Gua del profesor
Resolucin de ecuaciones de segundo grado con
puzzle
algebraico
Juan Jess Larrubia Martnez
X2 X
X
X 1 1
Resolucin de Ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. ________________________________________________ 3
ndice
Presentacin ............................................................................................................ 5 Gua didctica del material puzzle algebraico....................................................... 7 Introduccin............................................................................................................. 9 1. Representacin geomtrica de expresiones algebraicas de 2 grado con
puzzle algebraico......................................................................................................................10 2. Construccin de rectngulos y cuadrados con puzzle algebraico:
Caractersticas y condiciones. ..............................................................................................15 Programacin didctica de la Unidad experimental........................................... 21 1. Introduccin....................................................................................................... 21 2. Objetivos especficos......................................................................................... 22 3. Contenidos ........................................................................................................ 23 4. Metodologa....................................................................................................... 25 5. Materiales, medios y recursos........................................................................... 27 6. Horario y temporalizacin. ................................................................................. 28 7. Evaluacin......................................................................................................... 28 Anexos.................................................................................................................... 31 8. Prueba inicial ...................................................................................................... 33 9. Instrumento para el seguimiento y valoracin de los aprendizajes
desarrollados...................................................................................................... 35 10. Escala tipo Likert para la valoracin de la actitud hacia las matemticas. ....... 37 11. Registro de observacin para la valoracin de la actividad y actitud del
alumnado............................................................................................................ 38 12. Prueba de evaluacin final de la unidad didctica.............................................. 39 13. Modelo de Registro de observacin para la valoracin de las tareas de
enseanza y aprendizaje.................................................................................... 42 14. Registro de observacin para la valoracin de la actuacin y papel del
profesor/a ........................................................................................................... 43 15. Bibliografa........................................................................................................ 45
Resolucin de Ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. ________________________________________________ 5
Presentacin La presente gua del profesor est organizada en dos partes bien diferenciadas: La gua del
material didctico puzzle algebraico y la Programacin didctica de la Unidad de Resolucin de ecuaciones de segundo grado con puzzle algebraico.
Primera parte. Gua del material didctico puzzle algebraico.
En esta parte se describe el citado material, la representacin geomtrica de expresiones algebraicas de 2 grado mediante un conjunto de piezas del puzzle, su utilidad en la obtencin de expresiones algebraicas de 2 grado equivalentes ms simples, resultado de la construccin de rectngulos y cuadrados a partir del conjunto de piezas del puzzle que representan el trinomio o expresin algebraica inicial y por ltimo, las reglas bsicas de agrupacin y combinacin de piezas que hemos de seguir en la construccin de rectngulos y/o cuadrados.
Segunda parte: Programacin didctica de la unidad de Resolucin de ecuaciones de segundo grado con puzzle algebraico.
Programacin completa que contiene los objetivos didcticos especficos, los contenidos, orientaciones generales y estrategias metodolgicas a seguir en la explicacin de contenidos y en la propuesta de actividades y tareas para desarrollar en el aula, la temporalizacin de la unidad, los materiales, los instrumentos y tcnicas de evaluacin, los criterios de evaluacin. La Programacin incluye un anexo dnde se recogen diversos instrumentos de evaluacin y de recogida de datos para la evaluacin de la propia unidad didctica, para la valoracin de la actitud del alumnado antes y despus del desarrollo de la unidad y para la recogida de informacin sobre la actuacin y la actividad desarrollada por el profesor o profesora en el aula.
La programacin desarrollada corresponde al tema de resolucin de ecuaciones de 2 grado y se ha estructurado de acuerdo a la actual normativa de la Comunidad Autnoma de Andaluca, pero ha sido incluida en la programacin de 3 de E.S.O., de acuerdo al Proyecto Curricular de Etapa elaborado por el Departamento de Matemticas del I.E.S. N 1 Universidad Laboral de Mlaga, dnde esta unidad ha sido probada.
Aunque de acuerdo al nuevo Decreto 148/2002, por el que se modifica el Decreto 106/1992 en el que se establecen las enseanzas correspondientes a la Educacin Secundaria obligatoria en Andaluca; el tema de Resolucin de Ecuaciones de 2 grado debe estar incluido en la Programacin de 4 de E.S.O, en la mayora de las planificaciones curriculares de los Departamentos de Matemticas, al menos en los Centros de nuestra Comunidad, sigue incluyndose en las programaciones de 3 de E.S.O.
Este desajuste entre las programaciones didcticas que se desarrollan en la prctica y los Diseos Curriculares contemplados en la normativa vigente, obedecen principalmente a los tiempos de desconcierto y transicin educativa en los que estamos inmersos, especialmente en lo referente a ordenacin acadmica y curricular, y vienen avalados, entre otras, por dos razones: la primera es la vigencia de los materiales curriculares desarrollados de acuerdo con el anterior Decreto 106/1992, en concreto los libros de texto de 4 de E.S.O. hasta el presente curso acadmico 2003/04, de acuerdo con la disposicin transitoria segunda del nuevo Decreto 148/2002; y la segunda, el nuevo cambio prescriptivo que deba realizarse en el curso 2004/05 de todos los Diseos Curriculares de 3 de E.S.O. motivado por la entrada en vigor de la L.O.C.E. (actualmente con una moratoria legal de dos cursos acadmicos), hasta las pasadas Elecciones Generales de marzo.
Resolucin de Ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. ________________________________________________ 7
X2
-1
-1
-1
-1 -1
-1
X 2 -x -x
-X2
X+3
X+3 x
1
X2
11
11
1
x x x
x x
1
1
1
X2
-x x x
-1
-1 -1
-1
-1
-1
x
-x
3 Regla
Los rectngulos X y X, no pueden estar mezclados entre si
1 1
1 1
Gua didctica del material puzzle algebraico
Resolucin de Ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. _____________________________________________________________ 9
Introduccin El material didctico puzzle algebraico es una coleccin de piezas con la que se
puede representar geomtricamente una expresin algebraica de segundo grado. Est inspirado en una versin simplificada (compuesta por placas, tiras y unidades) de los Bloques Multibase de Dienes, utilizada por Bruner y el propio Dienes en 19631 para la construccin de cuadrados, como representacin geomtrica de trinomios de trminos positivos de segundo grado que son cuadrados perfectos, en el contexto de una investigacin con escolares sobre etapas de desarrollo cognitivo.
Puzzle algebraico es una versin ampliada y original, en cuanto a la metodologa de combinacin de las piezas, en cuanto a los trinomios que pueden representarse, y en cuanto a su campo de aplicacin a la resolucin de todo tipo de ecuaciones de segundo grado, del modelo de Dienes y de otros modelos tambin inspirados en la versin simplificada de los Bloques Multibase, denominados algebra tiles2 (utilizados en Estados Unidos) y orientados entre otras aplicaciones (como son el producto de monomios y de binomios, el cuadrado de un binomio de 1er grado, etc.) a la factorizacin de trinomios de segundo grado.
Su aplicacin a la resolucin de ecuaciones de segundo grado, constituye un mtodo mixto (geomtrico y algebraico) de resolucin que tiene entre sus antecedentes la factorizacin geomtrica de trinomios de segundo grado y el mtodo de completar cuadrados desarrollado por Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi (780-850), matemtico rabe considerado padre del lgebra por su obra Hisab al-yabr wal muqqabala, por lo que puede ser considerado un mtodo de resolucin con races interculturales que contempla el desarrollo histrico de las matemticas.
El mtodo de resolucin de ecuaciones de segundo grado con puzzle algebraico est basado en la trasformacin algebraica de la expresin general de la ecuacin que se quiere resolver, en una ecuacin equivalente ms sencilla con expresin factorizada o en forma de binomio al cuadrado, con o sin trmino independiente, obtenida de la medida de las dimensiones de un rectngulo o un cuadrado, construido a partir de la coleccin de piezas del puzzle algebraico que representa la expresin algebraica de la ecuacin de segundo grado inicial. Las soluciones de la ecuacin, si las hubiese, se obtienen aplicando a la ecuacin equivalente procedimientos algebraicos directos de resolucin (como el del producto de dos factores cuyo resultado es cero o el criterio de la raz).
1 Citado por Resnick, L y Ford, W. 1981. The Psychology of mathematics for instruccin, (pag. 119). 2 Leitze, A. R. y Kitt, N. A. 2000. Using homemade Algebra Tiles to develop Algebra and Prealgebra conceps. Mathematics
Teacher, Vol. 93 issue 6, september 2000, (pag. 462-520).
