função da distância desde do
centro da esfera ate o exterior da esfera é
apresentado abaixo.
M
R2
g
r
G M
r2
Para r > R
0
G
M r
R3
G
R
O resultado anterior vale para o planeta
terra desde que ela seja considera esférica
homogênea e sem rotação.
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Equador
G M
RT2
S
N polos
F
F=mg força gravitacional
ou força peso
RT
RT
gE = gp =
Considerando o achatamento dos polos temos:
E
S
NP
Rp
RE
RE < Rp Þ gE < gp
OL
Plano equatorial
7. Força entre uma massa puntiforme e
uma camada esférica
Observando a figura abaixo e sabendo
que F=mg tme-se.
R
m
Casca
esférica
espessura da Casca
MF
r
F
GmM
R2
R
e(espessura)<<R
8. Força entre uma massa puntiforme e
uma esférica maciça.
Observando a figura abaixo e
sabendo que F=mg tem-se.
R
m
Esfera
maciça
M
F
F
M
R2
F
r
G M
r2
Para r > R
0
G
R
m
M
R3
Gm r
m
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9. Variação de g com a latitude devido
a rotação da terra.
Considere então a terra girando em torno
do eixo polar com velocidade constante.
Novamente faremos toda analise trantando a
terra com forma esférica.
A
F F’
FCF
R
r
N
S
(180-q)q
FC m
r ® raio da circunferência
descrita pelo objeto A.
FCP=m2RCos(q)
Força centrípeta (R.I)
r = RCos(q)
q
No sistema de referência da terra, ou seja,
referencial não inercial o corpo m está em
repouso então a força centrípeta é igual à força
centrífuga.
FCP = FCF = m2Rcos(q)
F F’
FCF
(180-q)q
m
F’ ® força gravitacional aparente ou peso
aparente
F=mg ® força gravitacional e g aceleração da
gravidade
F’=mg’ ® força gravitacional aparente e g’
gravidade aparente
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo
acima temos:
( )
( ) ( ) [ ( )]
( ) ( )
q
q
q q
( q
q
)
√( ( ( )
)
q
)
Considerando os valores temos:
Substituindo em ( )
nós obtemos:
( )
(
)
( ( )
)
(
)
√( q
)
( q
)
Aplicando a expansão binomial temos:
(
q
)
( q
)
q
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Nos polos da terra q temos:
No equador da terra q temos:
10. Energia potencial
10.1- Partícula sob a ação de uma força que
varia com 1/r2.
Suponhamos, então que uma partícula
(um satélite artificial, por exemplo), se desloca
de A(r1) até B(r2).
Pergunta:
Como varia a energia potencial do
sistema. Para responder esta pergunta
apliquemos a definição de trabalho conforme
figura abaixo.
Terra
M
A
B
rF
r2
r1
dsm
^ r
O trabalho diferencial é:
A força gravitacional entre as massas na posição
veja figura acima é dada por:
Observando a figura a seguir podemos
escrever:
r
F
ds
drdrt
Fazendo o produto escalar de
[ ]
Como ( ) são perpendiculares o
produto escalar é igual a zero então:
Pois apresentam mesma direção e
sentido.
Em sistemas conservativos podemos
escrever.
Na forma diferencial temos:
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∫
∫
[
]
[
]
[
]
A variação da energia potencial do
sistema somente depende da configuração inicial
(r1) e da configuração final (r2). Não depende,
portanto, do caminho seguido pela partícula
entre essas duas posições.
Fazendo
[
]
Adotando r2 = 0 e tem-se:
Energia potencial do sistema em relação
ao infinito.
Forma alternativa apresentada no
ensino médio
Vamos calcular o trabalho da força
gravitacional para deslocar uma partícula a partir
da superfície da terra até uma distancia r do
centro da terra.
m
M
R
m
M
r
(r-R)
F
F =G m M
r2
Como temos um problema de força
variável é necessário utilizar método auxiliar que
consta em dividir a distância (r-R) em partes
extremamente pequenas veja figura abaixo.
(r-R)
Rr1
r2
r3
r4
r5
r6
r7
M
m
M
m
A BF
r1
r
r2
d
d = r2 - r1
Como d é muito pequeno r1 e r2 estão tão
próximos que podemos calcular a força média
como a média aritmética das forças
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gravitacionais nas posições r1 e r2, veja gráfico
abaixo.