Representacin geomtrica de expresiones algebraicas J.J. Larrubia. ____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolucin de Ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. ________________________________________________ 10
1. Representacin geomtrica de expresiones algebraicas de 2 grado con puzzle algebraico.
1.1. Descripcin del material didctico puzzle algebraico.
Llamamos puzzle algebraico a una coleccin de figuras geomtricas planas, formada por cuadrados y rectngulos que representan:
el cuadrado de rea 1 de dimensiones 1 x 1, que denominaremos unidad positiva. el rectngulo de rea X de dimensiones 1 x X, que denominaremos tira positiva. el cuadrado de rea X2 de dimensiones X x X, que denominaremos placa positiva.
Cuadrado de rea 1
Unidad positiva
Rectngulo de rea X
Tira positiva
Cuadrado de rea X2
Placa positiva
Est coleccin est inspirada, como hemos comentado en la introduccin, en una versin simplificada de los Bloques Multibase de Dienes (Dienes [1964]), de las que las piezas del puzzle toman el nombre, y con las que slo se pueden representar trinomios de segundo grado de trminos positivos.
En consecuencia, s queremos representar cualquier trinomio de segundo grado (con trminos positivos y/o negativos), debemos completar la coleccin inicial con las versiones negativas de las piezas anteriores.
Cuadrado de rea - 1
Unidad negativa
Rectngulo de rea X
Tira negativa
Cuadrado de rea - X2
Placa negativa
Aunque las reas y las medidas de los lados de los rectngulos no pueden ser negativas, en el modelo didctico de representacin desarrollado, las piezas negativas, representan figuras con rea negativa como consecuencia de ser negativa la medida de uno de sus lados.
1
1
1
X 1
X
X2
X
X
- 1
1
- 1
- X- 1
X
- X2
X
- X
Gua del material puzzle algebraico J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________
Resolucin de Ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. _____________________________________________________________ 11
1.2. Representacin geomtrica de expresiones algebraicas de 2 grado mediante un conjunto de piezas.
Toda expresin de 2 grado en forma general completa ( cbxax ++2 ) o incompleta ( bxax +2 o cax +2 ) puede ser representada geomtricamente por un conjunto de piezas del puzzle algebraico.
Esta representacin geomtrica se realiza trmino a trmino.
En concreto:
1) El trmino cuadrtico (2ax ) se representa mediante:
a) Una placa o conjunto de placas 2X cuando 2ax es positivo.
Ejemplos:
x2
2x2
3x2
4x2
b) Una placa o conjunto de placas 2X , cuando 2ax es negativo. Ejemplos:
- x2
- 2x2
- 3x2
- 4x2
...
2) El trmino en X (bx ) puede ser representado mediante:
a) Una tira, un conjunto de tiras o la combinacin de dos conjuntos de tiras X , cuandobx es positivo.
Ejemplos:
x
2x
3x
4x
5x
b) Una tira, un conjunto de tiras o la combinacin de dos grupos de tiras X , cuando bx es negativo.
Ejemplos:
-x
- 2x
- 3x
- 4x
- 5x
...
X 2 X 2 X 2X 2
-X 2 -X 2 -X2 -X2 -X2 -X2-X 2 -X 2
-X 2 -X 2
X 2 X 2X 2 X 2
X 2 X 2
x x x xxx x x x
xx
x x x x
-x -x -x -x -x -x -x
-x
-x -x -x -x-x
-x -x
Representacin geomtrica de expresiones algebraicas J.J. Larrubia. ____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolucin de Ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. ______________________________________________________________ 12
c) La combinacin de dos grupos o conjunto de tiras X y X como se indica en las
figuras, siempre que la suma algebraica de los dos grupos coincida con el trmino bx que queremos representar. Aqu se aplica el principio: pares de valores opuestos se anulan
Ejemplos:
2x
( )xxx 224 =
- 3x
( )xxx 34 =
- x
( )xxx = 54
...
3) El trmino independiente (c) se representa mediante:
a) Una unidad o conjunto de unidades positivas (1) cuando el trmino independiente es positivo.
Ejemplos:
1
4
4
5
8
...
b) Una unidad o conjunto de unidades negativas ( 1 ) cuando el trmino independiente es negativo.
Ejemplos:
- 1 - 4
- 7
- 9
- 12
- 12
...
Ejemplo: La expresin de 2 grado completa 352 2 ++ xx se puede representar por las piezas:
22x
x5
3
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1 1 1 1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
X2
X2
1 1 1 X X X X X
-x-x
x x x x
x
-x -x -x -x
xxxx
-x -x -x -x -x
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 -1
-1
-1 -1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 -1 -1
-1 -1 -1
-1 -1
-1 -1
-1 -1
Gua del material puzzle algebraico J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________
Resolucin de Ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. _____________________________________________________________ 13
1.3. Expresin algebraica asociada a una representacin geomtrica con puzzle algebraico.
Hemos visto que toda expresin de 2 grado puede ser representada geomtricamente mediante un conjunto de piezas del puzzle. A la inversa tambin ocurre: Todo conjunto de piezas que incluya al menos una placa (X2) representa una expresin de 2 grado.
Ejemplo: Dado el siguiente conjunto de piezas.
Escribiendo la suma de todos los valores, tenemos la expresin: 1112 + xxxxx
Agrupando trminos y operando obtenemos la expresin de 2 grado asociada:
1.4. Utilidad del puzzle algebraico: Construccin de rectngulos y cuadrados para obtener expresiones equivalentes ms simples.
A partir del conjunto de piezas del puzzle que representa una expresin de 2 grado podemos construir rectngulos y/o cuadrados. El clculo del rea de estas figuras nos permitir obtener expresiones ms sencillas (en forma factorizada o en forma de binomio al cuadrado) equivalentes (identicas) a la expresin general de 2 grado inicial representada.
Para fundamentar y describir este proceso de obtencin de expresiones equivalentes desarrollaremos dos ejemplos.
Ejemplo 1: Proceso de obtencin de una expresin 2 grado equivalente a 232 ++ xx en forma factorizada a partir de la construccin de un rectngulo, con el conjunto de piezas del puzzle que la representa.
a) Seleccionamos las piezas que representan la expresin 232 ++ xx
b) Construimos un rectngulo, eligiendo entre varias combinaciones posibles el siguiente:
X2
-1 -1 -1 x -x -x -x
xX2
11xx
X2
x
x
1 1
x
322 xx
Representacin geomtrica de expresiones algebraicas J.J. Larrubia. ____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolucin de Ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. ______________________________________________________________ 14
c) Calculamos el rea del rectngulo construido mediante dos procedimientos diferentes:
Clculo del rea a partir de sus componentes: Clculo del rea a partir de sus dimensiones:
El rea del rectngulo es igual a la suma de las reas de las piezas que lo forman:
rea rectngulo = 112 +++++ xxxx Agrupando trminos, tenemos:
El rea del rectngulo es el producto de las dimensiones de su base por su altura:
Conclusin: Cmo el rectngulo es el mismo y su rea nica, las dos expresiones del rea son iguales.
Resultando que: A partir de una expresin de 2 grado en forma general hemos obtenido una expresin equivalente ms sencilla, en forma factorizada, mediante la construccin de un rectngulo.
Ejemplo 2: Proceso de obtencin de una expresin 2 grado equivalente a 122 + xx en forma de binomio al cuadrado a partir de la construccin de un cuadrado, con el conjunto de piezas del puzzle que la representa.
a) Seleccionamos las piezas que representan la expresin 122 + xx
b) Construimos un cuadrado, eligiendo entre varias combinaciones el siguiente:
rea rectngulo = 232 ++ xx rea rectngulo = ( ) ( ) 1x . 2x ++
x2+3x+2 = (x+2).(x+1)
x x X2
1 1x + + + + +
X+2
X+1
1
X
X 1 1
rea rectngulo = base . altura rea rectngulo = Suma rea de las piezas
rea = (x+2).(x+1)rea = x2+3x+2 =
X2
1 -x -x
X1
X1
X2
1
-x
-x
Gua del material puzzle algebraico J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________
Resolucin de Ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. _____________________________________________________________ 15
c) Calculamos el rea de este cuadrado mediante los dos procedimientos vistos anteriormente:
Clculo del rea a partir de sus componentes: Clculo del rea a partir de sus dimensiones: El rea del cuadrado como suma de las reas
de las piezas que lo forman es:
El rea del cuadrado como producto de sus dimensiones o como el cuadrado del lado es:
Conclusin: Cmo el cuadrado es el mismo y su rea nica, las dos expresiones del rea son iguales.
Resultando que: A partir de una expresin de 2 grado en forma general hemos obtenido una expresin equivalente en forma de binomio al cuadrado (sin trmino independiente), mediante la construccin de un cuadrado.
2. Construccin de rectngulos y cuadrados con puzzle algebraico: Caractersticas y condiciones.
La construccin de rectngulos y cuadrados sirve para obtener expresiones equivalentes ms sencillas de expresiones de 2 grado en forma general.
Estas construcciones no son nicas, un mismo conjunto de piezas puede combinarse de diferentes formas, dando lugar a rectngulos y/o cuadrados distintos.
Pero no todos los rectngulos o cuadrados que pueden construirse son vlidos, slo algunos de ellos nos permiten obtener expresiones equivalentes ms sencillas.
En consecuencia, ser necesario establecer condiciones y reglas que nos faciliten la construccin de rectngulos y cuadrados vlidos.
Ejemplo: Construye un rectngulo a partir de la siguiente coleccin de piezas del puzzle que representa la expresin algebraica de 2 grado: 62 + xx
Un posible rectngulo que se podra construir con esta coleccin de piezas, sera:
En este rectngulo es imposible determinar las dimensiones (medidas de la base y de la altura).
Debido a la combinacin de piezas realizada, las medidas de los lados paralelos son distintas cuando deberan ser iguales.
Por tanto, no es posible calcular el rea a partir de sus dimensiones y en consecuencia: no es posible obtener una expresin equivalente.
rea cuadrado= 122 + xx rea cuadrado= ( ) ( ) ( )211 1 = xxx
( )22 112 =+ xxx
-1
-1 -1 -1
-1 -1X2
-x -x x xx
-1
-x x
X2
-x
-1
-1
-1
-1
-1
x
x
rea = (x-2)2rea = x2-2x+1 =
Representacin geomtrica de expresiones algebraicas J.J. Larrubia. ____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolucin de Ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. ______________________________________________________________ 16
2.1. Tablero para la construccin de rectngulos y cuadrados con puzzle algebraico
La construccin de rectngulos o cuadrados, con objeto de unificar criterios y evitar errores en la determinacin de las dimensiones, se realizar sobre un tablero de construccin o esquina en cualquiera de sus dos versiones: superior o inferior.
a) El vrtice del tablero constituye el punto de partida para colocar las placas 2x y para determinar las dimensiones de las construcciones.
b) En las barras horizontal y vertical, independientemente del tablero adoptado, anotaremos las medidas, respectivamente de la base y de la altura del rectngulo o cuadrado construido.
2.2. Reglas bsicas de agrupacin y combinacin de piezas.
La construccin de figuras con puzzle algebraico se realizar siguiendo unas reglas de agrupacin y combinacin de piezas. Para ilustrar la presentacin de estas reglas partiremos del rectngulo del ejemplo anterior, construido a partir de la representacin de la expresin: 62 + xx . La primera regla es:
Medida de la base
Medida de la altura
Punto de partida para colocar las piezas X2 para determinar las
dimensiones de la construccin
X2
Punto de partida para colocar las piezas X2 para determinar las
dimensiones de la construccin
Medida de la base
Med
ida
de la
altu
ra
X2
-x-x x
X2
-1 -1
-1 -1
-1
-1
x
x
1 Regla Las unidades tienen que estar agrupadas en un nico bloque,
en forma de cuadrado o de rectngulo.
Esquina superior
Esquina inferior
Gua del material puzzle algebraico J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________
Resolucin de ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico _______________________________________________________________ 17
La segunda regla es:
La tercera regla es:
Aplicando las tres reglas, obtenemos el siguiente rectngulo, cuyas dimensiones se indican:
En resumen, las reglas bsicas de agrupacin y combinacin de piezas, o de forma abreviada las reglas de construccin, seran:
X2
-x xx
-1
-1 -1
-1
-1
-1
x -x
3 Regla
Las tiras positivas X y negativas X, no pueden estar mezcladas entre si.
No pueden combinarse en un mismo bloque
2 ReglaLa placa X2 y el bloque de unidades tienen que estar situadas en diagonal
No pueden situarse en la misma fila o columna X2
-1
-1
-1
-1 -1
-1
x -x x x -x
X2
-x
xxx
-x -1-1
-1-1
-1-1
X+3
X2
1 Regla: Los cuadrados unidad positivos o negativos tienen que estar agrupados formando un rectngulo o un cuadrado.
2 Regla: La placa X2 y el grupo de cuadrados unidad tienen que estar situados en diagonal. No pueden coincidir en la misma columna ni en la misma fila.
3 Regla: Las tiras X y X, no pueden estar mezcladas entre si en la misma fila o columna.
Resolucin de Ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. ______________________________________________________________ 18
Resolucin de ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico _______________________________________________________________ 19
X2
X 2
X 2
X 2
X 2
1 1 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
X+3
4X+1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
X2
-x
-x
-x
-x
-x
-x
-x
x-5 x-2
-x
-x
-x
-x
-x
-x
-x
X 2
x x x
- X - 1 -
1
- 1 - 1
- 1 - 1
- 1 - 1
Aadimos, de forma sucesiva,
x - x +
unidades de rea cero que son parejas de rectngulos X y
X,
hasta completar el rectngulo mayor
Programacin didctica de
la unidad experimental Resolucin de ecuaciones de 2 grado
con puzzle algebraico
Resolucin de Ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. ______________________________________________________________ 20
Resolucin de ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico _______________________________________________________________ 21
Programacin didctica de la Unidad experimental
Resolucin de ecuaciones de segundo grado con puzzle algebraico
3 de E.S.O. 1. Introduccin
La presente Unidad Didctica Experimental de resolucin de ecuaciones de segundo grado3, est basada en la utilizacin de un modelo geomtrico manipulativo y visual, como mediador complementario al lenguaje ordinario y al de comunicacin didctica, que hemos denominado puzzle algebraico. El objetivo principal de la utilizacin de este material didctico es el de facilitar la comprensin y adquisicin del conocimiento algebraico curricular, en concreto las ecuaciones de segundo grado, de todo el alumnado en el siempre difcil paso de la aritmtica al lgebra, y en particular del alumnado sordo4 integrado (incluido) en aulas ordinarias de matemticas de E.S.O. que a las mencionadas dificultades, suma las derivadas de sus diferencias lingsticas y culturales.
La unidad didctica desarrollada constituye en s misma un ejemplo de modelo didctico comn a sordos y oyentes (modelo inclusivo) para el aula ordinaria de matemticas, dentro del currculo oficial y con los mismos objetivos; con la que se puede comprobar que es posible hacer compatible las diferencias lingsticas y culturales de partida, existentes entre alumnado sordo y oyente, con la adquisicin del conocimiento matemtico como patrimonio cultural compartido.
La viabilidad de su utilizacin como respuesta a las dificultades de aprendizaje del alumnado sordo, as como, la constatacin de no suponer para el alumnado oyente un empobrecimiento o merma en sus logros, en comparacin con una metodologa y un tipo de actividades tradicionales, todo ello medido en relacin con las capacidades expresadas en los objetivos del currculo oficial de matemticas. Ha sido confirmado (obtenindose diferencias significativas a favor del grupo experimental) mediante un modelo cuasi-experimental pretest-postest con grupo control, en el marco de un trabajo de investigacin curricular en Educacin Matemtica que venimos desarrollando.
La unidad didctica no est exclusivamente prescrita para clases de matemticas con alumnado sordo incluido, tambin puede ser utilizado en aulas con alumnado inmigrante incluido que presenta diferencias lingsticas y culturales y un menor nivel de competencia lingstica en espaol, as como, en cualquier aula ordinaria de matemticas en la que su alumnado presente importantes diferencias individuales, ya que tanto la unidad como el material puzzle algebraico han demostrado ser una medida curricular eficaz de atencin a la diversidad.
La unidad didctica, en el libro del alumno, incluye en sus primeros apartados la presentacin, fundamentos y las reglas de combinacin de piezas y de construccin de figuras (rectngulos y cuadrados) con el material didctico, dando por supuesto que el material no se ha utilizado anteriormente en los temas correspondientes a polinomios, en caso contrario estos primeros apartados ya sern conocidos y no ser necesario incidir nuevamente en ellos.