F
rr1 r2
F1
F2 F =F1 + F2
2
Após calcularmos a força media em cada
intervalo, o passo seguinte é calcular então o
trabalho realizado em cada intervalo e depois
somamos todos os trabalhos para obter o
trabalho total. Vejamos:
Calculando a força média temos:
(
)
Sabendo que d é muito pequeno podemos fazer
( )
Elevando ao quadrado temos
( )
(
)
Calculando o trabalho em cada intervalo
temos:
Primeiro intervalo de R a temos
( )
(
)
( ) (
)
Segundo intervalo de temos
( )
(
)
( ) (
)
Terceiro intervalo temos
( )
(
)
( ) (
)
No enésimo intervalo temos
(
)
Somando os trabalhos em todos os intervalos
temos
(
)
(
)
Como sabemos que
( )
( ) (
)
(
)
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O gráfico da variação da energia
potencial gravitacional é medida a partir da
superfície da terra é apresentada na figura
abaixo.
(
)
R 2R
DU
h
mgR
mgR
GmM2R=
20
Terra
h=(r-R)
r
Caso temos (próximo à
superfície da terra)
(
) [
( )
]
[( )
]
Substituindo em temos
Observe que próximo a superfície da
terra pode ser calculado usando qualquer
uma das duas equações.
Falha para grandes distâncias,
devendo, podendo ser usada à equação a seguir
(
)
Igualando termo a termo na equação abaixo
temos
( ) [(
) (
)]
As duas equações acima nos permite
calcular a energia potencial gravitacional
armazenada pela a terra e uma massa puntiforme
para qual distância elas.
A variação da energia potencial entre r e
infinito é dada por:
rr¥
M
Terra
m
.
( ) [(
) (
)]
( ) [(
) ]
A expressão acima calcula a energia potencial
em uma posição r qualquer em relação ao
infinito. O gráfico abaixo mostra como a energia
potencial gravitacional varia para pontos
externos ao planeta terra.
U(r)
GmMR
-
R
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Força entre uma casca esférica e uma
massa puntiforme.
Vamos agora obter a energia potencial
gravitacional entre uma casca esférica e uma
massa puntiforme em duas etapas:
1. Calcula-se a energia potencial entre um
anel de massa uniforme M e uma massa
puntiforme m localizada no eixo do anel.
2. Aplica-se o resultado anterior para uma
casca esférica e uma massa puntiforme
localizada ao longo do seu diâmetro, veja
figura.
s
r
R
dm
m
Integrando a expressão acima ao longo
do anel e observando a simetria na distribuição
de massa no anel e que a distância s permanece
constante podendo escrever.
∫
∫
Agora vamos aplicar esse resultado na
casca esférica de massa M e raio R. Primeiro
construímos um diferencial de anel ao longo da
superfície da esfera e aplicamos o resultado
encontrado entre o diferencial de massa e a
massa puntiforme conforme figura abaixo.
sr
qR
dMdq
m
0
Rdq
Retificando o anel de massa e calculando sua
área temos
Rdq2 Rsen(q)
(q) q
Usando o conceito de densidade superficial de
massa temos
(q) q
(q) q
(q) q
∫ ∫
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∫
(q) q
∫
(q) q
aplicando a lei dos cossenos no triângulo de
lados R, s e r figura abiaxo temos:
(q)
s
r
qR
dq
m
0
Rsen(q)
Rsen(q) raio do anel
Rdq
Como r e R permanecem constante para
qualquer posição do elemento de área, s é função
apenas de q. Então diferenciando a equação
acima temos:
[ (q) q]
(q) q
Substituindo os resultados acima na
integral de u temos:
∫
∫
vejamos no triângulo de lados R, r e s acima os
limites de integração:
s
r
q=0o
R
S=r-R
s
r
q=180o
R
S=r+R
∫
( ) |
[( ) ( )]
Consideremos uma massa m no interior da casca
esférica r < R, veja figura abaixo.
r
q
R
dM
dq
Rdq
m
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Isolando o triangulo de lados R, s e r interno a
casca esférica temos:
sR
r
q p
Rsen(q)
Raio do anel
R
Vejamos no triângulo de lados R, r e s acima os
limites de integração:
s
R
q=0o
r
S=R-r
s
r
q=180o
R
S=R+r
p
p
R
Observe que a situação é completamente igual
quando a massa m estar do lado de fora, a menos
dos limites de integração. Portanto a integral é a
mesma
∫
( ) |
[( ) ( )]
[ ]
O resultado acima mostra que dentro da casca a
energia potencial entre a massa m e a casca
esférica permanece constante.
Os gráficos da energia potencial em
função da distância até o centro é representado
abaixo considerando uma espessura pequena
comparada com o raio e depois com a espessura
tendendo a zero, vejamos.
r
G m M
R-
0
RPara e<<R
U =G m M
r-
U(r)
r
G m M
R
0
R
U =G m M
r-
e ® 0
-
U(r)
Para calcular a força entre a casca
esférica e a massa m, apliquemos a derivada de u
em relação à r, vejamos.
{
Representando graficamente os resultados
anteriores temos:
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F
R
e
r
G m M
R2
-
0
R
Para e<<R
F=0
F =G m M
r2
-
Para uma espessura tendendo a zero temos:
F
r
G m M
R2
-
0
R
F=0
F =G m M
r2
-
e ® 0
Força entre uma massa puntiforme e
uma esfera solida
Conforme vimos anteriormente a energia
potencial gravitacional entre uma esfera de
massa M e uma massa puntiforme de massa m é
dada por:
R
M
mr
Derivando a equação acima em r temos
Que é a força gravitacional entre M e m. esse
resultado simula a força entre um planeta
esférico massa M e um objeto de massa m.
Agora faremos análise de uma massa m
no interior da esfera sólida veja figura baixo.
Isso simula, por exemplo, uma pessoa dentro de
uma caverna contida no interior de um planeta.
Rm
M
r F
r
A força F é dada por:
Substituindo do campo de gravidade no interior
de uma esfera sólida temos.
A energia potencial gravitacional entre M e m
com m no interior da esfera é dada por
∫ ∫
( ) ( ) ∫
∫
( ) ( ) ∫
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( ) ( ) ∫
( ) ( )
∫
( ) ( )
|
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
Lançando os resultados acima nos
diagramas da energia potencial e da força F em
função da distância até o centro temos
r
G m M
R-
0
R
U(r) =G m M
r-
U(r)
Gm M
R-3
2 U(r) =G m M
R-
2
G m M
R3
+2
r2
3
0 £ r ³ R
r ³ R
F
r
G m M
R2
-
0
R
F=0
F =G m M
r2
-
F =G m M
R3
-r
Energia potencial de um sistema de
partículas.
m1
m2
m3
r12
r13
r23
( )
Para N partículas temos:
∑∑
∑∑
∑ ∑
∑
∑
Para uma distribuição contínua massa de
temos
M
dm
dm = rdv
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∑
∫
∫ ( ) ( )
∫ ( ) ( )
( )
Auto-energia graviatcional de uma
esfera.
A auto energia de uma corpo é definido
como o trabalho necessário para constui-lo a
partir de distâncias infinitas. A auto energia
gravitacional é usualmente necessária em
problemas estelares e galáticos.
Vamos considerar um corpo de densidade
uniforme r e esférico. Vamos construir a esfera
camada por camada, quando a esfera atingir um
raio r sua massa será veja figura abaixo:
m
r dr, dm
A energia de interação entre o caroço
esférico de raio r e uma camada infinitesimal dm
é dada por
( )
( )
∫
( )
|
( )
( )
(
)
( )
( )
A expressão acima mostra que a energia
potencial gravitacional armazenada em uma
estrela ou planeta é diretamente proporcional ao
quadrado da sua massa M e inversamente
proporcional ao raio seu R.
Para finalizar podemos fazer uma
aproximação quanto ao raio do elétron. O raio
clássico do elétron é dado por
De acordo com Einstein a energia de qualquer
partícula é dada por
Igualando as expressões temos:
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Substituindo os valores temos:
Problemas
1. Trace as superfícies equipotenciais e as linhas
de força para dois pontos de massa separados por
certa distância. A seguir, considere uma das
massas como tendo uma massa negativa fictícia
de -M. Trace as superfícies equipotenciais e as
linhas de força para esse caso. Para que tipo de
situação física este conjunto de equipotenciais e
linhas de campo se aplica? (Note que as linhas
de força têm direção; portanto, indique isso com
setas apropriadas).
2. Se o vetor campo gravitacional for
independente da distância radial em uma esfera,
descubra a função que descreve a densidade
r=r(r) da esfera.