3 La unidad didctica consta del libro del alumno, un cuadernillo de actividades ejercicios, la presente gua didctica o gua del
profesor y un juego completo de piezas del material didctico puzzle algebraico. 4 El alumnado sordo profundo prelocutivo (el momento de la perdida auditiva es anterior a la adquisicin del lenguaje) tiene como
legua natural el Lenguaje de Signos Espaol (L.S.E.), por tanto la lengua espaola no es su lengua vehicular, sino ms bien una segunda lengua (L2).
Unidad didctica experimental J.J. Larrubia. ____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolucin de Ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. ______________________________________________________________ 22
2. Objetivos especficos. Entendemos los Objetivos Especficos de una Programacin Didctica, en este caso de una
Unidad temtica, como el ltimo nivel de concrecin de los Objetivos Generales de rea para un determinado nivel educativo. En consecuencia, consideramos que su formulacin debe ser precisa y concreta, en forma de Objetivos Didcticos, y relacionada con los contenidos elegidos como medio para la consecucin de las finalidades educativas que representan los Objetivos Generales de rea y Etapa.
As entendidos, los objetivos especficos desempean un valioso papel orientador de los aprendizajes que han de adquirir los alumnos y alumnas, en relacin con los contenidos objeto de enseanza y aprendizaje, como va de desarrollo de las capacidades expresadas en los mencionados Objetivos Generales.
Adems, su expresin en forma de objetivos didcticos contribuye a facilitar la concrecin de los Criterios de Evaluacin y su transformacin en criterios menos generales y ms objetivos, es decir, ms fcilmente observables y medibles; con lo que tambin se simplifica la determinacin objetiva del nivel real de desarrollo de habilidades, destrezas, estrategias y capacidades del alumnado en relacin con los objetivos planificados.
2.1. Objetivos didcticos
Identificar, nombrar y clasificar las formas mas frecuentes de una ecuacin de segundo grado a partir de su expresin algebraica..
Determinar si un valor dado es solucin o no de una ecuacin de 2 grado. Obtener ecuaciones de 2 grado equivalentes a una ecuacin dada, mediante la transposicin
de trminos y/o mediante la aplicacin de la regla de equivalencia de la suma y/o el producto.
Reducir una ecuacin de 2 grado a su forma general. Obtener ecuaciones de 2 grado equivalentes en forma factorizada y/o en forma de binomio al
cuadrado de una ecuacin dada.
Resolver ecuaciones de 2 grado dadas en forma factorizada o en forma de binomio al cuadrado, con o sin trmino independiente, aplicando procedimientos directos de resolucin.
Resolver ecuaciones de 2 grado incompletas mediante procedimientos directos de resolucin. Resolver ecuaciones de 2 grado: mediante la factorizacin de su expresin general, mediante
el mtodo de completar cuadrados y mediante el mtodo general o frmula.
Determinar el nmero de soluciones de una ecuacin de 2 grado a partir de su expresin algebraica, o a partir de una ecuacin equivalente en forma factorizada o en forma de binomio al cuadrado, o mediante el valor de su discriminante.
Construir ecuaciones de segundo grado a partir de sus soluciones. Determinar las soluciones de una ecuacin de 2 grado a partir de los coeficientes de su
expresin general mediante la regla de Cardano.
2.2. Objetivos actitudinales.
Mostrar inters y motivacin hacia el aprendizaje de mtodos y procedimientos algebraicos. Tener confianza en si mismo para enfrentarse a problemas o situaciones nuevas. Participar activamente en clase. Reconocer la importancia del trabajo en equipo.
Programacin didctica . J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________
Resolucin de ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico _______________________________________________________________ 23
Valorar positivamente la precisin y utilidad de los lenguajes geomtrico y algebraico como medio para conocer, representar y comunicar.
Tener perseverancia en la realizacin de las tareas propuestas. Mostrar flexibilidad en la bsqueda de soluciones, considerar distintas vas y mostrar una
actitud abierta en la utilizacin de otras estrategias.
3. Contenidos
3.1. Contenidos conceptuales.
Ecuaciones de 2 grado. Definicin. Clasificacin de Ecuaciones de 2 grado segn su expresin algebraica. Soluciones o races de una ecuacin de 2 grado. Ecuaciones de 2 grado equivalentes. Resolucin de ecuaciones de 2 grado. Representacin geomtrica de expresiones algebraicas de 2 grado con el material puzzle
algebraico.
Expresiones algebraicas equivalentes que podemos obtener a partir de la representacin geomtrica de una expresin algebraica de 2 grado.
Reglas de construccin de rectngulos y cuadrados con puzzle algebraico. Resolucin de ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. Mtodo de completar cuadrados con puzzle algebraico. Mtodo general de resolucin de ecuaciones de 2 grado. Nmero de soluciones de una ecuacin de 2 grado. Discriminante de una ecuacin de 2 grado. Valor del discriminante y nmero de soluciones de una ecuacin de 2 grado. Relacin entre las soluciones de una ecuacin de 2 grado y los coeficientes de su expresin
general. Regla de Cardano.
3.2. Procedimentales
Representacin de una expresin de 2 grado con puzzle algebraico. Construccin de rectngulos y cuadrados a partir del conjunto de piezas del puzzle algebraico
que representan una expresin de 2 grado. a. Reglas bsicas de construccin de rectngulos y cuadrados con puzzle algebraico.
b. Utilizacin del tablero de construccin en esquina con puzzle algebraico.
c. Representacin con lpiz y papel de las construcciones realizadas con puzzle algebraico.
i. notacin enactiva.
ii. Representaciones icnicas o notacin pre-algebraica.
Resolucin de ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. a. Resolucin mediante factorizacin, a partir de la construccin de rectngulos de ecuaciones
con a=1,
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Resolucin de Ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. ______________________________________________________________ 24
i. En forma general completa
ii. En forma general incompleta.
b. Procedimiento algebraico de resolucin de ecuaciones de 2 grado en forma factorizada o de producto.
c. Resolucin mediante factorizacin, a partir de la construccin de rectngulos de ecuaciones con a1,
i. En forma general completa
ii. En forma general incompleta.
d. Procedimientos algebraicos para la resolucin de una ecuacin de 2 grado incompletas. i. El criterio o regla de equivalencia de la raz cuadrada.
e. Mtodo de completar cuadrados de ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico.
f. Procedimiento algebraico de resolucin de ecuaciones de 2 grado en forma de binomio al cuadrado.
i. Sin trmino independiente.
ii. Con trmino independiente.
Mtodo general de resolucin de ecuaciones de 2 grado. Determinacin del nmero de soluciones reales de una ecuacin de 2 grado mediante el
anlisis del discriminante.
Relacin entre los coeficientes de una ecuacin de 2 grado y el producto y la suma de sus soluciones.
Aplicacin de la regla de Cardano al clculo de las soluciones de una ecuacin de 2 grado.
3.3. Contenidos actitudinales. Considerando que las actitudes en general o la adquisicin o no de determinadas actitudes
relacionadas con el conocimiento matemtico en particular, constituyen un objeto de enseanza y aprendizaje y de ah su consideracin de contenido, queremos puntualizar que la adquisicin de actitudes debe ser entendida como un proceso que en muchas ocasiones supera el mbito de planificacin de una unidad temtica e incluso en ocasiones el de una programacin completa; y que en todo caso, su enseanza y aprendizaje no esta asociada a unos contenidos o conjunto de contenidos concretos, sino que est mas bien relacionada con las orientaciones metodolgicas, con el ambiente que debe desarrollarse en el aula y con el tipo de actividades o tareas propuestas.
Por ejemplo, un estilo autoritario de enseanza, basado en exposiciones magistrales y en el desarrollo de tareas individuales, difcilmente promovern una actitud participativa y un reconocimiento del trabajo en equipo en el alumnado. De igual manera, una propuesta de tareas inconexas, rutinarias, descontextualizadas, que no tengan en cuenta el nivel real de partida del alumnado, difcilmente contribuir a generar inters y motivacin hacia el aprendizaje, perseverancia y flexibilidad en la bsqueda de soluciones o a desarrollar confianza en uno mismo para abordar nuevas tareas.
Por tanto, las actitudes deben ser incluidas en los objetivos especficos y ser consideradas en los criterios de evaluacin, pero el medio para su enseanza y aprendizaje tiene que ser tanto como los contenidos conceptuales y procedimentales, el modelo de enseanza, las condiciones y el ambiente de aprendizaje en el aula, las orientaciones metodolgicas, y muy especialmente las caractersticas y el tipo de actividades y tareas a realizar en clase.