3. Supondo que a resistência do ar não é
relevante, calcule a velocidade mínima que uma
partícula deve ter na superfície da Terra para
escapar do campo gravitacional da Terra.
Obtenha um valor numérico para o resultado.
(Essa velocidade é chamada de velocidade de
escape.)
4. Uma partícula em repouso é atraída em
direção a um centro de força de acordo com a
relação F = —mk2/x
3. Mostre que o tempo
necessário para a partícula atingir o centro de
força de uma distancia d é d2/k.
5. Uma partícula cai na Terra a partir do repouso
a uma grande altura (várias vezes o raio da
Terra). Desconsidere a resistência do ar e mostre
que a partícula requer aproximadamente
do
tempo total de queda para percorrer a primeira
metade da distância.
6. Calcule diretamente a força gravitacional em
uma unidade de massa em um ponto exterior a
uma esfera homogênea de matéria.
7. Calcule o potencial gravitacional devido a
uma barra fina de comprimento l e massa M a
uma distância R do centro da barra e em uma
direção perpendicular a ela.
8. Calcule o vetor campo gravitacional devido a
um cilindro homogêneo em pontos exteriores ao
eixo do cilindro.
a) faça os cálculos calculando diretamente a
força.
b) faça os cálculos calculando primeiro o
potencial.
9. Calcule o potencial devido a um anel circular
fino de raio a e massa M para os pontos no plano
do anel e exteriores a ele. O resultado pode ser
expresso como uma integral elíptica. Suponha
que a distância do centro do anel para o ponto do
campo é grande se comparada com o raio do
anel. Expanda a expressão para o potencial e
encontre o primeiro termo de correção.
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10. Encontre o potencial em pontos fora do eixo
devido a um anel circular de raio a e massa M.
Considere R como a distância do centro do anel
ao ponto de campo e q como o ângulo entre a
linha que conecta o centro do anel com o ponto
de campo e o eixo do anel. Suponha que
de forma que os termos de ordem (a/R)3 e
superior possam ser desconsiderados.
11. Considere um corpo maciço de formato
arbitrário e uma superfície esférica que seja
exterior ao corpo e não o contenha. Mostre que o
valor médio do potencial devido ao corpo
tomado pela superfície esférica é igual ao valor
do potencial no centro da esfera.
12. No problema anterior, considere que o corpo
maciço está dentro da superfície esférica. Agora,
mostre que o valor médio do potencial sobre a
superfície da esfera é igual ao valor do potencial
que existiria na superfície da esfera se toda a
massa do corpo estivesse concentrada no centro
da esfera.
13. Um planeta de densidade r1, (núcleo
esférico, raio R1) com uma nuvem de poeira
esférica espessa (densidade r2, raio R2) é
descoberto. Qual é a força na partícula de massa
m posicionada na nuvem de poeira?
14. Mostre que a autoenergia gravitacional
(energia de um conjunto por partes do infinito)
de uma esfera uniforme de massa M e raio R é
15. Uma partícula é jogada em um orifício feito
diretamente através do centro da Terra. Ao
desconsiderar efeitos de rotação, mostre que o
movimento da partícula é harmônico simples se
você pressupõe que a Terra possui densidade
uniforme. Mostre que o período de oscilação é
por volta de 84 min.
16. Uma esfera de massa uniformemente sólida
M e raio R é fixada a uma distância h acima de
uma folha fina infinita de densidade de massa σ
(massa/área). Com que força a esfera atrai a
folha?
17. O modelo de Newton de altura das marés,
utilizando os dois poços de água escavados no
centro da Terra, baseou-se no fato de que a
pressão na parte inferior dos poços deveria ser a
mesma. Suponha que a água é incompressível e
encontre a diferença de altura de marés h, devido
à Lua, utilizando esse modelo.
∫
∫
18. Mostre que a razão das alturas máximas das
marés devido à Lua e ao Sol é dada por
(
)
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e que esse valor é 2,2. REs é a distância entre o
Sol e a Terra e Ms é a massa do Sol.
19. A revolução orbital da Lua em torno da Terra
leva por volta de 27,3 dias e segue a mesma
direção da rotação da Terra (24 h). Utilize essa
informação para mostrar que as marés altas
ocorrem por todo lugar na Terra a cada 12 h e 26
min.
20. Um disco fino de massa M e raio R fica no
plano (x, y) com o eixo z passando por seu
centro. Calcule o potencial gravitacional (z) e o
campo gravitacional g(z) = - ( ) = -k ( )
no
eixo z .