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4. Metodologa
Nuestra propuesta metodolgica sobre las acciones y actividades que se realizarn en el aula durante el desarrollo de la unidad didctica, se articulan entorno a los siguientes elementos: orientaciones generales y papel del profesor, estrategias metodolgicas y tareas didcticas.
4.1. Orientaciones generales y papel del profesor
Orientar, en la medida de lo posible, las sesiones didcticas y los procesos de enseanza y aprendizaje que en ellas se desarrollen sobre la base de los principios del constructivismo social, del aprendizaje significativo y del trabajo cooperativo.
Crear un ambiente de trabajo que facilite las relaciones de comunicacin durante la clase tanto profesor-alumno, como alumno-alumno.
Tener un estilo democrtico, no autoritario. Fomentar la cooperacin entre el alumnado, no la competitividad y el individualismo. Ser mediador en la construccin de aprendizajes, no un mero instructor o trasmisor de
informacin.
Resaltar actitudes positivas que surjan entre los alumnos y alumnas. Desarrollar la conviccin de que los errores son fuentes de aprendizaje y que es importante
ponerse a la tarea e intentarlo, independientemente de los errores que se puedan cometer.
Explicitar grados intermedios de formalizacin y profundizacin entre los conocimientos de los alumnos y alumnas y las caractersticas del conocimiento matemtico en cuestin.
4.2. Estrategias metodolgicas 4.2.1. En cuanto a la organizacin de las sesiones didcticas:
Las sesiones de clase se dividirn en tres perodos o segmentos de actividad: el inicial, el segmento central o de desarrollo y el segmento final. La duracin de los perodos no es fija, pero se intentarn que tanto el inicial, como el final no excedan de 10 minutos cada uno, abarcando el perodo central o de desarrollo el resto de la sesin que tiene una duracin total de 55 minutos.
Segmento inicial de la sesin didctica. Este perodo se dedicar a: Organizar el espacio, disponer al alumnado por parejas, instalar y preparar los medios
(retroproyector y juego de transparencias del puzzle), repartir los juegos del material didctico y otro material didctico o de apoyo, etc.
Realizar un breve resumen, por parte del profesor, de los contenidos tratados y/o las actividades realizadas en la sesin anterior, a modo de recordatorio.
Resolver las dudas y/o las dificultades que puedan haberse producido. Comentar a que se dedicar el resto de la sesin y cmo se organizar.
Segmento central o de desarrollo. Este perodo puede dedicarse a la explicacin de contenidos, a la propuesta de tareas
para realizar en clase o a la correccin de las tareas propuestas para realizar en clase y/o en casa.
En el caso de dedicarse este perodo a la explicacin de contenidos, nunca agotar el tiempo total del segmento, es decir la explicacin de contenidos siempre ir precedida
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Segmento final. Este perodo se dedicar a realizar una breve sntesis de la sesin destacndose los
contenidos ms importantes. Adems de proponer tareas individuales para realizar en casa, y dar por terminada la sesin.
Este perodo es muy importante y debemos evitar lo que se conoce por: que la campana termine la clase por ti. Frecuentemente, muchos profesores convertimos estos ltimos minutos en una carrera contra el tiempo en la que queremos ver lo que no ha dado tiempo o explicar alguna cosa de ltima hora, etc. La experiencia demuestra que a pesar de nuestros esfuerzos suele ser un tiempo perdido.
4.2.2. Durante la explicacin de contenidos :
Realizar una introduccin de los contenidos (tpicos, conceptos, procedimientos, etc.) objeto de la explicacin.
Procurar que las explicaciones sean concisas, claras y ajustadas a los contenidos y objetivos planificados. Las intervenciones demasiado largas aburren y no fomentan ni el inters ni la motivacin.
Adaptar el ritmo y caractersticas del discurso tiene un ritmo adecuado al grupo de alumnos y alumnas del aula.
Utilizar un lenguaje riguroso en cuanto al contenido, al mismo tiempo que coloquial y afectivo.
Ilustrar las explicaciones con abundantes y variados ejemplos. Utilizar de forma combinada tanto el lenguaje oral como el lenguaje escrito (en la
pizarra), apoyando nuestra exposicin con estrategias visuales siempre que sea posible.
Fomentar, en la medida de lo posible, la participacin activa del alumnado durante nuestra intervencin, realizando preguntas y dando pie a posibles intervenciones de los alumnos y alumnas.
Realizar preguntas para confirmar la comprensin del contenido (tpico, concepto y/o procedimiento) objeto de la explicacin.
Proponer nuevos ejemplos y/o vas distintas de explicacin del contenido en funcin de las respuestas y/o preguntas de los alumnos y/o las dificultades detectadas.
No debe importarnos salirnos de la explicacin si algn alumno o alumna detectamos que est perdido y no entiende nada.
4.2.3. Durante la propuesta y realizacin en clase de tareas de enseanza y aprendizaje:
Realizar una introduccin de las tareas que se proponen para realizar en clase. Contribuir a crear un buen ambiente de trabajo durante la realizacin de las tareas. Observar y controlar la ejecucin de las tareas, paseando por el aula con objeto de
supervisar la actividad de los alumnos/as y atender las dudas y/o consultas que puedan surgir.
Mostrarse accesible para todo el alumnado y en todo momento. Dejar tiempo suficiente para que el grupo de alumnos/as pueda realizar las tareas
propuestas, respetando los ritmos individuales. Atender individualmente y en la mesa del alumno/a las consultas y/o preguntas que
estos nos planteen por iniciativa propia. Apoyar a los alumnos y alumnas en la realizacin de las tareas, hacindolos
reflexionar y orientndolos en su ejecucin, nunca dndoles la solucin. Confiando en sus posibilidades.
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4.2.4. La correccin de las tareas propuesta:
Tanto las tareas propuestas para realizar en clase, como las propuestas para realizar en casa sern corregidas en clase.
La correccin en clase de las tareas ser realizada siempre por alumnos y alumnas voluntarios/as, en la pizarra y/o utilizando el retroproyector.
La correcta realizacin de la tarea a corregir ser supervisada por el resto del alumnado del grupo.
El profesor mientras tanto supervisar, para las tareas propuesta para casa, la correccin y el grado de realizacin de la tarea de cada uno de los alumnos y alumnas, interesndose por las dificultades que se hayan podido presentar durante su realizacin.
Las dudas que puedan plantearse sern resueltas, en primera instancia por el alumno o alumna encargado de su realizacin en la pizarra, en segunda instancia por cualquier otro alumno o alumna del grupo.
Las versiones distintas de una misma tarea, tambin sern expuestas para todo el grupo.
Durante los perodos de realizacin y correccin de tareas se intentar que los alumnos y alumnas sean los protagonistas absolutos.
Las dificultades que puedan surgir sern resueltas colegiadamente.
4.3. Las tareas didcticas.
Las tareas que se realizarn en clase sern las 15 actividades recogidas en el libro del alumno que estn consideradas como actividades bsicas, con la nica excepcin de la actividad 11 que tiene la consideracin de actividad de ampliacin y su propuesta de realizacin queda a la discrecionalidad del profesor.
Adems de las anteriores tareas de enseanza y aprendizaje se propondr la realizacin de las cuarenta tareas de aprendizaje recogidos en el cuadernillo de actividades y ejercicios.
Las tareas didcticas, tras una breve introduccin por parte del profesor, sern propuestas para su realizacin a los alumnos y alumnas del grupo, sin la realizacin previa, por parte del profesor, de tareas o ejercicios similares.
Para la realizacin de las tareas propuestas los alumnos se dispondrn en parejas y cada alumno y alumna dispondr de un juego del material puzzle algebraico.
El material didctico tendr la consideracin de mediador temporal, es decir podr utilizarse por los alumnos y alumnas durante el proceso de enseanza y aprendizaje, pero no podr ser utilizado en la realizacin de pruebas o exmenes.
La idea es que el uso del puzzle algebraico vaya siendo progresivamente abandonado y sustituido por el uso del lpiz y el papel como soporte de representacin del modelo didctico e incluso por la representacin mental de este.
Durante la realizacin de las tareas se insistir en la representacin con notacin abreviada o prealgebraica (notacin en cajas) de las figuras construidas con puzzle algebraico.
5. Materiales, medios y recursos
El material didctico puzzle algebraico. El libro del alumno de la unidad didctica experimental. El cuadernillo de actividades y ejercicios.
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5.1. Medios.