21. Um ponto de massa m está localizado a uma
distância D da extremidade mais próxima de
uma barra fina de massa M e comprimento L ao
longo do eixo da barra. Encontre a força
gravitacional exercida na massa pontual pela
barra.
22. Fazemos uma cavidade esférica em uma bola
de chumbo de raio R , de tal modo que sua
superfície toca o exterior da esfera de chumbo,
passando também pelo seu centro. A massa da
esfera, antes de ser feita a cavidade, era M . Qual
a intensidade da força gravitacional com que a
esfera côncava atrairá uma pequena esfera de
massa m , que está a uma distância d do seu
centro, medida ao longo
23. Três cascas concêntricas de densidade
uniforme têm massa M1 (interna) e M2
(intermediária) M3 (externa) e estão distribuídas
como mostra a figura ao lado. Calcule a força
gravitacional sobre uma partícula de massa m
quando ela estiver em:
a
b
c
a) 0 < r < a
b) a < r < b
c) b < r < c
d) r >c
24. Um foguete é acelerado até uma velocidade
√ próximo à superfície da Terra (aqui
RT é o raio da Terra) e, então, orientado para
cima.
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V0
r¥
V¥
RT
a) Mostre que ele escapará da Terra.
b) Mostre que a sua velocidade, quando estiver
muito distante da Terra, será ¥ √
25. Uma esfera de massa M e raio a tem uma
cavidade concêntrica de raio b, como é mostrado
na figura à seguir.
ab
r m
M
a) Faça um esboço do gráfico da força
gravitacional F exercida pela esfera sobre uma
partícula de massa m a uma distância r do centro
da esfera, em função de r entre os limites 0 ≤ r ≥
¥. Considere em particular os pontos r = 0, b, a e
¥.
b) Esboce também o gráfico da energia potencial
gravitacional U(r) deste sistema
26. Um sistema particular de três estrelas é
formado por duas estrelas, cada uma de massa m,
em órbita ao redor de uma estrela central de
massa M, ocupando a mesma órbita circular de
raio r. As duas estrelas estão, sempre, uma em
cada extremo de um diâmetro da órbita. Deduza
uma expressão para o período orbital das estrelas
menores.
m
m
M
Exercícios
1. (ITA - 1980) Um foguete lançado
verticalmente, da superfície da Terra, atinge uma
altitude máxima igual a três vezes o raio R da
Terra. Calcular a velocidade inicial do foguete.
a) √
, onde M é a massa da Terra e G
constante gravitacional.
b) √
c) √
d) √
2. (ITA - 1988) Duas estrelas de massa m e 2m
respectivamente, separadas por uma distância d e
bastante afastadas de qualquer outra massa
considerável, executam movimentos circulares
em torno do centro de massa comum. Nestas
condições, o tempo T para uma revolução
completa, a velocidade v(2m) da estrela maior,
bem como a energia mínima W para separar
completamente as duas estrelas são:
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T V(2m) W
a)
√
√
b)
√
√
c)
√
√
d)
√
√
e)
√
√
3. (ITA - 1991) Considere um planeta cuja a
massa é o triplo da massa da Terra e seu raio, o
dobro do raio da Terra. Determine a relação
entre a velocidade de escape deste planeta e a da
Terra (vP/vT) e a relação entre a aceleração
gravitacional na superfície do planeta e da Terra
(gP/gT).