Pizarra y tiza. Un retroproyector Una versin en transparencias del material didctico puzzle algebraico.
6. Horario y temporalizacin.
En 3 de E.S.O. el nmero de sesiones semanales previsto en el currculo oficial para el rea de matemticas es de tres.
La unidad est diseada para ser desarrollada completa en doce sesiones de 55 minutos, incluyendo las sesiones que deben dedicarse a la presentacin y familiarizacin del alumnado con el material didctico puzzle algebraico que como mnimo son dos.
7. Evaluacin
7.1. Instrumentos de evaluacin 7.1.1. Para la evaluacin del alumno:
Una prueba inicial Un registro individual de valoracin de los aprendizajes desarrollados, basado
en los criterios de evaluacin. Una prueba tipo Likert para medir la actitud del grupo, esta prueba se realizar al
inicio y al final del desarrollo de la unidad Un registro de intervenciones y participaciones voluntarias en la correccin de tareas
propuestas para realizar en casa y en clase. Cuya valoracin y peso en la nota final ser negociada con los alumnos y alumnas del grupo.
El cuadernillo de actividades y ejercicios que ser entregado para su correccin y valoracin al concluir la unidad.
Un registro individualizado de observacin de la actividad realizada en clase por el alumnado.
Una prueba objetiva de evaluacin que tendr un peso no inferior al 60% de la calificacin final.
7.1.2. Para la evaluacin de la unidad.
Un registro de observacin de valoracin de las tareas de enseanza y aprendizaje en clase por el grupo de alumnos y alumnas. El registro de observaciones estar referido a una sesin y ser completado por el profesor al termino de cada una de las sesiones.
7.1.3. Para la evaluacin del papel y actuacin de profesor.
Un registro de observacin sobre el papel y actuacin del profesor durante el desarrollo de la unidad, que puede completarse por un compaero que realice las labores de observador interno no participante, por el propio profesor, como autoevaluacin, o por el alumnado al finalizar las sesiones dedicadas a la unidad.
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7.2. Criterios de evaluacin
Identifica, nombra y clasifica las formas mas frecuentes de una ecuacin de segundo grado a partir de su expresin algebraica.
Determina si un valor dado es solucin o no de una ecuacin de 2 grado.
Obtiene ecuaciones de 2 grado equivalentes a una ecuacin dada, mediante la transposicin de trminos y/o mediante la aplicacin de la regla de equivalencia de la suma y/o el producto.
Reduce una ecuacin de 2 grado dada a su forma general.
Obtiene ecuaciones de 2 grado equivalentes en forma factorizada y/o en forma de binomio al cuadrado de una ecuacin dada.
Resuelve ecuaciones de 2 grado dadas en forma factorizada o en forma de binomio al cuadrado, con o sin trmino independiente, aplicando procedimientos directos de resolucin.
Resuelve ecuaciones de 2 grado incompletas mediante procedimientos directos de resolucin.
Resuelve ecuaciones de 2 grado mediante: la factorizacin de su expresin general, el mtodo de completar cuadrados y el mtodo general o frmula
Determinar el nmero de soluciones de una ecuacin de 2 grado a partir de su expresin algebraica, o a partir de una ecuacin equivalente en forma factorizada o en forma de binomio al cuadrado, o mediante el valor de su discriminante.
Construye ecuaciones de segundo grado a partir de sus soluciones.
Aplica la regla de Cardano para el clculo de soluciones de una ecuacin de 2 grado a partir de los coeficientes de su expresin general.
Muestra inters y motivacin hacia el aprendizaje de mtodos y procedimientos algebraicos.
Muestra confianza en si mismo para enfrentarse a problemas o situaciones nuevas.
Participa activamente en clase.
Reconoce la importancia del trabajo en equipo.
Valora positivamente la precisin y utilidad de los lenguajes geomtrico y algebraico como medio para conocer, representar y comunicar.
Es perseverante en la realizacin de las tareas propuestas.
Muestra flexibilidad en la bsqueda de soluciones, considerando distintas vas y mostrando una actitud abierta en la utilizacin de otras estrategias.
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Resolucin de ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico _______________________________________________________________ 31
Anexos
Instrumentos de evaluacin y de recogida de datos
111
X 2
x
xx
X+3
X+3 1
1 1
111
- x -x
- x -x
- x - x
- x - x
- x
- x
- x - x
- x - x
- x - x
- x - x
- x - x
X 2 X 2
X 2 X 2
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
-1-1-1-1-1
-1-1-1-1-1
-1-1-1-1-1
-1-1-1-1-1
-1-1-1-1-1
+ +
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
2X - 5
2X-5
X 2
X 2 X 2
x
x x
x
x x
1 1 1 1
x x x
1 1 1
X 2
x
x x
X+3
X+3 1
1 1
1 1 1
Puzzle algebraico
-x -x
X 2
X-2
X-2 1
1
1
-x -x
+ 1 -1+ ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 . 2 2 = x x x
X-2
X - 2
- x - x
X 2
1 1
1
- x - x
+ 1 -1 +
- x - x
X 2 - x - x
+
1 1
1 1
1 1
1 + -1 -1
- 1 - 1 +
+ 1 -1 +
X - 2
X - 2
- x - x
X 2
1 1
- x - x
1 1
1 1
1
X 2 - x - x
- x - x
+ 1 -1 +
X-2
X - 2
Resolucin de Ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. ______________________________________________________________ 32
Anexos. Programacin didctica. J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________
Resolucin de ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico _______________________________________________________________ 33
8. Prueba inicial
Prueba inicial para 3 E.S.O. Unidad de Resolucin de ecuaciones de 2 grado. __________________________________________________________________________________________________________________________ Alumno/a: Grupo:
1. Calcula el valor numrico del polinomio 652 + xx para X = 3
2. Multiplica las siguientes expresiones polinmicas simplificando el resultado.
a) ( ) ( ) =+ 2532 xx
b) ( ) = 73 xx
3. Desarrolla y simplifica el resultado.
a) ( ) =+ 24x
b) ( ) = 232x
4. Desarrolla y simplifica el resultado.
a) ( ) = 22bx
Instrumentos de Evaluacin y recogida de datos. J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________
Resolucin de Ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. ______________________________________________________________ 34
5. Completa las siguientes expresiones del mismo modo que se hace en el ejemplo:
Ejemplo:
a) ( )22 ______6 =+ xx b) ( )22 ____9__4 +=++x c) ( )22 ______249 +=++ xx
6. Comprueba que 1=x es solucin de la ecuacin ( ) ( ) 62312 +=+ xxx
7. Calcula el valor de k para que las ecuaciones kxx = 263 y 5335 += xx tengan iguales soluciones.
8. Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 63426 =+ xxx
b) ( ) ( ) ( ) 3142532 +=++ xxx
( )22 52510 +=++ xxx
Anexos. Programacin didctica. J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________
Resolucin de ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico _______________________________________________________________ 35
9. Instrumento para el seguimiento y valoracin de los aprendizajes desarrollados.
Registro individual de valoracin de los aprendizajes desarrollados de acuerdo con los criterios de evaluacin
Unidad didctica: Resolucin de ecuaciones de 2 grado.
Alumno/a: Grupo:
En cuanto a capacidades. Se observa que el alumno o alumna es capaz de: Sie
mpr
e/
/Pr
ctic
amen
te
siem
pre
Por
lo g
ener
al /
/ fre
cuen
tem
ente
.
/ alg
unas
vec
es /
Poc
as v
eces
/
Nun
ca /
/ en
abso
luto
/
Identificar, nombrar y clasificar las formas mas frecuentes de una ecuacin de 2 grado a partir de su expresin algebraica.
Reducir una ecuacin de 2 grado a su forma general. Determinar si un valor dado es solucin o no de una ecuacin. Obtener ecuaciones de 2 grado equivalentes ms sencillas Mediante la transposicin y agrupacin de trminos semejantes Simplificando mediante la regla de equivalencia del producto.
Obtener a partir de una ecuacin de 2 grado otras equivalentes En forma factorizada En forma de binomio al cuadrado
Resolver mediante procedimientos directos de resolucin ecuaciones de 2 grado Dadas en forma factorizada Dadas en forma de binomio al cuadrado sin trmino independiente Dadas en forma de binomio al cuadrado con trmino independiente
Resolver ecuaciones de 2 grado incompletas: Sacando previamente factor comn Aplicando el criterio o regla de equivalencia de la raz cuadrada.