a)
√
b)
√
c)
√
d)
e
e)Nenhuma das anteriores
4. (ITA - 1999) Considere a Terra uma esfera
homogênea e que a aceleração da gravidade nos
pólos seja de 9,8 m/s2. O número pelo qual seria
preciso multiplicar a velocidade de rotação da
Terra de modo que o peso de uma pessoa no
Equador ficasse nulo é:
a)
b)
c) 3
d) 10
e) 17
5. (ITA - 1999) Suponha um cenário de ficção
científica em que a Terra é atingida por um
imenso meteoro. Em conseqüência do impacto,
somente o módulo da velocidade da Terra é
alterado, sendo V0 seu valor imediatamente após
o impacto, como mostra a figura abaixo. O
meteoro colide com a Terra exatamente na
posição onde a distância entre a Terra e o Sol é
mínima (distância AO = R na figura). Considere
a atração gravitacional exercida pelo Sol, tido
como referencial inercial, como a única força de
interação que atua sobre a Terra após a colisão, e
designe por M a massa do Sol e por G a
constante de gravitação universal. Considere
ainda que o momento angular da Terra seja
conservado, isto é, a quantidade de módulo m
sen ( ) permanece constante ao longo da
nova rajetória elíptica da Terra em torno do sol
(nessa expressão, m é a massa da Terra, r é o
módulo do vetor posição da Terra em relação ao
Sol, o módulo da velocidade da Terra e o
ângulo entre r e ). A distância (OB), do
apogeu ao centro do Sol, da trajetória que a
Terra passa a percorrer após o choque com o
meteoro, é dada pela relação:
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a) 0
G - 0
b) 0
G 0
c) sen
G 0
d) 0 sen
G - 0
e) R
6. (ITA - 2000). Uma casca esférica tem raio
interno R1, raio externo R2 e massa M distribuída
uniformemente. Uma massa puntiforme m está
localizada no interior dessa casca, a uma
distância d de seu centro ( R1 < d < R2). O
módulo da força gravitacional entre as massas é :
a) 0
b) GMm / d2
c) GMm / (R3- d
3)
d) GMm / (d3- R1
3)
e) GMm (d3- R1
3) / d
2 (R2
3- R1
3)
7. (ITA - 2000) O raio do horizonte de eventos
de um buraco negro corresponde à esfera dentro
da qual nada, nem mesmo luz, escapa da atração
gravitacional por ele exercida. Por coincidência,
esse raio pode ser calculado não
relativisticamente como o raio para o qual a
velocidade de escape é igual à velocidade da luz.
Qual deve ser o raio do horizonte de eventos de
um buraco negro com uma massa igual à massa
da Terra?
a) 9 m
b) 9 mm
c) 30 cm
d) 90 cm
e) 3 km
8. (ITA - 2004) Uma estrela mantém presos, por
meio de sua atração gravitacional, os planetas
Alfa, Beta e Gama. Todos descrevem órbitas
elípticas, em cujo foco comum se encontra a
estrela, conforme a primeira lei de Kepler. Sabe-
se que o semieixo maior da órbita de Beta é o
dobro daquele da órbita de Gama. Sabe-se
também que o período de Alfa é vezes maior
que o período de Beta. Nestas condições, pode-
se afirmar que a razão entre o período de Alfa e
o de Gama é:
a)
b) 2
c) 4
d) 4
e) 6
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9. (ITA - 2005) Suponha que na Lua, cujo raio é
R, exista uma cratera de profundidade R/100, do
fundo da qual um projétil é lançado
verticalmente para cima com velocidade inicial v
igual à de escape da cratera. Determine
literalmente a altura máxima alcançada pelo
projétil, caso ele fosse lançado da superfície da
Lua com aquela mesma velocidade inicial v.
10. (ITA – 2007) Lançado verticalmente da
Terra com velocidade inicial V0, um parafuso de
massa m chega com velocidade nula na órbita de
um satélite artificial, geoestacionário em relação
à Terra, que se situa na mesma vertical.
Desprezando a resistência do ar, determine a
velocidade V0 em função da aceleração da
gravidade g na superfície da Terra, raio da Terra
R e altura h do satélite.
11. (ITA – 2008) A estrela anã vermelha Gliese
581 possui um planeta que, num período de 13
dias terrestres, realiza em torno da estrela uma
órbita circular, cujo raio é igual a 1/14 da
distância média entre o Sol e a Terra. Sabendo
que a massa do planeta é aproximadamente igual
à da Terra, pode-se dizer que a razão entre as
massas da Gliese 581 e do nosso Sol é de
aproximadamente:
a) 0,05
b) 0,1
c) 0,6
d) 0,3
e) 4,0
12. (ITA – 2008) Numa dada balança, a leitura é
baseada na deformação de uma mola quando um
objeto é colocado sobre sua plataforma.
Considerando a Terra como uma esfera
homogênea, assinale a opção que indica uma
posição da balança sobre a superfície terrestre
onde o objeto terá a maior leitura.
a) Latitude de 45°.
b) Latitude de 60°.
c) Latitude de 90°.
d) Em qualquer ponto do Equador.
e) A leitura independe da localização da balança
já que a massa do objeto é invariável.