Resolver ecuaciones de 2 grado aplicando o mediante: La factorizacin de su expresin general El mtodo de completar cuadrados El mtodo general o frmula
Instrumentos de Evaluacin y recogida de datos. J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________
Resolucin de Ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. ______________________________________________________________ 36
Registro individual de valoracin de los aprendizajes desarrollados de acuerdo con los criterios de evaluacin
(Continuacin)
En cuanto a capacidades. Se observa que el alumno o alumna es capaz de: Sie
mpr
e/
/Pr
ctic
amen
te
siem
pre
Por
lo g
ener
al /
/ fre
cuen
tem
ente
.
/ alg
unas
vec
es /
Poc
as v
eces
/
Nun
ca /
/ en
abso
luto
/
Determinar el nmero de soluciones de una ecuacin de 2 grado: A partir de su expresin algebraica, cuando esta est factorizada o en forma de
binomio al cuadrado. Mediante su transformacin previa en una ecuacin equivalente en forma factorizada
o en forma de binomio al cuadrado. Mediante el clculo del valor de su discriminante
Construir ecuaciones de 2 grado a partir de sus soluciones. Aplicar la regla de Cardano para el clculo de soluciones de una ecuacin de 2 grado a
partir de los coeficientes de su expresin general.
En cuanto a actitudes. Se observa que el alumno o alumna:
Muestra inters y motivacin hacia el aprendizaje de mtodos y procedimientos algebraicos.
Muestra confianza en s mismo para enfrentarse a problemas o situaciones nuevas. Participa activamente en clase. Reconoce la importancia del trabajo en equipo. Valora positivamente la precisin y utilidad de los lenguajes geomtrico y algebraico
como medios para conocer, representar y comunicar. Es perseverante en la realizacin de las tareas propuestas. Muestra flexibilidad en la bsqueda de soluciones, considerando distintas vas y
mostrando una actitud abierta en la utilizacin de otras estrategias.
Observaciones:
Anexos. Programacin didctica. J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________
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10. Escala tipo Likert para la valoracin de la actitud hacia las matemticas.
Alumno/a: Grupo:
Escala de actitudes hacia las matemticas
Totalmente de acuerdo de acuerdo
Neutro, ni de acuerdo, ni
en desacuerdo
en desacuerdo
Totalmente en
desacuerdo
Instrucciones: Marca con una X la casilla que ms se ajuste a lo que t sientes para cada una de las siguientes afirmaciones.
TA A N D TD
1. Estudiar matemticas es muy importante. 2. Me gusta trabajar por parejas o en grupos
con otros compaeros en clase. 3. Me gusta hacer tareas matemticas en clase. 4. El lgebra es un lenguaje universal muy til
para conocer, representar y comunicar . 5. Las matemticas son difciles de entender. 6. Trabajar en grupo o en pareja en clase es
una perdida de tiempo, prefiero trabajar slo 7. Mi asignatura preferida es matemticas. 8. Todas las personas necesitan saber
matemticas. 9. No me divierte resolver ecuaciones. 10. Slo las personas que trabajan con nmeros
(como ingenieros y economistas) necesitan saber matemticas.
11. Prefiero cualquier otra asignatura antes que
matemticas. 12. Resolver ecuaciones es divertido. 13. En clase de matemticas no entiendo nada y
me aburro. 14. No me gusta hacer tareas matemticas. 15. Las matemticas son fciles de entender. 16. Estudiar matemticas es una perdida de
tiempo. 17. Algunas tareas de matemticas son
divertidas. 18. El lgebra es un lenguaje que no tienen
mucha utilidad, slo sirve para hacerlo todo ms complicado.
Instrumentos de Evaluacin y recogida de datos. J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________
Resolucin de Ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. ______________________________________________________________ 38
11. Registro de observacin para la valoracin de la actividad y actitud del alumnado
Registro de observacin para la valoracin de la actividad y actitud del alumnado.
Durante la explicacin de contenidos por parte del profesor.
Actividad y actitud de los alumnos y alumnas Con
regu
larid
ad/
/ Pr
ctic
amen
te
siem
pre/
/ t
otal
men
te
Por
lo g
ener
al /
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tant
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te.
Se
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o /
/ alg
unas
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Poc
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eces
/ / u
n po
co /
Nun
ca /
/ en
abso
luto
/
El grupo muestra una actitud positiva y participativa Los alumnos y alumnas preguntan por iniciativa propia
durante la explicacin. Se observan algunos alumnos o alumnas medio dormidos El grupo participa mayoritariamente cuando el profesor
hace preguntas durante la explicacin. Los alumnos y alumnas manifiestan inters por la clase. Durante la explicacin algunos alumnos y/o alumnas miran
con frecuencia el reloj. El grupo atiende y mayoritariamente mantiene la atencin
durante la explicacin. Algunos alumnos realizan tareas de otra asignatura
durante la explicacin. Durante la propuesta y realizacin de tareas de enseanza y aprendizaje.
Ambiente de clase y de aprendizaje Globalmente se observa un ambiente de aprendizaje
orientado a la realizacin de la tarea propuesta y no un ambiente de distraccin o dispersin general.
Se aprecia colaboracin y apoyo mutuo entre las parejas
de compaeros/as en la realizacin de la tarea. Todos los alumnos y alumnas participan en la dinmica de
la clase. Se observa un ambiente de trabajo fro y competitivo. Inters y motivacin Los alumnos ejecutan las tareas con inters y diligencia. La mayor parte del alumnado realiza las tareas de forma
autnoma, salvo consultas puntuales. Se observa en una amplia mayora del grupo mucho
inters en la realizacin de la tarea Se observan algunos alumnos y/o alumnas que
aprovechan para charlar y no realizan la tarea. Los alumnos y alumnas por propia iniciativa preguntan y/o
consultan dudas al profesor con relacin a la tarea. Actividad La totalidad del grupo realiza las tareas que se proponen
para realizar en clase Los alumnos y alumnas por propia iniciativa preguntan y/o
consultan dudas al profesor con relacin a la tarea. Durante la realizacin algunos alumnos y/o alumnas
esperan hasta que la tarea es corregida para copiarla . Ms del 90% del alumnado finaliza la tarea propuesta en el
tiempo previsto. Es frecuente escuchar: profe yo ya he terminado, salgo
y lo hago en la pizarra?
Anexos. Programacin didctica. J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________
Resolucin de ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico _______________________________________________________________ 39
12. Prueba de evaluacin final de la unidad didctica.
Prueba final para 3 E.S.O. Unidad de Resolucin de ecuaciones de 2 grado. __________________________________________________________________________________________________________________________ Alumno/a: Grupo:
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
c) ( ) ( ) 0632 =+ xx
d) ( ) 0753 =
xx
e) 042 =x
f) 052 = xx
g) ( ) 032 2 =x
h) ( ) 094 2 =x
Instrumentos de Evaluacin y recogida de datos. J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________
Resolucin de Ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. ______________________________________________________________ 40
2. Completa las siguientes expresiones segn el ejemplo:
Ejemplo:
d) ( )22 ______6 =+ xx e) ( )22 ____9__4 +=++x f) ( )22 ______249 +=++ xx
3. Resuelve por el mtodo de completar cuadrados la ecuacin: 01322 =+ xx
4. Resuelve la ecuacin: 0432 =+ xx
( )22 52510 +=++ xxx
Anexos. Programacin didctica. J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________
Resolucin de ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico _______________________________________________________________ 41
5. En la ecuacin 062 =+ cxx una solucin es x=4. Calcula el valor de c y el de la otra solucin.
6. Escribe una ecuacin de segundo grado que tenga por soluciones: x = 3 y x = 2
7. Escribe una ecuacin de segundo grado que tenga por soluciones x= 3 y x=2.
Instrumentos de Evaluacin y recogida de datos. J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________
Resolucin de Ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. ______________________________________________________________ 42
13. Modelo de Registro de observacin para la valoracin de las tareas de enseanza y aprendizaje.
La evaluacin de las tareas propuestas est muy relacionada con la reaccin, actividad y actitud que el alumnado desarrolla durante su propuesta y realizacin, por lo que se incluyen algunas cuestiones relacionadas con estos aspectos en el registro de observacin. Adems de considerar, por esta misma razn, como registro de observacin complementario para su valoracin, el anterior registro de observacin dedicado a la valoracin de la actividad y actitud del alumnado durante la realizacin de las tareas de enseanza y aprendizaje.