13. (a) Escreva uma expressão para a força
exercida pela Lua, de massa M, sobre uma
partícula de água, de massa m, sobre a Terra em
A, diretamente abaixo da Lua, como mostra a
Figura. O raio da Terra é R e a distância centro
a centro entre a Terra e a Lua é r. (b) Suponha
que a partícula de água estivesse no centro da
Terra. Que força a Lua exerceria sobre ela
naquele ponto? (c) Mostre que a diferença entre
essas forças é dada por 3
2T
GMmRF
r= e
representa a força das marés, a força sobre a
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água relativamente à Terra. Qual é a direção e o
sentido da força das marés? (d) Repita para uma
partícula de água em B, no lado oposto da
Terra, em relação à Lua. Qual é a direção e o
sentido desta força de maré? (e) Explique por
que existem duas regiões salientes nos oceanos
(e na Terra sólida), devido às marés, uma
apontando para a Lua e a outra em sentido
oposto.
14. O problema seguinte foi apresentado na
“Olimpíada” da Universidade Pública de
Moscou, em 1946 (veja a Figura): Numa esfera
de chumbo de raio R, faz-se uma cavidade
esférica de tal modo que a sua superfície toca a
superfície externa da esfera de chumbo e passa
pelo centro desta. A massa da esfera antes que a
cavidade fosse feita era M. Com que força, de
acordo com a lei da gravitação universal, a
esfera de chumbo irá agora atrair uma pequena
esfera de massa m, que está à distância d do
centro da esfera de chumbo, sobre uma linha reta
que une os centros das esferas e da cavidade?
15. Uma nave espacial tripulada por marcianos
chega à vizinhança da Terra (de massa M)
seguindo uma órbita hiperbólica cuja assíntota
dista b do centro da Terra. Quando a nave se
encontrava a uma distância muito grande da
Terra, sua velocidade era VO. Qual a relação
entre VO, b e a distância de perigeu a?
16. Considere a Terra como uma esfera
homogênea de raio R que gira com velocidade
angular uniforme ω em torno do seu próprio eixo
Norte-Sul. Na hipótese de ausência de rotação da
Terra, sabe-se que a aceleração da gravidade
seria dada por g = GM/R2. Como ω ≠ 0, um
corpo em repouso na superfície da Terra na
realidade fica sujeito forçosamente a um peso
aparente, que pode ser medido, por exemplo, por
um dinamômetro, cuja direção pode não passar
pelo centro do planeta.
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Então, o peso aparente de um corpo de massa m
em repouso na superfície da Terra a uma latitude
λ é dado por:
17. Considere um segmento de reta que liga o
centro de qualquer planeta do sistema solar ao
centro do Sol. De acordo com a 2ª Lei de Kepler,
tal segmento percorre áreas iguais em tempos
iguais. Considere, então, que em dado instante
deixasse de existir o efeito da gravitação entre o
Sol e o planeta. Assinale a alternativa correta.
A. ( ) O segmento de reta em questão continuaria
a percorrer áreas iguais em tempos iguais.
B. ( ) A órbita do planeta continuaria a ser
elíptica, porém com focos diferentes e a 2ª Lei
de Kepler continuaria válida.
C. ( ) A órbita do planeta deixaria de ser elíptica
e a 2ª Lei de Kepler não seria mais válida.
D. ( ) A 2ª Lei de Kepler só é válida quando se
considera uma força que depende do inverso do
quadrado das distâncias entre os corpos e,
portanto, deixaria de ser válida.
E. ( ) O planeta iria se dirigir em direção ao Sol
18. Um sistema particular de três estrelas é
formado por duas estrelas, cada uma de massa
2m, em órbita ao redor de uma estrela central de
massa M, ocupando a mesma órbita circular de
raio r. As duas estrelas estão, sempre, uma em
cada extremo de um diâmetro da órbita. Deduza
uma expressão para o período orbital das estrelas
menores.
2m
2m
M
19. Duas estrelas de massas M e m, separadas
por uma distância d, revoluciona em órbitas
circulares em torno de seu centro de massa. O
período de cada estrela é dado por:
a) √
( )
b) √
c) √
( )
d) √
e) √
20. Suponha que na Lua, cujo raio é R, exista
uma cratera de profundidade R/100, do fundo da
qual um projétil é lançado verticalmente para
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cima com velocidade inicial v igual à de escape
da superfície da lua. Determine literalmente a
altura máxima alcançada pelo projétil, contado a
partir da superfície da lua caso ele fosse lançado
do fundo da cratera com a mesma velocidade
inicial v.