El registro de observacin se presenta con el diseo original que incluyendo algunas preguntas relativas a alumnado sordo, estas mismas cuestiones, si es el caso, podran considerarse para alumnado con n.e.e. incluido en el aula.
Registro de observacin para la valoracin de las tareas de enseanza y aprendizaje.
Con
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larid
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pre/
/ t
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P
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poco
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Nun
ca /
/ en
abso
luto
/
Caractersticas de las tareas propuestas Las tareas propuesta se corresponden con las inicialmente
planificadas en la unidad experimental o cuadernillo de ejercicios.
Se observa que el tipo de tarea propuesto fomenta la
comunicacin y la realizacin conjunta entre compaeros. Las alumnas sordas y el alumno con n.e.e. realizan las
mismas tareas de enseanza aprendizaje que sus compaeros oyentes, sin necesidad de adaptacin.
Aspectos motivacionales de la tarea Se observa que las tareas propuesta, por si mismas,
animan o motivan a una gran mayora de alumnos y alumnas a realizarlas.
Se observa que la tarea despierta el inters general del
grupo, durante la realizacin. La mayor parte del alumnado realiza las tareas de forma
autnoma, salvo consultas puntuales. Se observa que las alumnas sordas realizan las tareas con
inters y motivacin. La tarea y la actividad del alumnado del grupo La totalidad del grupo realiza las tareas que se proponen
para realizar en clase Es muy frecuente que el alumnado del grupo se ofrezca
insistentemente voluntario para realizar la tarea en la pizarra.
Se observa que las alumnas sordas se comunican y
colaboran con sus compaeros/as normoyentes en la realizan las tareas propuestas
Tareas propuestas para realizar en casa Prcticamente la totalidad del grupo realiza las tareas que
se proponen para realizar en casa, como se puede apreciar observando el cuadernillo de ejercicios.
Anexos. Programacin didctica. J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________
Resolucin de ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico _______________________________________________________________ 43
14. Registro de observacin para la valoracin de la actuacin y papel del profesor/a
Registro de observacin para la valoracin de la actuacin y papel del profesor/a.
Estilo docente Es un profesor con un estilo: Democrtico Autoritario Es un Profesor que fomenta: La cooperacin La competitividad y el individualismo Es un profesor: Mediador en la construccin de aprendizajes Mero transmisor de informacin
En la explicacin de contenidos.
Metodologa Con
regu
larid
ad/
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Nun
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/
Las explicaciones son claras y ajustadas a los contenidos y objetivos planificados.
Realiza una introduccin de los contenidos (tpicos, conceptos, procedimientos, etc.) objeto de la explicacin.
Fomenta la participacin activa del alumnado durante su intervencin.
Durante su exposicin frecuentemente realiza preguntas a los alumnos y alumnas del grupo.
Ilustra las explicaciones con abundantes y variados ejemplos.
Realiza preguntas para confirmar la comprensin del contenido (tpico, concepto y/o procedimiento) objeto de la explicacin.
Atiende adecuadamente las consultas, preguntas y/o
dudas de los alumnos Propone nuevos ejemplos y/o vas distintas de explicacin
del contenido en funcin de las respuestas y/o preguntas de los alumnos y/o las dificultades detectadas.
Comunicacin. Caractersticas del discurso La comunicacin profesor-alumnos/as es fluida. Utiliza un lenguaje riguroso en cuanto al contenido, al
mismo tiempo que coloquial y afectivo. En sus explicaciones el profesor utiliza tanto el lenguaje
oral como el lenguaje escrito (en la pizarra). Durante la explicacin el profesor interacta con los
alumnos El discurso tiene un ritmo adecuado al grupo de alumnos y
alumnas del aula. El flujo de informacin es bidireccional aunque asimtrico
(a favor de la direccin profesor-alumno). Al profesor no le importa salirse de su explicacin si algn
alumno o alumna no lo entiende.
Instrumentos de Evaluacin y recogida de datos. J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________
Resolucin de Ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico. ______________________________________________________________ 44
En la explicacin de contenidos. (Continuacin)
Comunicacin. Caractersticas del discurso Con
regu
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Establece una adecuada retroalimentacin (feed-back) a partir de las respuestas y/o preguntas de los alumnos, volviendo a explicar los conceptos y/o procedimientos por otras vas y/o con la introduccin de nuevos ejemplos.
Medios y recursos utilizados. Utiliza la unidad didctica experimental. Como medio didctico de apoyo a la explicacin utiliza el
material manipulativo puzzle algebraico, bien directamente sobre el retroproyector, o indirectamente dibujndolo o representndolo en la pizarra.
Utiliza la pizarra de forma simultnea a las explicaciones
verbales, escribiendo buena parte de lo que dice. Utiliza con frecuencia ejemplos, esquemas o grficos...
para apoyar las explicaciones. Actitud Manifiesta entusiasmo en la realizacin de su trabajo. Manifiesta inters por los alumnos/as y su aprendizaje. Se esfuerza por atender y resolver las dificultades que
observa en los alumnos y alumnas del grupo. Se muestra accesible y est dispuesto a ayudar a los
alumnos y alumnas Anima a los alumnos y alumnas a participar en el desarrollo
de la clase.
En la propuesta y realizacin de tareas de enseanza y aprendizaje en el aula
Con
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Introduce adecuadamente las tareas que propone Deja tiempo suficiente para que el grupo de alumnos pueda
realizarlas. Durante la realizacin de la tarea por parte de los alumnos
el profesor pasea por la clase supervisando la actividad de los alumnos/as y atendiendo dudas y/o consultas.
Atiende individualmente y en la mesa del alumno/a las
consultas y/o preguntas que estos le plantean por iniciativa propia.
El profesor apoya adecuadamente a los alumnos y
alumnas en la realizacin de las tareas, hacindolos reflexionar y orientndolos en su ejecucin.
El profesor contribuye a crear un buen ambiente de trabajo
durante la realizacin de las tareas. Es accesible para los alumnos
Bibliografa. J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________
Resolucin de ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico _______________________________________________________________ 45
15. Bibliografa Anzola, M. y Vizmanos, J.L. 2002. Libro de texto Algoritmo 3. Editorial SM. Madrid. Auzmendi, E. 1992. Las actitudes hacia la Estadstica. Tesis doctoral. Universidad de Deusto. Castro, E. y Castro,E. 1997. Representaciones y Modelizacin. En L. Rico (Coord.) La Educacin
Matemtica en la Enseanza Secundaria. I.C.E. Universitat Barcelona-Horsori. Coriat, M. 1997. Materiales, recursos y actividades: un panorama. En L. Rico (Coord.) La
Educacin Matemtica en la Enseanza Secundaria. I.C.E. Universitat Barcelona-Horsori. Decreto 148/2002, de 14 de mayo, por el que se modifica el Decreto 106/1992, de 9 de junio, por
el que se establecen las enseanzas correspondientes a la Educacin Secundaria Obligatoria en Andaluca.
Espinosa, J. y Romn, T. 1998. La medida de las actitudes usando las tcnicas de Likert y de diferencial semntico. Enseanza de las Ciencias, 16 (3), (pag.477-484).
Hirsch, C. 1982. Finding factors physically. Mathematics Teacher, Vol. 75, (pag. 388-393). Larrubia, J.J. 2004. El papel del lenguaje en la comprensin y adquisicin del conocimiento
matemtico en alumnado sordo integrado en aulas ordinarias de E.S.O. y Bachillerato. Editorial Aljibe. Archidona (Mlaga).
Leitze, A. R. y Kitt, N. A. 2000. Using homemade Algebra Tiles to develop Algebra and Prealgebra conceps. Mathematics Teacher, Vol. 93 issue 6, september, (pag. 462-520).
Mandly, A. 1999. Materiales curriculares para la E.S.O. En Ortega T. (Editor), Temas controvertidos en Educacin Matemtica, E.S.O y Bachillerato. Servicio de Apoyo a la Enseanza. Universidad de Valladolid.
Meavilla, V.1991. Sumando cuadrados: un ejemplo de visualizacin en matemticas. Revista EPSILON 7, (pag. 19-38).
Programacin Didctica de Matemticas para 3 de ESO. Curso 2003/04. Departamento de Matemticas del I.E.S. N1 Universdad Laboral. Mlaga.
Resnick, L y Ford, W. 1981. The Psychology of mathematics for instruccin.Hillsdale: LEA. Existe traduccin al espaol: La enseanza de las matemticas y sus fundamentos psicolgicos. 1990. Barcelona. Piados.
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